COORDENADAS POLARES COORDENADAS POLARES DE UN PUNTO Hay otra forma de determinar un punto del plano usando únicamente una semirecta llamada eje polar. Un punto del plano puede describirse mediante dos números: ρ la distancia del punto al extremo de la semirecta, llamado polo, y θ el ángulo que forma el eje polar con el segmento que une el punto con el polo, este ángulo debe medirse en sentido opuesto a las agujas del reloj.
A ρ se le llama radio vector o distancia radial y a θ ángulo polar o argumento. Dado que se usan ángulos es evidente que un mismo punto puede tener distintas coordenadas polares, eso sí todas ellas con el mismo radio vector y con argumentos que difieran en múltiplos enteros de 2π (dicho de otra forma: al calcular el argumento se pueden dar unas vueltecitas). Además para el polo, y sólo para él, se da la circunstancia de que no tiene sentido hablar de argumento, ya que en este caso el segmento que une el polo consigo mismo se reduce a un punto y por tanto no hay ángulo con el eje polar, así se así se aceptan como coordenadas polares del polo cualquier par (0, θ ) . Nota: De la definición de radio polar se deduce que no puede ser negativo (de hecho casi Nota: siempre es positivo, sólo al polo corresponde un radio polar nulo), ya que se ha definido como una distancia. Sin embargo, en algunas ocasiones se abusa del lenguaje y se aceptan radios polares negativos considerando que se deba añadir π al argumento. Dicho de otra forma, (− ρ ,θ ) se considera lo mismo que ( ρ , θ + π ) . CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES.
siempre se puede hacer un cambio previo en el sistema de coordenadas cartesianas para tener esta situación.
Tal como se ha definido previamente, el radio vector es la distancia entre el punto ( x, y ) y el polo, que es el punto (0,0) , de donde se deduce que ρ = x + y (también se llega a la misma conclusión observando que el radio vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x e y respectivamente). Respecto al argumento y y es obvio que la tangente del ángulo θ es , por tanto θ = arctan x x 2
2
( )
Resumiendo ρ = x + y ; θ = arctan 2
2
( ) y x
CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Para pasar de coordenadas polares a cartesianas, se tiene que: x = ρ cos θ ; y = ρ senθ CURVAS EN POLARES Una ecuación en coordenadas polares se denomina ecuación polar a fin de distinguirla de una ecuación cartesiana, término empleado cuando una ecuación está dada en coordenadas cartesianas rectangulares. La gráfica de una ecuación en coordenadas polares, denominada gráfica polar polar,, consiste de aquellos, puntos y sólo aquellos, que tienen al menos un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación. Algunas curvas son muy fáciles de describir usando las coordenadas polares. La mayoría de ellas no tienen una expresión explícita como función de sus coordenadas cartesianas. Normalmente una curva en polares se describe dando su radio vector como función del
ECUACIÓN DE LA RECTA La ecuación θ = C donde C es una constante, es satisfecha por todos los puntos cuyas coordenadas polares son (r, C) sin importar el valor de r. Por tanto, la gráfica de esta ecuación es una recta que contiene al polo y forma un ángulo de C radianes con el eje polar. La misma recta está representada por la ecuación θ = C ± k π donde k es cualquier número entero. Ejemplo: Graficar θ =
π 4
En general, la forma polar de una ecuación de una recta no es tan simple como la forma cartesiana. Sin embargo, si la recta es paralela al eje polar o al eje
π 2
, entonces la
ecuación es bastante sencilla. Si una recta es paralela al eje polar y pasa por el punto B cuyas coordenadas cartesianas son (0, b) y cuyas coordenadas polares son (b, π 2 ) , entonces una ecuación cartesiana es
y = b . Si se sustituye y por rsenθ , se tiene rsenθ = b la cual es la ecuación polar de cualquier recta paralela al eje polar. Si b es positivo, la recta está por arriba del eje polar. Si b es negativo, la recta está por debajo del eje polar. Ahora considere una recta paralela al eje
π 2
o, equivalentemente, perpendicular al eje
polar. Si la recta pasa por el punto A, cuyas coordenadas cartesianas son (a, O) y cuyas polar. coordenadas polares son ( a , O), una ecuación cartesiana es x = a . Al sustituir x por r cos θ se obtiene r cos θ = a la cual es la ecuación de cualquier recta perpendicular al eje polar. Si a es positivo, la recta está a la derecha del eje
π 2
Si a es
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN La gráfica de la ecuación r = C donde C es cualquier constante, es una circunferencia cuyo centro está en el polo y su radio es C . La misma circunferencia está dada por la ecuación. r = − C Si una circunferencia contiene al origen (el polo) y tiene su centro en el punto de coordenadas cartesianas (a, b), entonces una ecuación cartesiana de la circunferencia es r = 2a cos θ + 2bsenθ Cuando b = O, en esta ecuación, se tiene r = 2a cos θ Esta es una ecuación polar de la circunferencia de radio a unidades, tangente al eje
π 2
, y con su centro en el eje polar o
en su prolongación. Si a > O , la circunferencia está a la derecha del polo, y Si a < O , la circunferencia se encuentra a la izquierda del polo. Si a = 0 , se tiene r = 2bsenθ la ecuación polar de la circunferencia de radio b unidades, con su centro sobre el eje
π 2
o en su prolongación, y es tangente al eje polar.
Si b > 0 , la circunferencia está por arriba del polo, y Si b <0 , la circunferencia se encuentra debajo del polo. CRITERIOS DE SIMETRÍA, SIMETRÍA RESPECTO AL EJE POLAR Si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , θ ) se sustituye por (r , −θ ) ó ( −r , π − θ ) SIMETRÍA RESPECTO AL EJE
π 2
Si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , θ ) se sustituye por (r , π − θ ) ó ( −r , −θ ) SIMETRÍA RESPECTO AL POLO. Si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , θ ) se sustituye por (−r, θ ) ó ( r , π + θ ) La gráfica de la ecuación polar r = f (θ ) está definida por las ecuaciones paramétricas cos t; y(t) = f ( t) sent x = f (t ) co LAS ECUACIONES DE LAS CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
Si e < 1 se trata de una elipse, si e = 1 es una parábola y si e > 1 una hipérbola hipérbola.. Además el polo es uno de los focos de la cónica descrita. Esta observación permite interpretar el parámetro p como la abscisa correspondiente al polo, ya que para θ =
π
se
2 π tiene ρ = p y por tanto la cónica pasa por el punto de coordenadas polares ( p, ) Se 2
observa también que la circunferencia es un caso particular de la elipse, concretamente cuando la excentricidad e es 0. Un caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación de la forma r = a ± b cosθ ó r = a ± bsenθ donde a > O y b > O. Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón
a b
TIPOS DE CARACOLES De la ecuación r = a ± b cos θ a > 0 y b > 0 CARACOL CON LAZO: 0 <
a b
<1
CARDIODE (forma de corazón): CARACOL CON HENDIDURA: 1 < CARACOL CONVEXO: 2 ≤
a b a b
=1 <2
a b
SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL a > 0 yb > 0 Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la derecha r = a + b cosθ Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la izquierda r = a − b cos θ π Simetría con respecto al eje , apunta hacia arriba r = a + bsenθ 2 π Simetría con respecto al eje , apunta hacia abajo r = a − bsenθ 2 ROSA
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN UN PUNTO. Si m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ρ = r = f (θ ) en el punto ( r ,θ ) entonces. m =
sen(θ ) cos(θ )
dr d θ dr d θ
+ r c os(θ ) − rsen(θ )
Las rectas tangentes horizontales ocurren cuando se iguala a cero el numerador de m Las rectas tangentes verticales ocurren cuando el denominador de m es cero y el numerador es diferente de cero.
EJERCICIOS RESUELTOS Ubique los puntos que tienen el conjunto dado de coordenadas polares.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 1) a) ⎜ 3, π ⎟ ; b) ⎜ 2, π ⎟ c ) (1,π ) ; d ) ⎜ 4, π ⎟ ; ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ 11 ⎞ π⎟ ⎝ 6 ⎠
e ⎜ 5,
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 2) a) ⎜ 4, π ⎟ ; b) ⎜ 3, π ⎟ ; c ) ⎜ 1, π ⎟ ; d )⎜ 2, π ⎟ ; e )⎜ 5, π ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
1 ⎞ 5 ⎞ 1 ⎞ 5 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 3) a) ⎜ 1, − π ⎟ ; b) ⎜ 3, − π ⎟ ; c ) ⎜ − 1, 1, π ⎟ ; d )⎜ − 3, 3, π ⎟ ; e )⎜ − 2, 2, − π ⎟ 4 ⎠ 6 ⎠ 4 ⎠ 6 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝
2 ⎞ 7 ⎞ 2 ⎞ 7 ⎞ 5 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 4) a) ⎜ 5, − π ⎟ ; b) ⎜ 2, − π ⎟ ; c ) ⎜ − 5, π ⎟ ; d )⎜ − 2, 2, π ⎟ ; e )⎜ − 4, 4, − π ⎟ 3 ⎠ 6 ⎠ 3 ⎠ 6 ⎠ 4 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝
Obtenga las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas polares se indican. 5) a ) ( 3,π ) c c ( 3, π ) = ( 3 cos π , 3 sen π ) = ( −3, 0 )
3 ⎞ ⎛ b) ⎜ 2 , − π ⎟ 4 ⎠ ⎝ e
e
3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ e ⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ = − ,− 2 1 , 1 ( ) ⎜ 2 , − π ⎟ = ⎜ 2 cos ⎜ − π ⎟ , 2sen ⎜ − π ⎟ ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ 4 ⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ c ) ⎜ −4, π ⎟ 3 ⎠ ⎝
⎛
⎞ ⎛
⎞
c
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞⎞
c
7 ⎞ ⎛ d ) ⎜ −1, − π ⎟ 6 ⎠ ⎝ c
7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 3, − ⎟ ⎜ −1, − π ⎟ = ⎜ 1, − π ⎟ = ⎜ cos ⎜ − π ⎟ , sen ⎜ − π ⎟ ⎟ = ⎜ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎠ ⎝ 2
c
1 ⎞ ⎛ 6) a) ⎜ −2, − π ⎟ 2 ⎠ ⎝ c
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ c ⎛ − − = = = 2 , π 2 , π 2 c o s π , 2 sen π 0 , 2 ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ b) ⎜ −1, π ⎟ 4 ⎠ ⎝ c
1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ − = − − = − − 1 , π c o s π , sen π 2 , 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠
c
7 ⎞ ⎛ c ) ⎜ 2, − π ⎟ 6 ⎠ ⎝ c
c
c ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1⎞ 7 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 5 ⎞ ⎛ − = = = − = − 2 , π 2 , π 2 c o s π , 2 sen π 2 3 , 2 3 , 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 6 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 2⎠
(
)
⎛ 7 ⎞ d ) ⎜ 2, π ⎟ ⎝ 4 ⎠ c
c
⎛ ⎛1 7 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ 2 ⎟ , 2⎜ − 2⎟ ⎟ = ⎜ 2, π ⎟ = ⎜ 2 cos π , 2 sen π ⎟ = ⎜ 2 ⎜ 4 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝ 2
(
2, − 2
)
c
Obtenga un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r > 0 y 0 ≤ θ < 2π . 7) a ) ( 1, 1, −1)
(1, −1)
r=
(
)
−1
7 ⎛ 7 ⎞ ⎛ −1 ⎞ π π π⎟ + = 2 2 , ⎟ ⎜ 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 1 ⎠
2. Q 4,θ = tan ⎜
b) − 3 , 1
(− (
)
3 ,1
)
r = 2.Q 2,
5 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ + π = 6 π ⎜ 2, 6 π ⎟ ⎝ ⎠ ⎝− 3⎠
θ = tan −1 ⎜
d ) ( −5, 0)
( −5,0 ) . Cuadrante. ( 5, π ) 8) a ) ( 3, 3, −3) r=
2
2
2
1
referencia es θ = 2π −
(
4
y x
=
−3 3
1
= − 1 . Porque tan π = 1 , el ángulo de 4
π . Porque x > 0 y y < 0 , el punto es en el cuarto cuadrante. Por lo tanto,
7 ⎞ 7 ⎛ = π Las coordenadas polares del punto son ⎜ 3 2, π ⎟ . 4 4 4 ⎠ ⎝
1
b) −1, 3 r=
2
x + y = 3 + ( −3) = 3 2 y tan θ =
)
x 2 + y 2 = 1 + 3 = 2 ⇒ tan θ =
y x
= − 3 . Porque x < 0 y y > 0 , el punto es en el
1
1
2
3
3
3
segundo cuadrante. Porque tan π = 3 , entonces θ = π − π =
⎛ ⎝
π . Por lo tanto, las
⎞ 3 ⎠ 2
coordenadas polares son ⎜ 2, π ⎟ . 0, −2 ) c ) ( 0,
r=
4 = 2 . Porque x = 0 , entonces tan θ no está definido. Sin embargo, debido a
x2 + y2 =
que el punto está en el eje y negativo. A continuación θ =
⎛ ⎝
3 2
π . Por lo tanto, las coordenadas
⎞ 2 ⎠ 3
polares son ⎜ 2, π ⎟ .
(
d ) −2, − 2 3 r= 1
π
)
x2 + y2 = 3 así θ
4 + 12 = 4 ⇒ tan θ = 1 π+ π
4
y x
= 3 . El punto está en el tercer cuadrante, y
⎛ 4 ⎞ π Las coordenadas polares son ⎜ 4, π ⎟
Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada. 9) a) r 2 = 2 sen 2θ
(
r = 2 sen 2θ = 4 sen θ cos θ ⇒ r = 4 ( r sen θ ) ( r cos θ ) x + y 2
4
2
2
)
2
= 4xy
b) r 2 = cos θ
⎛ ⎝
r 2 = cos θ ⇒ ⎜ θ =
⎞ 2 ⎠
1
3
π ⎟ ⇒ r 3 = r cos θ ⇒ ( r 2 ) = ( r cos θ )
2
( x + y ) 2
2
3
= x2
10) 10) a ) r 2 cos 2θ = 10
(
)
r 2 cos 2θ = 10 ⇒ r 2 cos 2 θ − sen2θ = 10 ⇒ x 2 − y 2 = 10 b) r 2 = 4 cos 2θ
⎛ ⎝
⎞ 4 ⎠
1
r 2 = 4 cos 2θ ⇒ ⎜ θ =
2
π ⎟ ⇒ r 4 = 4r 2 ( cos 2 θ − sen2θ ) ⇒ ( x 2 + y 2 ) = 4 x 2 − 4 y 2
11) a) r cos θ = −1 r cos θ = −1 ⇒ x = −1 b) r =
r=
(
6 2 − 3 sen θ 6
( 2 − 3 senθ )
4 x + y 2
2
⇒ 2r − 3r sen θ = 6 ⇒ 2r = 3r sen θ + 6 ⇒ 4r 2 = ( 3r senθ + 6 )
) = (3 y + 6)
2
2
⇒ 4 x 2 + 4 y 2 = 9 y 2 + 36 y + 36 ⇒ 4 x 2 − 5 y 2 − 36 y − 36 = 0
12) a ) r = 2 sen 3θ sen 3θ = 3 sen θ − 4 sen θ . Por lo tanto, la ecuación dada se puede escribir r = 6 sen θ − 8 sen θ 3
3
porque la gráfica de esta ecuación contiene el polo, podemos multiplicar ambos lados por r 3 , sin 2
3
afectar el gráfico. Por lo tanto, r 4 = 6r 3 sen θ − 8r 3 sen3θ ⇒ ( r 2 ) = 6r 2 ( r sen θ ) − 8 ( r sen θ ) .
b) r =
4 3− 2c co os θ
La eliminación de la fracción, se obtiene 2
3r − 2r cos θ = 4 ⇒ 3r = 2 ( r cos θ + 2 ) ⇒ 9r = 4 ( r cos θ + 2) . 2
Porque
r =x +y 2
2
2
y
2
r cosθ = x , hemos 9 ( x 2 + y 2 ) = 4 ( x + 2 ) ⇒ 5x 2 + 9 y 2 − 16 x − 16 = 0 .
Analice la gráfica de la ecuaciones dadas. 1
13) a ) θ = π 3
b) r =
1 3
Recta que pasa por el polo con la dirección 60°
Círculo centrado en el polo de radio
π
1 3
π ≈ 1.05 .
3
14) a )θ = π Recta que pasa por el polo con la dirección 135° 4
b) r =
3 4
π Círculo centrado en el polo de radio
3 4
π ≈ 2.36 .
15) a)θ = 2 Recta que pasa por el polo con la dirección
2 (180° )
π
≈ 114.6°
b ) r = 2 Círculo centrado en el polo de radio 2
16) a) θ = −3 La gráfica es una recta que pasa por el polo que forma un ángulo de θ radianes con el eje polar. Un bosquejo de la gráfica se muestra a continuación.
b) r = −3 . Podemos sustituir r por −r y θ por θ + π , entonces la ecuación r = −3 tiene
el mismo gráfico que la ecuación r = 3 . Por lo tanto, el gráfico es un círculo con centro en el polo y radio de 3.
17) a) r cos θ = 4 Recta x = 4 b) r = 4 cos θ Circunferencia centrada en ( 2, 0 ) de radio 2.
18) a ) r sen θ = 2 recta y = 2
⎛ 1 ⎞ b) r = 2 sen θ Circunferencia centrada en ⎜1, π ⎟ de radio 1. ⎝ 2 ⎠ 19) a ) r sen θ = − 4 Recta y = − 4
⎛ 3 ⎞ b) r = − 4 sen θ Circunferencia centrado en ⎜ 2, π ⎟ de radio 2 ⎝ 2 ⎠ 20) a ) r cos θ = − 5 Porque r cosθ = x , a continuación, una ecuación cartesiana es x = −5 . La gráfica es una recta paralela al eje
b) r = − 5 cos θ Como a = −
5 2
π 2
y b = 0 . Por lo tanto el gráfico es el círculo que pase por el
⎛ 5 ⎞ origen y la centrada en ⎜ − , 0 ⎟ Se muestra en la figura. ⎝ 2 ⎠
Determine el tipo de caracol, su simetría y la dirección en la que apunta. Trace el caracol. 21) r = 4 (1 − cos θ ) a
=
b
4 4
= 1 , cardiode simetría: eje polar, puntos a la izquierda
22) r = 3 (1 − sen θ ) a b
=
3 3
= 1 , cardiode; simetría
1 2
π ejes, punto hacia abajo
23) r = 2 (1 + sen θ ) a b
=
2 2
= 1 , cardiode simetría
1 2
π ejes, punto hacia arriba
24) r = 3 (1 + cos θ ) a b
=
3 3
= 1 , cardiode; simetría eje polar, puntos a la derecha
25) r = 2 − 3 sen θ a b
2
1
3
2
= ∈ ( 0,1) , caracol con lazos; simetría S : π ejes, puntos hacia abajo
26) r = 4 − 3 sen θ a b
4
1
3
2
= ∈ (1, 2 ) , Caracol con hendidura; simetría: S : π ejes, puntos hacia abajo
27) r = 3 − 2 co cos θ a b
3
= ∈ (1, 2 ) , Caracol con hendidura; simetría: eje polar, puntos a la izquierda 2
28) r = 3 − 4 co cos θ a b
3
= ∈ ( 0,1) , caracol con lazos; simetría S : eje polar, puntos a la izquierda 4
29) r = 4 + 2 sen θ a
=
b
4 2
1
≥ 2 , Caracol convexo; simetría S : π ejes, puntos hacia arriba 2
30) r = 6 + 2 co cos θ a b
=
6 2
≥ 2 , Caracol convexo; simetría S : eje polar, puntos a la derecha
Describa y trace la gráfica de la ecuación. 31) r = 2 sen 3θ 3 hojas rosas
32) r = 4 sen 5θ 5 hojas rosas
33) r = 2cos4θ 8 hojas rosas
34) r = 3cos2θ 4 hojas rosas
35) r = 4 sen 2θ 4 hojas rosas
36) r = 3cos3θ 3 hojas rosas
37) r = eθ (espiral logarítmica)
θ
38) r = e 3 (espiral logarítmica)
39) r =
1
θ
(espiral recíproca)
40) r = 2θ (espiral de Arquímedes)
41) r 2 = 9 sen 2θ (lemniscata) x1 = 3 cos t sen 2t ⇒ y1 = 3 sen t sen 2t ⇒ 0 ≤ t ≤ 6. 6 .3
42) r 2 = 16cos2θ (lemniscata) x1 = 4 cos t cos 2t ⇒ y1 = 4 sen t cos 2t ⇒ 0 ≤ t ≤ 6.3
43) r 2 = − 25cos2θ (lemniscata) x1 = 5 cos t − co c os 2t ⇒ y1 = 5 sen t − cos 2t ⇒ 0 ≤ t ≤ 6.3
44) r 2 = −4 sen 2θ (lemniscata) x1 = 2 cos t − sen 2t ⇒ y1 = 2 sen t − sen 2t ⇒ 0 ≤ t ≤ 6.3
45) r = 2 sen θ tan θ (cisoide)
46) r 2 = 8θ (espiral de Fermat) x1 = cos t 8t ; y1 = sen t 8t ; x2 = − cos t 8t ; y2 = − sen t 8t ⇒ 0 ≤ t ≤ 6.3
47) r = 2 sec θ − 1 (concoide de Nicómedes) Concoide de Nicomedes coeficiente ( 2 ) > 1 constante (1) , sin lazo
48) r = 2 cscθ + 3 (concoide de Nicómedes) Concoide de Nicomedes coeficiente ( 2 ) < constante ( 3) , bucle
49) r = sen 2θ hojas rosas, igual que r = sen 2θ
50) r = 2 cos θ 2 círculos
Determine los puntos en los que la gráfica tiene rectas tangentes horizontales y verticales. 51) r = 4 + 3 sen θ dr dθ
= 3cos θ ⇒ m =
sen θ ( 3 cos θ ) + ( 4 + 3 sen θ ) cos θ cos θ ( 3 cos θ ) − ( 4 + 3 sen θ ) sen θ
cos θ ( 4 + 6 sen θ )
=
3 − 4 sen θ + 6 sen θ 2
Tangentes horizontales. 1
3
2
2
c os θ = 0 ⇒ θ = π ⇒ θ = π −2 cos θ ( 3 sen θ + 2 ) = 0 ⇒ co
4 + 6 sen θ = 0 ⇒ sen θ = −
y
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⇒ θ = π − sen −1 ⎜ − ⎟ ≈ 3.87 ⇒ θ = 2π + sen −1 ⎜ − ⎟ ≈ 5.55 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ No son horizontales, rectas tangentes en los puntos ⎜ 7, π ⎟ , ⎜ 1, π ⎟ , ( 2, 3. 3.87 ) , ( 2, 5. 5.55) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tangentes verticales 6 sen θ + 4 sen θ − 3 = 0 ⇒ sen θ = 2
−
1
( −4 ± 12
)
16 + 7 2 =
1
( −4 ± 2 12
)
22 =
1 6
(− 2 ±
−
22
sen θ ≈ 0.448 ⇒ θ = sen 1 0.448 = 0.46 ⇒ θ = π − sen 1 0.448 = 2.68 ⇒ sen θ ≈ − 1.11 5
no hay solución. No son tangentes, rectas verticales en los puntos ( 5.35,0.46 ) y ( 5.35,2.68 )
)
52) r = 2 + cos θ dr dθ
= − sen θ ⇒ m =
sen θ ( − sen θ ) + ( 2 + cos θ ) cos θ cos θ ( − sen θ ) − ( 2 + cos θ ) sen θ
RT: 2 cos 2 θ + 2 cos θ − 1 = 0 ⇒ cos θ =
1
(− 2 ± 4
)
12 =
c os θ − 1 + 2 cos θ + cos θ 2
=
2
−2 sen θ (1 + cos θ )
1
1 − 1± 3 ) ⇒ cosθ = (− 1− 3 ) ( 2 2
No hay solución.
⎡1 ⎣2
θ = cos −1 ⎢
(
1 ⎤ 3 − 1 ⎥ = 1.196 o 2π − 1.196 = 5.087 ⇒ r = 2 + 2 ⎦
)
(
)
3 − 1 = 2 .3 6 6
Tangente vertical: sen θ = 0 ⇒ r = 3 y θ = π ⇒ r = 1 ⇒ cos θ = −1 ⇒ θ = π , duplicado. cos θ 53) r = 4 − 2 co
dr dθ
= 2 sen θ ⇒ m =
sen θ ( 2 sen θ ) + ( 4 − 2 cos θ ) cos θ cos θ ( 2 sen θ ) − ( 4 − 2 cos θ ) sen θ
=
2 sen θ + 4 cos θ − 2 cos θ 2
2
2 sen θ cos θ − 4 sen θ + 2 sen θ cos θ
2 − 4 cos θ + 4 cos θ 2
=
4 senθ ( cos θ − 1)
HT: 2 cos 2 θ − 2 cos θ − 1 = 0 ⇒ cos θ =
1
(2± 4
)
4+ 8 =
1
1 2 ± 2 3 ) = (1± 3 )⇒ cosθ ≈ 1.366 ( 4 2
no hay solución. cos θ ≈ −0.366 ⇒ θ = cos
−1
4 .3 4 ( − 0.366) = 1.95 ⇒ θ = 2π − cos−1 (− 0.366) = 4.
No son horizontales rectas tangentes en los puntos ( 4.73,1.95) y ( 4.73, 4.73, 4.34) . Tangente vertical −2 sen θ ( cos θ − 1) = 0 ⇒ sen θ = 0 ⇒ θ = π y c osθ = 1 ⇒ θ = 0 No son verticales rectas tangentes en los puntos ( 2, 0 ) y ( 6, π ) 54) r = 3 − 2 sen θ Hemos
dr d θ
= − 2cos θ
⎛ dr ⎞ θ ⎟ + r cos sen θ ( −2 cos θ ) + ( 3 − 2 sen θ ) cos θ d θ ⎝ ⎠ = m= cos θ ( −2 cos θ ) − ( 3 − 2 sen θ ) senθ ⎛ dr ⎞ cos θ ⎜ ⎟ − r senθ ⎝ d θ ⎠ −2 sen θ cos θ + 3c −4 senθ cosθ + 3c 3cos θ − 2 senθ cos θ 3cos θ = = −2 cos 2 θ − 3 sen θ + 2 sen 2θ −2 (1 − sen2θ ) + 2 sen2θ − 3 sen θ sen θ ⎜
=
(1)
cos θ ( 3 − 4 sen θ ) 4 sen θ − 3 sen θ − 2 2
Porque m = 0 en un punto donde la recta tangente es horizontal, ponemos el numerador a θ =
0 3 2
y
resolver
π ⇒ sen θ =
3 4
θ .
⇒ θ = s en −1
3 4
Por
lo
co s θ = 0 ⇒ θ =
tanto
= 0.848 o θ = π − sen −1
3 4
1
o
π
2
= 2.294 . Hay una línea
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛3 ⎞ horizontal tangente en los puntos con coordenadas polares ⎜1, π ⎟ , ⎜ 5, π ⎟ , ⎜ , 0.848⎟ y ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛3 ⎞ ⎜ ,2.294 ⎟ . Porque m no se define en un punto donde la recta tangente es vertical, ⎝2 ⎠ hemos creado el denominador de (1) a 0 y resolver θ . Por lo tanto, s en θ − 2 = 0 ⇒ sen θ = 4 sen θ − 3 se 2
sen θ =
1
(3 − 8
1 8
)
(3+
41 ≈ −0.4254 ⇒ r =
)
4 1 = 1 .1 8
1
(9 + 4
ninguna
)
41 = 3.85 ⇒ θ = π + sen
solución −1
o
( 0.4254 ) = 3.58
θ = 2π − sen −1 ( 0.4254 ) = 5.84
Por lo tanto, la curva tiene una tangente vertical en los puntos con coordenadas polares
( 3.85,3.58) y ( 3.85,5.84) . Porque
a b
= 1.5 está cerca de 2, el limacon es casi convexa y la
tangente 3 cerca de la abolladura son difíciles de ver. 55) r = cos2θ r = cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ ⇒
(
dr d θ
= −2 sen 2θ = −4 senθ cosθ
sen θ ( 4 sen θ cos θ ) + cos 2 θ
)
sen 2θ cosθ
co cos θ
(
4 sen θ + cos θ 2
2
sen 2θ
)
( ) = os θ ) sen θ (1 − 6 cco cos θ 1 − 6 sen θ 2
2
1
3
2
2
Tangente horizontal: cos θ = 0 ⇒ θ = π ⇒ θ = π y 1 − 6 sen2θ = 0
sen θ = ±
1 6
−
1 ⎛1 ⎞ ⎞ − ⎛ 6 ⎟ ≈ 0.42 ⇒ θ = π − sen 1 ⎜ − 6 ⎟ ≈ 3 .5 6 ⎝6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
6 ⇒ θ = se n 1 ⎜
⎛ 1 ⎞ 6 ⎟ ≈ 5. 86 ⎝ 6 ⎠
θ = 2π + sen −1 ⎜ −
Tangentes horizontales están en 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛2 ⎛ ⎞ ⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞ − − 1 , π , 1 , π , , 0 . 4 2 , , 2. 2 . 7 2 , , 3 . 5 6 , , 5 . 8 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3 ⎝ ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠
Tangente vertical: sen θ = 0 ⇒ θ = 0 ⇒ θ = π y 1 − 6 cos2 θ = 0 ⇒ cos θ = ±
1 6
6
1 1 ⎛1 ⎞ ⎞ ⎞ −1 ⎛ −1 ⎛ 6 ⎟ ≈ 1.1 5 ⇒ θ = c o s ⎜ − 6 ⎟ ≈ 1.99 ⇒ θ = 2π − cos ⎜ − 6⎟ ⎝6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎞ − ⎛1 6 ⎟ ≈ 5. 13 θ = 2π − cos 1 ⎜ ⎝6 ⎠
θ = cos −1 ⎜
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ Tangentes verticales están en (1, 0) , (1, π ) , ⎜ − ,1.15 ⎟ , ⎜ − ,1.99 ⎟ , ⎜ − , 4. 4.29 ⎟ ,⎜ − , 5.13⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 56) r = 2 sen 3θ
( ) ( ) = 6cos3θ ⇒ m = = dθ cosθ ( 6c 6 cos 3θ ) − ( 2 sen3θ ) senθ 6c osθ ( 4c 4cos θ − 3cosθ ) − 2( 3 senθ − 4 sen θ ) senθ senθ ( 6cos 3θ ) + ( 2 sen3θ ) cosθ
dr
3 3 6 senθ 4cos θ − 3cosθ + 2 3senθ − 4 sen θ cosθ 3
3
HT: 2 2 2 0 = 2 sen θ cos θ ⎡ 12 cos θ − 9 + 3 − 4 sen θ ⎤ = 2 sen θ cosθ 6 − 16 sen θ ⇒ senθ = 0
⎣(
) (
θ = 0 ⇒ r = 0 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ =
1 2
)⎦
π ⇒ r = −3 ⇒ sen 2θ =
(
6 16
)
1
⇒ senθ = ± 6 4
VT: 2 2 2 4 0 = 2 ⎡3 cos θ 4 cos θ − 3 − 3 sen θ − 4 sen θ ⎤
(
) ( )⎦ sen θ ) ⎤ = 2 (θ ) (16 sen θ − 18 sen θ + 3) = 2 ⎡⎣( 3 − 3 sen θ ) (1 − 4 sen θ ) − ( 3 sen θ − 4 se ⎦ ⎣
2
sen 2θ =
1
2
(
2
4
4
2
)
9 ± 33 ⇒ sen θ = 0.9600 ⇒ θ = 1.286 ⇒ r = − 1.33 ⇒ θ = π − 1.286 = 1.855 16 r = −1.33 ⇒ sen θ = 0.4511 ⇒ θ = 0.467 ⇒ r = 1.96 ⇒ θ = π − 0.46 7 = 2.674 ⇒ r = 1.96
57) r 2 = 4 sen 2θ dr ⎡ 1 ⎤ = 8 cos 2 θ − 8 sen2θ r 2 = 4 sen 2θ = 8 sen θ co cos θ ⇒ θ ∈ ⎢ 0, π ⎥ ⇒ r d θ ⎣ 2 ⎦
⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 2 ⎟ + r cos θ sen θ ⎜ r ⎟ + r c os θ sen θ ( 4 cos 2 θ − 4 sen2θ + 8 cos 2 θ ) d θ d θ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m= = = 2 2 2 ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 2 cos θ ( 4 cos θ − 4 sen θ + 8 sen θ ) − − θ r s e n θ θ r r s e n θ cos ⎜ cos ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ dθ ⎠ ⎝ d θ ⎠ sen θ ⎜
=
( ) cos θ (1 − 4 sen θ )
sen θ 4cos 2 θ − 1 2
Tangente Horizontal. sen θ = 0 ⇒ θ = 0 y 4 cos 2 θ − 1 = 0 ⇒ cos θ = ±
1 2
1
⇒θ = π 3
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ No son horizontales rectas tangentes en los puntos ( 0, 0 ) , ⎜ 4 12 , π ⎟ , ⎜ − 4 12 , π ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1
1
1
2
2
6
Tangente Verticales. cos θ = 0 ⇒ θ = π y 1 − 4 sen 2θ = 0 ⇒ sen θ = ± ⇒ θ = π 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ No son verticales rectas tangentes en los puntos ⎜ 0, π ⎟ , ⎜ 2 , π ⎟ , ⎜ − 2 , π ⎟ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
58) r 2 = 9cos2θ La gráfica es una lemniscata. Hemos 2r
dr dθ
= −18 sen 2θ ⇒ r
dr d θ
= − 9 sen 2θ
⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 2 ⎟ + r cos θ sen θ ⎜ r ⎟ + r c os θ sen θ ( −9 sen 2θ ) + ( 9 cos 2θ ) cos θ d θ d θ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m= = = cos θ ( −9 sen 2θ ) − ( 9 cos 2θ ) sen θ ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 2 cos θ ⎜ ⎟ − r senθ cos θ ⎜ r ⎟ − r sen θ ⎝ dθ ⎠ ⎝ d θ ⎠ cos θ cos 2θ − sen θ sen 2θ cos 3θ =− − ( sen θ cos 2θ + cos θ sen 2θ ) sen 3θ sen θ ⎜
Establecer el numerador igual a cero, y teniendo en cuenta que necesitamos 2θ ≥ 0 , obtenemos cos 3θ = 0 ⇒ 3θ =
θ=
Por
5 6
π ⇒ r = ±
lo
1 2
1 2
tanto,
π ⇒θ =
1 6
π ⇒r=±
1
2 ⇒ 3θ =
2
3 2
π ⇒θ =
1 2
π ⇒ no r ⇒ 3θ =
3 2
π
2
hay
una
línea
horizontal
tangente
en
los
puntos
1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛3 5 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛3 π π π y π ⎟ − − 2 , , 2 , , 2 , 2, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ ⎝2 6 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ ⎝2
Estableciendo
el
denominador
igual
sen 3θ = 0 ⇒ 3θ = 0 ⇒ θ = 0 ⇒ r = ± 3 ⇒ 3θ = π ⇒ θ =
a 1 3
cero,
obtenemos
π no r .
Por tanto, la curva tiene una tangente vertical en los puntos con coordenadas polares 3, 0 ) . ( 3,0 ) y ( −3,0
Trace las gráficas de las dos ecuaciones en el mismo rectángulo de inspección. Después utilice los procedimientos intersección, para aproximar a dos dígitos significativos las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos de intersección de las gráficas.
⎧r = 3 59) ⎨ 2(1 + cos θ ) ⎩r = 2(1 El círculo r = 3 y la cardiode r = 2 (1 + cos θ ) . La
solución
de
2 + 2 c os θ = 3 ⇒ c o s θ =
1 2
las
ecuaciones
1
1
3
3
simultáneamente
los puntos de intersección ⇒ θ = π ⇒ − π . Tenemos
hemos
⎧r = 2cosθ 60) ⎨ ⎩r = 2 sen θ Las circunferencias r = 2cos θ y r = 2 sen θ . Dividiendo los miembros correspondientes de las dos ecuaciones, obtenemos 2 sen θ 2cos θ
=
r
1
5
r
4
4
⇒ tan θ = 1 . Por lo tanto, θ = π y
π . Sustituyendo estos valores de θ en
una de las dos ecuaciones dadas, obtenemos los valores correspondientes de r . Tenemos P
entonces
los
siguientes
puntos
de
intersección:
1 ⎞ C ⎛ 2 , 2 , 2 π = ( ) ⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝
y
P
5 ⎞ C ⎛ ⎜ − 2 , 4 π ⎟ = ( 2, 2 ) , el mismo punto. El polo se encuentra en la gráfica de r = 2cos θ ⎝ ⎠ 1
porque r = 0 cuando θ = π . El polo también se encuentra en la gráfica de r = 2 sen θ 2
porque r = 0 cuando θ = 0 . Por lo tanto, las dos curvas se cortan en el polo.
⎧r = 2sen3θ 61) ⎨ ⎩r = 4 sen θ De 3 hojas rosa r = 2 sen 3θ y la circunferencia r = 4 sen θ ⇒ 2 ( 3 sen θ − 4 sen 3θ ) = 4 sen θ
1 5 π ⇒ r = 2 ⇒ sen θ = π − π = π ⇒ r = 2 ⇒ ( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) 6 6 6 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ = ≈ ⇒ 2 , π 3 , 1 1 . 7 , 1 ( ) ⎜ ⎟ ⎜ 2, π ⎟ = − 3,1 ≈ ( −1.7,1) ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
θ=
1
(
)
(
)
⎧r = 2cos2θ 62) ⎨ ⎩r = 2 sen θ La gráfica de r = 2cos2θ es una de 4 hojas rosa, y la gráfica de r = 2 sen θ es un círculo como se muestra. Primero resolver las ecuaciones, administradas simultáneamente. Por lo tanto,
(
)
2 cos 2θ = 2 sen θ ⇒ 2 1 − 2 sen θ = 2 sen θ ⇒ 2 sen θ + senθ − 1 = 0 2
2
( sen θ + 1) ( 2 senθ − 1) = 0 ⇒ senθ = −1 o sen θ =
1 2
3
1
5
2
6
6
⇒ θ = π ⇒ r = − 2 o θ = π ⇒ r = 1 o θ = π ⇒ r = 1 . Por lo tanto,
3 ⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 π π − = ⇒ = 2 , 0 , 2 1, 1 , 3 , ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≈ ( 0.87, 0.5 ) 2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 6 ⎠ ⎝2
y
1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 3 , ⎟ ≈ ( −0.87, 0.5 ) son puntos de intersección. Porque r puede ser 0 en ⎜1, π ⎟ = ⎜ − 2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 cada una de las ecuaciones dadas, el polo es también el punto de intersección.
