UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ´ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEM ATICA ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA
´ INFORME FINAL DE PR ACTICA PRE-PROFESIONAL ´ MODALIDAD DE INVESTIGACI ON
´ T´ ITULO: EXISTENCIA LOCAL DE SOLUCIONES D EBILES ´ ABSTRACTA DE LA ONDA CON PARA LA ECUACI ON ´ TERMINO DISIPATIVO
AUTOR: GIAN MARCOS MALDONADO RUIZ ´ CODIGO: 082993J
ASESOR: Mg. DIONICIO ORLANDO MORENO VEGA ´ RESOLUCI ON N : 023-2013-CD-EPM-FCNM o
´ SEMESTRE ACADEMICO: 2013-A BELLAVISTA-CALLAO 2013
A mis padres: Marcos Maldonado Alvarado Milagritos Ruiz Ruiz A mis hermanos: Jos´e, e, Arturo y Marcos.
Agradecimientos Al concluir este trabajo, que presento como pr´ actica pre-profesional en la modaactica lidad de investigaci´on on en matem´ atica, deseo manifestar mi gratitud: atica, A Dios, esencia de mi ser y primera causa del ´exito exito logrado en m´ as de una etapa de mi existencia. Al profesor Mg. Dionicio Orlando Moreno Vega, Vega, por haber sido un excelente orientador, m´ as as tambi´en, en, un verdadero amigo y un maestro en los consejos, comprendiendo comprendiendo muy bien la relaci´ on on profeso pr ofesorr - alumno. al umno. Agradesco, Agrad esco, tambi´en en por la confianza dada, acreditando siempre en mi trabajo, por la paciencia y exigencia necesarios; por la enorme contribuci´ on, sin la cual este trabajo on, no ser´ ser´ıa realizado. realizado. En fin, por p or el excelente excelente trabajo de orientaci´ orientaci´ on. A mi familia, por el apoyo e incentivo, estimul´andome andome a estudiar siempre. A mis padres y hermanos por su cari˜ no y apoyo incondicional. no Al profesor Lic. Lenin Rolando Cabracancha Montesinos, por acreditar en mi trabajo, incentivarme y participar en mi desenvolvimiento, auxili´andome andome siempre en la contribuci´ on on de mi trabajo. A mis compa˜neros neros de curso y amigos de la Facultad de Ciencias Naturales y Matem´atica atica de la Universidad Nacional del Callao.
iii
A. DATOS GENERALES A1. DATOS DEL ESTUDIANTE
APELLIDOS Y NOMBRES
: Maldonado Ruiz Gian Marcos
´ DIGO CO
: 082993J
´N INSTITUCIO
: Universidad Nacional del Callao
FACULTAD
: Ciencias Naturales y Matematica a´tica
´ ESCUELA ACADEMICA EMIC A PROFES PROFESION IONAL AL : Matem´ Matem´ atica atica ´ MICO SEMESTRE ACADE
: 2013-A
T´ITULO
: Existencia Local de Soluciones D´ebiles para la Ecuaci´ on on Abstracta de la Onda con T´ermino ermin o Disipativo Disipat ivo
A2. DATOS DEL PROFESOR ASESOR
APELLIDOS Y NOMBRES
: Moreno Vega Dionicio Orlando
´ DIGO CO
: 138 7
´N CATEGOR´IA Y DEDICACIO
: Auxiliar, Tiemp o Completo
´N CONDICIO
: Nombrado
ESPECIALIDAD
: Matematica a´tica
FACULTAD
: Ciencias Naturales y Matematica a´tica
´ A3. DATOS DE LA INSTITUCI ON
´N INSTITUCIO
: Universidad Nacional del Callao
´N DIRECCIO
: Av. Juan Pablo II 306, Bellavista-Callao
´ FONO TELE
: (051) 429 9740 - 429 9748
iv
B. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES REALIZADAS
‚
´N DURACIO
‚
HORARIOS HORARIOS DE PERMA PERMANEN NENCIA CIA : Jueves Jueves - 2 horas horas (2 p.m. p.m. - 4 p.m.) p.m.)
‚
ACTI ACTIVID VIDADE ADES S REALIZ REALIZAD ADAS AS
: Abril 2013 - Julio 2103
: Se realiza realizaron ron las siguie siguiente ntess activid actividaa-
des. on bajo ba jo la asesor´ ase sor´ıa ıa ‚ Reuniones semanales sobre el proyecto de investigaci´on del Mg. Dionicio Orlando Moreno Vega. informaci´ on on sobre antecedentes t´ecnicos ecnicos relacionado al pro‚ Se recopil´o informaci´ yecto.
‚ B´usqueda usqueda de informaci´on on en bibliotecas de otras universidades. usqueda de nformaci´ on on en internet. ‚ B´usqueda ‚ Exposiciones semanales sobre los avances del proyecto. ‚
CRONOGRAMA ANAL´ITICO SEMANAL ´ ´ N DE INREVISION DE BIBLIO BIBLIOGR GRAF AF´ IA Y RECO RECOLE LECC CCIIO ´ FORMACI ON
on on de bibliog bib liograf´ raf´ıa. ıa. SEMANA 1: Revisi´ on on de informaci´on. on. SEMANA 2: Recolecci´ DESARROLLO DEL TRABAJO SEMANA 3: Revisar algunos resultados, lemas y teoremas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. SEMANA 4: Revisar algunos resultados, lemas y teoremas de Ecuaciones
Diferenciales Parciales. SEMANA 5: Estudiar los resultados, teoremas y propiedades de los espa-
cios funcionales funcionales LP 0, T ; X vectoriales.
p
q
v
SEMANA 6: Investigar acerca de la existencia y unicidad de soluciones
de una ecuaci´ on diferencial parcial de evoluci´ on on. on. SEMANA 7: Determinar y encontrar las estimativas requeridas.
e l pasa je a l´ımite de las soluciones solucione s aproximadas. apr oximadas. SEMANA 8: Realizar el SEMANA 9: Demostrar la existencia local de soluciones.
on on de los datos iniciales. SEMANA 10: Realizar la verificaci´ SEMANA 11: Mostrar la unicidad de las soluciones. ´ ANALISIS DEL TRABAJO
alisis de los resultados obtenidos. alisis SEMANA 12: An´ SEMANA 13: Aporte de nuestros resultados. SEMANA 14: Discusiones y conclusiones de nuestros resultados. ´ FINAL Y EXPOSICI ON ´ DEL INFORME REDACCION
on on final. SEMANA 15: Redacci´ on on del informe. SEMANA 16: Exposici´
Descripci´on-Semanas
1
Revisi´on on de bibliograf´ bibliograf´ıa
x
An´ alisis alisis de informaci´on on Desarrollo del traba jo
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
x x x
x x
x x x
An´alisis del traba jo
x
x x
Redacci´on final
x
x x
Exposici´on del informe
x
C. CARACTER´ ISTICAS DEL TRABAJO
Las caracter´ caracter´ısticas del trabajo traba jo se presentar´ an an a continuaci´ on. on.
vi
´ Indice
Resumen
ix
Introducci´ on on
1
1. Preliminares
3
1.1. 1.1. Ecuaci´ Ecuaci´ on diferencial parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. 1.2. Los espacios espacios L p Ω
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Espacio de las Funciones de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. El espacio de Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1. 1.4.1. Con Conve vergen rgencia cia en D1 Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p q La deriv derivaci´ acion o´n en D pΩq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
p q
1.4.2. 1.4.2.
1
1.5.1. 1.5.1. El espacio espacio dual de H 0m Ω
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6. Distri tribucion cionees en esp espacio cios de Banach ach . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7. Los Espacios Espacios Funcionales uncionales L p 0, T ; V
. . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8. Distribuciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
p q
p
1.8.1. 1.8.1. Deriv Derivaci aci´on ´on en
D1
q
p0, T ; V q . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.9. Definiciones de Convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.10. Resultados Impo porrtantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.10.1. Oper peradores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.10.2. El espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
vii
1.10.3. Ope Operrador Hilber bert Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.10.4. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2. Soluciones D´ ebiles
25
2.1. Problema Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2. Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.1. Primera Estimativa a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.2. Segunda Estimativa a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3. Pasaje aje al L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4. Verificaci´ erificacio´n de los Datos Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.1. Verificaci´ erificacion o´n de u 0
p q “ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verificaci´ erificacion o´n de u p0q “ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4.2.
1
0
1
41
Resultados
44
Conclusiones
46
Bibliograf´ıa
47
viii
Resumen En este trabajo estudiaremos estudiaremos la existencia existencia local y unicidad unicidad de soluciones soluciones d´ebiles ebiles para una ecuaci´ on on diferencial parcial hip´erbolica erbolica de evoluci´ on on de tipo de onda no homog´enea enea de la forma: forma :
ˇˇ ˇˇ ˇ
u2
1
` Au ` u “ f up0q “ u u p0q “ u 0
1
1
en H en V enH
Los resultados de existencia existencia de soluciones soluciones para datos iniciales u 0 V , u 1 H “su-
P
P
ficientemen ficientemente te peque˜ no” no” son obtenidos ob tenidos aplicando el m´etodo etodo de Faedo - Galerkin; donde: V un espacio de Hilbert separable real, cuyo producto interno es represen-
tado por
pp¨, ¨qq y la norma } ¨ }.
H un espacio de Hilbert separable real, cuyo producto interno es represen-
tado por , y la norma
p¨ ¨q
V
| ¨ |.
Ď H denso y una inmersi´on on V en H compacta y continua.
Identificando H con con su dual H 1 , obteniendose V
1
1
Ď H ” ” H Ď V .
Ω un subconjunto abierto y acotado bien regular de Rn de frontera Γ. A : V
Ñ V
1
un operador o perador lineal, acotado, acot ado, autoadjunto, a utoadjunto, sim´etrico etrico y coercivo. co ercivo.
ix
f L 2 0, T ; H acotado.
P P p
q
on on de onda, m´etodo etodo de Faedo - Galerkin, Galer kin, Teorema de de Palabras Palabras Claves: Claves: Ecuaci´ Caratheodory Caratheodo ry,, Existencia de soluciones d´ebiles. ebiles.
x
Introducci´ on on El presente trabajo es un proyecto de investigaci´ on realizado en la Facultad de on Ciencias Naturales y Matem´atica atica ba jo la asesor´ asesor´ıa del Mg. Dionicio Orlando Moreno Vega. Diversas Diversas ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales de evoluci´ evoluci´ on de segundo orden son estudiadas en ciencias como en ingenieria, tales como:
ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ
Considerando:
u2
1
` ∆u ` u “ f px, tq u“0 upx, 0q “ u pxq u px, 0q “ u pxq
en Q
“ Ωˆs0, T r en Σ “ Γ ˆs0, T r
en Ω
0
1
(1)
en Ω
1
Ω un subconjunto abierto y acotado bien regular de Rn de frontera Γ. V
1 0
“ H pΩq con producto interno pp u, v
ˆ ż ż } } “ | | ` | 2
norma u
u dx
Ω
H
Ω
ż qq “
1{2
∇v
2
˙
| dx
2
producto intern internoo pu, v “ L pΩq con producto 1{2
ˆż | | ˙ 2
u dx
Ω
ż q“
Ω
“ ´∆. P L p0, T ; L pΩqq: u P H pΩq, u P L pΩq. f P 2
2
0
1 0
1
1
2
∇u∇vdx
y la
Ω
.
.
A
uvdx
ż `
Ω
uvdx y la norma u
||“
Tamb Ta mbii´en
ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ
Considerando:
u2
1
2
` ∆ u ` u “ f px, tq u“0 upx, 0q “ u pxq u px, 0q “ u pxq 0
1
1
en Ω
ˆs0, T r
en Ω
(2)
en Ω en Ω
Ω un subconjunto abierto y acotado bien regular de Rn de frontera Γ. 2
2
producto to inter interno no “ H p∆; Ωq “ tv P L pΩq; ∆v P L pΩqu con produc ppu, vqq “ uvdx` ∆u∆vdx y la norma }u} “ |u| dx ` |∆u| dx V
ˆż
ż ż Ω
Ω
Ω
2
“ “ L pΩq con producto interno pu, v
H
ˆ ˙ ż | |“ | |
2
1{2
ż q“
ż Ω
2
1{2
˙
uvdx y la norma
Ω
2
u
u dx
Ω
A
“ ∆
2
f L 2 0, T ; L2 Ω ; u0 H 01 Ω , u1 L 2 Ω
P P p
p qq P p q P p q
y muchos otros modelos, por lo que estamos interesados en proporcionar un modelo abstracto que abarque todas las situaciones anteriores. Motivados por esto estudiaremos la ecuaci´ on on abstracta:
ˇˇ ˇˇ ˇˇ
u2
1
` ∆u ` u “ f en H upx, 0q “ u pxq x P V u px, 0q “ u pxq x P H 0
1
(3)
1
Considerando las hip´ otesis antes mencionadas se demuestra la existencia local otesis de soluciones soluciones d´ebiles ebiles de 3, empleando empleando el m´etodo etodo de Faedo - Galerkin, Galerkin, lo cual consiste en hallar soluciones para aproximarlas, luego se hallan las estimativas correspondiente, correspondiente, su pasaje al l´ımite, se verifican verifican sus condiciones condiciones iniciales iniciales y por ultimo u ´ ltimo su unicidad. 2
Cap´ıtulo 1 Preliminares Con la finalidad de obtener un mejor entendimiento entendimiento de la exposici´ on, presentamos a continuaci´ on algunos conceptos y resultados importantes en el desarrollo del on trabajo.
1.1.
Ecuaci´ on diferencial parcial on
Una ecuaci´on on diferencial parcial (EDP) es una ecuaci´ on on matem´ atica atica envolviendo derivadas parciales, sea una expresi´ on on de la forma:
F
Donde x
ˆ
2
m
B u , B u , ¨ ¨ ¨ , B u x , ¨ ¨ ¨ , x , u, B x B x B x B x ¨¨¨B x 1
n
i
i
j
i1
im
n
“ px , ¨ ¨ ¨ , x q pertenece a alg´un un dominio Ω Ă R 1
n
˙“
0
(1.1)
y u : Ω
Ñ R es una
funci´on on con derivadas hasta el orden m cuando la derivada parcial de orden mas alto tiene orden m. Una de las distinciones m´as as fundamentales entre ecuaciones diferenciales es aquella entre ecuaciones lineales y no lineales. on on a Definici´ on on 1.1. Decimos que la EDP (1.1) es lineal si F es lineal en relaci´ u y a todas sus derivadas parciales, caso contrario, la EDP es no lineal.
3
Dependiendo del tipo de la no linealidad, las EDP1 s no lineales son clasificadas de la siguiente forma: 1. Ecuaciones Ecuaciones semilineales: semilineales: Cuando F es no lineal solamente con relaci´ on on a u pero es lineal con relaci´ on a todas sus derivadas parciales. on 2. Ecuaciones Ecuaciones cuasilineales: cuasilineales: Cuando F es lineal solamente con relaci´ on o n a las derivadas parciales del orden de la ecuaci´ on. on. 3. Ecuaciones Ecuaciones totalmente totalmente no lineales: Cuando Cuando F es no lineal con relaci´on on a las derivdas parciales del orden de la ecuaci´ on. on. En la tabla siguiente, algunos ejemplos importantes de EDP1 s y clasificaci´on: on: ´N ECUACIO
NOMBRE Ecuaci´on on del transporte Ecuaci´on on de burgers Ecuaci´on on eikonal Ecuaci´on de Laplace Ecuaci´on de Poisson Ecuaci´on on de Helmholtz Ecuaci´on on del calor Ecuaci´on on de la onda Ecuaci´on on de Schr¨ odinger odinger Ecuaci´on on de Klein - Gordon Ecuaci´on on del tel´egrafo egr afo Ecuaci´on de Poisson no lineal Ecuacci´on on de reacci´ on-difusi´ on-difusi´on on Ecuaci´on de Yamabe Ecuaci´on on de Burgers (viscosa)
` u “ 0 u ` uu “ 0 |∇u| “ 1 ∆u “ 0 ∆u “ f pxq ´∆u “ λu u “ ∆ u u “ ∆ u iu ` ∆u “ v pxqu u “ ∆ u ´ m u u ` 2du “ u ∆u “ f puq u “ ∆ u ` f puq ∆u “ K pxqu u ` uu “ V u ut
x
t
x
Primer orden, cuasilineal 1er. orden, orden, totalm. totalm. no lineal lineal
Segundo orden, lineal Segundo orden lineal Segundo orden, lineal Segundo orden, lineal
tt
Segundo orden, lineal
tt
tt
t
Segundo orden, lineal
xx
Segundo orden, lineal
n`2 n´2
x
Segundo orden, lineal
2
t
4
Primer orden, lineal
t
t
t
TIPO
xx
Segundo orden, semilineal Segundo orden, semilineal Segundo orden, semilineal Segundo orden, cuasilineal
Ecuaci´on del p-Laplaciano
p´2
div
Ecuaci´ on on de la superficie supe rficie m´ınima
p|∇u| ∇uq “ 0 “ 0 u “ div ? detpD uq “ f u ` u “ 0 u ` uu ` u “ 0 ∆ u“0 u “ ∆ u
ˆ
t
Ecuaci´on de Monge - Amp´ere Ecuaci´on on de Airy
∇u
1`|∇u|2
2
tt
Ecuaci´ on de Korteweg-de Vries (kdv) on
Segundo orden, cuasilineal
˙
Segundo orden, cuasilineal Seg. orden, orden, totalm. totalm. no lineal lineal
Tercer orden, lineal
xxx
t
x
Tercer orden, cuasilineal
xxx
2
Ecuaci´on on biharm´onica Ecuaci´ on on de vibraci´on on de la placa
Cuarto orden, lineal
2
tt
Cuarto orden lineal
La mayor´ mayor´ıa de las ecuaciones diferenciales parciales surgen de modelos f´ısicos, una parte pa rte importante surge de problemas en Geometr Geo metr´´ıa Diferencial. Difere ncial.
1.2. .2.
Loss espa Lo espac cios ios L p Ω
pq
Construyamos los elementos de L p Ω .
p q
Sea Ω un subconjunto abierto de Rn , p p
L
" p q“ Ω
P R con 1 ď p ď 8, denotaremos
u : Ω
Ñ R medible;
ż | p q| ux
p
dx
Ω
* ă `8
,
el cual es un espacio vectorial con las operaciones usuales de funciones. Definimos el funcional:
}¨}
Lp pΩq
Resulta que u
:
L p
pΩq Ñ R Ñ }u} u
ˆ ˙ ż “ | p q| ux
Lp pΩq
p
dx
1
p
.
Ω
} } es una seminorma. Se dice que u “ v casi siempre en Ω si y solo si existe M Ă Ă Ω tal que: Lp pΩq
p q “ v pxq; @x P ΩzM y y medpM q “ 0.
ux
5
Para obtener una norma se define una relaci´ on on de equivalencia
R:
Sea p
P L pΩq; uRv ô u “ v c.s. en Ω
u, v
Denotaremos por L p Ω el espacio cociente
p q
p
L p
p q “ RpΩq “ trtrus; u P L pΩqu,
L Ω
p
el cual es un espacio de Banach con la norma
ˆ ˙ ż “ | p q| p
1
p
p
|rus| ; u P L pΩq. u x dx Observaci´ on on 1.1. Si u P L pΩq; rus “ u implica que u P L pΩq. Lp pΩq
Ω
p
p
Es decir
}u}
“ |rus|
Lp pΩq
Cuando p
Lp pΩq
2
“ 2, L pΩq es un espacio de Hilbert con el producto interno pu, vq “ upxqvpxqdx; u, v P L pΩq
ż
2
Ω
su norma inducida ser´a denotada por
ˆ ˙ ż “ | p q|
}u} Se define para p “ 8
ux
L2 pΩq
Ω
2
dx
1 2
; u L 2 Ω
P p q
L8 Ω
c.t.p. p. p q “ tu : Ω Ñ R; medible y existe una constante c ą 0 tal que |upxq| ď C c.t.
provista de la norma
}u} “ ´ınf tC ą ą 0, | upxq| ď C c.t.p. en Ωu, L8
xPΩ
Si definimos el supremo esencial como supessxPΩ u x
c.t.p. p. | p q| “ ´ınf tC ą ą 0, |upxq| ď C c.t.
tendremos que, 8
}u} “ supess |upxq|; u P L pΩq. L8
xPΩ
6
en Ω ,
u
en Ω ,
u
Observaci´ on on 1.2. Sea 1
de “ p”, es decir, p1
1
ď p ď `8, se designa por “q ” el exponente conjugado
` “ 1. q
Teorema 1.1 (Desigualdad de Holder). Sean u
p
p
q
P L pΩq y v P L pΩq con 1 ď
ď 8. Entonces u.v L 1 Ω y
P p q
ż | p q p q|
u x v x dx
Ω
ď }u} }v} Lp
Lq
Breziss [2]. Demostraci´ on on. Ver H. Brezi
p
Teorema 1.2 (Desigualdad de Minkonwsky). Sean u
q
P L pΩq y v P L pΩq con
1
ď p ă 8. Entonces }u ` v} ď }u} ` }v} Lp
Lp
Lq
Adams [1]. [1]. Demostraci´ on on. Ver Adams
Teorema 1.3. L p Ω es un espacio de Banach para todo 1
p q
ď p ď 8.
Breziss [2]. Demostraci´ on on. Ver H. Brezi
Teorema 1.4. L p Ω es separable y reflexivo para todo 1
ď p ď 8.
p q
Breziss [2]. Demostraci´ on on. Ver H. Brezi
Sean V y W espacios de Banach con V
Ď W como subespacio vectorial (proba-
blemente con normas diferentes). Si la aplicaci´ on on de inclusi´on on i : V
es continua, denotamos V
Ñ W
on continua en W . Ñ W decimos que V tiene inmersi´on ą 0 tal que: Esto es equivalente a si existe C ą }u} ď C |u| , @u P V , ã
W
v
n
Teorema 1.5. Sea Ω
Ă R abierto acotado con 1 ď p ă q ă ă 8. Entonces ď }u} pmedpΩqq L pΩq Ñ L pΩq y }u} q
ã
p
1
Lp pΩq
7
Lq pΩq
p
´ q1
Adamss [1]. [1]. Demostraci´ on on. Ver R. Adam
on o n de Riesz para L p Ω ). Sea 1 Teorema 1.6 (Representaci´
ă p ă 8 y T P rL pΩqs . Entonces existe v P L pΩq tal que para todo u P L pΩq p1
1
p
p q
p
ż p q“ p q p q
T u
u x v x dx
Ω
y
}v} “ }T } p1
As´ı: L p Ω
1
rLp pΩqs1
p1
r p qs – L pΩq.
Adamss [1]. [1]. Demostraci´ on on. Ver R. Adam
on on de Riesz para L 1 Ω ). Sea T T Teorema 1.7 (Representaci´ existe v L 8 Ω tal que para todo u L 1 Ω
P p q
1
1
P P rL pΩqs . Entonces
p q
P p q
ż p q“ p q p q p q
T u
uxv xd x
Ω
y
}v} “ }T }
rL1 pΩqs1 .
8
As´ı: L1 Ω
1
8
r p qs – L pΩq.
Adamss [1]. [1]. Demostraci´ on on. Ver R. Adam
Definici´ on on 1.2 (Soporte de funciones). Sea Ω
n
Ď R
y u : Ω
Ñ R, el soporte de
u (en Ω) es el conjunto
sop u
p q “ tx P Ω; upxq ‰ 0u.
1.3. 1.3.
Espa Espaci cio o de las las Fun Funci cion ones es de de Prue Prueba ba
Sea Ω un subconjunto abierto de
n
Ñ R. Diremos que ϕ tiene soporte compacto en Ω, si soppϕq es un conjunto de Ω. Con C pΩq, denotamos el espacio R
,ϕ:Ω
8 0
8
vectorial de funciones infinitamente diferenciables en Ω con soporte compacto en Ω. As´ı C 08 Ω
p q “ tϕ : Ω Ñ R; u es infini infinitame tament ntee
diferen diferencia ciable bless y sop ϕ compacto
Ď Ωu.
pq
mul ti´ındi ın dice ce α de dimensi´on on n es una n-upla de n´ umeros umeros Observaci´ on on 1.3. Un multi´ enteros no negativos α
odu lo del multi mult i´ındice ınd ice α ser´a denotado “ pα , . . . , α q, el m´odulo por α α , dado x “ px , . . . , x q P R , por D representamos el operador diferencial de orden |α|, definido por: 1
n
ÿ | | “
n
1
i
n
n
α
i“1
D|α| xα2
α
“ B x B ¨¨¨B x cuando α “ 0, definimos: D ϕ “ ϕ. on on pϕ q Ď C pΩq. Diremos que ϕ converge a Definici´ on on 1.3. Sea la sucesi´ Ñ 8, si: ϕ en C pΩq; denotando ϕ Ñ ϕ, γ Ñ Ă Ω tal que soppϕ ´ ϕq Ă K , @v P N. i) Existe un compacto K Ă ii) D pϕ ´ ϕq converge uniformemente a cero en K , @ α “ pα , . . . , α q P N , D
α1
αn n
2
1
0
γ γ ě1
8 0
8 0
γ
γ
v
α
1
v
n
n
es decir, sopxPK Dα ϕv x
α
| p q ´ D ϕpxq| Ñ 0 Luego el espacio vectorial C pΩq, dotado de esta convergencia es llamado el “el espacio de las Funciones de Prueba”, el cual es denotado con DpΩq. 8 0
D
1.4. 1.4.
8 0
pΩq “ tϕ : Ω Ñ R; ϕ P C pΩq y soppΩqu es compacto Ď Ω.
El espa espaci cio o de de Dis Distr trib ibuc ucio ione ness
Una distribuci´on on T : D Ω
on lineal y continua (en el sentido p q Ñ R es una aplicaci´on de la convergencia D pΩq), donde Ω es un abierto de R , es decir, i) T pαϕ ` βψ q “ αT pϕq ` βT pψq n
9
ii) Si ϕγ
p q Ď DpΩq, ϕ P DpΩq tal que ϕ Ñ ϕ entonces T pϕ q Ñ T pϕq (T es γ
γ
γ
continua). El espacio de distribuciones es denotado con D
1
D1
pΩq, en consecuencia:
pΩq “ tT : DpΩq Ñ R; T es lineal y continuau 1
Notaci´ on on 1.1. Si T
P P D pΩq, denotamos T pϕq “ xT , ϕy; ϕ P DpΩq.
Con Converge ergenc ncia ia en D Ω 1
1.4. 1.4.1. 1.
Diremos que T γ γ
p q
1
1
1
p q Ď D pΩq converge a T P P D pΩq, es decir, T Ñ T en D pΩq si, y solo si xT γ , ϕy Ñ xT , ϕy en R, @ ϕ P D pΩq. γ
γ γ
La deri deriv vaci´ aci´ on o n en D Ω 1
1.4. 1.4.2. 2.
Consideremos una distribuci´ on on T
p q 1
n
P P D pΩq, α P N , la derivada de orden α de T es definida como una funcional lineal D T definido en D pΩq por α
|α|
α
α
xD T , ϕy “ p´1q xT , D ϕy , @ϕ P DpΩq d erivadas d´ebiles ebile s no provienen provien en de de Nota 1.1. Existen funcionales en L p Ω cuyas derivadas
p q
ninguna funci´ on on de L p Ω .
p q
Tal hecho motiva la definici´on on de una clase significativa de espacios de Banach de funciones, conocidos con el nombre de los espacios de Sobolev.
1.5. 1.5.
Espa Espaci cios os de Sobol Sobolev ev
Sean m, p
P N, definimos el espacio W m,p Ω
p
α
p
p q “ tu P L pΩq; D u P L pΩq, @ |α| ď mu.
(Dα u en el sentido distribucional) 10
m,2
Para p
m
“ 2, se denota W pΩq “ H pΩq, es decir H pΩq “ tu P L pΩq; D u P L pΩq, @ |α| ď m u. 2
m
2
α
Llamado el espacio de Sobolev (de orden “n”); con las operaciones usuales (de clases) de funciones es un espacio vectorial. Definimos la bilineal: H m pΩq :
pp , qq
H m Ω
m
p q ˆ H pΩq Ñ R pu, vq Ñ ppu, vqq “
ÿ ż
Dα uDα vdx
|α|ďm Ω
es un producto interno en H m Ω , que induce la norma
p q
¨ÿ “ ˝ |
}u}
H m pΩq
1 2
2 Dα u L
|
|α|ďm
2
pΩq
˛ ‚
H m Ω es un espacio de Hilbert, como se puede ver en L. Medeiros - Milla [10].
p q
Observaci´ on on 1.4. D Ω
}¨}H m pΩq
m
‰ H pΩq por lo que definimos ‰ H pΩq H pΩq “ DpΩq que por definici´ on on es un subespacio vectorial cerrado. As´ As´ı u P H pΩq si y solo si existe una sucesi´on on pϕ q Ď DpΩq tal que ϕ Ñ u en H pΩq. Teorema 1.8 (Teorema de Poincare-Friederick). Sea Ω Ď R abierto acotado. ą 0 tal que Entonces existe C ą B u |u| ď , @ u P H pΩq B x p q
}¨}H m pΩq
m
m
0
m
0
γ ϕď1
m
γ
n
˜ÿ ˇˇ
ˇˇ ¸
n
L2 pΩq
1 2
1 0
i L2 pΩq
i“1
Breziss [2] Demostraci´ on on. Ver H. Brezi
Observaci´ on on 1.5. Se prueba del teorema 1.8 que existen constantes C 0 , C 1 po-
sitivas tal que:
||
ď |∇u|
C 0 u H pΩq 1
ď C |u|
L2 pΩq
1
11
H 1 pΩq ,
1 0
@u P H pΩq
1.5. 1.5.1. 1.
El espa espaci cio o d dua uall de de H 0 Ω
Sea Ω
n
p q
m
m
P N, n ď 1, el espacio dual de H pΩq es el espacio lineal y contin continua uau. H pΩq “ pH pΩqq “ tT : H pΩq Ñ R; T es lineal Con las operaciones usuales de funciones H pΩq es un espacio vectorial, con el ĎR
abierto acotado n
´m
0
1
m
0
m
0
´m
funcional:
“ supess |v|T | pvq|
|T |
H ´m pΩq
H 0m pΩq
vPH 0m pΩq v ‰0
resulta que H ´m Ω es un espacio normado completo (es un espacio de Banach).
p q
Nota 1.2. T H ´m Ω denotamos T ; v
x y ” T pvq. Observaci´ on on 1.6. El espacio de Sobolev W pΩq es de Banach con la norma P P
p q
m,p
|u|
p
|
|α|ďm
Observaci´ on on 1.7.
m
˛ ‚ @ p
Dα u Lp pΩq
W m,p pΩq
D
1
¨ÿ “ ˝ |
2
,
´m
u W m,p Ω .
P
p q
1
pΩq Ñ H pΩq Ñ L pΩq Ñ H pΩq Ñ D pΩq ã
0
ã
ã
ã
Teorema 1.9 (Meyer-Serrin).
W m,p
m,p
n
n
pR q “ W pR q 0
Adamss [1]. [1]. Demostraci´ on on. Ver R. Adam
Teorema 1.10 (Inmersiones de Sobolev). Sea Ω
n
ĎR
abierto abierto acotado, acotado, bien
regular. Entonces valen las siguientes inmersiones continuas: i) Si n
m
2m n´2m
p
ą 2m entonces H pΩq Ñ L pΩq, 2 ď p ď `8 ii) Si n “ 2 m entonces H pΩq Ñ L pΩq, 2 ď p ă `8 iii) Si n ă 2 m entonces H pΩq Ñ C pΩq, k “ m ´ 1 ´ m
m
ã
ã
ã
p
k
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
n
2
12
1.6. 1.6.
Dist Distri ribu buci cion ones es en esp espac acio ioss de Bana Banac ch
Sea X un un espacio de Banach, T
ą ą 0.
Definici´ on on 1.4. Decimos que u : 0, T
on simple (funci´on on escas rÑ X es una funci´on
lon), si:
m
ÿ pq“
ut
pq
χAi t xi ,
j “1
donde xi
P X, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , m y χ
Ai es
la funci´on on caracter´ caracter´ıstica del conjunto
medible seg´ un un Lebesgue. Definici´ on on 1.5. Decimos que u : 0, T
on medible Bochner, si s rÑ X es una funci´on
existe un
p q
∇PN
una sucesi´on on de funciones simples tal que: l´ım un t
| p q ´ uptq| “ 0, c.t.p en s0, T r
nÑ8
X
on on simple Definici´ on on 1.6. Dada la funci´ u :
s0, T r Ñ X Ñ Þ uptq “ u
m
ÿ
pq
χAi t xi
j “1
Definimos la integral de Bochner de u mediante la relaci´on: on: m
T T
ż
pq
u t dt
0
ÿ “
xi med Ai X
P
j “1
Definici´ on on 1.7. Decimos que u : 0, T
s rÑ X es de Bochner integrable, si existe una sucesi´ on on de funciones simples pu q tal que: n nPN
i) La aplicaci´on on t
X es
Ñ Þ }u ptq ´ uptq} n
T T
ii) Si l´ım
nÑ8
ż |
p q ´ uptq| dt “ 0.
un t
0
X
13
Lebesgue integrable
@ n P N.
1.7. 1.7. Sea 1
Loss Esp Lo Espac acio ioss Fun Funci cion onal ales es L p 0, T ; V
p
q
ď p ď `8 y V un espacio de Banach separable (esto por cuestiones
t´ecnicas). ecnic as). Definimos Defini mos el espacio: espac io: L p 0, T ; V
p
$& q “ % $’& “ ’ %
u : 0, T
s rÑ V ; u es medible de Bochner y t Ñ }uptq} P L p0, T q u : s0, T rÑ V ; u es medible de Bochner y }uptq} ă 8 p
V
T T
ż
P V
0
,. -, /. /-
con las operaciones usuales a clases de funciones L p 0, T ; V es un espacio vecto-
p
q
rial. Luego el funcional:
1
T T
ˆ ˙ ż “ } p q}
}u}
ut
Lp p0,T ;V q
0
en L p 0, T ; V define una norma, para 0
p
q
p V dt
p
, p
ď p ď 8 resulta que pL p0, T ; V q; }u}
Lp p0,T ;V q
es un espacio de Banach. 2
As´ı mism mi smoo para pa ra p
“ 2, y V es un espacio de Hilbert. Entonces L p0, T ; V q es un
espacio de Hilbert, con el producto interno T T
pu, vq
ż “ p p q 0
Est´a bien definido, puesto que t T T
ż p p q
V 1ˆ 1ˆV dt.
Ñ puptq, vptqq es Lebesgue medible y T T
p qq
u t ,v t
0
p qq
u t ,v t
L2 p0,T ;V q
V 1 ˆV dt
ż ď } p q} } p q} ż ż ă } p q} ` ut
V
v t
V dt
0
T T
0
1 ut 2
T T
2
V dt
0
1 v t 2
la cual induce la norma BOCHIANA (de Bochner) T T
}u}
ˆ ˙ ż “ } p q} ut
L2 p0,T ;V q
0
14
2
V dt
2
} p q}
1 2
.
V dt
ă8
q
Para el caso p L8
“ `8 definimos: u : s0, T rÑ V ; u es medible de Bochner y p0, T ; V q “ }u} “ supess|uptq| ă 8
$’& ’%
L8
V
tPs0,T r
,/. /-
El cual con las operaciones usuales es un espacio de Banach con la norma
“ supess|uptq|
}u}
L8 p0,T ;V q
V
tPs0,T r
Nota 1.3. En ambos casos L p 0, T ; V es un espacio de Banach.
p
q
p
0 Teorema 1.11. Si V V es un espacio de Banach, y 0
ă T ă ă 8. Entonces L L p0, T ; V q es separable en el caso que V sea separable y 1 ď p ă 8.
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
on V Teorema 1.12. Sean V, H dos espacios de Banach, si la inmersi´
Ď H es continua. Entonces para todo 1 ď q ą p ď 8, la inmersi´ on L p0, T ; V q Ď tamb i´en en continua. contin ua. L p0, T ; H q es tambi´ p
q
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
Teorema 1.13. Si V es un espacio de Banach, el espacio dual de L p 0, T ; V es
isomorfo al espacio Lq 0, T ; V 1 donde
p
q
1
1 ` “ 1 y 1 ď p, q ă ă 8. p q
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
p
q
Mayores Mayores detalles sobre los espacios L p 0, T ; V pueden ser encontrados en el libro
p
q
de E. Zeidler [15].
15
1.8. 1.8.
Distri Distribuc bucion iones es Vectori ectoriale aless
Sea u L p 0, T ; V , 1
q ď p ď `8, donde V es un espacio de Banach definimos la
P p
aplicaci´on on T u :
D
p0, T q Ñ Ñ Þ ϕ
V T T
ż y“
p q “ xT , ϕ
T u ϕ
u
pq pq
u t ϕ t dt.
0
en el sentid sentidoo de Bochner Bochner La cual est´ a definida, es lineal y continua. i) T u est´a bien definida Veamos: T T
ż y | ď | p q p q| ż ď } p q} | p q| ż ď | p q| } p q} ż ď } p q} ˆ ˙ ż ż ď pq } p q}
| xT , ϕ u
u t ϕ t dt
0
t
ut
V
ϕ t dt
0
m´ax ax ϕ t
ut
tPK
V dt
K “soppϕq
t
C K K
ut
V dt
0
t
1
C K K
t
1
p1
dt
0
ut
V dt
1
p
, para 1
0
ă p ă `8
1
“
p q }u}
C K K T
p1
ă `8
Lp p0,T ;V q
ii) T u es lineal y continua. T u es lineal; en efecto, por la linealidad de la integral
Veamos la continuidad de T u Sea la sucesi´on on ϕv
p q Ă Dp0, T q tal que ϕ Ñ 0 en Dp0, T q. v ě1
v
Es decir: Existe K
Ă Ă r0; T s compacto tal que soppϕ q Ă K , @ v ě 1 v
16
Dα ϕv
Ñ 0 uniformemente en K @ @ v P N
se tiene que T T
| xT , ϕ u
v
ˇ ˇ ż y | “ ˇ p q p qˇ ż ď | p q|| p q| ż ď | p q| } p q} u t ϕv t dt
0
t
u t ϕv t dt
0
m´ax ax ϕv t
ut
tPK
V dt
K
1
ax ax Lp p0,T ;V q m´ tPK
ď pT q }u} p1
puesto que u
α
|ϕ ptq| Ñ 0 v
} } ă 8 y D ϕ Ñ 0 uniformemente en K . | xT , ϕ y | Ñ 0 en R Por lo tanto |x puesto que }u} ă 8 y D ϕ Ñ 0 uniformemente en K | xT , ϕ y | Ñ 0 en R por lo tanto |x Lp p0,T ;V q u
v
α
Lp p0,T ;V q u
v
v
v
Luego T u es continua. As´ As´ı podemos po demos construir el espacio: 1
p0, T ; V q “ tT : Dp0, T q Ñ V ; T es lineal y continuau donde D p0, T ; V q es llamado el espacio de las distribuciones vectoriales con valores en V definidas sobre s0; T r. D
1
1.8. 1.8.1. 1.
Deri Deriv vaci´ aci´ on o n en D 0, T ; V 1
p
q
1
Dada una distribuci´ on on vectorial u
P D p0, T ; V q, definimos la derivada en el sen-
tido de las distribuciones vectoriales, denotando por u1 o du como: dt
B F “ ´ B F @ du ,ϕ dt
u,
dϕ dt
ϕ
P Dp0, T q, en V. V .
en general la derivada de orden “n”se define como:
B
dpnq u ,ϕ dtn
pq
dpnq ϕ u, dtn
F “ p´ q B 1
n
17
F @
ϕ
P Dp0, T q, en V. V .
En particular todo elemento u L p 0, T ; V posee derivada de todos los ordenes o´rdenes
P p
q
en el sentido de las distribuciones vectoriales sobre 0; T .
s r
1.9. 1.9.
Definic Definicion iones es de Conv Convergenc ergencias ias
Sea V un espacio de Banach y V 1 su espacio dual. 1. Una sucesi sucesi´on o´n uγ
p q Ď V , se dice que converge fuertemente en V , si existe γ ě1
u V ;
P
|u ´ u| Ñ 0, si γ Ñ Ñ `8 ϕ
2. Una sucesi´on on uγ
V
p q Ď V , converge d´ebilmente ebilme nte en V , si existe u P V tal γ ě1
que γ V 1ˆ 1ˆV ;
xv, u y en este caso denotaremos u á u .
@ v P V
1
γ
3. Una sucesi sucesi´on o´n uγ
1
1
1
ebil estrella estre lla en V , si existe u P V ; p q Ď V , converge d´ebil γ ě1
xu , w y γ
en este caso se denota uγ
V 1 ˆV
V 1 ˆV ;
Ñ xu, wy
@ w P V
˚
á u.
1.10 1.10..
Resu Result ltad ados os Impor Importa tan ntes tes
1.10 1.10.1 .1..
Operad Operador ores es line lineal ales es
Sean E y F dos espacios vectoriales normados, se designa con L E, F el espacio
p
de operadores lineales y continuos de E en F . As´ı L
pE, F q “ tT : E Ñ Ñ F ; T es lineal y continua continuau 18
q
con las operaciones usuales de un espacio vectorial, con el funcional:
“ sup ||T x||
x F
|T |
LpE,F q
resulta que
xPE x‰0
E
pLpE, F q; | ¨ | q es un espacio de normado. “ F , denotaremos LpE, F q “ LpE q. En el caso en que E “ LpE,F q
Observaci´ on on 1.8.
i) Si T : E
on acotada entonces @ A Ď E acotado, T pAq es Ñ Ñ F es una aplicaci´on
acotado en F . ii) T : E
Ñ
F es lineal y continua si y solo si, existe un M
ą 0 tal que
|T | ď M |x| , @ x P E . x F
E
Mayores detalles ver H. Brezis [2].
1.10 1.10.2 .2..
El espa espaci cio o dua duall
Sea E un un espacio de normado, se denomina el espacio dual del espacio de normado de E . Denotado E 1 a: E 1
“ tf : E Ñ Ñ R; f es
linea lineall y conti continu nuaa
u
con el funcional:
| xf, xy | |x| “ sup| xf, xy |
| “
f E 1
sup
xPE x‰0
E
xPE x‰0
Para f E 1 , denotamos f x
P P
p q “ xf, xy
E 1 ˆE .
Teorema 1.14. E 1 es un espacio de Banach.
Yosida [8]. [8]. Demostraci´ on on. Ver Kosaku Yosida sea un espacio de Banach. Observaci´ on on 1.9. El teorema no exige que E sea 19
1.10 1.10.3 .3..
Operad Operador or Hil Hilber bertt Adju Adjun nto
Sean H 1 y H 2 dos espacios de Hilbert, A L H 1 , H 2 . El operador Hilbert Adjunto
P p
A1 de A es el operador A1 : H 1
q
1
Ñ H tal que pAx,yq “ px, A yq @ x P H 2
1
y y H 2
P
Teorema 1.15 (Teorema de existencia). El operador Hilbert Adjunto A1 de A
existe y es ´ unico. A1 L H 1 , H 2 , que verifica A1
P p
| | | “ |A|.
q
Showalter ter [14] Demostraci´ on on. Ver R.E. Showal
Definici´ on on 1.8. Sea H un espacio de Hilbert. Un operador A
P LpH q se dice
que es autoadjunto (o hermitiano), si: A1
“ A
Definici´ on on 1.9. Sea H un espacio de Hilbert. Un operador A
P LpH q se dice
que es sim´etrico etr ico si:
pAx,yq “ px,Ayq @ x, y P H au toadjunto unto y sim´ si m´etrico etric o tenemo t enemos: s: Observaci´ on on 1.10. Si A es autoadj 1
pT x , yq “ px, T yq “ px , T yq “ pT y , xq Definici´ on on 1.10. Sea H un espacio de Hilbert. Un operador A
P LpH q se dice
que es coercivo si: 2
D c ą 0, tal que pAx,xq ď c|x| @ x P H Teorema 1.16. Supongamos que V sea separable, sea A un operador compacto
y autoadjunto, entonces V admite una base hilbertiana formada por lo vectores propios de A Breziss [2] Demostraci´ on on. Ver H. Brezi
20
1.10.4 1.10.4..
Formas ormas biline bilineale aless
Consideremos el espacio de Hilbert V real, dotado del producto interno
pp , qq y
la norma
} ¨ }, se dice que una forma bilineal a : V ˆ ˆ V Ñ R es:
i) Continua Continua:: si λ
D ą 0, |apu, vq| ď λ}u}}v} @ u, v P V
ii) Coercivo: 2
Si λ
D ą 0, apu, uq ě λ}u} @ u P V
iii) Sim´etrico etr ico:: Si a u, v
p q “ apv, uq @ u, v P V
Teorema 1.17. Sea V un espacio de Hilbert real separable. dotado del producto
interno
pp , qq y la norma } } ¨ }, entonces existe una correspondencia uno a uno con el operador lineal continuo y autoadjunto A : V Ñ V y la forma bilineal etrica y coerciva, coerciva, la cual es dada por: ˆ V Ñ R, continua sim´etrica a : V ˆ 1
xAu,vy
V 1 ˆV
“ apu, vq @ u, v P V
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
espacios de Hilbert ( V Teorema 1.18 (Teorema Espectral). Sean V V y H espacios V separable) con sus respectivas estructuras V ; V
t t pp , qq, }¨}u y t tH ; p , q, |¨|u con inmersi´ on Ñ H compacta y densa. Si A : V Ñ V es un operador lineal continuo y 1
ã
autoadjunto, definido
xAu,vy
V 1 ˆV
“ apu, vq @ u, v P V
con a u, v una forma bilineal continua sim´etrica etrica y coerciva. coerciva. Entonces
p q
i) Existe un sistema sistema ortonormal comple completo to wi
p q
pios del operador del operador A. 21
iPN formado
por los vectores pro-
ii) Los valores valores propios λi asociados a wi forman una sucesi´ on no decreciente 0
ď λ ď λ ď λ ď ¨¨ ¨ ď λ ď ¨¨¨ ¨ ¨ Ñ 8 1
2
3
i
y cumple la relaci´ on
p
a wi , v
q “ xAw , vy i
V 1 ˆV
“ λ pw , vq @ u, v P V. V . i
i
Showalter er [14]. Demostraci´ on on. Ver E. Showalt
Observaci´ on on 1.11. 1.11. Si a u, v
V cumple
p q “ ppu, vqq
las condiciones del teorema
anterior, tenemos
ppu, vqq “ xAu,vy V
Sea A : V
V 1 ˆV
“ λ pu, vq @ u, v P H i
H
Ñ W un operador lineal, con V, W espacios de Hilbert, entonces las
dos condiciones condiciones siguientes siguientes son equivalen equivalentes tes i) A es acotado, si existe una constante λ
ą 0 tal que
}Au} ď λ}u} ii) A es continua, es decir un
Ñ u con n Ñ 8, implica Au Ñ Au, cuando n
Ñ 8.
n
Teorema 1.19. Sea V V , W espacios de Hilbert, si A A : V
Ñ W es lineal y continua entonces A es d´ebil ebi l sucesi´ sucesi on ´ y continua, es decir u á u con n Ñ 8 , implica. Au á Au, cuando n Ñ 8 Ω Ă R abierto y f Teorema 1.20 (Teorema de Caratheodory). Sea Ω f : Ω Ñ R n
n
n`1
tal que satisface las siguientes condiciones sobre Ω. i) f t, x es medible en t para cada x fijo.
p q
ii) f t, x es continua en x para cada t fijo.
p q
22
n
iii) Par Paraa cada conjunto onjunto K compacto compacto de Ω, existe una funci´ on real real integrable integrable mK t tal que
pq
|f pt, xq| ď m ptq, @ pt, xq P K Rn
Entonces el problema
$& %
K
x1 t
p q “ f pt, xq xpt q “ x pt , x q P Ω tiene soluci´ on para cualquier p 0
0
0
0
Coddington-Levinson son [4]. [4]. Demostraci´ on on. Ver Coddington-Levin
Teorema 1.21 (Teorema de Lions-Aubin). Sean B0 , B y B1 espacios de Banach
con B0 y B1 reflexivos, si B0
Ñ B y la inmersi´ on de B en B es compacta, ą 0 se tiene el espacio entonces para todo 1 ď p , p ă 8, T ą 0
ã
1
0
1
“ “ tv; v P L p0, T ; B q, v “ dv P L p0, T ; B qu dt p0
W
1
0
p1
1
dotado de la norma
}v }
2
“ }v}
2
Lp0 p0,T ;B0 q
W r0,T s
1 2
` }v }
Lp1 p0,T ;B1 q
es un espacio de Banach reflexivo y la inmersi´ on W W
p0
Ñ L p0, T ; Bq es compacta.
ã
Lionss [9]. [9]. Demostraci´ on on. Ver J. Lion
1
Lema 1.1 (de Gronwall). Sea z
“ “ z ptq, z ě ě 0 pz P P L p0, T qq tal que t
p q ď K ` K
z t
1
2
ż p q
z s ds,
0
@ t P p0, T q,
entonces
p q ď K exppK tq, @ t P p0, T q.
z t
1
2
Sotomayor or [13] Demostraci´ on on. Ver J. M. Sotomay
23
Ω un abierto y acotado de Rn , entonces Teorema 1.22 (Teorema de Rellich). Sea Ω un la inmersi´ on H 0m`1 en H 0m es compacta. Medeiros - M. Milla Milla [10]. Demostraci´ on on. Ver L. Medeiros
espacios de Banach y de Hilbert respectivamente con Teorema 1.23. Sean V, H espacios V
1
Ñ H “ “ H Ñ V
ã
ã
1
consideremos el espacio de Banach p1
1
p
W p 0, T
1
p q “ tu P L p0, T ; V q, u P L p0, T ; V qu
con la norma
}u}
“ }u}
Lp p0,T ;V q
W p p0,T q
1
` }u }
1
Lp p0,T ;V 1 q
Se tiene i) W p 0, T
p q Ñ C pp0, T q; H q; D c ą 0{|u| ã
0
ii) Si u on t u W p t p 0, T entonces la aplicaci´
P p q en r r0, T s y se verifica lo siguiente: d ut dt
2
ď c }u}
C pp pp0,T q;H q
Ñ Þ |uptq|
0
2
H es
@ u P W p0, T q
W p p0,T q
p p
absolutamente continua
1
| p q| “ 2 xu ptq, vptqy H
Zeidlerr [15]. [15]. Demostraci´ on on. Ver E. Zeidle
24
Cap´ıtulo 2 Solu Soluc cion iones D´ ebil ebile es En este cap´ cap´ıtulo dedicado a probar la existencia y unicidad de soluciones d´ebiles ebiles para el siguiente problema
con
ˇˇ ˇˇ ˇˇ
u2
1
en H
` Au ` u “ f up0q “ u u p0q “ u p
(2.1)
en V
0
en H
1
u0 v, v , u1 H y f L 1 0, T ; H acotado
P
Donde A : V
Ñ V
1
P
P P p
q
(2.2)
un op operador erador lineal, acotado, acot ado, autoadjunto, a utoadjunto, sim´etrico etrico y coercivo; co ercivo;
V y H dos espacios de Hilbert separable real tal que V
Ď H con inmersi´ inmersion o´n
continua, compacta y densa. on on u : 0, T Definici´ on on 2.1. Una funci´
s rÑ H satisfaciendo u P L p0, T ; V q u P L p0, T ; H q u P L p0, T ; V q 8
1
8
2
8
1
es llamada soluci´on on d´ebil ebil del d el problema pr oblema (2.1), si para p ara todo ω V , se tiene
P d pu ptq, ωq ` pAuptq, ωq ` pu ptq, ωq “ pf ptq, ωq dt 1
1
25
en el sentido de las distribuciones sobre 0, T y adem´as as u0
p q “ u
0
s r y u p0q “ u 1
1
Teorema 2.1. Satisfaciendo las condiciones (2.2). Entonces el problema (2.1)
admite una unica ´ soluci´ on d´ebil ebil en el sentido de la definici´ on 2.1. Demostraci´ on del Teorema 2.1. on
Para probar la existencia de soluci´ on on d´ebil ebil mdel problema (2.1) utilizaremos el m´etodo etodo de Faedo-Galerkin que consiste de las siguientes etapas: etap as: (i) Aproximaciones de Galerkin, Galerkin, que consiste en proyectar el problema de subespacios de dimensi´on on finita obteniendo el problema aproximado. Este a su vez es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales cuya existencia de soluci´ on on local ser´a garantizada por el teorema de Caratheodory. (ii) Estimativ Estimativas as a priori, que consiste consiste que atrav´ atrav´es es de la ecuaci´ on aproximada encontrar enco ntrar l´ımites ımite s para p ara la soluci´ soluc i´ on on y sus derivadas. (iii) Pasaje al l´ımite, que consiste en demostrar que las soluciones soluciones aproximadas aproximadas convergen para la soluci´ on del problema original. on (iv) Verificaci´ erificacion o´n de los datos iniciales, que consiste en verificar que la soluci´on on obtenida en la etapa anterior satisface los datos iniciales. Sea w j
j PN las
p q
autofunciones del operador lineal A, es decir, soluciones del pro-
blema espectral
ppω , vqq “ λ pω , vq; @ v P V ; j P N j
2.1. 2.1.
j
j
Prob Proble lema ma Apro Aproxi xima mado do
Como V y H son espacios de Hilbert tal que V compacta y densa. 26
Ď H con inmersi´on on continua,
Siendo V separable. Sea ω j i)
ˇˇ } } “ ˇˇ pp qq “ 1
ω j
ωi , ω j
j PN una
p q @ j P N @i ‰ j
0
base Hilbertiana de V ; es decir:
ii) El espacio vectorial generado por los ω j La existencia de los ω j
a j PN est´
denso en V .
garantizada por el teorema espectral.
p q
Para m
j PN es
p q
P N, consideremos “ rω , ω , ¨ ¨ ¨ , ω s
V m
1
2
m
El subespacio de V de dimensi´on on finita generado por los “m”primeras autofunciones de la base. Definamos m
ÿ p q“
um t
p q P V
g jm t ω j
j “1
m
Donde las funciones g jm t son escogidas de modo que um
pq
(2.3)
mPN sea
p q
soluci´on on del
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. 2
1
pu ptq, ωq ` pAu ptq, wq ` pu ptq, ωq “ pf ptq, ωq; ω P V m
m
m
m
(2.4)
con condiciones iniciales um 0
0m
(2.5)
u1m 0
p q “ u Ñ u en H Ahora de (2.3) y(2.4) y si ω “ ω @ i “ 1 , 2, ¨ ¨ ¨ , m. Obtenemos 1m
(2.6)
p q “ u Ñ u
0
en V
1
i
˜ÿ m
¸ ˜ ˜ÿ m
2 g jm t ω j , ωi
pq
j “1
`
A
j “1
¸ ¸ ˜ÿ ` m
pq
g jm t ω j
ωi
j “1
1 g jm t ω j , ωi
pq
¸
“ pf ptq, ω q; ω P V i
(2.7)
Se sigue de (2.7) m
ÿ
j “1
m
2
p qp
g jm t ω j , ωi
ÿ q`
j “1
m
p qp
g jm t Aω j , ωi
ÿ q`
j “1
27
i
1 g jm t ω j , ωi
p qp
q “ pf ptq, ω q i
m
2 g jm t ωi , ωi
1
p qp q ` g ptqpAω , ω q ` g pω , ω q “ pf ptq, ω q g ptq ` λ g ptq ` g ptq “ pf ptq, ω q, @ i “ 1 , 2, ¨ ¨ ¨ , m Luego el sistema (2.8) admite soluci´ on on en r0, T r, 0 ă T ă T ; es decir g ptq ` λ g ptq ` g ptq “ pf ptq, ω q g ptq ` λ g ptq ` g ptq “ pf ptq, ω q 2
im
i
im
1
i im
im
i
i
i
m
2 1m
1 1m
1 1m
1
2 2m
2 2m
1 2m
2
.. .
2 gmm t
(2.8)
i
im
m
ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ » —— `— —–
i
p q`λ
m gmm
1
(2.9)
ptq ` g ptq “ pf ptq, ω q m
mm
Ordenando Ordenando matricialmen matricialmente te (2.9) obtenemos obtenemos
» —— ——–
g12m
fi p qffi p qffi ffiffifl t
g22m t
.. .
2 gmm t
pq
mˆ1
λ1
0
0 .. .
λ2
0
0
¨¨¨ ¨¨¨
0
¨¨¨
λm
..
0 ...
.
Denotando en (2.10)
» —— pq“— —–
Y t
fi p qffi p qffi ffiffifl
» —— “ — —–
g1m t g2m t
.. .
pq
gmm t
; B
mˆ1
fi ffiffi ffiffifl
λ1
0
0 .. .
λ2
0
0
» —— ——–
mˆm
f t , ω1
g2m t
.. .
pq
gmm t
0 0 ...
.
...
λm
Luego el sistema (2.8) ser´ a de la forma Y 2 t
»p p q —— p p q “— —–
g1m t
¨¨¨ ¨¨¨ ..
fi p qffi p qffi ffiffifl fi ffiffi ffiffifl
f t , ω2
.. .
pf ptq, ω q
mˆ1
p
m
ÿ p q“
U m 0
m
ÿ “ p
g jm 0 ω j y u0m
j “1
pq
j “1
p q “ pu , w q 1 ď j ď m 0
28
j
q
uo , ω j ω j
De donde tenemos g jm 0
.. .
fiq ffiq ffi ffiffifl
pf ptq, ω q
mˆm
Como u0 V . Entonces
P
f t , ω2
; F t, W
Por otro lado: 0m ,
mˆ1
f t , ω1
1
p q “ u
m
(2.10)
»p p q —— p p q q“— —–
p q ` BY ptq ` Y ptq “ F pt, W q
1) Supongamos que um 0
fiq ffiq ffi ffiffifl
m
mˆ1
(2.11)
2) Supongamos que u1m 0
p q “ u
1m ,
como u1 H . Entonces
P
m
m
ÿ p q“
1
um 0
1
ÿ “ p
g jm 0 ω j y u1m
j “1
pq
q
u1 , ω j ω j
j “1
De donde tenemos 1 0 g jm
p q “ pu , ω q 1 ď j ď m 1
j
Luego de 1) y 2) tenemos
» —— p q“— —– » —— p q“— —–
fi p qffi p qffi ffiffifl pq fi p qffi p qffi ffiffifl
g1m 0
pq
Obtenemos el sistema
mˆ1
Y 2 t
mˆm Y
Y 1
1
1
m
ptq ` F pt, W q
(2.12)
0
1
1
p q “ ´BY ptq ´ I Y ptq “ θ Y ptq ` I Y p0q “ Y Donde θ : Matriz nula m ˆ m 1
.. .
pu , ω q
p q “ ´BY ptq ´ I Y p0q “ Y Y p0q “ Y
Y 2 t 1
Y 0
u0 , ωm
u1 , ω2
.. .
1 0 gmm
.. .
fiq ffiq ffi ffiffifl “ q fiq ffiq ffi ffiffifl “
u1 , ω1
g21 m 0
Y 0
ˇˇ ˇˇ ˇ
mˆ1
g11 m 0
1
Entonces
u0 , ω2
.. .
gmm 0
ˇˇ ˇˇ ˇˇ
u0 , ω1
g2m 0
Y 0
»p —— p “— —– p »p —— p “— —–
mˆm
mˆm
1
I mˆm : Matriz identidad m
ˆm 29
1
ptq ` F pt, W q Y ptq ` θ Y p0q “ Y
mˆm Y
1
mˆm
0
(2.13)
Tomando
» p qfi p q“– fl pq Y 1 t
xt
Y t
2mˆ1
Supongamos que x t sea soluci´ on on de (2.13). Entonces
pq
» p qfi – p qfl Y 2 t
I
1
Y t
»´ ´ fi » p qfi fl – p qfl “–
2mˆ1
De lo cual
G
Y 1 t
B
I
θ
»´ ´ fi fl “– » p qfi p q“– fl pq I
B
I
θ
Y t
2mˆ2m
Considerando T : R2m
θ
» p qfi fl p q“– »fi “– fl “
2mˆ1
y0
(2.14) 2mˆ1
F t, w
y1
Luego el sistema (2.13) se puede escribir
ˇˇ ˇˇ
2mˆ1
θ
2mˆ2m
y 0
F t, w
; F t, w
y1 0
x0
» p qfi fl `– 2mˆ1
x 0
2mˆ1
x1 t
p q “ Gxptq ` F pt, wq (2.15) xp0q “ x ˆ R Ñ R tal que T px, tq “ Gxptq ` F pt, wq y reempla0
2m
zando en (2.15). Obtenemos
ˇˇ ˇˇ
x1 t
p q “ T px, tq xp0q “ x
(2.16)
0
Mostraremos que el sistema (2.16) cumple las condiciones del Teorema de Carath ra th´´eodo eo dory. ry. Sea E
“ “ r0, `8r, donde 2m
“ tx P R : }x} ď αu
D
con α una constante positiva y x0 D
P
Veamos 30
R2m
a) T x, t es medible en t para x fijo. En efecto fijando x obtenemos que T x, t es
p q
p q
constante, como toda funci´ on constante es medible; entonces T x, t es medible on
p q
para t
Ps0, T r.
b) T x, t es continua en x para t fijo. En efecto si t es fijo entonces x ta t ambi´ mb i´en
p q
es fijo; luego T x, t es constante por tanto continua en x.
p q
c) Para cada compacto K de E existe existe una funci´on on real integrable I x t , tal que
pq
}T px, tq} ď I ptq; @ px, tq P K R2m
x
En efecto Como x D , tenemos x
} } ď α. Entonces
P
}T px, tq} }T px, tq} }T px, tq} }T px, tq} }T px, tq}
R2m
“ }Gxptq ` F pt, wq} ď }Gxptq} ` |}F pt, wq}| ď |}G}| }x} ` |}F pt, wq}| ď α|}G}| ` |}F pt, wq}| ď αβ ` ` σ “ I ptq
R2m
R2m
R2m
R2m
R2m
R2m ˆR2m
R2m
R2m ˆR2m
R2m
R2m ˆR2m
R2m
R2m ˆR2m
R2m ˆR2m
k
Donde
“ “ |}G}|
β
R2m ˆR2m
; σ
“ |}F pt, wq}|
R2m ˆR2m
Como I k t es una constante en un compacto K de E . En Entonc tonces es I k t es
pq
integrable para todo t
pq
ě 0.
Podemos concluir que el problema (2.16) satisface las condiciones del Teorema de Carath´eodory. eodory. De esta forma, existe x soluci´on o n en 0, T m ; T m
ă T y por tanto on del problema aproximado (2.4)-(2.6) en el intervalo r0, T r. on u es soluci´ Su extensi´ on on al intervalo r 0, T s es consecuencia de las estimativas a priori que r
m
r
m
seguiremos a continuaci´ on. on.
31
2.2. 2.2.
Esti Estima mati tiv vas a Prio Priori ri
2.2.1. 2.2.1.
Primer Primera a Esti Estimat mativ iva a a Priori Priori 1
En (2.4) tomando ω
“ u ptq P V . Obtenemos
2
m
m
1
1
1
1
1
pu ptq, u ptqq ` pAu ptq, u ptqq ` pu ptq, u ptqq “ pf ptq, u ptqq 1d 1d | pAu ptq, u ptqq ` |u ptq| “ pf ptq, u ptqq u ptq| ` 2 dt 2 dt 1d t|u ptq| ` pAu ptq, u ptqqu` qu ` |u ptq| ` pf ptq, u ptqq 2 dt m
m
m
1
m
2
m
1
m
2
m
m
Integrando de 0 a t; t
1
m
m
m
1
1
2
m
m
m
m
1
2
m
m
Ps0, T r, T ă T m
m
t
1
2
|u ptq| `pAu ptq, u m
1
m
2
m
t
ż p qq` | t
2
1
1
m
m
m
m
0 , um 0
f t , u1m t dt
2
0
t
2
|u ptq| `pAu ptq, u ptqq` 2|u | m
2
p q| dt “ |u p0q| `pAu
um t
0
1
2
ż p q p qq` p p q p qq ż ` q` p p q p qq ż q` | p q|| p q|
m L2 p0,T ;H q
2
“ |u | `pAu 1m
0m
u0m
2
0
f t , u1m t dt
t
1
2
1
2
|u ptq| `pAu ptq, u ptqq` 2|u | m
m
m
m L2 p0,T ;H q
2
ď |u | `pAu 1m
0m , u0m
f t u1m t dt(2.17)
2
0
Observaci´ on on 2.1. 2
|u | ` pAu 1m
0m , u0m
q ď c
1
donde c1 constante arbitraria En efecto (a) u1m
Ñ u en H ; si m Ñ 8. Entonces |u | Ñ |u | en R Entonces pu q es acotado 1
1m
1
1m
Es decir,
|u | ď c ; c ą 0 1m
0
32
0
(2.18)
(b) u0m
Ñ u en V , si m Ñ 8. Entonces }u } Ñ }u } en R Entonces pu q es acotado o
0m
0
0m
Es decir,
}u } ď cˆ ; cˆ ą 0 0m
0
(2.19)
0
Luego (c)
pAu
0m , u0m
Nota 2.1. Como A : V
1
q ď |Au ||u | 0m
0m
(2.20)
D ą 0 { |Au| ď M y V Ď H con inmersi´on on continua, es decir, D M ą 0 { |u| ď M }u} @ u P V . Ñ V
operador lineal acotado, es decir, M 1 2
1
2
Por Nota 2.1 en (2.20) tenemos
pAu
0m , u0m
q ď M M }u } 1
2
0m
(2.21)
Por (2.19) en (2.21), tenemos
pAu pAu
0m , u0m 0m , u0m
Donde cˆ1
q ď q ď
M 1 M 2 ˆ c0 cˆ1
(2.22)
“ M M ˆc ; cˆ ą 0 1
2 0
1
Por (2.18) y (2.22), obtenemos 2
|u | ` pAu 1m
Donde c1
0m , u0m
q ď c
1
“ c ` cˆ ; c ą 0 0
1
1
Observaci´ on on 2.2. Sabemos que
|a||b| ď 21 |a| ` 12 |b| 2
2
Entonces
|f ptq||u ptq| “ |f ptq| p|f ptq| |u ptq|q ď 21 |f ptq| ` 12 |f ptq||u ptq| 1
m
1{2
1{2
1
m
33
1
m
2
Integrando de 0 a t, t
Ps0, T r, T ă T . Obtenemos m
m
p q| ď
1 2
p q| ď
1 2
t
ż | p q|| ż | p q||
1
f t um t dt
0
t
1
f t um t dt
0
t
t
1 2
ż | p q| ` ż | p q|| ż | p q| ` ż | p q|| f t dt
0
t
0
2
f t u1m t
2
p q| dt
0
t
1 2
f t dt
f t u1m t
p q| dt
0
Observaci´ on on 2.3. t
ż | p q| “ | | f t dt
f L
1
“ c
p0,T ;H q
0
2
Donde c2 es una constante arbitraria
Luego por la observaci´ on 2.1, 2.2 y 2.3 en (2.17). Obtenemos on t
1
2
1
|u ptq| ` pAu ptq, u ptqq ` 2|u | m
m
m
2
ď c
m L2 p0,T ;H q
ż ` ` | p q|| p q| ż ` | p q|| p q| f t u1m t
c2
1
2
dt
0
t
1
2
1
|u ptq| ` pAu ptq, u ptqq ` 2|u | m
m
m
2
ď c
m L2 p0,T ;H q
3
0
t
1
2
|u ptq| ` pAu ptq, u ptqq ď c m
m
m
3
ż ` | p q||
f t u1m t
f t u1m t
2
p q| dt
0
2
dt
(2.23)
Denotemos 1
2
p q “ |u ptq| ` pAu ptq, u ptqq
φm t
m
m
m
Vemos que
p q ą 0 |u ptq| ď φ ptq φm t
1
2
m
m
(2.24)
Entonces en (2.23), tenemos t
p q ď c
φm t
3
ż ` | p q|| 0
f t u1m t
2
p q| dt
(2.25)
De (2.24), obtenemos t
ż | p q|| 0
t
1
p q|
f t um t dt
ż ď | p q|
34
pq
f t φm t dt
0
(2.26)
De (2.26) en (2.25), obtenemos t
p q ď c
φm t
ż ` pq
pq
λ t φm t dt
3
0
Donde f t
| p q| “ λptq
Por Lema de Gronwall en (2.26) tenemos t
p q ď c exp
φm t
4
ż p q ż p q
λ s ds
0
T T
p q ď c exp
φm t
4
Es decir
λ s ds
0
T T
1
2
|u ptq| ` pAu ptq, u ptqq ď c exp m
m
4
m
Por coercividad de A tenemos 1
2
2
ż
p q “ c
λ s ds
0
5
|u ptq| ` α}u ptq} ď c @ t Ps Ps0, T ; T ă T r Observaci´ on on 2.4. En la desigualdad anterior c ą 0 es independiente de m y t, m
m
5
m
m
5
luego por el teorema de prolongamiento de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, se obtiene que es posible prolongar la soluci´ on on um al intervalo 0, T ,
r s
es decir 1
2
2
|u ptq| ` α}u ptq} ď c @ t P r0, T s m
m
5
As´ As´ı tenemo ten emoss que 8
pu q est´a acot acotado ado en L p0, T ; V q pu q est´a acot acotad adoo en L p0, T ; H q m
8
m
2.2.2. 2.2.2.
(2.27)
(2.28)
Segund Segunda a Estima Estimativ tiva a a Prio Priori ri
En (2.4) tomando ω
2
“ u ptq P V , obtenemos pu ptq, u ptqq ` pAu ptq, u ptqq ` pu ptq, u ptqq “ pf ptq, u ptqq |u ptq| ď |pAu ptq, u ptqq| qq| ` pu ptq, u ptqqq qqq ` |p|pf ptq, u ptqq| |u ptq| ď |Au ptq||u ptq| ` |u ptq||u ptq| ` |f ptq||u ptq| (2.29) 2
2
m
2
2
2
m m
m
m
2
m
m
m
m
2
1
m
2
1
m
2
m
2
m
m
35
m
2
m
1
2
m
2
m
2
m
m
2
m
Nota 2.2. Como f L 1 0, T ; H acotado, es decir,
P P p
q
D c ą 0 tal que |f ptq| ď c @ t P r0, T s 6
6
Entonces considerando nota 2.1 y 2.2, adem´ as por la primera estimativa a priori as (2.28) en (2.29), obtenemos 1
2
2
2
2
|u ptq| ď M |u ptq| ` c |u ptq| ` c |u ptq| m
Sea R
1
5
m
6
m
m
“ M ` c ` c . Luego de la desigualdad anterior tenemos 1
5
6
2
|u ptq| ď R; 0 ď t ď T
m
(2.30)
Nota 2.3. Por dualidad, si identificamos H con su dual H 1, gracias al teroema
de representaci´ representaci´ on on de Riesz obtenemos V
1
Ď H ” ” H Ď V
1
donde cada espacio es
denso en el siguiente y las inmersiones son continuas. Entonces, considerando nota 2.3 en (2.30) tenemos 2
}u ptq} ď c @ t P r0, T s V 1
m
3
As´ As´ı tenemo ten emoss que 2
acot acotad adoo en L 8 0, T ; V
pu ptqq est´a
p
m
2.3.
q
(2.31)
Pasaje al L´ L´ımite
De la primera estimativa a priori (2.27) y (2.28) podemos asegurar la existencia de una subsucesi´ on on umk
p q
kPN de
mPN ,
p q
˚
˚
1
tal que
8
(2.32)
8
(2.33)
á u en L p0, T ; V q á u en L p0, T ; H q
um u1m
la sucesi´on on um
De (2.32), para todo ω L 1 0, T ; V tenemos
P p
xu ptq, ωy m
q
Ñ xuptq, ωy
L8 p0,T ;V qˆ qˆL1 p0,T ;V 1 q
36
L8 p0,T ;V qˆ qˆL1 p0,T ;V 1 q
T T
T T
ż x ż pp ż p
pq y
um t , ω
0
ż Ñ x p q y ż Ñ pp p q qq ż Ñ p pq q
V ˆV 1 dt
T T
u t ,ω
V ˆV 1 dt
0
T T
p q qq
um t , ω dt
0
u t , ω dt
0
T T
T T
pq q
Aum t , ω dt
0
Au t , ω dt
0
En particular tomando ω t
p q “ ϕptqv; ϕ P D p0, T q, v P V
T T
ec234
T T
ż p
pq q pq
Aum t , v ϕ t dt
0
ż Ñ p
pq q pq
Au t , v ϕ t dt
0
(2.34)
Observaci´ on on 2.5. 1
pAu ptq, vq P L p0, T q para todo v P V m
ℓoc
En efecto Sea K
Ăs Ăs0, T r un conjunto compacto tal que
ż |p
p q q|
Aum t , v dt
K
ż ď |
p q|| |
Aum t v dt
K
v
p q|
Aum t dt
k
T T
ż |p
p q q|
Aum t , v dt
k
Por lo tanto
ż “| | |
ż ď|| | v
p q| ă 8
Aum t dt
0
1
pAu ptq, vq P L p0, T q m
ℓoc
Entonces Entonces considerando considerando la observaci´ observaci´ on 2.5 en (2.34) tenemos on
xpAu ptq, vq, ϕy m
Ñ xpAuptq, vq, ϕy
D1 p0,T qˆD p0,T q
D 1p0,T qˆD p0,T q
@ ϕ P D p0, T q
Es decir 1
pAu ptq, vq Ñ pAuptq, vq @ v P V en D p0, T q De (2.33), para todo ω P L p0, T ; H q tenemos m
1
1
1
1
xu ptq, ωy
Ñ xu ptq, ωy
T T
ż Ñ x p q
L8 p0,T ;H qˆ qˆL1 p0,T ;H 1 q
m
ż x 0
L8 p0,T ;H qˆ qˆL1 p0,T ;H 1 q
T T
1
pq y
um t , ω
H ˆH 1 dt
u1 t , ω
0
37
y
H ˆH 1 dt
(2.35)
T T
ż p
T T
ż q Ñ p p q
1
1
pq u t , ωqdt En particular tomando ωptq “ ϕ ptqv; ϕ P D p0, T q, v P V um t , ω dt
0
T T
ż p 0
0
T T
1
ż q p q Ñ p p q
pq
u1 t , v ϕ t dt
um t , v ϕ t dt
q pq
0
(2.36)
Observaci´ on on 2.6. 1
1
pu ptq, vq P L p0, T q para todo v P V m
ℓoc
En efecto Sea K
Ăs Ăs0, T r un conjunto compacto tal que
ż |p
ż q| ď |
u1m t , v dt
pq
K
u1m t v dt
p q|| |
K
u1m t dt
v
K
p q|
T T
ż |p p q 1
q|
u t , v dt
K
Por lo tanto
ż “|| |
ż ď|| | v
u1m t dt
p q| ă 8
0
1
1
pu ptq, vq P L p0, T q m
ℓoc
Entonces, considerando observaci´ on 2.6 en (2.36) tenemos on 1
xpu ptq, vq, ϕy m
1
Ñ xpu ptq, vq, ϕy
D1 p0,T qˆD p0,T q
D 1 p0,T qˆDp0,T q
@ ϕ P D p0, T q
Es decir 1
1
1
pu ptq, vq Ñ pu ptq, vq @ v P V en D p0, T q m
(2.37)
Ahora por continuidad del operador derivaci´ on on en (2.37) d 1 u t ,v dt m
p p q q Ñ dtd pu ptq, vq @ v P V en D p0, T q 1
1
Observaci´ on on 2.7. En resumen tenemos de (2.29), (2.31) y (2.32)
i) Aum t , v
p
p q q Ñ pAuptq, vq
ii) u1m t , v
1
p p q q Ñ pu ptq, vq 38
(2.38)
d 1 u t ,v dt m
p p q q Ñ dtd pu ptq, vq Para todo v P V en D p0, T q
iii)
1
1
Con estas estas conve convergen rgencia ciass veamo veamoss el paso al l´ımite ımite de la ecuaci´ ecuaci´ on aproximada, fijamos un m0
P N y tomamos m ě m ; multiplicamos la ecuaci´on on aproximada por ϕptq P D p0, T q e integramos de 0 a T T T
ż p
0
T T
2
pq
um t , v ϕ t dt
0
T T
ż q pq ` p
pq
Aum t , v ϕ t dt
0
T T
ż q pq ` p
1
pq q pq
um t , v ϕ t dt
0
ż “ p pq
q pq
f t , v ϕ t dt
0
(2.39)
Integrando por partes T T
ż p ż p 0
2
1
p q q p q “ pu
um t , v ϕ t dt
m
T T
1
t ,v ϕ t
0
0
0
m
0
u1m t , v ϕ1 t dt
pq q pq
T T
T
p q q p q “ pu t , v ϕ t Como ϕ P D p0, T q, entonces ϕp0q “ ϕ pT q “ 0 um t , v ϕ t dt
T T
ż p q q p q | ´ p ż p q q p q| ´ p T
um t , v ϕ1 t dt
0
pq q pq
Luego en (2.39) T T
ż ´ p
T T
1
ż q pq ` p 1
m
0
1
1
F
1
m
m
0
1
m
B
T T
ż “ p pq
pq Au ptq, v ϕ t dt u ptq, v qϕ ptqdt f t , v qϕptqdt ´ xpu ptq, vq, ϕ y ` xpAu ptq, vq, ϕy ´ xpu ptq, vq, ϕ y “ xpf ptq, vq, ϕy d pu ptq, vq, ϕ ` xpAu ptq, vq, ϕy ` xpu ptq, vq, ϕy “ xpf ptq, vq, ϕy (2.40) dt um t , v ϕ t dt
0
T T
ż q pq ´ p
m
m
0
1
1
m
m
Aplicando Aplican do los l os l´ımites ımites de la l a observaci´ ob servaci´on on 2.7 en (2.40), obtenemos
B
F`xp
d 1 u t ,v ,ϕ dt
p pq q
1
m0 ;
p q q y`xpu ptq, vq, ϕy “ xpf ptq, vq, ϕy @ v P V
Au t , v , ϕ
Entonces d 1 u t ,v dt
1
p p q q ` pAuptq, vq ` pu ptq, vq “ pf ptq, vq @ v P V
m0
en D 1 0, T
p q
Como V m es denso en H . Entonces 0
d 1 u t ,v dt
1
1
p p q q ` pAuptq, vq ` pu ptq, vq “ pf ptq, vq @ v P H en D p0, T q Lo que demuestra que uptq es soluci´on on d´ebil ebil del problema probl ema (2.1). (2.1) . 39
ϕ D 0, T
P p q
2.4. 2.4.
Verifi erifica caci ci´ ´ on de los Datos Iniciales on
Considerando las convergencias en (2.32), (2.33) y aplicando el mismo criterio en la segunda estimativa a priori (2.31) obtenemos que u L 8 0, T ; V
P p
q
u1 L 8 0, T ; H
P p q P L p0, T ; V q
u2
8
1
As´ı u
8
1
8
1
1
8
1
8
1
P tv P L p0, T ; V q; v P L p0, T ; V qu Ă C pr0, T s; V q u P tv P L p0, T ; H q; v P L p0, T ; H qu Ă C pr0, T s; H q Luego tiene sentido up0q y u p0q 1
Verifi erifica caci ci´ ´ on o n de u 0
p q “ u
2.4. 2.4.1. 1.
0
Sean v V y θ C 1 0, T , R tal que θ T
P
p q “ 0 y θp0q “ 1
P pr s q
De (2.32) implica que T T
T T
ż p
1
pq q pq
um t , v θ t dt
0
ż Ñ p pq
u t , v θ1 t dt
0
q pq
(2.41)
(2.42)
De (2.33) implica que T T
ż p
T T
1
pq
ż q p q Ñ p p q
u1 t , v θ t dt
um t , v θ t dt
0
0
q pq
Sumando (2.41) y (2.42) tenemos que T T
ż 0
d um t , v θ t dt dt
rp p q q p qs
T T
ż Ñ 0
d u t , v θ t dt dt
Como θ T
p q “ 0, entonces pu p0q, vqθp0q m
40
rp p q q p qs
Como θ 0
p q “ 1, entonces pu p0q, vq Ñ pup0q, vq; v P V m
Por hip´ otesis otesis um 0
p q Ñ u
en V ; m
0
(2.43)
Ñ8
osea um 0 , v
p p q q Ñ pu , vq; v P V
0
(2.44)
De (2.43) ( 2.43) y (2.44) ( 2.44) y la unicidad u nicidad de l´ımite
pup0q, vq “ pu , vq; v P V 0
Por tanto u 0
p q “ u
0
Verifi erifica caci ci´ ´ on o n de u 0 1
2.4. 2.4.2. 2.
p q “ u
1
Sean v V y θ C 1 0, T , R tal que θ T
P
p q “ 0 y θp0q “ 1
P pr s q
De (2.23) implica que T T
ż p
T T
1
ż q p q Ñ p p q
pq
u1 t , v θ t dt
um t , v θ t dt
0
0
q pq
Por la continuidad de la derivaci´on on T T
ż 0
T T
d u1m t , v θ t dt dt
rp p q
ż q p qs Ñ 0
d u1 t , v θ t dt dt
rp p q q p qs
Como θ T
p q “ 0. Entonces 1
1
pu p0qqθp0q Ñ pu p0q, vq v P V m
Como θ 0
p q “ 1. Entonces 1
1
pu p0q, vq Ñ pu p0q, vq v P V m
Por hip´ otesis otesis u1m
Ñ u
1
(2.45)
en H ; m
Ñ 8
osea u1m 0 , v
p p q q Ñ pu , vq; v P V 1
41
(2.46)
De (2.45), (2.46) y la unicidad de l´ımite 1
pu p0q, vq “ pu , vq v P V Por tanto u1 0
p q “ u
1
1
De esta manera obtenemos una soluci´ on local para (2.1) definida sobre 0, T . on
r s
A continuaci´on on demostraremos la unicidad de la soluci´ on local como lo indica el on teorema 2.1.
2.5. .5.
Unic Unicid idad ad
Supongamos que u y u son soluciones dadas por el Teorema 2.1. Luego, de (2.1) se tiene
ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇ
Sea ω t y u2
u2
1
2
1
` Au ` u “ f u ` Au ` u up0q “ u “ u p0q u p0q “ u “ u p0q 0
1
1
1
en H (2.47)
en V en H 8
1
8
p q “ u ptq ´ uptq entonces de (2.47) y de u P L p0, T ; V q, u P L p0, T ; H q P L p0, T ; V q. Tenemos ω ptq ` Aωptq ` ω ptq “ 0 en H (2.48) en V ωp0q “ 0 en H ω p0q “ 0 8
1
ˇˇ ˇˇ ˇˇ
Tal que
2
1
p
ω L 8 0, T ; V , ω1 L 8 0, T ; H y ω 2 L 8 0, T ; V 1
P p
q P p q Por otra parte tomando ω “ ω ptq; vemos que
P p
1
2 ω2 t , ω 1
1
1
1
p p q q ` 2pAωptq, ω q ` 2pω ptq, ω q “ 0 d d | ω ptq| ` pAωptq, ω q ` 2|ω ptq| “ 0 dt dt d t|ω ptq| ` pAωptq, ωqu ` 2|ω ptq| “ 0 dt 1
1
2
1
1
2
42
2
2
q
Integrando de 0 a T T T
1
2
1
2
ż q ` | p q|
|ω ptq| ` pAωptq, ω 2 ω |ω ptq| ` pAωptq, ωq ` 2|ω |
1
2
t
0 1 2
“ 0 “ 0
dt
L2 p0,T ;H q
Por la coercividad de A, tenemos 1
2
1 2
2
|ω ptq| ` α}ωptq} ` 2}ω }
1
1
2
1 2
2
ď |ω ptq| ` pAωptq, ωq ` 2|ω |
L2 p0,T ;H q
2
1 2
|ω ptq| ` α}ωptq} ` 2|ω |
ď 0
L2 p0,T ;H q
Se tiene 1
2
2
1 2
|ω ptq| “ 0; }ωptq} “ 0; |ω | Por tanto
}ωptq} “ 0 ωptq “ 0 uptq ´ uptq “ 0 uptq “ u ptq u “ u As´ As´ı queda que da demostrado la unicidad u nicidad de la soluci´ on on local.
43
“ 0
L2 p0,T ;H q
L2 p0,T ;H q
Resultados En el presente trabajo se ha estudiado la ecuaci´ o n abstracta de la onda con on t´ermino erm ino disipa dis ipativo tivo
ˇˇ ˇˇ ˇˇ
Donde:
u2
1
` Au ` u “ f up0q “ u u p0q “ u 0
1
1
en H (2.49)
en V en H
V un espacio de Hilbert separable real, cuyo producto interno es represen-
tado por
pp¨, ¨qq y la norma } ¨ }.
H un espacio de Hilbert separable real, cuyo producto interno es represen-
tado por , y la norma
p¨ ¨q
V
| ¨ |.
Ď H denso y una inmersi´on on V en H compacta y continua.
Identificando H con con su dual H 1 , obteniendose V
1
1
Ď H ” ” H Ď V .
Ω un subconjunto abierto y acotado bien regular de Rn de frontera Γ. A : V
Ñ V
1
un operador o perador lineal, acotado, acot ado, autoadjunto, a utoadjunto, sim´etrico etrico y coercivo. co ercivo.
f L 2 0, T ; H acotado.
P P p
Para datos u0 , u1
p
q
q P V ˆ H se ha demostrado la existencia y unicidad de una 44
soluci´on on d´ebil bi l u de 2.49, en la clase u u1 u2
P P P
L8 0, T ; V L8 L8
p q p0, T ; H q p0, T ; V q 1
Este estudio es de vigencia actual en el area a´rea de las Ecuaciones Diferenciales Parciales de Evoluci´on, on, por lo que el trabajo sirve de aporte para aquellas personas interesadas en el estudio e investigaci´on o n del area a´rea de las Ecuaciones Diferenciales Parciales.
45
Conclusiones De nuestro trabajo concluimos lo siguiente: 1. Probamos la existencia existencia y unicidad unicidad de las soluciones soluciones d´ebiles ebiles del siguiente siguiente problema
ˇˇ ˇˇ ˇ
u2
1
` Au ` u “ f up0q “ u u p0q “ u 0
1
1
en H en V en H
2. Podemos adecuar diversas diversas ecuaciones diferenciales diferenciales parciales parciales de evoluci´ evoluci´ on de segundo orden para ser resueltos usando nuestro modelo abstracto. 3. Nuestro m´etodo etodo de soluci´ on es aplicable a sistemas disipativos lineales. on
46
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48
