Ecuaci onDi f er enci alHomogenea dePr i merOr den OCTUBRE 16, 2014 DE MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL
20
Ecuacion diferencial homogenea de primer orden
Una vez que haa! "na#$za%& #a #e'(u)a %e e!(e a)(*'u#& +&%)! )e!&#ve) 'ua#qu$e) e'ua'$-n %$.e)en'$a# h&/&enea %e +)$/e) &)%en, /e%$an(e un /(&%& e"'az .'$# %e a+#$'a), '&n #& que )+$%a/en(e +&%)! )e!&#ve) (u! ee)'$'$&!3 Sen #a D&' Sen D&'(&) (&)a a Ba) Ba)5a) 5a)a a Oa Oa#e #e +) +)&.e! &.e!&)a &)a %e $n $nen$ en$e)*a e)*a en e# %e+ %e+a)(a a)(a/en /en(& (& %e $ne $n en$ n$e) e)*a *a %e !$! !$!(e (e/a /a!! e $n $n%u %u!() !()$a# $a# %e #a un un$v $ve)! e)!$% $%a% a% %e Oa Oa#an #an% % en R&' &'he he!( !(e) e),, M$'h M$ 'h$ $an an77 un una a %e #a #a!! .& .&)/ )/a! a! n& !& !&#& #& %e )e )e'& '&)% )%a) a) $n $n.& .&)/ )/a' a'$-n $-n !$ n& (a (a/5 /5$n $n %e '&/+)en%e)#a e! )ea#$zan%& ana#&*a! 8& /e(.&)a! que )e#a'$&nen #a $n.&)/a'$-n que que)e/&! a+)en%e) '&n '&n&'$/$en(& .'$# %e )e'&)%a) +a)a n&!&()&!, +&) ee/+#& 'uan%& v$!ua#$za/&! #a '&))$en(e e#'()$'a '&/& 9u& %e aua3 O 'uan%& ha'e/&! #a! /e(a.&)a! +a)a )e#a'$&na) #&! CA(IONES '&n e# !$n& :;< #&! AnIONES '&n e# !$n& := , n E>ATIVO< E>ATIVO< u($#$zan%& !u! +)&+$a! #e()a!3 ?&) e!(e /&($v&, (e +)&+&n& .&)/u#a) una ana#&*a +a)a )e'&)%a) '-/& $%en($"'a) una ED h&/&nea %e +)$/e) &)%en3 ?ue%e! ve) un ee/+#& en #a +)e!en(a'$-n@ &/&ene$%a% %e una e'ua'$-n %$.e)en'$a# %e +)$/e) &)%en3 U($#$za &)%en3 U($#$za e# ')$(e)$& %e h&/&ene$%a% %e una ED que a '&n($nua'$-n !e %e!')$5e3
Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial E# ')$(e)$& que %e(e)/$na #a h&/&ene$%a% %e una ED e! e# !$u$en(e, 'uan%& vea! una ED e!')$(a %e e!(a .&)/a@
M( , ) %+N( , ) %=0M:,<%;N:,< %0
:1<
?a)a %e(e)/$na) !u h&/&ene$%a% '&))&5&)a que la suma de los exponentes +a)a #a! va)$a5#e! de cada uno de sus términos sea la misma7 e! %e'$), !u+&na/&!
que M=−C)!−B+qMC)!B+q N=A/nNA/n, en(&n'e! :1< !e ()an!.&)/a en@
C)!+B+q) %+A/n%=0 –( :C)!;B+q<%;A/n%0
:2 <
D&n%e A, B, C !&n .un'$&ne! +&#$n&/$a#e! (a/5$n3 De (a# /ane)a %e que !$ #a !u/a TOTAL %e #&! e+&nen(e! %e 'a%a (e)/$n& e! #a /$!/a, e! %e'$), !$u$en%& '&n #a e'ua'$-n an(e)$&)@ );!+;q/;nF )+!=++q=/+n=F );!+;q/;nF En(&n'e! #a E'ua'$-n D$.e)en'$a# e! h&/&nea3 Ve) un ee/+#& en e n e!(e en#a'e@ click aquí 3 Ve) un %e!a))&##& /a! %e(a##a%& %e# ')$(e)$& %e h&/&ene$%a% en #a +)e!en(a'$-n@ &/&ene &/&ene$%a% $%a% %e una e'ua'$-n %$.e)en'$a# %e +)$/e) &)%en3
Metodología utilizada. Cómo resolver una ED homogénea de primer orden en 4 pasos. ?a)a )e!&#ve) ED h&/&nea! u($#$za)e/&! #&! !$u$en(e 4 +a!&!, que %e!')$5$/&! a '&n($nua'$-n@ 1. Determinamos omogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a .&)/a@
()
%%=. ( ) %%.:< & %%=. %%.:<
!. "eleccionamos la sustitución adecuada# u=u & v=v $. Desarrollamos la nueva ED %&ue ahora es separa'le ()* &ue tiene la forma# %u%=G( u) v) −u%u%G:u<u & %v%=G( −v%v%G:v<v 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la formula de integración regresamos a las varia'les originales.
E,E-C+C+" -E"/E0" DE EC/2C+3E" D+E-E3C+20E" M563E2" -esolver la siguiente Ecuación Diferencial
2%%=42+322%%42;H2 "olución 7aso 1. Determinamos homogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
2%%%%==42+3242+3222%% 42;H2%%42;H22 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
() 4( )+3(
) .&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:<
%%%%===42+3221212
22
2
)2( )4+3( )2( )%%42;H2212
2
2
2
124:22<;H:22<2:2<%%4;H:<22: < 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
u==u%%=u+%u%uu%%u;%u% ?&) (an(&@
%%u+%u%%u%===4+3()22()4+ 3u22u4+3u22u−u%%4;H:<22:<u;%u% 4;Hu22u%u%4;Hu22uu 7aso $. Desarrollamos la nueva ED %&ue ahora es separa'le ()* tiene la forma# %u%=G( u) v) −u%u%G:u<u & %v%=G( −v%v%G:v<v
Tene/&!@
%u%%u%%u%2u4+u2%u====4+3u22u −u4+3u2−2u22u4+u22u%%u%4;Hu22uu %u%4;Hu22u22u%u%4;u22u2u4;u2%u % 7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫2u%u4+u =∫%+CK2u%u4;u2K%;C 2
v=u2vu2 %v=2u%u%v2u%u ln(4+u2) =l n+C#n:4;u2<#n;C S$ u=u en(&n'e!@
( ( ))ln(4+())ln(4+ ())4+
l n 4+
2
2
2
()4+ ========ln+Cln+ln 2
22222
Cl C−4) C3−42−−−−−− nCCCC−42( −−√ #n:4;:<2<#n;C#n:4; :<2<#n;#nC#n:4;:<2<#nC4; :<2C4;22C22C422:C4< CH42 ?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@
=C3−42−−−−−−−−√CH42
33333333333333333333333333333333 3333333333 33333333333333333333333333333333 3333333333
Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema 1 -esolver la "iguiente Ecuación Diferencial
( −) %+%=0:<%;%0 "olución 7aso 1. Determinamos homogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
−) %+%( −) ( −) +%%%%%%====00–( −) :<%;%0:<;%%0%% ( :<%%:< 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
()
) .&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:<
%%=====( −) 11(−)– −1 1−1%%:<11:< 111 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
u==u%%=u+%u%uu%%u;%u% ?&) (an(&@
%%u+%u%%u%===−1u−1u−1− u%%1u;%u%u1%u%u1u 7aso $. Desarrollamos la nueva ED %&ue ahora es separa'le ()* tiene la forma# %u%=G( u) v) −u%u%G:u<u & %v%=G( −v%v%G:v<v
Tene/&!@
%u%%u%%u===u−1−u−1–
%%u%u1u%u%1%u% 7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫
∫
%u %uu===–%– %+C–l n+C%u %K%uK%;Cu#n;C S$ u=u, en(&n'e!@
==–l n+C−l n+C #n;C#n;C ?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@
n+C#n;C =−l
33333333333333333333333333333333 3333333333 33333333333333333333333333333333 3333333333
Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema ! Re!&#ve) #a !$u$en(e e'ua'$-n %$.e)en'$a#
( +) %+%=0:;<%;%0 "olución# 7aso 1. Determinamos homogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
+) %+%( +) ( +) +%%%%%%====00–( − +) :;<%;%0:;<;%%0%% (
:;<%%:;< 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
()
.&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:< )
%%%%%%%%====−( +) 11−
( )
(+)−(1+)1– 1+ %% :;<11%% :;<%%:1;<1%%:1;< 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
u==u%%=u+%u%uu%%u;%u% ?&) (an(&@
( )
%%u+%u%%u%===– 1+ – ( 1+u) – ( 1 +u) −u%%:1;<u;%u% :1;u<%u%:1;u<u 7aso $. Desarrollamos la nueva ED %&ue ahora es separa'le ()* tiene la forma# %u%=G( u) v) −u%u%G:u<u & %v%=G( −v%v%G:v<v
Tene/&!@
1+u) %u%%u%%u1+2u=====–( −u−1−u−u−1−2u–( 1+2u) –%%u%:1;u< u1uu12u%u%:1;2u<%u1;2u % 7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫%u1+2u=–∫%+CK%u1;2uK%;C
v=( 1+2u) v:1;2u<, %v=2%u%v2%u ?a)a en(en%e) /e&) #a! ('n$'a! %e $n(e)a'$-n %e .un'$&ne! )a'$&na#e! va!e e# a)(*'u#&@ Integración de funciones racionales 3 E!(& $/+#$'a@
∫( )2%u1+2u12∫2%u1+2u12ln|1+2u|===– ∫%+C–∫%+C–ln||+CK:12<2%u1;2u 12
K%;C12K2%u1;2uK%;C12#n1;2u#n ;C S$ u=u, en(&n'e!@
()
1 2 l n1+2 l n1+2−−−−−
√
− l n+2−−−−−
√
√
| − l n+2−−−−−− +l n|
√
(
)
l n+2−−−−−− l n 2 +2
√
−−−−−−−−−−− l n2+2−−−−−−
√ √ −√ +2 +22============ − 2+2−−−−−−− 2+2−−−−−− 2
2
| | | ==–l n| +C– l n | +C– l n | +CCCCCeCC1C21C2C2−2C2−22C3–212#n 1;2:<#n;C#n1;2#n;C#n;2 #n;C#n;2;#nC#n;2C#n 2:;2<C#n2;2 C2;2eC2;2C12;2C122;2 C22C22C222CH2 ?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@
=C3–2CH2
33333333333333333333333333333333 3333333333 33333333333333333333333333333333 3333333333
Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema $ -esolver la siguiente ecuación diferencial
%+( −2) %=0%;:2<%0 7aso 1. Determinamos homogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
%+( −2) %+ −2) %%( −2) %%%%====00−– ( −2%;:2<%0; :2<%%0:2<%%%%2 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
()
.&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:< )
%%===–−211–−2– 1−2%%211212 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
u==u%%=u+%u%uu%%u;%u% ?&) (an(&@
%%u+%u%%u%===–1−2–1u−2– 1u−2−u%%12u;%u%1u2%u% 1u2u 7aso $. Desarrollamos la nueva ED %&ue ahora es separa'le ()* tiene la forma#
%u%=G( u) v) −u%u%G:u<u & %v%=G( −v%v%G:v<v Tene/&!@
%u%( u−2) %u( u2−2u+1) u−2) u ====−1−u( −2−1−u2+2uu−2−( u2−2u+1) u−2– %%u%1u:u2
?a)a en(en%e) /e&) #a! ('n$'a! %e $n(e)a'$-n u($#$za%a! %e) e# a)(*'u#&@ Integración de funciones racionales3 7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫(u−2)%u(u −2u+1)=– 2
∫%+CK:u2<%u:u22u;1<K%;C S$ v=( v:u22u;1<, %v=2u−2%v2u2, en(&n'e!@ u2−2u+1)
∫( )2(u−2)%u(u −2u+1)12∫2(u−2)%u(u −2u+1)12 ∫(2u−2−2)%u(u −2u+1)12∫(2u−2)%u(u −2u+1)– u −2u+1) 22∫%u( ====–∫%+C–∫%+C– ∫%+C–∫%+CK:12<2:u2<%u:u22u;1< 12
2
2
2
2
2
K%;C12K2:u2<%u:u22u;1< K%;C12K:2u22<%u:u22u;1< K%;C12K:2u2<%u:u22u;1<22K%u:u22u;1< K%;C Sa5$en%& que ( u2−2u+1) 2:u22u;1<:1u<2, !$ ha'e/&! v=1 =( 1−u) −uv1u,
%v=%u%v%u, en(&n'e!@
∫
∫
%u( u2−2u+1) 21 12 ( 2u−2) – %u( 1−u) 2 l n |
∫
u2−2u+1| −2+1−2+1==– %+C– | –( 1−u) l n | +C12K:2u2<%u:u22u;1<K%u:1u<2 K%;C12#nu22u;1:1u<2;12;1#n ;C NOTA@ #a! ('n$'a! %e $n(e)a'$-n +a)a .un'$&ne! )a'$&na#e! #a! +&%e/&! ve) en e# a)(*'u#&@ In(e)a'$-n %e .un'$&ne! )a'$&na#e!3 S$ u=u, en(&n'e!@
() −1l n()−2+1−−−−−−−−−−−− 1 2 l n 2−2+1–( 1−)
−1
2
√
− +1( 1−) l n 2−2+22−−−−−−
√
−) −−−−−− +1( l n2−2+2−−−
−−−−−−−−√ +−l n2−2+2−
| −−−−−−−−−−√ +l n| l n2−2+2−−−−−−−−−− −√ l n2−2+2−−−−−−−−−−
√
√
−) −| − l n( n| 2−−−−−−− l +−=========–l n| +C– l n | +C– l n | | | |
| +C– l n | +C–−+C–−+C–−+C– −+CC12#n:<22;1:1<11#n ;C#n:<22;1;1:1<#n;C#n 22;22;1:<#n;C#n 22;2;#n;C#n22;2 ;#n;C#n22;2;C#n 22;2;C#n:<2;C#n ;C ?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@
n| +−C#n−;− C=l −|
33333333333333333333333333333333 3333333333 33333333333333333333333333333333 3333333333
Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema 4 -esolver la "iguiente Ecuación Diferencial
%–2( +) %=0%2:;<%0 "olución# 7aso 1. Determinamos homogeneidad , ) , ) a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,<
%%%%%===2( +) %2( +) +) 2( %2:;<%%%2:;<%%2:;< 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
()
) .&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:<
(
%%%%%%%%====2( +) 112
) ( )( )
+ 2 +1 12 +1 %%2:;<11 %%2:;<%%2:;1<1%%2:;1< 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
v==v%%=v+%v%vv%%v;%v% ?&) (an(&@
( )
%%v+%v%%v%===2 +1 2( v+1) v 2( +1) −v%%2:;1
Tene/&!@
−v2v+2−vv %v%%v%%vv+2====2( v+1) +2%%v%2:v;1<v%v%2v;2vv;2%v v;2% 7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫%vv+2ln|v+2|==∫%+Cln|| +CK%vv;2K%;C#nv;2#n;C S$ v=v, en(&n'e!@
l n+2l n+2– l n | | l n+2l n +2l n+22
+22+22+2=========l | n| +CCCCCeCC1C12C12−2#n;2#n;C#n ;2#nC#n;2C#n;2C#n ;22 C;22eC;22C1;2C12C12 2 ?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@
=C12−2C122 :H< La )e+)e!en(a'$-n )"'a %e e!(e )e!u#(a%& !e /ue!()a en #aigura 1 igura !3
igura 1. ?e)!+e'($va en Re#$eve %e #a S&#u'$-n >ene)a# :H<3 ?)&5#e/a 4
La !$u$en(e "u)a en HD e! /an$+u#a5#e3 ?a)a ve) a %e(a##e #a "u)a, +&!$'$-na(e '&n e# +un(e)& %e# /&u!e !&5)e e##a %ea +)e!$&na%& e# 5&(-n $zqu$e)%& :'#$' $zqu$e)%& '&n e# /&u!e< /$en()a! #& /ueve!3 C&n e!(& +&%)! ve) e# %e(a##e %e #a "u)a en
HD3 N&(a@ e! +&!$5#e que ne'e!$(e! $n!(a#a) e# !&.(a)e +a)a /ane& %e CDG %e P&#.)a/, %a '#$' aquí para instalarlo . 33333333333333333333333333333333 3333333333 33333333333333333333333333333333 3333333333
Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema ; -esolver la "iguiente Ecuación Diferencial
( 2+) %+2%=0:2;<%;2 %0
:4<
"olución# 7aso 1. Determinamos homogeneidad a<3 E!')$5$/&! #a ED en #a .&)/a@ %%=. ( %%.:,< & %%=. ( %%.:,< , ) , )
( 2+) %+2%( 2+)
2+) +2%%2%%%%====00–( − 2+) 2:2;<%;2%0:2;< ( ;2%%02%%:2;<%%:2;<2 5<3 Mu#($+#$'a/&! #a ED )e!u#(an(e +&) un .a'(&) a%e'ua%& que n&! #a '&nv$e)(a en #a
()
.&)/a@ %%=. ( %%.:< & %%=. %%.:< )
%%%%%%====−( 2+) 21212−
(
) ( )1– (()+)%%
22+2 22− ( ) 2+ 2
:2;<21212%%:22;2<22 ::<2;<1%%::<2;< 7aso !. "eleccionamos la sustitución adecuada u=u & v=v
Tene/&!@
u==u%%=u+%u%uu%%u;%u% ?&) (an(&@
(( ) )
%%u+%u%%u%===– 2+ – u2+u) u2+u) ( –( −u%%::<2;
Tene/&!@
%u%%u%%u%%u%%uu2+2u=====– u2+u) u2+2u) ( −u−u2−u−u−u2−2u–( – %%u%:u2;u< u%u%u2uu%u%u22u%u% :u2;2u<%uu2;2u%
7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las varia'les originales. Tene/&!@
∫%uu +2u∫%uu(u+2)==–∫%+C– 2
∫%+CK%uu2;2uK%;CK%uu:u;2< K%;C In(e)an%& +&) .)a''$&ne! +a)'$a#e!@ u+2) =Au+Bu+21u:u;2<Au;Bu;2 1u(
E!(& $/+#$'a@
u+2) 1≡A( +Bu1QA:u;2<;Bu 1≡Au+2A+Bu1QAu;2A;Bu 1≡Au+Bu+2A1QAu;Bu;2A
A+B) u+2A1Q:A;B
0=A+B0A;B A=−BAB 1=2A12A A=12A12 B=−12B12 E!(& $/+#$'a@
[
]
u+2) =12u+−12u+2=12 1u–1u+2 1u:u;2<12u;12u;2121u1u;2 1u(
?&) (an(&@
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'uiero #s e)e#plos de las ecuaciones *o#og"neas
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ó#o si#ular circuitos el"ctricos o cualquier -cuacion iferencial con /01-
