DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)
= 5 unidades 4.5 ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: y .
β1 = β 2 = θ1 − θ 2
α 1 = α 2 = 180o − β1
..
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 . En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por: (1)
Fig. 4.14 El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene:
,
(2)
También,
cot β 1 = cot(θ 1 − θ 2 )
, Puesto que m1 = tan
(3) y
m2 = tan
, entonces las igualdades (2) y (3) podemos
θ2
θ1 escribirlas en la forma:
,
(2)’
tan β 1
y
,
(3)’
cot β 1 Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b 1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema. TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo) Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2)
m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1
l2)
m1 . m2 = -1
Demostración En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones
fig. 4.15. i.
Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 || l2, entonces los ángulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tanq1 = tanq2, es decir, m1 = m2 . Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de donde q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 deduce que m1. m2 = -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces
y cot b1 = cot
Sustituyendo
, de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se
y como m2=tanq2 y m1=tanq1 , se tiene
que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor inclinación q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como q2 son ángulos positivos y menores que 1800, concluimos que: q1 = 900 + q2, de donde q1 – q2 = 900 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares. Observaciones i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0
y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma:
l1 || l2
l1
l2
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes
4.6. FORMA NORMAL DE LA LÍNEA RECTA Consideremos la recta l que aparece en la figura 4.16. El eje trazado por el origen de coordenadas y perpendicular a l es llamado: Eje normal de l. El ángulo de inclinación de este eje (0o 180o) es llamado: ángulo normal a l. El segmento dirigido del origen a la recta, medido a lo largo del eje normal, es llamado el intercepto normal de la recta y se denota por P. El signo de P coincide con el signo del intercepto de la recta con el eje y. Este criterio de signo para P no es aplicable a rectas paralelas al eje y. En este caso, P coincide con el intercepto de la recta con el eje x y corresponde al caso para el cual a = 0. En la fig. 4.16. aparecen el ángulo normal a , el eje normal ON y el intercepto normal p para una recta l. El propósito ahora es entonces deducir la ecuación de la recta l, en términos de p y a . Para ello se considerarán tres casos. .. ....
fig. 4.16. Caso 1.
¹ 0o ,
¹ 90º
Sea Q el punto de intersección de la recta l con el eje normal. Entonces las coordenadas de Q son: x = p cosa e y = p sen a .
Como tan a es la pendiente del eje normal, entonces
es la pendiente de la recta l.
En consecuencia, aplicando la forma PUNTO – PENDIENTE (sección 4.4.3.) para la recta l, se puede escribir la ecuación en la forma:
(1)
ó y sen
x cos x cos
α
α
α
- p sen2
+ y sen
+ y sen
α
α
α
= - x cos
= p (sen2
α
α
+ p cos2
+ cos2
α
α ). Es decir,
= p (2)
La ecuación (2) es llamada la forma normal de la línea recta. Nótese que el coeficiente de y en la última ecuación es siempre positivo, puesto que 0o
180º.
Caso 2. = 90º En este caso l es paralela al eje x y por lo tanto la ecuación de l puede escribirse y – P = 0 (3) Caso 3. = 0o En este caso l es paralela al eje y y P coincide con el intercepto de la recta l con el eje x. Así que la ecuación de l puede escribirse en la forma: x – P = 0 (4). Puede notarse que las ecuaciones (3) y (4) pueden obtenerse de (2) haciendo a = 90 º y a = 0o respectivamente. Por lo tanto, la forma normal de la linea recta es en cualquier caso, la expresada por la ecuación (2).
4.7. COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS En la observación ii. al teorema sobre paralelismo y perpendicularidad entre rectas, se hizo notar que si dos rectas l1 y l2 cuyas ecuaciones vienen dadas por Ax + By + C = 0, A1x + B1y + C1 = 0 con A, A1, B, B1
0,
entonces la proporción
relación
determinaba el paralelismo entre las mismas. Mas aún, la
establece la coincidencia entre las rectas.
Cuando entonces las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 se cortan o interceptan en un punto único P(x, y) del plano. Las coordenadas x e y del punto de intersección son la solución del sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas: Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos vistos en los cursos de álgebra.
4.8. ECUACIONES DE LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN Considere dos rectas l y r no paralelas a ninguno de los ejes coordenados y sea P el punto de intersección entre ellas. Sean Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 las ecuaciones de l y r respectivamente. ....
fig. 4.17. Sean b y b’ las rectas que determinan las bisectrices de los ángulos que se forman en P. En geometría plana se demuestra que b y b’ son perpendiculares y que además todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (fig. 4.17) Sea entonces P(x, y) un punto cualquiera de las bisectrices b o b’.
De acuerdo a lo anterior, d(P, l) = d(P, r). Esto es,
(1) Equivalentemente,
(2) ó
(3) (Recuérdese que
x = y o x = -y)
Las igualdades (2) y (3) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices b y b’ de los ángulos que forman las rectas l y r. Se puede demostrar fácilmente y lo dejamos como ejercicio para el lector, que dichas rectas son perpendiculares usando el concepto de pendiente.
4.9. LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones: l: y = mx + b1 ó l: mx – y + b1 = 0 r: y = mx + b2 ó r: mx – y + b2 = 0 Supóngase además que 0 < b1 < b2. Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y (fig. 4.18.). ..
fig. 4.18. Por el punto medio B del segmento , trazamos la paralela a l. Dicha recta se conoce en geometría como la paralela media de l y r. Es evidente que su intercepto con el eje y
es
y como es paralela a l y r su pendiente es m.
Luego,
(3) es la ecuación de la paralela media de l y r.
Se puede determinar ahora la distancia entre l y r. Al llamar
y
De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:
Igualmente,
. Pero
que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:
es la distancia entre las rectas paralelas l y r
4.10. FAMILIA DE RECTAS Considere la linea recta de ecuación y = mx + b (1) Una vez fijados los valores de m y b en (1), queda determinada una recta de pendiente m e intercepto b con el eje y.
Al fijar solamente m, la ecuación (1) contiene únicamente un parámetro b y representa una familia de rectas paralelas de pendiente m. (fig. 4.19 (a)).
fig. 4.19. Ahora, si fijamos b (intercepto con el eje y), la ecuación y = mx + b representa una familia de rectas que pasan por el punto B(0, b) (fig. 4.19.(b)). Asi, por ejemplo, la ecuación de la familia de rectas de pendiente 2 es: y = 2x + b, b ÎR . El parámetro b es el intercepto de cada una de las rectas de la familia con el eje y. Igualmente la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto B(0, 2) es y = mx + 2, mÎR. Ahora, el parámetro m es la pendiente de cada una de las rectas de la familia. Observación: En algunos problemas se puede utilizar la ecuación de una familia de rectas para obtener la ecuación de una recta de la familia que satisface una cierta propiedad adicional. Asi por ejemplo, si se desea encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -3) y es paralela a las rectas de la familia 3x + y – k = 0 se procede asi: 1. Se obtiene la ecuación de la familia de rectas de la que hace parte la linea que se pide. Como la familia es paralela a la recta y = -3x + k, la pendiente de las rectas de la familia es –3. Luego, y = -3x + b, b ÎR es la ecuación de las rectas de la familia. 2. La recta buscada de la familia es la recta que pasa por el punto P(1, -3). Luego, su intercepto b con el eje y es: -3 = -3(1) + b, de donde b = 0. Asi que la recta pedida es y = -3x. Familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas no paralelas. Sean l y r dos rectas dadas no paralelas y de ecuaciones A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0 respectivamente.
Entonces, para todo k ÎR , la expresión: A1x + B1y + C1 + k(A2x + B2y + C2) = 0 (1) representa una recta (diferente de r) que pasa por el punto de intersección P(xo, yo) de las rectas l y r. Nótese que cuando k = 0, obtenemos la ecuación de la recta l.
fig. 4.20. Para demostrar la afirmación que indica la igualdad (1), se toma un número real k fijo y se escribe (1) en la forma: (A1 + kA2)x + (B1 + kB2)y + (C1 + kC2) = 0 (2) que es la forma general de la ecuación de una recta. Nótese que ambos coeficientes (A1 + kA2) y (B1 + kB2) no pueden ser cero, porque de ser asi, se tendría:
, lo cual es contradictorio puesto que las rectas l y r no son paralelas. Tómese ahora, ko fijo, ko ÎR y considere la recta de ecuación: (A1 + koA2)x + (B1 + koB2)y + (C1 + koC2) = 0 (3) Ahora, (A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = (A1xo + B1yo +C1) + ko(A2xo + B2yo +C2) (4) Pero como P(xo, yo) es el punto de intersección de l y r, satisface entonces sus ecuaciones. Esto es, A1xo + B1yo +C1 = 0 y A2xo + B2yo +C2 = 0. En consecuencia (4) se transforma en : (A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = 0 lo que indica que el punto P(xo, yo) está sobre la recta cuya ecuación es (3). Se ha demostrado asi que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de: A1x + B1y+C1 = 0 y A2x + B2y+ C2 = 0 es:
A1x + B1y+C1 + k(A2x + B2y+ C2) = 0, k ÎR . Para hallar la ecuación de una recta n que pase por el punto de intersección de otras dos rectas dadas l y r, se escribe la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de l y r y se utiliza la información adicional sobre n para hallar el valor del parámetro k. TOMADO DEL SITIO ELABORADO EN EL CENTRO DE CAPACITACIÓN INTERNET
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Ejemplos Típicos Algunos ejemplos típicos para este tema se proponen a continuación. 1. Hallar la distancia entre los puntos A (4, 7) y B (2, 3); también encontrar la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y encontrar la ecuación de la recta. Solución: a) la distancia es
d=
( X 2 − X 1 ) 2 + ( Y2 − Y1 ) 2
=
( 2 − 4) 2 + ( 3 − 7) 2
⇒d =
( 2) 2 + ( 4) 2
= 4 + 16 = 20 ⇒ d = 2 5
unidades de longitud. b) La pendiente está dada por:
Y2 – Y1 = m
X2 – X1
⇒m
= 3–7 = 2–4
-4 = 2
-2
Aquí la pendiente es positiva, lo cual indica que la recta que pasa por los dos puntos A y B forma un ángulo positivo con el eje de las “x” y la recta se levanta con relación al eje X. c) La ecuación de la recta que pasa por dos puntos se halla calculando en primer lugar la pendiente y luego aplicando la fórmula de la ecuación: Punto – pendiente, para lo cual se puede elegir bien sea el punto A, o bien, el punto B. Entonces: la pendiente m ya ha sido calculada y m = 2, ahora la ecuación es
y − y1 = m( x − x1 ) = y − 7 = 2( x − 4 )
eligiendo el punto A (4,7)
Y nos da una ecuación de la forma y = mx+ b en donde
⇒ y − 7 = 2x − 8 ⇒ y = 2x − 1 m es la pendiente y b = -1
es la intersección de la recta con el eje y.
2. Hallar la ecuación de la normal a la recta 2x – 4y =5 y que pasa por el punto P1 (2,4). Solución: la condición para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea menos 1, es decir m1 o m2 = -1 siendo m, la pendiente de la recta L1 Y m2 la pendiente de la recta L2. Como la pendiente de la recta dada es m = menos coeficiente de “x” sobre coeficiente de “y”, se tiene m = -2 = 1 . -4 2 Por lo tanto la pendiente de la recta normal será -2 ya que se debe cumplir m1 . m2 = -1, o sea que y la ecuación de la recta normal a 2x – 4y = 5 es
1 ( − 2) = −1 2
y − 4 = −( − 2 )( x − 2 )
ó
, o sea y = 2x.
y − 4 = 2x − 4
3. Hallar la pendiente de la recta que une los puntos
p1 (1,1)
y
p2 ( 4,6 )
Solución:
m = tngθ =
y2 − y1 6 − 1 5 = = x2 − x1 4 − 1 3
en este caso la pendiente es positiva, los cual quiere decir que el ángulo que forma la recta en el eje x está en el primer cuadrante. Esto nos muestra además, que la recta se levanta con relación al eje “x”. 4. Hallar la pendiente de la recta que une los puntos A (4,3) y B (7,-6) Solución: y aquí la pendiente es negativa, y por lo
m = tngθ =
y2 − y1 6 − 3 − 9 = = = −3 x2 − x1 7 − 4 3
tanto la recta desciende de izquierda a derecha con relación al eje “x”.
