EC. CONTINUIDAD Y BERNAULLI (monografia).docx

 UNIVERSIDAD NACIONAL INTERCULTURAL DE LA AMAZONIA FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS

 AMBIENTALES

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

“Ec. De Continuidad y Bernoulli

CURSO

! IN"ENIERIA A"ROINDUSTRIAL I

DOCENTE

! IN". LEANDRO LA"UNA# CALEB

ESTUDIANTE

! ESAMAT $INTAS%# Rei&ner

CICLO

!

'

 (ARINACOC%A ) UCA(ALI * +ERU ,'-

+RESENTACI/N Todo trabajo de investia!i"n tiene #or objetivo esen!ia$ $$evarnos a !ono!er %na rea$idad& #or $o tanto 'i 'eta es e$ $orar de'ostrar $a i'#ortan!ia (%e tiene estas e!%a!iones en e$ est%dio de $a din)'i!a de *$%idos+ siendo as, este ard%o trabajo %na ran satis*a!!i"n& a$ #oder  entrear$e a %sted& %n an)$isis sobre este te'aEn este trabajo .e re!o#i$ado ran !antidad de !ono!i'ientos& .a!iendo de este 'is'o a ')s de %n #$an& %na a/%da #ara a(%e$$os (%e se !entren en e$ est%dio de esta va$iosa e intriante ra'a& !o'o $o es $a F,si!aEsta 'onora*,a es %na ran .erra'ienta (%e nos a/%da a *o'entar  en n%estras vidas e$

instinto de $a investia!i"n& $a 'is'a (%e nos

$$evar) !a'ino a $a e0!e$en!ia-

2

INDICE I. INTRODUCCION............................................................................................ 4

II.

OB$ETIVOS................................................................................................... 5 1-2-

OB3ETI4O GENERAL............................................................................... 5

1-1-

OB3ETI4O ESPECIFICO........................................................................... 5

III.

MARCO TEORICO....................................................................................... 6

0.-.

0.-.-.

ECUACION DE CONTINUIDAD EN UN +UNTO.....................................7

0.-.,.

ECUACI/N DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE...............9

0.,.

IV.

ECUACION DE CONTINUIDAD..................................................................6

ECUACION DE BERNAULLI...................................................................12

0.,.-.

ECUACION DE BERNOULLI +ARA TUBOS %ORIZONTALES..............14

0.,.,.

ECUACI/N DE BERNOULLI REDUCIDA............................................15

CONCLUCION.......................................................................................... 16

V. BILIO"RA1IA.............................................................................................. 16

3

I.

INTRODUCCION E$ #rin!i#io de Berno%$$i& ta'bi5n deno'inado e!%a!i"n de Berno%$$i& des!ribe e$ !o'#orta'iento de %n *$%ido 'ovi5ndose a $o $aro de %na $,nea

de !orriente- F%e e0#%esto #or Danie$ Berno%$$i en s% obra

6idrodin)'i!a 7289:; / e0#resa (%e en %n *$%ido idea$ 7sin vis!osidad ni ro
%n !ond%!to !errado& $a

ener,a (%e #osee e$ *$%ido #er'ane!e !onstante a $o $aro de s% re!orrido- La ener,a de %n *$%ido en !%a$(%ier 'o'ento !onsta de tres !o'#onentes=

-. Cin2tica! es $a ener,a debida a $a ve$o!idad (%e #osea e$ *$%ido,. +otencial 3ra4itacional! es $a ener,a debido a $a a$tit%d (%e %n *$%ido #osea-

0. Ener35a de 6lu7o! es $a ener,a (%e %n *$%ido !ontiene debido a $a #resi"n (%e #oseeLa si%iente e!%a!i"n !ono!ida !o'o >E!%a!i"n de Berno%$$i> 7Trino'io de Berno%$$i; !onsta de estos 'is'os t5r'inos2

V  δ  2

 ? P ? @<  !onstante

E$ Teore'a de Berno%$$i es %n !aso #arti!%$ar de $a Le/ de $os randes n'eros& (%e

#re!isa $a a#ro0i'a!i"n *re!%en!ia$ de %n

s%!eso a $a #robabi$idad de (%e este o!%rra a

'edida (%e se va

re#itiendo e$ e0#eri'entoTa'bi5n est%diare'os $as e!%a!iones de !ontin%idad& $as (%e se obtienen de$ Prin!i#io de $a Conserva!i"n de $a Masa a#$i!ada a$ es!%rri'iento de *$%idos& a trav5s de %n vo$%'en de !ontro$En e*e!to& !onsiderando %n vo$%'en arbitrario& *ijo en e$ es#a!io e in'erso en %n 'edio !ontin%o en 'ovi'iento (%e $o o!%#a en !ada #%nto / en todo instante 7ta$ !o'o se es(%e'ati
4

II.

OB$ETIVOS II-2

OB3ETI4O GENERAL

Investiar $os !on!e#tos a!er!a de $a e!%a!i"n de $a !ontin%idad / $a i'#ortan!ia en est%dio de $a .idrodin)'i!a-



Investiar e$ !on!e#to de $a e!%a!i"n de Berno%$$i / s% a#$i!a!i"n en $os *$%idos-

II-1

OB3ETI4O ESPECIFICO

Es#e!i*i!ar $a obten!i"n de $a e!%a!i"n *ina$ de $a !ontin%idad& 'ediante $as s%'atoria 7U;& en $os di*erentes #ro!esos de !ontin%idad-



Obtener $a e!%a!i"n *ina$ de Berno%$$i& #or #asos-

5

III.

MARCO TEORICO III.-. ECUACION DE CONTINUIDAD Est%diare'os $as e!%a!iones de !ontin%idad& $as (%e se obtienen de$ Prin!i#io de $a Conserva!i"n de $a Masa a#$i!ada a$ es!%rri'iento de *$%idos& a trav5s de %n vo$%'en de !ontro$En e*e!to& !onsiderando %n vo$%'en arbitrario& *ijo en e$ es#a!io e in'erso en %n 'edio !ontin%o en 'ovi'iento (%e $o o!%#a en !ada #%nto / en todo instante 7ta$ !o'o se es(%e'ati
1i3ura E$ #rin!i#io en%n!iado se res%'e si'b"$i!a / es!%eta'ente !o'o=

7' s  ' e; ? F' i   En $a e0#resi"n anterior 8  si'bo$isa$iente& >entrante> e interior- Obvia'ente& e$ s,'bo$o i'#$i!a $a >varia!i"n> de $a 'asa en e$ tie'#o& / es $a di*eren!ia entre 'asa *ina$ / 'asa ini!ia$ en e$ tie'#o e$e'enta$ !onsiderado-

6

 A$ es!ribir $a e0#resi"n& des#ejando e$ #ar5ntesis (%e i'#$i!a e$ ba$an!e de 'asa a trav5s de $a s%#er*i!ie $atera$& $a inter#reta!i"n de$ #rin!i#io de $a 'asa #%ede inter#retarse en *or'a ')s dire!ta& #%esto (%e e$ ba$an!e entre 'asa entrante / sa$iente #or $a s%#er*i!ie de !ontro$& es !o'#ensado #or $a varia!i"n de $a 'asa en e$ interior de$ vo$%'en de !ontro$- En s,'bo$os=

7's H 'e;   'i Las e!%a!iones a obtener de#enden de $a *or'a de$ 4o$%'en de !ontro$ ado#tada- Si 5sta es e$ !%bo e$e'enta$ de $ados di*eren!ia$es& se obtiene $a e!%a!i"n di*eren!ia$ de !ontin%idad en %n #%nto& en !a'bio si e$ vo$%'en de !ontro$ e$eido es e$ T%bo de !orriente& $a (%e se obtiene es $a E!%a!i"n Di*eren!ia$ de Contin%idad en e$ 'is'o& de s%'a %ti$idad #ara $a !onsidera!i"n de $os Es!%rri'ientos Unidi'ensiona$es-

III.-.-. ECUACION DE CONTINUIDAD EN UN +UNTO Es $a (%e se obtiene& a$ !onsiderar !o'o vo$%'en de !ontro$ a$ e$e'ento di*eren!ia$ de $ados d0& d/ / d<-

1i3ura , Conse!%ente'ente #ara obtener $a e!%a!i"n b%s!ada& se !onsidera e$ !%bo de $ados di*eren!ia$es d0& d/& d<& es de!ir e$ #%nto 'ateria$ 7ver Fi%ra 1; *ijo en e$ es#a!io !artesianoPara $as tres !oordenadas <+ /+ 0+ desarro$$are'os e$ #ar5ntesis (%e i'#$i!a e$ >ba$an!e tota$ de 'asa en %n instante dado>-

7

La 'asa entrante sen e$ eje 0 res%$ta de '%$ti#$i!ar e$ >!a%da$ de 'asa> sen 0 #or dt& en e*e!to=

d('   d(   % d0 d/ dt  ' e0 La 'asa sa$iente res%$ta=

' s0  ' e0 ?

∂ x 7'

e0

; d0

Es de!ir=

 % d0 dv dt ? ∂ x 7 % d0 dv dt; d0 E$ ba$an!e o di*eren!ia entre 'asa sa$iente / 'asa entrante res%$ta=

' s0 H ' e0 

∂ x 7 % d< d0 dt; dv

E0tra#o$ando e$ 'is'o #ro!edi'iento a $os ejes /& <& se tiene=

' s/ H ' e/ 

∂

7 % d< d0 dt; dv

' s< H ' e< 

∂ z 7 J d0 dv dt; d<

Por $o (%e& e$ ba$an!e tota$ en %n instante dado& es de!ir $a di*eren!ia 7's 'e; ser)= 'sH'e

∂ x 7 % d/ d< dt; d0 ?

∂ y 7 v d0 d< dt; ?

∂ z 7 K

d0 d/ dt; d< Para eva$%ar $a varia!i"n de $a 'asa en e$ tie'#o& se tiene (%e=





∂t   d0 d/ d< dt   d0 d/ d<

 ' i   d0 d/ d< ? Por $o (%e=

 ' i 

∂t  7 d0 d/ d<; dt

8

S%'ando a.ora e i%a$ando a & !on e$ #ro#"sito de obtener $a e!%a!i"n de res%$tante de$ #rin!i#io de $a !onversi"n de ')s a#$i!ada a$ vo$%'en e$e'enta$ de $ados d0& d/& d<& / e$i'inando ade')s $os di*eren!ia$es !o'%nes& se tiene=

7%; ?

∂ ∂ y 7v; ?

∂ ∂ z 7K; ?

∂ ∂t 

  

La (%e es!rita en nota!i"n ve!toria$ res%$ta= ∂ρ ∂ t    

div 74; ?

Si se !onsidera !te- En e$ es#a!io / e$ tie'#o& $a anterior se red%!e a=

div 4 

∂u ∂ x  ?

∂v ∂ y  ?

∂w ∂ z   

%e es $a e!%a!i"n de !ontin%idad #ara $a 'asa es#e!i*i!a !onsiderada !o'o !onstante& es de!ir (%e s% !%'#$i'iento de #or s,& %na !ondi!i"n de in!o'#resibi$idad-

III.-.,. ECUACI/N DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE Es $a (%e se obtiene& !%ando e$ vo$%'en de !ontro$ es e$ T%bo de Corriente 7ver Fi%ra 9; es de!ir !%ando e$ es!%rri'iento es Unidi'ensiona$& !aso (%e !%bre e$ vasto !a'#o de a#$i!a!i"n de $as Cond%!!iones a Presi"n / a S%#er*i!ie Libre 7Cana$es;-

III.-.,.-.

CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEM+O CONSTANTE

 A !ontin%a!i"n se rea$i
9

1i3ura 0  A

5ste

ti#o

de

es!%rri'iento& !%ando $a varia!i"n de $a 'asa es n%$a en e$ tie'#o / variab$e en e$ re!orrido& se $o deno'ina se'i#er'anente- Con estas !onsidera!iones se obtendr) $a E!%a!i"n de Contin%idad& en $a *or'a de 'a/or %so en $as a#$i!a!iones (%e !onstit%/en $os objetivos *%nda'enta$es de n%estra asinat%raE$ desarro$$o !onsiste en e$aborar $a e0#resi"n (%e sinteti
7' s H ' e; ? ' i   E$ #ro!eso es an)$oo a$ anterior& #ero si'#$i*i!ado dado (%e a.ora e$ es#a!io est) e0#resado en %na so$a !oordenada $& #%esto (%e !o'o es $o .abit%a$ / ob$iado en !ond%!!iones %nidi'ensiona$es& e$ siste'a de re*eren!ia ado#tado es $a terna intr,nse!a- La ve$o!idad U es $a de*inida !o'o 4e$o!idad 'edia en $a se!!i"n& sen se ana$i<" o#ort%na'ente en Cine')ti!aConsiderado e$ e$e'ento di*eren!ia$ d$ de$ t%bo de !orriente& se tiene (%e $a 'asa entrante res%$ta de '%$ti#$i!ar e$ Ca%da$ de 'asa entrante #or e$ tie'#o di*eren!ia$ dt& en e*e!to=

'e    dt   U  dt La 'asa sa$iente& res%$ta de s%'ar a $a anterior& s% varia!i"n en e$ es#a!io d$& es de!ir= ∂ Ms   U dt ? ∂l 7 U dt; d$

10

Por $o (%e e$ ba$an!e entre 'asa sa$iente / 'asa entrante& res%$ta ∂

's  'e 

∂l

7 U dt; d$

Para !o'#$etar $a e!%a!i"n& se debe !onsiderar a.ora $a varia!i"n en e$ tie'#o& de $a 'asa !ontenida dentro de$ vo$%'en de !ontro$- La 'asa ini!ia$ es=

'i    d$ La 'asa *ina$& $%eo de %n instante dt& es=

'*     d$ ?

∂ ∂t  7  d$; dt

La di*eren!ia entre 'asa *ina$ / 'asa ini!ia$ res%$ta& en !onse!%en!ia-

 'i 

∂ ∂t  7 d$; dt

Para obtener $a e0#resi"n *ina$& so$o resta !on!retar $a s%'a entre e$ ba$an!e de 'asa entrante / sa$iente / $a varia!i"n de ' asa en e$ interior  de$ vo$%'en de !ontro$ 7t%bo de !orriente en este !aso; $o (%e res%$ta= ∂ ∂l 7 U dt; d$ ?

∂ ∂t 

7 d$; dt  

Dividiendo #or $os di*eren!ia$es !o'%nes& *ina$'ente se obtiene = ∂ ∂l 7 U; d$ ?

∂ ∂t  7 ;  

La anterior !onstit%/e $a e!%a!i"n di*eren!ia$ de !ontin%idad& #ara es!%rri'iento %nidi'ensiona$ 7en t%bo de !orriente; en $a (%e e$ !a%da$ de $a 'asa entrante no var,a !on e$ tie'#o - S% a#$i!a!i"n es tras!endente en $a #rob$e')ti!a de es!%rri'ientos #er'anentes 7transitorios; tanto en !ond%!!iones a #resion !o'o a s%#er*i!ie $ibre-

La e!%a!i"n di*eren!ia$ de !ontin%idad& #ara 9  e$ tie'#o& se red%!e a-

11

cte

en e$ es#a!io /

∂

∂

7U; d$ ?

∂l

∂ t 

7;  

Para e$ r5i'en #er'anente / desde (%e e$ #ri'er #ar5ntesis es e$ !a%da$ (%e atraviesa $a se!!i"n& a$ anterior se red%!e a∂Q ∂ l  

∂ ∂ t 

7U ;  

En !onse!%en!ia=

  U   !te  A$ anterior es e0#resi"n de $a e!%a!i"n de !ontin%idad #ara es!%rri'iento #er'anente& %nidi'ensiona$ 7en t%bo de !orriente; de %n *$%ido in!o'#resib$eConstit%/e $a e!%a!i"n de vita$ i'#ortan!ia en e$ diseo / !)$!%$o de !ond%!!iones a #resion& a s%#er*i!ie $ibre 7!ana$es; / en enera$ #ara $a .idr)%$i!a %nidi'ensiona$ de$ r5i'en #er'anente-

III.-.,.,. +ARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEM+O ( EL RECORRIDO. La e!%a!i"n es $a si%iente∂ ∂l

1

7 U; ?

U 

∂ ∂t   7 U; ?

∂

7 ;  

∂t 

En este !aso& !ono!ido ta'bi5n !o'o de i'#er'anen!ia tota$& $a e!%a!i"n !%enta !on u

s%'ado& / ta$ !o'o #%ede obtenerse& $a

ded%!!i"n #ara ese !aso $$eva a $a e!%a!i"n enera$-

III.,. ECUACION DE BERNAULLI La E!%a!i"n de Berno%$$i !onstit%/e %na de $as $e/es ')s i'#ortantes en e$ est%dio de $a din)'i!a de $os *$%idos& se basa esen!ia$'ente

en

$a

!onserva!i"n

de

$a

ener,a

'e!)ni!a-

Considere'os %n t%bo de !orriente estre!.o& !o'o e$ de $a *i%ra& #or e$ (%e !ir!%$a %n *$%ido idea$ en r5i'en esta!ionario-

12

1uente! F,si!a 4e!toria$ 1 de 4a$$ejo Qa'brano

En $a *,si!a $a e!%a!i"n de Berno%$$i es $a *"r'%$a ')s i'#ortante de toda esta #arte de .idrodin)'i!a- Es $a (%e ')s se %sa / es $a (%e trae ')s #rob$e'as- La *"r'%$a !o'#$eta #ara e$ !aso enera$ es=

Pe ?

1 2

 @

2

ѵ  e

 ? @  .e



Ps ?

1 2

 @

2

ѵ  s

 ? @  .s

Esta *"r'%$a es $a e!%a!i"n de $a !onserva!i"n de $a ener,a #ara e$ $,(%ido (%e van dentro de$ t%bo- A$ #$antear esta e!%a!i"n& $o (%e %no #$antea es $a !onserva!i"n de $a ener,a- Berno%$$i no se #%ede #$antear  si e$ $,(%ido tiene vis!osidad- La vis!osidad es e$ ro
+ent  Presi"n a $a entrada- 4a en Pas!a$es  NeJton ' 1 +sa$  Presi"n en $a sa$ida- 4a en Pas!a$es  NeJton ' 1 Delta= 7@; Es $a densidad de$ $,(%ido- 4a en ' 9 ѵent  4e$o!idad de$ $,(%ido en $a entrada- 4a en 's ѵsa$  4e$o!idad de$ $,(%ido en $a sa$ida- 4a en 's

3  A!e$era!i"n de $a ravedad 7 ? 2 's1; :ent  A$t%ra de$ $,(%ido en $a entrada- 4a en ':sa$  A$t%ra de$ $,(%ido en $a sa$ida- 4a en 'Esta e!%a!i"n se #%ede %sar sie'#re& (%e e$ $,(%ido no tena vis!osidad- Sirve si e$ t%bo es verti!a$& .ori
13

sit%a!i"n !o'#$i!ada (%e #%ede a#are!er es t%bo in!$inado- Ser,a este !aso=

III.,.-. ECUACION DE BERNOULLI +ARA TUBOS %ORIZONTALES Si e$ t%bo est) .ori
Pe ?

1 2

 @

2

ѵ  e



1

Ps ?

2

 @

2

ѵ  s

Se #%eden #oner $as #resiones de$ 'is'o $ado de $a e!%a!i"n- En ese !aso $a *"r'%$a de Berno%$$i (%eda=

Pe H Ps 

1 2

 @$i( 7

2

ѵ  s



2

ѵ  e

;

De $as e!%a!iones de !ontin%idad / Berno%$$i sa!a'os varias ideas i'#ortantes=

CONCE+TO -! Tena'os en !%enta a 'a/or se!!i"n& 'enor ve$o!idad donde de $a e!%a!i"n de !ontin%idad se .a!e %na ded%!!i"n i'#ortante= si e$ va$or 40S sie'#re se tiene (%e 'antener !onstante& enton!es donde e$ t%bo sea ')s anosto $a ve$o!idad ser) 'a/or-

14

Donde e$ t%bo es 'as anosto& $a ve$o!idad es ')s rande 7 ѵ1 ˃ ѵ2;Esto #asa #or(%e e$ !a%da$ (%e !ir!%$a es !onstante- Enton!es si e$ t%bo se .a!e ')s anosto& #ara (%e #%eda !ir!%$ar e$ 'is'o !a%da$& $a ve$o!idad de $,(%ido tiene (%e a%'entar- E0a!ta'ente $o !ontrario #asa si e$ !ao se .a!e ')s an!.o- La ve$o!idad de$ $,(%ido tiene (%e dis'in%ir #ara (%e #%eda se%ir #asando e$ 'is'o !a%da$-

CONCE+TO 1= A 'a/or ve$o!idad& 'enor #resi"n a$o i'#ortante (%e se #%ede ded%!ir de $a e!%a!i"n de Berno%$$i es (%e en e$ $%ar donde $a ve$o!idad de$ $,(%ido (%e !ir!%$a sea 'a/or& $a #resi"n ser) 'enor A!$ara!i"n i'#ortante= esto #asa so$o si e$ t%bo es .ori
CONCE+TO 0= a 'a/or se!!i"n& 'a/or #resion #or %n $ado& a 'enor  se!!i"n& 'a/or ve$o!idad 7Contin%idad;- Por otro $ado a 'a/or  ve$o!idad& 'enor #resi"n 7Berno%$$i en t%bos .ori
Ma/or se!!i"n& 'enor ve$o!idad  ѵ2 ˂ ѵ1 ˂ ѵ9  Ma/or ve$o!idad& 'enor #resion  P 2 ˂ P1 ˂ P9 

15



Ma/or se!!ion& 'a/or #resion  S 2 ˃ S1 ˃ S9  P2 ˃ P1 ˃ P9

III.,.,. ECUACI/N DE BERNOULLI REDUCIDA Para %n t%bo .ori
Des#ejando $a ve$o!idad de sa$ida 4 s de $a e!%a!i"n de !ontin%idad ѵ  e.

Por !ontin%idad ѵe Se  ѵs - Ss

ѵs 

Se

Ss

Re'#$a
Pe H Ps 

Pe H Ps 

2

1 2

 @$i( 7 1

Pe H Ps 

2

 @$i( 7

2



ѵ  s

;

2

2

Se

❑

2

ѵ e

2

ѵ  e

Ss

 

2

ѵ  s

;

2

Se

 @$i( 7

2

Ss

  2;

Esta e!%a!i"n es i'#ortante en a$%nos !asos #or(%e a.orra !%entas- Genera$'ente no te dan !o'o dato $as ve$o!idades a $a entrada / a $a sa$ida de$ t%bo- Casi sie'#re s%e$en darte $as se!!iones1

Por otro $ado& otra ventaja de esta e!%a!i"n es esta= Los t5r'ino S e 1  Ss - Uno #%ede #oner $a se!!i"n en $a *"r'%$a en !%a$(%ier %nidad 1 #or(%e se si'#$i*i!an- O sea& si te dan $a se!!i"n de$ t%bo en !' & $a 1 1 1 #ones en !' - Si te $a dan en '' & $a #ones en '' -

IV.

CONCLUCION Con!$%/o esta 'onora*,a !on e$ objetivo de .aber $$eado a entender  $o i'#ortante es e$ est%dio de $os *$%idos en $a ra'a de $a inenier,a& / sobre todo en $a a#$i!a!i"n de $a 'e!)ni!a de $os *$%idos16

 A $a ve< ta'bi5n $$e%e a !o'#render de $a obten!i"n de $as e!%a!iones $a !%a$ tene'os& e$ de Berno%$$i en $o (%e es est%dio de $o *$%ido in!o'#resib$es& en $os di*erentes ti#os de t%ber,as& !o'o $as de t%bos .ori
V.

BILIO"RA1IA 3err/ D- i$son& Ant.on/ 3- B%**a H 19-*isi!a #aina 993a!(%e$ine Le$onFerrand& 3ean Marie Arna%dies& 3eanMarie  Arna%dis  2V:9 E!%a!iones di*eren!ia$es& intera$es '$ti#$es& *%n!iones .o$o'or*as #aina 2W2Ra/'ond A- SerJa/& 3err/ S- Fa%.n H 12*isi!a #aina 188-

;ee
17