TEORIA DE COORDENADAS COORDENAD AS POLARES: Ing. Eliezer Rojas
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Definición:
En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama polo. La posición del punto P(r,θ), se determina cuando se conocen r y θ, estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P. P. r se llama ll ama radio vector y θ Angulo polar. -
Sistema de coordenadas polares:
90° P(r,θ) r θ O
A
-r P´(-r,θ)
0≤θ>360°
El Angulo polar puede expresarse en grados grados ( °) o radianes (rad). Ejemplo: π
2
Significa -
π
2
rad, o sea 90°
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa:
-
90°
O
x r
X, A y P
Sea P un punto cualquiera de que contenga por coordenadas rectangulares (x,y) y por coordenadas polares (r, θ), entonces se puede deducir: X = r.cos θ
Y = r.sen θ
r 2 = x 2 + y 2
θ = tg −1
y x x
y
sen θ = ± x
2
+ y 2
cos θ = ± x
2
+ y 2
Trazado de curvas en coordenadas polares:
Para la construcción de curvas en coordenadas polares, se siguen los l os siguientes pasos: 1. determinación determinación de las inters interseccione eccioness con el eje polar polar (eje X) y con el eje a 90º 90º (eje Y). 2. Determinación Determinación de la simetría simetría de la curva curva con respect respecto o al eje polar polar,, al eje a 90º y al polo. 3. Determi Determinac nación ión de la extens extensión ión del del lugar geomé geométric trico. o. 4. Calculo Calculo de las coorden coordenadas adas de un un número número suficiente suficiente de punto puntoss para obtener obtener la grafica. 5. Trazad razado o de de la la graf grafic ica. a. 6. Transfor Transformación mación de la ecuación ecuación polar polar a rectangular rectangular..
Nota: En coor coorde dena nada dass polar polares es las las ecuaci ecuacion ones es que que repr repres esen entan tan un mism mismo o luga lugar r geométrico, se le llaman ecuaciones equivalentes.
1. Intersecciones: Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, se obtienen asignando a θ valores sucesivos 0, ± π, ± 2π, ± 3π,…, ± nπ; donde n es un entero cualquiera.
Para las intersecciones con el eje a 90º, pueden obtenerse asignando a θ los valores de
nπ
, en donde n es un numero impar impar cualquiera. 2 Nota: Si existe existe un valor un valor valor de θ para el cual sea r = 0, la grafica pasa por por el polo. 2. Simetría: Las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico de una ecuación polar están dadas dadas en la siguiente tabla. Simetrí Simetríaa con con respe respecto cto al La ecuac ecuación ión polar polar no no se se altera altera,, o se transforma en una ecuación equivalente Eje polar a) se sustituye θ por – θ, o b) Se sustituye θ por – θ y r por – r Eje a 90º a) se sustituye θ por π– θ, o b) Se sustituye θ por – θ y r por – r Polo a) Se sustituye θ por π + θ b) b) Se sust sustitu ituye ye r por por - r 3. Exten Extensió sión n del del lugar lugar geométr geométrico ico:: Primeramente se despeja r en función de θ, de la siguiente forma: r = f (θ) - Si r es finita para todo todo valor de θ, se trata de una curva cerrada - Si r se vuelve infinita para para ciertos valores de θ, la grafica no puede ser una una curva cerrada. - Para valores de θ que hacen a r compleja compleja no hay curva. 4. Calculo de las coordenadas coordenadas de algunos algunos puntos: puntos: Se asigna un valor particular a θ, y así se obtienen valores reales correspondientes a r. Se pueden tomar valores de θ a intervalos de 30º. 5.
Constr Construcc ucción ión de la gra grafic fica: a:
Se trazan los puntos obtenidos en el paso 4. 6. Transforma ransformación ción de la la ecuación ecuación polar polar a recta rectangula ngular: r:
La forma rectangular se usa para comprobar la grafica obtenida.
