capa O autor: Israel Israel Vainsench ainsencher er ´e Professor Professor Titular Titular da Universi Universidade dade Federal ederal de Minas inas Ger Gerais ais desd desdee 2003 2003.. Obteve o grau de Doutor no Massachusetts Institute of Techn echnol olog ogy y (EUA (EUA)) em 1976 1976.. Sua area a´rea de pesquisa ´e dedicada a quest˜oes o es enum enumer erat ativ ivas as em Geometri Geom etriaa Alg´ebrica. ebri ca.
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A K´atia atia M. E. L. Vainsencher
Pref´ acio
...“la premi` ere ere est toujours si astreinte a ` la consi con sid´ d´ eraera tion des figures, qu’elle ne peut exercer l’entendement sans fatiguer beaucoup l’imagination; et on s’est tellement assujetti, as sujetti, en la derni`ere, ere, a ` certaines r` egles egles et ` a a certains chiffres, qu’on en a fait un art confus et obscur qui embarrase l’esprit au lieu d’une science qui le cultive.”
Ap´os os enunciar este veredito 1 , Descar Descartes tes [11 11]] propˆos-se os-se a tomar o melhor da ´ Geometria e da Algebra, corrigindo os defeitos de uma pelas virtudes da outra. Nascia a Geometria Anal´ Anal´ıtica Cl´assica assica.. Dela Dela s˜ ao ao sucedˆaneas aneas a Geometria Diferencial Diferenci al e a Geometria Geo metria Alg´ebrica. ebrica. Apesa Ap esarr da origem ori gem comum, comum , ´e claro cl aro o desequ de sequil´ il´ıbrio ıbr io verific ve rificado ado nos curr´ıculos ıcul os atuais quanto ao tratamento dispensado aos aspectos introdut´orios orios dessas duas disciplinas. disciplinas. O estudant estudantee ´e devidamen devidamente te apresen apresentado tado ao triedro triedro de Frenet, tor¸c˜ cao, a˜o, curvatura..., mas se passa a distˆancia ancia do plano projetivo e curvas cur vas alg´ a lg´ebric ebr icas as.. Estas notas foram escritas com o objetivo de servir de texto a um curso de um semestre, como disciplina eletiva destinada a alunos do terceiro ou quarto ano do Bacharelado, ou ainda como disciplina de inicia¸c˜ cao a˜o cient cie nt´´ıfica. ıfi ca. O teorema teo rema de B´ezout ezout ´e o resultado resultad o central ce ntral do d o curso. cu rso. Para apresent´ a present´a-lo a-lo com rigor, rig or, ´e necess´ nece ss´ario ario empreender uma jornada razo´avel. avel. 1
...“a primeira ´e sempre t˜ao ao restrita `a considera¸c˜ cao ˜ao de figuras, que n˜ao ao se chega ao entendimento entendimento sem muito fatigar a imagina¸c˜ao; ao; j´a na ultima, u ´ ltima, est´a-se a-se de tal forma subjugado a certas regras e a tantos s´ımbolos, que resulta uma arte confusa e obscura a embara¸car a mente, mente , ao a o inv´ i nv´es es de uma ciˆencia enci a a cultiv´ cult iv´a-la.”
ii Nosso ponto de partida s˜ao as curvas planas usualmente estudadas na geometria elementar, tais como retas, cˆonicas, conc´o ides, etc. . . . Passamos em seguida a uma revis˜ao cr´ıtica do conceito de curva alg´ebrica, formulando uma defini¸ca˜o rigorosa, ainda que mais abstrata. No cap´ıtulo II, iniciamos o estudo da interse¸ ca˜o de duas curvas. Introduzimos a resultante de dois polinˆomios e conclu´ımos com um caso particular do teorema dos zeros de Hilbert. Nos cap´ıtulos III e IV s˜ ao exploradas as id´eias b´ asicas necess´ a rias a` demonstra¸ca˜o do teorema de B´ezout. Para que curvas de graus m e n se encontrem “sempre” em m n pontos, ´e necess´ario explicar como alguns desses pontos devem ser contados mais de uma vez, quer seja por tangˆencia quer pelo fato de uma das curvas “passar v´arias vezes” pelo ponto em quest˜ao; por fim, deve-se explicar como alguns outros podem estar no infinito... No cap´ıtulo V demonstramos o teorema de B´ezout. No cap´ıtulo seguinte estudamos mais detalhadamente o ´ındice de interse¸ca˜o de duas curvas. O cap´ıtulo VII constitui-se quase que numa revis˜ao da mat´eria: aplicamos o teorema de B´ezout ao c´alculo do n´ umero de tangentes inflexionais de uma curva e o de tangentes que passam por um ponto. No cap´ıtulo VIII ocorre uma certa mudan¸ca no objeto de estudo. At´e ent˜ao estiv´eramos interessados em analisar propriedades de uma curva como subconjunto do plano; agora examinamos o seu car´ater funcional, i.e., propriedades do corpo de fun¸c˜oes racionais. Ou ´ ltimo t´opico – c´ ubicas n˜ao singulares – tenta mostrar o sabor de coisa inacabada, mal disfar¸cando a esperan¸ca de que o leitor recorra `a bibliografia indicada para explorar com mais profundidade o roteiro aqui iniciado. Para conveniˆencia do leitor, inclu´ımos nesta edi¸ca˜o revisada um apˆendice com no¸co˜es b´asicas de ´algebra que s˜ao utilizadas no texto, notadamente o lema de Gauss e a propriedade de fatora¸ca˜o u ´nica para polinˆomios a coeficientes num corpo. Por fim, confesso que esta edi¸c˜ao jamais teria ocorrido sem o insistente encorajamento de Abramo Hefez e Dan Avritzer.
·
Recife, 7 de mar¸co de 1996. Nota ` a re-edi¸ cao. ˜ Exceto pela se¸ca ˜o sobre curvas de B´ezier e a inclus˜ao de alguns poucos
exerc´ıcios, limitei-me a ligeiras corre¸c˜oes e revis˜ao de pouca monta. Algumas figuras foram re-diagramadas e uma ou outra demonstra¸c˜ao mais detalhada; as referˆencias bibliogr´aficas ganharam mais uns t´ıtulos, e o apˆ endice algumas linhas sobre propriedades do grau de transcendˆencia. Belo Horizonte, 14 de Fevereiro de 2005
Conte´ udo 1 Defini¸co ˜es Preliminares e Exemplos 1 1.1 Um pouco de hist´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Equa¸ ca˜o de uma curva alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Mudan¸ca de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Interse¸ co ˜es de Curvas Planas 2.1 Finitude da interse¸c˜ao . . . 2.2 A resultante . . . . . . . . . 2.3 O grau da resultante . . . . 2.4 O teorema dos zeros . . . .
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19 19 22 26 29
3 Multiplicidades 33 3.1 Interse¸c˜ao de uma curva com uma reta . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Pontos m´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Diagrama de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Pontos no infinito 4.1 O plano projetivo . . . . . . . . . . . 4.2 Espa¸ cos projetivos . . . . . . . . . . 4.3 Curvas projetivas . . . . . . . . . . . 4.4 Mudan¸ca de coordenadas projetivas .
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45 46 47 49 51
5 Interse¸ ca ˜o de Curvas Projetivas 57 5.1 Interse¸c˜ao de reta e curva, agora projetivas. . . . . . . . . . . 57 5.2 O teorema de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 Propriedades do ´Indice de Interse¸c˜ ao 69 6.1 As propriedades caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
iv
´ CONTEUDO
6.2
S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 F´ ormulas de Pl¨ ucker 85 7.1 Curvas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2 A hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8 Curvas Racionais 8.1 Curvas racionais afins . . . . . . . . . 8.2 Fun¸co˜es regulares e fun¸co˜es racionais 8.3 O teorema de L¨ uroth . . . . . . . . . 8.4 Curvas racionais projetivas . . . . . . 8.5 O gˆenero virtual . . . . . . . . . . . . 8.6 Aplica¸ca˜o ao c´alculo integral . . . . . 8.7 Curvas de B´ezier . . . . . . . . . . . 9 C´ ubicas n˜ ao Singulares 9.1 Conex˜ oes inesperadas . . . . . 9.2 Forma normal . . . . . . . . . 9.3 Fun¸co˜es racionais . . . . . . . 9.4 Ciclos e equivalˆencia racional 9.5 A estrutura de grupo . . . . .
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10 Apˆ endice 10.1 An´eis, ideais e homomorfismos . . . . . . . . . 10.2 Polinˆ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Dom´ınios de fatora¸ca˜o u ´ nica e lema de Gauss 10.4 Extens˜ oes de corpos . . . . . . . . . . . . . . .
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95 95 98 102 104 108 114 116
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119 . 119 . 120 . 123 . 125 . 128
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133 . 133 . 138 . 142 . 144
Bibliografia
147
´Indice
150
Cap´ıtulo 1 Defini¸ co ˜es Preliminares e Exemplos 1.1
Um pouco de hist´ oria
A manipula¸c˜ao de express˜oes do tipo x2 + y 2 = 1 ´e um fato relativamente recente na hist´oria da Matem´atica, podendo se situar em torno do s´eculo XVI. Mas os matem´aticos gregos j´a sabiam efetuar c´alculos elaborados, recorrendo a procedimentos geom´etricos. Por exemplo, para o c´ alculo do produto de duas quantidades a, b, poder´ıamos proceder assim:
... . . . . . ...... . . . . . ... .... . . . . . ... .... . . . . . .. ab . . . . . . ... . . . . . . . . ... ... .... a . . . . . ..........................•........................................•..........
O
1
b
figura 1.1
Neste exemplo, o segmento de comprimento a ´e tra¸cado perpendicularmente `a reta Ob. Esta constru¸c˜a o requer somente o desenho de retas e c´ırculos. (Os c´ırculos foram empregados para se obter o ˆangulo reto). Com um pouco de imagina¸ca˜o, ´e poss´ıvel descrever m´etodos para a constru¸ca˜o
2
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
com r´egua e compasso de express˜oes do tipo
√ a+
ab a2 b,
ou mais geralmente, para qualquer elemento do chamado corpo dos n´ umeros construt´ıveis. Veja a discuss˜ao em Gon¸calves [15], p. 138 e seguintes. Al´em das retas e c´ırculos, os matem´aticos da Antiguidade estudaram outras curvas, geralmente descritas como o lugar geom´etrico de pontos satisfazendo certas condi¸co˜es. Essas curvas especiais eram o recurso empregado na solu¸ca˜o de v´arios problemas, para os quais todas as tentativas com r´egua e compasso malograram. Alguns desses tˆem uma hist´ oria curiosa, em que ´ o caso dos c´elebres problemas da duplica¸ca˜o do lenda e fato se misturam. E cubo, da trissec¸ca˜ o do ˆangulo e da quadratura do c´ırculo. Consulte Boyer, [4], p.48 ou Klein, [22]. Veja o exemplo 1.2.6 mais adiante bem como o exerc´ıcio [4, p. 6]. Com a ulterior introdu¸ca˜o do m´etodo das coordenadas, constatou-se que v´arias curvas conhecidas desde os prim´ordios da Geometria podiam ser descritas por equa¸co˜es polinomiais.
1.1. Defini¸ca ˜o. Uma curva alg´ebrica plana ´e o lugar dos pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem uma equa¸c˜ao do tipo f (X, Y ) = 0, onde f ´e um polinˆomio n˜ao constante. (Compare com a defini¸ca˜o [1.5, p. 10]).
1.2. Exemplos. Eis aqui uma lista preliminar de curvas alg´ebricas planas. A maioria deve ser conhecida do leitor. 1.2.1. A reta que passa pelos pontos (a, b) = (c, d). Sua equa¸c˜ao pode ser escrita como o determinante,
a c X b d Y = 0. 1 1 1
1.2.2. O c´ırculo de raio r e centro (a, b), lugar dos pontos que satisfazem a equa¸c˜ao (X a)2 + (Y b)2 = r 2 .
−
−
3
1.1 Um pouco de hist´oria
1.2.3. A elipse , lugar dos pontos tais que a soma das distˆancias a dois pontos fixos (digamos ( c, 0)) ´e uma constante, que por conveniˆencia escolhemos = 2a. A condi¸ca˜o imposta escreve-se
±
(X +
c)2
+
Y 2
+
Esta equa¸ca˜o n˜ao ´e polinomial, mas ´e poss´ıvel eliminar os radicais e mostrar que toda solu¸c˜ao dela ´e tamb´em solu¸c˜ao da seguinte (e vice versa), X 2 + Y 2 = 1, a2 b2 onde b =
√ a − c . 2
2
− (X
c)2 + Y 2 = 2a.
..................•..... ................. . . . . . ........ b . . . .. . . ..... . .... ..... ... a ... O .. ... −c c . . ... . . . ..... . . . ....... . . .. . . ................ . . . . . . . . ........................ ...... .... ... ... . .. .. .. . . . ... ... ... .. ... .. .. . . . .. . . . ... .... .... . . ... . . .. . . . . ... .. .. .. ... . ... . . ... .. .. ... . . . .....
figura 1.2
1.2.4. A hip´erbole , lugar dos pontos cujas distˆancias a dois pontos fixos, chamados focos , tˆem diferen¸ca constante 2a. Marcando os focos em ( c, 0), a diferen¸ca das distˆancias se expressa
±
− (X
c)2 + Y 2
−
Procedendo como no caso da elipse, pondo b2 = c2 a 2 , eliminamos os radicais e obtemos a equa¸c˜ao
−
X 2 a2
2 2
− Y b
= 1,
(X + c)2 + Y 2 = 2a.
...... ...... ..... .... ... −c... −a .. . . ... . . . . . ..
(1.1)
... . . . . . ...• . . . .... a .... c ..... ...... ...... .
.. .. .. .... .. .. .. . . .... .. ... . . . . . . . . .. . .... . ... . . . . . . . . . .. .... .. .. . . .... .. . .. . .... .. .... . .. . . . . . . . . .... .
figura 1.3
1.2.5. A par´ abola , lugar dos pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado foco e de uma reta fixa, diretriz .
4
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
... ..... ... .... ..• . . .... .. . ..... . ..... b ...... .......... ........ .........
−
Tomando (0, b), b > 0 e Y = b como foco e diretriz, a equa¸ca˜o (j´a simplificada) fica na forma,
...... ..... ... .... . . . .. . . ... . ... .. .. .. .. . . . . .. . . . .. ... . . . . ... ... . . . . ..... .. . ... . .. ... ... .. . .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... .. ....
X 2 = 4bY
O
−b
figura 1.4
oide de Di´ocles, lugar dos p´es das normais tra¸cadas do v´ertice 1.2.6. A ciss´ de uma par´abola a`s suas tangentes. Dada a par´abola de equa¸ca˜o X 2 = 4bY , a tangente num ponto (x0 , y0 ) se escreve
−
− x ) = −4b(Y − y ).
2x0 (X
0
0
.................................. ... ... ... .. .... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . ... .. .... ... .......... . . . . . . . . • . . ...... ...... figura 1.5 .... ... .. · · · · · · · · ·· O ·· ....
.. . . ..... .. . .. . . .
....
....
....
···
·· · ·
···
···
....
....
....
....
....
···
...
....
· · · · ··
· ·· · ·
....
....
···· ....
....
....
··· ....
....
· ··
....
....
....
···
....
....
....
· ··
..
A reta normal tomada da origem (v´ertice da par´abola) ´e
−2bX + x Y = 0. 0
A interse¸ca˜o desta u ´ltima com a tangente ´e dada por X =
x30 bx20 = , Y 8b2 + 2x20 4b2 + x20
·
·
5
1.1 Um pouco de hist´oria Substituindo x 0 = 2bX/Y e simplificando, resulta a equa¸c˜ao da ciss´oide, bX 2
− Y (Y
2
+ X 2 ) = 0.
Note que, em coordenadas polares, esta ´ultima equa¸ca˜o fornece r = b cosθ cotgθ. Da´ı podemos obter uma descri¸ca˜o dinˆamica que permite tra¸car a ciss´oide:
b P · · · · · · · · · · ···· ....................................... ......................... ··· ··· ..................... R............................ · ··· ..................•. .............. · .....·.·... ··· ........ b/2 .. ........··.··..... · · ...... ..... · · Q ···· ..... ····· · · ·O··· · ·
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .. .... . .. .... . . . . . .. .. .... . . .... . .. .... . .. .... . .. .... . .. .... . .. figura 1.6 ... . . . ..... .. .... . .. .... . . .... . .. .... . . . . . ...
Construa o c´ırculo de diˆametro b e centro (0, b/2). Considere a reta Y = b; para cada um de seus pontos P , trace a reta OP e tome o ponto Q da interse¸c˜ao com o c´ırculo. Finalmente, marque o ponto R tal que OR = P Q. Variando P , o ponto R descreve a ciss´oide. Com efeito, notando que o aˆngulo θ = OP b = QbO, temos
−
OR = P Q = OP OQ = b/ sen θ b sen θ = b cos θ cotg θ = r.
−
A ciss´oide foi empregada para resolver o problema da duplica¸cao ˜ do cubo: dada a aresta de um cubo, construir a aresta do cubo de volume duplo. Em s´ımbolos, procuramos resolver a equa¸ca˜o, X 3 = 2b3 , onde b denota o comprimento da aresta conhecida. Sabe-se que esta equa¸ca˜o n˜ao ´e resol´ uvel por r´egua e compasso (por exemplo, para b = 1). Recorrendo `a ciss´oide como “curva auxiliar”, a solu¸ca˜o gr´afica ´e obtida com o seguinte procedimento: ache a interse¸c˜ao da ciss´oide (b
2
− Y )X
= Y 3
7
1.1 Um pouco de hist´oria
deve ter dificuldade em completar a justificativa da constru¸c˜ao. (Sugest˜ ao: diagonais de um retˆangulo...)
5. Caracol de Pascal : (X 2 +Y 2 )2 2aX (X 2 +Y 2 )+(a2 b2 )X 2 b2 Y 2 = 0. Mostre que em coordenadas polares a equa¸ca˜o ´e dada por r = a cos θ b. Distinga os casos a > b, a < b e a = b. Trata-se da conc´oide da circunferˆencia r = a cos θ relativa `a origem.
−
−
−
±
6. Astr´ oide : X 2/3 + Y 2/3 = 1. Mostre que esta curva ´e de fato alg´ebrica, dada por uma equa¸ca˜o polinomial do sexto grau. Ela ´e o lugar descrito por um ponto de uma circunferˆencia de raio 1/4 que gira sem deslizar apoiada no lado interno de uma circunferˆencia unit´aria centrada na origem. Curvas definidas por esse processo s˜ao chamadas de hipocicl´ oides ; quando a circunferˆencia se move pelo lado externo, obt´em-se uma epicicl´ oide ; elas s˜ao alg´ebricas se e s´o se a raz˜ao dos raios ´e um n´umero racional. ((X a)2 + Y 2 )((X + a)2 + Y 2 ) = b4 . 7. Oval de Cassini : ´ o lugar dos pontos cujo produto das distˆancias aos 2 pontos fixos ( a, 0) ´e E igual a` constante b 2 . Se b 2 < a2 , a curva consiste em 2 componentes conexas. Se b2 = a2 tem-se a lemniscata de Bernoulli . Para b2 > a2 , tem-se a oval propriamente dita.
−
±
8. Esboce a curva dada parametricamente por x(T ) = T 2
− T,
y(T ) = T 3 .
Mostre que ela ´e uma curva alg´ebrica, encontrando um polinˆomio f (X, Y ) n˜ao constante tal que f (x(T ), y(T )) = 0.
9. Sejam x = x(T ), y = y(T ) fun¸c˜oes racionais (= quocientes de polinˆomios em uma vari´avel T ). Mostre que existe um polinˆomio n˜ ao constante f (X, Y ) tal que f (x, y) = 0. (Sugest˜ ao: seja K (T ) o corpo das fun¸co˜es racionais a coeficientes no corpo K . Se x K (T ) ´e n˜ao constante, ent˜ao K (T ) ´e uma extens˜ao alg´ebrica do subcorpo K (x) gerado por x (vejas as defini¸co˜es 10.30, p. 144). De fato, temos x = p(T )/q (T ), com p, q polinˆomios, e assim T satisfaz a equa¸ca˜o polinomial p(X ) xq (X ) = 0. Logo, todo y K (T ) ´e alg´ebrico sobre K (x)).
∈
−
∈
8
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
10. Uma curva ´e racional se for definida parametricamente por equa¸co˜es X = x(T ), Y = y(T ), onde as fun¸co˜es de T indicadas s˜ao racionais e ao menos uma ´e n˜ao constante. Mostre que toda curva racional ´e alg´ebrica.
11. Curvas de Lissajous . S˜ao dadas parametricamente por x(θ) = a sen(mθ + p), y(θ) = b sen(nθ + q ),
onde a,b,m,n,p,q s˜ao constantes (abmn = 0). Curvas desse tipo ocorrem na investiga¸ca˜o de fenˆomenos vibrat´orios. (a) Esboce a curva, supondo m = 2, n = 3, a = b = 1, p = 0, q = π/4. (b) Mostre que a curva n˜ ao ´e alg´ebrica se m/n ´e irracional. (c) Se m ´e inteiro, mostre que x(θ) pertence ao anel A gerado pelas fun¸co˜es sen θ, cos θ. (d) Mostre que A ´e um dom´ınio e que seu corpo de fra¸co˜es ´e igual a R(T ), onde T = tg(θ/2). (e) Conclua que uma curva de Lissajous com m/n racional ´e alg´ebrica. Ache a equa¸ca˜o polinomial no caso considerado em (a).
12. Chama-se ros´ acea uma curva de equa¸c˜ao polar r = a sen(bθ). (a) Esboce para a = 1, b = 1, 2, 2/3. (b) Prove que se b = m/n, com m, n inteiros > 0, primos relativos, ent˜ao a ros´acea ´e alg´ebrica, satisfazendo a uma equa¸c˜ao polinomial (em coordenadas cartesianas) de grau m + n ou 2(m + n) conforme sejam m, n ambos ´ımpares ou um deles par. Se b ´e irracional, a ros´acea n˜ao ´e alg´ebrica.
1.2
Equa¸c˜ ao de uma curva alg´ ebrica
Reexaminemos a defini¸ca˜o 1.1. Uma quest˜ao que naturalmente se p˜oe ´e se a equa¸c˜ao polinomial f = 0 est´a bem determinada pela curva (entendida como o lugar das solu¸c˜oes). A resposta ´e n˜ ao: f = 0 e f 2 = 0 admitem as mesmas solu¸c˜oes. Poder´ıamos arriscar o palpite de que esse seria o u ´nico tipo de indetermina¸c˜a o: se tom´assemos f com grau m´ınimo, talvez todas as outras equa¸co˜es definindo a mesma curva fossem do tipo f m = 0. Mas note que as solu¸co˜es de XY = 0 e X 2 Y = 0 s˜ao as mesma, prejudicando a
9
1.2 Equa¸c˜ cao a˜o de uma curva alg´ebrica ebrica
proposta. Ah, mas nesse exemplo a curva tem visivelmente dois “peda¸cos”, cos”, e a afirmativ afirmativaa poderia p oderia valer valer para cada um deles. deles. Talvez alvez uma hip´ otese otese mais promissora seja esperar que exista uma equa¸ equa¸c˜ c˜ao ao de grau m´ınimo, as demais sendo m´ ultipl ultiplas as desta. desta. Mas as curv curvas (?), ou melhor dizend dizendo, o, as equa¸c˜ c˜oes oes 2 2 2 2 2X + Y = 0 tˆem em o mesmo conjunto conjunto de solu¸c˜ coes o˜es reais , X + Y = 0 e 2X desfazend desfazendoo a esperan¸ esperanca. c¸a. A escassez de pontos reais nesse ultimo u ´ ltimo exemplo parece estar na raiz do problema. Com efeito, veremos mais adiante que, se p( po linˆ nˆomio omio p(X, Y ) Y ) ´e um poli irredut´ irre dut´ıvel ıvel e a curva C definida infinita , ent˜ao ao a equa¸c˜ cao a˜o C definida por p(X, Y ) Y ) = 0 ´e infinita, de grau gra u m´ınimo ıni mo est´a bem determinada (a menos de fator constante). Aqui, e em outras situa¸c˜ coes o˜es com que iremos nos defrontar, a bem da simplicidade de uma proposi¸c˜ c˜ao ao que desejamos tornar verdadeira, somos induzidos a repensar os fundamentos, isolar a dificuldade, e resolvˆ e-la e-la “por “p or decreto”. Vale a pena ler a bel´ bel´ıssima discuss˜ ao desse processo de “nega¸c˜ ao cao a˜o da ´ o que faremos, passando a admitir pontos cujas nega¸c˜ cao”, ˜ao”, em Cara¸ca, [ ca, [55]. E coordenadas s˜ao ao n´ umeros umeros complexos. E, j´a tomada esta decis˜ ao, ao, por que n˜ao ao trabalhar trabalh ar tamb´em em com polinˆ poli nˆ omios omios a coeficientes coeficientes complexos? complexos? Na realidade, realidade, praticamente em toda a teoria que exporemos, a propriedade fundamental dos n´ umeros umeros complexo c omplexoss ´e que estes formam um u m corpo corp o algebricamente algeb ricamente fechado de caracter´ cara cter´ıstica ısti ca zero. zero . Assim, salvo men¸c˜ c˜ ao expl expl´´ıcita em contr´ ario, doravante, coordenadas de pontos, bem como coeficientes de polinˆ omios, ser˜ ao tomados em um corpo K corpo K uentemente, uentemente, nos exemalgebricamente fechado e de car caracter´ acter´ıstica ıstica zero. zero. Freq¨ plos, suporemos suporemos K c˜ao ao geom´ geo m´etrica etr ica K = C. A perda aparente do recurso `a intui¸c˜ ser´a amplamente compensada. J´a podem p odemos os recolher reco lher o primeiro benef´ıcio. ıcio. omios em duas vari´ aveis a coeficiente no 1.4. Proposi¸c˜ ao. Sejam f f , g polinˆ corpo K . Ent˜ Ent˜ ao f ( em as mesmas mesm as sol solu¸ u¸c˜ coes ˜ em f (X, Y ) Y ) = 0 e g(X, Y ) Y ) = 0 tˆem 2 o se os fatores irredut irredut´´ıveis de f, g s˜ ao os mesmos. K se e s´
∈
Seja p K [X, Y ] u m fato f atorr irred i rredut ut´´ıvel de f de f .. Por hip´otese, otese, Demonstra¸ c˜ ao. Seja p Y ] um 2 para cada (x, (x, y) K , vale a implica¸c˜ cao, a˜o,
∈
p( p(x, y) = 0
⇒
0. g(x, y ) = 0.
Provaremos que p divide g em K [X, Y ]. ario, Y ]. Trocando X por Y Y se necess´ario, podemos supor que Y onhamos os A = K [X ], ], Y ocorre efetivamente em p. Ponham coes). o˜es). Assim, Assim, pelo lema lema de Gauss Gauss [10.27 10.27,, p. 143 143], ], L = K (X ) (corpo de fra¸c˜
10
Defini¸c˜ c˜oes oes Preliminar Preliminares es e Exemplos Exemplos
∈
|
ir redu dut´ t´ıvel ıvel em L[ que p g. Ent˜ao ao p A[Y ] Y ] ´e irre L [Y ]. Y ]. Suponhamos, por absurdo, que p MDC( p, MDC( p, g) = 1. Da Da´´ı, existe uma rela¸c˜ cao ˜ao (veja o corol´ario[10.17 a rio[10.17,, p. 140 140]]) ap + bg = bg = 1, onde a, onde a, b
∈ L[Y ]. Y ]. Podemos escrever = a /c, a = a
com a , b
= b /c b = b
∈ A[Y ] 0. Obtemos ent˜ao, ao, Y ] e c ∈ A, c = = c. a p + b g = c.
Agora, como p n˜ao ao ´e constante, segue-se que, exceto para um n´umero umero finito de valores de x K , a equa¸c˜ cao a˜o p(x, Y ) c˜ao. ao. (Aqui (Aqui usamos usamos Y ) = 0 admite solu¸c˜ o fato de que o corpo K ´ ´e algebricamente algebricamente fechado). Conclui-se que h´a uma infinidade de valores de x tais que c(x) = 0, donde c = 0. Esta contradi contradi¸¸c˜ cao a˜o mostra que p g em K [Y ] Y ] seguindo, novamente pelo lema de Gauss, que p g em K em K [[X, Y ]. Y ].
∈
|
|
Deduzimos da proposi¸c˜ cao a˜o anterior que uma curva curva alg´ebrica, ebrica, dada como lugar das solu¸c˜ coes o˜es de uma equa¸c˜ cao ˜ao polinomial n˜ ao ao constante f ( f (X, Y ) Y ) = 0, determina (a menos de fator constante) uma equa¸c˜ cao a˜o de d e grau gra u m´ınimo: ınimo: tomar o produto pro duto dos d os fatores fa tores irredut´ıveis ıveis distintos dis tintos de d e f . f . Este fato nos leva a substituir a defini¸ definic˜ ¸cao a˜o 1.1 1.1 pela pela seguinte onde, essencialmente, passamos a identificar “curva” com sua equa¸c˜ cao. a˜o. Uma curva alg´ebrica ebrica plana afim (ou (ou mais abreviadamente, 1.5. Defini¸c˜ ao. Uma curva curva ) ´e uma um a clas c lasse se de equi e quivalˆ valˆencia enci a de d e poli p olinˆ nˆomios omios n˜ ao ao constantes f K [X, Y ], Y ], m´odulo odulo a rela¸c˜ cao a˜o que identifica dois tais polinˆomio om ioss se s e um u m ´e m´ multiplo u´ltiplo do outro por alguma constante. constante. Nesse contexto, a equa¸c˜ c˜ ao de ao de uma curva curva ´e um qualquer dos polinˆomios omios nessa classe. Dizemos que uma curva est´ curva est´ a definida sobre o corpo K 0 , subcorpo de K , se ela admitir uma equa¸c˜ cao a˜o a coeficientes em K 0 . O tra¸co co (resp. tra¸co co real . . . ) de uma curva (definida sobre R. . .) ´e o conjunto conjunto das solu¸c˜ coes o˜es (resp. solu¸c˜ coes o˜es reais. reais. . . ) da equa¸c˜ cao. a˜o. O grau de de uma curva f curva f ´ ´e o grau gra u de d e sua su a equa¸ eq ua¸c˜ cao, a˜o, e ser´a denotado por d◦ f . f . Curvas de grau 1, 2, 3,. 3, . . . s˜ao ao chamadas retas chamadas retas , cˆ onicas , indexcˆonicac´ onicac´ ubicas . .
∈ ∈
11
1.2 Equa¸c˜ cao a˜o de uma curva alg´ebrica ebrica
Uma curva ´e irred irredut´ ut´ıvel ıv el se admite uma equa¸c˜ cao a˜o que ´e um polinˆomio omio irre ir redu dutt´ıvel. ıve l. As compon As component entes es irredut irredu t´ıveis ıve is de de uma curva f curva f s˜ao ao as curvas definidas pelos fatores fato res irredut´ irre dut´ıveis ıveis de f de f .. A multiplicidade de multiplicidade de uma componente p componente p de f ´ ´e o exp e xpoe oente nte com co m que qu e o fato f atorr cao a˜o de f ; p ocorre na decomposi¸c˜ f ; quando 2, dizemos que p ´e componente m´ ultipla de f . f .
≥
Usualmente, cometeremos o abuso de designar pelo mesmo s´ımbolo tanto a curva como o seu tra¸co co ou uma sua equa¸c˜ cao. a˜o. Por comodidade, diremos indistintamente “a curva f ” f ” ou “a curva dada pela equa¸c˜ cao a˜o f = contexto tornar´ tornar´a claro quando f = 0” ou “a curva f f = 0”. O contexto nos referimos seja ao tra¸co, co, seja ao polinˆomio. omio. Observemos que, agora, as curvas X 2 = 0 e X = X = 0, embora tenham o ´ sugestivo pensar mesmo tra¸co, co, s˜ao ao consideradas distintas distintas por defini¸c˜ cao. ˜ E em X em X 2 como uma “reta dupla”, limite de um par de retas que vˆem em a coincidir (digamos, X (X εY ), 0), ou de hip´erboles erboles que se achatam sobre εY ), com ε 2 2 o eixo ( por exemplo, X εY = ε). ε). Intuitivamente, as componentes compo nentes irredut i rredut´´ıveis de d e uma u ma curva f curva f s˜ao ao os “pedacos” ¸cos” que constituem f constituem f e e que s˜ao ao tamb´em em curvas. c urvas. Com efeito, se f se f c con ont´ t´em em (o tra¸co co de) uma curva irredut´ıvel ıvel p, ent˜ao ao p ´e uma compone comp onente nte de f . f . Isto foi demonstrado na proposi¸c˜ cao a˜o [1.4 1.4,, p. 9]. O leitor deve deve no entant entantoo ser alertado para o fato de que uma curva curva pode ser irredut´ irredut´ıvel mesmo sendo seu tra¸ seu tra¸co co real formado formado por duas ou mais partes partes disjunta disjuntas: s: reveja reveja o exemplo exemplo da hip´ hip´erbole erbole (p. 3). Outro exemplo ´e dado pela c´ubica ubica de equa¸c˜ c˜ao ao
− −
−
→
Y 2 = X ( X (X
)(X − 0 < a) − a)(X − − b), (b < 0 <
. ........ ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
............................................ . . . . ...... .. b.. .. ... . O . . . . ....... . . . . . . . ..................................
figura figura 1.8
... . . . . . ... . . . . . .... . . . a ... .... ...... ...... ...... .....
(1.2)
12
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
Veja tamb´em o exerc´ıcio 31, p. 21. Na realidade, a determina¸ca˜ o do n´umero, bem como da disposi¸ca˜o dos chamados circuitos reais de uma curva alg´ebrica plana ´e uma quest˜ao ainda n˜ao resolvida por completo. Consulte Arnold [2] p. 50 e Camacho [6]. Apesar do aparente contra-senso geom´etrico, a defini¸c˜ao 1.5 coloca em definitivo relevo o papel da equa¸c˜ao que individualiza uma curva alg´ebrica. Al´em do mais, freq¨ uentemente os argumentos alg´ebricos empregados nas demonstra¸co˜es de propriedades geom´etricas se aplicam indistintamente a polinˆ omios, sejam eles irredut´ıveis ou n˜ao.
1.6. Exerc´ıcios 13. Verifique se as curvas apresentadas no
§ 1 s˜ao irredut´ıveis.
14. Ache as componentes irredut´ıveis das curvas: (a) Y 3 X 3 + X 2 Y XY 2 + X 2 + Y 2 + X Y 1; (b) 2X 2 Y 2X 3 + Y 2 XY + X Y (c) X 2 5XY + 6Y 2 .
− − −
15. Seja f m =
−
m
−
− −
−
ai X i Y m−i um polinˆomio homogˆeneo = 0.
0
(a) Prove que f m ´e o produto de m fatores lineares homogˆeneos, i.e., f m = (bi X + ci Y ), onde bi , ci s˜ao constantes n˜ao ambas nulas e as raz˜ oes bi /ci s˜ao bem determinadas. (b) Prove que se f m, f m+1 n˜ao tˆem fator comum, ent˜ao f m +f m+1 ´e irredut´ıvel.
16. Mostre que Y 2 p(X ) ´e redut´ıvel se e s´o se p(X ) ´e um quadrado em K [X ]. Em particular, Y 2 (X a)(X b)(X c) ´e irredut´ıvel para todo a,b,c K .
−
− −
∈
−
−
17. Mostre que uma cˆonica a 11 X 2 + a22 Y 2 + a33 + 2a12 XY + 2a13 X + 2a23 Y ´e redut´ıvel se e s´o se for nulo o determinante da matriz sim´etrica (aij ). 18. Dado um ponto arbitr´ario P e duas retas distintas 1 , 2 contendo P , mostre que o conjunto das retas que contˆem P ´e x1 1 + x2 2 x1 , x2 s˜ao constantes n˜ao ambas nulas .
{
|
}
19. Dados quatro pontos n˜ao colineares, mostre que existem cˆonicas f 1 , f 2 tais que, a condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para que uma cˆonica f passe pelos
13
1.3 Mudan¸ca de coordenadas quatro pontos ´e que f seja da forma x1 f 1 + x2 f 2 , com xi nulos.
∈ K , n˜ao ambos
20. Dados cinco pontos arbitr´ a rios, existe ao menos uma cˆ o nica que os cont´em; se existirem duas distintas, ent˜ ao quatro desses pontos s˜ao colineares. 21. Mostre que, para todo inteiro d 1, existem d(d + 3)/2 pontos no plano pelos quais passa exatamente uma curva de grau d.
≥
22. Seja C a c´ubica Y = X 3 . Para cada par de pontos P, Q C , a reta P Q encontra C num terceiro ponto R. Mostre que a correspondˆencia que associa a cada par (P, Q) o sim´etrico R de R em rela¸ca˜o a` origem O define uma estrutura de grupo em C isomorfo ao grupo aditivo de K .
∈
−
1.3
Mudan¸ca de coordenadas
As propriedades de curvas planas que estudaremos s˜ao aquelas que independem do particular sistema de coordenadas cartesianas empregado. Faremos aqui alguns coment´ arios sobre mudan¸ca de coordenadas e daremos a conceitua¸ca˜o precisa do que entendemos por “propriedade independente do referencial”.
1.7. Defini¸ca ˜o. Um referencial ou sistema de coordenadas afim no plano 2 K consiste na escolha de um ponto O K 2 , chamado origem do referencial , e de uma base v1 , v2 do espa¸co vetorial K 2 . O referencial canˆ onico ´e dado por O = (0, 0), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1).
{
∈
}
2
∈ K em rela¸ca˜o a um referencial R = {O, {v , v }}
O vetor coordenadas de um ponto P
1
´e o par (P )R = (x1 , x2 )
2
∈ K
2
tal que
P = O + x1 v1 + x2 v2 .
Uma transforma¸c˜ ao afim ou afinidade em K 2 ´e uma aplica¸ca˜o T : K 2 composta de uma transla¸ca˜o com um isomorfismo linear.
(1.3) 2
→ K
14
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
A ambig¨ uidade aparente na ordem da composi¸ca˜o ´e irrelevante, pois se L ´e uma aplica¸c˜ao linear e P 0 K 2 , temos L(P + P 0 ) = L(P ) + L(P 0 ). Ou seja, uma transla¸ca˜o seguida de uma aplica¸c˜ao linear tem o mesmo efeito que a (mesma) aplica¸ca˜o linear seguida de uma (outra) transla¸ca˜o. Toda transforma¸c˜ao afim ´e da forma T (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), onde
∈
y1 = a 11 x1 + a12 x2 + a1 y2 = a 21 x1 + a22 x2 + a2 ,
(1.4)
com det(aij ) = 0. O leitor verificar´a sem dificuldade que as afinidades formam um grupo com a opera¸ca˜o de composi¸c˜ao. Assim, a composta de duas afinidades ´e uma afinidade, e a inversa de uma afinidade tamb´em ´e. Escrevendo v1 = (a11 , a21 ), v2 = (a12 , a22 ), O = (a1 , a2 ), podemos interpretar as equa¸co˜es (1.4) como as que relacionam P = (y1 , y2 ) com (P )R = (x1 , x2 ). E reciprocamente, podemos considerar as rela¸c˜o es (1.3) como definindo a afinidade, (x1 , x2 ) O + x1 v1 + x2 v2 .
−→
1.8. Defini¸c˜ ao. Dizemos que a afinidade T e o referencial se T (P )R = P ( P K 2 ).
R s˜ao associados
∀ ∈
Assim, podemos adotar duas atitudes diante do processo de mudan¸c a de coordenadas: dada uma afinidade T , podemos olhar a rela¸ca˜o (y1 , y2 ) = T (x1 , x2 ) como a express˜ao que fornece as novas coordenadas de um mesmo ponto em termos das antigas; os pontos ficam e as coordenadas movem-se. A outra possibilidade, ´e a de considerar T agindo sobre os pontos do plano: (y1 , y2 ) ´e a nova posi¸ca˜o de (x1 , x2 ), com as coordenadas todas tomadas em rela¸ca˜o ao referencial canˆonico.
1.9. Defini¸c˜ ao. O K -automorfismo do anel de polinˆomios em 2 vari´aveis T • : K [X 1 , X 2 ] associado a` afinidade T : K 2 2
∀ (x , x ) ∈ K , 1
2
2
→ K
→ K [X , X ] 1
2
´e dado por,
(T • f )(x1 , x2 ) = f (T −1 (x1 , x2 )).
15
1.3 Mudan¸ca de coordenadas Mais precisamente, se T −1 (x1 , x2 ) = (b11 x1 + b12 x2 + b1 , b21 x1 + b22 x2 + b2 ), ent˜ao (T • f )(X 1 , X 2 ) = f (b11 X 1 + b12 X 2 + b1 , b21 X 1 + b22 X 2 + b2 ). O emprego de T −1 na defini¸c˜ao acima se justifica em vista da seguinte
1.10. Proposi¸ca ˜o. Sejam f uma curva e T uma afinidade. Ent˜ ao o tra¸co de T • f ´e igual `a imagem do tra¸co de f por T . Demonstra¸ c˜ ao. Imediata.
R
1.11. Defini¸ca ˜o. Seja T uma afinidade e seja o referencial associado. A equa¸c˜ ao de uma curva f em rela¸c˜ao a um referencial ´e (T • )−1 f .
R
A defini¸c˜ao ´e natural porque, para cada P = (x, y) em K 2 , temos
∈ f ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
P
f (x, y) = 0 ((T • )−1 f )(T −1 (x, y)) = 0 ((T • )−1 f )((P )R ) = 0.
P
1.12. Defini¸ca ˜o. Dizemos que uma propriedade relativa a curvas (ou a configura¸co˜es planas, tais como conjuntos de pontos, retas, etc.) ´e invariante ou independente do referencial se, para toda afinidade T , uma curva f (ou configura¸ca˜o ) satisfaz se e s´o se T •f (resp. T ( )) satisfaz .
C
P
C
P
Por exemplo, o grau de uma curva ´e uma propriedade invariante. A propriedade de trˆes retas serem concorrentes, bem como a de um ponto pertencer a uma curva, s˜ao invariantes. J´a o requerimento de que dois pontos no plano real sejam equidistantes de um terceiro n˜ ao ´e invariante; no entanto, exigir que um ponto seja colinear com, e equidistante de dois outros ´e invariante! (Leitor: verifique!). Nos pr´oximos cap´ıtulos estudaremos v´ arias propriedades invariantes de curvas alg´ebricas. Ressaltaremos o fato delas serem independentes do referencial apenas quando a verifica¸ca˜o a ser feita revelar-se um desafio instrutivo.
1.13. Exerc´ıcios
{
{
}}
23. Ache as coordenadas do ponto (1, 2) no referencial (1, 1), (1, 2), (3, 5) .
16
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
24. Prove que dois triˆangulos quaisquer s˜ao congruentes por uma afinidade, ao colii,e., se P 1 , P 2 , P 3 e Q1 , Q2 , Q3 s˜ao conjuntos de trˆes pontos n˜ neares existe uma afinidade T tal que T P i = Qi i = 1, 2, 3. Verifique se 2 quadril´ ateros s˜ao sempre congruentes por uma afinidade.
{
} {
}
∀
25. Se Li (resp. M i ) s˜ao trˆes retas distintas concorrentes, existe uma afinidade T tal que T • Li = M i (i = 1, 2, 3)? ao matricial . Seja T uma afinidade. Sejam 26. Representa¸c˜ (a1 , a2 ) = T (0, 0), (a11 , a21 ) = T (1, 0) T (0, 0), (a12 , a22 ) = T (0, 1) T (0, 0). Definimos a11 a12 a1 a21 a22 a2 . M T = 0 0 1 (a) Prove a f´ormula [T P ] = M T [P ], P K 2 x onde, se P = (x, y), pomos [P ] = y . 1 (b) Prove que M T T = M T M T para todo par de afinidades T , T . (c) Mostre que a correspondˆencia T M T ´e um isomorfismo do grupo das afinidades de K 2 sobre o grupo dos isomorfismo lineares de K 3 que deixam invariante o plano X 3 = 1.
− −
∀ ∈
→
onicas afins . Lembremos que s˜ ao definidas por um polinˆo mio do 2o 27. Cˆ grau, f (X 1 , X 2 ) = a11 X 12 + a22 X 22 + a33 + 2a12 X 1 X 2 + 2a13 X 1 + 2a23 X 2 , com ao menos um dos coeficientes dos termos de grau 2 n˜ao nulo. Seja S f = (aij ), a matriz sim´etrica formada pelos coeficientes de f . (a) Mostre que f (X 1 , X 2 ) = (X 1 , X 2 , 1)S f t (X 1 , X 2 , 1) (produto de matrizes) onde t significa “transposta”. (b) Mostre que, para toda afinidade T , vale S T• f =t M T −1 S f M T −1, onde M T ´e a matriz definida no exerc´ıcio anterior. (c) Supondo K = R, mostre que, dada f , existe T tal que T • f = X 12 + b22 X 22 + b33 + 2b23 X 2 . (Sugest˜ao: completar quadrados).
17
1.3 Mudan¸ca de coordenadas
(d) Ainda supondo K = R, mostre que f ´e congruente a exatamente uma das cˆonicas seguintes: X 12 + X 22 1, X 12 X 22 1, X 12 X 2 , X 12 + X 22 + 1, X 12 + X 22 , X 12 X 22 , X 12 + 1, X 12 1, X 12 . Nos quatro primeiros tipos, S f tem posto 3; nos quatro seguintes, o posto ´e dois e no ´ultimo ´e um. (e) Supondo agora K = C, mostre que esses nove tipos de cˆonicas reduzem-se a apenas cinco: X 12 + X 22 1, X 12 X 2 , X 12 X 22 , X 12 1, X 12 .
−
− − −
−
−
−
−
−
−
28. Determine todas as afinidades que deixam invariante a c´ubica f = Y 2 X (X 1)(X λ), onde λ ´e uma constante. Distinguir os casos (λ = 0, λ = 1, . . . ).
−
−
−
18
Defini¸c˜oes Preliminares e Exemplos
Cap´ıtulo 2 Interse¸c˜ oes de Curvas Planas Vimos em alguns exemplos no cap´ıtulo I a importˆ ancia atribu´ıda desde a Antiguidade ao estudo da interse¸ca˜o de duas curvas. Descartes e Newton chegaram a proclamar que o interesse principal das curvas alg´ebricas seria fornecer solu¸co˜es geom´etricas a equa¸co˜es alg´ebricas por meio de interse¸ca˜o de curvas do menor grau poss´ıvel. Veja Dieudonn´e, [10], p.17. Apresentaremos neste cap´ıtulo alguns aspectos gerais do problema. Inicialmente, veremos que a interse¸ca˜o de duas curvas sem componentes em comum ´e finita. Descrevemos em seguida o processo da resultante para a determina¸c˜ao dos pontos de interse¸ca˜o. Finalizamos dando uma demonstra¸ca˜o de um caso particular do Nullstellensatz (teorema dos zeros) de Hilbert, o qual fornece uma condi¸c˜a o para que um sistema de equa¸c˜oes polinomiais admita solu¸ c˜ao.
2.1
Finitude da interse¸ c˜ ao
Comecemos destacando o argumento usado na demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o [1.4, p. 9].
2.2. Lema. Sejam f, g K [X, Y ] polinˆ omios sem fatores irredut´ıveis em comum. Ent˜ ao existe uma rela¸c˜ ao
∈
af + bg = c(X ),
∈
onde a, b K [X, Y ] enquanto c ´e um polinˆ omio apenas na vari´ avel X , n˜ ao nulo. Resultado an´ alogo vale trocando X por Y .
20
Interse¸co˜es de Curvas Planas
Demonstra¸ c˜ ao. Ponhamos A = K [X ], L = K (X ). Consideremos f, g como elementos de K [Y ]. Visto que f, g n˜ao admitem fator comum em A[Y ], tamb´em n˜ao o admitem em K [Y ] (leitor: por que?). Como K [Y ] ´e um dom´ınio de ideais principais (veja a proposi¸ca˜o [10.16, p. 139]), segue-se uma rela¸c˜ao rf + sg = 1 em K [Y ]. Eliminando denominadores de r, s, obtemos a rela¸ca˜o prometida.
∈
Se f K [X ] ´e um polinˆomio n˜ao constante, sabemos que a equa¸ca˜o umero finito de solu¸co˜ es. O pr´ oximo f (X ) = 0 admite no m´a ximo um n´ resultado ´e uma vers˜ao deste fato para polinˆomios em duas vari´aveis.
2.3. Proposi¸c˜ ao. O conjunto das solu¸c˜ oes de um sistema de duas equa¸c˜ oes polinomiais a duas inc´ ognitas sem fator irredut´ıvel em comum ´e finito. Reformulando em linguagem geom´etrica, temos, equivalentemente:
2.4. Proposi¸c˜ ao. A interse¸c˜ ao de duas curvas alg´ebricas planas sem componentes em comum ´e finita. Demonstra¸ c˜ ao. Apliquemos o lema 2.2 aos polinˆomios f, g n˜ao admitem fator em comum. Obtemos rela¸co˜es af + bg = c(X ),
∈ K [X, Y ] que
uf + vg = w(Y ),
onde a, b, . . . , w s˜ao polinˆ omios, c(X ), w(Y ) s˜a o n˜ao nulos e envolvem s´o a vari´avel indicada. Dessas rela¸co˜es ´e evidente que toda solu¸ca˜o de f = g = 0 tem para abscissa uma raiz de c(X ) e para ordenada uma raiz de w(Y ), todas em n´ umero finito.
2.5. Exemplo. Consideremos as interse¸co˜es da hip´erbole f : X Y = 1 com retas : aX + bY = c. A figura seguinte ilustra as possibilidades; as retas X = 0 e Y = 0 n˜ao cortam a hip´erbole (exceto no infinito...). Em geral, h´ a duas interse¸co˜es distintas, reais ou complexas (e.g.Y = X corta f nos pontos (i, i), ( i, i)). As retas
−
− −
21
2.1 Finitude da interse¸ca˜o
tangentes tˆem apenas um ponto de interse¸ca˜o que, intuitivamente, deve ser contado duas vezes. .. . .
... ... ... ... ...... ..... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..... . ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . ..... ... ..... ..... ..... ..... ..... .... . . ..... . . ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... .... . . . ..... .. ..... ..... ..... ............... ........ ..... .................. ..... . . . . . . ..... ..... ............................. ..... .... ............... ............... ..... ..... ................ ..... ........ ................ .......... ................ ..... . . ................ . . ... ...... ................ . . . ..... .. . . . . ..... . . . . ..... ... . . . . ..... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ..... . . . . ..... . . . .. ..... . . . . ..... . . . . .. ..... . . . . ..... . . . . . ..... . . . . . ..... .. . . . ..... . .. . ..... . . . . . ..... . . .. . ..... . . . . . ..... . . . ... ....
........................................... ........ .... ... ... ... ...
figura 2.1
2.6. Exerc´ıcios 29. Dados f = X 2 2Y 2 + X Y 2X + 5Y, g = X 2 + X Y + Y X 2, encontre polinˆomios a, b, c tais que af + bg = c(X ) como no lema [2.2, p. 19].
−
−
− −
30. Seja f = a0 Y m + a1 Y m−1 + , a0 = 0, um polinˆomio a coeficientes em um dom´ınio A. Mostre que, para todo g A[Y ] existem um inteiro i 0 e polinˆomios q, r A[Y ] tais que com r = 0 ou d◦r < m . ai0 g = qf + r, Suponha que A seja fatorial [10.23, p. 142] e f, g n˜ao admitam fator comum n˜ao constante. Deduza um algoritmo para construir uma rela¸c˜ao af +bg = c, onde a, b A[Y ], c A, c = 0. Al´em disso, a, b podem ser tomados de ◦ ◦ maneira que d a d g 1, d◦b d◦f 1.
···
∈
∈
≤
∈
−
∈
≥
≤ −
31. Prove que nenhum dos dois ramos do tra¸co real da hip´erbole X Y = 1 ´e, em separado, o tra¸co de uma curva alg´ebrica. Mesma quest˜ao para a c´ ubica 2 Y = X (X 1)(X + 1). (Veja fig. 1.8, p. 11).
−
32. Sejam f, g K [X, Y ] polinˆomios sem fator comum n˜ao constante. Prove que K [X, Y ]/ f, g ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. (Sugest˜ ao: existem r(X ), s(Y ) n˜ao nulos, no ideal f, g . O quociente K [X, Y ]/ r(X ), s(Y ) tem dimens˜ao finita.)
∈
22
2.2
Interse¸co˜es de Curvas Planas
A resultante
Como proceder para achar os pontos de interse¸ca˜o de duas curvas f, g? O m´etodo geral mais simples ´e o de selecionar uma das vari´ aveis, digamos X , para figurar como parte dos coeficientes. Isto ´e, consideramos f e g como polinˆ omios na vari´avel Y , a coeficientes no anel K [X ]. Tentamos ent˜ao encontrar os valores de x para os quais f (x, Y ) e g(x, Y ) admitem raiz comum. Geometricamente, queremos encontrar as proje¸c˜oes, sobre o eixo dos x, dos pontos de f g. Este processo, t´ıpico da chamada teoria da elimina¸ca˜o, repousa sobre o estudo da resultante de dois polinˆomios.
∩
2.7. Defini¸c˜ ao. Seja A um anel (comutativo, e.g., A = K [X ]), e sejam f = ad Y d + g = be Y e +
··· + a , ··· + b ,
(d (e
0
0
≥ 1) ≥ 1)
polinˆ omios a coeficientes em A. Definimos a resultante de f , g por
R = R f,g =
··· a ··· a a ············ ··· b ············
ad ad−1 ad
be
0 1
be−1
0
ad
······
a0
be
······
b0
0
×
,
determinante da matriz (d + e) (d + e), com e linhas de a’s e d linhas de b’s. Subentende-se que os espa¸cos em branco s˜ao preenchidos com zeros. Nesta defini¸c˜ao, os polinˆ omios f, g s˜ao considerados formalmente de graus a claro o grau formal d, e, embora ad , be possam ser nulos. O contexto deixar´ atribu´ıdo; quando n˜ao expl´ıcito, convencionamos atribuir o grau efetivo, i.e., o maior grau em que Y ocorre efetivamente. No caso em que estamos mais interessados, os coeficientes ai , b j s˜ao tamb´em polinˆomios em outras vari´aveis X 1 , X 2 , . . . , Xn . Escreveremos ent˜ao R(X 1 , X 2 , . . . , Xn ) para enfatizar que R ´e um polinˆomio nessas vari´ aveis.
2.8. Exemplo. Sejam f = Y 2 + X 2 R(X ) =
1 X 0
− 4, 0 X − 4 −1 0 X −1 2
− 1. Temos
g = X Y = X 4
2
− 4X + 1 .
23
2.2 A resultante Note que um processo “natural” para resolver o sistema
X 2 + Y 2 = 4 = 1 XY
seria substituir Y = 1/X na primeira equa¸c˜ao, resultando a equa¸ca˜o X 4
2
− 4X + 1 = 0.
Ou seja, as interse¸c˜oes do c´ırculo com a hip´erbole tˆem para abscissas as solu¸co˜es dessa u ´ ltima equa¸ca˜o resultante. A coincidˆencia n˜ao ´e acidental.
2.9. Proposi¸c˜ ao. Sejam
f = ad (X )Y d + g = be (X )Y e +
··· + a (X ), ··· + b (X ), 0
0
onde ai , b j s˜ ao polinˆ omios nas vari´ aveis X 1 , X 2 , . . . , a coeficientes no corpo K. Ent˜ ao, para cada x = (x1 , x2 , . . . ), temos Rf,g (x) = 0
⇐⇒
ad (x) = be (x) = 0 ou ao constante. f (x, Y ), g(x, Y ) admitem fator comum n˜
Demonstra¸ c˜ ao. Para cada x K , a resultante de f (x, Y ) e g(x, Y ) ´e obviamente R(x) (veja o exerc´ıcio 39, p. 26). Por outro lado, f (x, Y ) e g(x, Y ) admitem uma raiz y em comum se e s´o se admitem um fator n˜ao constante Y y. Portanto, o teorema resultar´a do seguinte.
∈
−
+ a0 , g = b e Y e + + b0 polinˆ omios 2.10. Lema. Sejam f = a d Y d + a coeficientes em um dom´ınio de fatora¸c˜ ao unica (veja ´ p. 142). Ent˜ ao
···
Rf,g = 0
⇐⇒
···
ad = be = 0 ou ao constante. f, g admitem fator comum n˜
Demonstra¸ c˜ ao. Digamos a d = 0. Ent˜ao f , g admitem fator comum h n˜ao constante se e s´o se existirem p, q A[Y ] n˜ao ambos nulos, com d◦ p d 1 e d◦ q e 1 tais que (2.1) qf = pg.
≤ −
∈
≤ −
24
Interse¸co˜es de Curvas Planas
Com efeito, se f = ph, g = qh, segue a rela¸c˜ao (2.1). Reciprocamente, visto que A[Y ] tamb´em ´e fatorial, a rela¸c˜ao (2.1) acarreta que algum fator irredut´ıvel de f ocorre em g, pois d◦ f > d ◦ p. Escrevendo
p = u0 Y d−1 + q = v0 Y e−1 +
··· + u ··· + v
d−1 ,
e−1 ,
a equa¸ca˜o (2.1) ´e equivalente ao sistema linear nas vari´ aveis ui , v j obtido comparando coeficientes, a saber, e−1
d−1
ad−i− j v j =
j=0
be−i−h uh ,
i = 0, . . . , d + e
h=0
− 1,
onde convencionamos por am = b n = 0 se m, n < 0, ou m > d, n > e. Ora, este sistema admite solu¸ca˜o n˜ao trivial se e s´o se ´e nulo o determinante da matriz dos coeficientes, o qual coincide com R f,g , a menos de sinal. Retornando ao problema da interse¸ca˜o de duas curvas f, g, observemos que Rf,g ´e identicamente nulo se e s´o se f, g admitem componentes em comum, caso em que f g n˜ao ´e finita. Quando a interse¸ca˜o ´e finita, podemos estimar o n´ umero de pontos contando o n´ umero de suas abscissas, que ´e limitado pelo grau da resultante R(X ). Este procedimento ´e muito grosseiro, pois podem ocorrer v´arios pontos de interse¸ca˜o com a mesma abscissa.
∩
2.11. Exemplo. Sejam f = X 2 + Y 2 ..... ......... ... .... .... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .... ... ... .. . .. .. ... .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ... ........ . . ..................................................................................................................................................................................................................................... .. ........ .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... .. .. figura .. .. .. .
... . . . . . . . . . . . . . 1• ...... .... ..... .... . ............... . . . .... .. ... ........... ... .... .. 1 • . . O... ........ .. . . .......... . . . .......... ... .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... −1 • ..
g = Y 2
− 2X,
− X .
A resultante ´e
R(X ) =
1 0 X 2 2X 1 0 X 2 2X 1 0 X 1 0 X
− −
= X 2 (X
2
− 1) .
− −
2.2
Nesse exemplo, o mero c´alculo da resultante n˜ao permite prever o n´umero de interse¸co˜es. A multiplicidade dois da raiz x = 0 pode ser interpretada, na
25
2.2 A resultante
figura, como causada pela tangˆencia. J´ a a raiz dupla x = 1 ´e devida ao fato de que h´a dois pontos de interse¸ca˜o com a mesma abscissa. Se trocarmos X por Y , eliminando X , obtemos R(Y ) =
−
1 2 Y 2 1 Y 2 1 Y 2
− −
= Y 2 (Y
− 1)(Y + 1).
Agora, os pontos de interse¸ca˜o aparecem fielmente refletidos nas ra´ızes da resultante. A multiplicidade dois da raiz y = 0 persiste, pois ela corresponde a um fenˆomeno geom´etrico, que diz respeito `a posi¸c˜ao relativa das curvas f e g, e n˜ao depende do particular sistema de coordenadas empregado. Voltaremos a esta discuss˜ao no cap´ıtulo V.
2.12. Exerc´ıcios 33. Resolva os sistemas: a)X (Y 2 X )2 = Y 5 , X 4 + Y 3 = X 2 . b)(X 2 + Y 2 )2 = X 2 Y 2 , X 2 + Y 2 = X
−
−
− 4.
34. Calcule a resultante do par de polinˆomios (a) f (X ) = aX 2 + bX + c, f (X ) = 2aX + b. (b) f (x) = (X a)(X b)(X c), g(X ) = (X d)(X e),(a , b , . . . , e constantes).
−
−
−
−
−
∈
35. Seja K um corpo e sejam f , g K [X ]. Mostre que se L ´e uma extens˜ao de K tal que f , g admitem um fator comum em L[X ], ent˜ao o mesmo ocorre j´a em K [X ]. Idem para polinˆomios a mais de uma vari´avel. 36. Seja K um corpo e sejam f , g, h K [X ] polinˆomios tais que f = g 2 h. Prove que f e sua derivada f s˜ao divis´ıveis por g. Reciprocamente, se f e f admitem um fator n˜ao constante g, ent˜ao g 2 divide f .
∈
37. Construa pares de cˆonicas f i , gi irredut´ıveis tais que f i gi consiste em i pontos distintos para i = 1, 2, 3, 4. Calcule as resultantes com rela¸ca˜o a X e com rela¸ca˜o a Y em cada caso.
∩
38. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que a resultante dos polinˆomios f = Y a e g = bn Y n + + b0 A[Y ] ´e igual a ( 1)n g(a).
−
···
∈
−
26
Interse¸co˜es de Curvas Planas
→
39. Seja ϕ : A B um homomorfismo de an´eis e denotemos pelo mesmo s´ımbolo o homomorfismo induzido A[Y ] B[Y ] definido por ϕ(Σai Y i ) = Σϕ(ai )Y i . Prove que ϕ(Rf,g ) = Rϕ(f ),ϕ(g) para todo f, g A[Y ], onde os graus formais atribuidos a ϕ(f ) e ϕ(g) s˜ao os mesmos de f, g.
2.3
→
∈
O grau da resultante
´ conveniente introduzir o conceito de dire¸c˜ E ao assint´ otica de uma curva f . Intuitivamente, trata-se de uma dire¸ca˜o limite de retas OP , onde P percorre f afastando-se indefinidamente de O.
2.13. Defini¸c˜ ao. Escreva
··· + f , onde cada f ´e homogˆeneo de grau i, e f = 0. Cada componente aX + bY f = f 0 + f 1 +
i
d
d
de f d ´e dita uma dire¸cao ˜ assint´ otica de f . (Veja o exerc´ıcio I.15(a), p. 12.)
2.14. Exemplos. (1) f = 1 XY tem as dire¸co˜es assint´oticas X e Y . (2) f = Y 2 X tem apenas a dire¸ca˜o assint´ otica Y . Note que aqui a dire¸ca˜o assint´ otica n˜ ao ´e uma ass´ıntota, no sentido da Geometria Anal´ıtica elementar (quando se fala em tangˆencia no infinito; veja os exemplos 4.8, p. 52, em especial as figuras.).
−
−
−
Calculando a resultante de cada uma dessas curvas com uma reta = Y (aX + b), o leitor verificar´a que o grau de Rf, ´e em geral 2, sendo menor somente se tem a mesma dire¸ca˜o assint´ otica que f .
2.15. Proposi¸ca ˜o. O grau da resultante de duas curvas sem dire¸c˜ ao assint´ otica em comum ´e igual ao produto dos graus. Em s´ımbolos, d◦Rf,g = (d◦ f )(d◦ g). A resultante aqui ´e tomada atribuindo-se a f, g seus graus efetivos com respeito `a vari´ avel Y .
Demonstra¸ c˜ ao. Para cada polinˆomio f =
i, f d = 0, ponhamos
f ∗ (X , Y , Z ) = Z d f 0 + Z d−1 f 1 +
d
f i , com f i homogˆeneo de grau
0
··· + Zf
d−1 +
f d ,
27
2.3 O grau da resultante
onde Z ´e uma nova vari´avel (independente de X, Y ) (veja a defini¸ca˜o 4.4, p. 49). Observemos que f ∗ ´e um polinˆ omio homogˆeneo de grau d = d◦ f , e evidentemente temos f ∗ (X,Y, 1) = f (X, Y ). Reescrevamos f ∗ , g∗ na forma f ∗ = A0 Y d + g ∗ = B0 Y e +
··· + A ··· + B
d
e
onde Ai , B j K [X, Z ] s˜ao homogˆeneos e d◦ Ai = i, a resultante A0 Ad
∈
R(X, Z ) =
d◦ B j = j . Calculemos
·················· A ······ A B ······ B ············ B ······ B 0
0
d
0
e
e
.
omio R(X, Z ) acima definido ´e homogˆeneo de grau d e, 2.16. Lema. O polinˆ se n˜ ao for identicamente nulo.
·
omio n˜ao nulo p(X 1 , . . . , Xn ) a n variDemonstra¸ c˜ ao. Em geral, um polinˆ ´aveis ´e homogˆeneo de grau m se e s´o se vale a identidade p(T X 1 , . . . , T Xn ) = T m p(X 1 , . . . , Xn ) em K [X 1 , . . . , Xn , T ], onde T ´e uma nova vari´avel independente. Com efeito, sendo p homogˆeneo, ´e imediato que a rela¸c˜ao vale. Reciprocamente, suponhamos v´alida a rela¸ca˜o e escrevamos + pr , p = p 0 + p1 + onde o lado direito ´e soma de polinˆomio homogˆeneos com d◦ pi = i, pr = 0. Abreviando X = (X 1 , . . . , Xn ), temos
···
p(T X ) = p 0 + T p1 +
r
··· + T p
r
= T m p
donde, (pela defini¸ca˜o de igualdade de polinˆ omios!), segue m = r e p = p m . Continuando a demonstra¸c˜ao do lema, mostremos agora que R(T X , T Z ) = T de R(X, Z ) em K [X,Z,T ]. Ora,
R(T X , T Z ) =
A0 T A1 .. . B0 .. .
A0
.. . T B1 .. .
··· ··· ···
T d Ad T d−1 Ad−1 .. . .. . .. .
T d Ad .. . .. . T e Be .. .. . .
···
.
28
Interse¸co˜es de Curvas Planas
Multiplicamos a segunda linha por T , a terceira por T 2 , . . . , a e ´esima por ´ ltima por T d−1 . Resulta que a T e−1 , a segunda linha de B’s por T, . . . , a u 2a coluna fica divis´ıvel por T , a 3a por T 2 , etc . Obtemos
−
T N R(T X , T Z ) = T M R(X, Z ), onde N = (1 + Logo,
··· + e − 1)+(1+ ··· + d − 1),
M = 1 + 2 +
··· + d + e − 1.
− N = (d + e)(d2+ e − 1) − e(e 2− 1) − d(d 2− 1) = d · e.
M
Para completar a demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o 2.15 vamos comparar R(X, Z ) ´ evidente que R(X, 1) ´e a resultante com R(X ). Veja o exerc´ıcio [39, p. 26]. E de f, g considerados formalmente como polinˆomios em Y de graus d, e. Agora observemos que os coeficientes A 0 , B0 de Y d e Y e em f ∗ e g ∗ s˜ao constantes, sendo nulos se e s´o se Y d e Y e n˜ao ocorrem em f d e g e respectivamente. Esta u ´ ltima condi¸ca˜o ´e equivalente `a condi¸ca˜o de X ser fator de f d . Como f, g n˜ao tˆem dire¸co˜es assint´oticas em comum, segue-se que, por exemplo, A 0 = 0. Seja j o menor ´ındice tal que B j = 0. Desenvolvendo o determinante que define R(X, Z ) pelas j primeiras colunas, obtemos
R(X, 1) = A j0 R(X ). Visto que f, g n˜ao tˆem dire¸ca˜o assint´ otica em comum, em particular n˜ao tˆem componente em comum. Logo R(X ) = 0 e portanto R(X, Z ) = 0. Assim, o grau de R(X, Z ) ´e d e. Segue-se que R(X, 1) tem grau d e, a menos que ´ ltimo caso, R(1, 0) = 0, acarretando R(X, Z ) seja m´ultiplo de Z . Mas neste u
·
·
f ∗ (1, y, 0) = g ∗ (1, y, 0) para algum y, donde f d (1, y) = ge (1, y) = 0. Segue que f, g admitiriam ambos a dire¸ca˜o assint´ otica yX Y , proibido por hip´otese.
−
2.17. Exerc´ıcios
···
∈
40. Seja f = f 0 + f 1 + + f d , onde cada f i K [X, Y ] ´e homogˆeneo de grau i e f d = 0. Prove que f (X,aX + b) tem grau exatamente igual a d se e s´o se a reta Y = aX + b tem dire¸ca˜o assint´ otica distinta das de f .
29
2.4 O teorema dos zeros
41. Sejam f = a0 X d + a1 X d−1 Y + g = b0 X e + b1 X e−1 Y +
d
··· + a Y , ··· + b Y , d
e
e
polinˆomios homogˆeneos = 0 a coeficientes em K . Mostre que f, g admitem uma dire¸ca˜o assint´ otica comum se e s´o se a resultante de f (1, Y ) e g(1, Y ) ´e nula.
42. Prove que o grau da resultante de duas curvas sem componente comum ´e sempre menor do que ou igual ao produto dos graus, com igualdade somente na situa¸c˜ao da proposi¸ca˜o [2.15, p. 26].
2.4
O teorema dos zeros
Finalizamos este cap´ıtulo discutindo uma vers˜ao particular do c´elebre Nullstellensatz de Hilbert. Trata-se de elucidar em que condi¸c˜oes um sistema de equa¸co˜es polinomiais admite solu¸c˜ao. Observemos inicialmente que, dado um sistema de equa¸co˜es, f 1 =
··· = f
N
= 0,
toda solu¸ca˜o ´e tamb´em solu¸c˜ao de qualquer equa¸c˜ao do tipo g1 f 1 +
··· + g
N f N
= 0,
onde os gi ’s s˜ao polinˆ omios arbitr´arios. Denotemos por I o ideal gerado pelos f 1 , . . . , fN , ou seja, o conjunto de todos os polinˆomios da forma Σg j f j . Dizemos que um ponto P ´e um zero do ideal I se f (P ) = 0 para todo ´ evidente que o conjunto dos zeros de I coincide com o conjunto das f I . E solu¸co˜es do sistema proposto. Por outro lado, se o polinˆomio constante 1 pertence a I , ´e claro que I n˜ao admite zero. O Nullstellensatz afirma que, reciprocamente, se I ´e um ideal pr´ oprio do anel dos polinˆomios a coeficientes num corpo algebricamente fechado, ent˜ao I admite um zero. Vamos nos ater ao caso de duas vari´aveis. Lembremos que um ideal I K [X, Y ] ´e pr´oprio se e s´o se estiver contido em algum ideal maximal. Por exemplo, um ideal de K [X, Y ] da forma
∈
⊂
m
− x, Y − y,
= X
30
−
Interse¸co˜es de Curvas Planas
−
i.e., gerado por X x, Y y, onde x, y s˜ao constantes, ´e maximal, pois ´e o n´ucleo do epimorfismo “substituir X = x, Y = y”, K [X, Y ] f (X, Y )
−→ −→
K f (x, y).
(Veja o Apˆendice, exerc´ıcio [165, p. 138]) Agora observemos que, se I estiver contido no ideal X x, Y y ent˜ao P = (x, y) ´e um zero de I , e reciprocamente. Este argumento mostra que o Nullstellensatz ´e conseq¨ uˆencia imediata do seguinte resultado.
−
−
2.18. Proposi¸c˜ ao. Se K ´e um corpo algebricamente fechado, ent˜ ao todo ideal maximal m de K [X, Y ] ´e do tipo X x, Y y para algum ponto (x, y) K 2 . Observemos que ´e essencial aqui a hip´otese de fechamento alg´ebrico. O ideal X 2 + 1, Y de R [X, Y ] ´e maximal e n˜ao admite zero real.
−
∈
−
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Seja f m um polinˆomio n˜ao constante. (Leitor: justifique a existˆencia de f ). Podemos supor f irredut´ıvel porque “maximal primo”. Sendo K algebricamente fechado, n˜ao h´a dificuldade em se garantir a existˆencia de um zero de f ; digamos f (x0 , y0 ) = 0. Se m = X x0 , Y y0 , ponto final. Se n˜ao, existe g m tal que g(x0 , y0 ) = 0. Em particular, f n˜ao divide g. Aplicando o lema [2.2, p. 19] obtemos uma rela¸ca˜o af +bg = c, onde c ´e um polinˆomio n˜ao constante de uma s´o vari´avel, seja X ou Y , `a nossa escolha. Visto que c ımos que m cont´em elementos da forma m, conclu´ X x, Y y. (Este ´e outro ponto em que a hip´otese sobre K ´e imprescind´ıvel). Tendo em conta que X x, Y y e´ maximal, conclu´ımos que X x, Y y = m.
∈
− −
− −
−
⇒ −
∈
−
−
2.19. Exerc´ıcios 43. Seja f uma curva e seja A = K [X, Y ]/(f ). Mostre que os ideais maximais de A est˜ao em correspondˆencia bijetiva natural com os pontos (x, y) tais que f (x, y) = 0, i.e., com os pontos do tra¸co de f . 44. Seja S um subconjunto de K 2 . Mostre que S ´e o conjunto das solu¸co˜es de um sistema de equa¸c˜oes polinomiais f 1 (X, Y ) = f 2 (X, Y ) = 0 se e somente se S = K 2 ou S = φ ou S = uni˜ao de um n´ umero finito de curvas irredut´ıveis e de um conjunto finito de pontos.
31
2.4 O teorema dos zeros
45. Verifique se a demonstra¸c˜ao da proposi¸ca˜o 2.18 se aplica para concluir um resultado an´alogo em mais de duas vari´aveis. 46. Mostree que os ideais maximais de R[X, Y ] s˜a o da forma f, g com d◦ f = 1 e d◦ g 2.
≤
32
Interse¸co˜es de Curvas Planas
Cap´ıtulo 3 Multiplicidades A no¸ca˜o de multiplicidade ´e central na teoria de curvas alg´ebricas. Historicamente, descende do simples fato de que todo polinˆomio de grau n em uma vari´ avel admite exatamente n ra´ızes, contadas com as devidas multiplicidades. Isto significa, intuitivamente, atribuir um peso que indica quantas ra´ızes coincidem com um mesmo valor. As sucessivas extens˜ oes do conceito de multiplicidade marcaram avan¸cos importantes na a´lgebra e na geometria (veja o cl´assico de Serre, [30]). Nosso objetivo ´e dar um sentido preciso `a id´eia de uma curva passar um certo n´ umero de vezes por um mesmo ponto. A multiplicidade ou ´ındice de interse¸ca˜o, que avalia a ordem de contato ou tangˆencia entre duas curvas, merece tratamento rigoroso e ser´a o principal t´opico tratado neste cap´ıtulo.
3.1
Interse¸ ca ˜o de uma curva com uma reta
Seja f uma curva, e seja uma reta de equa¸ca˜o Y = aX + b. Os pontos de f podem ser obtidos eliminando Y e resolvendo a equa¸ca˜o
∩
f (X ) := f (X,aX + b) = 0. Eis as possibilidades: (1) f (X ) ´e identicamente nulo, caso em que ´e uma componente de f ; (2) f (X ) ´e uma constante = 0, quando f = φ. (3) f (X ) ´e um polinˆomio n˜ ao constante, decompondo-se na forma
∩
r
f (X ) = c
i=1
− x )
(X
i
mi
,
34
Multiplicidades
onde c ´e uma constante e os xi s˜ao as abscissas (duas a duas distintas) dos pontos de interse¸ca˜o. Procede-se de maneira evidente quando ´e da forma X = cY + d.
3.1. Lema. Os inteiros mi independem do referencial afim . Demonstra¸ c˜ ao. O processo de substituir Y = aX + b em um polinˆomio g(X, Y ) define um epimorfismo K [X, Y ] g
−→ −→
K [X ] g(X,aX + b),
− −→
cujo n´ ucleo ´e o ideal gerado por = Y (aX + b). Logo, obtemos um isomorfismo ∼ K [X, Y ]/ K [X ] tal que a classe f de f m´odulo corresponde a f . Visto que K [X ] ´e fatorial, `a decomposi¸c˜ao (X xi )mi de f corresponde uma (´ unica!) decomposi¸ca˜o de f em fatores irredut´ıveis, com o mesmo n´umero r de fatores irredut´ıveis distintos, o i-´esimo repetido m i vezes. Agora, se T ´e uma afinidade, T induz um isomorfismo (1.9)
−
∼
→
K [X, Y ]/
K [X, Y ]/ T •
tal que f + e T • f + T • se correspondem, juntamente com as decom posi¸co˜es em fatores irredut´ıveis.
3.2. Defini¸ca ˜o. A multiplicidade ou ´ındice de interse¸c˜ ao de , f no ponto P ´e dada por
∞ 0
(, f )P =
mi
Se
∈ ∩ ∈ ⊂
se P f se P f se P = (xi , axi + b) como no caso (3) acima.
⊂ f , chamamos o inteiro r
◦
−
m∞ := d f
mi
i=1
de multiplicidade de interse¸c˜ ao de , f no ponto impr´ oprio ou ponto de no infinito.
35
3.1 Interse¸c˜ao de uma curva com uma reta
Deixamos a cargo do leitor a verifica¸ca˜o de que m∞ ´e positivo se e s´o se a dire¸ca˜o de ´e uma dire¸ca˜o assint´ otica de f . O significado intuitivo dessas multiplicidades ´e que, arbitrariamente pr´oximo a` curva f , existem curvas do mesmo grau que cortam em d◦ f pontos distintos, mi dos quais est˜ao pr´oximos a (xi , axi + b), os m∞ restantes distanciando-se para sobre .
∞
3.3. Exemplos. (1) Sejam 2
− X ,
f = Y
− (aX + b).
= Y
... . ... ... . .... . . . . .... .. . ..... . ....... ........ ..............
Se a 2 + 4b = 0, temos dois pontos de interse¸c˜ao distintos. Se a2 + 4b = 0, temos um s´o, com multiplicidade 2.
.. ........................ ........................ ....................... ........................ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ...... ........................ ..... ........................ ..... ....................... ...... . . . . . .... ...... ..... ..... . . . . . ..... ...... ...... ..... . . . . . ..... ..... ...... ..... . . . figura 3.1 . . ..
O
(2) Sejam 3
− X ,
f = Y
= aX + bY + c.
Se b = 0 = a = c, temos uma interse¸c˜ao na origem, com multiplicidade 3. Se a = 0 = b, temos uma interse¸ca˜o a distˆancia finita, com multiplicidade 1, e outra no infinito, com multiplicidade 2. Se b = 0, podemos ter 1, dois ou trˆes pontos de interse¸ca˜o, todos a distˆ ancia finita.
...... ...... . . . .................. . . . ......... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... .. .... ....................... ......... . . . . . . ........... ... . figura 3.2
(3) Sejam f = Y 2
2
− X (X + 1),
− aX.
a = Y
36
Multiplicidades
−1
..... .. ..... .... ..... .... .... ..... . . . ..... . ..... .... ..... ..... ..... ..... .... ..... . . . ..... .... ..... ..... ..... .... ..... ..... . . ..... . ... ..... .... ..... ..... ..... ..... . ..... . . . ..... ...... ........ ..... ..... ........ . . . . ..... . . . . . ..... . . . . . ..... ... ..... ..... . ..... . . . . . ..... . . .. . ..... . . . ..... .. . . . . ..... . . . . ..... .. . . . . ..... .. . . . ..... . . . . ..... . .. . . ..... . . .. . ..... . . .. ..... . . . . . ..... . . . .. .
. . . . . . . . . . . . . . .... .............. .. . ...... ... ... . ...... ..... .. ..... ... .. .. ... O... ..... .. ..... . ... . . . .... ..... ... . . . .... . . . ... ... ... .... ............... .... .
A origem O absorve pelo menos duas interse¸c˜oes. Se a = 1, a multiplicidade de interse¸ca˜o (, f )O = 3.
±
+1
figura 3.3
3.2
Pontos m´ ultiplos
Apresentamos nesta se¸ca˜o a no¸c˜ao de multiplicidade de um ponto sobre uma curva.
3.4. Proposi¸c˜ ao. Seja f uma curva e seja P um ponto de f . Existe um inteiro m = m P (f ) 1, tal que, para toda reta passando por P , temos
≥
≥ m,
(, f )P
ocorrendo a desigualdade estrita para no m´ aximo m retas e no m´ınimo uma.
Demonstra¸ c˜ ao. Suporemos, sem perda de generalidade, P = O. Escrevamos + f d , f = f m +
··· com f homogˆeneo de grau i para m ≤ i ≤ d, e f = 0. Lembrando que ario, podemos supor P ∈ f , temos m ≥ 1. Mudando coordenadas se necess´ que X | f . O leitor verificar´a facilmente que ) f (0, Y ) = Y (f (0, 1) + ··· + f (0, 1)Y e f (0, 1) = 0. Da´ı segue que (X, f ) = m. Para as demais retas passando por O, ponhamos = Y − tX . Temos ent˜ao, f (X,tX ) = X (f (1, t) + f (1, t)X + ··· + f (1, t)X ). i
m
m
m
m
m
d
d−m
O
t
m
m
m+1
Deduzimos que
≥ m,
(t , f )O
d
d−m
37
3.2 Pontos m´ ultiplos
≥
|
ocorrendo igualdade se e s´o se f m (1, t) = 0. Como X f m , segue-se que f m (1, t) ´e um polinˆomio em t de grau m ( 1) e que portanto se anula para ao menos um e no m´aximo m valores de t distintos.
3.5. Defini¸ca ˜o. O inteiro m = mP (f ) descrito na proposi¸ca˜o acima ´e a multiplicidade do ponto P na curva f ou multiplicidade de f em P .
∈
Se P f , convencionamos m P (f ) = 0. Se P = (x, y) f , escrevemos
∈
f (X + x, Y + y) = f m (X, Y ) + (termos de grau > m). O polinˆomio homogˆeneo f m (X, Y ) pode ser decomposto de maneira u ´ nica, f m =
(ai X + bi Y )ei ,
onde os fatores lineares a i X + bi Y s˜ao retas distintas. As retas
− x) + b (Y − y)
i = a i (X
i
s˜a o as retas tangentes de f em P . O expoente ei ´e a multiplicidade da tangente i . A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o 3.4 mostra que (, f )P > m = mP (f ) justamente para igual a uma das retas tangentes a f em P . Dizemos que um ponto P de uma curva f ´e liso, ou n˜ ao singular ou simples em f e que f ´e lisa, ou n˜ ao singular ou simples em P se m P (f ) = 1; singular caso contr´ario. A curva f ´e lisa ou n˜ ao singular se m P (f ) = 1 para cada P f . Se m P (f ) = 2, 3, . . . , m, P ´e dito um ponto duplo, triplo, ..., muplo. Um ponto m-uplo P f ´e ordin´ ario se f admitir m tangentes distintas no ponto P . Uma c´ uspide ´e um ponto duplo com tangentes coincidentes. Um n´ o ´e um ponto duplo ordin´ario.
∈
∈
3.6. Proposi¸c˜ ao. (1) Um ponto P f ´e liso se e s´ o se ao menos uma das derivadas parciais ao se anula em P . f X , f Y n˜ (2) Se P = (a, b) f ´e liso ent˜ ao a (´ unica!) tangente a f em P ´e dada por
∈ ∈
− a) + f (P )(Y − b) = 0.
f X (P )(X
Y
39
3.2 Pontos m´ ultiplos
4) Singularidade real isolada: X 2 + Y 2 = X 3 .
5) Ros´acea de 3 p´etalas : 2
2 2
(X + Y ) = Y
3
2
− 3X Y
A origem ´e um ponto triplo ordin´ ario.
.. . . .. . . . . ... . . . . . ... . . . . . . .. . . . ...... • ....... ...... ... figura 3.7 .... ..... ..... ... ........... .... ... ... .. ... .. .................... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .... ...... ... ... ... .... .......... .. ....... ............ ....... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .. ... . . ... .. ... ... ... .. ... ... . . ... .. ... ... ... ... ... .. . ... . ... .... ... .. ...... ... .. ... . .. ..... . . ... .. . ... .. ... ... ... ... . ... . . ... . .. ... . ... .. . .. ..
figura 3.8
ultiplas, ent˜ ao o 3.8. Proposi¸c˜ ao. Se f ´e uma curva sem componentes m´ conjunto dos pontos singulares de f ´e finito.
Demonstra¸ c˜ ao. Lembremos que uma componente irredut´ıvel p de f ´e 2 m´ultipla se p f (veja o exerc´ıcio [36, p. 25]. Pela proposi¸ca˜o anterior, o con junto dos pontos singulares ´e dado pelas equa¸co˜es
|
f = f X = f Y = 0 Ora, ao menos uma das derivadas parciais, digamos f X , ´e n˜ao identicamente nula. (Leitor: por que?). Afirmamos que f = f X = 0 admite s´o um n´ umero finito de solu¸co˜es. Do contr´ario, pela proposi¸c˜ao [2.4, p. 20], existiria componente irredut´ıvel p comum a f e f X . Mas isto acarreta que p2 f , absurdo.
|
ultiplas. Ent˜ ao, 3.9. Proposi¸c˜ ao. Seja f uma curva sem componentes m´ para cada ponto P do plano, e para cada reta contendo P , com exce¸c˜ ao de ◦ um n´ umero finito, encontra f fora de P em d f mP (f ) pontos distintos. (Intuitivamente, um ponto de multiplicidade m absorve m interse¸co˜es de f , as demais sendo, em geral, distintas).
−
∩
40
Multiplicidades
Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos inicialmente f irredut´ıvel. Sem perda de generalidade, podemos supor P = (0, 0). Ponhamos m = m P (f ), d = d◦ f e lembremos a conven¸ca˜o m = 0 P f . Podemos escrever
⇐⇒ ∈
f = f m +
··· + f ,
com f i homogˆeneo de grau i para m indeterminada. Definamos
≤ i ≤ d
d
e f m f d = 0. Seja T uma nova
g(X, T ) := X −m f (X , T X ) = f m (1, T ) +
d−m
··· + X
f d (1, T ).
O leitor verificar´a sem dificuldade que g(X, T ) ´e irredut´ıvel em K [X, T ]. Em particular, gX e g n˜ao tˆem componente em comum. Logo, existe um n´umero finito de valores t de T para os quais g(X, t) e gX (X, t) admitem raiz comum. (Essas s˜ao as ra´ızes m´ultiplas de g(X, t)). Evitando o n´umero tamb´em finito de valores que anulam f m (1, T )f d (1, T ), conclu´ımos que g(X, t) ´e um polinˆ omio em X de grau d m, com esse mesmo n´umero de ra´ızes distintas, e todas = 0. Tendo em conta que
−
f (X,tX ) = X m g(X, t), conclu´ımos que a reta Y = tX encontra f conforme anunciado. Para o caso geral (f possivelmente redut´ıvel), aplicamos a parte j´a demonstrada para cada componente.
3.3
Diagrama de Newton
Finalizamos o cap´ıtulo descrevendo o diagrama de Newton , um m´etodo pr´atico para esbo¸car o tra¸co real de uma curva na vizinhan¸c a de um de seus pontos. Para cada termo a ij X i Y j efetivamente presente na equa¸ca˜o da curva, marcamos o ponto (i, j) em um novo plano. Tra¸camos em seguida aqueles segmentos ligando dois ou mais desses pontos, com a propriedade de que a reta determinada isola os demais pontos no semi-plano oposto ao da origem. Antes de prosseguirmos, tomemos por exemplo X 5 5XY 2 +2Y 5 = 0 para fixar as id´eias. A primeira figura ´e o diagrama de Newton; a segunda,
−
41
3.3 Diagrama de Newton um co do tra¸co real de f , pr´oximo a` origem. j esbo¸ 5 •... ... ... . − 4 .... ... ... . .... ... . .... . . . . . . − . . . 3 ... .... ..... ..... . ..... . . ... . . ....... . ...... ..... . . . . . . . . . . . ..... ..... ... ... ... . . . . . . . . . . ..... .. ..... .. •................... 2− .. . . . . . ... .......... .......... .......... .......... 1− .......... .......... .......... ....•. i | | | | 1
2
3
4
· · · · · ···
5
·
··· ·· · ··· ··· ··· ·· ·
·
· · · · · · ··
figura 3.9
Os termos correspondentes aos pontos (i, j) em um dado segmento, fatorando-se X ou Y , d˜ao uma boa aproxima¸c˜ao da curva pr´oximo a` origem. No exemplo, o segmento que une (0, 5) a (1, 2) fornece 2Y 5 5XY 2 , do qual retemos 2Y 3 5X . Esta ´e a parte do tra¸c o de f desenhada em pontilhado. O segundo segmento d´a X 5 5XY 2 , da´ı o par de par´ abolas 2 5Y marcadas em tracejado. X = Outro exemplo: X 4 + 2X 2 Y 2 + Y 4 = Y 3 3X 2 Y j −
−
±√
4
−
−
−
•
3 −.....
• ...
2−
1
0
−
..... ..... ..... ..... • ..... ..... ..... ..... ...•.... .......... .......... .......... .......... .......... ....•| i | | | 1
2
3
·
.. .. ... .. .. .. .. .. ... .. .... .. .. ... .. ... .. .. ..
·········· · · · · · · · ··· ···
·
4
figura 3.10
O segmento (0, 3)(2, 1) seleciona Y 3 3X 2 Y ; cancelando o fator Y , obtemos o par de retas Y 2 = 3X 2 . O outro segmento corresponde a` par´abola X 2 = 3Y . Compare com a figura 3.8, p. 39. Sem entrar em maiores detalhes, o m´etodo funciona porque cada segmento do diagrama seleciona termos da equa¸c˜a o que s˜ao infinit´esimos de mesma
−
−
42
Multiplicidades
ordem, os demais pontos no semiplano oposto ao da origem representando termos de ordem superior. Veja Dieudonn´e, [12] p. 106.
3.10. Exerc´ıcios 47. Analise as interse¸c˜oes de X + Y = 2 com X Y = 1 + ε para ε
→ 0.
48. Determine os pontos singulares com suas respectivas multiplicidades e retas tangentes e esboce as curvas: a) X 3 3XY 2 + X 4 + Y 4 + 2X 2 Y 2 = 0. b) Y 5 5Y X 2 + 2X 5 . c) Y 2 X X 2 Y 2 + X = 0. d) Reveja os exemplos e exerc´ıcios do cap´ıtulo I.
− − − −
49. Mostre que se uma cˆonica ´e singular, ela ´e redut´ıvel. Vale a rec´ıproca? 50. Mostre que m P (f ) ´e o menor inteiro m tal que alguma derivada parcial de f de ordem m ´e = 0 em P .
51. Dizemos que um ponto P sobre uma curva f ´e um ponto de inflex˜ ao se P ´e n˜ao singular e (, f )P 3. a) Cˆonicas irredut´ıveis n˜ao admitem pontos de inflex˜ao. b) Escrevendo f = f 1 + f 2 + com f i K [X, Y ] homogˆeneo de grau i, mostre que P = (0, 0) ´e um ponto de inflex˜ao se e s´o se f 1 ´e uma componente de f 2 .
≥
···
∈
52. Determine os pontos de inflex˜ao das curvas seguintes: a) Y = X 3 ; b) Y = Y X 2 + X 3 ; c) X 3 + Y 3 + 3XY = 0; d) X 3 + Y 3 + (X + Y + 1)3 + 3XY (X + Y + 1) = 0; e) (X 2 + Y 2 )2 = X 2 Y 2 .
−
53. Mostre que, se f ´e uma curva irredut´ıvel e d◦ f 2, ent˜ao mP (f ) d◦ f 1 para todo P . Para cada d 2, dˆe um exemplo de curva irredut´ıvel de grau d tendo a origem como ponto (d 1)-uplo ordin´ario, e sendo lisa nos demais pontos.
−
≥
≥
≤
−
54. Mostre que uma curva redut´ıvel ´e singular em cada ponto de interse¸ca˜o de duas componentes. Dˆe um exemplo de curva redut´ıvel n˜ao singular.
3.3 Diagrama de Newton
43
≥
55. Sejam m um inteiro 2 e p(X ) um polinˆomio de uma vari´avel. Prove que uma curva do tipo Y m = p(X ) ´e n˜ao singular so e s´o se p(X ) n˜ao possui ra´ızes m´ ultiplas. 56. Mostre que a condi¸c˜ao para que um dado ponto P seja m-uplo para uma curva geral f de grau d m se expressa por um sistema de (m + 1)m/2 equa¸co˜es lineares independentes, nos coeficientes de f .
≥
ubica que os cont´em com 57. Por trˆes pontos arbitr´arios passa sempre uma c´ multiplicidade 2. Se existirem duas tais c´ ubicas, ent˜ao os trˆes pontos s˜ ao colineares e de fato existe uma infinidade.
58. Complete os detalhes da demonstra¸c˜ao da proposi¸ca˜o [3.9, p. 39] no caso em que f ´e redut´ıvel.
44
Multiplicidades
Cap´ıtulo 4 Pontos no infinito As retas aX + bY + c, aX + bY + c (c = c ) n˜ao se cruzam a distˆancia finita; a par´abola Y = X 2 e a reta X = 0, bem como a hip´erbole XY = 1 junto com os eixos coordenados s˜ ao mais evidˆ encia de que essas interse¸c˜oes que est˜ao “faltando”, e at´e o presente vˆem sendo tratadas como “dire¸c˜oes assint´ oticas”, devem ser melhor estudadas.
O desejo de dar um tratamento rigoroso a esses “pontos que deviam estar l´a” nos levar´a a introduzir de maneira sistem´atica os pontos no infinito. Esses “pontos” ser˜ao apresentados inicialmente como entes de natureza aparentemente diversa dos pontos usuais do plano afim. Mas logo veremos ser poss´ıvel, e mesmo recomend´avel, eliminar as aspas; os novos pontos n˜ao merecer˜ao no final nenhuma distin¸ca˜o especial com rela¸ca˜o a seus parceiros atualmente dados a distˆancia finita. A id´eia original de acrescentar ao plano usual uma reta no infinito, constituindo um plano pro jetivo, e´ devida a Desargues. Seu livro, publicado em 1639, pretendia dar uma fundamenta¸ca˜o matem´atica aos m´etodos de perspectiva empregados pelos pintores e arquitetos. A concep¸ca˜o de Desargues do plano projetivo ´e, em essˆencia, a que vamos descrever.
46
Pontos no infinito
4.1
O plano projetivo
Consideremos o plano afim mergulhado no espa¸co tridimensional como o plano π de equa¸ca˜o Z = 1. z ...
..... ... . ... .......... .... ....... ·· .................. .. . . .. .•·.·........···.... ... ............................ . . . . ............... .....·.··.....···..............·•.....................·..·..·•· ....................... ... ..........•.·..·......... ··· ·· ··· ··.·..·............ . . . . . . . . . . ·· ·· ·· ·· ·· ··· ........·•..................... .... . . . . ···· ············ · · · · · · · · · ........... . . . . . ········· · · · · .. . ............... . . . . · · · · · · · · · ....... .............. ............... · · · · · . ............... . . . . · . . . . .............. . . . . ................ π..... . . . ........... ....y . . ......... . . . . . . ... . . . . ... . . . . figura 4.1 . x..........
Cada ponto do plano π determina uma reta passando pela origem e pelo dado ponto. Cada reta de π determina um plano pela origem. Se as retas , π se encontram, seu ponto de interse¸ca˜o d´a lugar `a reta de interse¸ca˜o dos dois planos associados a , . Quando as retas , π s˜ao paralelas, os planos que elas definem ainda se cruzam, desta feita ao longo de uma reta passando pela origem e contida no plano Z = 0.
⊂
⊂
4.1. Defini¸c˜ ao. O plano projetivo P2 ´e o conjunto das retas do espa¸co tridimensional passando pela origem. Do exposto acima, vemos que o plano π se identifica naturalmente com um subconjunto de P2 que ainda denotaremos por π. Os pontos de P2 π s˜ao chamados de pontos no infinito. Denotamos por (x : y : z ) o ponto de P2 que representa a reta ligando a origem O a um ponto (x,y,z ) = O. Dizemos que x, y, z s˜ao coordenadas homogˆeneas do ponto (x : y : z ) relativas `a base canˆonica (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) .
−
{
}
47
4.2 Espa¸cos projetivos Por defini¸ca˜o, temos que (x : y : z ) = (x : y : z ) existe constante t = 0 tal que (x,y,z ) = t(x , y , z ).
⇐⇒
Em geral, fixada uma base qualquer no espa¸co tridimensional, as coordenadas de um ponto = 0 relativas a essa base s˜ao chamadas de coordenadas homogˆeneas do ponto correspondente de P2 . Coordenadas homogˆeneas de um ponto de P2 (relativas a uma base prefixada) s´o est˜ao bem definidas a menos de um fator escalar = 0. Vamos nos servir da aplica¸ca˜o,
q : R3
2
− {0} −→ P (x,y,z ) −→ (x : y : z )
para introduzir uma topologia em P2 , a topologia quociente. Dizemos que um subconjunto U P 2 ´e aberto se q −1 (U ) ´e aberto em R3 0 com sua topologia usual. Estabelecemos assim em P2 uma no¸c˜ao de vizinhan¸ca, segundo a qual dois pontos de P 2 est˜ao “pr´oximos” se as retas associadas em R3 formam um ˆangulo “pequeno”. O subconjunto de P 2 ,
⊂
−{ }
A2 = (x : y : z ) z = 0 ,
{
| }
´e aberto e denso em P2 , pois q −1 (A2 ) ´e o complementar do plano z = 0 em 0 . R3 e ´e evidentemente aberto e denso em R 3 Pode-se mostrar que a aplica¸ca˜o
−{ }
R2 (x, y)
−→ −→
A2
⊂P
2
(x : y : 1)
´e uma bije¸c˜ao cont´ınua, com inversa tamb´em cont´ınua. Desta maneira, passamos a considerar o plano afim R2 como contido em P2 , identificando-o com A2.
4.2
Espa¸cos projetivos
Considera¸c˜oes an´alogas se aplicam, mais geralmente, para a defini¸ c˜a o do espa¸co projetivo associado a um espa¸co vetorial V de dimens˜ao arbitr´aria sobre um corpo K .
48
Pontos no infinito
4.2. Defini¸ca ˜o. O espa¸co projetivo P (V ) associado a um espa¸co vetorial V ´e o conjunto dos subespa¸cos de V de dimens˜ao 1. Se V = K n+1 , escrevemos P nK = P (V ), ou simplesmente P n . As coordenadas homogˆeneas de um ponto P P (V ) relativas a uma base v0 , . . . , vn de V s˜ao as coordenadas (x0 , . . . , xn ) de um vetor n˜ao nulo do subespa¸co unidimensional representado por P . Fixada a base, escrevemos P = (x0 : : x n ) para indicar um ponto com essas coordenadas homogˆeneas. Para cada i = 0, . . . , n, o subconjunto de P n
{
∈
}
···
{
U i = (x0 :
··· : x )|x = 0 } n
i
pode ser identificado com K n atrav´es da bije¸c˜ao x0 x n (x0 : : x n ) ( , . . . , ) (omitir xi xi
···
←→
xi ). xi
Convencionamos escrever An = U n ; salvo men¸ca˜o em contr´ario, identificamos K n com A n Pn . O complementar de An em Pn consiste em pontos da forma (x0 : : n n n−1 xn−1 : 0). Desta maneira, P A identifica-se a um P , que convencionamos chamar hiperplano no infinito . (Veja o exerc´ıcio [68, p. 54], b)). Em particular, P 0 consiste em um s´o ponto. J´a P 1 , a reta projetiva , ´e a reta usual A 1 com um ponto extra no infinito. Quando K = R, podemos visualizar a reta projetiva real P1 (R) como a circunferˆencia, com o ponto no infinito indicado na figura:
⊂
· ··
−
∞
figura 4.2
.......... ............·...···•·· ..................... . . . . . ..... .... · · ·· · .... ..... · · · · ··· ·· ... · .. · · · ... · .. · · ·· · ... . · · · . · .. 1 . · · · . · · · . · . · .. P (R) · · . . · . · · . ·· .. · · · ....·..·.·· . . ·· . ... . ·· . . ··· ·· ............ . .......... ·· .............. · ...............................· ................................................................................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ·.................................................................................................................................................... R
Analogamente, a reta projetiva complexa pode ser identificada com a esfera, via proje¸ca˜o estereogr´afica. Mas esta interpreta¸ca˜o ser´a ignorada aqui. Preferimos encarar P 1 (C) como um objeto uni -dimensional.
49
4.3 Curvas projetivas
4.3
Curvas projetivas
Passemos a investigar como se situam as curvas planas afins nesse ambiente mais amplo. Comecemos com as retas. Para o resultado seguinte, suporemos K = R (ou C ).
4.3. Proposi¸c˜ ao. Seja : aX + bY + c = 0 (com a ou b = 0), e seja a aderˆencia de em P2 . Ent˜ ao temos =
∪ {(b : −a : 0)} = {(x : y : z ) | ax + by + cz = 0}.
Demonstra¸ c˜ ao. Denotemos por ∗ o segundo membro da u´ltima igualdade ´ imediato que ∗ = proposta. E (b : a : 0) . Mostremos que = ∗ . Por defini¸ca˜o da topologia de P 2 , resulta ∗ fechado em P 2 . Visto que ∗ , segue-se ∗ . Resta mostrar que o ponto no infinito P = (b : a : 0) pertence a . Para isso, basta exibirmos uma seq¨ uˆencia de pontos P n com lim P n = P . Suponhamos, por exemplo, b = 0. Seja
∪ { −
}
⊂ − ∈
⊂
n→0
P n = (bn : Temos
−an − c : b).
− − − − A primeira igualdade mostra que P ∈ ; a segunda mostra que P → P , pois (b, −a − c/n, b/n) tende a (b, −a, 0) em R − {0} e q : R − {0} → R ´e P n = (n : ( an c)/b : 1) = (b : a c/n : b/n). n
n
3
3
cont´ınua.
2
4.4. Defini¸ca ˜o. Seja f =
d
f i , onde cada f i
0
∈ K [X, Y ] ´e homogˆeneo de
grau i, f d = 0. A homogeneiza¸cao ˜ de f ´e o polinˆomio homogˆeneo de grau d = d◦ f , f ∗ (X , Y , Z ) = ΣZ d−i f i (X, Y ).
Deixamos a cargo do leitor a verifica¸ca˜o de que o resultado anterior se generaliza para uma curva f arbitr´aria: o subconjunto de P 2 , ∗
{(x : y : z )|f (x,y,z ) = 0}, ´e igual a` aderˆencia de f em P2 . N˜ao faremos mais uso deste fato, nem de outras propriedades topol´ogicas de P 2 . Inclu´ımos essa discuss˜ ao apenas para motivar a defini¸ca˜o seguinte.
50
Pontos no infinito
4.5. Defini¸c˜ ao. Uma curva plana projetiva ´e uma classe de equivalˆencia de polinˆ omios homogˆeneos n˜ ao constantes, F K [X , Y , Z ] , m´odulo a rela¸ca˜o que identifica dois tais polinˆomios, F, G, se um for m´ultiplo constante do outro.
∈
Reveja a defini¸ca˜o [1.5, p. 10]. Adotaremos, mutatis mutandis , as defini¸co˜es e conven¸co˜es feitas no cap´ıtulo I para o caso afim. Deixamos a cargo do leitor a transcri¸c˜ao das defini¸co˜es de tra¸co, equa¸cao, componente ˜ irredut´ıvel e grau feitas anteriormente. Observemos que, se F ´e um polinˆomio homogˆeneo, a rela¸c˜ao ◦
F (tx,ty,tz ) = t d F F (x,y,z ) mostra que a condi¸c˜ao para que um ponto (x : y : z ) perten¸ca ao tra¸co de uma curva projetiva ´e independente das coordenadas homogˆeneas. Curvas de grau 1, 2, 3, . . . s˜ao, como antes, chamadas retas , cˆ onicas , c´ ubicas , etc. A reta Z = 0 ´e usualmente chamada de reta no infinito, mas a escolha ´e meramente psicol´o gica. Mudando a base de K 3 , podemos decretar que qualquer reta de P2 previamente estipulada seja a reta no infinito. Seu complementar (z = 0) ´e o plano A2 , cujos pontos s˜ao ditos estarem a distˆ ancia finita . O fecho projetivo de uma curva afim f ´e a curva projetiva definida pela homogeneiza¸ca˜o f ∗ . Os pontos a distˆancia finita sobre uma curva F s˜ao dados pela equa¸ca˜o F (X,Y, 1) = 0. O polinˆomio no primeiro membro desta equa¸c˜ao ´e a desomogeneiza¸cao ˜ de F com respeito a Z , denotado F ∗ . Note que F ∗ ´e n˜ao constante, a menos que F seja igual a uma potˆencia de Z . (Equivalentemente: o tra¸co de F coincide com a reta no infinito). Observaremos a seguinte Conven¸ c˜ ao: Doravante, as curvas alg´ebricas planas afins f (X, Y ) = 0 ser˜ ao consideradas implicitamente como a parte que se acha a distˆ ancia finita sobre ∗ a curva projetiva f (X , Y , Z ) = 0.
Assim, quando nos referirmos, por exemplo, `a par´abola Y = X 2 , estaremos automaticamente pensando em ZY = X 2 . O termo curva significar´a curva plana projetiva , salvo men¸ca˜o em contr´ario.
51
4.4 Mudan¸ca de coordenadas projetivas
4.4
Mudan¸ca de coordenadas projetivas
Estudemos agora o comportamento da equa¸c˜ao de uma curva por mudan¸ca de coordenadas projetivas.
4.6. Defini¸c˜ ao. (Compare com a defini¸c˜ao 1.9, p.14.) Seja T : K 3 K 3 um isomorfismo linear. Visto que uma tal aplica¸ca˜o preserva retas de K 3 passando pela origem, temos definida uma bije¸ca˜o natural, ainda designada por T : P2 P2 , chamada uma projetividade ou mudan¸ca de coordenadas projetivas em P 2 .
→
→
Mais geralmente, define-se de maneira an´aloga projetividade em um espa¸co projetivo P (V ) arbitr´ario. Temos tamb´em induzido um K -isomorfismo T • : K [X , Y , Z ] tal que, para todo (x,y,z )
3
∈ K
→ K [X , Y , Z]
e todo polinˆ omio f ,
(T • f )(x,y,z ) = f (T −1 (x,y,z )).
(4.1)
Mais explicitamente, escrevendo X = X 1 , Y = X 2 , Z = X 3 e designando por (aij ) a matriz de T −1 relativa `a base canˆonica de K 3 , temos (T • f )(X 1 , X 2 , X 3 ) = f (Σa1 j X j , Σa2 j X j , Σa3 j X j ). A imagem de uma curva projetiva F por uma projetividade T ´e a curva definida por T • F . As curvas F e T • F s˜ao ditas congruentes . Dizemos que uma propriedade relativa `a curva F ´e invariante ou independente das coordenadas se F satisfaz somente se T • F a satisfaz para toda projetividade T . Defini¸ca˜o an´aloga se aplica a propriedade relativa a outras configura¸co˜es. (Comparar com a defini¸ca˜o [1.12, p. 15]). S˜ao exemplos de propriedades invariantes o grau de uma curva projetiva, a colinearidade de pontos, a redutibilidade de uma curva, e v´arias outras que veremos no decorrer do curso.
P
{
} {
P
}
4.7. Proposi¸c˜ ao. Sejam L1 , L2 , L3 , H 1 , H 2 , H 3 conjuntos de trˆes retas 2 de P n˜ ao concorrentes (i.e. Li = H j = ). Ent˜ ao existe uma projetividade T tal que T •Li = H i para i = 1, 2, 3.
∩
∩
∅
52
Pontos no infinito
Demonstra¸ c˜ ao. Cada reta em P2 corresponde a um plano de K 3 passando pela origem, denotado a seguir pelo mesmo s´ımbolo. Seja ui (resp. vi ) um vetor n˜ao nulo na interse¸c˜ao dos planos L j , Lk (resp. H j , H k ) para i,j,k = 1, 2, 3 . Ent˜ao os u i (resp. vi ), i = 1, 2, 3 formam uma base de K 3 . Assim, existe um isomorfismo linear T definido pela condi¸c˜ao T ui = v i , i = 1, 2, 3. Visto que u i , u j geram L k , temos efetivamente T • Li = H i .
{
{
}
}
4.8. Exemplos. (1) Duas retas em P2 sempre se encontram porque dois planos passando pela origem em K 3 sempre contˆem uma reta em comum. Em particular, as retas afins aX + bY + c = 0, aX+bY+c’=0 se cruzam no infinito, no ponto (b:-a:0). (2) A par´abola Y 2 = X cruza Y = 0 nos dois pontos (0 : 0 : 1) e (1 : 0 : 0) (este u ´ ltimo que “estava faltando”...). (3) A hip´erbole XY = 1 cruza X = 0 no ponto (0 : 1 : 0). Este se encontra no complementar da reta Y = 0. Tomando-a como a nova reta no infinito, desomogeneizando X Y Z 2 com rela¸ca˜o a Y , obtemos a par´abola afim X = Z 2 (que ´e tangente a X = 0). (4) A elipse X 2 /a2 + Y 2 /b2 = 1 ´e a parte da cˆonica X 2 /a2 + Y 2 /b2 = Z 2 a distˆancia finita. Escolhendo a reta X = 0 como a reta no infinito, obtemos agora, a distˆ ancia finita, a hip´erbole Z 2 Y 2 /b2 = 1/a2 . Tente imaginar os dois ramos de uma hip´erbole se encontrando no . Talvez vocˆe se conven¸ca de que a hip´erbole e a elipse s˜ao de fato dois aspectos da mesma curva:
−
−
figura 4.3
•·· ........ ··· .............. .... ··· ... .. ··· . . ··· ............... ··· ........
∞
... . . . . . .. ...... . . . .... .... ... ..... ...... ...... ...... ..
··· ··· ··· ··· ··· ·•·
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ . . . . . . . ........ ........ ........ ....... ........ ........ ........ ........ ........ . . . . . . . ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ . . . . . . .. ........ ........ ............... ........... ........ ............... . . . . . . ........ ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ . . ........ . . . . . ........ .... . . . . . . ........ .. . . . . . . ........ . .... . . . ........ . . . .. . . . ........ . . . . ... . ........ . . . . . . ........ ... . . . . . . ........ .. . . . . . . ..... . ...
···
··.·............................................... ... ... ···· . ... . . · ·· .. . ··· .. ... . ··· . . ... . · . . ··· .. .. .... ·..·•.·.. ... ...... . . . . . . ........................... ···· ··
Imagine as retas pontilhadas representando a reta no infinito. ´ por vezes conveniente fazer uma representa¸ca˜o gr´afica de P2 desenhando E o chamado triˆangulo de referˆencia formado pelas retas X = 0, Y = 0, e Z =
54
Pontos no infinito
63. Demonstre as f´ormulas: a) (f g)∗ = f ∗ g∗ ; b) (F G)∗ = F ∗ G∗ ; c) (f ∗ )∗ = f ; d) Z n (F ∗ )∗ = F , onde n = d◦ F
◦
− d F . ∗
omios ´e homogˆeneo se e s´o se cada fator ´e 64. Prove que um produto de polinˆ um polinˆomio homogˆeneo. (Este fato foi implicitamente suposto na defini¸ca˜o de componente de uma curva plana projetiva).
65. Mostre que uma curva afim f ´e irredut´ıvel se e s´o se f ∗ ´e uma curva pro jetiva irredut´ıvel. 66. Seja F uma curva projetiva irredut´ıvel e seja G uma curva projetiva. Mostre que se F G ent˜ao F divide G.
⊆
67. Sejam P i = (ai1 : a i2 : ai3 ) se e s´o se det(aij ) = 0.
∈ P , i = 1, 2, 3. Prove que eles s˜ao colineares 2
68. Seja V um espa¸co vetorial. a) Para cada subespa¸co vetorial W V , mostre que P (W ) se identifica a um subconjunto de P (V ), o que nos permite o abuso de nota¸ca˜o, P (W ) P(V ); se W ´e outro subespa¸co de V , mostre que P (W ) = P (W ) W = W . O subconjunto P (W ) P( V ) ´e dito um subespa¸co projetivo de P (V ). b) Suponha dim W = dim V 1 e seja v0 um ponto de V fora de W . Para cada v V , seja [v] o subespa¸co gerado. Mostre que a aplica¸c˜ao w [w+v0 ] ´e uma bije¸ca˜o de W em P (V ) P (W ). c) Definimos a dimens˜ ao (resp. codimens˜ ao) de P(W ) por dim P (W ) = dim W 1 (resp. codim P (W ) = dim V dim W ). Mostre que dim P (W ) 0 P(W ) = . d) Mostre que toda interse¸c˜ao de subespa¸cos projetivos ´e um subespa¸co pro jetivo. e) Mostre que se S 1 , S 2 s˜ao subespa¸cos projetivos ent˜ao
⊂
⊆
∈
⇐⇒
−
⇐⇒
− −
→
−
∅
codim(S 1
⊂
≥
∩ S ) ≤ codim S + codim S . 2
1
2
f) Uma reta (resp. hiperplano) em P (V ) ´e um subespa¸co de dimens˜ao (resp. codimens˜ao) 1. Mostre que toda reta encontra qualquer hiperplano de P (V ).
4.4 Mudan¸ca de coordenadas projetivas
55
69. Seja V d o espa¸co dos polinˆomios homogˆeneos F (X , Y , Z ) de grau d. a) Mostre que o conjunto das curvas de grau d identifica-se naturalmente com P (V d ). b) Calcule dim P (V d ). c) Mostre que as curvas de grau d que passam por um ponto fixo de P2 formam um hiperplano em P (V d ). d) Mostre que o conjunto das retas de P2 que passam por um ponto P ´e uma reta de P (V 1 ) (dita a reta dual do ponto P ). e) A reta de P2 determinada por dois pontos distintos ´e representada em P(V 1 ) pelo ponto de interse¸ca˜o das duas retas duais; trˆes pontos de P2 s˜ao colineares se e s´o se suas retas duais s˜ao concorrentes. 70. Sejam P 1 , . . . , P5 P2 cinco pontos distintos. Seja S i o conjunto das cˆonicas que passam por P 1 , . . . , Pi . a) Mostre que S i ´e um subespa¸co projetivo de P (V 2 ) e que codim S i = i para i = 1, 2 ou 3. b) Mostre que dim S 4 = 1 se e s´o se P 1 , . . . , P4 n˜a o s˜ao colineares. Neste caso, conclua que existem cˆonicas F 1 , F 2 tais que a condi¸c˜ao necess´a ria e suficiente para que uma cˆonica F contenha P 1 , . . . , P4 ´e que F seja da forma x1 F 1 + x2 F 2 para algum (x1 : x 2 ) P1 . c) Investigue sob quais condi¸c˜oes os cinco pontos determinam uma u ´ nica cˆonica.
∈
∈
71. Prove que o grupo das afinidades de A2 ´e isomorfo ao grupo das projetividades de P 2 que deixam a reta no infinito invariante. 72. Dados dois conjuntos P i , Qi de quatro pontos de P2 , trˆes a trˆes n˜ao colineares, mostre que existe uma ´unica projetividade T tal que T P i = Qi , i = 1, . . . , 4. Generalize para P n .
{ } { }
73. Prove que dois isomorfismo lineares que induzem a mesma projetividade s˜a o m´ ultiplos escalares um do outro. 74. Associe a cada cˆonica, F = a11 X 2 + a22 Y 2 + a33 Z 2 + 2(a12 XY + a13 XZ + a23 Y Z ), a matriz sim´etrica S F = (aij ). Denote por t (X , Y , Z ) o vetor coluna. a) Mostre que F (X , Y , Z ) = (X , Y , Z ) S F t (X , Y , Z ) .
56
Pontos no infinito
×
b) Seja M = (mij ) uma matriz invert´ıvel 3 3 e denotemos pela mesma letra a projetividade associada (M (x1 : x 2 : x3 ) = (Σm1 j x j : Σm2 j x j : Σm3 j x j )). Prove que S M• F = t M −1 S F M −1 . c) Mostre que toda cˆonica ´e congruente por uma projetividade a exatamente uma das seguintes: XY = Z 2 , XY = 0, X 2 = 0. Em particular, do ponto de vista complexo–projetivo, a par´abola, a hip´erbole e a elipse s˜ao congruentes; elas diferem pela posi¸ca˜o relativa `a reta no infinito.
75. Mostre que a ciss´oide X 2 = Y (Y 2 + X 2 ) ´e congruente `a c´ubica cuspidal Y 2 = X 3 . (Homogeneizar primeiro!). A trissectriz de MacLaurin e o folium de Descartes tamb´em s˜ao congruentes entre si. 76. Prove que se uma cˆonica tem trˆes pontos colineares ela ´e redut´ıvel.
Cap´ıtulo 5 Interse¸c˜ ao de Curvas Projetivas A motiva¸ca˜o originalmente presente na cria¸c˜ao do plano projetivo foi o desejo de abolir o paralelismo de retas: em P2 , duas retas sempre se cruzam. Mas na realidade P2 ´e muito mais prodigioso. Veremos que duas curvas pro jetivas planas quaisquer sempre se cruzam.1 Melhor ainda: ´e poss´ıvel atribuir, a priori , multiplicidades de interse¸ca˜o de maneira que o n´umero total de pontos comuns a`s duas curvas, contados com as respectivas multiplicades, seja ou igual ao produto dos graus dessas curvas, ou infinito. Este u´ltimo caso ocorre somente se houver componente comum `as duas curvas. Em essˆencia, ´e esse o enunciado do teorema de B´ezout.
5.1
Interse¸ ca ˜o de reta e curva, agora projetivas.
Seja L uma reta e seja F uma curva de grau d. Suponhamos inicialmente L = X . Temos ent˜ao: P = (0 : y : z )
∈ X ∩ F ⇐⇒ F (0, y , z) = 0. ⊂
Ora, o polinˆomio F (0, Y , Z ) ou bem ´e identicamente nulo (caso em que X F ), ou ´e homogˆeneo de grau d, decompondo-se na forma F (0, Y , Z ) = 1
mi
− y Z )
(z i Y
i
,
Compare com a extens˜ao dos n´ umeros reais aos complexos: ao se permitir resolver a 2 equa¸ca˜o X + 1 = 0, resulta que todas as equa¸c˜oes polinomiais passam a ter ra´ızes!
58
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
∩
onde os pontos P i = (0 : y i : z i ) s˜ao dois a dois distintos e constituem X F . Chamamos naturalmente o expoente mi de multiplicidade de interse¸cao ˜ de X, F em P i . Deixamos a cargo do leitor a verifica¸c˜ao de que essas multiplicidades coincidem com as definidas anteriormente (quando compar´aveis). Em especial, se (0 : 1 : 0) X F , a multiplicidade aqui definida coincide com aquela no ent˜ao chamado ponto impr´ oprio da reta.
∈ ∩
5.1. Proposi¸c˜ ao. Seja L uma reta e seja F uma curva de grau d. Se L ent˜ ao L F = P 1 , . . . , Pr ,
∩
⊆ F
} = P para i = j e existem inteiros m ≥ 1 bem determinados pela onde P i
{
j
i
seguinte condi¸c˜ ao : Se T ´e qualquer projetividade tal que T • L = X , ent˜ ao r
(T • F )(0, Y , Z ) =
− y Z )
(z i Y
1
i
mi
,
onde T P i = (0 : y i : z i ) para i = 1, . . . , r. Em particular, Σmi = d.
Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos o diagrama de homomorfismos de an´eis T •
K [X , Y , Z ]
−−−−−−−→
K [X , Y , Z ]
K [X , Y , Z ] /(L)
−−−−−−−→
K [Y, Z ].
T •
A primeira das flechas verticais ´e a aplica¸ca˜o quociente g (apˆendice, defini¸c˜ao [10.11, p. 138]); a segunda ´e dada por g(X , Y , Z )
→ g = g + (L)
→ g(0, Y , Z ) ,
enquanto T • ´e o isomorfismo induzido por T • . Segue-se que K [X , Y , Z ] /(L) ´e isomorfo ao dom´ınio fatorial K [Y, Z ]. Portanto, F admite fatora¸ca˜o u ´nica, F = p n1 . . . pns s , 1
≥
onde os pi ’s s˜ao irredut´ıveis distintos e cada expoente ni ´e 1. Levando em conta que T • (F ) = (T • F )(0, Y , Z ) e comparando as decomposi¸co˜es, conclu´ımos que r = s e ni = mi , a menos de reordena¸ca˜o. Finalmente, a afirmativa com rela¸ca˜o aos T P i ´e evidente.
59
5.1 Interse¸c˜ao de reta e curva, agora projetivas.
ao da reta L com 5.2. Defini¸ca ˜o. A multiplicidade ou ´ındice de interse¸c˜ uma curva F no ponto P ´e definida por (L, F ) p =
∞
0 mi
se se se
∈ ⊂ ∈ ∩
P L F P L F P = P i nas condi¸c˜oes da proposi¸ca˜o anterior.
∩
A proposi¸c˜ao acima pode ser reenunciada, dizendo que L F consiste em d◦ F pontos contados com multiplicidades; ´e um caso particular do teorema de B´ezout. O caso geral ser´a visto mais adiante. A mesma proposi¸c˜ao revela que, com o emprego de uma projetividade conveniente, podemos sempre supor, para o c´a lculo de (L, F )P , que P se encontra a distˆancia finita e que L e F s˜ao distintos da reta no . Nessas circunstˆ ancias, ´e imediato que
∞
(L, F )P = (L∗ , F ∗ )P , onde o segundo membro ´e a multiplicidade de interse¸ca˜o definida no caso afim. Assim, os resultados do cap´ıtulo III podem ser transcritos para as curvas projetivas. Em especial, temos a seguinte
5.3. Proposi¸c˜ ao. Seja F uma curva projetiva e seja P um ponto de F . Ent˜ ao existe um inteiro m = m P (F ) 1 tal que, para toda reta L passando por P , vale (L, F )P m,
≥ ≥
ocorrendo desigualdade estrita para no m´ aximo m retas e no m´ınimo uma.
Demonstra¸ c˜ ao. Movendo F e P com uma projetividade, podemos supor que a reta no infinito n˜ao cont´em P . Assim, reduzimos ao caso afim, quando ent˜ao a proposi¸c˜ao ´e conseq¨ uˆencia da proposi¸c˜ao [3.4, p. 36]. 5.4. Defini¸c˜ ao. (Comparar com (3.5, p. 37).) O inteiro mP (F ) descrito acima ´e a multiplicidade de F (resp. P ) em P (resp. F ). Se P F , convencionamos m P (F ) = 0. Dizemos que P ´e um ponto simples ou n˜ ao singular ou liso de F , e que ao singular ou lisa em P se mP (F ) = 1; P ´e m´ ultiplo ou F ´e simples ou n˜ singular se m P (F ) 2. A curva F ´e lisa ou n˜ ao singular se o for em cada um de seus pontos. Se mP (F ) = 2, 3, . . . , m, dizemos que P ´e um ponto duplo, triplo,..., m-uplo.
∈
≥
60
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
As retas tangentes a F em P s˜ao as retas distinguidas na proposi¸ca˜o anterior. Se f ´e uma curva afim e F = f ∗ , ´e imediato que mP (F ) = m P (f ) para cada ponto P A2 . Portanto, as defini¸co˜es acima s˜ao consistentes com as dadas no cap´ıtulo III. Para a determina¸ca˜o de m P (F ) e das retas tangentes, reduzimos ao caso afim, desomogeneizando F com rela¸ca˜o a uma vari´avel que n˜ao se anula no ponto P .
∈
5.5. Exemplo. A par´abola c´ ubica Y = X 3 ´e singular no infinito, no ponto P = (0 : 1 : 0). Desomogeneizando F : Z 2 Y = X 3 com rela¸ca˜o a Y (que tomamos como nova reta no infinito) obtemos Z 2 = X 3 . Segue-se que mP (F ) = 2, (Z, F )P = 3 e (L, F )P = 2 para qualquer reta L = Z passando por P . (Veja as figuras 3.2, p. 35 e 4.5, p. 53.)
5.6. Proposi¸c˜ ao. Seja F uma curva de grau m e seja P P2 . Ent˜ ao temos: (1) (f´ ormula de Euler) mF = X F X + Y F Y + ZF Z . (2) P ´e um ponto singular de F se e s´ o se F X (P ) = F Y (P ) = F Z (P ) = 0. (3) Se F ´e lisa em P ent˜ ao a reta tangente a F neste ponto ´e
∈
+ F Z (P )Z = 0. F X (P )X + F Y (P )Y
Demonstra¸ c˜ ao. (1) Sendo ambos os membros lineares como fun¸ co˜es de F , i j k ´e suficiente verificar a f´ormula quando F ´e um monˆomio X Y Z , i + j + k = m, o que ´e imediato. (2) Suponhamos P = (a : b : 1). Pela proposi¸c˜ao [3.6, p. 37](1), P ´e um ponto singular de F se e s´o se (F ∗ )X = (F ∗ )Y = F ∗ = 0 em (a, b). Aplicando (1), conclu´ımos dessas igualdades que F Z (P ) = 0. Reciprocamente, se F X (P ) = F Y (P ) = F Z (P ) = 0, ent˜ao F ∗ = (F ∗ )X = (F ∗)Y = 0 em P . O mesmo argumento se aplica se P ´e da forma (a : 1 : b) ou (1 : a : b). (3) Suponhamos, por exemplo, P = (a : b : 1). De acordo com (3.6(2)), a reta tangente ´e dada pelo polinˆomio (j´a homogeneizado)
− aZ ) + (F ) (a, b)(Y − bZ ),
(F ∗ )X (a, b)(X
∗ Y
que ´e igual a
− Z [aF (P ) + bF (P )]. Por (1), a express˜ao entre colchetes coincide com −F (P ). F X (P )X + F Y (P )Y
X
Y
Z
61
5.2 O teorema de B´ezout
5.7. Exerc´ıcios 77. Para cada inteiro m 1, construa uma curva F , de grau m, tal que a origem O = (0 : 0 : 1) seja um ponto liso e a multiplicidade de interse¸c˜ao ´ poss´ıvel conseguir F lisa (inclusive no infinito)? (X, F )O seja igual a um. E
≥
78. Mostre que toda c´ubica com dois pontos singulares ´e redut´ıvel.
∞
79. Ache as multiplicidades dos pontos no e os ´ındices de interse¸ca˜o com a reta no para cada uma das curvas consideradas nos cap´ıtulos I e III.
∞
80. Mostre que uma curva projetiva F P2 ´e n˜a o singular se e s´o se F (X,Y, 1), F (X, 1, Z ) e F (1, Y , Z ) s˜ao todas n˜ao singulares (ou ). Mostre com um exemplo que duas dessas podem ser n˜ao singulares embora F seja singular.
⊂
∅
81. Seja F uma curva irredut´ıvel de grau d. Mostre que existem d(d + 3)/2 pontos tais que F ´e a u ´ nica curva deste grau que os cont´em. (Sugest˜ ao: existem retas L 1 , . . . , Ld , cada qual cortando F em d pontos distintos, e tais que Li L j Lk = L i L j F = para i, j, k distintos. Tome P F , fora dos Li ’s; depois escolha i + 1 pontos distintos em L i F (i = 1, . . . , d 1) e mais d pontos em Ld F . Se existisse G = F contendo estes pontos, com d◦ G = d, existiria uma curva H da forma xF + yG (com (x : y) P1 ) contendo um (d + 1)-´esimo ponto de L d . Logo L d H , etc ...)
∩ ∩
∩ ∩
∩
∅
⊂
∈
∩
−
∈
82. Prove que toda curva projetiva lisa ´e irredut´ıvel. (Compare com o exerc´ıcio 49, p. 42).
5.2
O teorema de B´ ezout
Consideremos agora o problema do c´alculo do n´ umero de pontos de interse¸ca˜o de duas curvas projetivas F, G de graus arbitr´arios.
∩ G ´e finita se
ao F 5.8. Lema. Sejam F, G curvas planas projetivas. Ent˜ e s´ o se F, G n˜ ao admitem componente em comum.
Demonstra¸ c˜ ao. Se F, G n˜ao admitem fator comum em K [X , Y , Z ] ent˜ao F ∗ , G∗ tamb´em n˜ao o admitem em K [X, Y ]. Com efeito, se F ∗ = fh, G∗ = gh, com f , g, h K [X, Y ] e h n˜ao constante, ent˜ao (F ∗ )∗ = f ∗ h∗ , (G∗ )∗ =
∈
62
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
g ∗ h∗ . Da´ı se seguiria que h∗ ´e fator de F, G, contradi¸ca˜ o. Como F ∗ , G∗ n˜ao tˆem componente comum, segue-se que F e G tˆem interse¸ca˜o finita, a distˆancia finita. Como F Z ou G Z ´e finita, (sen˜ao Z seria componente comum) temos que F G ´e finita. A rec´ıproca ´e trivial.
∩
∩
∩
∩
Esclarecida a finitude de F G, propomo-nos a calcular seu n´umero de pontos. Note que ainda n˜ ao apresentamos nenhuma garantia de que F G seja n˜ao vazia, em geral. Isto ser´a uma conseq¨ uˆencia do teorema de B´ezout.
∩
5.9. Defini¸c˜ ao. Sejam P i = (xi : y i : z i ), i = 1, . . . , r os distintos pontos de ˜ posicionadas se P 0 = F G. Diremos que F, G est˜ao em boa posi¸cao ou bem (0 : 1 : 0) F G. Diremos que F, G est˜ao em muito boa posi¸c˜ ao ou muito bem posicionadas se P 0 F G e se, para cada par P i , P j F G, P 0 , P i , P j s˜a o n˜ao colineares. Esta ´ultima condi¸ca˜o ´e equivalente `a exigˆencia de que i = j implique (xi : z i ) = (x j : z j ).
∩
∈ ∩
∈ ∩
∈ ∩
Suporemos no que segue que F, G n˜ao tˆ em componente em comum. Escrevamos F = A0 Y d + A1 Y d−1 + . . . +Ad , +Be , G = B0 Y e + . . . . . .
∈
onde A i , B j K [X, Z ] s˜ao homogˆeneos de graus i, j. ´ claro que (0 : 1 : 0) E F A0 = 0. Logo, estando F, G bem posicionadas, temos A0 ou B0 = 0. Lembrando o lema 2.16, p.27, a resultante R = R(X, Z ) de F, G com respeito a Y ´e homogˆenea de grau d e. Por outro lado, levando em conta que A 0 ou B 0 = 0, para cada (x : z ) P1 temos
∈ ⇐⇒ · ∈ R(x, z ) = 0 ⇐⇒ ∃ (x : y : z ) ∈ F ∩ G.
Supondo F, G muito bem posicionadas, conclu´ımos que R escreve-se na forma r
R(X, Z ) = c
i=1
onde
mi
− x Z )
(z i X
i
c ´e uma constante= 0, P i = (xi : y i : z i ), i = 1, . . . , r , s˜ao os distintos pontos de F os expoentes m i s˜ao inteiros 1 e Σmi = d e. ´ natural, portanto, adotarmos a seguinte E
≥
·
∩ G,
63
5.2 O teorema de B´ezout
ao de F, G no ponto 5.10. Defini¸c˜ ao. A multiplicidade ou ´ındice de interse¸c˜ P ´e dada por (F, G)P =
0 mi
se se
P F G nas condi¸co˜es acima. P = P i
∈ ∩
Observando que Σni = d◦ R = (d◦ F ) (d◦ G), demonstramos, para o caso em que F, G est˜ao bem posicionadas, o importante
·
ao curvas planas projetivas sem 5.11. Teorema de B´ ezout . Se F, G s˜ componente em comum ent˜ ao o n´ umero de pontos na interse¸cao ˜ F G, ◦ ◦ contados com multiplicidade, ´e igual a (d F ) (d G)
∩
·
Para o caso geral, ´e necess´ ario definirmos (F, G)P livre da hip´otese de bom posicionamento. Ora, se F G ´e finito, ´e claro que existe uma projetividade T tal que T • F, T •G est˜ao em muito boa posi¸ca˜o. A sugest˜ao foi lan¸cada:
∩
5.12. Defini¸c˜ ao. O ´ındice ou multiplicidade de interse¸cao ˜ de curvas projetivas F, G sem componentes em comum no ponto P P2 ´e
∈
(F, G)P = (T • F, T • G)T P onde T denota uma projetividade tal que T • F, T • G estejam muito bem posicionadas, de maneira que o segundo membro pode ser calculado como na defini¸ca˜o 5.10.
5.13. Exemplo. O c´ırculo F : X 2 + Y 2 = 2XZ e a par´abola G : Y 2 = X Z n˜ao est˜ao muito bem posicionados. Reveja o exemplo [2.11, p. 24]: os pontos de interse¸ca˜o (1:1:1) e (1:–1:1) s˜ao colineares com (0:1:0). Aplicando a projetividade T que fixa Z e troca X por Y , obtemos T • F = X 2 + Y 2
− 2Y Z,
T• G = X 2
− ZY
,
que agora est˜ao em muito boa posi¸ca˜o. A resultante ´e X 2 (X Z )(X + Z ), indicando as multiplicidades 2 e 1 dos pontos (0 : 0 : 1) e (1 : 1 : 1) respectivamente .
−
±
64
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
O leitor atento objetar´a de imediato, pois a “defini¸ca˜o” 5.12 acima proposta s´o ´e honesta se provarmos que o segundo membro independe da projetividade T . M˜aos a` obra, pois!
5.14. Proposi¸ca ˜o. Sejam F, G curvas muito bem posicionadas. Seja T uma projetividade tal que T • F, T • G tamb´em est˜ ao muito bem posicionadas. Ent˜ ao (F, G)P = (T • F, T • G)T P P P2 .
∀ ∈
Demonstra¸ c˜ ao. Usaremos um artif´ıcio not´avel, devido a Seidenberg [29]. A id´eia ´e provar a igualdade quando T ´e a projetividade gen´erica . Precisamente, sejam W ij (i, j = 1, 2, 3) nove indeterminadas, e seja L = overlineK (W ij ), o fecho alg´ebrico do corpo de fun¸co˜es racionais nessas novas vari´a veis. O plano projetivo P2K se identifica a um subconjunto de P2L , o plano projetivo a coordenadas no corpo L. Note que F, G definem curvas em P 2L , que denotamos por F , G. O fato importante a observar ´e que, mesmo considerando pontos com coordenadas em L K , temos ainda
⊃ F ∩ G = F ∩ G = {P , . . . , P } . Com efeito, as coordenadas de um ponto de F ∩ G provˆem das ra´ızes da 1
r
resultante de F, G com rela¸ca˜o a uma vari´avel conveniente, e portanto satisfazem uma equa¸ca˜o alg´ebrica a coeficientes em K . Sendo este corpo algebricamente fechado, vemos que os pontos comuns a F , G em P2L s˜a o os que j´a conhec´ıamos, em F G. A projetividade gen´erica W ´e a projetividade de P 2L definida por
∩
W (x1 : x 2 : x 3 ) = (ΣW 1 j x j : ΣW 2 j x j : ΣW 3 j x j ) . Consideremos agora os “transladados gen´ericos”, W • F , W • G. Temos, por defini¸c˜ao (veja 4.1, p.51) (W • F )(X , Y , Z ) = F (W −1 (X , Y , Z ) ). Eliminamos os denominadores desta u´ltima express˜ao, definindo ◦
F W (X , Y , Z ) = (det(W ij ))d F F (W −1 (X , Y , Z ) ).
65
5.2 O teorema de B´ezout
Assim, F W ´e um polinˆomio a coeficientes em K [ W ij ], anel dos polinˆ omios ´ claro que F W e W • F definem a mesma curva em P2 , nas vari´aveis W ij . E L pois diferem por um m´ultiplo constante. Para cada projetividade T definida por uma matriz (tij ) a coeficientes em K , ´e evidente que o resultado da substitui¸ca˜o W ij tij em F W ´e T • F . (Dizemos ent˜ao que especializamos W ij para tij .) Note ainda que para cada ponto Q F W GW , existe P = (x1 : x 2 : x3 ) F G tal que W (P ) = Q, a saber, Q = ( W 1i xi : W 2i xi : W 3i xi ). W W Agora observemos que F , G est˜ao muito bem posicionadas. Com efeito, se P 0 = (0 : 1 : 0) pertencesse a F W GW , ter´ıamos
{ }
→
∈
∈ ∩
∩
∩
P 0 = W (P )
()
∈ ∩
para algum P F G. Ora, a rela¸ca˜o () fornece uma equa¸c˜a o de dependˆencia alg´ebrica (de fato linear) n˜ao trivial para os W ij ’s, a coeficientes em K . De fato, se P = (x1 : x2 : x3 ) com xi K , ter´ıamos x j W 1 j = 0 contrariando a escolha dos W ij como indeterminadas sobre o corpo K . Alternativamente, especializando (W ij ) para a matriz identidade, viria P 0 F G, proibido por hip´otese. Da mesma forma, se existissem pontos distintos Q, Q F W GW colineares com P 0 , concluir´ıamos a existˆencia de P, P F G colineares com P 0 . Basta notar que, se Q = W (P ), Q = W (P ) s˜ao colineares com P 0 , o determinante da matriz com linhas Q, Q e P 0 ´e um polinˆomio que se anula para toda especializa¸c˜ao W ij tij . W W Calculando a resultante de F , G , encontramos
∈
∩
∈ ∩
∈
∈
∩
→
r
R((W ), X , Z ) = c(W )
− x (W )Z )
(z i (W )X
i=1
i
onde c(W ) ´e um polinˆomio = 0, cada n i ´e um inteiro
≥ 1
ni
,
e
xi (W ) = W 11 xi + W 12 yi + W 13 z i , z i (W ) = W 31 xi + W 32 yi + W 33 z i , s˜ao coordenadas homogˆeneas do i ´esimo ponto, W (xi : y i : z i ), de F W GW . A express˜ao para a resultante est´a correta porque, por um lado, sabemos que R((W ), X , Z ) K [ W ij ][X, Z ] pode se escrever na forma
−
∩
∈ { }
·
R = c(W ) R((W ), X , Z ) , onde R n˜ao ´e divis´ıvel por c(W ) e que, em L[X, Z ], R ´e completamente decompon´ıvel nos fatores lineares z i (W )X x i (W )Z correspondentes aos pontos de F W GW .
∩
−
66
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
Agora o leitor deve se convencer de que, especializando a matriz (W ij ) para qualquer (tij ) (a coeficientes em K ) associada a uma projetividade T tal que T • F, T • G estejam muito bem posicionadas, R((W ), X , Z ) se especializa na resultante de T • F, T • G. A condi¸ca˜o de bom posicionamento garante que para i = j os fatores z i (T )X x i (T )Z e z j (T )X x j (T )Z permanecem distintos. Em resumo, cada fator z i (W )X xi (W )Z se transforma no fator correspondente ao ponto T P i . Segue-se que os expoentes ni n˜ao dependem de t ij , e em particular,
−
−
−
(T • F, T • G)T P = (F, G)P .
Para aplica¸co˜es do teorema de B´ezout, ´e importante saber como estimar (F, G)P em termos de dados locais de F, G, separadamente, em torno do ponto P .
5.15. Proposi¸c˜ ao. Temos
≥ m
(F, G)P
P (F )mP (G),
valendo a desigualdade estrita se e s´ o se F e G possuem uma tangente comum no ponto P .
Demonstra¸ c˜ ao. Podemos supor P = (0 : 0 : 1) e que F, G est˜ao muito bem posicionadas. Ponhamos m = mP (F ), n = mP (G). Devemos mostrar que X mn divide R(X, Z ) em K [X, Z ], ou, equivalentemente, que X mn divide R(X, 1) em K [X ] . Estando F, G bem posicionadas, sabemos que R(X, 1) ´e igual a R(X ), resultante de f = F (X,Y, 1), g = G(X,Y, 1), a menos de fator constante = 0. Para o c´alculo de R(X ), escrevemos f, g em potˆencias crescentes de Y (causando apenas uma permuta¸c˜ao nas colunas da matriz cujo determinante queremos calcular):
f = a0 X m +a1 X m−1 Y + . . . + amY m +am+1 Y m+1 + . . . , + bn Y n +bn+1 Y n+1 + . . . , g = b0 X n + . . . . . . com ai , b j Temos
∈ K [X ], sendo os m primeiros a’s e os n primeiros b’s constantes.
R(X ) =
±
m
a0 X
n
b0 X
m−1
a1 X a0 X m
········· b1 X n−1 b0 X n
. . . am am+1 . . . . . . am−1 X am . . . . . . bn . . . bn−1 X .. .
bn+1 . . . bn . . . .. .
.
67
5.2 O teorema de B´ezout
Multiplicamos a primeira linha de a’s por X n , a segunda por X n−1 , etc. e em seguida, a primeira de b’s por X m , etc. Vemos que ´e poss´ıvel fatorar X m+n− j+1 da j ´esima coluna, 1 j m + n. Desta maneira, conclu´ımos que R(X ) ´e divis´ıvel por X elevado pelo menos ao expoente
−
≤ ≤
(m + n)(m + n 2
− 1) − m(m − 1) − n(n − 1) = mn, 2 2
provando a desigualdade enunciada. Para estudarmos em que caso ocorre igualdade, definamos ˜ ) = R(X )X −mn. R(X Trata-se de um polinˆomio em X . Ponhamos
f m = a0 X m + a1 X m−1 Y + . . . +am Y m , +bn Y n . gn = b 0 X n + . . . . . .
Precisamos mostrar que ˜ =0 R(0)
⇐⇒ f , g m
n
admitem fator comum em K [X, Y ].
Sem perda de generalidade, podemos supor que X n˜ao ´e fator comum, i.e., am ou bn = 0. Neste caso, f m , gn tˆem fator comum em K [X, Y ] se e s´o se ca˜o o processo f m (1, Y ), gn (1, Y ) tˆem raiz comum. Examinando com aten¸ ˜ utilizado acima para extrair o fator X mn de R(X ), percebemos que R(0) ´e o determinante de uma matriz que apresenta uma submatriz (m + n) (m + n) (formada pelas n primeiras linhas de a’s e m primeiras de b’s ) igual `a matriz que fornece a resultante de f m(1, Y ), gn (1, Y ); os demais elementos das colunas de ordem maior que m + n e nas mesmas linhas desta submatriz s˜ao nulos. Al´ em disso, o bloco complementar da submatriz em quest˜ ao ´e −m justamente a matriz que d´a a resultante dos polinˆomios f = Y f (0, Y ), g = Y −n g(0, Y ). Desenvolvendo o determinante pelos menores extra´ıdos das m + n primeiras colunas, encontramos
×
·
R(0) = Rf m ,gn Rf ,g .
Ora, Rf ,g = 0, do contr´ario f (Y ), g(Y ) admitiriam raiz comum y, necessariamente = 0 (porque am ou bn = 0). Mas ent˜ ao ter´ıamos (0, y) f g, impedido pela hip´otese de que F, G est˜ao muito bem posicionadas e j´a tˆem ˜ o ponto (0, 0) em comum. Em conclus˜ao, R(0) ´e zero se e s´o se R f m ,gn ´e zero.
∈ ∩
68
Interse¸c˜ao de Curvas Projetivas
ao 5.16. Corol´ario. Sejam F, G curvas sem componentes em comum. Ent˜
·
mP (F ) mP (G)
P ∈F ∩G
◦
◦
≤ (d F ) · (d G) .
Demonstra¸ c˜ ao. Pelo teorema de B´ezout, sabemos que
(F, G)P = (d◦ F ) (d◦ G) .
· Pela proposi¸ca˜o anterior, temos cada (F, G) ≥ m
P (F )mP (G).
P
5.17. Exerc´ıcios 83. Mostre que as defini¸c˜oes 5.2 e 5.10 s˜ao consistentes. 84. Calcule as multiplicidades de interse¸c˜ao para os pares de curvas: a) Y = X 3 , Y = X 2 ; b) X 2 + Y 2 = 1, X 2 + Y 2 = 4; c) (X 2 + Y 2 )2 = X 2 + Y 2 , X 2 + Y 2 = 1; d) (X 2 + Y 2 )2 = X 2 Y 2 , X 2 + Y 2 = X Y .
−
−
85. Escreva a matriz para o c´alculo de R(X ) que ocorre na prova da prop. 5.15 supondo F e G de graus 3 e 4, com multiplicidades em 0 iguais a 2 e 3 e verifique os detalhes. 86. Sejam F, G curvas bem posicionadas (mas n˜ao necessariamente muito bem posicionadas). Prove que se R F,G = (z j X x j Z )nj , com os (x j : z j ) P1 dois a dois distintos, ent˜ao n j ´e a soma das multiplicidades de interse¸co˜es correspondentes aos pontos (x : y : z ) com (x : z ) = (x j : z j ).
−
∈
87. Sejam f, g curvas planas afins, com f ∗ , g∗ n˜ao necessariamente bem posicionadas. Seja R(X ) = (X x i )ni a resultante. Discuta a rela¸ca˜o dos ni ’s com multiplicidades de interse¸ca˜o e estude a diferen¸c a de Σni para (d◦ f ) (d◦ g).
·
−
88. Mostre que uma qu´artica com trˆes pontos singulares colineares ou com quatro pontos singulares ´e redut´ıvel. (Sugest˜ ao: trace uma cˆonica pelos quatro pontos e mais um quinto).
Cap´ıtulo 6 Propriedades do ´Indice de Interse¸c˜ ao Mostraremos neste cap´ıtulo que o ´ındice de interse¸c˜ao ´e caracterizado por uma lista de propriedades naturais. Como primeira conseq¨ uˆencia, veremos que a f´ormula expl´ıcita que define (F, G)P pode ser esquecida, pois as referidas propriedades fornecem um m´etodo para o c´ alculo efetivo. Apresentamos depois uma f´ormula alternativa para o ´ındice de interse¸c˜ao, usando s´eries de potˆencias. Esta nova abordagem dispensa o deslocamento pr´evio exigido pelo m´etodo da resultante e p˜oe em relevo o fato de (F, G)P s´o depender do comportamento de F, G em torno do ponto P .
6.1
As propriedades caracter´ısticas
Inicialmente reescrevemos a defini¸ca˜o [5.12, p. 63] estendendo-a para o caso em que as curvas podem admitir componente comum.
6.1. Defini¸c˜ ao. Sejam F, G curvas planas projetivas e seja P um ponto de 2 P . Escrevamos F = F 0 H, G = G0 H , com H = MDC(F, G) (ou seja, H ´e a reuni˜ao das componentes comuns de F, G, tomadas com multiplicidade; logo F 0 , G0 n˜ao tˆem componente em comum). Os pontos de F 0 G0 fora de H s˜ao as interse¸c˜ oes isoladas de F, G. Definimos a multiplicidade ou ´ındice de
∩
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
70 interse¸cao ˜ de F, G em P por (F, G)P =
∞
0 (F 0 , G0 )P
se se se
∈ ∈ ∩
P H P F G P ´e uma interse¸ca˜o isolada de F,G.
Lembramos que, neste ´ultimo caso, escolhemos uma projetividade S tal que S • F 0 , S • G0 estejam muito bem posicionadas. Agora, se (x : y : z ) = S (P ), ent˜ao (F 0 , G0 )P ´e igual ao expoente com que zX xZ ocorre na resultante de S • F 0 , S • G0 . Mostramos na proposi¸ca˜o [5.14, p. 64] que esta defini¸ca˜o independe da particular projetividade com que deslocamos F 0 , G0 . Se n˜ao tivermos o cuidado de eliminar as componentes comuns, a resultante de F, G ser´a nula. O processo de colocar duas curvas em muito boa posi¸ca˜o ´e em geral laborioso. O c´alculo de (F, G)P ser´a tremendamente facilitado pela lista de propriedades que descrevemos logo a seguir. De fato, mostraremos que elas fornecem um algoritmo para o c´alculo do ´ındice, dispensando completamente a f´ormula da resultante. Em particular, qualquer outra f´ormula que satisfa¸ca essas propriedades ter´a que atribuir o mesmo valor.
−
ao (F, G)P goza das seguintes pro6.2. Proposi¸c˜ ao. O ´ındice de interse¸c˜ priedades:
∞ ou um n´ umero inteiro ≥ 0. ∈ F ∩ G. = 0 ⇐⇒ P = ∞ ⇐⇒ P ∈ H = componente comum de F, G. = (T F, T G) ∀ projetividade T : P → P .
(1) (F, G)P = (G, F )P ´e (2) (F, G)P (3) (F, G)P (4) (F, G)P
•
•
2
T P
2
(5) (X, Y )P = 1 onde P = (0 : 0 : 1). ◦
◦
◦
∀ A homogˆeneo com d A = d G − d F .
(6) (F, G + AF )P = (F, G)P
(7) (F, G1 G2 )P = (F, G1 )P + (F, G2 )P . Antes de escrever a demonstra¸ca˜o, vamos ilustrar como essas propriedades podem ser empregadas para o c´alculo de (F, G)P .
6.3. Exemplo. Seja F : (X 2 + Y 2 )2 = Y 3 3X 2 Y (ros´acea de trˆes p´etalas) e seja G : Y 3 = Y 2 3X 2 ( c´ubica nodal).
−
−
71
6.1 As propriedades caracter´ısticas .... ......... ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. figura 6.1 .. .. .. .. ...... . ................................................................................................................................................................................................................................. ... ..... .. ... .. ... .. .. .. ... ... .. ...
....................... ...... ......... . ...... ...... .. ..... ..... ....... .... ... ..... ... ..... . . .. . . . . . . .............................. ........................ . . . . . . . ... .. . .. .... ............. .................. ....... . ...... ... ............... .......... ..... ........... .. ..... ...
Temos F = (X 2 + Y 2 ) Z (Y 3 3X 2 Y ), G = Y 3 Z (Y 2 3X 2 ).
− −
−
−
Logo, empregando as propriedades indicadas na u´ltima coluna abaixo, vem (F, G)P = = = = =
−
(F Y G , G)P ((1), (6)) 4 2 2 (X + 2X Y , G)P (X 2 , G)P + (X 2 + 2Y 2 , G)P (7) 2 2 2 3 2 2(X, Y (Y Z ))P + (X + 2Y , Y 7ZY )P (6) 4(X, Y )P + 2(X, Y Z )P + 4(X, Y )P + (X 2Y, Y 7Z )P .
−
−
−
± √
−
Portanto,
√ ∩ G = {(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 1), (±7i 2 : 7 : 1)} No primeiro desses pontos de F ∩ G a multiplicidade de interse¸ca˜o ´e igual a F
8; no segundo ´e 2; nos dois u´ltimos ´e 1.
Demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 6.2. As trˆes primeiras propriedades dispensam coment´arios. A quarta – invariˆancia por mudan¸ca projetiva de coordenadas – decorre essencialmente do fato de que, na defini¸ca˜o 6.1, gozamos de liberdade irrestrita na escolha da projetividade T . Com efeito, se (F, G)P = 0 ou , ´e ´obvio que (T • F, T • G)T P tem o mesmo valor. Se P ´e uma interse¸ca˜o isolada, escolhemos (com a nota¸c˜ao da defini¸ca˜o 5.10, p. 63) uma projetividade S tal que S • F 0 , S • G0 estejam muito bem posicionadas e tomamos U = ST −1 . Temos ent˜ao
∞
(T • F, T • G)T P = (U •(T •F ), U • (T • G))U T P = (S • F, S • G)SP = (F, G)P . Verifiquemos (5). Escrevendo F = 0Y + X, G = Y , calculamos RF,G =
0 1
X = 0
−X.
Isto mostra que (0:0:1) ocorre com multiplicidade 1.
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
72
Para a sexta propriedade, ´e suficiente considerarmos o caso em que A ´e um polinˆomio da forma A = Am Y c−m, com c = d◦G d◦ F e Am (X, Z ) homogˆeneo de grau m. Neste caso, ´e imediato que a matriz cujo determinante define RF,G+AF ´e obtida da matriz associada a RF,G somando a`s linhas dos coeficientes de G, m´ultiplos das linhas dos coeficientes de F . A s´etima propriedade ´e de verifica¸c˜ao mais trabalhosa. Ela se baseia nos seguintes resultados da teoria da elimina¸c˜ao.
−
6.4. Lema. Seja A = Z [X 0 , X 1 , , X m , Y 0 , omios , Y n ] o anel dos polinˆ nas indeterminadas X i , Y j , a coeficientes inteiros. Sejam
···
···
), f = X 0 (Y X 1 ) (Y X m ) = X 0 (Y m (ΣX i )Y m−1 + n n−1 = Y 0 (Y (ΣY i )Y + ) g = Y 0 (Y Y 1 ) (Y Y n )
− ··· − − ··· −
− −
··· ···
∈
A[Y ].
Temos ent˜ ao as seguintes f´ ormulas para a resultante R de f, g: R = X 0n Y 0m
− i,j (X i
Y j )
X 0n
=
−
= (
i g(X i ) 1)mn Y 0m j f (Y j ).
Demonstra¸ c˜ ao. Denotemos por S o segundo membro da primeira f´ormula ´ imediato que S satisfaz as 2 outras igualdades. Por outro lado, proposta. E ˜ onde R ˜ denota um a defini¸ca˜o da resultante mostra que R = X 0n Y 0mR, polinˆ omio nas vari´ aveis X 1 , X 2 , . . . , Y1 , Y 2 , . . . , a coeficientes em Z. Substituindo X i por Y j , com i, j 1, anula-se a resultante; logo X i Y j divide R e portanto S divide R em A. Mas ´e facil verificar que S e R tˆem o mesmo grau em X i (resp. Y j ), donde R ´e um m´ ultiplo inteiro de S . Fazendo = Y n = 1 e X 1 = = X m = 0, vˆe-se de imediato que X 0 = Y 0 = Y 1 = esse inteiro ´e 1, ou seja, R = S .
≥
···
−
···
6.5. Proposi¸c˜ ao. Seja D um dom´ınio. Dados f , g , h Rf,gh = R f,g Rf,h .
Demonstra¸ c˜ ao. Escrevamos f = x0 Y m + g = y0 Y r + h = z 0 Y s +
··· , ··· , ··· ,
∈ D[Y ], vale a f´ ormula
73
6.1 As propriedades caracter´ısticas
⊃ D
as reticˆencias indicando termos de grau inferior. Existe uma extens˜ ao E tal que, em E [Y ], podemos fatorar
− x ) ··· (Y − x ) , − y ) ··· (Y − y ) , − z ) ··· (Y − z ) .
f = x0 (Y g = y0 (Y h = z 0 (Y
1
m
1
r
1
s
(Tomar, por exemplo, um corpo de ra´ızes (apˆendice, [10.34, p. 145]) do produto f gh). Consideremos o anel A = Z[X 0 , . . . , Xm , Y 0 , . . . , Yr , Z 0 , . . . , Zs ]. Fa¸camos (Y X m ), f ˜ = X 0 (Y X 1 ) (Y Y r ), g˜ = Y 0 (Y Y 1 ) ˜h = Z 0 (Y Z 1 ) (Y Z s ).
− − −
··· ··· ···
Podemos definir um homomorfismo de an´eis, ϕ : A
− − −
−→ E
mandando X i em x i etc. . . , de sorte que o homomorfismo induzido, A[Y ]
−→ E [Y ]
aplica f ˜ em f , etc. . . . Nestas condi¸co˜es, ´e claro que ϕ(Rf˜,˜gh˜ ) = R f,gh . ˜ Obtemos: Apliquemos o lema a f˜, g˜h.
˜ Rf˜,˜g˜h = X 0r+s (˜gh)(X i )) r s ˜ i) = (X 0 g˜(X i ))(X 0 h(X = Rf˜,˜g Rf˜,h˜ . Calculando ϕ em ambos os membros, resulta a f´ormula enunciada. Verifiquemos agora a propriedade (7) da proposi¸ca˜o 6.2:
(F, G1 G2 )P = (F, G1 )P + (F, G2 )P . Podemos supor que P ´e uma interse¸ca˜o isolada de F, G1 G2 , e sem perda de generalidade, supor logo que F, G1 G2 n˜ao tˆem componente comum e est˜ao muito bem posicionadas. Mas agora a f´ ormula proposta decorre imediata mente da proposi¸c˜ao 6.5.
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
74
ao (F, G)P ´e univocamente determi6.6. Proposi¸c˜ ao.O ´ındice de interse¸c˜ nado pelas propriedades (1),...,(7) listadas na proposi¸cao ˜ 6.2. ´ suficiente provar que (F, G)P ´e calcul´avel a partir daqueDemonstra¸ c˜ ao. E las propriedades. E para tanto, basta considerarmos o caso em que F, G n˜ao tˆem componente comum passando por P . Consideremos F, G como polinˆ omios em Z a coeficientes em K [X, Y ], escrevendo F = A0 Z m + G = B0 Z n + com A i , B j
∈ K [X, Y ] homogˆeneos e d A = d F + i − m, d B ◦
i
◦
◦
j
··· + A , ··· + B , m n
= d ◦ G + j
{
− n, A B = 0. 0
0
}
Procederemos por indu¸c˜a o sobre min m, n . Se m = 0, ent˜ao F = A0 ´e um produto de fatores lineares homogˆeneos do tipo aX + bY , caso em que sabemos calcular (F, G)P usando as propriedades. Com efeito, por (1) e (7) reduzimos `a situa¸c˜a o em que F ´e uma reta; por (4) podemos supor P = (0 : 0 : 1) e F = X ; por (6) podemos substituir G por F (0, Y , Z ) ; este u ´ltimo ´e um produto de fatores lineares e ent˜ ao ganhamos, usando (7) e (5) (e possivelmente (4) para transformar em Y um fator linear). Suponhamos, para a etapa indutiva, 0 < m n. Sem perda de generalidade, podemos supor F irredut´ıvel. Em particular, A0 e F s˜ao primos relativos. Aplicamos o algoritmo da divis˜ao, encontrando, para algum inteiro ˆ que r 0, polinˆomios B , G tais
≤
≥
ˆ com d◦Z G ˆ Ar0 G = BF + G,
≤ m − 1.
ˆ e primo relativo com F . Usando (6), obtemos Note que G ´ ˆ P . (F, Ar0 G)P = (F, G) Logo,
ˆ P (F, G)P = (F, G)
r 0 P ;
− (F, A )
O primeiro termo no segundo membro ´e calcul´avel por indu¸ca˜o; o segundo ´e calcul´avel pois d◦Z Ar0 = 0. Isto completa a demonstra¸c˜ao.
6.7. Exerc´ıcios
75
6.2 S´eries de potˆencias
89. Sejam F : (X 2 + Y 2 )2 = X 2 Y 2 e C a : X 2 + Y 2 = a(X Y ), onde a ´e constante arbitr´aria. (Se a = , tome C ∞ : Z (X Y ) = 0). Para cada a, calcule (F, C a )P em cada ponto. Verifique o teorema de B´ezout.
− ∞
−
−
90. Mostre que F : Y 2 = X X 3 e G : 3XY 2 = 3X 2 1 se cruzam em nove pontos distintos . Se P ´e qualquer um deles, mostre que o ´ındice de interse¸ca˜o de F com sua reta tangente em P ´e igual a 3.
−
−
91. Prove que (F, G)P s´o depende das componentes de F, G que passam por P , usando apenas as propriedades (1),. . . ,(7), da proposi¸ca˜o [6.2, p. 70]. 92. Prove que (F, G)P
≥ m (F )m (G) usando apenas (1),. . . ,(7). p
p
93. Refa¸ca o exerc´ıcio [84, p. 68] sem calcular resultantes. 94. Use o lema [6.4, p. 72] para mostrar que, se f = a 0 Y m + + am, g = + bn s˜ao polinˆ omios a coeficientes em um dom´ınio arbitr´ ario A, b0 Y n + com a 0 b0 = 0, ent˜ao R f,g = 0 se e s´o se f, g admitem raiz comum em alguma extens˜ao do corpo de fra¸co˜es de A.
···
···
6.2
S´ eries de potˆ encias
Nesta se¸ca˜o descrevemos uma defini¸ca˜o alternativa para a multiplicidade de interse¸c˜ao, empregando s´eries de potˆencias. H´ a v´arias outras alternativas, mas qualquer defini¸c˜ao aceit´avel dever´a satisfazer a lista de propriedades naturais dadas na proposi¸ ca˜o 6.2 e conseq¨uentemente, ter´a que coincidir com a que adotamos, via resultantes. Lembramos que uma s´erie de potˆencias na vari´ avel X a coeficientes no anel A ´e uma express˜ao da forma ∞
ai X i
i=0
∈
com os coeficientes a i A; duas tais express˜oes s˜ao iguais se e s´o se os coeficientes correspondentes s˜ao iguais. O conjunto A[ X ] das s´eries de potˆencias a coeficientes em A cont´ em um subconjunto que se identifica naturalmente com o anel dos polinˆomios A[X ]. Definem-se as opera¸co˜es de soma e produto de s´eries de potˆencias de maneira evidente, de sorte que A[X ] se torna um subanel de A[ X ].
| |
| |
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
76
Tomando uma nova vari´ avel independente Y , o anel das s´eries de potˆencias em duas vari´aveis ´e definido por
|
|
| | | |
A[ X, Y ] = (A[ X ])[ Y ]. Seus elementos se escrevem na forma
aij X i Y j .
i,j
Resumimos na proposi¸ca˜o seguinte algumas propriedades b´asicas das s´eries de potˆencias. A demonstra¸c˜ao ´e deixada a cargo do leitor.
6.8. Proposi¸c˜ ao. (a) Se A ´e um dom´ınio ( i.e., anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero) ent˜ ao A[ X ] tamb´em ´e. (b)
| |
o se o termo constante a0 ´e inai X i ´e invert´ıvel em A[ X ] se e s´ vert´ıvel em A.
| |
(c) Se α ´e uma s´erie de potˆencias com termo constante nulo e β ´e uma s´erie de potˆencias arbitr´ aria, ´e poss´ıvel “substituir X por α em β ”, resultando uma s´erie β (α) bem determinada pela seguinte condi¸c˜ ao : se ∞ m i omio “m-´esima soma parcial” de β = 0 bi X i , β m = 0 bi X ´e o polinˆ ent˜ ao (β (α))m = β m (α).
(d) Se α ´e como acima, a aplica¸c˜ ao β an´eis.
→ β (α) ´e um homomorfismo de
6.9. Exemplo: (1 X )−1 = 1+X +X 2 + . Mais geralmente, se α A[ X ] ´e uma s´erie de potˆencias com termo constante nulo, ent˜a o (1 α)−1 = 1 + . Esta express˜ao tem sentido, pois apenas um n´umero finito de α + α2 + parcelas contribui para o coeficiente de cada termo X i .
−
···
−
···
∈ | |
∈
Consideremos agora um polinˆomio p(X ) K [X ]. A multiplicidade de uma raiz x de p(X ) pode ser detectada substituindo X por X +x e extraindo a maior potˆencia poss´ıvel de X como fator de p(X + x). Escrevemos ent˜ ao m p(X + x) = X u(X ), onde u(0) = 0. Logo, u(X ) ´e invert´ıvel em K [ X ], e portanto os ideais p(X + x) e X m s˜ao iguais em K [ X ]. Segue-se a igualdade dos an´eis quocientes:
| |
K [ X ]/ p(X + x) = K [ X ]/ X m .
| |
| |
| |
77
6.2 S´eries de potˆencias
Ora, este u ´ ltimo, considerado como espa¸ co vetorial sobre K , claramente adm−1 mite para base as classes de 1, X , . . . , X (mod. (X m )). Vemos ent˜ao que a multiplicidade da raiz x de p(X ) ´e igual a` dimens˜ao do espa¸co vetorial K [ X ]/( p(X + x)). Da´ı at´e inferirmos uma f´ormula para a multiplicidade de interse¸c˜a o de duas curvas (digamos, inicialmente, afins) f , g ´e um pequeno (?) passo:
| |
6.10. Defini¸c˜ ao. Dado P = (x, y) proposi¸ca˜o [6.16, p. 80]),
{ |
∈ A , ponhamos (provisoriamente! 2
|
cf.
}
[f, g]P = dimK K [ X, Y ]/ f (X + x, Y + y), g(X + x, Y + y) .
6.11. Exemplo. Suponhamos f = Y, g arbitr´ario, P = (x, y). Se y = 0, ent˜ao P f , e dever´ıamos esperar [f, g]P = 0. E de fato, f (X + x, Y + y) = y + Y ´e invert´ıvel em K [ X, Y ], acarretando a nulidade do anel quociente em quest˜a o. Se y = 0, temos o isomorfismo
∈
|
|
|
|
∼
−→K [|X |]/g(X + x, 0).
K [ X, Y ]/ Y, g(X + x, Y )
Do que foi exposto acima, a dimens˜ao deste u ´ltimo quociente ´e justamente a multiplicidade de x como raiz de g(X, 0), em completa concordˆancia com a defini¸ca˜o j´a apresentada para (f, g)P . Estendemos a defini¸ca˜o acima para curvas projetivas F, G, de modo natural:
6.12. Defini¸c˜ ao. Se P = (x : y : 1) (resp. (x : 1 : z ), resp. (1 : y : z :)), desomogeneizamos F, G com rela¸c˜ao a Z (resp. Y , resp. X ) e definimos [F, G]P aplicando a f´ormula dada na defini¸ca˜o 6.10 com as modifica¸c˜oes ´obvias. H´a que se fazer a seguinte verifica¸ca˜o.
6.13. Lema. Se P = (x : y : 1) = (1 : u : v) ent˜ ao
|
| K [|Y, Z |]/F (1, Y + u, Z + v), G(1, Y + u, Z + v).
dimK K [ X, Y ]/ F (X + x, Y + y, 1), G(X + x, Y + y, 1) = dimK
(Valendo rela¸c˜ ao an´ aloga se (x : y : 1) = (u : 1 : v) . . . ).
Demonstra¸ c˜ ao. Temos xv = 1, yv = u. Em particular, x = 0 = v e portanto X + x ´e invert´ıvel em K [ X, Y ]. Sendo F homogˆeneo, temos
|
◦
|
F (X +x, Y +y, 1) = (X +x)d F F (1, (Y +y)(X +x)− 1, (X +x)−1 ) em K [ X, Y ].
|
|
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
78 Podemos construir um isomorfismo ϕ : K [ X, Y ]
| −→ K [|Y, Z |]
|
tal que
ou seja, (X + x)−1
ϕ(X ) = (Z + v)−1 x ϕ(Y ) = (Y + u)(Z + v)−1
−
→ Z + v, (Y + y)(X + x)
−1
−y , → Y + u. Logo,
◦
ϕ(F (X + x, Y + y, 1)) = (Z + v)−d F F (1, Y + u, Z + v), e analogamente para G. Assim, ϕ induz por passagem ao quociente um isomorfismo entre os espa¸cos cujas dimens˜oes quer´ıamos calcular. Indicaremos mais adiante como proceder para a verifica¸ca˜o de que [F, G]P satisfaz as propriedades caracter´ısticas (1),. . . ,(7). Assim, mostraremos que [F, G]P = (F, G)P . Antes por´em deduziremos uma conseq¨ uˆencia da nova f´ormula. Se P = (x0 , y0 ) f ´e um ponto n˜ao singular, digamos com f Y (P ) = 0, e K = R ou C , sabemos do C´alculo que, pr´oximo a P , a equa¸c˜ao f (X, Y ) = 0 fornece uma fun¸c˜ao impl´ıcita Y = ϕ(X ) tal que f (X, ϕ(X )) = 0 e y0 = ϕ(x0 ). Esta fun¸ca˜o ´e de fato anal´ıtica, i.e., sua s´erie de Taylor converge a ϕ(X ) numa vizinhan¸ca de x 0 . Se g ´e uma curva arbitr´aria, podemos calcular g(X, ϕ(X )), obtendo uma s´erie de potˆencias em X . O ´ındice de interse¸ca˜o (f, g)P deveria refletir a ordem do anulamento desta s´erie para X = x0 , no sentido explicitado a seguir.
∈
6.14. Defini¸c˜ ao. A ordem (ou ordem de anulamento) da s´erie Σai X i ´e o ´ınfimo dos inteiros i tais que ai = 0. A ordem da s´erie nula ´e .
∞
6.15. Proposi¸ca ˜o. Seja P = (x, y) um ponto n˜ ao singular sobre a curva f . Ent˜ ao:
|
|
| |
(a) K [ X, Y ]/ f (X + x, Y + y) ´e K -isomorfo a K [ T ], anel das s´eries de potˆencias numa vari´ avel T . (b) Se g ´e uma curva arbitr´ aria, ent˜ ao (f, g)P ´e a ordem da imagem de g(X + x, Y + y) em K [ T ] atrav´es do isomorfismo dado em (a).
| |
79
6.2 S´eries de potˆencias
Demonstra¸ c˜ ao. Sem perda de generalidade, podemos supor P = (0, 0) e f da forma Y + f 2 + . Pondo Y em evidˆ encia nos termos em que 2 ocorre, temos f = uY X h, com u invert´ıvel em K [ X, Y ]. Visto que f e u−1 f geram o mesmo ideal, podemos supor u = 1. (Agora h n˜ao ´e mais necessariamente um polinˆomio. Pouco importa.) Mostraremos que a aplica¸c˜ao K [ X ] K [ X, Y ]/ f
··· −
|
| | −→ s(X ) −→
|
|
| s = s(X ) + f
´e um isomorfismo. Esta afirma¸c˜ao ´e equivalente `a seguinte:
∀ g ∈ K [|X, Y |], ∃ s´eries q (X, Y ), r(X )
tais que g = qf + r.
As s´eries q, r s˜ao constru´ıdas por aproxima¸c˜oes sucessivas. Escrevemos 2
2
− X h)q + X hq .
g = g(X, 0) + Y q 0 = g(X, 0) + (Y
0
0
Ponhamos r 0 = g(X, 0), e recomecemos com g 1 = hq 0 em lugar de g: g1 = g1 (X, 0) +q 1 f + X 2 hq 1 , etc
r1
Desta maneira, constru´ımos seq¨uˆencias r0 , r1 , K [ X ], q 0 , q 1 , de sorte que, para cada m 1,
···∈ | | ≥
m
g =
···
· · · ∈ K [|X, Y |],
m
2i
X ri + (
0
X 2i q i )f + X 2m+2 hq m .
0
Definimos r(X ) = i≥0 X 2i ri , o que faz sentido, pois cada termo de r(X ) ´e obtido a partir de apenas um n´umero finito de X 2i ri . Similarmente, definimos q (X, Y ) = i≥0 X 2i q i . Por constru¸ca˜o, temos g r qf m´ultiplo de X N para todo N , donde se conclui facilmente
− −
g = r + qf. Uma vez demonstrado o isomorfismo ∼
| | −→ K [|X, Y |]/f ,
K [ X ]
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
80 se g
∈ K [|X, Y |] ´e arbitr´ario, temos K [|X, Y |]/f, g
|
| | | onde γ denota a imagem de g¯ = g + (f ) em K [|X |]. Isto completa a demons(K [ X, Y ]/ f )/ g¯ K [ X ]/ γ
tra¸c˜ao, pois ´e imediato que a ordem de γ ´e a dimens˜ao do u ´ ltimo quociente.
∼
| | −→ |
|
Observemos que o isomorfismo K [ X ] K [ X, Y ]/ f acima constru´ıdo ¯ fornece uma s´erie ϕ(X ), imagem de Y pelo isomorfismo inverso, tal que f (X, ϕ(X )) = 0. Isto ´e uma vers˜ao alg´ebrica formal do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita.
6.16. Proposi¸c˜ ao. [F, G]P (cf. defini¸c˜ao 6.10) satisfaz as propriedades do ´ındice de interse¸cao ˜ listadas na proposi¸ c˜ ao 6.2, p.70. Em particular, [F, G]P = (F, G)P para todo par de curvas planas F, G e todo ponto P P2 .
∈
a o imediatas. A proDemonstra¸ c˜ ao. As propriedades (1), (5) e (6) s˜ priedade (2) segue de que f (X + x, Y + y) ´e invert´ıvel em K [ X, Y ] se e s´o se f (x, y) = 0. Para a quarta propriedade, observemos que se T 1 , T 2 s˜ao projetividades tais que [T i. F, T i. G]T i P = [F, G]P ( F,G,P ),
|
|
∀
ent˜ao o mesmo ´e v´alido para a composta T 1 T 2 . Tendo em conta que toda matriz invert´ıvel ´e um produto de matrizes elementares (aquelas obtidas da matriz identidade por uma opera¸c˜ao elementar sobre as linhas), ´e suficiente verificar (4) quando T ´e uma “projetividade elementar”. Suponhamos por exemplo T • F (X , Y , Z ) = F (aX,Y,Z ) para alguma constante a = 0; digamos P = (1 : b : c). Logo, T P = (a−1 : b : c) = (1 : ab : ac). Calculamos
◦
(T • F )(1, Y +ab,Z + ac) = F (a, Y +ab,Z + ac) = ad F F (1, a−1 Y +b, a−1 Z +c). Constru´ımos um K -isomorfismo
|
| → K [|Y, Z |]
ϕ : K [ Y, Z ] tal que
ϕ(Y ) = Y/a, ϕ(Z ) = Z/a.
81
6.2 S´eries de potˆencias Temos ent˜ao ◦
ϕ(F (1, Y +b, Z +c)) = F (1, a−1 Y +b, a−1 Z +c) = a−d F (T • F )(1, Y +ab,Z +ac), e analogamente para G, mostrando que ϕ induz um K -isomorfismo entre os an´eis quocientes
|
|
K [ Y, Z ] F (1, Y + b, Z + c), G(. . . ) K [ Y, Z ] (T • F )(1, Y + ab,Z + ac), (T • G)(1, Y + ab,Z + ac) .
|
|
Isto prova que [F, G]P = [T F , T G]T P no caso considerado. Os demais casos s˜ao tratados de maneira similar. Resta verificar (3) e (7). Em vista de (4), podemos supor P = (0 : 0 : 1) e trabalhar com f = F ∗ , etc. . . Observe que (3) ´e conseq¨uˆencia imediata do resultado seguinte.
6.17. Lema. Sejam f, g
∈ K [X, Y ]. S˜ ao equivalentes:
(i) f, g n˜ ao admitem componente comum passando pela origem;
|
|
(ii) K [ X, Y ]/ f, g tem dimens˜ ao finita; (iii) f, g s˜ ao primos relativos ( i.e., n˜ ao admitem fator comum n˜ ao invert´ıvel) em K [ X, Y ].
|
|
Demonstra¸ c˜ ao. (i)
⇒ (ii). Da hip´otese, seguem-se rela¸co˜es em K [X, Y ], 0, af + bg = r(X )h = 0, cf + dg = s(Y )h = 0. Em K [|X, Y |], podemos onde h denota o MDC(f, g); em especial, h(0, 0) = escrever
r(X )h = X m u, s(Y )h = Y n v, com u, v invert´ıveis. Segue-se a inclus˜ao de ideais m
X
, Y n
⊆ f, g em K [|X, Y |].
Obtemos o epimorfismo K [ X, Y ]/ X m, Y n
|
|
−→→ K [|X, Y |] f, g.
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
82
O primeiro desses quocientes ´e manifestamente de dimens˜ao finita, gerado pelas classes residuais de X i Y j mod. X m , Y n , i = 0, . . . , m 1, j = 0, . . . , n 1, provando (ii). (ii) (iii) Suponhamos, por absurdo, que exista h K [ X, Y ] n˜ao invert´ıvel tal que f, g h (inclus˜ao de ideais de K [ X, Y ] ). Levando em conta o epimorfismo
⇒
− ∈ | | |
⊆
−
|
| | −→→ K [|X, Y |]/h, deduzimos que K [|X, Y |]/h tem dimens˜ao finita. Logo, existe n ≥ 1 tal que K [ X, Y ]/ f, g
1, X, . . . , X n −1 s˜ao linearmente independentes e 1, . . . , X n s˜ao dependentes m´odulo h. Portanto, existe uma rela¸ca˜o X n + a1 X n−1 +
∈ |
··· + a = sh, n
|
com ai ’s constantes e s K [ X, Y ]. Mas h(0, 0) = 0 implica an = 0, donde s(0, Y ) = 0 ou h(0, Y ) = 0. Com a primeira alternativa, ganhamos pois conclu´ımos uma rela¸ca˜o de dependˆencia para 1, . . . , X n −1 (porque X divide s). Com a segunda, tamb´em ganhamos, pois se X divide h, podemos substituir h por X e ´e ´obvio que K [ X, Y ]/( X = K [ Y ] tem dimens˜ao infinita. (iii) (i) Trivial.
|
|
| |
⇒
6.18. Lema. Sejam f, g uma rela¸cao ˜
∈ K [X, Y ] polinˆ omios primos relativos. Se existir af = bg em K [|X, Y |] ent˜ ao existe c ∈ K [|X, Y |] tal que a = cg. Em outras palavras, se g|af em ao g|a. K [|X, Y |] ent˜ Demonstra¸ c˜ ao. Apelando para o fato de que um anel de s´eries de potˆencias a coeficientes num corpo ´e fatorial, o resultado ´e conseq¨ uˆencia do lema anterior. Mas preferimos dar uma argumenta¸ca˜o independente. Da hip´otese, segue-se uma rela¸ca˜o
rf + sg = d(X ) = 0 em K [X, Y ]. Escrevendo d(X ) = uX m com u invert´ıvel em K [ X ], obtemos αf + βg = X m
| | , agora em K [|X, Y |].
83
6.2 S´eries de potˆencias Multiplicando por a, deduzimos (αb + aβ )g = aX m .
Seja n o menor expoente 0 tal que existe uma rela¸ca˜o X n a = cg, para algum c K [ X, Y ]. Mostremos que n = 0. Podemos supor que X n˜ao ´e fator comum de a, g em K [ X, Y ], bastando para isso substituir a, g por a/X i ,g/X i para algum i. Nessas condi¸co˜es, X n˜ao divide g, do contr´ario dividiria af , e portanto dividiria f , imposs´ıvel. Isso mostra que n = 0. Finalmente, para provar a propriedade (7),
∈ |
|
≥
|
|
[F, G1 G2 ]P = [F, G1 ]P + [F, G2 ]P ,
∞ ⊆ K [|X, Y |]/f, g −→K [|X, Y |]/I −→K [|X, Y |]/J p¯ −→ g p + I ; h + I −→ h + J.
podemos supor [F, G1 ]P < e como antes, P = (0 : 0 : 1). Da inclus˜ao de ideais I = f, g1 g2 J = f, g1 , obtemos as aplica¸c˜oes ϕ
ψ
2
1
´ imediato Notemos que ϕ e ψ s˜ao K -lineares, ψ ´e sobrejetiva e ψϕ = 0. E que a imagem de ϕ coincide com o n´ucleo de ψ. Mostremos que ϕ ´e injetiva. Se existir uma rela¸c˜ao
|
|
g1 p = af + bg1 g2 em K [ X, Y ],
|
|
segue-se que g 1 divide af em K [ X, Y ]. Visto que f, g1 s˜ao primos relativos, segue do lema anterior que g1 c = a para algum c. Cancelando g1 , obtemos p = cf + bg 2 , completando a prova de que ϕ e´ injetiva. Pelo teorema do n´ucleo e da imagem, segue que a dimens˜a o do n´ ucleo de ψ (= [F, G2 ]P ), somada a` dimens˜ao da imagem de ψ (= [F, G1 ]P ), ´e igual a` dimens˜ao do dom´ınio de ψ (= [F, G1 G2 ]P ).
6.19. Exerc´ıcios
| |
95. Prove que K [ X ] ´e um dom´ınio de ideais principais. 96. Prove a poposi¸ca˜o 6.8. 97. Complete a demonstra¸ca˜o do Lema 6.13, verificando a u ´ ltima afirma¸ca˜o l´a enunciada.
Propriedades do ´Indice de Interse¸ca˜o
84
∈ | |
98. Denotemos por o (f ) a ordem de uma s´erie f K [ X ] (cf. p. 78). Prove que a) o(f g) = o(f ) + o(g); b) o(f ) = 0 f ´e invert´ıvel em K [ X ]; c) o (f + g) min(o(f ), o(g)), valendo a igualdade se o(f ) = o (g).
⇔ ≥
| |
99. Sejam F, G curvas distintas com o mesmo grau. Seja P um ponto n˜ao singular de uma curva H . Mostre que (F + G, H )P min (F, H )P , (G, H )P . Se P ´e singular em H , esta desigualdade pode n˜ao valer: considere uma c´ubica nodal e as duas tangentes no ponto singular.
≥
{
}
100. Justifique a observa¸ca˜o feita logo ap´os o final da demonstra¸ca˜ o da proposi¸c˜ao [6.15, p. 78]. 101. Complete os detalhes da demonstra¸c˜ao da proposi¸ca˜o [6.16, p. 80], verificando a invariˆancia de [F, G]P pelos tipos de “projetividades elementares” n˜ao considerados.
Cap´ıtulo 7 F´ ormulas de Pl¨ ucker Vamos aplicar o teorema de B´ezout e propriedades do ´ındice de interse¸ca˜o para calcular o n´ umero de retas tangentes a uma curva passando por um ponto, e o n´umero de tangentes inflexionais. O resultado ´e fornecido pelas f´ormulas de Pl¨ ucker, enunciadas a seguir.
7.1. Teorema. Seja F uma curva irredut´ıvel de grau d singularidades s˜ ao δ n´ os e χ c´ uspides. Ent˜ ao temos d(d 3d(d
− 1) = − 2) =
≥ 2 cujas unicas ´
dˇ + 2δ + 3χ, i + 6δ + 8χ,
onde dˇ e i denotam o n´ umero de retas tangentes passando por um ponto umero de retas inflexionais, respectivamente. Supomos ainda P F e o n´ que os pontos de inflex˜ ao, os n´ os e as c´ uspides s˜ ao todos ordin´ arios, isto ´e, a(s) reta(s) tangente(s) apresenta(m) contato triplo e n˜ ao mais, e que o ponto a fora das tangentes aos pontos singulares, das tangentes inflexionais e P est´ das bitangentes.
∈
7.1.1. Exemplos. (i) Para uma cˆonica irredut´ıvel, temos d = dˇ = 2, δ = χ = i = 0, confirmando o fato de que podem ser tra¸cadas 2 tangentes a uma cˆonica irredut´ıvel por um ponto exterior. Quando a cˆ onica se degenera num par de retas, as duas tangentes coincidem com a reta que liga o ponto `a singularidade, “exˇ plicando” a redu¸ca˜o de d causada por um ponto duplo ordin´ario ... (ii) Se F ´e uma c´ ubica irredut´ıvel , h´a trˆes alternativas:
86
F´ormulas de Pl¨ ucker
ˇ 6, i = 9; 1) δ = χ = 0, quando ent˜ao F ´e n˜ao singular e d = 2) δ = 1, χ = 0 e, por fim, 3) δ = 0, χ = 1. Note que uma c´ubica irredut´ıvel n˜ao admite bitangentes (por que?) e toda reta tangente inflexional ´e simples, pois a multiplicidade de interse¸ca˜o n˜ao pode exceder 3.
7.1
Curvas polares
Cada uma das f´ormulas no teorema acima ´e obtida achando a interse¸ ca˜o de F com uma curva auxiliar adequada. Para a primeira delas, introduzimos a seguinte
7.2. Defini¸c˜ ao. A polar de um polinˆ omio F (de grau 2) relativa ao ponto P = (x0 : y 0 : z 0 ) ´e definida por F P := x 0 F X + y0 F Y + z 0 F Z . Se F P = 0, temos definida a curva polar associada a` curva F .
≥
7.3. Exemplo. A curva polar do c´ırculo X 2 + Y 2 = 1 com respeito ao ponto (0, 2) ´e a reta 0(2X ) + 2(2Y ) + 1( 2Z ), ou ainda, Y = 1/2. Note que ela cruza o c´ırculo nos dois pontos de contacto das tangentes que passam por (0, 2).
−
˜ de uma curva F e sua polar F P consiste 7.4. Proposi¸ca ˜o. A interse¸cao nos pontos singulares de F e nos pontos de contato das retas tangentes a F passando por P . ´ ´obvio ent˜a o que Demonstra¸ c˜ ao. Apliquemos a proposi¸ca˜o [5.6, p. 60]. E todo ponto singular de F est´a em F P . Seja agora Q um ponto n˜ao singular de F e pertencente a F P . A reta tangente a F em Q ´e X F X (Q) + Y F Y (Q) + ZF Z (Q) a qual, por hip´otese, cont´em P .
7.5. Corol´ ario. Se F ´e irredut´ıvel e d◦ F = d 2, ent˜ ao por cada ponto do plano passam, no m´ aximo, d(d 1) retas tangentes a F .
≥
−
Demonstra¸ c˜ ao. Visto que d◦ F P = d 1, segue-se que F e F P n˜ao tˆem componente comum. O corol´ario resulta do teorema de B´ezout.
−
87
7.1 Curvas polares
Vamos agora fazer uma an´ alise mais detalhada e calcular a contribui¸ca˜o efetiva, isto ´e, a multiplicidade de interse¸ca˜o, em F F P de cada ponto simples e de cada tipo de ponto singular de F .
∩
7.6. Lema. A curva polar ´e invariante por mudan¸ca de coordenadas, i.e., se T ´e uma projetividade, ent˜ ao (T •F )(T P ) = T • (F P ).
Demonstra¸ c˜ ao. Fixados T e P , ambos os membros da igualdade s˜ ao funi j k ¸co˜es lineares de F . Logo, podemos supor F = X Y Z , e calcular tomando para T uma projetividade elementar. Alternativamente, pode-se usar a regra da cadeia. 7.7. Lema. Seja Q temos P
(F, F )Q =
P
∈ F ∩ F . 1 se Q 2 se Q 3 se Q
Ent˜ ao, nas condi¸co˜es do teorema da p. 85, ´e um ponto simples de F ; ´e um ponto duplo ordin´ ario de F ; ´e uma c´ uspide ordin´aria de F.
Demonstra¸ c˜ ao. Pelo lema anterior, podemos supor Q = ( 0 : 0 : 1 ) . Suponhamos F lisa em Q. Podemos tomar Y = 0 para tangente, i.e., o polinˆomio f = F ∗ ´e da forma Y + aX 2 + bXY + . Segue-se que P = (x0 : 0 : z 0 ) com x0 = 0, pois P F . A curva polar ´e ent˜ao 2ax0 X + cY + (grau superior). Visto que Y n˜ao ´e tangente inflexional, temos a = 0. Logo F e F P tˆem tangentes distintas na origem, donde o ´ındice de interse¸c˜ao ´e igual a 1 (proposi¸c˜ao 5.15, p. 66). No segundo caso, podemos supor f da forma XY + grau superior.
···
∈
···
Visto que P est´a fora das tangentes aos pontos singulares, temos P = (x0 : y0 : z 0 ) com x 0 y0 = 0. A polar tem ent˜ao o aspecto
x0 Y + y0 X +
··· ,
sendo assim transversal a`s duas tangentes de F em Q e portanto (F, F P )Q = mQ (F ) = 2 (por 5.15, p. 66). Para o 3 o caso, escrevemos f = Y 2 + aX 3 +
··· ,
88
F´ormulas de Pl¨ ucker
com a = 0 (sen˜ao (Y, f )O > 3). Temos P = (x0 : y0 : z 0 ), com y0 = 0. Aplicando uma projetividade que fixe (0:0:1) e (1:0:0) e mande P em (0:1:0), temos que a reta Y = 0 ´e deixada invariante. Logo f permanece na forma apresentada, e a curva polar ´e dada por f P = 2Y + grau superior. Empregando com arg´ ucia a propriedade (6) do ´ındice de interse¸ca˜o [6.2, p. 70] obtemos, finalmente, (f, f P )O = (aX 3 +
··· , 2Y + ··· )
O =
3.
A primeira f´ormula do teorema (p.85) decorre da proposi¸c˜ao 7.4 e do lema 7.7.
7.2
A hessiana
Para provarmos a segunda f´ormula, introduzimos a seguinte
7.8. Defini¸c˜ ao. A curva hessiana de uma curva F de grau h(F ) =
F XX F XY F XZ F XY F Y Y F Y Z . F XZ F Y Z F ZZ
7.9. Exemplos. 1) Se F = ZY 2 h(F ) =
∩
{
−
≥ 3 ´e dada por
3
− X
(c´ubica cuspidal), temos
6X 0 0 0 2Z 2Y 0 2Y 0
}
= 24XY 2 .
Temos F h(F ) = 0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) . No primeiro ponto, a multiplicidade da interse¸c˜ao ´e 1 e no segundo ´e 8. A tangente a F no ponto (0 : 1 : 0) ´e Z = 0, que ´e inflexional. 2) Se F = ZY 2 ZX 2 +X 3 (c´ ubica nodal), h(F ) = 8(Z (X 2 Y 2 )+3XY 2 ). O ponto singular de F absorve seis interse¸co˜es com h(F ). Nos trˆes pontos restantes, (0 : 1 : 0) e (12 : i4 3 : 9), o ´ındice de interse¸ca˜ o vale 1. As tangentes a F nesses trˆes u ´ ltimos pontos s˜ ao inflexionais (Leitor: verifique!).
−
± √
−
−
89
7.2 A hessiana
∩
7.10. Proposi¸c˜ ao. F h(F ) ´e constitu´ıdo pelos pontos singulares e os pontos de inflex˜ ao de F . Nas condi¸c˜ oes do teorema, se Q F h(F ) ent˜ ao (F, h(F ))Q =
∈ ∩
1 se Q ´e ponto de inflex˜ ao ordin´ ario; 6 se Q ´e n´ o ordin´ ario; 8 se Q ´e c´ uspide ordin´ aria.
Demonstra¸ c˜ ao. O procedimento ´e an´alogo ao tratamento dado a` curva polar. Primeiro mostramos que h(F ) ´e invariante por mudan¸ca de coordenadas. Com esta liberdade, posicionamos o ponto Q na origem, e escolhemos a(s) tangente(s) como no caso anterior. Para provar a rela¸ca˜o T • (h(F )) = h(T •F ) , observamos que a matriz hessiana de T • F ´e obtida da matriz hesiana de F multiplicando a` esquerda e `a direita pela matriz de T −1 e sua transposta. Como o determinante de um produto de matrizes ´e igual ao produto dos determinantes, conclu´ımos que os polinˆomios T • (h(F )) e h(T • F ) diferem apenas por um m´ ultiplo constante = 0, definindo a mesma curva. Suponhamos agora Q = (0 : 0 : 1) F h(F ). Podemos escrever F na forma
∈ ∩
αZ d−1 Y + Z d−2 (βX 2 + γX Y + δY 2 ) + A condi¸ca˜o Q
··· .
∈ h(F ) ´e equivalente ao anulamento do determinante
2β 0 γ 2δ (d 1)α γ 0 (d 1)α 0
−
−
=
2 2
−2(d − 1) α β .
Logo, ou α = 0 – caso em que (0 : 0 : 1) ´e singular em F , ou α = 0 e β = 0, quando (0 : 0 : 1) ´e um ponto de inflex˜ ao. Calculemos o ´ındice de interse¸ca˜o em cada caso. (i) C´ uspide ordin´ aria . Escrevemos F na forma Z d−2 Y 2 + Z d−3 (αX 3 + βX 2 Y + γX Y 2 + δY 3 ) +
··· ,
com α = 0. Procuramos os termos de menor grau de h = h(F )∗ =
6αX + 2βY + 2βX + 2γY + (d 3)(3αX 2 +
−
··· ··· ··· )
2 + 2γX + 6δY + 2(d 2)Y +
−
···
···
D
90
F´ormulas de Pl¨ ucker
onde D = (d
− 3)((d − 2)Y
2
3
− 4)αX + ··· ). Encontramos h = Y (aX + bY ) + cX + ··· + (d 2
4
as reticˆencias indicando termos irrelevantes e a, b, c constantes, com
− −
− − − 18α (d − 3) . Calculando o ´ındice de interse¸ca˜o, pondo f = F , g = h − (aX + bY )f , vem a = 12α(d 2)(d 3) , c = 12α2 (d 3)(d 4)
2
2
∗
(f, h)Q = (f, g)Q = (Y 2 + αX 3 + = 2 4 = 8,
·
4
··· , (c − aα)X + Y (··· ) + ··· )
Q
porque c = aα implica que Y n˜ao ´e tangente a g. Note que c = aα para d 4. O caso d = 3 foi essencialmente tratado no exemplo anterior. (ii)N´ o ordin´ ario. Temos
≥
F = Z d−2 XY + Z d−3 (αX 3 + βY 3 +
··· ) + ··· ,
com αβ = 0 (sen˜ao o contato de uma reta tangente ao n´o seria ao menos qu´adruplo). Calculando h = h(F )∗ encontramos h = cX Y + aX 3 + bY 3 + com
··· ,
− − − − − − − − −
c = 2 (d 2)(d 3), a = α(6 (d 3)(d 4), b = β (6 (d 3)(d 4)).
Pondo f = F ∗ , podemos calcular o ´ındice de interse¸c˜ao,
−
(f, h)O = (f, h cf )O = (XY + , (a = 2 3 = 6,
···
3
3
− cα)X + (b − cβ )Y + ··· )
O
· 0 implica que X, Y n˜ao s˜ao tangentes a h − cf . pois (a − cα)(b − cβ ) = (iii) Ponto de inflex˜ ao ordin´ ario. Fica como exerc´ıcio para o leitor.
Completamos portanto a demonstra¸ c˜a o das duas f´ormulas de Pl¨ ucker enunciadas no teorema deste cap´ıtulo. A verifica¸ca˜o que fizemos para a
91
7.2 A hessiana
contribui¸ca˜o de cada tipo de ponto em F h(F ) e F F P , sugere que as f´ormulas podem ser generalizadas para abranger singularidades mais complicadas. Encorajamos o leitor a calcular alguns outros casos nos exerc´ıcios. H´a duas outras f´ormulas de Pl¨ ucker que gostar´ıamos de mencionar:
∩
ˇ dˇ d( ˇ dˇ 3d(
− 1) − 2)
∩
= d + 2β + 3i, = d + 6β + 8i,
onde β denota o n´ umero de bitangentes. Elas s˜ ao, de certa maneira, duais das f´ormulas do teorema 1. Precisamente, associemos `a reta aX + bY + cZ = 0 o ponto (a : b : c) no ˇ 2 . Denotando por A,B,C coordenadas homogˆeneas plano projetivo dual P ˇ 2 , vemos que, dualmente, cada ponto (x : y : z ) P2 corresponde a em P ˇ 2 , justamente a que consiste nos pontos que uma reta xA + yB + zC em P representam as retas de P 2 contendo (x : y : z ). ´ razo´avel se esperar, e de fato pode-se demonstrar, que as retas tanE gentes a uma curva irredut´ıvel F P2 s˜ao parametrizadas por uma curva ˇ 2 , chamada curva dual de F . ˇ P (igualmente irredut´ıvel) F Por exemplo, AX + BY + C ´e tangente `a par´abola Y = X 2 se e s´o se A2 4BC = 0. ˇ e o n´ ˇ Ora, sabemos que o grau de F ´ umero de pontos da interse¸c˜ao de F ˇ 2 ; dualmente, isto corresponde ao n´umero dˇ de com uma reta gen´erica de P retas tangentes a F passando por um ponto gen´erico de P2 . Demonstra-se ˇˇ e que, na correspondˆencia tamb´em que F = F ,
∈
⊂
⊂
−
(tangente de F )
ˇ ←→ (ponto de F ),
ˇ e as bitangentes aos as tangentes inflexionais correspondem `as c´ uspides de F , pontos duplos. Assim, as duas f´ormulas acima podem ser provadas permutando os pap´eis ˇ de F, F . ˇ δ, β,χ,i s˜ao chamados de caracter´ısticas de Pl¨ Os n´ umeros d, d, ucker da curva F . As equa¸co˜es de Pl¨ucker fornecem uma condi¸ca˜o necess´aria para que seis n´ umeros sejam as caracter´ısticas de uma curva. Sabe-se que essa ˇ 14, δ = condi¸c˜ao n˜ao ´e suficiente: n˜ao existe curva irredut´ıvel com d = d = ´ uma quest˜ao ainda n˜ao resolvida determinar condi¸c˜oes β = 0, χ = i = 56. E necess´ arias e suficientes para que seis inteiros d, . . . , χ, i ocorram efetivamente como caracter´ısticas de uma curva.
92
F´ormulas de Pl¨ ucker
7.11. Exerc´ıcios 102. Verifique as f´ormulas de Pl¨ ucker para a trissectriz de Maclaurin, para o folium de Descartes e para a ciss´oide de Diocles. 103. Mostre que os trˆes n´os da lemniscata n˜a o s˜ao ordin´arios. Calcule o n´umero de interse¸co˜es absorvidas por cada um desses n´os com a hessiana. 104. Mostre que a curva Y 2 3X (X 2 + Y 2 ) (X 2 + Y 2 )2 = 0 tem duas bitangentes e quatro pontos de inflex˜ao.
−
−
105. Mostre que a reta que liga dois pontos de inflex˜ao de uma c´ ubica irredut´ıvel n˜ao cuspidal emcontra a c´ ubica em um terceiro ponto de inflex˜ao. 106. Prove que uma c´ubica real n˜ao singular possui exatamente trˆes pontos de inflex˜ao reais e trˆes pares de pontos de inflex˜ao complexo-conjugados. 107. Prove que os pontos de contato de tangentes a uma c´ubica n˜ao singular por um ponto exterior pertencem a uma cˆonica. Em que caso ´e esta cˆonica degenerada? 108. Investigue os ´ındices de interse¸c˜ao de uma curva com sua polar relativa a um ponto sobre a curva. 109. Prove que um ponto m-uplo ordin´ario absorve m(m 1) interse¸co˜es de uma curva com sua polar com respeito a um ponto convenientemente situado.
−
110. Prove que toda componente comum a uma curva e sua hessiana ´e uma reta. 111. Investigue a rela¸ca˜o entre h(h(F )) e F para uma c´ubica n˜ao singular F . 112. Para cada d 4 construa uma curva F n˜ao singular cujas tangentes inflexionais s˜ao todas ordin´arias.
≥
113. Mostre que a dual de uma cˆonica n˜ao degenerada F = a11 X 2 + a22 Y 2 + a33 Z 2 + 2(a12 XY + a13 XZ + a23 Y Z ) ´e a cˆonica ˇ = a A2 + a B 2 + a C 2 + 2(a AB + a AC + a BC ) F 11 22 33 12 13 23 onde a matriz sim´etrica (aij ) ´e a inversa de (aij ).
93
7.2 A hessiana
ˇˇ para F = Z Y 2 X 3 e F = Z ( Estude de a 114. Verifique F = F F Z (Y 2 X 2 )3 . Estu correspondˆencia encia entre os pontos singulares e as tangentes excepcionais.
−
−
cam-se tangentes `as as cˆonicas onicas de um feixe F t := 115. “Se de um ponto P P tra¸cam-se + tF ∞ , ent˜ao ao o lugar dos pontos de contato contato ´e uma c´ ubica”. ubica”. Determine Determine F 0 + tF condi¸c˜ c˜oes oes precisas sobre o ponto P onicas F 0 , F ∞ que tornem P e o par de cˆonicas verdadeira essa afirma¸c˜ cao. a˜o. ubica F podem podem ser tra¸cadas cadas por um ponto 116. Quantas tangentes a uma c´ubica F de F de F ??
94
F´ormulas ormulas de Pl¨ ucker ucker
Cap´ıtulo 8 Curvas Racionais Introduzimos neste cap´ cap´ıtulo os conceitos de fun¸c˜ cao ˜ao regular e fun¸c˜ cao a˜o racional sobre uma curva. curva. Servimo-no Servimo-noss das curvas curvas racionais como itiner´ ario a rio e motiva¸c˜ c˜ao. ao. Demons Demonstra tramos mos o teorema teorema de L¨uroth uroth e estabelecemos um crit´ erio erio num´ erico erico de racionalidade. Nas duas se¸c˜ c˜oes oes finais ilustramos aplica¸c˜ c˜oes oes de curvas racionais ao c´alculo alculo de integrais de certas fun¸c˜ c˜oes oes alg´ebricas ebricas e apresentamos uma breve introdu¸c˜ cao a˜o as a`s curvas de B´ezier. ezie r.
8.1 8.1
Curv Curvas as ra raci cion onai aiss afi afins ns
ıvel f ´e racional se se existir um par 8.1. Defini¸c˜ cao. a ˜o. Uma curva afim irredut´ıvel de fun¸c˜ coes o˜es racionais x racionais x((T ) ao ambas constantes, tal que f que f ((x(T ) T ), y (T ), T ), n˜ao T ), y(T )) T )) = 0 em K (T ) par x(T ) chama do uma parametriza¸c˜ cao ˜ racional T ). O pa T ), y(T ) T ) ´e chamado (ou simplesmente parametriza¸ simplesmente parametriza¸c˜ cao.) ˜
8.2. Exemplos. 1) Toda reta ´e racional, racio nal, admitindo admiti ndo parametriza par ametriza¸c˜ c¸ao a˜o da forma
com a com a = 0 ou c ou c = 0.
x(T ) T ) = aT + b, y(T ) T ) = cT + d,
96
Curvas Racionais
2) O c´ırculo X 2 + Y 2 = 1 ´e racional, com parametriza¸c˜ao obtida como indicado na figura ao lado. Determinamos a interse¸c˜ao da reta Y = t(X + 1) com o c´ırculo, encontrando o ponto vari´avel (x(t), y(t)) onde
x(t) = (1 t2 )/(1 + t2 ), y(t) = 2t/(1 + t2 ).
−
..................... ................ . . . . . ........ . . . . . . . ...•... (x(t), y(t)) .. . . . · ·· ..... · · .. ... · · ... · · .. · t ·· · ... · .. · · · · .. ·· ...... . ······ . −1 ..........·.......·......·.......·......................................................................................................................................··........................................ ... . O .. ... . . ... .. ... . .... .. . . ..... . ....... .... . . . . . . .............. ................................ figura 8.1
Intuitivamente, uma curva ´e racional se for poss´ıvel desenh´a-la sem se levantar o l´apis do papel. Por isso, o termo unicursal ´e tamb´em empregado. No entanto, esta descri¸ca˜o ´e por vezes enganosa. Por exemplo, embora o tra¸co real de X 4 + Y 4 = 1 admita essa “caracteriza¸ca˜o”, podemos mostrar que esta curva n˜ ao ´e racional.
................................ .. ......................... . . . . . . ..... .... ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. .. .. .. .. ... ... ... .. ... ... . ..... ....... ............................................................. figura 8.2
Com efeito, suponhamos, por absurdo, a existˆ encia de uma parametriza¸ ca˜o
x = p(T )/r(T ), y = q (T )/r(T ),
onde p, q, r s˜ao polinˆ omios sem fator comum (aos trˆes), r = 0, e digamos q n˜ao constante. Derivando a rela¸c˜ao
x4 + y 4 = 1, vem ˙ 3 + yy ˙ 3 = 0. xx Consideremos o sistema linear
xu + yv = 1, ˙ ˙ = 0. xu + yv
97
8.1 Curvas racionais afins Visto que ω := x y˙ solu¸ca˜o u ´nica
− xy ˙ = 0 (sen˜ao x/y seria constante), o sistema admite a ˙ u = y/ω,
v =
−x/ω. ˙
Mas u = x 3 e v = y 3 s˜ao solu¸co˜es. Da´ı vem 3 ˙ ˙ y = ωx , x =
3
−ωy .
Substituindo em termos de p, q, r, e simplificando, vem ˙ p3 , r3 (rq ˙ q ˙r) = ( pq ˙ q p) ˙ = ( pq ˙ q p)q ˙ 3 . r3 (r p˙ pr)
Da´ı se deduz que r3
− − − − − divide p q ˙ − q p. ˙ Dividindo e estimando graus, obtemos 3d p ≤ d r + d q − 1, 3d q ≤ d r + d p − 1, 3d r ≤ d p + d q − 1, ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
o que implica 0
◦
≤ d p + d q + d r ≤ −3,
absurdo!
8.3. Exerc´ıcios 117. Seja f = f m + f m+1 uma curva afim irredut´ıvel, onde f i ´e homogˆeneo de grau i. Mostre que f ´e racional. Obtenha uma parametriza¸ca˜o para X 2 Y (X Y )+(X +Y )2 (X 2Y )2 (X +2Y ) empregando um feixe conveniente de retas.
−
−
118. Seja C uma cˆonica definida sobre o corpo dos n´ umeros racionais. Prove que se C admite um ponto com coordenadas racionais ent˜ao existe uma infinidade de tais pontos. Determine todas as solu¸ c˜oes inteiras da equa¸ca˜o 2 2 2 2 2 2 X + Y = Z . Idem para X + Y = 3Z . 119. Mostre que X m + Y m = 1 ´e racional se e s´o se m = 1 ou 2.
98
8.2
Curvas Racionais
Fun¸co ˜es regulares e fun¸co ˜es racionais
Quando uma curva ´e racional, a cada valor do parˆ ametro (salvo um n´ umero finito que anula o denominador) corresponde um ponto bem definido da curva. Mas pode ocorrer que cada ponto da curva seja atingido por valores distintos do parˆametro, e.g., x = T 2 , y = 1/T 2 repete duas vezes cada ponto da hip´erbole. Neste exemplo, vemos que ´e poss´ıvel substituir T por outra vari´avel. Fazendo U = T 2 , obtemos a nova parametriza¸c˜ao x = U, y = 1/U . Mostraremos mais adiante que ´e sempre poss´ıvel escolher uma boa parametriza¸ca˜o, para a qual a correspondˆencia (valor do parˆametro)
←→ (ponto da curva)
´e bijetiva, salvo um n´umero finito de exce¸co˜es. Para isto, ser´ a conveniente introduzir algumas defini¸co˜es.
8.4. Defini¸c˜ ao. Seja C A2 uma curva afim irredut´ıvel, de equa¸ca˜o f = 0. Uma aplica¸ca˜o ϕ : C A1 ´e chamada regular ou polinomial se for igual `a restri¸c˜ao de uma fun¸ca˜o polinomial A2 A1 , i.e., se existir um polinˆomio p(X, Y ) tal que ϕ(x, y) = p(x, y) para cada (x, y) C .
⊂ →
→
∈
O conjunto das fun¸co˜es regulares de C forma um anel, que denotamos por A(C ). Por defini¸c˜ao, temos um epimorfismo K [X, Y ]
A(C )
que associa a cada polinˆ omio, considerado como fun¸ ca˜o A2 A1 , a sua restri¸c˜ao a C . Usualmente denotaremos pelo mesmo s´ımbolo trˆes coisas distintas:
→
1o ) o polinˆomio p
∈ K [X, Y ];
2o ) a fun¸ca˜o polinomial p : A2
→A ;e 1
3o ) a sua restri¸ca˜o a C . N˜a o h´a confus˜ao poss´ıvel para as duas primeiras, pois sendo K um corpo infinito, um polinˆ omio ´e determinado pela fun¸ca˜o associada. Se necess´ ario, escreveremos p para ¯ distinguir a restri¸ca˜o a C .
99
8.2 Fun¸co˜es regulares e fun¸c˜oes racionais
8.5. Lema. A(C ) ´e um dom´ınio isomorfo a K [X, Y ]/ f . Demonstra¸ c˜ ao. Um polinˆomio g se anula sobre a curva C somente se for m´ultiplo de f . Com efeito, se g n˜a o for m´ ultiplo de f , segue da proposi¸ca˜o [2.4, p. 20] que a interse¸ca˜o ´e finita. Assim, o n´ ucleo do epimorfismo definido por restri¸ca˜o ´e justamente o ideal (f ), o qual ´e um ideal primo pois f ´e irredut´ıvel e K [X, Y ] ´e fatorial. 8.6. Exemplos. (1) Se ´e uma reta, ent˜ao A() ´e isomorfo a um anel de polinˆomios em uma vari´avel. Precisamente, se ´e dada por Y = aX + b, a aplica¸c˜ao K [X, Y ] K [X ] h h(X,aX + b)
−→ −→
− (aX + b). Logo,
´e um epimorfismo com n´ucleo (f ), onde f = Y A()
K [X, Y ]/f K [X ].
(2) Se C ´e a hip´erbole X Y = 1, temos A(C )
m
{X p(X ) | m ∈ Z, p(X ) ∈ K [X ]}.
Isto ´e, A(C ) se identifica com o anel B das fun¸co˜es racionais cujos denominadores s˜ao potˆencias de X . Com efeito, temos um homomorfismo K [X, Y ] h(X, Y )
−→ −→
K (X ) h(X, 1/X )
cuja imagem ´e justamente o anel B acima descrito, e cujo n´ucleo ´e o ideal XY 1 . (Leitor: verifique!).
−
8.7. Defini¸c˜ ao. O corpo das fun¸c˜ oes racionais de uma curva afim irredut´ıvel C ´e o corpo de fra¸co˜es K (C ) do dom´ınio A(C ). Cada elemento de K (C ) pode ser escrito na forma p/¯ ¯ q , onde p, ¯ ¯ q denotam fun¸co˜es polinomiais restritas a C , com q¯ = 0. Duas tais express˜o es p/¯ ¯ q, r¯/¯ s representam a mesma fun¸ca˜o racional em K (C ) se e s´o se a fun¸ca˜o regular ¯s q¯ r¯ ´e nula em C , ou equivalentemente, o polinˆomio ps qr ´e m´ ultiplo de p¯ a definida no f . Dizemos que a fun¸ca˜o racional ϕ K (C ) ´e regular ou que est´ ponto P C se ϕ admitir uma representa¸c˜ao p/q , com p, q A(C ) e q (P ) = 0. Denotemos por C ϕ o conjunto dos pontos de C onde ϕ ´e regular. Temos ent˜ao definida uma aplica¸c˜ao, ainda denotada ϕ : C ϕ A1 , justificando a nomenclatura “fun¸ca˜o racional” com que designamos os elementos de K (C ).
−
∈
− ∈
∈
→
100
Curvas Racionais
8.7.1. Observa¸c˜ ao. Em geral, o dom´ınio de regularidade C ϕ ´e o complementar de um subconjunto finito de C . (Leitor: justifique.) Uma fun¸c˜ao regular obviamente ´e uma fun¸c˜ao racional que est´a definida em todos os pontos de C . A rec´ıproca ´e o conte´udo da seguinte
∈
ao racional regular em cada 8.8. Proposi¸c˜ ao. Se ϕ K (C ) ´e uma fun¸c˜ ponto de C ent˜ ao ϕ A(C ), i.e., ϕ ´e regular .
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Seja
{ ∈ A(C ) | qϕ ∈ A(C )}.
I = q
´ f´acil ver que I ´e Pretendemos mostrar que a fun¸ca˜o constante 1 est´a em I . E um ideal de A(C ). Portanto, supondo, por absurdo, que 1 I , ent˜ao I tem que estar contido em algum ideal maximal de A(C ). Ora, cada ideal maximal de A(C ) = K [X, Y ]/(f ) corresponde a um ideal maximal de K [X, Y ] que cont´em f . Pelo Nullstellensatz (p. 30), concluir´ıamos que existe P C tal que q (P ) = 0 para todo q I , contradizendo a regularidade de ϕ em P .
∈
∈
∈
−1 8.9. Exemplos. (1) Seja C o c´ırculo X 2 + Y 2 = 1, e seja ϕ = Y X . Esta fun¸c˜ao ´e certamente regular em cada (x, y) C com x = 0. No ponto ¯ ¯ −1 X (0, 1), ϕ tamb´em ´e regular, pois temos a nova representa¸ca˜o − = Y X ¯ ¯ . Y +1 Mas no ponto (0, 1) ϕ n˜ao ´e regular. (Leitor: por que?) ¯ y = Y¯ , ϕ = (2) Considere a c´ubica cuspidal C : Y 2 = X 3 . Sejam x = X, y/x = x 2 /y. O leitor deve verificar que C ϕ = C O . Este exemplo mostra que uma fun¸c˜ao racional pode n˜ao admitir representa¸ca˜o na forma p/q que funcione em todos os pontos em que ela ´e regular. A propriedade da fatora¸c˜ao u ´ nica em A(C ) ´e o crit´erio respons´avel pela existˆencia de uma tal representa¸ca˜o. No exemplo (2), A(C ) n˜ao ´e um dom´ınio fatorial. (Veja o exerc´ıcio [124, p. 102].)
∈
−
−{ }
8.10. Proposi¸ca ˜o. C ´e uma curva racional se e somente se seu corpo de fun¸c˜ oes racionais K (C ) ´e K-isomorfo a um subcorpo de K (T ) (= corpo das fun¸c˜ oes racionais numa vari´ avel T ). Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que K (C ) ´e K -isomorfo a um subcorpo de ¯ ¯ K (T ). Sejam x(T ), y(T ) as imagens de X, Y K (C ) em K (T ). Se x(T ) ¯ tamb´em ´e, acarretando X a for constante, ent˜ao X f para alguma constante a K . Da´ı, visto que f , a equa¸ca˜o de C , ´e irredut´ıvel, conclu´ımos
∈
∈
− ∈
101
8.2 Fun¸co˜es regulares e fun¸c˜oes racionais
¯ n˜ao ´e constante, que f = X a (a menos de fator constante). Logo, Y mostrando que x(T ) ou y(T ) ´e n˜ao constante. Por fim, lembrando que f ´e zero em A(C ), conclu´ımos que f (x(T ), y(T )) = 0 em K (T ), ou seja, obtemos uma parametriza¸ca˜o de C . Reciprocamente, dada uma parametriza¸ca˜o x(T ), y(T ) K (T ), temos definido um K -homomorfismo
−
∈
ϕ : K [X, Y ] h(X, Y )
−→ −→
K (T ) h(x(T ), y(T ))
que se anula em f . Afirmamos que o n´ ucleo I de ϕ coincide com f . Com efeito, se existir g I n˜ao divis´ıvel por f , por (2.2, p. 19) podemse encontrar polinˆomios c(X ), d(Y ) em I , n˜ao nulos. Da´ı K [X, Y ]/ c, d tem dimens˜ao finita, e portanto sua imagem K [X, Y ]/I K [x(T ), y(T )], a K sub´algebra de K (T ) gerada por x(T ), y(T ), tamb´em ´e um K espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Em particular, as fun¸co˜ es 1, x(= x(T )), x2 , . . . , xn s˜ao linearmente dependentes sobre K para algum inteiro n 1. Logo, x ´e alg´ebrico sobre K , e portanto x K . Analogamente, y(T ) K , contradizendo a hip´otese de que ao menos uma dessas fun¸co˜es era n˜ao constante.
∈
−
−
≥
∈
∈
8.11. Exerc´ıcios 120. Mostre que toda fun¸ca˜o regular n˜ao constante ϕ A(C ) admite no m´aximo um n´ umero finito de zeros, i.e., pontos P C onde ϕ(P ) = 0.
∈
∈
121. Seja C o gr´a fico de uma fun¸ca˜o polinomial Y = p(X ) . Mostre que A(C ) ´e isomorfo a K [X ]. Reciprocamente, se A(C ) ´e K isomorfo a um anel de polinˆomios K [T ], ser´a C igual ao gr´afico de uma fun¸ca˜o, a menos de uma mudan¸ca de coordenadas?
−
−
122. Mostre que K [X, Y ]/(XY 1) (o anel das fun¸c˜oes regulares da hip´erbole) n˜ao ´e isomorfo a K [X ]. (Sugest˜ ao: quais s˜ao os elementos invert´ıveis?)
−
123. Mostre que, se C ´e uma cˆonica irredut´ıvel afim, ent˜ao A(C ) ´e K isomorfo seja a K [X, Y ]/(XY 1) ou a K [X ]. A qual desses corresponde o c´ırculo C : X 2 + Y 2 = 1? Defina as fun¸c˜oes u = x + iy, v = x iy no anel de coordenadas do c´ırculo. Mostre que ϕ = i(i u)/(i + u) = (y 1)/x. Compare com 8.9.
−
−
−
−
102
Curvas Racionais
124. Seja A = K [X, Y ]/(Y 2 X 3 ) o anel de coordenadas da c´ubica cuspidal ¯ y = Y . ¯ Mostre que x, y s˜ao elementos irredut´ıveis (i.e., se e sejam x = X, ao associados em x (resp.y) = f g em A ent˜ao f ou g ´e invert´ıvel em A) e n˜ A (i.e., nenhum elemento invert´ıvel f A satisfaz a rela¸ca˜o y = x f .
−
·
∈
·
∈
125. Seja C uma curva irredut´ıvel e seja ϕ K (C ) uma fun¸ca˜o racional n˜ao constante. Mostre que o homomorfismo K [T ] K (C ) definido por p(T ) p(ϕ) ´e injetivo e se estende a um isomorfismo do corpo das fun¸co˜es racionais K (T ) sobre o subcorpo K (ϕ) K (C ).
−→
8.3
→
⊂
O teorema de L¨ uroth
Suponhamos que a curva C seja racional. A inclus˜ao de corpos,
→ K (T )
K (C )
→
→
fornecida pela proposi¸ca˜o anterior ´e dada pela substitui¸ca˜o X x(T ), Y y(T ) em ϕ(X, Y ) = p(X, Y )/q (X, Y ), elemento de K (C ). Esta substitui¸ca˜o produz a fun¸c˜ao racional p(x(T ), y(T ))/q (x(T ), y(T )) em K (T ), a qual est´a bem definida porque o denominador ´e = 0, uma vez que f n˜ao divide q .
8.12. Defini¸c˜ ao. Dizemos que a parametriza¸ca˜o x(T ), y(T ) da curva C ´e boa se a inclus˜ao K (C ) K (T ) ϕ(X, Y ) ϕ(x(T ), y(T ))
→ −→
´e sobrejetora.
Isto equivale a requerer que exista ψ(X, Y )
∈ K (C ) tal que
ψ(x(T ), y(T )) = T .
8.13. Exemplo. A parametriza¸c˜ao do c´ırculo obtida anteriormente,
x(T ) = (1 T 2 )/(1 + T 2 ) 2T /(1 + T 2 ) y(T ) =
−
´e boa, pois tomando ψ = Y /(X + 1) temos que ψ(x(T ), y(T )) = T . ˜ 8.14. Proposi¸c˜ ao. Toda curva racional admite uma boa parametriza¸cao.
103
8.3 O teorema de L¨uroth Esse resultado ´e conseq¨ uˆencia do
8.15. Teorema de L¨ uroth. Seja L um subcorpo de K (T ) que cont´em K. Se L cont´em uma fun¸c˜ ao n˜ ao constante (i.e. L = K ) ent˜ ao existe τ K (T ) tal que L = K (τ ).
∈
Em outras palavras, existe uma fun¸ca˜o τ = τ (T ) tal que cada elemento de L ´e da forma ϕ(τ ) para alguma ϕ K (T ). Antes de procedermos com a demonstra¸c˜ao do teorema de L¨uroth, ´e instrutivo examinar, por exemplo, o subcorpo L = K (T 4 , T 6 ) gerado pelas fun¸co˜es T 4 , T 6 . Tomemos τ = T 2 = T 6 /T 4 L. Agora note que T 4 = (τ )2 , T 6 = (τ )3 , donde L = K (τ ).
∈
∈
Prova do teorema de L¨ uroth. Notemos que K (T ) ´e uma extens˜ao alg´ebrica de L. Com efeito, se ϕ = a(T )/b(T ) L ´e n˜ao constante, com a, b K [T ], vemos que T ´e raiz do polinˆomio a(X ) ϕb(X ) L[X ]. Logo, T ´e alg´ebrico sobre L. Seja
∈
∈
p(X, T ) = a0 (T )X m +
−
∈
··· + a (T ), m´ınimo de T sobre L, onde a ∈ K [T ], a = m
o polinˆomio j Podemos supor MDC(a0 , . . . , am ) = 1. Seja i 0 tal que n = d◦ ai (T ) 0
◦
0
0, a j /a0
∈
L.
≥ d a (T ) para j = 0, . . . , m . j
∈
Escolha j0 tal que ai /a j K . (Leitor, justifique a lisura dessa escolha!) Definamos τ = a i /a j . Note que o polinˆomio 0
0
0
0
τ a j (X ) 0
−a
i0 (X )
∈ L[X ]
se anula em T e ´e de grau n em X . Logo, podemos estimar o grau da extens˜ao, [K (T ) : K (τ )] n.
≤
Seja agora q (X, T ) = a j (X )ai (T ) 0
0
−a
j0 (T )ai0 (X ).
Temos q (T, T ) = 0. Segue-se que p(X, T ) divide q (X, T ) em K [X, T ], digamos p(X, T )r(X, T ) = q (X, T ).
104
Curvas Racionais
Comparando graus com respeito a` vari´avel T , d◦T p = n
◦ T
≤ d p + d
◦ T r =
d◦T q
≤ n.
Logo, r independe de T . Agora, r = r(X ) divide q (X, T ); por simetria (vide defini¸ca˜o de q !) r(T ) tamb´em ´e fator de q (X, T ). Portanto, r(T ) divide p(X, T ). Mas por constru¸c˜ao, MDC(a0 , . . . , am ) = 1, donde r(T ) ´e constante. Logo m = n; conclu´ımos a demonstra¸ca˜o observando as desigualdades, n
≥ [K (T ) : K (τ )] ≥ [K (T ) : L] = m,
que implica K (τ ) = L.
Para obtermos uma boa parametriza¸ca˜o a partir de uma dada, x(T ), y(T ), basta aplicar o teorema de L¨uroth ao subcorpo K (x(T ), y(T )) K (T ). Deduzimos K (x(T ), y(T )) = K (τ ) e tomamos τ como novo parˆametro.
⊂
8.16. Exerc´ıcios 126. Determine a equa¸ca˜o da curva parametrizada por x(T ) = T 6 T 2 + 1, y(T ) = T 2 /(1 + T 2 ). Ache τ L = K (x(T ), y(T )) tal que L = K (τ ).
−
∈
127. Sejam x, y K (T ) fun¸co˜es racionais n˜ao ambas constantes. Seja S A1 a interse¸ca˜odos dom´ınios de regularidade (veja p. 100) de x e de y. Mostre que existem u, v K (T ) tais que a aplica¸ca˜ o de S em A2 definida por (u(t), v(t)) ´e injetiva e sua imagem coincide com a imagem de t t (x(t), y(t)), exceto para um n´umero finito de pontos. Se x, y s˜ao polinˆ omios, ´e poss´ıvel encontrar u, v polinˆomios?
−→
8.4
∈ ∈
⊆
−→
Curvas racionais projetivas
Observemos que a parte inicial da demonstra¸ca˜ o do teorema de L¨uroth mostra, mais geralmente, que se x(T ), y(T ) K (T ) n˜a o s˜ao ambas constantes, ent˜ao existe um polinˆomio f (X, Y ) n˜ao constante tal que f (x(T ), y(T )) ´ claro que podemos supor f irredut´ıvel. Seja ψ a aplica¸ca˜o dada por = 0. E ψ(t) = (x(t), y(t)). Note que ψ est´a definida no complementar de um n´umero finito de pontos de A1 . A imagem de ψ est´a contida na curva definida por f , podendo por´em omitir alguns pontos.
∈
105
8.4 Curvas racionais projetivas
8.17. Exemplo. Consideremos a parametriza¸c˜ao do c´ırculo, 1 t2 2t ). ψ(t) = ( , 1 + t2 1 + t2
−
O ponto ( 1, 0) est´a fora da imagem (verifique!). Se K = R ou C , podemos imaginar t , e ´e claro que
− →∞
lim ψ(t) = ( 1, 0).
−
t→∞
→
Mas em qualquer caso, temos um procedimento alg´ ebrico para fazert 1 1 : consideramos A P , como de h´abito, identificando t com (t : 1), e procedemos analogamente para A2 a gica: a P2 . Eis agora o passe de m´ aplica¸c˜ao ˜ P1 ψ : P2 (t : u) (u2 t2 : 2tu : u 2 + t2 )
∞
⊂
⊂
−→ −→
−
coincide com ψ no dom´ınio comum e fornece o valor ˜ ) def. ˜ : 0) = ( 1 : 0 : 1). = ψ(1 ψ(
∞
−
˜ Observe que ψ estende ψ tamb´em aos pontos t = coordenadas de ψ(t) n˜ao estavam definidas.
±√ −1, em que ambas as
8.18. Defini¸c˜ ao. Uma aplica¸ca˜o ψ : Pm Pn ´e dita regular ou polinomial se existirem polinˆ omios homogˆeneos do mesmo grau, ψ0 , . . . , ψn : x m ) Pm , K [X 0 , . . . , Xm ] tais que, P = (x0 :
∀
→ ∈
···
ψ(P ) = (ψ0 (P ) :
∈
··· : ψ (P )). n
Note que, em particular, os polinˆomios ψ0 , . . . , ψn s˜ao proibidos de admitir zero comum P Pm . O requerimento de que sejam homogˆeneos e do mesmo grau se justifica para garantir que (ψ0 (P ) : : ψn (P )) independe das coordenadas homogˆeneas de P . Deixamos a cargo do leitor a demonstra¸ca˜o da proposi¸c˜ao seguinte, generalizando a discuss˜ ao feita acima.
∈
· ··
˜ racionais. Seja 8.19. Proposi¸ca ˜o. Sejam x 1 (T ), . . . , xn (T ) fun¸coes A1 o maior subconjunto em que est˜ ao todas definidas. Ent˜ ao existe uma ´ unica aplica¸cao ˜ polinomial ψ : P1 Pn tal que
U ⊂
→
ψ(t : 1) = (x1 (t) :
··· : x (t) : 1) ∀t ∈ U . n
106
Curvas Racionais
Este resultado mostra que o conceito de parametriza¸c˜ao racional de uma curva plana pode ser substitu´ıdo, com vantagem, pelo conceito de aplica¸ca˜o polinomial P1 P2 . Com efeito, com este u´ ltimo ponto de vista, por um lado desaparecem as restri¸c˜oes impostas `a varia¸ca˜o do parˆametro e, por outro, a imagem agora ´e completa no seguinte sentido.
→
8.20. Proposi¸ca ˜o. A imagem de uma aplica¸c˜ ao polinomial ψ : P1 n˜ ao constante ´e uma curva projetiva irredut´ıvel .
−→ P
2
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ψ 0 , ψ1 , ψ2 K [X 0 , X 1 ] coordenadas de ψ. Se ψ 2 = 0, mostremos que ψ(P1 ) ´e igual a` reta no infinito Z = 0. Com efeito, dado Q = (y0 : y 1 : 0) P2 , o polinˆomio y1 ψ0 (X 0 , X 1 ) y0 ψ1 (X 0 , X 1 ) admite raiz P = (x0 : x 1 ) P1 , i.e.,
∈
∈
∈
−
y1 ψ0 (x0 : x 1 ) = y 0 ψ1 (x0 : x 1 ),
donde ψ(P ) = Q. Suponhamos agora ψ 2 = 0. Ponhamos
x(T ) := ψ0 (T, 1)/ψ2 (T, 1), y(T ) := ψ1 (T, 1)/ψ2 (T, 1).
Ao menos uma delas ´e n˜ ao constante. Seja f a curva racional assim parametrizada (cf. observa¸ca˜o no in´ıcio do 8.4). Seja F = f ∗. Provaremos que F = ψ(P1 ). Seja
§
˜ F (T, U ) = F (ψ0 (T, U ), ψ1 (T, U ), ψ2 (T, U )). ´ f´acil ver que F (T, ˜ E U ) ´e um polinˆomio homogˆeneo nas indeterminadas T , U . ˜ ˜ Como F (T, 1) = 0, segue-se que F (T, U ) = 0, ou seja, F cont´em ψ(P1 ). Para completar a demonstra¸ca˜o, analisemos a condi¸ca˜o para que um ponto (y0 : y 1 : y 2 ) P2 esteja em ψ(P1 ). Supondo y 2 = 0, a condi¸ca˜o
∈
(y0 : y 1 : y 2 ) = (ψ0 (t, u) : ψ(t, u) : ψ2 (t, u)) se exprime na existˆencia de uma solu¸ca˜o (t : u) P1 para o sistema de equa¸c˜oes y2 ψ0 (T, U ) y0 ψ2 (T, U ) = 0, y2 ψ1 (T, U ) y1 ψ2 (T, U ) = 0.
−
∈
− −
Ponhamos Gi = Y 2 ψi Y i ψ2 , i = 0, 1. Temos dois polinˆ omios homogˆeneos nas vari´aveis T , U , da forma G0 = a0 T m + a1 T m−1 U + + bm U m , G1 = b0 T m +
···
m m U ,
··· + a
107
8.4 Curvas racionais projetivas
onde os ai , b j s˜ao polinˆ omios homogˆeneos de grau 1 nas novas vari´ aveis Y 0 , Y 1 , Y 2 . Esta ´e uma situa¸c˜ao t´ıpica da teoria da elimina¸ca˜o: procuramos condi¸c˜oes sobre os coeficientes de dois polinˆomios para que admitam um zero em comum. (No caso em pauta, G 0 , G1 s˜ao homogˆeneos, mas o zero trivial, t = u = 0, n˜ao interessa). Consideremos a resultante R = R(Y 0 , Y 1 , Y 2 ) de G0 (T, 1), G1 (T, 1). Sabemos ent˜ao que, para cada y = (y0 , y1 , y2 ), R(y) = 0
⇐⇒
a0 (y) = b0 (y) = 0 ou G0 (T, 1), G1 (T, 1) admitem raiz comum t
Ora, se a0 (y) = b 0 (y) = 0, temos G 0 (1, 0) = G 1 (1, 0) = 0. Conclu´ımos que R(y) = 0
1
⇐⇒ (G (t, u) = G (t, u) = 0 para algum (t : u) ∈ P ). 0
1
Em resumo, a argumenta¸ca˜o acima mostra que (y0 : y 1 : 1)
1
∈ ψ(P ) ⇐⇒ R(y , y , 1) = 0. 0
1
Em particular, ψ(P1 ) cont´em a curva afim R(Y 0 , Y 1 , 1) = 0. Lembrando que F ´e irredut´ıvel e ψ(P1 ) F , conclu´ımos que
⊂
(y0 : y 1 : 1)
1
∈ ψ(P ) ⇐⇒ (y : y : 1) ∈ F. 0
1
Repetindo o argumento com y0 ou y1 no lugar de y2 , segue que ψ(P1 ) = F .
8.21. Defini¸c˜ ao. Uma curva projetiva ´e racional se for igual `a imagem de uma aplica¸ca˜o polinomial n˜ ao constante P 1 P2 .
−→
O leitor deve verificar que esta defini¸ca˜o ´e consistente com a defini¸ca˜o 8.1. Precisamente, deixamos como exerc´ıcio a prova da seguinte
8.22. Proposi¸ca ˜o. (i) Seja f uma curva afim. Ent˜ ao f ´e racional se e s´ o se seu fecho projetivo ∗ f ´e racional. (ii) Seja F uma curva projetiva. Ent˜ ao F ´e racional se e s´ o se F ∗ ´e racional (ou vazia!).
8.23. Exerc´ıcios
108
Curvas Racionais
128. Demonstre as proposi¸c˜oes 8.19 e 8.22. 129. Sejam ψ0 , ψ1 , ψ2 K [X, Y ] polinˆomios homogˆeneos de grau 2, linearmente independentes. Mostre que n˜ao admitem fator comum, e que a imagem da aplica¸ca˜o polinomial que definem de P 1 em P 2 ´e uma cˆonica n˜ao singular. Toda cˆonica n˜ao singular ´e imagem de uma tal aplica¸c˜ao.
∈
130. Mostre que toda c´ubica singular irredut´ıvel ´e racional. 131. Mostre que toda aplica¸ca˜o polinomial bijetiva P1 P 1 ´e do tipo (x : (ax + by : cx + dy) com a, b, c, d constantes tais que ad bc = 0. y)
→
−→
∈
−
132. Sejam p, q,r K [T ] tais que MDC( p, q, r) = 1 e p/r, q/r ´e uma boa parametriza¸ca˜o da curva racional f . Mostre que d ◦ f = max d◦ p, d◦q, d◦ r . (Sugest˜ ao: Se A, B,C s˜ao indeterminadas, ent˜ao Ap + Bq + Cr ´e irredut´ıvel em K [A,B,C,T ]; conclua que as ra´ızes de ap(T ) + bq (T ) + cr(T ) s˜ao todas distintas para “quase todo” (a : b : c) P2 ).
{
}
∈
133. Mostre que a multiplicidade de um ponto de uma curva racional ´e igual ao n´ umero de valores do parˆametro que lhe correspondem numa parametriza¸ca˜o do tipo descrito no exerc´ıcio anterior, contando esses valores com multiplicidades convenientemente definidas.
8.5
O gˆ enero virtual
Veremos nesta se¸ca˜o um crit´erio num´erico para que uma curva seja racional.
8.24. Defini¸c˜ ao. O gˆenero virtual de uma curva projetiva F sem componentes m´ ultiplas ´e o n´umero inteiro gv = gv (F ) =
(d
− 1)(d − 2) − 2
P
− 1)/2,
mP (mP
onde d = d◦ F e m P = mP (F ) ´e a multiplicidade de P em F . O somat´orio ´e finito pois sabemos que mP = 1 exceto para o n´umero finito de pontos singulares de F .
8.25. Exemplos. 1) O gˆenero virtual de uma reta ou de uma cˆonica irredut´ıvel ´e zero.
109
8.5 O gˆenero virtual
2) Se F ´e a c´ ubica Y 2 = X 3 , temos g v = 0. 3) Considere a curva Y 2 = X 5 . Os pontos singulares s˜ ao (0 : 0 : 1) e (0 : 1 : 0) com respectivas multiplicidades iguais a 2 e 3. Logo, gv =
(5
− 1)(5 − 2) − 1 − 3 = 2. 2
8.26. Proposi¸ca ˜o. Seja F uma curva irredut´ıvel. Ent˜ ao temos,
≥ 0; (ii) g (F ) = 0 ⇒ F ´e racional. (i) gv (F ) v
Observemos que a rec´ıproca de (ii) n˜ao ´e v´alida, pois no terceiro exemplo acima a curva ´e evidentemente racional (fazer x = T 2 , y = T 5 ), embora gv = 2 > 0. Na realidade, o gˆenero virtual ´e apenas uma aproxima¸ ca˜o grosseira do mais importante n´ umero associado a uma curva, o gˆenero geom´etrico. Este u ´ ltimo coincide com g v (F ) quando as singularidades de F s˜ao apenas pontos m´ultiplos ordin´arios. Deixamos como exerc´ıcio 135 uma rec´ıproca parcial, mostrando que gv = 0 se F ´e racional e seus pontos singulares s˜ao todos ordin´ arios.
Prova da proposi¸ca ˜o 8.26. Examinemos inicialmente um caso simples. Uma c´ ubica irredut´ıvel n˜ao admite ponto triplo, pois teria que conter a reta que une qualquer outro de seus pontos ao ponto triplo; similarmente, tamb´em n˜ao admite dois pontos duplos distintos. Por outro lado, se a c´ubica admitir um ponto duplo P 0 , consideremos o feixe das retas que passam por P 0 . Se L0 , L∞ s˜ao duas dessas, as demais retas do feixe s˜ao da forma L t = L 0 +tL∞ para um valor conveniente de t. O ponto P 0 absorvendo duas interse¸c˜oes, cada L t destaca sobre a c´ubica um u ´ nico ponto adicional, cujas coordenadas se expressam como fun¸ca˜o racional de t. Para o caso geral, devemos considerar curvas de grau suficientemente grande passando por todos os pontos singulares de F . Precisamente, seja d = d◦ F . Os casos d = 1, 2 dispensando maiores coment´arios, suponhamos d 3. Sejam P 1 , . . . , Ps os distintos pontos singulares de F , com m i = mP i (F ) 2. Vamos estudar a cole¸c˜ao das curvas de um certo grau n que passam por cada P i com multiplicidade mi 1. Denotemos por n o conjunto de todas as curvas projetivas planas de grau n. Podemos identificar n com
≥
≥ ≥ −
S
S
110
Curvas Racionais
um espa¸co projetivo PN , com N = n(n + 3)/2, associando a cada curva : an0 ), os ´ındices i, j satisfazendo G = Σaij X i Y j Z n−i− j o ponto (a00 : a01 : i, j 0, i + j n, ordenados de alguma maneira. Seja
≥
≤ S = {G ∈ S | m o n
n
···
P i (G)
≥ m − 1, i = 1, . . . , s}. i
Ora, a imposi¸c˜ao de que um dado ponto seja m-uplo sobre uma curva traduzse num sistema de m+1 equa¸c˜oes lineares homogˆeneas nos coeficientes do 2 polinˆ omio que define a curva. Assim, no identifica-se a um subespa¸co projetivo de P N , com a dimens˜ao
S
dim Tomando n = d
S ≥ − o n
(m2i ) =: N n .
N
− 1, calculamos 2N = (d − 1)(d + 2) − m (m − 1) = 2g + 4(d − 1) ≥ d(d − 1) − m (m − 1). Esta u ´ltima quantidade ´e ≥ 0. Com efeito, aplicando o teorema de B´ezout a F, F , encontramos (F, F ) . d(d − 1) = Mas ´e facil ver que m (F ) ≥ m − 1, donde (F, F ) ≥ m (m − 1). Tendo verificado que N ´e ≥ 0, podemos concluir que existe uma curva G ∈ S , de grau d − 1, satisfazendo ainda as condi¸co˜es adicionais de passar d−1
v
X
P i
X
i
i
i
i
i
X P
X P i
i
i
d−1
o d−1
por N d−1 pontos de F , distintos dos P i . Aplicando B´ezout, resulta d(d Da´ı vem
− 1)
≥
−
mi (mi
− − −
gv = N d−1 2(d 1) (d 1)(d 2)
≤
≥
−
− 1) + N
d−1 .
mi (mi
− 1) = 2g
v
donde g v 0, completando a demonstra¸c˜ao de (i). Suponhamos agora gv = 0. Fazendo n = d 2, calculamos N d−2 = d Escolhamos d
−
− 2.
− 3 novos pontos Q ∈ F , e consideremos S = {G ∈ S |Q ∈ G, j = 1, . . . , d − 3}, j
o d−2
j
111
8.5 O gˆenero virtual o d−2 pela
S
que ´e obtido a partir de Temos ent˜ao
imposi¸c˜ao de d
dim
− 3 novas equa¸c˜oes lineares.
S ≥ 1.
Afirmamos que dim = 1. Com efeito, se dim 2, ent˜ao poder´ıamos for¸car algum G a passar por mais dois pontos de F , distintos dos pontos fixos j´a considerados. Contando os pontos de G F , obter´ıamos
∈ S
S
d(d
− 2) ≥
donde
S ≥ ∩ m (m − 1) + d − 3 + 2 i
i
−
− 1)(d − 2) m (m − 1) ≥ 1 !!! Em resumo, existem G , G ∈ S tais que todo elemento de S ´e da forma x G + x G , para algum (x : x ) ∈ P , i.e., S ´e um feixe (i.e., fam´ılia linear a um parˆametro de curvas). Vamos mostrar que ´e poss´ıvel parametrizar F empregando esse feixe. Seja C o complementar de G ∩ F na curva afim C = F . (Em particular, C 0 = (d
0
0
0
1
1
i
i
1
0
1
1
∗
0
∗
exclui os pontos P i , Q j ). Seja ϕ a fun¸ca˜o racional definida por ϕ : C P
−→ −→
0
1
A1
⊂
P1
−G (P )/G (P ). Por constru¸ca˜o, ϕ(P )G + G ´e a u ´ nica curva de grau d − 2 que passa por P , pelos Q , e por cada P com multiplicidade ≥ m − 1. Notemos que ϕ ´e injetiva, do contr´ario existiria G ∈ S contendo dois pontos al´em dos j´ a j
i
ϕ(P ) =
1
0
i
fixados. Em particular, ϕ ´e n˜ao constante, acarretando que o subcorpo K (ϕ) de K (C ) gerado por ϕ ´e isomorfo ao corpo das fun¸co˜es racionais de uma vari´ avel (veja o exerc´ıcio [125, p. 102]). Para concluirmos que C , e portanto ´ o que resulta do F , ´e racional, ´e suficiente provarmos que K (C ) = K (ϕ). E pr´oximo lema.
∈
ao 8.27. Lema. Seja C uma curva irredut´ıvel e seja ϕ K (C ) uma fun¸c˜ racional n˜ ao constante. Seja m = [K (C ) : K (ϕ)]. Ent˜ ao, exceto para um n´ umero finito de valores t K , a equa¸c˜ ao ϕ(P ) = t admite exatamente m solu¸c˜ oes distintas. Em particular, se C admitir uma fun¸c˜ ao racional injetiva ent˜ ao C ´e racional.
∈
112
Curvas Racionais
Demonstra¸ c˜ ao. Lembremos que K (C ) ´e gerado sobre K pelas restri¸co˜es ¯ ¯ ¯ ¯ X, Y , ou seja, K (C ) = K (X, Y ). Sem perda de generalidade, podemos supor ¯ ¯ ¯ X K . Mostremos que X, Y s˜ao alg´ebricas sobre K (ϕ). Com efeito, ϕ n˜ao ´e alg´ebrico/K , pois K ´e algebricamente fechado e ¯ n˜ao fosse alg´ebrico sobre K (ϕ), ent˜ao para ϕ K . Se, por absurdo, X ¯ ) = 0. Equivalentemente, para todo todo p K (ϕ)[T ], p = 0, ter´ıamos p(X ¯ ) = 0. Assim, ϕ n˜ao seria alg´ebrico sobre p K [T, U ], se p = 0 ent˜ao p(ϕ, X ¯ ) . Visto que Y ¯ ´e alg´ebrico sobre K (X ¯ ) (j´a que f (X, ¯ ¯ K (X Y ) = 0, onde f ¯ ¯ denota a equa¸ca˜o de C ), deduzir´ıamos que ϕ n˜ao ´e alg´ebrico sobre K (X, Y ), ¯ ¯ contradi¸c˜ao. Conclu´ımos que K (X, Y ) ´e uma extens˜ao alg´ebrica finita de K (ϕ). ¯ ¯ Apliquemos o teorema do elemento primitivo: existe ψ K (X, Y ) tal que ¯ ¯ K (X, Y ) = (K (ϕ))(ψ) = K (ϕ, ψ).
∈ ∈ ∈ ∈
∈
Em particular, existem fun¸co˜es racionais α, β de duas vari´aveis tais que ¯ = α(ϕ, ψ), Y ¯ = β (ϕ, ψ). X Escrevamos o polinˆomio m´ınimo de ψ sobre K (ϕ) na forma g(T, U ) = a0 (T )U m +
··· + a
m (T ),
∈ K [T ], a = 0.
ai
0
¯ ¯ Assim, g(ϕ, ψ) = 0, e o grau m coincide com o grau da extens˜ao K (X, Y ) = K (ϕ, ψ) sobre K (ϕ). Seja D a curva definida no plano (t, u) pela equa¸ca˜o g(T, U ) = 0. Por ¯ ¯ constru¸ca˜o de D, o K homomorfismo de K [T, U ] em K (X, Y ) definido por h(T, U ) h(ϕ, ψ) induz uma inclus˜a o do anel de fun¸co˜es regulares A(D) ¯ ¯ ¯ K (X, ¯ ¯ em K (X, ´ ltimo Y ) e por fim, o K -isomorfismo K (T¯, U ) Y ). Este u ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ isomorfismo associa a X, Y as fun¸co˜es α(T , U ), β (T , U ) respectivamente. Sejam C 0 e D0 os maiores subconjuntos de C e D em que as fun¸co˜es racionais ϕ, ψ e α, β est˜ao definidas. Consideremos as aplica¸co˜es π : C 0 D e χ : D 0 C definidas por (x, y) (ϕ(x, y), ψ(x, y)) e (t, u) (α(t, u), β (t, u)). Desprezando mais um n´ umero finito de pontos, podemos supor que π(C 0 ) D0 e χ(D0 ) C 0 . Lembrando a defini¸ca˜o do isomorfismo K (D) K (C ), verifica-se facilmente que π e χ s˜ao inversas uma da outra. Em particular, observemos que ϕ(χ(t, u)) = t para todo (t, u) C 0 . Desta maneira, resolver
−
→
−→
− → ⊆
−→ −→
∈
⊆
113
8.5 O gˆenero virtual a equa¸ca˜o ϕ(x, y) = t com (x, y)
∈ C ´e agora equivalente a resolver a equa¸ca˜o 0
g(t, U ) = 0. Descontando os valores de t que anulam a0 (T ) ou que ocorrem em pontos de interse¸ca˜o de g(T, U ) com gU (T, U ) (derivada parcial com respeito a U ), obtemos m solu¸co˜es distintas. Um coment´ario: o teorema do elemento primitivo nos permite substituir a curva C por outra curva D, com o mesmo corpo de fun¸co˜es racionais, de tal sorte que a fun¸c˜ao ϕ ´e substitu´ıda pela proje¸c˜ao D (t, u) t.
−→
8.28. Exemplo. Consideremos a lemniscata C : (X 2 + Y 2 )2 = X 2 Y 2 . Seus pontos singulares s˜a o (0 : 0 : 1) e (1 : i : 0), todos duplos. Logo, gv = 0. Apliquemos o procedimento da demonstra¸c˜ao para construir uma parametriza¸c˜ao. Devemos considerar o feixe das cˆonicas passando por esses trˆes pontos e por um quarto ponto adicional, e.g., (1 : 0 : 1). Sejam G0 = XZ, G1 = X 2 + Y 2 X Z . Ent˜ao o feixe x0 G0 + x 1 G1 (x0 : x1 ) P1 ´e a totalidade das cˆonicas que contˆem os quatro pontos. A parametriza¸ca˜o procurada ser´a obtida achando a fun¸ca˜o inversa de
−
±
−
{
ϕ(x, y) = (x
2
2
− x − y )/y,
(x, y)
|
∈ }
∈ C . ϕ
Substitu´ımos x x2 y 2 = ty na equa¸c˜ao da lemniscata. Desprezando solu¸co˜es provenientes dos pontos fixos, encontramos
− −
y = 2tx/(t2 + 1) x = (t4 1)/((t2 + 1)2 + 4t2 ),
−
que d´a a parametriza¸ca˜o procurada.
8.29. Exerc´ıcios 134. Ache uma parametriza¸c˜ao para (X 2 + Y 2 )2 = X Y . 135. O objetivo deste exerc´ıcio ´e provar que, se F ´e uma curva projetiva racional cujas singularidades s˜ao apenas pontos m´ ultiplos ordin´ arios, ent˜ao gv (F ) = 0. a) Mostre que existem x,y,z K [T ] com MDC(x,y,z ) = 1 e F (x,y,z ) = 0 e m K [T ] e tal que t P t = (x(t) : y(t) : z (t)) ´e 1 uma bije¸ca˜o do complementar A de um n´umero finito de pontos sobre o complementar C umero finito de pontos. b) Desprezando F de um n´
⊂
U ⊂
∈ −→
114
Curvas Racionais
mais um n´ umero finito de pontos, prove que a equa¸ca˜o da reta tangente a F em P t ´e, para t , dada por
∈ U
X x(t) ˙ x(t)
Y y(t) ˙ y(t)
Z z (t) z ˙ (t)
= 0.
(Sugest˜ ao: use a f´ormula de Euler e derive F (x,y,z ) com rela¸ca˜o a T para mostrar que F X , F Y , F Z (calculadas em P t ) s˜ao proporcionais aos menores das duas u ´ ltimas linhas). c) Seja P = (x0 : y 0 : z 0 ) um ponto fora das tangentes aos pontos singulares de F e das tangentes aos pontos correspondentes a valores excepcionais de t (i .e ., t ). Mostre que F F P cont´em, al´em dos pontos singulares, os pontos P t em que t ´e raiz do polinˆomio
∈ U
x0 dx
− tx˙ x˙
y0
−
dy ty˙ ˙ z ˙ y&
∩
z 0 dz tz ˙ , onde d = d◦ F.
−
d) Mostre que o grau deste ´ultimo polinˆ omio ´e no m´aximo 2d exerc´ıcio [109, p. 92] para concluir a rela¸ca˜o d(d 1) ΣmQ (F )(mQ (F ) 1) + 2d 2, e da´ı, g v = 0.
− ≤
−
− 2. e) Use o
−
≥
136. Mostre que toda curva racional projetiva de grau 3 ´e singular. No entanto, existem curvas racionais afins n˜ao singulares de grau arbitr´ario.
8.6
Aplica¸c˜ ao ao c´ alculo integral
Vamos aplicar a propriedade caracter´ıstica das curvas racionais ao c´alculo de integrais de certas fun¸co˜es alg´ebricas. Dizemos que uma fun¸ca˜o y = ϕ(x) definida e cont´ınua numa vizinhan¸ca de um ponto x0 K (K = R ou C) ´e alg´ebrica se existir um polinˆomio n˜ao constante f tal que f (x, ϕ(x)) = 0 no dom´ınio de ϕ. (Por exemplo, ϕ(x) = x ´e alg´ebrica.) Tomando f irredut´ıvel, o polinˆomio fica determinado a menos de fator constante e dizemos ent˜ao que f ´e a equa¸cao ˜ de ϕ, ou que ϕ ´e definida por f (X, Y ) = 0. Eis a quest˜ao que queremos abordar: sob que condi¸c˜ oes a integral ϕ(x)dx ´e exprim´ıvel por fun¸c˜ oes elementares?
√
∈
115
8.6 Aplica¸ca˜o ao c´alculo integral
N˜ao ´e nosso objetivo aqui explorar em profundidade esse problema. Vamos nos contentar com a discuss˜ao de um caso simples. De in´ıcio, esclare¸camos o significado de “fun¸ca˜o elementar”. Chamaremos de fun¸cao ˜ elementar da fun¸cao ˜ alg´ebrica ϕ(x) a uma combina¸ca˜o linear de fun¸c˜oes do tipo ψ(x, ϕ(x)) ou log(ψ(x, ϕ(x)), onde ψ denota uma fun¸ca˜o racional de duas vari´aveis. ao alg´ebrica definida por uma 8.30. Proposi¸ca ˜o. Seja y = ϕ(x) uma fun¸c˜ equa¸c˜ ao polinomial f (X, Y ) = 0. Se a curva definida por f ´e racional, ent˜ ao a integral χ(x, ϕ(x))dx ´e uma fun¸cao ˜ elementar de ϕ(x) para toda fun¸c˜ ao racional χ.
Demonstra¸ c˜ ao. Seja x(T ), y(T ) uma boa parametriza¸ca˜ o de f . Assim, salvo um n´ umero finito de exce¸co˜es, cada ponto (a, b) f ´e da forma a = ´ nico valor t. Segue-se que ϕ(x(t)) = y(t) para x(t), b = y(t) para um u quase todo t em que o primeiro membro est´a definido. Portanto, a integral ˙ A χ(x, ϕ(x))dx calcula-se por substitui¸ca˜o, fazendo x = x(T ), dx = xdT . p(T ) integral se transforma numa do tipo q(T ) dT , onde p, q s˜ao polinˆ omios. Se m ms (T cs ) , onde os ci C s˜ao dois a dois distintos, q (T ) = (T c1 ) podemos escrever a expans˜ao em fra¸co˜es parciais,
∈
−
1
··· −
p(T ) = r(T ) + q (T )
∈ − s
mi
aij (T
ci )− j ,
i=1 j=1
onde r(T ) ´e um polinˆomio e os a ij s˜ao constantes. A integral de uma fun¸ca˜o desse tipo ´e claramente da forma ψ(T )+Σai1 log(T ci ), onde ψ(T ) ´e racional. Lembrando que T = ξ (x(T ), y(T )) para alguma fun¸ca˜o racional ξ , vemos que ´e poss´ıvel expressar o resultado final em termos de uma fun¸c˜ao elementar de ϕ(x).
−
8.31. Exemplo. Calcular 0. Temos a parametriza¸ca˜o
ϕ(x) x+1 dx,
onde ϕ(x) ´e definida por Y 2 X 2 +X 3 =
−
x(T ) = T 2 y(T ) = T (T 2
Logo,
ϕ(x) dx = x+1
−1 − 1).
(T 2 1)T 2T dT = T 2 1 + 1
− −
·
116
Curvas Racionais
T 3 = 2 (T 1)dT = 2( T ) = 3 2 ϕ(x) 3 ϕ(x) = (( ) 3 ), 3 x x levando em conta a rela¸ca˜o T = y/x = ϕ(x)/x). 2
−
−
−
8.7
Curvas de B´ ezier
´ O leitor j´a deve ter visto em curso elementar de C´alculo ou Algebra Linear a t´ecnica de interpola¸ca˜o de Lagrange: dados os pontos (x1 , y1 ), . . . , (xd , yd ), procura-se um polinˆomio, p(x), de grau m´ınimo tal que p(xi ) = yi i = 1 . . . d. Estamos supondo evidentemente xi = x j para i = j. A solu¸c˜a o se exprime na forma x j ) j =i (x p(x) = yi , (x ) x i j j =i i
− − combina¸ca˜o linear de polinˆomios de grau d − 1.
∀
As curvas de B´ezier servem a um prop´osito semelhante, com certas vantagens computacionais e est´eticas. S˜ao dados novamente d pontos distintos, P 1 = (x1 , y1 ), . . . , Pd = (xd , yd ), mas agora contentamo-nos com uma curva racional que se “ajuste visualmente” `a distribui¸ca˜o gr´afica dos pontos. Precisamente, a curva racional procurada passa pelas extremidades P 1 e P d , com tangentes nestes pontos contendo os segmentos P 1 P 2 e P d−1 P d . Os demais pontos servem de controle; a curva constru´ıda n˜ao ´e obrigada a passar por eles, mas segue o esbo¸co delineado pela distribui¸ca˜o ordenada dos pontos. A parametriza¸ca˜o ´e obtida de forma recursiva. Inicializamos com a poligonal formada pelos d 1 segmentos,
−
σ11 (t)
= (1 .. .
− t)P
1
+ tP 2 ,
σd1−1 (t) = (1
− t)P
+ tP d .
d−1
Nas etapas seguintes, cada par de poligonais consecutivas ´e substitu´ıda por uma interpola¸c˜ao, em geral formando uma par´abola: σ12 (t)
= (1 .. .
− t)σ
1 1
+ tσ21 ,
σd2−2 (t) = (1
− t)σ
1 d−2
+ tσd1−1 .
117
8.7 Curvas de B´ezier Na u ´ltima etapa, restam duas parametriza¸c˜oes σ 1d−2 , σ2d−2 , de graus Repetindo a interpola¸ca˜o, resulta σ 1d−1 = (1 t)σ1d−2 +tσ2d−2 , de grau
≤ d − 2. ≤ d − 1.
−
8.32. Exemplo. Considere os pontos P 1 = ( 1, 1), P 2 = (0, 0), P 3 = ( 1.2, 1.2), P 4 = (2, 1.5). Na primeira rodada, tra¸camos as trˆes poligonais dadas parametricamente por,
−
σ11 (t) = (t
− −
1 2
− 1, −t + 1), σ
−
= ( 1.2t, 1.2t), σ31 = (3.2t
−
−
− 1.2, −0.3t − 1.2).
Na pr´oxima etapa, obtemos σ12 (t) = ( 2.2t2 + 2t
−
2
2 2
− 1, −0.2t − 2t + 1), σ
= (4.4t2
2
− 2.4t, 0.9t − 2.4t).
Por fim, σ 3 (t) = (6.6t3
2
− 6.6t
+ 3t
3
2
− 1, 1.1t − 0.6t − 3t + 1).
•..·..·..·.
figura 8.3
..... .... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... .. ..... .. . . ......................... ........ ... ....◦ ....◦ ...◦ . . . ..... ◦ .... ◦ ..... ◦ .... ◦ . . . ◦ .... .... ◦◦ .... .... ◦◦ . . . . . ....... . ◦◦ . ... ◦◦ .................. . ◦◦ ............................................... ◦◦◦ .......................................... ◦ ◦◦◦ ..............................◦ ....... ..........◦ ...................◦ ....... .....◦ .....◦ ....◦ .....◦◦ ..........◦ ......◦ ......◦ ......◦◦ .............◦◦ .................. .. ..........
... ... ... ... ... • ... ... ... .... ..... ....... ........... .................. ............................ •
··· ·· ··· ··· · ·•· ···
Essas curvas s˜ao amplamente utilizadas em computa¸c˜ao gr´afica. Foram introduzidas e empregadas pelo engenheiro francˆes Pierre B´ezier, da f´abrica Renault, no projeto de carrocerias por volta de 1970.
8.33. Exerc´ıcios 137. Verifique no exemplo acima que as par´abolas σ12 (t), σ22 (t) s˜ao de fato tangentes `a poligonal nos pontos indicados. Idem para σ 3 . 138. Se trˆes pontos consecutivas quaisquer n˜ao forem colineares, mostre que cada σ i2 na recurs˜ao acima ´e de grau dois. Generalize!
118
Curvas Racionais
Cap´ıtulo 9 C´ ubicas n˜ ao Singulares 9.1
Conex˜ oes inesperadas
Este u ´ ltimo t´opico ´e um not´ avel ponto de confluˆencia de ramos da Matem´atica ´ t˜ao diversos na aparˆencia como a Algebra, a Geometria, a An´alise e a Teoria dos N´ umeros. O fato central na geometria de uma c´ubica n˜ao singular F reside na estrutura de grupo definida a partir da correspondˆencia que associa a cada par de pontos P, Q F , o terceiro ponto de interse¸ca˜o da reta P Q com F . Essa estrutura de grupo sintetiza uma grande riqueza de informa¸c˜oes. Dela podemos deduzir, por exemplo, que a reta que liga dois pontos de inflex˜ao encontra a c´ ubica num terceiro ponto de inflex˜ao. Utilizamos este fato para mostrar que a classe de congruˆencia de F (i.e., a cole¸ca˜o das c´ ubicas obtidas de F por uma pro jetividade) ´e determinada por uma certa constante, chamada o m´ odulo de F . Quando K = C, a estrutura de grupo est´a intimamente ligada `a teoria das fun¸co˜es el´ıpticas. Embora o estudo desse aspecto anal´ıtico fuja aos nossos prop´ ositos, n˜ao resistimos ao impulso de mencionar, ao menos de passagem, algumas das conex˜oes mais surpreendentes. (O aluno com bom esp´ırito de iniciativa encontrar´ a os detalhes nas referˆencias bibliogr´aficas). (1) Associada a cada c´ ubica n˜ao singular F : Y 2 = X 3 + aX + b, existe uma fun¸c˜ao meromorfa n˜ao constante ℘(z ), satisfazendo a equa¸ca˜o diferencial
∈
℘ (z )2 = ℘(z )3 + a℘(z ) + b.
⊂
(2) ℘(z ) ´e uma fun¸ca˜o el´ıptica, i.e., existe um subgrupo aditivo ω1 , ω2 C gerado por dois n´umeros complexos ω1, ω2 linearmente independentes sobre
120
C´ubicas n˜ao Singulares
R tal que ℘(z + ω) = ℘(z ) se e s´o se ω
∈ ω , ω .
Diz-se ent˜ao que ℘(z ) ´e duplamente peri´odica, com per´ıodos m1 ω1 + m2 ω2 , mi Z. (3) A aplica¸ca˜o z (℘(z ) : ℘ (z ) : 1) induz um isomorfismo do grupo aditivo C / ω1 , ω2 sobre F . (4) Topologicamente, C/ ω1 , ω2 ´e isomorfo a R2 /Z2 = (R/Z) ( R/Z) = S 1 S 1 , produto de dois c´ırculos. Assim, uma c´ubica n˜ao singular se identifica com um toro! (5) O m´odulo de F , mencionado acima, expressa-se como fun¸ca˜o dos per´ıodos de ℘(z ). Quando a c´ubica F ´e definida por uma equa¸ca˜o a coeficientes inteiros (e.g., a c´ ubica do “´ ultimo teorema de Fermat”, X 3 + Y 3 = Z 3 ), ´e natural perguntar se existem pontos racionais, i.e., com coordenadas homogˆeneas n´umeros racionais (ou equivalentemente, n´ umeros inteiros). Infelizmente, n˜ao se conhece crit´erio algum para decidir, em geral, se uma c´ ubica possui ou n˜ao pontos racionais. H´ a exemplos em que n˜ao existe nenhum tal ponto. Pelo lado mais positivo, pode-se mostrar que, se F possui um ponto racional, ent˜ao F ´e congruente a uma c´ubica (ainda definida sobre Z) com um ponto de inflex˜ao racional. Tomando-se um tal ponto de inflex˜ao como elemento neutro para a estrutura de grupo (cf. proposi¸ca˜o [9.16, p. 130]), o conjunto dos pontos racionais forma um subgrupo finitamente gerado de F (teorema de Mordell) Veja as fascinantes notas escritas por J. Tate e expandidas no livro [32] contendo uma demonstra¸c˜ao deste teorema. N˜ao poder´ıamos deixar de citar o papel central que tais curvas desempenham na demonstra¸ ca˜o do u ´ltimo teorema de Fermat. O leitor deve consultar o artigo exposit´orio de Gouvˆea [16]. Mencionemos por fim as aplica¸c˜oes em criptografia, cf. Blake et al.[3], Koblitz[23]. Bem, aqui vamos nos restringir apenas `a classifica¸ca˜o projetiva e `as propriedades mais simples ligadas a` estrutura de grupo de uma c´ubica n˜ao singular. Procuramos dosar a necessidade de introduzir novos conceitos gerais com aplica¸co˜es diretas ao estudo dessas curvas.
×
9.2
→
1
2
∈
×
Forma normal
Duas retas quaisquer s˜ao congruentes por uma projetividade. Similarmente, ´e um f´acil exerc´ıcio mostrar que, a menos de projetividade, s´o h´a um tipo de cˆonica n˜ao degenerada. Tamb´em s´ o h´a um tipo de c´ubica nodal e outro
121
9.2 Forma normal
cuspidal. Para c´ ubicas n˜ao singulares, por´em, a classifica¸c˜ao ´e bem diferente: existe um tipo para cada elemento do corpo K ! Precisamente, mostraremos neste par´agrafo que a cada c´ ubica F n˜ao singular est´a associado um invariante j K , o qual determina a classe de congruˆencia de F .
∈
ubica n˜ ao singular ´e congruente por uma projetivi9.1. Proposi¸ca ˜o. Toda c´ dade a uma c´ ubica do tipo ZY 2 = X (X
− Z )(X − λZ )
para alguma constante λ
∈ K, λ = 0, 1.
Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos, em vista das f´ ormulas de Pl¨ ucker, que uma c´ubica n˜ao singular F admite pontos de inflex˜ao (nove ao todo). Tomamos (0 : 1 : 0) como um deles, com tangente Z = 0. Podemos ainda supor que (0 : 0 : 1) F , com tangente X = 0. Temos ent˜ao F j´a na forma
∈
F = X 3 + Z (aX 2 + bXY + cY 2 ) + dZ 2 X,
√
com d = 0 = c (sen˜ao F seria divis´ıvel por X ). Substituindo Y por Y / c, podemos supor c = 1. Substituindo Y por Y bX/2, podemos supor b = 0. Assim, j´a reduzimos F `a forma
−
F = X 3 + Z (Y 2 + aX 2 ) + bXZ 2
com novos a, b, este u ´ ltimo = 0 (sen˜ao (0 : 0 : 1) seria um ponto singular). Seja α uma raiz de X 2 + aX + b. Substituindo X por αX vem F = Z Y 2 + α3 X (X
− Z )(X − λZ ).
Finalmente, substituindo Y por ( α)3/2 Y e cancelando, obtemos a forma normal do enunciado.
−
Qu˜ao bem determinado ´e o parˆametro λ? Ponhamos, para cada λ = 0, 1,
F λ = Λ(λ) =
ZY 2
{λ,
1 λ
− X (X − Z )(X − λZ ), }. , 1 − λ, , , 1 1−λ
λ−1 λ
λ λ−1
122
C´ubicas n˜ao Singulares
ubicas F λ , F µ s˜ ao congruentes se e somente se 9.2. Proposi¸c˜ ao. Duas c´ Λ(λ) = Λ(µ).
Demonstra¸ c˜ ao. Mostremos inicialmente que existem projetividades S, T tais que S •T λ = F 1−λ e T • F λ = F 1/λ . Com efeito, basta definir S • , T • pelas condi¸c˜oes:
−→ √ X − Z , X −→ λX , −→ −1Y , e S : T : Y −→ λ Y, −→ −Z, → Z. Z − Substituindo λ por 1 − λ ou 1/λ, segue-se que, para cada µ ∈ Λ(λ), podemos •
X Y Z
•
3/2
obter uma projetividade que leve F λ em F µ . Para a rec´ıproca, seja U uma projetividade tal que U • F µ = F λ . O ponto de inflex˜ao (0 : 1 : 0) F µ ´e transformado em um ponto de inflex˜ao U (0 : 1 : 0) F λ . Admitamos, por um momento, conhecido o seguinte Fato: Se P, Q s˜ ao pontos de inflex˜ ao de uma c´ ubica n˜ ao singular F ent˜ ao existe uma projetividade M tal, que M • F = F e M P = Q. Continuando com a argumenta¸c˜ao, j´a podemos supor que U (0 : 1 : 0) = (0 : 1 : 0). Agora os trˆes pontos de contato das retas tangentes a F µ passando por (0 : 1 : 0) s˜ao transladados sobre os respectivos de F λ . Isto ´e: U aplica (0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1), (µ : 0 : 1) sobre (0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1), (λ : 0 : 1) . Al´em disso, U deixa invariante a tangente inflexional Z = 0, bem como a reta Y = 0. Identificando esta ´ultima com P 1 , obtivemos uma projetividade de P 1 (i.e., uma aplica¸ca˜o da forma (x : y) (ax + by : cx + dy) que fixa o ponto no infinito (1 : 0) (identificado com a interse¸ca˜o de Y = 0 e Z = 0), e que aplica (0 : 1), (1, 1), (µ : 1) sobre (0 : 1), (1 : 1), (λ : 1) . Nessas circunstˆancias, o leitor n˜ao ter´a dificuldade em concluir que µ Λ(λ). Isto completa a demonstra¸ca˜o, a menos da justificativa do fato acima, a qual ser´a feita oportunamente [9.18, p. 131].
∈
∈
{
}
{
}
→
{
}
{
}
odulo da c´ubica F λ = ZY 2 9.3. Defini¸c˜ ao. O m´ dado por 27 (1 λ + λ2 )3 J (λ) = . 4 λ2 (1 λ)2
−
− X (X − Z )(X − λZ ) ´e
−
O leitor deve verificar que J ´e constante sobre cada Λ(λ) e que, de fato, J (λ) = J (µ)
∈
⇔ Λ(λ) = Λ(µ).
123
9.3 Fun¸co˜es racionais
Em conclus˜ao, segue-se que duas c´ubicas n˜ao singulares s˜ao projetivamente equivalentes, (i.e., congruentes por uma projetividade) se e s´o se elas tˆem o mesmo m´odulo! Na realidade, o m´ o dulo de uma c´ubica ´e um invariante mais fino. Pode-se demonstrar que duas c´ubicas n˜ao singulares tˆem o mesmo m´odulo se e somente se seus corpos de fun¸c˜oes racionais s˜ao K -isomorfos.
9.4. Exerc´ıcios 139. Reduza X 3 + Y 3 + Z 3 = 0 `a forma normal da proposi¸c˜ao [9.1, p. 121]. ubica F tal que (0 : 1 : 0) ´e um ponto de 140. Ache a equa¸c˜a o de uma c´ inflex˜ao com tangente Z = 0 e tal que os pontos ( 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1) s˜ao os pontos de contato das retas tangentes a F passando por (0 : 1 : 0).
−
∈
141. Mostre que Λ(λ) consiste em seis elementos distintos, exceto se λ 1, 1/2, 2 ou se λ 2 λ + 1 = 0. Mostre que J (λ) = J (µ) Λ(λ) = Λ(µ).
{−
}
−
⇔
142. Seja C P 2 um conjunto de nove pontos distintos com a propriedade de que a reta que une dois quaisquer cont´em um e s´o um terceiro. Mostre que existe uma projetividade que leva C no conjunto dos pontos,
⊂
−
−
−
(0 : 1 : 1), ( 1 : 0 : 1), (1 : 1 : 0) (0 : 1 : a), ( a : 0 : 1), (1 : a : 0) (0 : 1 : b), ( b : 0 : 1), (1 : b : 0), onde a, b s˜ao as ra´ızes de X 2 X + 1. (O grupo das simetrias dessa configura¸ca˜o ´e discutido em [20], [26]).
−
143. Mostre que toda c´ubica n˜ao singular ´e congruente a uma do tipo G c = X 3 + Y 3 + Z 3 + 3c X Y Z . Mostre que Gc cont´em os nove pontos acima definidos e que G c ´e singular se e s´o se c = , 1, a ou b, quando ent˜ao ela se degenera na uni˜ao de trˆes retas.
∞ −
9.3
Fun¸c˜ oes racionais
As propriedades mais interessantes de uma c´ ubica n˜ao singular est˜ao diretamente relacionadas com sua estrutura de grupo mencionada na introdu¸ca˜o. Para estud´a-las, ser´a conveniente fazer uma digress˜ao, introduzindo mais alguns conceitos importantes.
124
C´ubicas n˜ao Singulares
9.5. Defini¸ca ˜o. O anel homogˆeneo de uma curva projetiva F ´e definido por A(F )h = K [X , Y , Z ] /(F ). ¯ classe de G K [X , Y , Z ] m´odulo (F ). Denotamos por G a Suporemos no que segue que F ´e irredut´ıvel. Assim, A(F )h ´e um dom´ınio; denotamos por K (F )h seu corpo de fra¸c˜oes. ¯ H ¯ Seja K (F ) o subconjunto de K (F )h formado pelas fra¸co˜es do tipo G/ ´ f´acil ver que K (F ) ´e um subcorpo com G, H homogˆeneos do mesmo grau. E de K (F )h , chamado corpo das fun¸coes ˜ racionais de F . Esta designa¸ca˜o se justifica pelo seguinte
∈
9.6. Lema. Se F ´e o fecho projetivo da curva afim irredut´ıvel f ent˜ ao K (F ) ´e K -isomorfo a K (f ) (def.[8.7, p. 99]). Demonstra¸ c˜ ao. Considere o homomorfismo ϕ : K [X, Y ] g(X, Y )
−→ −→
K (F )h ¯ ¯ ¯ ¯ ). g(X/Z, Y /Z
Observando a f´ormula ◦
g ∗ (X , Y , Z ) = Z d g g(X/Z, Y /Z ) em K [X , Y , Z ] , deduz-se facilmente que o n´ucleo de ϕ ´e igual a (f ). Obtˆem-se ent˜a o os homomorfismos induzidos,
→
K [X, Y ]/(f ) ∨
↓
K (F )h
K (f ) ¯ Z, ¯ ¯ ¯ , os quais est˜ao na imagem de K (f ), Visto que K (F ) ´e gerado por X/ Y /Z conclu´ımos K (F ) K (f ).
9.7. Exerc´ıcios 144. Seja F = f ∗ o fecho pro jetivo de uma curva afim irredut´ıvel f . Mostre ¯. que K (F )h ´e a extens˜ao de K (f ) = K (F ) gerada por Z
125
9.4 Ciclos e equivalˆencia racional
9.4
Ciclos e equivalˆ encia racional
9.8. Defini¸c˜ ao. Um ciclo na curva F ´e uma express˜ao do tipo n1 P 1 +
··· + n P , r
r
onde os n i s˜ao inteiros e os P i s˜ao pontos de F . Mais precisamente, um ciclo ´e um elemento do grupo abeliano livre gerado pelos pontos de F ; este grupo ´e chamado o grupo dos ciclos de F . Trata-se simplesmente de uma maneira cˆomoda de lidar com conjuntos de pontos de F afetados de multiplicidades. Definimos o grau de um ciclo pela f´ormula d◦(Σni P i ) = Σni . Evidentemente, se D, D s˜ao ciclos, temos d◦ (D + D ) = d◦ D + d ◦ D . Seja agora G uma curva distinta de F . Definimos o ciclo de interse¸c˜ ao de G com F pela f´ormula (G) = (G)F =
(F, G)P P.
Observemos que, pelo teorema de B´ezout, temos d◦ (G)F = (d◦ G)(d◦ F ). Seja ϕ
∈ K (f ) uma fun¸c˜ao racional = 0. Suponhamos ¯ 0 /H ¯ 0 = G ¯ 1 /H ¯ 1 , ϕ = G
¯ 0 ¯ com Gi , H i homogˆeneos, d◦ Gi = d◦ H i e H H 1 = 0. Temos ent˜ao G0 H 1 = H 0 G1 + AF , para algum A K [X , Y , Z ] . Da´ı ´e imediato que
∈
(G0 H 1 )F = (H 0 G1 )F e portanto,
− (H )
(G0 )F
0 F
− (H )
= (G1 )F
por propriedade do ´ındice de interse¸c˜ao.
1 F
126
C´ubicas n˜ao Singulares
Assim, ´e l´ıcito definir o ciclo associado `a fun¸c˜ ao racional ϕ = 0 pela f´ormula (ϕ) = (ϕ)F = (G)F (H )F , ¯ H ¯ , ´e uma representa¸ca˜ o de ϕ como quociente de classes de onde ϕ = G/ polinˆ omios homogˆeneos do mesmo grau.
−
9.9. Exemplo. Seja F = Z Y 2
− X (X − Z )(X − λZ ). Temos
(Z )F = 3(0 : 1 : 0); (Y /X )F = (0 : 0 : 1) + (1 : 0 : 1) + (λ : 0 : 1) 2(0 : 0 : 1) (0 : 1 : 0) = (1 : 0 : 1) + (λ : 0 : 1) (0 : 0 : 1) (0 : 1 : 0).
− −
−
−
9.10. Defini¸c˜ ao. Sejam D, D ciclos de uma curva F (suposta irredut´ıvel). Dizemos que D ´e racionalmente equivalente a D se existir uma fun¸ca˜o racional ϕ K (F ) tal que
∈
D
−D
= (ϕ).
Escrevemos
≡ D
D para denotar equivalˆencia racional.
ao de equivalˆencia compat´ıvel 9.11. Lema. Equivalˆencia racional ´e uma rela¸c˜ com a adi¸c˜ ao de ciclos. Em s´ımbolos, ciclos D, D , D , temos:
∀
(1) D
≡ D; (2) D ≡ D ⇔ D ≡ D; (3) D ≡ D , D ≡ D ⇒ D ≡ D ; (4) D ≡ D ⇒ D + D ≡ D + D .
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ϕ, ψ fun¸c˜oes racionais = 0. (1) Temos D D = 0 = ciclo da fun¸c˜ao constante 1. (2) Se D D = (ϕ), ent˜ao D D = (ϕ−1 ). (3) Se D D = (ϕ) e D D = (ψ), temos evidentemente (ϕψ) = (ϕ) + (ψ) = D D + D D = D (4) Fica como exerc´ıcio para o leitor.
−
−
−
−
−
−
−
−D .
127
9.4 Ciclos e equivalˆencia racional
ao singular. Se existirem 9.12. Proposi¸ca ˜o. Seja F uma curva irredut´ıvel n˜ ao F ´e racional. P = Q em F racionalmente equivalentes, ent˜
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam G 0 , G1 curvas projetivas do mesmo grau tais que (G1 ) Temos ent˜ao
− (G ) = P − Q. 0
(G1 ) = P + Σmi P i , (G0 ) = Q + Σmi P i ,
≥
∈
com mi 1 e P i F , dois a dois distintos. Visto que cada P i ´e um ponto n˜ao singular de F , sabemos por [6.15, p. 78] que o ´ındice de interse¸ca˜o (F, G)P i ´e igual a` ordem de anulamento de G sobre F em P i . Da´ı conclu´ımos que, para cada (x0 : x 1 ) P1 , vale
∈
(x0 G0 + x1 G1 , F )P i
≥ m . i
{
|
Trocando em mi´udos, constru´ımos um feixe de curvas x0 G0 + x 1 G1 (x0 : x1 ) P1 , do qual cada membro corta F no ponto P i pelo menos m i vezes. Lembrando que 1 + Σmi = (d◦ F )(d◦ G0 ), vemos que, por cada ponto distinto dos j´a fixados passa justamente um membro do feixe. Segue-se que a fun¸ca˜o racional G 1 /G0 ´e injetiva (veja o lema [8.27, p. 111] e o par´agrafo que lhe antecede), e portanto F ´e racional.
∈ }
9.13. Exerc´ıcios 145. Seja F a reta X = 0. Mostre que os ciclos (0 : 0 : 1) + (0 : 1 : 1) e (0 : 1 : 0) + (0 : s˜ao racionalmente equivalentes sobre F .
−1 : 1)
146. Seja F = Y Z X 2 . Mostre que os (ciclos que se reduzem aos) pontos (0 : 0 : 1) e (1 : 1 : 1) s˜ao racionalmente equivalentes.
−
147. Prove que dois ciclos racionalmente equivalente tˆem o mesmo grau. 148. Se F ´e uma reta, mostre que dois ciclos com o mesmo grau s˜ao racionalmente equivalentes. O mesmo ´e v´alido se F ´e uma cˆo nica ou uma c´ubica singular, ou mesmo a lemniscata... 149. Seja F = Z (X 2 (ϕ).
2
3
− Y ) + X
e seja ϕ =
X +Y X −Y
∈ K (F ). Calcule o ciclo
128
C´ubicas n˜ao Singulares
150. Seja F uma curva n˜ao singular e seja ϕ n˜ao constante. Prove que (ϕ)F = 0.
∈ K (F ) uma fun¸ca˜o racional
151. Prove que o conjunto dos ciclos racionalmente equivalentes a zero sobre uma curva F ´e um subgrupo do grupo dos ciclos de F .
9.5
A estrutura de grupo
Necessitaremos do seguinte resultado preliminar. Observemos que ele ´e conseq¨ uˆencia de um resultado mais geral, proposto como exerc´ıcio [135, p. 113]. Mas vamos apresentar uma prova direta, por desencargo de consciˆ encia.
9.14. Proposi¸ca ˜o. Se F ´e uma c´ ubica n˜ ao singular ent˜ ao F n˜ ao ´e racional. Demonstra¸ c˜ ao. Podemos supor F na forma normal (leitor: por que?): Y 2 = X (X
− 1)(X − λ), com λ = 0, 1.
Procederemos por redu¸c˜ao ao absurdo, supondo F racional. Assim, existem a,b,c,d
∈ K [T ]
tais que x = a/c, y = b/d constituem uma boa parametriza¸ca˜o. Naturalmente, podemos supor que MDC(a, c) = MDC(b, d) = 1. Substituindo na equa¸c˜ao acima, resulta c3 b2 = d 2 a(a
− c)(a − λc) em K [T ].
Note que c e a λc tamb´em s˜ao primos relativos. Por unicidade da fatora¸ca˜o, segue-se que c 3 e d2 s˜ao associados. Simplificando e absorvendo a constante c3 /d2 em b, vem (9.1) b2 = a(a c)(a λc).
−
−
−
Admitamos por um momento que d◦ b = 3, d◦ a = 2 d◦ c. Escrevamos b = b 1 b2 b3 com d◦ bi = 1. Notando que a, a c, a λc s˜ao dois a dois primos relativos, deduzimos que o mesmo ocorre com os bi e que
−
b21 = a,
b22 = a
− c,
−
b23 = a
− λc
≥
129
9.5 A estrutura de grupo (a menos de reordena¸c˜ao ou fator constante). Da´ı conclu´ımos c = (b1
− b )(b + b ), 2
1
(1
2
±
− λ)c = (b − b )(b + b ) 3
2
3
2
±
Segue-se que b1 b2 ´e associado a b3 b2 . Sem perda de generalidade, podemos escrever rela¸c˜oes b1 b2 = α(b3 b2 ) b1 + b2 = β (b3 + b2 ),
−
−
com β α = 0, permitindo concluir, finalmente, que b2 e b3 s˜ao associados, absurdo. Resta justificar porque d◦ b = 3 e d ◦ a = 2 d◦ c. Ora, quase toda reta horizontal Y = y 0 corta F em trˆes pontos distintos. Como a parametriza¸ca˜o ´e por hip´otese boa, esses pontos s˜ao da forma (x(t), y0 ) para justamente trˆes valores do parˆametro. Estes valores s˜ao dados pela condi¸ca˜o
−
≥
y(t) =
−
b(t) = y 0 . d(t)
Assim, o polinˆ omio b(T ) y 0 d(T ) admite exatamente trˆes ra´ızes distintas (para quase todo y 0 ). Logo, d◦b 3. Se d◦ b < 3, ent˜ao d◦ d = 3 e da´ı d◦ c = 2 (pois c3 /d2 ´e constante). Observando a igualdade (9.1), deduz-se d◦ b = 2 e d◦ a = 0 ou 2. Escreve-se b = b 1 b2 e procede-se como antes, chegando a uma contradi¸ca˜ o. Se d◦ b = 3, ent˜ao d◦ d 3, acarretando d◦ c 2. Lembrando (9.1) outra vez, vˆe-se que necessariamente d ◦ a = 2.
≤
≤
≤
Tendo em vista a proposi¸c˜ao 9.14, conclu´ımos imediatamente o seguinte
9.15. Corol´ario. Se F ´e uma c´ ubica n˜ ao singular e P, Q racionalmente equivalente a Q somente se P = Q.
∈ F ent˜ ao P ´e
Vejamos agora como ´e definida a estrutura de grupo. Fixemos um ponto O F . Para cada par de pontos P, Q em F , consideremos a interse¸ca˜o de F com reta L que os cont´em. Se P = Q, tomamos L =tangente. Podemos escrever
∈
(L) = P + Q + R para algum R em F , bem determinado pelo par P, Q. Seja H a reta definida ˙ pelo par R, O, e seja finalmente P +Q o terceiro ponto de interse¸c˜a o de H com F , de sorte que ˙ (H ) = R + O + (P +Q).
131
9.5 A estrutura de grupo ˙ +R = O ˙ (i) P +Q
⇔ existe uma reta H tal que (H )
F
= P + Q + R.
(ii) Os nove pontos de inflex˜ ao formam um subgrupo isomorfo a Z/(3) Z/(3).
×
(iii) A reta que une dois pontos de inflex˜ ao cruza F num terceiro ponto de inflex˜ ao.
Demonstra¸ c˜ ao. (i) Seja L a tangente (por escolha, inflexional!) de F em O. Assim, temos (L)F = 3O. Por outro lado, ˙ +R ˙ P +Q
≡ P + Q + R − 2O.
Portanto, o primeiro membro ´e igual a O se e s´o se valer P + Q + R 3O. Suponha v´alida esta u ´ ltima rela¸ca˜o; seja H a reta determinada pelo par P, Q. Escrevamos (H ) = P + Q + R . O quociente L/H fornece uma fun¸ca˜o racional cujo ciclo ´e 3O (H ). Conclu´ımos que R R e portanto pelo corol´ a rio [9.15, p. 129], R = R como desej´avamos. A rec´ıproca deixamos para a distra¸c˜ao do leitor. (ii) Tendo em vista (i), ´e claro que P ´e um ponto de inflex˜ a o se e s´o se 3 P = . Logo, o conjunto dos nove pontos de inflex˜ ao coincide com o subgrupo formado pelos elementos de ordem 3. Que este grupo ´e isomorfo a ´ nico grupo n˜ao c´ıclico de ordem 9. Z/(3) Z/(3) segue-se facilmente: ´e o u (iii) Se P + Q + R ´e o ciclo de interse¸ca˜ o de F com uma reta, e se P, Q ˙ +R ˙ s˜ao pontos de inflex˜ao, deduzimos primeiro que P +Q = , e ent˜ao, ˙ +3R = O, ˙ 3P +3Q donde 3R = O e R ´e um ponto de inflex˜ao.
≡
−
·
≡
O ×
O
9.18. Corol´ario. Se P, Q s˜ ao pontos de inflex˜ ao de uma c´ ubica n˜ ao singular ao existe uma projetividade M tal que M • F = F e MP = Q. F ent˜ Demonstra¸ c˜ ao. Seja R o terceiro ponto de inflex˜ao colinear com P, Q. Procedendo como na demonstra¸c˜ao da proposi¸ca˜o [9.1, p. 121], podemos supor R = (0 : 1 : 0) e F na forma ZY 2 X (X Z )(X λZ ). Se T ´e a projetividade definida por
−
(x : y : z )
−
−
−→ (x : −y : z ),
´e imediato que T •F = F . Por outro lado, P e T P s˜ao colineares com R. Visto que F n˜ao possui nenhum ponto de inflex˜ao sobre Y = 0, segue-se P = T P , e portanto T P = Q. (Veja a fig. 1.8.)
132
C´ubicas n˜ao Singulares
9.19. Exerc´ıcios 152. Sejam F = ZY 2 X (X 1)(X + 1), O = (0 : 1 : 0), P = (0 : 0 : 1), Q = (1 : 0 : 1), R = ( 1 : 0 : 1). Mostre que O,P,Q,R ´e um subgrupo de F isomorfo a Z /(2) Z/(2).
− − − { } × − (X − 43XZ + 166Z ), P = (3 : 8 : 1). Calcule nP
3 2 153. Seja F = Z Y 2 para cada inteiro n(O = (0 : 1 : 0)).
3
154. Mostre que a proposi¸c˜ao[9.16, p. 130] subsiste mesmo se O n˜ao ´e um ponto de inflex˜ao, modificando convenientemente a constru¸c˜ao do inverso aditivo. 155. Mostre que a estrutura de grupo de uma c´ubica n˜ao singular ´e independente do ponto escolhido para elemento neutro. Nos exerc´ıcios seguintes, F denota uma c´ ubica n˜ ao singular e um ponto de inflex˜ ao escolhido para elemento neutro.
O ∈ F ´e
156. Se G ´e uma curva = F , ent˜ao (G)F
◦
≡ 3(d G)O.
´nico ponto 157. Todo ciclo de F de grau 1 ´e racionalmente equivalente a um u de F .
158. Sejam G, H curvas de grau d, distintas de F . Se (G)F = P + Σ3d (H )F = Q + Σ3d 2 P i , 2 P i , ent˜ao P = Q. Em particular, qualquer c´ubica que passar por oito dos nove pontos de interse¸ca˜o de F com outra c´ ubica, conter´a o nono ponto. 159. Mostre que os elementos de ordem 2 de F s˜ao justamente os pontos de contato das tangentes a F passando por O. O grupo gerado por esses elementos ´e isomorfo a Z /(2) Z/(2).
×
160. Seja D = Σ61 P i um ciclo de grau 6 sobre F . Mostre que D s´o se existir uma cˆonica C tal que (C )F = D. Generalize!
≡ 6O se e
161. As solu¸co˜es da equa¸c˜ao 6 P = O consistem nos nove pontos de inflex˜ao juntamente com os 27 pontos de contato das retas tangentes passando pelos pontos de inflex˜ao. Resulta um grupo isomorfo a Z /(6) Z(6).
·
×
Cap´ıtulo 10 Apˆ endice Reunimos aqui alguns conceitos e resultados de ´algebra elementar para conveniˆencia do leitor. Para mais detalhes, veja [15], [25].
10.1
An´ eis, ideais e homomorfismos
10.1. Defini¸c˜ ao. Um anel A ´e um conjunto n˜ao vazio no qual est˜ao definidas duas opera¸co˜es, chamadas de soma e multiplica¸c˜ ao, denotadas respectivamente + e , e que satisfazem as seguintes regras operat´orias:
·
+1 associatividade : +2 comutatividade : +3 zero : +4 negativo :
· associatividade : · + distributividade : 1
∀ x, y,z ∈ A,
(x + y) + z = x + (y + z )
∀ x, y ∈ A, x + y = y + x ∃ 0 ∈ A tal que ∀ x ∈ A, x + 0 = x ∀ x ∈ A ∃ y ∈ A tal que x + y = 0 ∀ x, y,z ∈ A, (x · y) · z = x · (y · z ) ∀ x, y,z ∈ A, x · (y + z ) = x · y + x · z (x + y) · z = x · z + y · z. e
Os exemplos aqui relevantes s˜ao o anel dos inteiros, o dos polinˆomios, o das fun¸co˜es racionais e o das s´eries de potˆencias em uma ou mais vari´ aveis. Em cada um desses an´eis valem ainda os axiomas seguintes:
134
· ·
2 unidade : 3 comutatividade
do produto :
Apˆendice
∃ 1 ∈ A tal que ∀ x ∈ A, 1 · x = x · 1 = x ∀ x, y ∈ A, x · y = y · x
Convencionamos doravante que anel significa anel comutativo e com elemento unidade 1 = 0. Verifica-se facilmente que os elementos 0 (zero) e 1 (unidade) s˜ao u ´ nicos; o negativo de cada x A tamb´em ´e u ´nico; denota-se naturalmente por x. Diremos que um subconjunto A A ´e um subanel de um anel A se 0, 1 A e x,y,z A x y z A . Segue que todo subanel ´e naturalmente um anel com as opera¸co˜es induzidas.
−
∈
∀
∈
∈
⊆ ⇒ − · ∈
10.2. Exemplos. (1) O conjunto dos n´umeros inteiros ´e um subanel dos racionais, que por sua vez formam um subanel dos reais, ... centerline Z Q R C.
⊂ ⊂ ⊂ (2) Seja A = { ¯0, ¯1}, conjunto formado por dois elementos.
Definamos as ¯ opera¸co˜es de soma e produto de tal maneira que 0 funcione como zero e ¯1 como 1: ¯0 + ¯0 = ¯0,
¯0 + ¯1 = ¯1,
¯1 + ¯1 = ¯0,
¯0 ¯0 = ¯0,
·
¯0 ¯1 = ¯0,
·
¯1 ¯1 = ¯1.
·
O leitor verificar´a sem dificuldades que se trata efetivamente de um anel. Note em particular que, neste exemplo, vale a rela¸c˜ao ¯1 = ¯1.
−
10.3. Defini¸co ˜es. Seja A um anel. Um elemento a A ´e dito um divisor de zero (resp. invert´ıvel ) se existir b A, b = 0 tal que a b = 0 (resp. a b = 1). O anel A ´e um dom´ınio se 0 ´e o u ´ nico divisor de zero. Dizemos que A ´e um corpo se todo elemento n˜ao nulo for invert´ıvel, i.e.,
∈
∈
·
·
∀ x ∈ A, x = 0 ⇒ ∃ y ∈ A tal que x · y = 1. Sejam A e B an´eis. Um homomorfismo de A em B ´e uma aplica¸c˜ao ϕ : A B tal que ϕ(1) = 1 e x, y,z A ϕ(x + y z ) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(z ).
−→
∀
∈ ⇒
·
·
135
10.1 An´eis, ideais e homomorfismos
Um homomorfismo bijetivo ϕ ´e dito um isomorfismo; neste caso, a aplica¸c˜ao inversa ϕ −1 ´e necessariamente um homomorfismo. Os an´eis A, B s˜ao isomorfos se existir um isomorfismo ϕ : A B. Um homomorfismo sobrejetor ´e tamb´em chamado de epimorfismo.
−→
10.4. Exemplos. (1) Se A ´e um subanel de um anel A, ent˜ao a aplica¸ca˜o de inclus˜ao A A ´e um homomorfismo. (2) A aplica¸c˜ao de conjuga¸cao ˜ C C, a + bi a bi ´e um homomorfismo (de fato um isomorfismo). (3) Seja A = ¯0, ¯1 como no exemplo 10.2 (2) e seja π : Z A a aplica¸ca˜o ´ imediato que definida por paridade, i.e., π(n) = ¯0 se n ´e par, ¯1 se ´ımpar. E π ´e um homomorfismo.
⊆
→
→ −
{ }
−→
10.5. Exerc´ıcios 162. A composi¸ca˜o ϕ ψ : A ϕ : B C ´e um homomorfismo.
·
−→
−→
C de homomorfismos ψ : A
163. Seja ϕ : A B um homomorfismo e seja a vert´ıvel de A. Ent˜ao ϕ(a) ´e invert´ıvel em B .
−→
−→
B,
∈ A um elemento in-
ao existe 10.6. Proposi¸c˜ ao. (Corpo de fra¸co ˜es) Seja A um dom´ınio. Ent˜ um homomorfismo injetivo ι : A K onde K denota um corpo, bem determinado a menos de isomorfismo pela condi¸c˜ ao seguinte: x K a, b A tais que x = ι(a) ι(b)−1 .
→
∀ ∈ ∃
∈
·
Demonstra¸ c˜ ao. Verifiquemos de in´ıcio a unicidade de K , i.e., devemos mostrar que se ι : A K ´e um homomorfismo com a mesma propriedade acima, ent˜ao existe um (de fato ´unico) isomorfismo ϕ : K K tal que a A, ϕ(ι(a)) = ι (a). Dado x K , sejam a, b A tais que x = ι(a) ι(b)−1 . Se ϕ j´a estivesse definido, ter´ıamos
→
∀ ∈
∈
−→
∈
·
ϕ(x) = ϕ(ι(a)) ϕ(ι(b)−1 ) = ϕ(ι(a)) ϕ(ι(b))−1 = ι (a) ι (b)−1 .
·
·
·
Isto sugere definirmos ϕ pela regra ϕ(x) = ι (a) ι (b)−1 ; a quest˜ao ´e verificar que o lado direito depende s´o de x e n˜ao da particular representa¸ca˜o x = ι(a) ι(b)−1 .
·
·
136
Apˆendice
Sejam a , b A tais que ι(a) ι(b)−1 = ι(a ) ι(b )−1 . Da´ı resulta ι(a) ι(b ) = ι(a ) ι(b) = ι(a b ), e portanto, a b = a b em A. Repetindo o c´alculo, obtemos ι (a) ι (b)−1 = ι (a ) ι (b )−1 , mostrando que ´e l´ıcito definir ϕ como proposto. Agora ´e um simples exerc´ıcio verificar que ϕ : K K ´e um isomorfismo. c˜ ao de ι : A K . J´a que sabemos, a posteriori , que Passemos a` constru¸ K ser´a formado por “fra¸co˜es”, iniciamos por definir, para cada a, b A, b = 0, a fra¸ca˜o a/b = (α, β ) A A β = 0, a β = α b .
∈
·
·
·
·
· ·
·
·
·
−→
→
{
∈
∈ × |
·
·}
O leitor n˜ao ter´a dificuldades em verificar os seguintes fatos. (1) a/b = c/d ad = bc (2)a/b = c/d e a /b = c /d = (a b + a b)/(b b ) = (c d + c d)/(d d ) (3) a/b = c/d e a /b = c /d = (a a )/(b b ) = (c c )/(d d ) Segue-se ent˜ao que no conjunto K = a/b a, b A, b = 0 est˜ao definidas de forma evidente opera¸co˜es de soma e produto, resultando um corpo. Finalmente, a aplica¸c˜ao ι : A K definida por ι(a) = a/1 ´e um homomorfismo com as propriedades requeridas.
⇐⇒ ⇒ · · · ⇒ · · { | ∈
· ·
· ·
}
·
−→
Observa¸c˜ ao. Costuma-se identificar A com ι(A), e escrever A
⊆ K . ⊆ A
10.7. Defini¸c˜ ao. Seja A um anel. Um ideal de A ´e um subconjunto I tal que 0 I, x, y I, z A x + y z I.
∈
∀
∈ ∈ ⇒ · ∈ Dizemos que um ideal I ⊂ A ´e primo se = A e ∀ x, y ∈ A, x · y ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I. I Dizemos que um ideal I ⊂ A ´e maximal se I = A e n˜ao existir ideal intermedi´ario entre I e A, i.e., ∀ ideal J ⊆ A, J ⊃ I =⇒ J = A. 10.8. Exemplos. (1) {0} e A s˜ao ideais de A. (2) Toda interse¸ca˜o de ideais ´e um ideal.
⊆ A um subconjunto. Seja S = { a · s |a ∈ A, s ∈ S, n = 0, 1 . . . }.
(3) Seja S
i
i
i
i
1≤i≤n
1
Convenciona-se de que uma soma com zero parcelas vale 0...
1
137
10.1 An´eis, ideais e homomorfismos Temos ent˜ao
S =
I,
{I ⊇S |I ideal}
{}
que chamamos de ideal gerado por S . Se S = a reduz-se a um s´o elemento, escrevemos S = a , dito ideal principal gerado por a. O conjunto dos n´umeros pares 0, 2, 4, . . . ´e o ideal de Z gerado por 2.
{ ± ±
}
ucleo de um homomorfismo ϕ : A 10.9. Defini¸c˜ ao. O n´ por N ϕ = a A ϕ(a) = 0 .
{ ∈ |
−→ B ´e definido
}
O leitor deve verificar que N ϕ ´e um ideal de A. De fato, a pr´oxima proposi¸ca˜o afirma que todo ideal aparece como n´ucleo de algum homomorfismo.
10.10. Proposi¸c˜ ao. Seja I A um ideal de um anel A. Ent˜ ao existe um homomorfismo sobrejetivo ϕ : A B tal que N ϕ = I .
⊆
−→
−→ ∈ {} ∅
a constru´ıdo ϕ : A Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos por um instante j´ B com as propriedades enunciadas. Observemos que para cada b, b B, o −1 −1 −1 subconjunto ϕ b ´e n˜a o vazio e que b = b ϕ b ϕ b = . −1 Assim, b ϕ b estabelece uma bije¸ca˜ o de B em um subconjunto de partes de A. A id´eia agora ´e reconstruir B a partir dos subconjuntos do tipo ϕ −1 b . Vejamos como I entra em cena. Fixados b e algum a0 ϕ−1 b , vˆe-se facilmente que
→
{} {}
⇒
{}∩ ∈
ϕ−1 b
{}
= =
{a ∈ A| ∃ i ∈ I tal que {a + i| i ∈ I }.
{}
{}
a = a0 + i
0
}
Ora, o lado direito faz sentido independentemente de ϕ! Definamos logo, pois, para cada a A, a classe lateral de I em A,
∈
{
| ∈ I },
a + I = a + i i e seja
{
| ∈ A},
B = a + I a
o conjunto de todas essas classes laterais. Resta a fazer a verifica¸c˜ao rotineira de que B herda uma estrutura de anel mediante as receitas, (a + I ) + (a + I ) = (a + a ) + I (a + I ) (a + I ) = (a a ) + I
·
·
138
Apˆend Apˆ en dice
de sorte que a aplica¸c˜ cao a˜o definida naturalmente por : A ϕ : A a
−→ −→
B a + I
´e de fato um homomorfismo e responde ao requerido.
10.11. Defini¸c˜ ao. Sejam A um anel e I Chamam amos os de de I um ideal de A. Cham anel quociente, de A por por I por A/I ,, o anel das classes laterais de I , denotado por A/I c˜ao ao acima. acima. A aplica¸ aplica¸ c˜ c˜ao ao a + I ´e dito di to o I em A descrito na demonstra¸c˜ a + I homomorfismo de quociente .
→
iso morfo fo ao anel ¯0, ¯1 apresentado no exemplo 10.12. Exemplos. Z/ 2 ´e isomor 2,p. 134 134.. Mais geralmente, para cada inteiro positivo m, o anel quociente a o por m. Verifica erifica-se -se que que Z/ m consiste nas m classes de restos na divis˜ao se m ´e um numero u ´mero primo. Z/ m ´e um corpo se e s´o se m
{ }
10.13 10. 13.. Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os 164. Ache os divisores de zero em Z / m para m para m = = 2, . . . , 10. Generalize!
165. Seja ϕ Seja ϕ : : A seja I = N ϕ . Mostre A B um homomorfismo sobrejetivo e seja I que existe um e s´o um isomorfismo ψ : A/I B tal que ψ(a + I ) I ) = ϕ(a) a A.
−→
−→
∀ ∈
166. Sejam I Sejam I J A ideais. Seja A = A/I = A/I o o anel quociente e seja J A a imagem de J de J pelo pelo homomorfismo quociente. Mostre que A/J ´ is omor orfo fo a A/J ´e isom A/J .
⊆ ⊆ ⊆ ⊆
⊆ ⊆
167. Mostre que um ideal I A ´e primo (resp. maximal) se e s´o se A/I ´e um dom´ dom´ınio (resp. corpo). Conclua que todo ideal maximal ´e primo.
⊂ ⊂
10.2
Polinˆ omios omios
No que segue, denotaremos por = K [[X ] R = K
139
10.2 Polinˆ omios omios
o anel de polinˆomios omios em uma vari´avel avel a coeficientes no corpo K . Cada elemento f R se escreve de forma ´unica, unica,
∈ ∈
f = an X n + an−1 X n−1 + onde os coeficentes ai escrevemos
+ a , · · · + a X + s˜ao ao elementos de K de K .. Se a = 0 ent˜ao ao f ´ gr au n e f ´e de grau 1
0
n
d◦ f = n. Se an = 1, dizemos que f ´e mˆ onico. Inicialmen Inicialmente, te, vamos rever rever algumas algumas propriedades fundamentais de R de R..
10.14. Proposi¸c˜ ao. (Algoritmo da Divis˜ ao. ao.) Seja Sejam m f, g Ent˜ao ao existem unicos q u ´ nicos q,, r R tais que
∈
= qf + r g = qf
e
r = 0 ou d◦ r
<
∈ R, f = 0.
d◦ f.
Chamamos q Chamamos q de quociente de quociente e e r de resto na resto na divis˜ao ao de g por f . ao fa¸ca ca q = 0 e r = g. Prosse Prossegui guimos mos Demonstra¸ c˜ ao. Se d◦ g < d◦ f f ent˜ao m ◦ ◦ por indu¸c˜ cao a˜o sobre n = d g m = d f . Escrev Escrevamos f = a m X + , g= n n−m −1 . Seja h = g = g bn X bn X + am f . f . Note o ajuste feito para cancelar o termo de maior grau de g . Por indu¸c˜ cao, a˜o, h se escreve na forma h = q = q 1 f + r + r,, 1 n−m com r com r = = 0 ou d ◦ r < d ◦ f . Fazendo q = q = q 1 +bn a− , con c oncl clu u´ımos ım os g = qf +r . f . Fazendo q g = qf + m X Para verificarmos a unicidade, suponhamos qf suponhamos qf + + r = q = q f + ve m (q ( q f + r . Da´ı vem se q = q ent˜ao ao o primeiro p rimeiro membro ´e um polinˆ pol inˆomio omio de grau q )f = r r. Ora, se q ◦ m enquanto que o segundo, supondo r (resp r’) = 0 ou d r (resp. r’) < ◦ d f , f , certamente ´e nulo ou de grau < m.
··· −
≥
−
≥
···
−
10.15 10. 15.. Exerc Exe rc´ ´ıcios ıc ios Seja f = an X n + an−1 X n−1 + + a1 X + + a0 e seja a seja a K . Mostre que 168. Seja f o resto na divis˜ao ao de f por X a ´e igua ig uall a f ( u ´ ltiplo f (a). Conclua que f ´ f ´e multiplo de X de X a se e s´o se f se f ((a) = 0.
− −
− −
···
∈
pr inci cipal pal.. 10.16. Proposi¸c˜ ao. Todo ideal de R ´e prin
{}
Seja I um um ideal de R de R.. Se I Se I = 0 , n˜ao ao h´ a nada a demonDemonstra¸ c˜ ao. Seja I strar. strar. Assim, Assim, podemos supor que existe existe um elemen elemento to f 0 onico e de I mˆonico grau m´ınimo com essa propriedad propriedade. e. Mostraremo Mostraremoss que I = (f 0 ), i.e., que
∈
140
Apˆend Apˆ en dice
∈
todo elemento g elemento g I ´ u ´ ltiplo de f de f 0 . Com efeito, aplicando o algoritmo da I ´e multiplo divis˜ao, ao, podemos em todo o caso escrever, = qf g = q f 0 + r, onde r = 0 ou d◦ r < d◦ f 0 . Co Como mo r = g qf 0 ´e claramente um elemento do ideal I , se ocorresse r = 0, produzir´ produzir´ıamos um elemento em I I com grau inferio inf eriorr ao m´ınimo, ıni mo, o que ´e absurdo abs urdo..
−
Lembremos que o MDC de uma cole¸c˜ cao a˜o de polinˆomios omios f t nˆomio omio mˆ onico p onico p caracterizado pelas propriedades seguintes:
e t∈T ´
{ }
o p oliol i-
• p divide cada f na cole¸c˜ cao; a˜o; • se q ∈ R divide cada f se q ∈ cada f na cole¸c˜ cao a˜o ent˜ao q ao q divide divide p p.. {f } uma cole¸c˜ cao ˜ de polinˆ omios. Ent˜ ao existem 10.17 10. 17.. Corol´ Cor ol´ario. ari o. Seja { s , . . . , s ∈ S e q , . . . , q ∈ R tais que f = q f + · · · + q f t
t
s s∈S
1
n
1
n
1 s1
n sn
´e o MDC dessa MDC dessa cole¸c˜ cao. ˜
{ } , g , . . . , g ∈ R,
Seja I o o ideal gerado por f s Demonstra¸ c˜ ao. Seja I I =
{
gi f si s1 , . . . , sm
∈ S,
|
1≤i≤m
1
m
s∈S
m = 0, 1, . . . .
}
Seja f onico de I . Send Sendoo f um f o gerador mˆonico f um elemento de I , necessariamente se escreve na forma + q n f sn . f = q 1 f s + 1
···
Assim, se q se q divide divide cada f cada f s na cole¸c˜ cao a˜o ent˜ao q ao q divide f divide f .. Por fim, sendo I sendo I = (f ), f ), ´e claro cla ro que cada f s (sendo elemento de I de I .. . . ) ´e divis´ıvel ıvel por f . f .
10.18 10. 18.. Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os 169. Sejam f, g R, f = 0 e seja r o resto na divis˜ao ao de g de g por f . f . Prove a igualdade igualdade de ideais, ideais, f, g = g, r .
∈
Deduza ent˜ao ao o algoritmo para c´alculo alculo do MDC por divis˜oes oes sucessivas.
141
10.2 Polinˆ omios
∈
10.19. Defini¸c˜ ao. Um polinˆomio n˜ao constante f R ´e redut´ıvel se existirem polinˆomios n˜ ao constantes g, h R tais que f = g h. Dizemos que f ´e irredut´ıvel se n˜ao for redut´ıvel. Um polinˆomio n˜ao constante f R ´e primo se toda vez que dividir um produto, dividir um dos fatores; em s´ımbolos: g, h R, f (divide) gh f g ou f h
∈
∀
∈
·
∈
|
⇒ | | 10.20. Proposi¸c˜ ao. Seja f ∈ R polinˆ omio n˜ ao constante. Ent˜ ao f ´e primo se e s´ o se for irredut´ıvel.
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos f mˆonico, irredut´ıvel e sejam p, q, r R tais que p q = f r. Devemos mostrar que se f p ent˜ao f q . Seja h =MDC(f, p). Visto que f ´e mˆonico e irredut´ıvel, temos h = 1 = f 1 f + p1 p. Multiplicando por q , obtemos q = q 1 = q f 1 f + p1 p q , claramente divis´ıvel por f . Reciprocamente, se f ´e primo e exib´ıssemos f como produto, f = g h, seguiria que f divide algum dos fatores, digamos g = f g1 . Substituindo e cancelando, viria 1 = g1 h, logo h ´e constante e conclu´ımos que f ´e irredut´ıvel.
·
·
·
| · ·
· ·
·
|
·
·
·
·
´ 10.21. Proposi¸c˜ ao. (Fatora¸ca ˜o Unica. ) Todo polinˆ omio n˜ ao constante em uma vari´ avel e a coeficientes em um corpo se escreve de maneira ´ unica (a menos de ordem dos fatores) na forma
· · · · · · p
f = c p1
m
onde c denota uma constante e cada pi ´e um polinˆ omio irredut´ıvel mˆ onico.
Demonstra¸ c˜ ao. Mostremos inicialmente, a unicidade. Como um produto de polinˆomios mˆ onicos ´e mˆonico, evidentemente a constante c ´e bem determinada pois coincide com o coeficiente l´ıder de f . Por outro lado, se p1
· · · · · p
m = q 1
· · · · · q
n
fosse outra fatora¸ca˜o com cada q i mˆonico e irredut´ıvel, ter´ıamos que p1 divide algum dos q i . Reordenando se preciso, podemos supor que p1 q 1 e portanto umero de fatores (ou, p1 = q 1 . Cancelando, conclu´ımos por indu¸ca˜o sobre o n´ se preferir, sobre o grau de f ). Existˆ encia da fatora¸c˜ ao. Se f j´a ´e um polinˆomio irredut´ıvel, n˜ao h´a nada a provar. Se f = g h, com d◦ g, d◦ h 1, ent˜ao d◦ g, d◦ h s˜ao ambos < d ◦ f e conclu´ımos por indu¸ca˜o sobre o grau de f .
|
·
10.22. Exerc´ıcios
≥
142
Apˆendice
170. Mostre que todo ideal primo n˜ao nulo de R ´e maximal, gerado por um polinˆ omio irredut´ıvel.
10.3
Dom´ınios de fatora¸c˜ ao u ´ nica e lema de Gauss
Observemos que as no¸c˜oes de elemento irredut´ıvel e primo se estendem a um anel arbitr´ario de forma evidente.
10.23. Defini¸c˜ ao. Um dom´ınio A ´e dito de fatora¸c˜ ao unica ´ (DFU) ou fatorial se todo elemento se escreve como produto de irredut´ıveis de forma u ´ nica a menos de ordem ou de multiplica¸ca˜o por invert´ıvel. O leitor ´e convidado a escrever a defini¸c˜ao de MDC de uma lista de elementos a1 , . . . , an A.
∈
10.24. Lema. Seja A um DFU. Ent˜ ao todo elemento irredut´ıvel ´e primo.
∈ ∈
∈
|
Demonstra¸ c˜ ao. Seja a A irredut´ıvel e sejam b, c A tais que a bc, i.e., vale bc = ad para algum d A. Por fatora¸c˜ao u ´nica, o elemento irredut´ıvel a deve figurar tamb´em no primeiro membro e assim, divide b ou c. 10.25. Defini¸ca ˜o. Seja A um DFU e seja f = an X n + +a0 um polinˆomio com coeficientes ai A. O conte´ udo de f ´e o MDC(a1 , . . . , an ), denotado c(f ). Dizemos que F ´e primitivo se c(f ) = 1.
···
∈
∈
omios. Ent˜ ao: 10.26. Proposi¸ca ˜o. Sejam A um DFU e f, g A[X ] polinˆ (1) f, g primitivos = f g primitivo; (2) c(f g) = c(f )c(g)
⇒ ·
·
Demonstra¸ c˜ ao. (1) Sejam + a0 , g = b n X n + + b0 , f = am X m + r cr = ai br−i (=coeficiente de X em f g).
···
∈ ≤ ≤
···
·
≤ ≤ ···
Seja d A irredut´ıvel. Visto que c(f ) = c(g) = 1, existem ´ındices 0 m0 m, 0 n0 n tais que d ai para i < m0 , d bi para i < n0 e d am bn . Assim, na express˜ao c m +n = am +n b0 + am +n −1 b1 + + am bn + am −1 bn + , todas as parcelas `a exce¸ca˜o de uma (leitor: qual?) ´e divis´ıvel por d. Logo, d cm +n e conclu´ımos que c(f g) = 1.
|
0
|
0
0
0
|
0
0
0
0
···
|
0
0
0
0
0
0
143
10.3 Dom´ınios de fatora¸ca˜o u ´ nica e lema de Gauss
(2) Podemos escrever f = c(f )f , g = c(g)g , com f , g primitivos. Temos ent˜ao f g = c(f )c(g)f g . Como f g ´e primitivo segue facilmente que todo divisor comum aos coeficientes de f g ´e divisor de c(f )c(g), donde se conclui (2).
·
·
·
·
10.27. Lema de Gauss. Seja A um DFU e seja K A seu corpo de fra¸c˜ oes Seja f A[X ] um polinˆ omio primitivo n˜ ao constante. (1) Se f ´e redut´ıvel em K [X ], ent˜ ao tamb´em o ´e em A[X ]. (2) Se g A[X ] e f g em K [X ], ent˜ ao f g em A[X ].
⊇
∈
∈
|
|
∈
·
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam g, h K [X ] n˜ao constantes tais que f = g h. Reduzindo os coeficientes a denominador comum, podemos escrever g = f 1 /d1 , h = f 2 /d2 , com f 1 , f 2 A[X ], d1 , d2 A. Podemos supor que MDC(d1 , c(f 1 )) = MDC(d2 , c(f 2 )) = 1. Segue-se d 1 d2 f = f 1 f 2 em A[X ]. Tomando conte´ udos, obtemos d1 d2 = c(f 1 )c(f 2 ). Logo d1 c(f 2 ), d2 c(f 1 ) em A[X ]e conclu´ımos uma rela¸ca˜o f = (f 1 /d2 ) (f 2 /d1 ) v´alida em A[X ] . A segunda afirmativa se demonstra de forma similar e deixamos a cargo do leitor.
∈
∈
·
|
|
·
10.28. Proposi¸c˜ ao. Se A ´e um DFU, ent˜ ao o anel de polinˆ omios A[X 1 , . . . , X n ] tamb´em ´e um DFU. Demonstra¸ c˜ ao. Basta mostrar o caso de uma vari´ avel. A existˆencia de decomposi¸ca˜o em fatores irredut´ıveis n˜ao oferece dificuldade e deixamos a cargo do leitor. Para a unicidade, o ponto fundamental ´e mostrar que se f A[X ] ´e um polinˆomio irredut´ıvel n˜ao constante ent˜ao f ´e primo . Sejam g i A[X ], i = 1, 2, 3 tais que f g3 = g1 g2 . Como f ´e primitivo, temos c(g3 ) = c(g1 )c(g2 ). Logo, dividindo os coeficientes de g 1 ou g 2 pelos fatores irredut´ıveis de c(g3 ), podemos supor que os gi s˜ao primitivos. Como f permanece irredut´ıvel (e portanto primo) em K [X ], segue-se que f divide, digamos, g1 . Logo, existe h K [X ] tal que g 1 = h f . Procedendo como na demonstra¸ca˜o do lema de Gauss, obtemos uma rela¸ca˜o dg1 = h f , onde h A[X ] e d A n˜ao tem fator comum com c(h ). Como g 1 , f s˜ao primitivos, podemos supor d = 1 e portanto f g1 em A[X ].
·
∈
·
·
|
10.29. Exerc´ıcios
∈ ∈
·
∈
∈
144
Apˆendice
∈
− 1) ´e
171. Seja A um DF U e seja a A n˜ao nulo. Mostre que A[X ]/(aX um DF U . 172. Mostre que C [X, Y ]/(X 2 + Y 2 com C [X, Y ]/(XY 1).)
− 1) ´e um DF U . (Sugest˜ ao: comparar
173. Mostre que R [X, Y ]/(X 2 + Y 2
− 1) n˜ ao ´e um DF U !
−
10.4
Extens˜ oes de corpos
10.30. Defini¸co ˜es. Seja L um corpo e seja K L um subanel. Se K ´e um corpo, dizemos que L ´e uma extens˜ ao de K e que este ´e um subcorpo de L. Seja L K uma extens˜a o d corpos e seja S L um subconjunto. O subcorpo de L gerado por S sobre K ´e o menor subcorpo de L contendo K, S , denotado K (S ) . A extens˜ ao L K ´e finitamente gerada se existir um subconjunto finito S L tal que L = K (S ) . Se S = s1 , . . . , sn , escrevemos K (S ) = K (s1 , . . . , sn ). Se f, g K [X 1 , . . . , Xn ] s˜ ao polinˆ omios e g(s1 , . . . , sn ) = 0, ent˜ ao f (s1 , . . . , sn )/g(s1 , . . . , sn ) ´e um elemento de K (s1 , . . . , sn ), e todo elemento de K (s1 , . . . , sn ) ´e dessa forma. Se L K ´e uma extens˜ ao de corpos, L ´e naturalmente um espa¸co vetorial sobre o corpo K ; a dimens˜ ao desse espa¸co ´e chamada o grau de L K , denotado [L : K ]; quando finita, dizemos que L K ´e uma extens˜ ao finita. Evidentemente toda extens˜ ao finita ´e finitamente gerada. Vale a rec´ıproca para extens˜ oes alg´ebricas que discutiremos a seguir. Seja L K uma extens˜ ao de corpos. Dizemos que um elemento x L ´e alg´ebrico sobre K se existir f (X ) K [X ] polinˆ omio n˜ ao constante tal que 2 uˆencia 1, x , x , . . . gera um subespa¸c o de f (x) = 0. Equivalentemente, a seq¨ ao finita. Se x n˜ ao ´e alg´ebrico, diremos que ´e transcendente. L de dimens˜ Dizemos que L ao alg´ebrica se todo x K ´e uma extens˜ L e´ alg´ebrico sobre K .
⊆
⊆
⊇ ⊇
⊆
{
}
∈
⊇
⊇
⊇
⊇
∈
∈
⊇
∈
⊇
∈
ao de corpos e seja x 10.31. Proposi¸c˜ ao. Seja L K uma extens˜ L. Ent˜ ao x ´e alg´ebrico sobre K se e s´ o se o subanel K [x] L ´e um subcorpo de L.
⊆
145
10.4 Extens˜oes de corpos
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos x alg´ebrico sobre K . Seja y K [x], y = 0. Devemos mostrar que y −1 K [x]. Como K [x] ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita sobre K , existe n 1 tal que 1, y , . . . , yn s˜ao linearmente dependentes. Tomando n m´ınimo, obtemos uma rela¸ca˜o + a1 y + a0 = 0, y n + an−1 yn−1 + com a i K e necessariamente a0 = 0. Da´ı obtemos + a1 ) = a0 y(yn−1 + e portanto, + a1 ) y−1 = ( a0 )−1 (y n−1 + que pertence a K [y] K [x]. Reciprocamente, se K [x] ´e um corpo e x = 0, temos x−1 K [x], i.e., vale uma rela¸ca˜o + a0 x−1 = a n xn + com a i K seguindo-se evidentemente que x ´e alg´ebrico sobre K .
∈
≥ ··· ···
∈
− ···
−
⊆
···
∈
∈
oes de corpos. Ent˜ ao vale a 10.32. Proposi¸ca ˜o. Sejam M L K extens˜ regra da multiplicatividade dos graus,
⊇ ⊇
[M : K ] = [M : L][L : K ]. Em particular se M finita.
⊇ L e L ⊇ K s˜ ao extens˜ oes finitas, ent˜ ao M ⊇ L ´e
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam xi i∈I , y j j ∈J bases de L sobre K e M sobre L. Verifica-se facilmente que xi y j (i,j)∈I ×J ´e uma base de M sobre K .
{ } { } { · } ao de corpos. Ent˜ ao a cole¸c˜ ao 10.33. Proposi¸c˜ ao. Seja L ⊇ K uma extens˜
formado pelos elementos de L alg´ebricos sobre K ´e um subcorpo de L.
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam x, y L alg´ebricos sobre K . Seja K = K [x]. Ent˜ao K K ´e uma extens˜ao finita. Como y ´e claramente alg´ebrico sobre K , segue que M = K [y] K ´e finita e portanto M K tamb´em o ´e. Logo todo elemento de M ´e alg´ebrico sobre K ; em particular, x y, x y s˜ao alg´ebricos sobre K, completando assim a verifica¸ ca˜o.
⊇
∈
⊇
⊇
±
·
10.34. Proposi¸c˜ ao. (Corpo de ra´ızes.) Seja K um corpo e seja f um polinˆ omio n˜ ao constante a coeficientes em K. Ent˜ ao existe uma extens˜ ao finita L K tal que f se fatora em L[X ] como produto de fatores lineares.
⊇
146
Apˆend Apˆ en dice
Procedemos por indu¸ induc˜ c¸ao a˜o sobre o grau d◦ f . Demonstra¸ c˜ ao. Procedemos f . Se d◦ f = 1, tome L = K . Pa Para ra a etapa etapa indutiv indutiva, a, podem po demos os supor f irredut´ irre dut´ıvel. ıvel. Nesse Ness e caso, o ideal f max imal. Portanto, o quociente qu ociente E K [X ] ´e maximal. E = K K [[X ]/ f ´e um corpo, extens˜ao ao finita de K de K . A classe x classe x de de X odulo f ´e uma um a raiz ra iz de f de f X m´odulo em E em E . Logo, pelo exerc´ exerc´ıcio [168 168,, p. 139 139]] f ´ vi s´ıvel ve l p or X x. Substituindo f ´e divis´ por f /(X x), o resultado segue por indu¸c˜ cao, a˜o, usando 10.32 usando 10.32.. f por f
⊂
−
− −
10.35. 10.35. Defini¸ Defini¸c˜ ao. Seja L a o de corpos corpos.. Dize Dizemo moss que K K uma extens˜ao ao algebricamente dependentes se se existir polinˆomio omio n˜ao ao conx1 , . . . , xn L s˜ao algebricamente stante f stante f ((X 1 , . . . Xn ) K [X 1 , . . . , Xn ] tal que f que f ((x1 , . . . xn ) = 0. Se x1 , . . . , xn s˜ao ao algebricamente in dependent dependentes, es, o subanel subanel K [x1 , . . . , xn ] (resp. (resp. subcorpo subcorpo K (x1 , . . . , xn )) que eles geram sobre K ´ isomor fo ao anel K ´e isomorfo de polinˆomios omios (resp. corpo de fun¸c˜ coes o˜es racionais) em n em n vari´aveis. aveis. Dizemos que x1 , . . . , xn formam uma base de transcendˆencia enci a de L K se s˜ao ao algebricamente in dependentes dependentes e L ao K (x1 , . . . , xn ) ´e uma extens˜ao alg´ al g´ebri eb rica ca..
⊇
∈
∈
⊇
⊇
10.36. Proposi¸c˜ cao. a ˜o. (Grau de transcen tran scendˆ dˆ encia. enc ia.) Seja L = K = K ((x1 , . . . , xN ) K ao finitamente gerada. Ent˜ ao: K uma extens˜ (1) existem (1) existem m 0, 1 i 1 < um a base bas e < im N N tais que xi , . . . xim ´e uma de transcendˆencia enci a de L K ; (2) o n´ umero umero de elementos de duas quaisquer bases bases de transce transcendˆ ndˆencia encia de ´e o mesmo, chamado de grau de transcendˆ transcendˆencia encia da extens˜ ao L ao L K . L K ´
≥
⊇ ≤ ·· · · · ⊇
≤
1
⊇
⊇
al g´ebri eb rico co sobr so bree K , ent˜ao ao a extens˜ao ´e Demonstra¸ c˜ ao. (1) Se cada xi ´e alg´ alg´ebrica ebrica e tomamos m = 0. Se, Se, diga digamo mos, s, x1 ´e transcendente, transcen dente, fa¸camos camos K = K (x1 ), de sorte que L = K (x2 , . . . , xN ) e podemos argumentar por indu¸c˜ cao a˜o sobre N sobre N ,, o n´ umero de geradores da extens˜ao. umero ao. Assim, reordenan reordenando do se necess´ ario ario podemos supor que x2 , . . . , xm s˜ao ao algebricamente independentes sobre K e L K (x2 , . . . , xm ) ´e alg´ebrica. ebri ca. Segue-se Segu e-se que x1 , . . . , xm ´e uma base de transcendˆ transcen dˆencia encia para L para L K .
⊇
⊇
(2) Seja x1 , . . . , xm uma base de transcendˆ encia encia e sejam y1 , . . . , yr algebricamente independentes. independentes. Mostraremos que m r. Precisamente, te, para cada r . Precisamen ario, podemos substii = 1, . . . , r, r, veremos que, reordenando os xi se necess´ario, tuir xi por yi , de sorte que y1, . . . , yi , xi+1 , . . . , xm permanece uma base de trans tra nscen cendˆ dˆencia enc ia..
≥
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Bibliografia
Observemo Obse rvemoss de d e in i n´ıcio que y que y1 ´e alg´ al g´ebri eb rico co sobr so bree K (x1 , . . . , xm ). Logo, podemos escrever uma rela¸c˜ cao a˜o de dependˆencia, encia, obtendo um polinˆomio omio f ( f (X 0 , X 1 , . . . , Xm )
∈ K [X , X , . . . , X ] 0
1
m
n˜ao ao constante tal que f ( Nessaa rela rela¸¸c˜ cao, a˜o, seguramen seguramente te f (y1 , x1 , . . . , xm) = 0. Ness ocorre algum termo n˜ao ao nulo em y1 (pois x1 , . . . , xm s˜ao ao algebricamente independentes) bem como algum dos x dos xi , digamos x digamos x1, porque y porque y1 ´e trans tra nscen cende dente nte sobre K . Afirmamos Afirmamos que y que y 1 , x2 . . . , xm ´e uma um a base ba se de trans tra nscen cendˆ dˆencia enc ia.. Com efeito efeito,, temos temos x1 alg´ al g´ebrico ebri co sobre sob re K (y1 , x2 . . . , xm ) em virtude da rela¸c˜ cao a˜o dada por f por f .. Assim, temos as extens˜oes oes alg´ al g´ebrica ebr icas, s, = K ((x1 . . . , xN ) L = K
⊇ K (y , x , x 1
1
2 . . . , xm )
⊇ K (y , x 1
2 . . . , xm ).
Se y1 , x2, . . . , xm fossem algebricamente dependentes, numa rela¸c˜ cao a˜o n˜ao ao trivial g (y1 , x2 , . . . , xm) = 0 necessariamente y1 compareceria em algum termo n˜ao ao nulo, sen˜ao ao seria uma rela¸c˜ cao ˜ao entre os xi, proibida por hip´otese; otese; mas alg ´ebrico ebr ico sobr so bree K (x2 , . . . , xm ) implica em x1 alg´ebrico ebrico sobre este mesmo y1 alg´ corpo, corp o, tamb´em em imp i mposs´ oss´ıvel, ıvel, completa comp letando ndo a verifica ver ifica¸c˜ c¸ao. a˜o.
⊇ ⊇
oes de corpos finitamente 10.37. Proposi¸c˜ ao. Sejam M L K K extens˜ geradas. Ent˜ ao vale a regra regra da aditividade dos graus graus de transc transcendˆ endˆ encia encia transK M = = transL M + + transK L. encia de L Demonstra¸ c˜ ao. Seja x = x1 , . . . , xm uma base de transcendˆencia sobre K . Temos emos que L ´e alg´ al g´ebrico ebr ico sobre so bre a exten ext ens˜ s˜ao ao transcendente K (x) de Seja y = = y bas e de trans t ranscendˆ cendˆencia enci a de M de M sobre L sobre L.. Mostremos K . Seja y y 1 , . . . , yn uma base que a uni˜ao x, ao x, y ´e uma base bas e de transcen tran scendˆ dˆencia enci a de M de M sobre K sobre K .. Seja f ( f (T 1 , . . . , Tm , U 1 , . . . , Un ) = i ai (T ) T )U i um polinˆ omio omio a coeficientes em K em K tal tal que f que f ((x, y) = 0. Ent˜ao ao i f ( f (x, U 1 , . . . , Un ) = i ai (x)U ´e um polin po linˆ omio oˆmio a coeficientes em L cao a˜ o de K (x) que fornece uma rela¸c˜ dependˆ dep endˆencia enci a para par a y sobre L. Logo, cada coeficiente ai (x) ´e nulo. Pela independˆ pe ndˆencia en cia de x sobre K , temos cada ai (T ) T ) = 0 e portanto f = f = 0. Logo x, y ´e algebricamente algebri camente independente indep endente sobre K . Resta Resta mostra mostrarr que M M ´e alg´ebrico sobre K (x, y). Dado z em M , existe um polinˆomio omio g = 0, a coeficientes em Logo, a extens˜ extens˜ ao ao L (z ) L ´e finita. fi nita. Como a L = L(y ), tal que g (z ) = 0. Logo, extens˜ao L ao L K (x) ´e finita, fin ita, segue facilmente que a extens˜ao L ao L (z ) K (x, y ) ´e finita fini ta e portant po rtantoo z ´ al g´ebrico ebr ico sobr so bree este est e ultimo u ´ ltimo corpo. z ´e alg´
⊃
⊇
⊇
⊇
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Bibliografia
Bibliografia Um roteiro padr˜ao ao para continuar o percurso aqui delineado poderia come¸car car com [13 13], ], segui seguido do de – ou, com com mais fˆ folego, oˆlego, em em parale paralelo lo a – [17 17]], [31 [ 31], ], [18 18]. ]. As referˆ refe rˆencias enci as [21 21]] e [28 28]] s˜ao ao de car´ater ater introdut´orio. orio. Suporte necess´ necess´ ario ario de algebra ´algebra comutativa mesclado mescla do com exemplos geom´etricos etricos encontra-se em [24 [24]. ]. Um belo apanhado da contribui¸c˜ cao a˜o dos patriarcas (1800-19??) encontra-se no compˆ co mpˆendi en dioo [8]. O sabor sab or de t´ecnicas ecni cas compu co mputaci taciona onais is ´e bem apres a presentad entadoo em [ em [99]; alguns dos t´opicos opi cos a´ı trata t ratados dos s˜ao ao expostos em [ em [33 33]. ]. J´a [1 [ 1] propicia uma vis˜ao ao geral personal´ personal´ıssima, informal e fascinante, endere¸cada cada a uma “audiˆencia encia de engenheiros” engenheiros” (nas palavras palavras do autor). autor). Aplica¸ Aplica¸c˜ c˜oes oes de curvas alg´ebricas ebricas a` teoria dos c´odigos odigos corretores de erros s˜ao ao apresentadas apresentada s a n´ıvel elementar em [34 34]; ]; veja tamb´em em [27 27]. ]. Para Para mais geometria geometria de curvas curvas sobre corpos finitos, consultar [14 [14]. ]. Uma introd introdu¸ u¸c˜ cao a˜o a fenˆomenos omenos t´ıpicos da geometria geometri a de curvas em caracter´ cara cter´ıstica ıst ica > 0 pode ser vista em [19 [ 19]. ]. Uma abordage abordagem m complexo complexo-anal ana l´ıtica ıti ca acha-se acha- se em [7]. Por fim, para notas hist´oricas, oricas, veja [ veja [10 10]. ]. 1. S. S. Abhya Abhyank nkar, ar, Algebr Algebraic Geometr Geometryy for Scientis Scientists ts and Engine Engineers ers , AMS Math. Surveys and Monographs, vol. 35, 1990. 2. V. I. Arnold, Real Algebraic Geometry (the 16th Hilbert Problem), Problem) , in Proceedings of Symposia in Pure Math., Vol. 28, F.E. Browder, editor, AMS, 1974. 3. I. Blake, Blake, G. Seroussi, N. Smart, Smart, Elliptic Curves in Cryptography , London Math. Soc. L.N.S.#265, Cambridge Univ. Press, 1999. 4. C. B. Boy Boyer, er, Hist´ Hist´ oria da Matem´ atica , trad. E. Gomide, Edgar Bluche Blucher, r, 1968. 5. B. J. Cara¸ca, Conceitos ca, Conceitos Fundamentais da Matem´ atica , Livraria S´a da Costa, Lisboa, 1984. 6. C. Camach Camachoo O 16 ◦ Problema de Hilbert , Matem´atica atica Universit´aria aria n◦ 10, 1989. 7. C. H. Clemens, A scrapbook of complex curve theory , Plenum Press, New York, 1980. 8. J. L. Coolidge, A Treatise on Algebraic Plane Curves , Do Dove verr Publ., Publ., New York, 1959.
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´Indice afinidade, 13 ˆangulo, trissec¸ca˜o, 2, 6 ass´ıntota, 26 astr´oide, 7 base de transcendˆencia, 146 B´ezout, teorema de, 63 bitangentes, 91 caracol de Pascal, 7 ciclo, 125 c´ırculo, 2 ciss´oide, 4, 38, 56 componente irredut´ıvel, 11, 50 conc´oide, 7 de Nicomedes, 6 congruentes, curvas, 51 cˆonica, 12 cˆonica afim, 16 conte´ udo, 142 conven¸c˜ao, 50 coordenadas homogˆeneas, 46, 48 corpo, 134 de fun¸co˜es, 99 de ra´ızes, 145 c´ubica, 10, 13, 17, 43 cuspidal, 56, 88 estrutura de grupo, 13 estrutura de grupo, 130 nodal, 70, 88 par´ abola, 53, 60
singular, 108 cubo, duplica¸ca˜o, 2, 5 curva, 2 irredut´ıvel, 11 lisa, 37, 59 plana afim, 10 plana projetiva, 50 polar, 86 projetiva racional, 107 projetiva racional, 114 racional, 8, 95, 100 c´uspide, 37 dependˆencia alg´ebrica, 146 diagrama de Newton, 40 dire¸ca˜o assint´ otica, 53 dire¸ca˜o assint´ otica, 26 distˆ ancia finita, 50 divisor de zero, 134 dom´ınio, 134 dual curva, 91 plano, 91 reta, 55 elimina¸c˜ao, 107 elipse, 3, 52 epicicl´ oide, 7 epimorfismo, 135 equivalˆencia racional, 126 espa¸co projetivo, 48
´INDICE
152 Euler, f´ormula de, 60 extens˜ao alg´ebrica, 7, 144 extens˜ao finita, 144 fecho projetivo, 50 folium de Descartes, 6, 56 fun¸c˜ao elementar, 115 fun¸c˜ao impl´ıcita, 80 gˆenero geom´etrico, 109 virtual, 108 grau da resultante, 26, 29 de uma curva, 10, 50 hessiana, 88 hip´erbole, 3, 52 hiperplano, 54 no infinito, 48 hipocicl´ oides, 7 homomorfismo, 134 ideal gerado, 137 principal, 137 ´ındice de interse¸ca˜o, 59, 63, 70 infinito, ponto no, 46 integrais de fun¸co˜es alg´ebricas, 114 interse¸ca˜o, 20, 24 invert´ıvel, 134 irredut´ıvel curva, 11 polinˆomio, 141 isomorfismo, 135 lemniscata, 113 lemniscata de Bernoulli, 7, 38 Lissajous, curva de, 8
L¨uroth, teorema de, 103 m´odulo da c´ ubica, 122 mudan¸ca de coordenadas projetivas, 51 multiplicidade, 11, 59, 63 da tangente, 37 de interse¸ca˜o, 34, 58, 59, 63 do ponto, 37 n´o, 37, 38 oval de Cassini, 7 par´abola, 3, 52 parametriza¸ca˜o, 95 boa, 102 Pl¨ucker, f´ormulas de, 91 plano projetivo, 46 polar, curva, 86 polinˆ omio (ir)redut´ıvel, 141 polinomial, aplica¸ca˜o, 105 ponto m-uplo, 37, 59 de inflex˜ao, 42, 85, 92 duplo, 37 liso, 37 m´ultiplo, 59 no infinito, 46 ordin´ario, 37 simples, 59 singular, 37, 39, 59, 60 triplo, 37 posi¸ca˜o muito boa, 62 boa, 62 primitivo, polinˆomio, 142 projetividade, 51
