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Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden — OCTUBRE 16, 2014 B 2014 BY Y MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL

Ecuacion diferencial homogenea de primer orden Una vez que hayas finalizado la lectura de este artículo podrás resolver cualquier ecuación diferencial homogenea de primer orden, mediante un método eficaz y fácil de aplicar, con lo que rápidamente podrás resolver tus ejercicios. Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el departamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo de recordar información si no también de comprenderla es realizando analogías y/o metáforas que relacionen la información que queremos aprender con conocimiento fácil de recordar para nosotros, por ejemplo cuando visualizamos la corriente eléctrica como flujo de agua. O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizando sus propias letras. Por este motivo, te propongo formular una analogía para recordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. orden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuación se describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuando veas una ED escrita de esta forma:

(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que ; es decir, supongamos que entonces (1) se transforma en:

para las variables y

,

(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también. De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cada termino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

Ecuacion diferencial homogenea de primer orden Una vez que hayas finalizado la lectura de este artículo podrás resolver cualquier ecuación diferencial homogenea de primer orden, mediante un método eficaz y fácil de aplicar, con lo que rápidamente podrás resolver tus ejercicios. Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el departamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo de recordar información si no también de comprenderla es realizando analogías y/o metáforas que relacionen la información que queremos aprender con conocimiento fácil de recordar para nosotros, por ejemplo cuando visualizamos la corriente eléctrica como flujo de agua. O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizando sus propias letras. Por este motivo, te propongo formular una analogía para recordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. orden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuación se describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuando veas una ED escrita de esta forma:

(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que ; es decir, supongamos que entonces (1) se transforma en:

para las variables y

,

(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también. De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cada termino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

Entonces la Ecuación Diferencial es homogénea. Ver un ejemplo en este enlace: click aquí . Ver un desarrollo mas detallado del criterio de homogeneidad en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. orden .

Metodología utilizada. Cómo resolver una ED homogénea de primer orden en 4 pasos. Para resolver ED homogéneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, que describimos a continuación:

a). Escribimos la ED en la forma: o b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en la forma: o

o

o

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Solución

a). Escribimos la ED en la forma:

o

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en la forma:

o Tenemos:

Por tanto:

o

o Tenemos:

Tenemos:

Si

entonces:

Por tanto, el resultado buscado es:

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._. _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

Dennis G. Zill, Capitulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 1

Solución


o


o Tenemos:

Por tanto:

o

o Tenemos:

Tenemos:

Si

, entonces:


_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._. _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

Dennis G. Zill, Capitulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 2 Resolver la siguiente ecuación diferencial

Solución:


o


o Tenemos:

o

Por tanto:

o Tenemos:

Tenemos:

, Para entender mejor las técnicas de integración de funciones racionales véase el artículo: Integración de funciones racionales . Esto implica:

Si

, entonces:


_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._. _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.



o


o Tenemos:

o

Por tanto:

o Tenemos:

Para entender mejor las técnicas de integración utilizadas der el artículo: Integración de funciones racionales .

Tenemos:

Si

, y

, entonces:

Sabiendo que

, si hacemos

, y

, entonces:

NOTA: las técnicas de integración para funciones racionales las podemos ver en el artículo: Integración de funciones racionales. Si

, entonces:


_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._. _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.



o


o Tenemos:

Por tanto:

o

o Tenemos:

Tenemos:

Si

, entonces:


(3)

La representación gráfica de este resultado se muestra en la

y

.

Perspectiva en Relieve de la Solución General (3). Problema 4

La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posiciónate con el puntero del mouse sobre ella y deja presionado el botón izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con esto podrás ver el detalle de la figura en 3D. Nota: es posible que necesites instalar el software para manejo de CDF de Wolfram, da click aquí para instalarlo .

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._. _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.


(4)

Solución:


o


o Tenemos:

Por tanto:

o

o Tenemos:

Tenemos:

Integrando por fracciones parciales:

Esto implica:

E igualando coeficientes:

Esto implica:

Por tanto:

Es decir:

Si

, entonces:


La representación gráfica de este resultado se muestra en la

,

y

.

Gráfica de la familia de soluciones de la ED (4)

Vista en Relieve de la solución general de la ED (4)

La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posiciónate con el puntero del mouse sobre ella y deja presionado el botón izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con esto podrás ver el detalle de la figura en 3D. Nota: es posible que necesites instalar el software para manejo de CDF de Wolfram, da click aquí para instalarlo .

El código de MATHEMATICA para generar las figuras del Ejercicio 6, es el siguiente:

Clear["Global`*"] eq6 = y'[x] == -(y[x]^2 + y[x] x)/x^2 Sn6 = DSolve[eq6, y[x], x] // Simplify t1 = Table[Evaluate[Sn6[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -5, 5}]; ptot = Plot[Tooltip[t1], {x, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}] Sn6Parta = DSolve[{eq6, y[1] == 1}, y[x], x] // Simplify p1 = Plot[y[x] /. Sn6Parta, {x, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {Green, Thick}] Sn6Partb = DSolve[{eq6, y[-1] == -2}, y[x], x] // Simplify p2 = Plot[y[x] /. Sn6Partb, {x, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {Blue, Thick}] Sn6Partc = DSolve[{eq6, y[3] == -4}, y[x], x] // Simplify p3 = Plot[y[x] /. Sn6Partc, {x, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {Red, Thick}] Show[{ptot, p1, p2, p3}] Sn6a = (2 x)/(-1 + 2 x^2 C[1]) == y[x] Sn6b = Solve[Sn6a, C[1]] Sn6b[[1, 1, 2]] ContourPlot[ Evaluate[Sn6b[[1, 1, 2]] /. {y[x] -> y}], {x, -50, 50}, {y, -50, 50}] Plot3D[Evaluate[Sn6b[[1, 1, 2]] /. {y[x] -> y}], {x, -50, 50}, {y, -50, 50}]

Nota: al pegar el código, es necesario corregir los espacios y verificar que la variable independiente (en este caso “x” esté de color verde, así como la variable independiente “y” ó “f(x)” esté en azul).

Cada vez que te topes con conceptos abstractos que te parezcan difíciles de entender realiza una METÁFORA en donde utilices conocimiento fácil de accesar para ti que de la idea del concepto que estés aprendiendo, OJO: No importa que la metáfora sea exagerada (de hecho es recomendable que lo sea), tampoco es importante que la metáfora refleje el concepto exacto de lo que se trata de aprender, mas bien, debe reflejar la idea que te traiga a la mente el cómo utilizar (o resolver) las matemáticas (o conceptos en general). Dicha metáfora, no necesariamente tendrá que ser definitiva, puedes utilizar aproximaciones que te permitan utilizar los conceptos aunque estas aproximaciones no sean muy precisas; eventualmente, podrás afinar la metáfora para que refleje de mejor manera el concepto estudiado. Utiliza el código de MATHEMATICA que te he proporcionado para que modeles y grafiques tus resultados y se afiance más TU CONFIANZA y TU HABILIDAD. Prepara tu mente para desarrollar tu intuición y confianza, para esto es necesario, como ya sabemos, la práctica y el error, pero también es importante que conozcas cómo funciona el cerebro para sacar mayor partido de él. Por ello te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí , y practicar con varios ejercicios. Puedes descargar este mismo artículo en formato PDF, aquí (da click aquí) ¿Encontraste lo que buscabas? Quiero más ejemplos de las ecuaciones homogéneas Quiero ejemplos de ecuaciones no exactas hechas exactas en pasos Quiero ejemplos de ecuaciones lineales de 1er orden en pasos Cómo simular circuitos eléctricos o cualquier Ecuacion Diferencial con SAGE

Presentación: CONCEPTO DE HOMOGENEIDAD

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MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL

Alejandro Vivas Riverol (adiutor) Soy Ingeniero y definitivamente soy "No Realista", porque soy un convencido de que TODO es POSIBLE cuando se quiere realmente y se tienen las herramientas necesarias. Creo que es parte de la esencia humana el compartir y contribuir a que otros logren lo que anhelan, esa es la máxima satisfacción. La intensión de éste sitio WEB es darte las herramientas que yo mismo he utilizado, para que te faciliten la vida en el aprendizaje de esta materia e inclusive, si así lo quieres, te conviertas en un EXPERTO en su aplicación. ;) Ver perfil completo →

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