APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1.1. 1.1. Desint Desintegr egraci ación ón radioa radioacti ctiva va..
d C d t
= α .C
t: Es
el tiempo en horas, minutos, etc. (variable independiente). C ( t ) : Cantidad radioactiva existente luego de t
horas, minutos, etc. α: Es
una constante.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. El uran uranio io se desc descom ompo pone ne a una una velo veloci cida dad d prop propor orci cion onal al a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 g y despue despuess de 2 horas se ha perdido el 5% de su masa original, hallar a) La cantidad cantidad restant restante e de uranio como como función del del tiempo. tiempo. ) La cantidad cantidad de de uranio uranio despu!s despu!s de 5 horas horas..
t :
"iempo # V i ) en horas.
C ( t )
$ antidad de uranio e&istente luego de t horas.
Saemos 'ue$ d C d t
= α . C
(or variales separadas$
∫ dcc =∫ αdt ln ( c )= αt + k
e
ln ( c )
= eαt +k αt
c=e . e c = A . e
•
k
αt
(or datos tenemos 'ue$ uando t =0 , c 0= A . e
C 0 =10
0 t
10= A
Cuando c 2=10 e
t =2 h ,
C 2 =9.5 g
2 α
2 α
9.5 = 10 e 9.5 10
¿= ln ( e α ) ln ¿ 2
a) La cantidad restante de uranio como función el tiempo. − 0.025646 t
C t =10. e
) La cantidad de uranio despu!s de 5 horas. −0.025646 x 5
C 5 =10. e
C 5 =8.796 g
2. ierto material radiactivo se desintegra con una rapide* proporcional a la cantidad e&istente en cada instante. En una pruea reali*ada con + mg de este material, se oservó 'ue
despu!s de - horas, solamente permaneca el /% de la masa original. 0allar a) La cantidad restante de masa en cual'uier instante. ) u! cantidad de material hay despu!s de 5 horas3 c) u4nto tiempo dee transcurrir para 'ue la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicial3 SL6789 t :
"iempo # V i ) en horas.
C ( t )
$ antidad e&istente luego de t horas.
Saemos 'ue$ d C d t
= α .C
(or variales separadas$
∫ dcc =∫ αdt ln ( c )= αt + k
e
ln ( c )
= eαt +k αt
c=e . e c = A . e
•
k
αt
(or datos tenemos 'ue$ uando t =0 , c 0= A . e 60= A
0 t
C 0 =60 mg
Cuando
c 3=60 e 48
3 α
=60 e
3 α
48 60
¿= ln ( e α ) ln ¿ 3
t = 3 h ,
a) La cantidad restante de masa en cual'uier instante. C ( t ) =60. e
−0.07438 t
) u! cantidad de material hay despu!s de 5 horas3 −0.07438 x 5
C ( 5)=60. e
C ( 5)= 41.365 mg
c) u4nto tiempo dee transcurrir para 'ue la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicial3 1 4
x 60 =15 mg
C ( t ) =60. e 15=60. e
−0.07438 t
−0.07438 t
15 60
¿= ln ( e− ln ¿
)
0.07438 t
t =18.63 horas
-. Se ha oservado en el laoratorio 'ue el radio de desintegra a una rapide* proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1+ a:os. u! porcenta;e desaparecer4 en un a:o3 SL6789 t :
"iempo # V i ) en a:os.
C ( t )
$ antidad de radio e&istente luego de t a:os.
Saemos 'ue$ d C d t
= α .C
(or variales separadas$
∫ dcc =∫ αdt ln ( c )= αt + k
e
ln ( c )
= eαt +k αt
c=e . e c = A . e
•
k
αt
(or datos tenemos 'ue$ uando t =0 , c 0= A . e
0 t
R= A
C 0 = R
Cuando c 3=ℜ R 2
t =1600 ,
3 α
=ℜ
3 α
1 2
¿= ln ( e α ) 3
•
La ecuación en función del tiempo 'uedara as$ C ( t ) =ℜ
−0.0004332 t
R C 1600 = 2
•
u! porcenta;e desaparecer4 en un a:o3 − 0.07438 x 1
C ( 1)=ℜ
C ( 1)=0.9995 x 100 =99.95 entonces desaparece el0.05 %R
<. En un cultivo de levadura la rapide* de camio es proporcional a la cantidad e&istente. Si la cantidad de cultivo se duplica en < horas, u! cantidad puede esperarse al cao de 12 horas3 d C d t
= α .C
dc =α .cdt dc −α .cdt =0
α.cdt −dc =0
M ( t , c ) =α . c
∂ M ( t , c ) =α ∂c
N ( t , c )=−1 ∂ N ( t , c ) =0 ∂ t •
=uscamos un factor integrante$
∂ M ( t , c ) ∂ N ( t , c ) − ∂c ∂ t N α − 0
−1
=−α
∫−¿ αdt ¿ Fi =e
¿ e−α. t
Inexacta
>ultiplicamos a la ecuación original por el factor integrante
•
− α. t
e
−α .t
α.cdt −e
dc = 0
−α. t
M ( t , c ) =e
α .c
Exacta − α .t N ( t , c )=e
∂ M ( t , c ) =−α . e−α. t ∂c ∂ N ( t , c ) =−α e−α .t ∂ t
