COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES
Las coordenadas polares son sistemas coordenados que permiten ubicar un punto en el plano. Este sistema es importante debido a que ciertas curvas tienen tienen coordenadas coordenadas más simples simples de coordenadas coordenadas polares. polares. Además, Además, las tres cónica cónicass (paráb (parábola ola,, elipse elipse e hipérb hipérbola ola)) pue pueden den repres represent entars arsee me media diante nte una ecuación, este ecuación se aplica en física para deducir las coordenas Kepler, y en astronomía el estudio de los movimientos de los planetas.(ver grafica).
Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo y rayo fijo (o semirrecto). El punto fijo se denominado polo (u origen) y se representa mediante la letra O el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha.
Sea P cualquier punto diferente del plano de O. sea θ la medida en radianes del ángulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario ,que tiene como su lado inicia iniciall el e rayo OA y como su lado lado final el rayo rayo OP. Si r es la distanc distancia ia no dirigi dirigida da de O a P (esto (esto es, es, r = | |), un un conju conjunto nto de de coord coordena enadas das pola polares res de de P esta dado por r y θ, y se denotan denotan estas coordenadas coordenadas como (r, θ). Existe un caso de las coordenas polares para las cuales r es negativo. En este caso, el lugar de que el el punto esté en el lado terminal terminal del ángulo, el punto se encuentra sobre la prolongación del lado terminal, la cual es el rayo desde el
polo que se extiende en sentido opuesto al terminal. En consecuencia, si P esta sobre la prolongación del lado terminal del ángulo cuya medida en radianes es θ entonces un conjunto de coordenadas polares de P es r, θ donde r = -| |. A menudo el ángulo se mide en radianes de modo que un conjunto de coordenadas polares de un punto es un par ordenado de numero reales para cada par ordenado de números reales existe un único punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares. Sin embargo, se ha visto que un punto particular puede representarse mediante un número ilimitado de pares ordenados de números reales. Si el punto p no es el polo, y r y θ se restringen de modo que r>0 y 0 ≤θ < 2π, entonces P tiene un único conjunto de coordenas polares. En ocasiones se hace referencia a las coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de un punto. Para lograr esto se considera el origen del primer sistema como el polo del segundo sistema, el eje polar como la parte positiva del eje x y el rayo para el cual θ = π/2 como la parte positiva del eje y.
Suponga que P es un punto ya representación en el sistema de coordenas cartesianas rectangulares es (x,y ) y( r, θ) es la representación en coordenadas polares de P como caso particular suponga que P esta en el segundo cuadrante y r> 0 . Entonces:
De este modo,
Estas ecuaciones se cumplen para P en cualquier cuadrante y r positivo o negativo. De las ecuaciones no solo se pueden obtener las coordenas cartesianas rectangulares de un punto cuando se conocen las coordenadas polares si no que también se puede obtener una ecuación polar de una curva a partir de su ecuación cartesiana rectangular. Con el fin de deducir las ecuaciones que proporcionen un conjunto de coordenadas polares de un punto
cuando se conocen sus coordenadas cartesianas rectangulares, se elevan al cuadrado los dos miembros de las ecuaciones anteriores, se iguala a la suma de los miembros derechos a la suma de los miembros izquierdos y se resuelve para r obteniéndose:
Al dividir miembro a miembro las ecuaciones se tiene que:
La grafica de una ecuación de coordenadas polares, denominada grafica polar consiste de aquellos, puntos y solo aquellos, que tiene al menos un par de coordenadas polares que sastifacen la ecuación. Dentro de las ecuaciones polares de rectas y circunferencia tenemos:
Criterios de Simetria: 1.
Simetría con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ), se sustituye por (r,- θ) o (-r, π –θ).
2.
Simetría con respecto al eje ½ π si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ), se sustituye por (r, π –θ) o (-r,- θ).
3.
Simetría con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r, θ), se sustituye por (-r, θ) o (r, π+θ). APLICACIONES DE LAS COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos: •
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Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares . Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares. Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro y radio tiene a como ecuación en coordenadas rectangulares y a como ecuación en polares. Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares es la representación gráfica del número complejo (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del ). Pasando a polares obtenemos el módulo ( ) y el argumento ( ) de y con ello la forma polar de : Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces -ésimas.
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Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma. Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad. Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior
COORDENADAS CILINDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z), donde: •
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ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radio vector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
INTRODUCCION
Por medio del presente trabajo haremos una clara presentación de los temas de coordenadas polares y cilíndricas, analizando detalladamente los distintos conceptos, formulas, estableciendo los diferentes teoremas, representando a través de graficas y ejemplos que harán más fácil la comprensión de los temas a desarrollar. Es importante resaltar que las coordenadas polares abarcan múltiples aplicaciones en diferentes campos de estudio, por mencionar algunos se pueden citar: Cálculo de límites dobles, Ecuaciones de curvas, Forma polar de un número complejo, Cálculo de integrales dobles, Navegación marítima, Cálculos orbitales. Finalmente es muy importante el estudio adecuado de estas coordenadas ya que el uso de estas facilitan el trabajo en áreas importantes como lo es calculo vectorial.
OBJETIVOS •
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Determinar los conceptos de coordenadas polares. Plantear los distintos ejemplos para comprender de una manera sencilla este tema. Establecer las diferentes formulas y teoremas de coordenadas polares y cilíndricas. analizar la aplicabilidad de estos conceptos en las ciencias básicas y demás áreas aplicadas.
CONCLUSIONES •
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un
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ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. AL se le conoce también como eje polar. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana
COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CILINDRICAS
ANGELA ALVARADO YESSICA LOPEZ
PRESENTADO A: LEONARDO CARVAJAL CALCULO III
UNIVERSIDAD DE CORDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
MONTERIA, CORDOBA 2009 Ejemplo 1: (Coordenadas polares)
Trace la curva de la ecuación polar cartesiana de la curva.
y deduzca la ecuación
Sol/: En la siguiente tabla determinamos los valores de r para algunos valores adecuados de θ y graficamos los puntos (r, θ) correspondientes:
Ahora para convertir la ecuación original en una ecuación cartesiana empleamos las ecuaciones: x = r cos (θ), despejando tenemos que cos (θ)= r/x , con lo que la ecuación r = 2 cos (θ) se transforma en r = 2x/r, con ello se obtiene:
Si completamos el cuadrado obtenemos que:
Que es la ecuación de una circunferencia con centro en (1, 0) y radio.
Ejemplo 2: (coordenadas cilíndricas)
Expresar en coordenada Sol/:
