Ejercicios Civil Teoria Green

INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMO

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

M A T E M A T I C A II II

TEMA PROFESOR

: TEOREMA DE GREEN :

EDINSON IDROGO BURGA

INTEGRANTES:      

AGUINAGA RAMIREZ HIGEINY ADUBEL ESPINOZA REQUEJO NAYLA GISELL LEGOAS CAPUÑAY VICTOR MANUEL MORENO PAREDES ARMANDO JOSE SINARAHUA ALARCON DARWIN ENRIQUE VILLACREZ ALTAMIRANO SANDRA

PIMENTEL - CHICLAYO

MATEMATICA II

Página 1



INDICE INTRODUCCION ............................................... ......................................................................... ................................................... ............................. 2 DEFINICIONES .................................................. ............................................................ .......... ¡Error! Marcador no definido. TEOREMA DE GREEN ................................................................

¡Error! Marcador no definido.

Orientación de la curva ................................................................................................................ 4 Conexidad ...................................................................................................................................... 6 Formas de la región D ................................................................................................................. 6

TEOREMA DE GREEN ............................................... ......................................................................... ............................................ .................. 9 

TEOREMA 1 .......................................................................................................................... 9

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN: ................................................................... 9 APLICACIONES DEL TEOREMA DE DE GREEN: ................................................................... 101 

TEOREMA 2 ...................................................................................................................... 112

ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LÍNEA: .... 12

FORMAS VECTORIALES DEL TEOREMA DE GREEN ...................................... ...................................... 13 EJERCICIOS DE APLICACIÓN POR TEOREMA DE GREEN .......................... .......................... 15 BIBLIOGRAFIA ...............................................................................

¡Error! Marcador no definido.2

LINKOGRAFIA .................................................. .......................................................... ........ ¡Error! Marcador no definido.3

MATEMATICA II

Página 2



EL TEOREMA DE GREEN El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes. Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva. Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.



Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

MATEMATICA II

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El teorema de Green relaciona la integral de línea

+ 

Con la doble integral

+ 

Es una integral de función escalar a lo largo del borde de la región D:

(   )   

Es una doble integral de la función escalar

la región D:

sobre

D

Donde: a) La región D es un conjunto compacto (cerrado y acotado) b)



, es el borde o frontera de la región D.

Orientación de la curva Una curva tiene orientación positiva respecto a la región D, cuando el sentido de las curvas es tal que la región D siempre este a su izquierda.

MATEMATICA II

Página 4



=  ∗ ∗3 ∗4

1:

El borde de la región D es la yuxtaposición de caminos

 ∗ ∗3 ∗4

2:

3:

=  ∪ ∪3 Región del tipo 3

El borde de la región D es la unión de caminos cerrados tienen orientación positiva respecto a la región D

 ,  , 3

que

C 1

C 2 C 3

MATEMATICA II

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Conexidad Un conjunto es conexo si es de un solo pedazo. Esta "definición" puede ser suficiente en algunos contextos, o cuando se trata de formas sencillas del plano o volúmenes del espacio tridimensional. Un conjunto C es conexo por caminos si desde cualquier punto x del mismo se puede llegar a cualquier punto y de C recorriendo un "camino continuo" que no sale del conjunto.

a) Figura conexa

b) Figura no conexa

Formas de la región D El borde o frontera de la región D tiene diversas formas. Algunas de ellas son: MATEMATICA II

Página 6



Es estos tres gráficos la región D tiene diversas formas. Algunas de ellas son:

D

D

D

D

D

D

En este caso la región D es doblemente conexo (D tiene un agujero)

D es triplemente conexo (D tiene tres agujeros)

D

D

D

D

D

MATEMATICA II

D

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TEOREMAS DE GREEN Sea C una curva suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada al plano, y sea D la región limitada por C. si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D, entonces:

TEOREMA 1:

 + =(   ) ………………. 1

El teorema

de Green debe ser considerado como el similar del teorema

fundamental de cálculo para integrales dobles. Comparando la ecuación 1 con el enunciado del teorema fundamental de cálculo, en la siguiente ecuación:

 ′ =   DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN: El teorema de Green estará demostrado si:



 =    …… 1  =    …….2 = {, : ≤≤,  ≤≤}       =   , =  [, , ]

Para poder determinar la igualdad (1), consideramos la región D como:

Donde g1y g2 son funciones continúas entonces

MATEMATICA II

Página 8


UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN Por otro lado

        =   ,   +   ,   +   ,   +  ,           , = ,         ,   =    ,   =  ,       −   ,  = , = 0

Entonces:

Por lo tanto:



     =,     ,        

  =    ={, : ≤≤,  ≤≤}        =   , = [,, ]

Para poder determinar la igualdad (2), consideramos la región D como:

Donde f 1y f 2 son funciones continúas entonces



 



Por otro lado

    =   ,   +   ,   +   ,   +  ,         MATEMATICA II

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  , = ,   , =  − , =  ,     ,   =  ,   = 0        =  ,     ,      


Entonces:

Por lo tanto:


  =     + =   +   =(   )

Ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN: Una aplicación del teorema de Green es para el cálculo de áreas. Como el área de D es

∬ 1 

, deseamos escoger P y Q de modo que:

   =1 , =0 , = , =/2 ,  = ,  =0 ,  =/2

Hay varias posibilidades:

Entonces el teorema de Green da las siguientes formulas para el área de D: MATEMATICA II

Página 10



Sea D una región plana simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contraria a las manecillas del reloj. Entonces el área de D:

TEOREMA 2:

= 12  =,  +,  =ℝ  =  ,  ∈

Importantes consecuencias: Sea

en un campo abierto

Para todo

tal que

, se cumplen las siguientes propiedades:

1) si es simplemente conexo

2) si es doblemente conexo

U U

C1 C1

=0 

C2

Además

− MATEMATICA II

  =    =   ∪  

Como tienen el mismo sentido, se cumple:

Es el camino o inverso de

 Página 11



3) si es triplemente conexo

U

C1

C2

C3

Como

 ,   3

son caminos cerrados del mismo sentido se cumple:

= +  +  ∪     0= +    =+    

=+

ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LÍNEA: Supongamos que es un campo vectorial en una región D abierta y simplemente conexa, y supongamos que P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden y que:

 = 

MATEMATICA II

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En toda la región D.

Si C es cualquier trayectoria cerrada simple en D y R es la región que C encierra, entonces el teorema de Green dice que:

  ∮.  = ∮+= (  )= 0 =0     

Una curva que no es simple se cruza a sí misma en uno o más puntos y puede descomponerse en varias curvas simples. Hemos demostrado que las integrales de línea de F alrededor de estas curvas simples son todas 0 y si sumamos estas integrales, vemos que para cualquier curva cerrada C.

∫ .  =0

FORMAS VECTORIALES DEL TEOREMA DE GREEN a) Si la región plana D, su curva frontera C y las funciones P y Q satisfacen las hipótesis del teorema de Green, entonces la integral de línea del campo vectorial , es:

=+

∮. = ∮+  ℝ3    = , , 0  = (  ) .  =(  ) . =  .

b) Si F es un campo vectorial en obtiene.

Por lo tanto,

con la tercera componente igual a cero, se

Entonces el esquema en su forma vectorial es

c) Si C está definida por la ecuación vectorial MATEMATICA II

Página 13


 = + ,  ≤≤ ′ ′       = |′| + |′|  ′ ′       = |′|  |′|  . =  ,


Entonces el vector tangente unitario es:

Y el vector normal unitario

Entonces:

MATEMATICA II

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN POR TEOREMA DE GREEN Ejercicio 1 Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica de (0,0) a lo largo de la gráfica de

y desde (1,1) hasta

, como se muestra en la figura.

Solución: Identificamos P y Q , entonces:

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

MATEMATICA II

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Ejercicio 2 Utilizar el teorema de Green para evaluar las integrales de línea:

Solución:

De acuerdo con el teorema de Green:

Donde

   :

Entonces:

Remplazando:

MATEMATICA II

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Ejercicio 3 Estando sometida a la fuerza: Una partícula recorre una vez el círculo del radio de 3 mostrado en la figura. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

Solución: De acuerdo con el teorema de Green:

Resolviendo en coordenadas polares, el trabajo realizado es:

MATEMATICA II

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EJERCICIOS APLICADOS A LA INGENIERÍA CIVIL Ejercicio 1: Estando sometida a un campo de fuerzas una particula da una vuelta completa en la construcción de una piscina circular de radio 3 aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo F de dicho diseño de piscina

MATEMATICA II

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Solución: Si

En coordenadas polares, donde x=r cos \theta y dA=r dr\theta, el trabajo se calcula asi:

=

Al calcular integrales de linea sobre curvas cerradas hay que tener presente que el valor de la integral es 0 para todo campo vectorial conservativo. El trabajo realizado por F cuando una particula da una vuelta al circulo es:

MATEMATICA II

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Ejercicio 2: Usar el teorema de Green para la integral de Linea

donde el camino para realizar un levantamiento topográfico por radiación C va de (0,0) a (1,1) a lo largo de la gráfica de

Solución: Como

y

, se tiene

y,

aplicamos el teorema de Green concluimos que

MATEMATICA II

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Ejemplo 3

Evaluar donde C está dado por el área entre los círculos de dos puentes peatonales hecho con material asfaltico, con ecuaciones

y

y

Graficamos las ecuaciones para obtener nuestros límites de integración. con lo que obtenemos

Evaluar donde C está dado por el área entre los círculos de dos puentes peatonales hecho con material asfaltico, con ecuaciones y Entonces por el teorema de Green obtenemos:

Dado que estamos utilizando circunferencias utilizamos coordenadas polares usando Obtenemos

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Ejemplo 4 Calcular:

C: Región semicircular "D" de la parte superior del cauce de un rio donde se va a construir un puente que esta entre los círculos:

y

Sacamos las derivadas parciales: y Ahora aplicamos el Teorema de Green:

MATEMATICA II

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Pasamos a polares para mayor facilidad:

Ejemplo 5

Evaluar

Donde C es la columna círcular con centro en el

origen y radio 2 ; Entonces por el teorema de Green obtenemos:

Evaluamos la integral.

Ejemplo 6 Determine el área de un terreno arcilloso hacer empleada en ensayos triaxiales, esta está encerrada por la elipse

MATEMATICA II

Página 23



C:

Ejemplo 7

Donde C es la curva triangular sobre los puntos

MATEMATICA II

Página 24



Sacamos las derivadas parciales y

Ejemplo 8 Calcular: El borde de la región de una piscina comprendida entre las gráficas: ; ;

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BIBLIOGRAFIA



Calculo Integral - Moisés Lázaro Carrión



Análisis Matemático III - Espinoza Ramos



Calculo Multivariable - James Stewart



Análisis Matemático II -



Calculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas C.



Ecuaciones Diferenciales - Ricardo Faro



Integrales de Línea - José Antonio Vallejo

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LINKOGRAFIA



http://enciclopedia.us.es/index.php/Conexidad



http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/calvec/archivos/gu ias09/Teorema%20de%20Green.pdf



http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/07_1.pdf



http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap11.pdf



http://galia.fc.uaslp.mx/~jvallejo/integrales_linea.pdf



http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Green

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http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Green



http://rubencalculo4.blogspot.com/2008/04/teorema-de-green-en-elplano.html



http://es.scribd.com/doc/8938559/Calculo-Vectorial-Capitulo-7Integrales-de-linea-y-teorema-de-Green



http://www.youtube.com/watch?v=KTrO_CYnsCw

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Analisis/guia/teoria/06GreenR.pdf



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