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Ejercicio Resuelto Analisis Estructural Parrillas
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Ejercicio Resuelto Analisis Estructural Parrillas
EJERCICO RESUELTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL PARRILLAS. SISTEMATIZACION DE PARRILLAS. METODO DE LA RIGIDEZ.Descripción completa...
Author:
LuisAlexisGonzalesCastrejón
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EJERCICIO N° 1
Resuelva completamente la parrilla mostrada, por el método matricial de los desplazamientos:
GJ= 1!! "N#m$ EI= 1%!! "N#m$
&oluci'n: 1( &e empieza empieza numerando numerando las las )arras, los los nudos nudos * orientand orientando o los elementos: elementos:
( Calcul Calculamo amoss +-. +-. las propied propiedade adess
BARRA 1
GJ 1200 = = 400 3 L
(
2 EI
2 1500
L
3
=
4 EI
=
L 6 EI
L ²
=
(
4 1500
(
) )
6 1500
=2000 =1000
3²
=
ᶟ
=1000
3
12 EI
L
)
(
12 1500
)
3 ᶟ
=666.67
BARRA 2
GJ 1200 = =240 L 5
(
2 EI
2 1500
L
5
=
4 EI
=
L 6 EI
L ²
=
(
4 1500
(
) )
6 1500
=1200 =360
5²
=
ᶟ
=600
5
12 EI
L
)
(
12 1500
)
5 ᶟ
=144
BARRA 3
GJ 1200 = = 400 3 L
(
2 EI
2 1500
L
3
=
4 EI
=
L 6 EI
L ²
=
12 EI
L
ᶟ
(
)
4 1500
)
3
(
6 1500
=
3²
(
=1000
)
=2000 =1000
12 1500 3 ᶟ
)
=666.67
Ela)oramos el cuadro de resumen /N * m( BARRA
L
GJ/L
2EI/L
4EI/L
6EI/L²
12EI/L³
1 0
0 % 0
!! ! !!
1!!! 2!! 1!!!
!!! 1!! !!!
1!!! 02! 1!!!
222324 1 222324
0( 5allamos +6. = +7. ⸆ 3 +-.3 +7. BARRA 1
∝
C
S
!
1
!
[ R ]=
1
0
0
0
1
0
BARRA 2
∝
C
S
8!
!
1
0
[ R ]= −1
BARRA 3
−1
0
0
0
∝
C
S
19!
1
!
[ R ]=
( Calculamos
−1
0
0
0
−1
0
[ k ' ] de cada )arra
BARRA 1
[ k ' ] =¿ 1
[
400
0
0
−400
0
0 −1000
0
666 . 67
1000
0
−666.67
0
1000
2000
0
−1000
−400
0
0
400
0
−666.67
−1000
0
0
−1000
1000
0
1000
0
0
666 .67
−1000
−1000
2000
BARRA 2
[ k ' ] =¿ 2
BARRA 3
[
240
0
0
−240
0
0
0
144
360
0
−144
− 360
0
360
1200
0
−360
600
−240
0
0
240
0
0
−144
0
−360
0
−360
0
144
− 360
600
0
−360
1200
]
]
[ k ] =¿ '
3
%( 5allamos
[
400
0
0
−400
0
0 −1000
0
666 . 67
1000
0
−666.67
0
1000
2000
0
−1000
−400
0
0
0
−666.67
−1000
0
0
−1000
1000
0
[
[ B ]= [ R ] [ 0 ] [ 0 ] [ R ]
400
0 666 .67 −1000
]
BARRA 1
[ B ] =¿
[ ] 1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
BARRA 2
[ B ] =¿
BARRA 3
[ ] 0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1000 0 −1000
2000
]
[
[ B ] =¿
2( 5allamos
−1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
1
]
[ k ]
BARRA 1
[
[ k ] =[ B ] T ∗[ k ' ] ∗[ B ] =¿ 1
1
1
1
400
0
0
−400
0
0 −1000
0
666 . 67
1000
0
−666.67
0
1000
2000
0
−1000
400
1000
− 400
0
0
0
0
−666.67
−1000
0
0
−1000
1000
0
144
0
360
− 144
0
− 360
0
240
0
0
−240
0
360
0
1200
−360
0
600
−144
0
−360
144
0
− 360
0
−240
0
0
240
−360
0
666 .67
0 −1000
−1000
2000
BARRA 2
[ k ] =[ B ] T ∗[ k ' ] ∗[ B ] =¿ 2
2
2
2
[
600
−360
0
0 1200
]
]
BARRA 3
[ k ] =[ B ] T ∗ [ k ' ] ∗[ B ] =¿ 3
3
3
4( 5allamos
3
[
400
0
0
666 .67
0
−1000
−400
0
0
− 666
0
1000
0
− 400
0
0
−1000
0
− 666 .67
1000
1000
1000
2000
00
0 .67
400
0
0
1000
0
666 .67
1000
1000
0
1000
2000
[ K ]
{ Q }=[ K ] { D }
{ } [ ]{ } {Q {Q {Q {Q
1
2
3
4
} }= } }
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿ ¿
{ D { D { D { D
1
2
3
4
} } } }
[ K ¿ ]=[ K ] + [ K ] + [ K ] 11 1
[ K ¿ ]=¿
[
11 2
11 3
400
0
0
0
666 . 67
1000
0
1000
2000
][
K ¿ =¿
144
0
0
240
0
360
0
1200
+
[
360
][
]
400
0
0
0
666 .67
−1000
0
− 1000
2000
+
944
0
360
0
1573 . 34
0
360
0
5200
]
]
9( Ensam)lae del vector de car;as de
{Q} = {ℝ} + {F}
BARRA 1:
Mº Y 12 =
−120∗1.72∗1.3 9
=−50.09
2
Mº Y 21 = Z º 12= Zº 21=
120∗1.3
∗1.7
9
∗
=38.31
+ 50.09 −38.31
120 1.7
3
∗
120 1.3
−50.09 + 38.31 3
=71.93 =48.07
Mº X 12= Mº X 21=0
BARRA 2:
Mº X 13 =− Mº X 31 = Zº 13= Zº 31=
∗
32 5 2
−32∗25 12
=−66.67
=80
Mº Y 13 = Mº Y 31 =0
BARRA 3:
Mº Y 41 = Mº Y 14 =0 Zº 41= Zº 14= 0 Mº X 41 = Mº X 14 =0
8( Clculo de BARRA 1:
r '
de cada )arra:
{ } 0
[ r ' ] = 1
{ }
{ r ' } = { r ' } 1 2
−50.09 71.93 0
38.31 48.07
BARRA 2:
{ } −66.67 0
{ }
{ r ' } = [ r ' ] = { r ' } 1
2
3
80
66.67 0
80
En la 7arra no coinciden los sistemas de coordenadas, por lo tanto:
{r } =[ B ]{r ' } 2
2
{ }[
]{ }
{ r ' } [ R ] [ 0 ] {r } = { r ' } [ 0 ] [ R ] { r } 1
1
3
∝
3
=90 º
>alta ?
[ ]{ } 1
0
0
0
1
0 ¯ 50.09
[r] = 0
0
1 71.93
1
0
0
−50.09
=
71.93 0
0
¯ 1
1
0
0 38.31
38.31
0
0
1 48.07
48.07
0
0
=
{ } { r1} { r2}
[ ]{ }{ }
[r] = 2
1
0
0 − 66.67
0
1
0
0
0
0
1
80
=
−66.67
0
0
−50.09
80
−66.67
71.93
−38.31
¯ 1
0
0
¯ 1
0
0
0
0
0
0
1
80
80
48.07
1!( Ensam)lamos
0 66.67
[ R ]
{ }{
{r 1 }1+{ r 1 }2 +{ r 1 }3 R 1 {r }1 R { R }= 2 = {r }2 R 3 {r }
R 4
3
}
{ }{ } { }{ { { { 0
−50.09 +
}{} { } { } { } {
−66.67
71.93
0
80
0
−50.09
{ R }=
=
71.93
−66.67 0
80
−66.67 0
80
0
−66.67 −50.09
0
151.93
0
+
0
−50.09
=
71.93
−66.67 0
80
−66.67
Como
0
80
} } } }
{F}, entonces:
{ ℝ } = {R} - {F}
{} { { { {
−66.67 −50.09 151.93 0
−50.09
{ R }={ R }−{ F }=
71.93
−66.67 0
80
−66.67 0
80
} } } }
{}
{Q {Q 11( 5allamos {Q }= {Q {Q
1 2 3 4
} } } }
{} { { { {
66.67 50.09
} } } }
−151.93 0
50.09
{ Q }=−{ R }=
−71.93 66.67 0
−80
66.67 0
−80
1( @e los valores anteriores tomo : {Q L }
{Q L }=[ K ¿ ] +{ D L }
Aara el pro)lema:
{Q }=[ K ] +{ D } 1
11
1
{ } { {} { {} { { }{ 66.67
=[ K
50.09
11
D 1 x D 1 y θ
]
−151.93
}
D 1 x 66.67 −1 50.09 D 1 y =[ K 11 ] −151.93 θ D 1 x 66.67 −1 50.09 D 1 y =❑ −151.93 θ
}
D 1 x 0.08398 m. D 1 y = 0.03184 m. −0.03503 rad. θ
10(
}
}
Clculo de
BARRA 1:
{d }=
{ }{ } d1 d2
{ D } { D } 1 2
{d } :
5allamos
{ q ' } =[ k ' ] +{ d ' } {d ' } =[ B ] ⸆+{ d } 1
1
1
]{ }
[
{d } {d ' } = [ R ] ⸆ [ 0 ] [ 0 ] [ R ] ⸆ {d } 1
'
{d }= 1
'
{d }= 1
1 1 2 1
[ ]{ } 1
0
0
0.08398
0
1
0
0.03184
0
0
1
−0.03503
{
0.08398 0.03184
−0.03503
}
BARRA 2:
{d ' } =[ B ] ⸆+{ d } {d } {d ' } = [ R ] ⸆ [ 0 ] [ 0 ] [ R ] ⸆ {d } 2
2
2
]{ }
[
2
1 2 3
[
'
0
{d }= −1 2
0
{
1
0
0
0
0
1
0.03184
{d ' }= −0.08398 −0.03503 1
2
]{ } 0.08398 0.03184
−0.03503
}
BARRA 3:
{d ' } =[ B ] ⸆+{ d } {d } {d ' } = [ R ] ⸆ [ 0 ] [ 0 ] [ R ] ⸆ {d } 3
3
3
]{ }
[
3
'
{d }= 2
[
1 3 4 3
−1
0
0
0
−1
0
0
0
{
1
0.03184
−1 −0.03503
−0.08398 {d }= −0.03184 −0.03503 '
]{
0.08398
}
}
1( Empleamos:
{q ' }n =[ k ' ] n+ {d ' }n
n = 1, , 0
BARRA 1:
{ }[ q ' 1 q ' 2
=
1
[ k ' ] [ k ' ] [ k ' ] [ k ' ]
{q ' } =[ k ' 1 1
11
12
21
22
] {d
11 1
'
}
1 1
]{ } d ' 1
1
d ' 2
1
[
'
400
0
0
0
666.67
1000
0
1000
2000
{q } = 1 1
{q ' } =[ k ' 2 1
] {d
'
21 1
[
'
{q } = 2 1
]{ } { } 0.08398
33.592
0.03184
1
−0.03503
1
= −13.803 −38.22
1
}
1 1
−400
0
]{ } { }
0
−33.592
0.08398
−666.67 −1000 0.03184 = 13.803 −1000 1000 −0.03503 −38.22
0 0
1
1
BARRA 2:
{ }[ q ' 1
[ ] [ k ' ] = k ' q ' [ k ' ] [ k ' ] 3
2
{q ' } =[ k ' 1 2
11
12
21
22
] {d
'
11 2
[
'
3 2
}
0
144
360
0
360
1200
]
21 2
[
2
1 2
0
3 2
{q } =
d ' 3
0
{q ' } =[ k '
'
2
240
{q } = 1 2
]{ } d ' 1
]{ 2
0.03184
}{
7.6416
−0.08398 = −24.70392 −0.03503 −72.2688 2
}
2
{d ' }
1 2
−240
0
]{ } { }
0
0.03184
=
−144 −360 −0.08398 −360 600 −0.03503
0 0
2
2
−7.6416
24.70392 9.2148
2
BARRA 3:
{ }[ q ' 1
[ ] [ k ' ] = k ' q ' [ k ' ] [ k ' ] 4
3
{q ' } =[ k ' 1 3
'
{q } = 1 3
11
12
21
22
] {d
11 3
[
'
]{ } d ' 1
3
d ' 4
3
}
1 3
400
0
0
0
666.67
1000
0
1000
2000
]{ 3
}{
−0.08398 −33.592 −0.03184 = −56.2568 −0.03503 −101.9 3
}
3
1
{q ' } =[ k ' 2 1
'
[
{q } = 4 3
] {d
21 1
−400 0 0
'
}
1 1
0
0
]{
0.08398
} { } 33.592
−666.67 −1000 0.03184 = −1000 −0.03503 1000 3
GR>IC&
@IGRD @E COR"N"E
@IGRD @E DODEN"O >EC"OR
3
56.2568 3.19
3
@IGRD @E "OR&ION
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