COORDENADAS POLARES El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r (r , ) donde r es r es la distancia del punto al origen o polo y es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Localización de un punto en coordenadas polares.
Aplicaciones
Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos: y
y
y
Cálculo
de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el mét odo odo del paso a coordenadas polares. polares. Se pasa con ellas a un un límite dependiente de una única variable, variable, (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si Si no existe tal dependencia el límite inicial existe existe y su valor es el obtenido en el límite en polares. Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro y radio tiene a como ecuación en coordenadas rectangulares y a como ecuación en polares. Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares es la representación gráfica del número complejo (esta forma de representar un número complejo se denomina f or or ma binómica del ). Pasando a polares obtenem obtenemos os el módulo módulo ( ) y el argumen argumento to ( ) de y con ello ello la or ma polar de polar de : f or Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces -ésimas.
y
y
y
Cálculo
de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma. Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad. Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.
Análisis
del movimiento orbital
Para analizar el movimiento de un cuerpo bajo la influencia de una fuerza que siempre se dirige desde un punto fijo es conveniente utilizar coordenadas polares cuyo origen coincida con el centro de la fuerza. En tal sistema de coordenadas, sus componentes radial y transversal son respectivamente:
y
Ya que la fuerza es completamente radial y que la aceleración es proporcional a la fuerza, implica que la aceleración transversal es igual a cero. Como resultado,
. Tras su integración, se obtiene, , que es una prueba teórica de la segunda ley de Kepler. La constante de integración l es el momento angular por unidad de masa. Por tanto,
Donde se introduce una variable adicional,
La fuerza radial es f( r) por unidad es ar , tras la eliminación la variable tiempo del componente radial de la ecuación se obtiene,
En el caso de la gravedad, la ley universal de gravitación de Newton afirma que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,
Donde G es la constante de gravitación universal, m la masa del cuerpo orbitante y M la masa del cuerpo central. Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene,
Para la fuerza gravitacional, el término de la derecha de la ecuación se convierte en una constante y la ecuación se parece a una ecuación armónica. La ecuación para la órbita descrita por la partícula es:
Donde p, e y 0 son constantes de la integración,
Si el parámetro e es menor que uno, e es la excentricidad y a es el semieje mayor para una elipse. En general, se puede reconocer como la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares (r ,). Período orbital El período orbital es el tiempo que tarda un planeta u otro objeto en realizar una órbita completa. Existen varios tipos de períodos orbitales para los objetos alrededor del Sol:
y
y
y
y
y
El período sidéreo es el tiempo que tarda el objeto en dar una órbita completa alrededor del Sol, respecto de las estrellas. Se considera como el período orbital verdadero del objeto. El período sinódico es el tiempo que tarda el objeto en reaparecer en el mismo punto del cielo, respecto al Sol, cuando es observado desde la Tierra. Este período comprende el tiempo entre dos conjunciones sucesivas y es el período orbital aparante del objeto. El período sinódico difiere del sidéreo porque la Tierra también gira alrededor del Sol. El período draconítico es el tiempo que tarda en pasar dos veces el objeto por su nodo ascendente, el punto de su órbita que cruza la eclíptica desde el hemisferio sur al norte. Se diferencia del período sidéreo porque la línea de nodos suele variar lentamente. El período anomalístico es el tiempo que tarda en pasar dos veces el objeto por su perihelio, el punto más próximo al Sol. Se diferencia del período sidéreo porque el semieje mayor también suele variar lentamente. El período tropical es el tiempo que tarda en pasar dos veces el objeto por la ascensión recta de cero. Es ligeramente más corto que el período sidéreo debido a la precesión de los equinoccios.
Elementos de una órbita
Elementos orbitales de un cuerpo alrededor del Sol.
Los elementos orbitales son los parámetros necesarios para especificar una órbita, utilizando un modelo de dos masas obedeciendo las leyes de movimiento de Newton. Existe seis parámetros básicos, también denominados element os keplerianos en honor a Kepler: y y y y y
y
Longitud del nodo ascendente ( ) . Inclinación( ). Argumento del perihelio ( ). Semieje mayor ( ). Excentricidad ( ). ). Anomalía media de la época (
Además,
otros elementos orbitales son: anomalía verdadera ( ), semieje menor ( ), excentricidad linear ( ), anomalía excéntrica ( ), longitud media ( ), longitud verdadera ( ) y período orbital ( ).
Los robots industriales La principal aplicación de los robots tiene lugar en la industria, donde es habitual la repetición de tareas, como la fabricación en serie de piezas y maquinaria, lo que obliga a realizar todas exactamente iguales. Un robot está programado para realizar los mismos movimientos y con la misma precisión, por lo que es perfecto para aplicaciones industriales -
El movimiento de los robots
Robot industrial Los robots industriales suelen tener un brazo mecánico capaz de realizar diversas tareas. En el extremo del brazo se sitúa el elemento manipulador, que puede tener diversas formas en función de la labor que realice. Una de las formas más habituales es la de una pinza, que puede agarrar objetos y situarlos en una cierta posición. También pueden incorporar herramientas como, por ejemplo, un soldador o brazos compactos si han de transmitir un golpe, etc. El brazo del robot está formado por varios eslabones, unidos mediante articulaciones, que pueden ser de dos tipos: y
Articulación prismática: permite realizar solo traslaciones lineales, de avance o retroceso.
y
Articulación giratoria: permite realizar solo un movimiento de giro.
El brazo del robot puede incorporar varias articulaciones, de forma que los movimientos que realiza van a ser una combinación más o menos compleja de traslaciones y giros. Un robot industrial fundamentales:
y
puede
tener
las
siguientes
estructuras
Estructura cartesiana: consta de tres articulaciones prismáticas. Este tipo utiliza coordenadas cartesianas (altura, anchura y profundidad) para situar un objeto en el espacio.
Imagen:
Movimiento según coordenadas cartesianas
y
Estructura cilíndrica: consta de dos articulaciones prismáticas y una giratoria. Este tipo de robots utiliza coordenadas cilíndricas para situar un objeto en el espacio.
Imagen:
Movimiento según coordenadas cilíndricas
y
Estructura esférica: consta de una articulación prismática y dos giratorias. Este tipo de robots utiliza coordenadas polares para situar un objeto en el espacio.
Imagen:
Movimiento según coordenadas polares en una estructura esférica
y
Estructura articulada: consta de tres articulaciones giratorias. Utiliza coordenadas polares para situar un objeto en el espacio y realiza movimientos similares a los de un robot con estructura esférica mediante la combinación de tres giros. Imagen:
Movimiento según coordenadas polares en una estructura articulada
SIMETRIA La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano. La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. En condiciones formales, decimos que un objeto es si mét rico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. La simetría también puede ser encontrada en organismos vivos.
LA SIMETRIA EN LA ESTETICA ¿La perfección serena de Claudia Schiffer o la imponente presencia cubista de Rossy de Palma? ¿El matemático reflejo de una montaña en un lago o las emociones deformadas del Guernica? La belleza, ¿es simétrica o asimétrica? ¿Y el cosmos y sus habitantes? Los físicos aseguran que lo más íntimo de la materia y del universo está gobernado por la simetría. Sin embargo, los investigadores más cercanos a la biología afirman asimétrico y hasta los besos son asimétricos. Las desigualdades anatómicas son, además, discretos portavoces de la biología del individuo, de su que la asimetría es lo que realmente nos hace humanos, el cerebro es personalidad, y determinan el poder de atracción para el sexo opuesto.
La simetría se ha asociado siempre al orden, la perfección, lo inmutable. La asimetría, al caos, el movimiento, lo imprevisible. Los físicos Leon M. Lederman y Christopher T. Hill escriben en su libro La simetría y la belleza (Tusquets Editores), :³La simetría dicta las leyes básicas de la física [ ] y define las fuerzas fundamentales de la naturaleza´. Pero, ³a
pesar del irrefrenable deseo por parte de los científicos de encontrar simetrías, el mundo parece ser asimétrico a todos los niveles´, opina Chris McManus, un investigador del University College of London que lleva años estudiando la asimetría en la vida, el cuerpo y el arte. Filósofos e historiadores del arte aprecian el atractivo de la simetría, pero opinan que tiene algo rígido y estático, comparado con el carácter dinámico e imprevisible de la asimetría. Kant afirmaba que la simetría es demasiado aburrida y alejada de la vida real. Tal disparidad de opiniones tiene su origen en los campos de estudio de unos y otros. Para comprender lo que pasa en el mundo subatómico, para explicar lo que ocurre en el interior de los grandes aceleradores de partículas donde se recrea el inicio de los tiempos, los físicos han desarrollado formulaciones matemáticas basadas en la simetría, en la perfección, en lo inamovible. De hecho, Leon y Lederman hablan en su libro de la teoría de las supercuerdas, que se considera teoría de todo porque se espera que explique el universo y su contenido al completo, y la definen como ³quizá el sistema lógico más simétrico de todos los concebidos por la mente humana´. Para estar a la altura ya se ha inventado el concepto de supersimetría. Lo cierto es que el universo surgió de un caos de la materia. Incluso la simetría milimétrica del reflejo de una montaña sobre un lago y la supuesta perfección de Claudia Schiffer proceden de un desordenado grupo de partículas flotando en una no menos caótica niebla primigenia. Nuestro azul planeta, que gracias a las teorías erróneas de Tolomeo tuvo durante siglos la forma de la simetría por excelencia, la esfera, y giró en otra perfección geométrica, el círculo, resulta que está achatado por los polos y se mueve en una órbita elíptica. ¡ No tan simétrico como parecía! Pero el auténtico reino de la asimetría parece ser la biología. Stuart Kauffman, un estudioso del origen de la vida de la Universidad de
Calgary
(Canadá), asegura que la vida evoluciona ³en el filo del caos´, o sea, en la asimetría. El Nobel de Medicina Jacques Monod decía que en el mundo biológico la simetría existe, pero que con frecuencia aparece por accidente. El humano parece la criatura que más ha encarnado su condición de hijo del desorden original y el que más inclinación siente por la asimetría. Empezando por el cerebro, cada una de sus mitades funciona con un plan diferente, realiza tareas distintas; y siguiendo por todo el interior del cuerpo, que es claramente asimétrico ±un hígado, dos pulmones diferentes Los animales, sin embargo, parece que sienten una atracción especial por los miembros de su especie con mayor simetría bilateral, es decir, izquierda-derecha. La razón de semejante inclinación es que un alto parecido entre los dos lados del cuerpo es la señal inequívoca de que hay genes de alta calidad y, en consecuencia, la indicación de que el individuo es un excelente compañero o compañera para procrear. En numerosas ocasiones se ha dicho que entre los humanos también se perciben como más bellas las personas simétricas, pero los resultados de diferentes experimentos son contradictorios y no acaban de confirmar que el gusto de los sapiens coincida con el resto del reino animal. De cualquier modo, belleza y atractivo no necesariamente van unidos. Karl Grammer, director del Instituto Ludwig-Boltzmann de etología urbana de Viena, asegura que el gusto de las mujeres varía según el momento de su ciclo menstrual. Durante la ovulación, las féminas se inclinan por hombres con rasgos masculinos más marcados y con olores mucho más intensos. La razón, no hay que pensar mucho: la reproducción. Tales características se consideran pruebas visibles de una mayor fertilidad y una calidad genética superior que transmitir a los vástagos.
Curiosamente,
otros investigadores han llegado a la conclusión de que esos varones con la etiqueta de soy un excelente procreador son los que tienen caras más asimétricas. Otro dato curioso al respecto: algunas investigaciones sugieren que los hombres con mayor cantidad de espermatozoides y más hijos tienen el dedo índice de la mano significativamente menor que el anular. Este rasgo está directamente relacionado con el nivel de hormonas masculinas que el feto recibe durante el embarazo. A mayor cantidad de andrógenos, más diferencia entre el tamaño de los dedos y rasgos más masculinos. O sea, que en la atracción carnal por lo simétrico no nos parecemos a nuestros primos. Sin embargo, Grammer afirma que las mujeres con rostros más atrayentes son las más simétricas y también las que desprenden un olor corporal más sexy. Obviamente, nuestra forma de valorar el atractivo o la belleza de nuestros semejantes es un proceso infinitamente más complejo en el que entran en juego numerosos factores. ³Cuando miramos las caras como lo hacemos todos los días, cada mitad envía señales diferentes a los dos hemisferios cerebrales, que también son asimétricos en sus funciones. Esto podría explicar por qué una simetría facial perfecta no es crucial´, asegura Dahlia Zaidel, de la Universidad de California. Los aspectos emocionales tienen sin duda un importante papel en el teatro de la atracción. Como
consecuencia de la especialización emocional de los hemisferios cerebrales, el izquierdo más bien racional y el derecho creativo, se han extraído teorías sobre la simbología psíquica de cada lado de la cara y la interpretación de su morfología. La mitad izquierda del rostro manifestaría el inconsciente del individuo, su mundo oculto, mientras que la derecha sería el reflejo del consciente, la cara pública. El conocido psiquiatra Juan Antonio Vallejo-Nágera, en su libro Mishima o el placer de morir, invita al lector a descubrir la naturaleza atormentada que se
escondía en el interior del poeta japonés observando la diferencia de expresión entre la mitad derecha y la izquierda. No dejen de estudiar una fotografía propia, es muy interesante. Este simbolismo de la derecha y la izquierda se definía ya en las grandes tradiciones. Según la cábala, parte del libro sagrado de los judíos, la derecha representa el alma, y la izquierda, el egoísmo. En la simbología oriental, la derecha corresponde a la madre, y la izquierda, al padre. Siguiendo con la dualidad derecha-izquierda, otro aspecto en el que se manifiesta claramente la asimetría de los humanos es en el uso de las manos. Mientras que los chimpancés utilizan indistintamente las dos manos, el 90% de los monos desnudos es diestro. La razón de esta asimetría en el uso de las manos todavía no se ha desvelado, aunque se cree que es la consecuencia, una vez más, de la especialización lateral que ha experimentado nuestro cerebro a lo largo de la evolución para ganar en potencia. El lenguaje y las tareas más racionales, más activas, se desarrollan en el hemisferio izquierdo, que controla el lado derecho. ¿Y los zurdos? Según la hipótesis de McManus, estos individuos tienen una ventaja cerebral, puesto que sus hemisferios son más flexibles, es decir, que tareas que en un diestro se ejecutan exclusivamente en el lado izquierdo, un zurdo puede también gestionarlas en el derecho. El investigador asegura que esto les proporciona talentos especiales. Pero en lo que se refiere a los besos, parece que los zurdos tienen la misma tendencia que los diestros. Al menos a esa conclusión llegaba Onur Güntürkün, investigador de la Universidad de Rühr en Alemania: dos de cada tres de los cientos de parejas que espió Güntürkün inclinaban la cabeza hacia la derecha en el momento del ósculo apasionado. En opinión del científico, el origen de esta inclinación se encuentra en el comportamiento en el útero. En las últimas semanas de gestación y los primeros meses de vida, el recién nacido se inclina a la derecha, y esta tendencia, asegura, permanece en el adulto.
En la química que nos da la vida también hay diestros y zurdos. El ADN es diestro, la hélice que lo define gira hacia la derecha. Sin embargo, los aminoácidos que necesitamos para sobrevivir son zurdos. Un buen número de moléculas de las que nos componen pueden existir en dos formas, una es la imagen especular de la otra. Se conocen como levógira y dextrógira porque una desvía la luz a la izquierda, y la otra, a la derecha. Ése es el caso de los aminoácidos y también de los azúcares presentes en los seres vivos. Los primeros son levógiros, mientras que los segundos son dextrógiros. Si comiéramos alimentos con aminoácidos dextrógiros y azúcares levógiros, muy probablemente moriríamos por falta de nutrientes porque nuestro organismo no los asimila. Retomando simetría y belleza, pero en el mundo del arte, que de algún modo materializa los ideales y aspiraciones humanos, algunos estudiosos aseguran que la simetría es una forma más primitiva y simple de expresión. Sostienen que cuando el arte evoluciona, se hace más sofisticado, tiende a la asimetría. Muchas obras clásicas aparentemente simétricas incluyen un elemento que rompe la perfección. También se han detectado tendencias particulares a la hora de mostrar el lado derecho o izquierdo del rostro. Varios estudios han demostrado que en los retratos es mucho más frecuente que el protagonista ofrezca la mejilla izquierda. ¿La razón? Aunque hay varias teorías, no hay respuestas claras. Sin embargo, existe una corriente que asegura que la belleza o la perfección no es una cuestión de simetría, sino de proporción. Y no una proporción cualquiera, la proporción divina. ³Llamada así por sus propiedades excelsas, supremas, excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares , que corresponde por semejanza a Dios mismo´, escribía Luca Pacioli, un matemático del siglo XV. El Partenón; el Hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci; la espiral de las galaxias, los girasoles y
también el ADN y los agujeros negros encierran en sus formas la proporción divina, también conocida como áurea y definida por el número Phi (pronunciado fi). Phi se ha hecho famoso gracias a la novela El código Da Vinci, de Dan Brown, pero ya lo conocían los babilonios, los egipcios y los griegos. La relación 1,618033988, valor de Phi, también se da en el cuerpo humano ±entre la altura total y la distancia de los pies al ombligo, por ejemplo± y es considerada por algunos como la que define la belleza. Tanto es así que Stephen Marquardt, un cirujano maxilofacial estadounidense, ha creado matemáticamente una máscara que asegura que es el arquetipo de un rostro bello. La idea: cuanto más encaje una cara en la máscara, más bella será. Su creador propone que se use para dirigir la forma de maquillarse e incluso para programar una intervención de estética. Tal como apunta José R. Galo, profesor de matemáticas de la Universidad de Córdoba, se podría decir que Phi refleja una aspiración hacia la divinidad, hacia la semejanza con los dioses, porque Rafael de la Hoz, un arquitecto español recientemente desaparecido, encontró la proporción humana ³que se da en las construcciones cordobesas y que más tarde también descubrió en el cuerpo humano´, explica Galo. Tal vez la búsqueda de la belleza sea una aspiración a lo divino, y quizá la belleza se encuentre en la unión de los opuestos, asumir que la realidad completa y el propio ser humano están hechos del maridaje de contrarios, el yin y el yang. Lo decía el filósofo Theodor Adorno: la asimetría es más bella cuando se encuentra en contraste con la simetría.
CUERPO SIMÉTRICO ± ¿CIENCIA O EVOLUCIÓN? Hasta la fecha la ciencia ha intentado demostrar que en distintas culturas el cerebro humano considera más atractivos los rostros simétricos. Científicos británicos extendieron el estudio a las medidas corporales y concluyeron que el cerebro también parece preferir los cuerpos simétricos. ¿Por qué? La respuesta es simple. Por lo general, un cuerpo armónico indica la existencia de un cuerpo más sano. Y un cuerpo sano se traduce en un mayor potencial reproductivo, en una mejor ³calidad genética´ y en una mayor capacidad competitiva frente a los demás. El equipo de psicología evolutiva de la universidad británica de Brunel creó imágenes tridimensionales de los cuerpos de 40 hombres y 37 mujeres de 21 años. Eliminaron el color de piel y de cabello para que los prejuicios no afectaran las respuestas y los midieron milimétricamente. Más tarde, 87 jóvenes calificaron los cuerpos. La conclusión fue clara: aquellos que tenían cuerpos simétricos también poseían mayor sex appeal. Los jueces llegaron a la conclusión de que las mujeres deberían tener las piernas largas, la cintura pequeña y los pechos y las caderas grandes. Rasgos físicos que los investigadores creen que se perciben como un mayor índice de fecundidad. En los hombres, sin embargo, se preferían las piernas fuertes, el torso grande y los hombros anchos. La explicación a estos resultados parece encontrarse en la teoría de la evolución: ³Los rasgos de f or t aleza sugieren mayor capacidad de com pet it ividad y más posibilidades de supervivencia que los de debilidad ´. Siempre se supo que los rostros simétricos parecían ser entendidos por el cerebro como más atractivos aunque la novedad está en que la atracción sexual también parece depender de la simetría del cuerpo.
SIMETRIA EN EL CUERPO
El cuerpo humano, como el de todos los vertebrados, posee una simetría bilateral característica (simetría axial o vertical), que consiste en que una parte del cuerpo se corresponde con la contralateral, es decir, que la parte izquierda del cuerpo es semejante a la derecha. Pero esta simetría no es completa puesto que presenta órganos asimétricos, como el corazón o el hígado e, incluso entre las partes correspondientes, como las manos o los dos lados del rostro, no existe una simetría perfecta. Esto es particularmente evidente si dividimos una fotografía de un rostro en dos mitades con una línea vertical. Al repetir cada una de las mitades
de manera especular y juntarlas podremos comprobar que el nuevo rostro formado por la unión de las mitades del lado izquierdo se parece poco o muy poco al formado por la repetición de los dos lados derechos. De la misma manera existe un lado predominante, normalmente el derecho (el izquierdo en zurdos), que es de mayor tamaño que el no dominante, detalle fácilmente comprobable si ponemos juntas nuestras propias manos y comparamos sus tamaños.
SIMETRIA EN EL ARTE Desde hace siglos, el hombre se ha maravillado de la pulcritud y la perfección de los mosaicos árabes; sus figuras armoniosas, sus vibrantes colores y sobre todo, la manera en que exudan una matemática visualmente hipnótica por su impactante belleza. Sin embargo, la historia detrás de tales mosaicos es bastante esotérica; debido a que la religión musulmana prohibe terminantemente la representación de seres vivos (humanos, vegetales o animales) los artistas musulmanes no tuvieron otra opción que enfocarse en el desarrollo de formas geométricas, en este caso, los famosos mosaicos. Sin embargo, los mosaicos son mucho más que sencillos rompecabezas gigantes; son el paradigma de una ciencia medieval extremadamente avanzada y sofisticada. Tal ciencia fue llamada ³geometría cuasicristalina decagonal avanzada´ por científicos gringos en los 70s. La simetría casi perfecta de los mosaicos demuestra que los artesanos musulmanes dominaban la regla y el compás, herramientas indispensables para poder crear los intricados patrones llamados ³girihs´. Estos girihs están compuestos por cinco polígonos continuos: un decágono, un pentágono, un hexágono, un diamante y una figura ³corbata´. A pesar de su complejidad, era relativamente fácil reproducir los diseños a menor escala, lo intrigante es el proceso de escala que utilizaban los artesanos musulmanes para proyectarlos a gran escala sin distorsionarlos exageradamente. Los mosaicos árabes son una perfecta fusión entre el arte y la matemática .
Mosaico de azulejos en La Alhambra. Nótese lo impecable del ensamblaje, la simetría y el diseño...
Mosaico andaluz
SIMETRIA EN LOS ³CROP CIRCLES´ Desde los años 70, los ³Crop Circles´ o ³Círculos de Plantaciones´ han causado furor entre las comunidades esótericas; algunos creen que son mensajes divinos o de extraterrestres, mientras que otros creen que son artimañas para engañar a los incautos. Sin embargo, no se puede negar que la armonía, proporción y simetría usadas para crear estos símbolos no pueden ser creados por tecnología humana. Además de los intricados diseños, muchos de estos crop circles contienen mensajes que sólo pueden ser interpretados matemáticamente, lo cual todavia es inexplicable. Estos dibujos enormes han aparecido en cosechas por todo el mundo, en paises como EE.UU, Alemania, India, Italia, Mexico, Nueva Zelanda e Inglaterra. A pesar de que se han reportado autores humanos de estos dibujos, el modus operandi de estas personas no arroja el acabado pulido y perfecto de los crop circles auténticos. Los estafadores usan cuerdas y tablas para pisar y partir los tallos de las cosechas, mientras que los tallos en los crop circles auténticos solamente fueron doblados sin dañar la planta. Es más, se ha comprobado que estos tallos no sólo fueron doblados sin daño alguno, sino que también sufrieron cambios a nivel molecular, tecnología desconocida hasta ahora en la tierra .
CROP CIRCLES
SIMETRIA EN LA MUSICA La simetría en música es, sin duda, un caso muy especial. El propio concepto de ritmo a menudo va ligado a la repetición de un determinado sonido o composición, pero donde podemos descubrir curiosas simetrías es en el análisis de las vibraciones emitidas por los diferentes instrumentos. Unas simetrías en el propio pentagrama en el que se ha creado una composición pueden conducir a curiosos efectos auditivos. Existen interesantes ejemplos en la música clásica: Bach ("Preludio"), Scarlatti ("Sonata en G mayor"), Schumann ("Lotosblume"), Wagner ("Die Meiestersinger")... En la mayoría de estos casos encontramos distribuciones de las notas generadas por traslación o simetría bilateral o giros de media vuelta. ¿Qué pasaría si invirtiéramos toda una partitura?. En general resultaría una composición absurda. Pero hay casos en los que la nueva melodía invertida sí que se puede interpretar. Un bello ejemplo es el "ScherzoDuetto" de Mozart para dos violines: la obra la pueden interpretar a la vez dos violinistas, cada uno de los cuales lee la partitura en un sentido diferente. En danza, tanto en las danzas antiguas rituales, como en las danzas folklóricas, como en las más refinadas danzas de salón encontramos unos fuertes componentes de simetría en la coreografía de colocación y cambios de los bailarines.
SIMETRIA EN OBJETOS FISICOS Objetos
clásicos
Aunque
un objeto diario puede aparecer exactamente iguales después de que una operación de la simetría tal como una rotación o un intercambio de dos porciones idénticas se haya realizado en ella, es fácilmente evidente que tal simetría es verdad solamente como aproximación para cualquier objeto físico ordinario. Por ejemplo, si uno rota un aluminio exacto trabajado a máquina 120 grados alrededor de su centro, un observador ocasional traído adentro antes y después la rotación no podrán decidir a si u ocurrió no tal
rotación. Sin embargo, la realidad es que cada esquina de un triángulo aparecerá siempre única cuando está examinada con la suficiente precisión. Un observador que se armó con el equipo que mide suficientemente detallado ,por ejemplo óptico o microscopios electrónicos, no será engañado; él reconocerá inmediatamente que el objeto ha sido rotado buscando los detalles por ejemplo cristales o deformidades de menor importancia. Tales simples experimentos del pensamiento demuestran que las aserciones de la simetría en objetos físicos diarios son siempre una cuestión de semejanza aproximada más bien que de matemática exacta. La consecuencia más importante de esta naturaleza aproximada de simetrías en objetos físicos diarios es que tales simetrías tienen mínimo o ningun impacto en la física de tales objetos. Por lo tanto, solamente la más profunda simetría del espacio y del tiempo desempeña un papel importante dentro de la física clásica que es, la física de objetos grandes, diarios.
SIMETRIA EN INTERACCIONES SOCIALES La gente observa la naturaleza simétrica, a menudo incluyendo equilibrio asimétrico, de interacciones sociales en una variedad de contextos. Éstos incluyen gravámenes de la reciprocidad, empathy, de la apología, del diálogo, del respecto, de la justicia, y de la venganza. Las interacciones simétricas envían el mensaje ³que somos todos los iguales´ mientras que las interacciones asimétricas envían el mensaje ³soy especial; mejore que usted ". Las relaciones del par se basan en la simetría, relaciones de la energía se basan en asimetría.
SIMETRIA EN LA LITERATURA LITERATURA PALINDRÓMICA La palindromía es todo un arte con el que se puede jugar y reinventar. Podemos hacer versos, cuentos, novelas y obras de teatro. Una de las más pulidas fue el drama palindrómico La muer t e de Adeli t a, escrito por Miguel González Avelar y puesto en escena por Héctor Azar en el
est ival Cervant ino de mayo de 1976. palindrómica del Génesis: F
Incluso
existe una versión
³Un buen día dijo Dios: Hagamos al hombre a nuest ra i magen y semejanza y reine sobre los peces del mar y las aves de los cielos. Y de est a f or ma Dios creo a Ad án y lo puso en L A RUTA NATURA L. ADAN NADA pero se aburre, por lo que cier t o día dijo: DIOSES OID necesi t o com pañera. Los Elohi m est aban de acuerdo, ASÍ REVE L A L A man a Eva t omando una LEVE RISA, que de sus labios se escucha, y f or cost illa. Cuando Ad án ve por pri mera vez a su com pañera, quiere i m presionarla con su ingl és y le dice: M ADAM , I¶AM ADAM . Eva lo mira f ijament e y para de most rarle que t ambi én domina ese idioma se present a si m plement e como EVE. E L VA MÁS AM ABLE y la besa. Eva pregunt a: ADAN, ¿SOM OS O NO SO M OS NADA? Él cont est a: YO SOCIAL Y L AICO SOY. SOM OS L AICOS, ADAN, NADA SOCIA L SOM OS.
-
El buen Dios A M I M E M IM A, PERO NO DEBE M OS COM ER DE AQUE L ANZANO. M -
El demonio que dest ila AÑOS NO, PONZOÑA, señala a Eva: ALLI RAM A AM ARI LL A, en aquél árbol que ABAJO SE DESHOJABA. En t onces A L A AL A la engaña y AJENA M ANO M ANEJA para t omar la manzana. M El ángel con ADARGA SAGRADA anuncia: E L DIOS. ¡OÍDLE! -
Por su desobediencia L A ERA REAL t er mina. NO SOLO SON t ont os sino malagradecidos. ADAN, SE AVE, EVA ES NADA.
Y al alejarse del paraíso Ad án exclama: ¡SE VA L A VIDA!, ¿L A VES? Y enf urecido: EVE IS A SIEVE! EVEN I SAW M AD ADAM WAS IN EVE EVE DAM NED EDEN, M AD EVE
inal no f eliz: ATALE DE MO NIACO CAIN, O M E DE L ATA´.
F
Un cuento erótico con palíndromos eslabonados: A TI M ODOSO SODO M ITA que haces el amor con ramera para AL RATO BOTAR L A. Y tú , que nalgas y SENO PONES, AVIDA DE DADIVA porque t e digan ALLI VA L A M ARAVI LL A. ES RARO, L A VERDAD, REVALORARSE. Yo me pregunt o y ¿L A M ORAL?, C L ARO, M AL. APARTA SATRAPA y con t racorrient e pont e A RE M AR RAM ERA que NEGRA ARGEN t e espera CON SEVERO REVES. M SOY ROM ANO CON AM ORÍOS en L A ROM A AM ORAL. ROM ANOS SONES SUS SENOS SON A M OR. En ROM A, L A ABADESA BASE DABA AL AM OR, porque en ROM A, L A ABADESA PASE DABA AL AM OR, mient ras que E L ABAD ANOCHE PECHO NADABA LE, y E L ABAD ANOCHE TECHO NADABALE, hast a que f inal ment e E L ABAD ANOCHE LECHO NADABALE. Acaso ¿DABA L A BACANA L L ANA CABAL , ABAD? ¿AM OR? ¿BROM A? AM OR AL AROM A. Y ahora algo sobre la inspiración poética y sus musas: ATEO POETA decía: ¿ARTE?, ¡L A LETRA! Que es co mo el OSO DE SEDA JADE SEDOSO ya que ECO NO CONOCE. Tengo un don: SE VERL A AL REVES, AL REVES SE VER L A. ASOM ASE ESA M OZA al oír mis versos, ESA M OZA ASOM ASE al escuchar HARE POE M AS O M E OPERA, mis poemas. ASI M USA SU M ISA ay údame HADA LUZ AZU L ADA, así como el ETNA DA LUZ AZU L A DANTE, así ilumina mi t alant e. ¿Qué sucede?, ¿no vienes a mí? ¿O YA CESÓ O SE CAYÓ?
