Ecuacion De La Onda Lineal

ECUACION DE LA L A ONDA LINEAL

Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Ecuación de onda Todas las ondas verifican la ecuación de onda

!i "#$% t& cum'le la ecuaci(on de onda% entonces "#$% t& es una onda.

f es una función cual)uiera !i fuera armónica "#$% t& * + sen#,$ - t  &

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1eferencia ,re"ig Ca'. 3 La Ecuación de Onda









donde v es la velocidad de fase de la onda e " re'resenta la varia5le )ue cam5ia al 'aso de la onda. Esta es la ecuación de onda )ue a'lica a una cuerda estirada o estirada o a una onda electromagn6tica 'lana. electromagn6tica 'lana. 4a descri'ción matemática de una onda% ace uso de las derivadas 'arciales. 'arciales . En dos dimensiones% la ecuación de onda toma la forma

la cual 'odra descri5ir una onda so5re una mem5rana estirada. estirada .

4a ecuación resultante de5e admitir además )ue so5re la misma cuerda vi5rante se 'ro'aguen simultáneamente dos o más se9ales% sin afectarse mutuamente. :or ello la solución general de5e ser de la forma 5 Derivando una vez 4a solución general es una función de dos varia5les% x " " t % siendo la velocidad de las ondas una constante. ;ecesitamos una ecuación )ue ligue las derivadas 'arciales res'ecto a la 'osición " res'ecto al tiem'o. 5.1 Derivando respecto al espacio y al tiempo x < Comenamos con las soluciones de la forma y * * f # x < vt &% &% donde f es es una función ar5itraria de una sola variable % esto es )ue 'odemos escri5ir estas soluciones en la forma

esto es% y de'ende de'ende de x " " t no no de cual)uier forma% sino a trav6s de la com5inación









"a )ue

!i derivamos res'ecto al tiem'o% nos resulta

donde la derivada de s res'ecto al tiem'o vale

Eliminando f =#=#s& entre las dos derivadas o5tenemos la relación

Esta ecuación en derivadas 'arciales la verifican todas las soluciones de la forma y * * f # x < vt &. &. !in em5argo% como veremos% eso no es suficiente 'ara x < nuestros o5>etivos. 5. El pro!lema del si"no 4a ecuación anterior nos vale 'ara las ondas )ue via>an acia la i)uierda% 'ero no 'ara las )ue van acia la dereca. !i realiamos un análisis similar 'ara las soluciones de la forma

)ue no es la misma ecuación )ue en el caso anterior. :or ello% no nos vale ni una ni la otra% 'ues deseamos una ecuación )ue valga 'ara los dos a la ve. 5.# $Elevar al cuadrado%

?na 'osi5ilidad de eliminar el 'ro5lema del signo es elevar al cuadrado los dos miem5ros% de forma )ue o5tenemos la ecuación diferencial









:or e>em'lo% consideremos las funciones sencillas

:ara la 'rimera tenemos

@el mismo modo% 'ara la segunda

:ero% 'ara la tercera

:or tanto% de5emos seguir 5uscando una ecuación más general. & Derivando dos veces x < Aolvamos a las soluciones de la forma y * * f # x < vt &% &% " calculemos su segunda derivada res'ecto a la 'osición

!i derivamos res'ecto al tiem'o% nos resulta

Eliminando f ==# ==#s& entre las dos derivadas o5tenemos la relación

Aeamos si esta ecuación nos vale.









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•

:uesto )ue la velocidad a'arece al cuadrado% tam5i6n es satisfeca 'or las ecuaciones )ue via>an acia la i)uierda

+l ser la derivada derivada de de la suma la la suma de las derivadas% derivadas% tam5i6n es satisfeca 'or una com5inación de las soluciones anteriores

:uesto )ue cum'le todas las condiciones% esta s es la ecuación )ue estamos 5uscando. ' (ede)inición de onda '.1 Ecuación de onda

1eescri5iendo el resultado anterior% tenemos )ue la ecuación de onda en una dimensión es

El 'rocedimiento% a 'artir de este 'unto% es darle la vuelta al raonamiento. !e define la ecuación de onda como esta ecuación diferencial. *u!licado por +illiam ,ol"uin Eti-uetas ONDA/ LA ECUACI0N DE UNA ONDA

!u'ongamos )ue se tiene una cuerda de longitud infinita. En $*0 una fuente mu6vela 'rimera 'artcula de la cuerda con movimiento armónico sim'le de ecuación *+cosDt 4as siguientes 'artculas de la cuerda se 'ondrán en movimiento cuando la onda











Tomemos una 'artcula de la cuerda de a5scisa $. des'u6s de un determinado tiem'o $/v% la onda llega " la 'artcula vi5rará% " tendrá un movimiento armónico sim'le de ecuación *+cosDt !iendo t el tiem'o medido a 'artir de la llegada de la onda% tiem'o relacionado con t#v6ase la figura & 'or la relación t*t  $/v Finalmente la ecuación de la vi5ración de la 'artcula res'ecto al tiem'o t es " * + cos #t G $/v & esta ecuación nos da la elongación de cual)uier 'artcula de la cuerda a cual)uier tiem'oH es la ecuación de la onda 'odemos escri5ir la ecuación de otra manera + cos #Dt G D$/v & Como l*vT*v2J/D o sea )ue D/v*2J/l Tenemos entonces )ue + cos #Dt G2J$/l& !i acemos K*2J/l )ue llamaremos nBmero de onda angular #rad/m& #nBmero de ondas )ue contiene un ángulo de 2J radianes% seme>ante a la frecuencia angular D*2J/T #nBmero de 'eriodos )ue contiene un ángulo de 2J radianes& Entonces la ecuación nos )ueda









Esta curva sinusoidal re'resenta la forma de la cuerda #o de la su'erficie del agua& a un momento dado. Es como si se tomara una fotografa de la cuerda al instante t. :ara un valor fi>o de $% o sea% un 'unto dado de la cuerda #'or e>em'lo $*0&% la ecuación nos da "*+cos#Dt& * +cosDt. Es un movimiento armónico sim'le )ue llamaremos vi5ración u oscilación de una 'artcula. !i la onda via>a a la i)uierda encontraramos T*t  $/v % " la ecuación de la onda seráH *+cos#Dt  K$& En nuestro análisis se a su'uesto )ue en t*0 " $*0% la elongación corres'ondiente es má$ima. !i 'ara t*0 " $*0 la elongación es "*0% la ecuación de la onda será "* +sen#Dt  K$& 'or)ue +sen#D0 GK0& * +0 *0. En conclusión% la ecuación de una onda transversal o longitudinal 'ermite deducir de )ue lado via>a la onda% " cuales son su am'litud% su frecuencia% su 'eriodo% su longitud de onda " su velocidad de 'ro'agación% o sea% toda la información acerca del fenómeno.

Ingenieria Industrial @'to. Fsica +'licada III G ?niversidad de !evilla Ecuación de onda lineal









Ecuación diferencial )ue cum'le una 'ertur5ación )ue se 'ro'aga como una onda lineal Lndas armónicas son una 'osi5le solución !olución general onda via>era









EE(CICIO/ DE ONDA/ 1.2 ?n foco F situado en el 'unto de coordenadas #0%0& emite ondas armónicas transversales de frecuencia N * O00 P " am'litud 0.Q m. 4as ondas se 'ro'agan en el sentido 'ositivo del e>e R con una velocidad de v * 2O0 m/s. Ltro foco F 2 situado en el 'unto de coordenadas #0% Q& emite ondas de iguales caractersticas 'ero adelantadas J con res'ecto a las emitidas 'or F 

a& Scuál Scuál es la longitud longitud de de onda " el 'eriod 'eriodoo de las ondas ondas emitidas emitidas 'or 'or F  Escri5ir la función de onda. 5& Calc Calcuular lar la am am'l 'lititud ud resu resultltan ante te en el 'u 'unt ntoo #U% #U% 0&. 0&. SVu6 SVu6 ti'o ti'o de interferencia se 'roduce c& SCuál SCuál sera sera la am'litu am'litudd en el 'u 'unto nto anter anterior ior si los los focos focos emitier emitieran an en fase









.2 !e generan ondas estacionarias en una cuerda su>eta 'or am5os e$tremos con una longitud de onda de 0.QO m 'ara el armónico n " de 0.Q0 m 'ara el armónico n. 4a velocidad de 'ro'agación de las ondas en la cuerda es de Q0 m/s.

d& S@e )u6 )u6 armó armónic nicos os se trat trata a e& Calcula Calcula la longitud longitud de la cuerda cuerda " la frecuencia frecuencia )ue corres' corres'ond ondee a cada armónico f& @i5u @i5u>a >a la for forma de la onda onda 'ara 'ara n " e$'r e$'res esaa la func funció iónn de onda ondass corres'ondiente si la am'litud de las ondas )ue generan la estacionaria es + *0.W m. a&











c&

Q. El edificio !ears% u5icado en Cicago% se mece con una frecuencia a'ro$imada a 0%0 P. SCuál es el 'eriodo de la vi5ración @atos f * 0% XPY T * 









O.?n gru'o de nadadores está descansando tomando sol so5re una 5alsa. Ellos estiman )ue Q m es la distancia entre las crestas " los valles de las ondas su'erficiales en el agua. Encuentran% tam5i6n% )ue U crestas 'asan 'or la 5alsa en 2W s. SCon )u6 ra'ide se están moviendo las olas @atos Z * W XmY t * 2W XsY ;ro. Crestas * U v * 









7. El edificio :latinum% u5icado en !antiago% se mece con una frecuencia a'ro$imada a 0%0 P. SCuál es el 'eriodo de la vi5ración @atos Frecuencia f * 0%0 P Fórmula









8. ?na ola en el oc6ano tiene una longitud de 0 m. ?na onda 'asa 'or una determinada 'osición fi>a cada 2 s. SCuál es la velocidad de la onda @atos 4ongitud #Z& * 0 m :eriodo #T seg& * 2 seg Aelocidad #A& * S Fórmula

1eem'laamos valores









:eriodo #T& * S Aelocidad #A& * S :ara calcular la velocidad #A& necesitamos conocer la longitud #W cm& " el 'eriodo #T&% "a )ue la fórmula de A es

" la fórmula 'ara determinar el 'eriodo #T& la o5tenemos de











0. Lndas de agua en un lago via>an U%U m en %8 s. El 'eriodo de oscilación es de %2 s. a& SCuál es la ra'ide de las ondas% 5& Scuál es la longitud de onda de las ondas @atos @istancia recorrida 'or las ondas U%U m Tiem'o en recorrer esa distancia %8 seg :eriodo 2%2 seg









2. @etermina la velocidad de 'ro'agación de una onda transversal en una cuerda de 7 m sometida a una tensión de 2O0 ; sa5iendo )ue su masa es de 2 Kg. @atos 4ongitud de la cuerda l*7m

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