ECUACIONES PARAMÉTRICAS Cuando x y y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones:
() ()
(llamadas ecuaciones paramétricas). Cada valor de t determina un punto (x, y), que se puede representar en un sistema coordenado. Cuando t varía, el punto (x, y)= (f(t), g(t)) varía y traza una curva C, a la cual se le llama paramétrica. El parámetro t no denota necesariamente la variable del tiempo, inclusive se puede emplear cualquier otra variable; pero en muchas aplicaciones de curvas paramétricas, t denota el tiempo, y por lo tanto se puede interpretar a (x, y)= (f(t), g(t)) como la posición de una partícula en el tiempo t. EJERCICIO.Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas. t -2 -1 0 1 2 3 4
x 8 3 0 -1 0 3 8
y -1 0 1 2 3 4 5
Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de una curva en la dirección de las flechas a medida que se incrementa t.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y CÁLCULO Si una curva suave C está dada por las ecuaciones y entonces la pendiente de C en es:
EJEMPLOS.
Derivación o diferenciación y forma paramétrica
Hallar Dy/Dx para la curva dada por x= sen t y y= cos t.
Hallar pendiente y concavidad para la curva dada por:
√ ( ) hallar la pendiente y la concavidad en el punto (2, 3). () En (x, y)= (2, 3), se tiene que t=4, y la pendiente es: () Y, cuando t=4, la segunda derivada es:
()
LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA Si una curva suave C está dada por y y C no se interseca a sí misma en el intervalo (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:
∫ () () ∫ [ ()] [ ()]
Función de dos variables Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación z = f (x, y) Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.
Funciones de varias variables
El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier
situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad V del móvil en ese punto y en ese instante: f(x; y; z; t) = v Líneas o curvas de nivel Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano xy. Coordenadas cartesianas en el espacio En el espacio existen tres ejes , un eje vertical y dos horizontales , considerando al plano xy como horizontal y z como vertical . Dichos ejes tienen secciones positivas y negativas por lo regular únicamente utilizamos las positivamente orientadas , en los cuales al ver hacia abajo el eje z se observa el plano xy . Se especifica un punto en el espacio mediante coordenadas (x,y,z) con respecto a los ejes ; primero comenzamos en el origen , avanzamos x unidades en el eje de las x , paralelamente avanzamos y unidades en el eje y y finalmente z unidades paralelas al eje z , las coordenada pueden ser positivas , cero o negativas. Para graficar dichas funciones se deben cumplir que z=0 , si esta coordenada es cero debemos entrar en nivel vertical en el plano horizontal . Para encontrar la distancia entre puntos en un eje tridimensional es necesario notar que el puno PE es el eje de las x , EF eje y y FG eje z . Al trabajar con funciones de dos variables cuya función es z=f(x,y) y determinar las cuervas de nivel se habla; en base a una altura , pero estas curves muchas veces están determinada por constantes .
Un ejemplo un poco común es el de un isoterma el cual por medio de las curves de nivel podemos determinar las regiones mas calientes y las mas frías por tan solo observar la intensidad de la luz En la vida diaria este concepto de las curves de nivel es muy utilizado desde la sencillez de determinar la temperatura de una ciudad por zona , por región , etc.(por medio de Isotermas ) hasta lo más complejo como una nave especial , un ensayo especial o una obra hidráulica. Como Ingenieros debemos de saber manejar dicho concepto por mas burdo y sencillo que parezca ya que este trae consigo muchos datos útiles para ser analizados si uno sabe cómo , datos útiles que ayudaran y facilitaran a hacer mejor las cosas para hacerlas mejor y mas rápido .