Instituto Tecnológico de Mérida Departamento de Ciencias Económico-Administrativo Licenciatura en Administración Materia Métodos cuantitativos aplicados a la administración EJERCICIOS UNIDAD 1 4L2 Integrante (s) Omar Alejandro Maldonado Flores Noé José Galaz Arroyo Maestro Pedro Pablo Canto Leal
Mérida, Yucatán, México. 2014
HISTORIA DE LOS METODOS CUANTITATIVOS
El inicio formal de la Investigación Operativa tuvo lugar en Inglaterra a finales de 1939. La finalidad era conseguir la máxima eficiencia posible. Así en Agosto de 1940 el Físico P.M.S Balckett de la Universidad de Manchester fue responsabilizado de formar un grupo de trabajo para estudiar el sistema de defensa antiáerea gobernado por radar.
Uno de los primeros esfuerzos de este grupo fue dirigido al estudio del ataque aéreo a los submarinos. Pero aunque el razonamiento era válido, los resultados obtenidos con esta política eran muy limitados. En definitiva la profundidad de treinta metros era adecuada cuando el submarino divisaba con antelación al bombardero pero la falta de precisión impedía obtener resultados. Se llegó a la conclusión de que la alternativa más adecuada era optar por causar daños cuando el submarino estuviera en la superficie. Los aspectos que caracterizan a los estudios de Investigación Operativa:
1.-Toma Directa de Datos. 2. Empleo de Modelos matemáticos 3. Obtención de las políticas óptimas 4. Modificación de dichas políticas de acuerdo con factores reales no considerados en el modelo.
En Estados Unidos, los fondos para la investigación en el campo militar se incrementaron, por lo que la mayoría de los grupos se consolidaron aumentando su número y tamaño.
En cambio en Gran Bretaña los componentes de los grupos se habían desarrollado en el medio militar pasaron a la sociedad civil.
Otro aspecto importante en este contexto es que el desarrollo de la Organización Industrial tradicional en Gran Bretaña había sido más limitado y con la excepción del Estudio del Trabajo era todavía una novedad en los círculos industriales. A mediados de la década de los cincuenta, la investigación operativa se encontraba afianzada en el mundo industrial. La I.O. utiliza resultados de muchas áreas científicas, aunque su base fundamental se encuentra en la matemática, la economía y el cálculo de probabilidades y estadística.
Los primeros estudios que se etiquetaron como de Investigación Operativa, el aspecto técnico más característico consistió en la estructuración estadística de los datos y el empleo de modelos descriptivos de tipo probabilístico.
Los fundamentos matemáticos de los modelos lineales discretos se encuentran en la teoría de las desigualdades lineales desarrolladas en el siglo pasado. En el resto de los años cincuenta, la Programación Lineal quedó completamente establecida con los trabajos de Charnes sobre la degeneración de Lemke sobre la dualidad, de Dantzing, Orden y Wolfe sobre la forma compacta y la descomposición de grandes programas.
Sin embargo la Programación Lineal Entera no recibe atención hasta finales de esta década en que Gomory obtiene la expresión general. A pesar de las esperanzas que el procedimiento general sigue siendo un campo con métodos limitados e insatisfactorios
En los modelos no Lineales los resultados fundamentales proceden del desarrollo del cálculo matemático en el siglo XVIII, siendo el concepto básico el del Langrangiano.
La Programación no Lineal progresó durante los años sesenta y setenta, pudiendo atacarse la resolución de problemas de tamaño medio con varias decenas de restricciones y algunos cientos de variables.
La Programación Dinámica su inicio y desarrollo básico se debe a Richard Bellman al principio de los cincuenta. Esta metodología no se limita a la Investigación Operativa sino que es también de gran importancia en la Teoría del Control Optimo. Muchos autores aún consideran a la Programación Dinámica como un
punto de vista conceptual y un bagaje teórico para el análisis de problemas; y no como un método.
La Teoría de Colas se inicia con el trabajo del ingeniero Dánes A.K. Erlang en la industria telefónica de principios de Siglo. Los modelos más usuales en que tanto la distribución de llegadas al sistema como la del tiempo de servicio son conocidas y pertenecen a categorías bien establecidas. Debe resaltarse la existencia de multitud de lenguajes de simulación a disposición de los usuarios de computadoras de las empresas de mayor importancia en el sector.
La Teoría de Juegos se inicia con los primeros resultados de von Neumann sobre el teorema del mínimax en 1926.
En cualquier caso, la influencia de esta teoría sobre la organización de la producción ha sido muy limitada.
La Teoría de la Decisión se basa en la estadística Bayesiana y la estimación subjetiva de las probabilidades de los sucesos. En la actualidad se la considera un instrumento válido para la estructuración de la toma de decisiones con incertidumbre cuando la información no es completa.
Desde su origen la Investigación Operativa se encuentra encarada con problemas para los que no existe método analítico alguno que permita obtener, con seguridad y en un tiempo conveniente, el óptimo teórico.
La Investigación de Operaciones ha establecido por tales razones métodos denominados heurísticos, incapaces de proporcionar el óptimo formal, pero susceptibles de llegar a soluciones buenas, tanto más fiables en cuanto que permiten determinar al mismo tiempo un cuota (superior o inferior) del óptimo teórico con el que se comparan.
La gran difusión que ha sufrido el software de optimización debido al incremento en la potencia de cálculo de los ordenadores y abaratamiento del costo de las aplicaciones y el hardware.
Durante los últimos años han aparecido una serie de métodos. Entre ellos se puede enumerar los algoritmos genéticos, el reconocido simulado, la búsqueda tabú y las redes neuronales.
Los algoritmos genéticos fueron introducidos por Holland para imitar algunos de los mecanismos que se observan en la evolución de las especies. Holland creó un algoritmo que genera nuevas soluciones a partir de la unión de soluciones progenitoras, utilizando operadores similares a los de la reproducción, sin necesidad de conocer el tipo de problema a resolver.
Los algoritmos de reconocido simulado no buscan la mejor solución en el entorno de la situación actual sino que generan aleatoriamente una solución cercana y la aceptan como la mejor si tiene menor costo, caso contrario con una cierta probabilidad; esta probabilidad de aceptación irá disminuyendo con el número de iteraciones y está relacionada con el empeoramiento del costo.
El algoritmo de búsqueda Tabú a diferencia de otros algoritmos basados en técnicas aleatorias de búsqueda de soluciones cercanas se utiliza una estrategia basada e el uso de estructuras de memoria para escapara de los óptimos locales en los que se puede caer al moverse de una solución a otra por el espacio de soluciones. Al contrario que sucede con la búsqueda local, se permiten movimientos a soluciones del entorno aunque se produzca un empeoramiento de la función objetivo.
Las Redes Neuronales son modelos analógicos que tienen como objetivo reproducir en la medida de lo posible las características y la capacidad de procesamiento de información del conjunto de neuronas presentes en el cerebro de los seres vivos.
En resumen, podría decirse que el uso de estas técnicas supone la posibilidad de resolver, de forma práctica, problemas de gran complejidad que resultaban intratables mediante técnicas exactas.
La Investigación Operativa.
Los denominados Métodos Cuantitativos de Gestión visión especialmente aplicada de la disciplina conocida como Investigación Operativa.
Los objetivos de los métodos cuantitativos están claramente ceñidos al estudio de problemas de toma de decisiones. Las fases del método son inmediatas.
La primera Fase, formulación del problema, cumple una función primordial, ya que en base a él es posible enjuiciar que aspectos deben analizarse.
La segunda Fase consiste en la formulación de un modelo matemático que describe la situación a estudiar. Un modelo es una abstracción p representación simplificada de una parte o segmento de la realidad. En el modelo se pueden distinguir dos partes: esta representación se apoya generalmente en un lenguaje matemático más o menos sofisticado de acuerdo con las características del estudio que se esté realizando. Una vez finalizada la construcción del modelo se aborda la selección del criterio concreto de valoración de alternativas. Tiene primordial importancia el conocimiento de los métodos y técnicas por una parte sugiere posibilidades para la expresión matemática de las relaciones y por otra proporciona información sobre lo que se le puede pedir y es de esperar que proporcione el modelo.
En la Tercera Fase, deducción se soluciones, se requiere un bagaje técnico suficiente que permita obtener las soluciones del modelo, si este es normativo o las características fundamentales del proceso si es predictivo, conociendo de que aspectos depende la modificación de estas características. La complejidad consustancial de los problemas conduce a la imposibilidad de obtención de las soluciones óptimas. En tales casos la generación de reglas heurísticas puede conducir a revelar nuevas formas de actuar en la práctica.
Indispensable en este caso resulta el conocimiento asociado al análisis y diseño y codificación de algoritmos.
En la cuarta Fase es necesario discernir entre las soluciones reveladas en la fase anterior, eligiendo una de ellas o una síntesis de varias. La última fase trae consigo la caracterización en todos sus detalles de la decisión tomada.
METODOS CUANTITATIVOS DE GESTION
La formación de Métodos Cuantitativos de Gestión tiene como objetivo la formación del alumno en los conceptos y técnicas básicas de la Investigación Operativa, así como en el empleo de modelos matemáticos para la resolución de problemas de Gestión e Ingeniería y en el análisis y desarrollo de algoritmos básicos y herramientas para la optimización.
PROGRAMACION LINEAL
La Programación Lineal nace a partir de la Segunda Guerra Mundial, como una técnica dedicada a la resolución de cierto tipo de problemas de asignación de recursos entre diferentes actividades.
FLUJO DE REDES
Se trata de un módulo centrado en el problema de transporte sirviendo como finalización del módulo dedicado a programación lineal en general, para iniciar el análisis de problemas con estructuras especiales. Se completa el módulo con el estudio de problemas de distribución y su análisis mediante el método primal-dual.
PROGRAMACION LINEAL ENTERA
El siguiente módulo introduce la programación lineal entera mediante el modelado de situaciones en que existen variables de decisión, implicaciones lógicas o relaciones disyuntivas.
TEORIA DE JUEGOS El cuarto módulo, teoría de Juegos, aborda un conjunto de situaciones caracterizada por la lucha o enfrentamiento entre dos o más oponentes.
TEORIA DE LA DECISION
En el quinto módulo se realiza una cinta introducción al análisis de alternativas en diversos entornos. Se describe como un instrumento conveniente para abordar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en las que no se dispone de información completa. Se analiza el valor de la información en este contexto.
PROGRAMACION DINAMICA
El sexto módulo se dedica al estudio de problemas de decisión secuenciales o de múltiples etapas. Las variables que los describen están gobernadas por transformaciones en el tiempo.
TECNICAS DE MODELADO
El módulo de técnicas de modelado describe la sistemática general del modelado basándose en las siguientes etapas: descripción verbal del problema identificado, especificación del horizonte al que se refiere el análisis, evaluación de la disponibilidad y existencia de datos, identificación de variables, especificación de la estructura y limitaciones a través de la construcción de restricciones, expresadas en términos de los datos disponibles y de las variables identificadas, selección de criterios de evaluación de alternativas y enfoque empleado para la solución del modelo.
SIMULACION DE EVENTOS DISCRETOS
Básicamente consiste en la construcción de modelo que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en el diseño de experimentos con el modelo y la extracción de conclusiones de los resultados de los mismos.
METODOS AVANZADOS DE GESTION
Concretamente esta asignatura estudia las técnicas más novedosas para la resolución de problemas lineales continuos y enteros, amplia las técnicas más novedosas para la resolución de problemas lineales continuos y enteros, amplia las técnicas ya expuestas desde un punto de vista computacional y generaliza los conocimientos en el campo de la optimización al caso más general de problemas no lineales repasando los métodos que permiten solucionarlos.
EXTENSIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL
Comienza con el análisis, desde un punto de vista computacional del algoritmo simplex como método de resolución. Posteriormente se estudian los métodos de descomposición y partición. El tercer tema se centra en los métodos llamados de punto interior y su aplicación en el campo de la programación lineal.
PROGRAMACION NO LINEAL
Se estudian las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad en cada tipo de problema y se introducen otros métodos de optimización para problemas con restricciones. Los métodos duales no atacan el problema original son dual.
ALGORITMOS GENETICOS
En particular se muestran diversos tipos de operadores de selección, cruce, mutación, etc. Así como formas dinámicas de determinar sus respectivas frecuencias de empleo.
RECONOCIDO SIMULADO
La idea básica consiste no sólo en moverse de un punto a otro mejor, que sería lo razonable sino también permitir la ocurrencia esporádica y probabilística de pasos hacia atrás, esto es empeoramientos en el valor de la función objetivo.
BUSQUEDA TABU
La idea es que prohibiendo movimientos inmersos a los que aparecen en dicha tabla se minimiza la probabilidad de que la búsqueda entre en un ciclo sin salida. El efecto de memoria a corto plazo que supone la Lista Tabú se completa con mecanismos de memoria intermedia y memoria a largo plazo que se denominan intensificación y Diversificación respectivamente.
REDES NEURONALES ARTIFICIALES
Son sistemas formados por un elevado número de unidades de procesamiento elemental muy interrelacionadas y que son capaces de realizar tareas como clasificación, generalización, optimización, abstracción, etc.
TEORIA DE COLAS
Introduce el estudio desde un punto de vista analítico, de los fenómenos de espera tan corrientes en el entorno productivo. Entre las aplicaciones prácticas de la teoría de colas, destacan las relativas al diseño y análisis de unidades productivas y de servicios.
Ejercicios pag 67 1. Los ejemplos siguientes son experimentos con sus variables aleatorias asociadas. En cada caso identifique que los valores que la variable aleatoria puede asumir y establezca si la variable aleatoria es discreta o continua: Experimento a. Responder un examen de 20 preguntas b. Observar los automóviles que llegan a una caseta de pasaje c. Auditar 50 devoluciones de impuestos. d. Observar el trabajo de un empleado durante 8 horas e. Pasar un embarque de productos
a. Valores posibles 0,1,2,…20
Discreta
b. Valores posibles 0,1,2…..
Discreta
c. Valores posibles 0,1,2…50
Discreta
d. Valores posibles 0≥x≥8
Continua
e. Valores posibles x≥0
Continua
Variable aleatoria Número de preguntas que se responde correctamente Cantidad de automóviles que llegan a la caseta de peaje durante 1 hora Número de devoluciones que contienen errores Número de horas improductivas Peso del embarque
2. La tabla siguiente muestra una distribución de probabilidad parcial para las utilidades proyectadas de MRA Company (en miles de dólares) para el primer año de operación (el valor negativo denota una pérdida): x
f(x)
-100
0.1
0
0.2
50
0.3
100
0.25
150
0.1
200
a. Determine el valor faltante de f (200). ¿Cuál es su interpretación de este valor? b. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA sea rentable? c. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA gane al menos $100,000?
a. 0.5/ 5 % b. 70 % c. 40 %
3. Se reunieron datos sobre el número de salas de operaciones en uso en el Hospital General de Tampa durante un periodo de 20 días. En 3 de los días sólo se usó una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos, en 8 días se usaron tres y en 4 días se usaron todas. a. Utilice el método de frecuencia relativa para elaborar una distribución de probabilidad para el número de salas de operaciones en uso en cualquier día. b. Elabore una gráfi ca de la distribución de probabilidad. c. Muestre que su distribución de probabilidad satisface los requisitos de una distribución de probabilidad discreta válida.
a.
Salas Días
x
f(x)
1
3
1
0.15
2
5
2
0.25
3
8
3
0.4
Todas 4
4
0.2
20
1
b. Distribución de probabilidad 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 Series1
0.2 0.15 0.1 0.05 0 1
2
3
4
c. (3.1) Las probabilidades asociadas con x es mayor a 0 y (3.2) la suma delas probabilidades de la variable aleatoria es igual a 1.
4. Enseguida se muestra una distribución de probabilidad para la variable aleatoria x. x
f(x)
3
0.25
6
0.5
9
0.25
Total 1 a. Calcule E(x), el valor esperado de x. b. Calcule L2, la varianza de x. c. Calcule L, la desviación estándar de x.
a.
b.
x
f(x)
xf(x)
3
0.25
0.75
6
0.5
3
9
0.25
2.25
E(x)
6
x
x-µ
(x-µ)2 f(x)
(x-µ)2f(x)
3
-3
9
0.25
2.25
6
0
0
0.5
0
9
3
9
0.25
2.25
Varianza
4.5
c. Desviación estándar 2.121320344 (raíz cuadrada de la varianza)
a) 0.33333333 s1 250 250
250
0.33333333 s2
d1
100 0
125
100
100
0.33333333 s3 25 25
25
1 125
0.33333333 s1 100 100
100
0.33333333 s2
d2
100 0
91.6666667
100
100
0.33333333 s3 75 75
75
b)
a) Optimista
Conservador
Minimax
b) 0.25 s1 14 14
14
0.25 s2 9 d1 0
9 9.5
9
0.25 s3 10 10
10
0.25 s4 5 5
5
0.25 s1 11 11
11
0.25 s2 10 d2 0
10 9
10
0.25 s3 8 8
8
0.25 s4 7 7
7
4 10.5
0.25 s1 9 9
9
0.25 s2 10 d3 0
10 10
10
0.25 s3 10 10
10
0.25 s4 11 11
11
0.25 s1 8 8
8
0.25 s2 10 d4 0
10 10.5
10
0.25 s3 11 11
11
0.25 s4 13 13
13
R1= La alternativa que elegiríamos sería la 4 ya que representa la opción intermedia entre optimista y conservador. R2= Si porque con esto tendría una base para tomar una decisión dependiendo de si su enfoque es minimax, conservador o optimista.
c) Optimista
Conservador
Minimax
a) Decisión: Elija el mejor tamaño de la planta de las dos alternativas, una planta pequeña y una planta grande. Evento de oportunidad: demanda del mercado de la nueva línea de productos con tres posibles resultados (estados de naturaleza); bajo, mediano y alto
b) Demanda del mercado
Tamaño de la planta
UTILIDAD
0.33333333 Baja
c)
150 150
150
0.33333333 Mediana
Pequeña
200 0
183.333333
200
200
0.33333333 Alta 200 200
200
2 250
0.33333333 Baja 50 50
50
0.33333333 Mediana
Grande
200 0
250
200
200
0.33333333 Alta 500 500
500
d)
Método optimista: Planta grande Método conservador: Planta pequeña Arrepentimiento minimax: Planta grande
a) Decisión: Costos totales de cada opción de arrendamiento. Evento de oportunidad: Millas que manejará por año.
b) 12,000
15,000
18,000
Forno
10,764
12,114
13,464
Midtown
11,160
11,160
12,960
Hopkins
11,700
11,700
11,700
c) Enfoque optimista formo saab
Enfoque conservador Hopkins
Enfoque de arrepentimiento minimax hopkins
d)
e)
f)
a)
a)
b )
a)
La alternativa que minimizara el costo es el proveedor externo y el costo anual esperado es de 570000 b)
a) b)
c)
a) El tipo de avión que utilizaran para ofrecer el servicio, la demanda es el evento fortuito y la consecuencia de la demanda y el tipo de avión es la ganancia que obtendrán Son dos alternativas de decisión Dos resultados para el evento fortuito
b) Enfoque optimista
Enfoque conservador
Enfoque minimax
c)
d)
a)
Instituto Tecnológico de Mérida Departamento de Ciencias Económico-Administrativo Licenciatura en Administración Materia Métodos cuantitativos aplicados a la administración EJERCICIOS UNIDAD 2 4L2 Integrante (s) Omar Alejandro Maldonado Flores Noé José Galaz Arroyo
Maestro Pedro Pablo Canto Leal
Mérida, Yucatán, México. 2014
1. ¿De las relaciones matemáticas siguientes, cuáles podrían encontrarse en un modelo de Programación lineal y cuáles no? Para las relaciones que son inaceptables para los programas lineales, explique las causas. a. -1A + 2B ≤ 70 b. 2A -2B =50 c. 1A -2B2 ≤10 d. 32 A +2B ≥ 15 e. 1A + 1B = 6 f. 2A + 5B + 1AB ≤ 25 R. Los incisos subrayados son los que podrían encontrarse como modelo de programación lineal. El inciso c no es aceptable debido a -2x²2. El inciso d no es aceptable debido a 3 x1. El inciso f no es aceptable debido a 1x1x2. 2. Encuentre las relaciones que satisfacen las restricciones siguientes: a. 4A + 2B ≤16 b. 4A + 2B ≥ 16 c. 4A + 2B = 16 R. La relación está en la cantidad que se requiere de cada producto y el resultado. 3. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen: a. 3A +2B ≤18 b. 12A + 8B ≥ 480 c. 5A + 10B = 200 R. a)
b)
c)
4. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen: a. 3A -4B ≥ 60 b. -6A +5B ≤60 c. 5A - 2B ≤ 0 a)
b)
c)
5. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen: a. A ≥ 0.25 (A + B) b. B ≤ 0.10 (A + B) c. A ≤ 0.50 (A + B) a)
b)
c)
6. Tres funciones objetivo para problemas de programación lineal son 7A + 10B, 6A + 4B y -4A + 7B. Muestre la gráfica de cada una para los valores de la función objetivo iguales a 420. 7A + 10B =420 6A + 4B =420
-4 + 7B =420
a)
b)
c)
a)
REGIÓN FACTIBLE SÓLO EL SEGMENTO DE RECTA
b)
c)
a)
b)
c)
b)
a) 3A+9D
b)
c)
A) ENTEROS SALSA PURÉ
ENTEROS SALSA PURÉ
WEST 50% 30% 20%
MÉXICO 70% 10% 20%
PESA 10 ONZAS 10 ONZAS 10 ONZAS
CANTIDAD COMPRADA
PRECIO POR LIBRA
PRECIO POR ONZA
280 LIBRAS= 4480 ONZAS 130 LIBRAS= 2080 ONZAS 100 LIBRAS= 1600 ONZAS
$0.96 $0.64 $0.56
$0.06 $0.04 $0.035
COSTOS ADICIONALES POR FRASCO ESPECIAS FRASCO ETIQUETADO
$0.10 $0.02 $0.03
WESTERN FOODS PRODUCE INGRESOS POR CADA FRASCO DE $1.64 MÉXICO CITY PRODUCE INGRESOS POR CADA FRASCO DE $1.93
COSTO POR FRASCO
WEST
MÉXICO
ENTEROS
$0.30
$0.42
SALSA
$0.12
$0.04
PURÉ TOTAL
$0.07 $0.64
$0.07 $0.68
UTILIDAD DE CADA PRODUCTO WEST = $1 MÉXICO = $ 1.25 MAX 1W + 1.25M E 5+7 < 4480 S 3+1 < 2080 P 2+2 <1600
B)
Solución optima
A) Calculo de ganancia probable de cada acción por compra. E= 55 - 40 = 15 C= 43 - 25 = 18 Modelo de programación lineal Max 15E + 18C 40E + 25C ≤50,000 40E ≥15,000 25C ≥10,000 25C ≤ 25,000 E, C ≥0
B)
REGION FACTIBLE
C)
)
Coordenadas de cada punto extremo D) Solución optima QM
TORA
MANAGMENT
Valor de función objetivo
