VACIADO DE TANQUES
INTRODUCCION El modelamiento matemático es el proceso de creación de una representación matemática de algún fenómeno en razón de conseguir un mejor entendimiento del fenómeno. Es un proceso en el cual se cambia la observación con el establecimiento simbólico. Durante la construcción de un modelo, el modelista deberá decidir qué factores serán relevantes para el fenómeno y cuales podrán dejar de enfatizarse. En la construcción de un modelo matemático, un proceso real es reducido a sus bases esenciales, y el esquema resultante es descrito por un formulismo matemático seleccionado de acuerdo a la complejidad del proceso. Para ayudarnos a entender
mejor los fenómenos tenemos métodos
numéricos, como en este caso aplicaremos aplicaremos para la descarga de líquidos de un tanque, el cual al ser comparado con valores experimentales realzara aún más su importancia ya que estos se asemejan mucho a la realidad logrando así poder tomarlos como datos de referencia para cualquier aplicación.
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL -
Aplicar las ecuaciones diferenciales en la descarga de un tanque.
OBJETIVOS ESPECIFICOS -
Determinar el modelo matemático de la descarga de un líquido en un tanque cilíndrico.
-
Determinar la solución específica para la ecuación diferencial de descarga de un tanque con las condiciones establecidas.
MARCO TEÓRICO ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
Es una ecuación diferencial ordinaria, donde especificada de la variable independiente
, es decir:
, Es la derivada de
con respecto a
representa una función no
e .
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada.
ORDEN DE LA ECUACIÓN El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
GRADO DE LA ECUACIÓN Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Se
dice
que
una
ecuación
es
lineal
si
tiene
la
forma
Es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones
, con k un número real cualquiera.
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones
, con a y b reales.
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones
, con a y b reales.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de
infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y ( x ) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
Solución particular: Si fijando cualquier punto P ( X 0,Y 0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P ( X 0,Y 0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
APLICACION Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
Donde
es el tiempo y
es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta
ecuación se le llama ecuación de onda.
DESCARGA DE UN TANQUE Aplicando el Teorema de Torricelli Un depósito cilíndrico, de área S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de áreaS2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.
Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión.
Entonces
Suponiendo que la velocidad del fluido en la área mayor S1 es despreciable la área menor S2 . v 1comparada con la velocidad del fluido v 2 en
v 1=0
Como:
Ecuación de la continuidad: Entonces:
() √ ( )
()
El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2 v 2, y en el tiempo dt será
. Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito
∫ √ ∫ ( ) …….. SOLUCIÓN GENERAL.
PARTE EXPERIMENTAL MATERIALES, EQUIPOS E INSTRUMENTOS
01 Tanque cilíndrico
01 Cronometro
01 Regla graduada.
Procedimiento
PROCEDIMIENTO
Medir las dimensiones del tanque cilíndrico.
Llenar el tanque a una altura determinada, en este caso 14 cm de altura cuidando que aún no ocurra alguna descarga por el orificio inferior.
Iniciar la descarga, controlando
con el cronometro, en este caso la
marcación es cada 2 cm de descarga. Hasta que se realice a descarga total. Los valores obtenidos son: H (m)
t practico (s)
0,14
0
0,12 0,10
8,925 18,39
0,08 0,06
28,81 40,36
0,04
53,22
0,02 0
72,69 99,68
ANÁLISIS DE RESULTADOS Datos:
g=9.8
D=0.125
R=0.063
d=0.005
r= 0.003
Siendo:
S1=0.0123 m2 S2 =2x10-5 m2 Aplicando el Teorema de Torricelli Un depósito cilíndrico, de área S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de área S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.
Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión.
Entonces
Suponiendo que la velocidad del fluido en la área mayor S1 es despreciable la área menor S2 . v 1comparada con la velocidad del fluido v 2 en v 1=0
Como
Ecuación de la continuidad
Entonces
El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2 v2 , y en el tiempo dt será
. Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito
√
√ √ ( )
Solución general.
Bajo las condiciones: cuando t=0 ; h=0.14 m
√ c= -7.4833 Al reemplazar en valor c en la ecuación la convierte en la Solución particular
√ Por lo tanto al reemplazar el valor de h en la ecuación particular se determina el valor de t teórico. h
t teórico
t practico
0,14
0
0
0,12
7,83667339
8,925
0,10
16,35854899
18,39
0,08
25,78468195
28,81
0,06
36,48382353
40,36
0,04
49,17498209
53,22
0,02
65,71442193
72,69
0
105,6441619
99,68
GRAFICA N°1
h vs t 120 100 80
o p m 60 e i T
t teorico
40
t practico
20 0 0
0.05
0.1
0.15
altura
La gráfica muestra cuan variable son los valores teóricos de los prácticos y se observa que estos no son muy distantes.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS -
Al determinar los valores teóricos del tiempo de la descarga de tanques y al ser comparados con los valores prácticos se observa una cierta variación, esto se debe a muchos factores, uno de ellos son los errores al momento de la toma de datos experimentales principalmente error del observador, otro de los factores que alteran los resultados son las suposiciones o consideraciones al estable el modelo matemático como es la variación de la presión, entre otros.
-
Valores teóricos hallados y valores prácticos obtenidos en el experimento difieren en valor, pero esta diferencia en mínima por ello los valores teóricos son representativos del fenómeno. Según de muestra en la gráfica N°1 GRAFICA N°1
h vs t 120 100 80
o p m 60 e i T
t teorico
40
t practico
20 0 0
0.05
0.1
altura
0.15
CONCLUSION -
Se aplicó la teórica de las ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables en el fenómeno de descarga de un tanque.
-
Se determinó el modelo matemático de la descarga de un líquido en un tanque cilíndrico, aplicando algunas teóricas de mecánica de fluidos, siendo este:
√ -
Se determinó la solución específica para la ecuación diferencial de descarga de un tanque teniendo en cuenta la condiciones iniciales:
t=0 ,
h=0,14 m.
con estos valores determinamos c:
Que al reemplazar en valor c en la solución general la convierte en la Solución particular
√
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AYRES, Frank Jr., “Ecuaciones Diferenciales”, Ed. McGraw Hill, primera edición, México, 1991. HELFGOTT, Michel, “Introducción a las ecuaciones Diferenciales”, Editores AMARU, Primera Edición, Perú, 1982. WYLIE, C. Ray, “Matemáticas Superiores para Ingeniería”, Ed. Limusa, MÉXICO, 1980. SPIEGEL, Murray R., “Ecuaciones Diferenciales Aplicadas”, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, Tercera Edición, México, 1996. CRANE INC, “ Flujo de fluidos “, Edit.McGraw Hill, edic.1996 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm
