APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES (ESFERA)
DEDICATORIA
Dedico el presente presente trabajo a mis padres que con esfuerzo y dedicación nos guían por el sendero del bien
Agradezco:
A DIOS por darnos la oportunidad de estudiar en esta universidad. A mis padres por el apoyo incondicional
INDICE
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1 RESUMEN
"l presente trabajo tiene como título: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a problemas de vaciado de tanques ;esfera< /artió del siguiente problema: =Se pueden obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica /ara ello ser> necesario primero responder:
=*u>les son los procedimientos correctos para determinar
las variables y
constantes adecuadas para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica =*u>les son las condiciones para obtener modelos matem>ticos
de formas
variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica /ara poder cumplir con la meta de responder y solucionar el problema se tiene como objetivo principal Determinar los par>metros adecuados para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica *on respecto al mBtodo que se utilizara para poder lograr solucionar el problema mencionado anteriormente se deber> seguir un procedimiento eCperimental que esta adjuntado posteriormente que ayudara a obtener algunos datos que servían para poder llegar a la meta esperada.
! INTRODUCCION
$ucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. #no de ellos es la salida de líquido de un tanque a travBs de un orificio situado al fondo del mismo. a forma geomBtrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. as ecuaciones formuladas en este informe necesitan ser resueltasE sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. os procedimientos usados pueden producir una solución eCacta oE en casos donde soluciones eCactas no se pueden obtenerE soluciones aproCimadas. -recuentemente para elaborar los c>lculos numBricos se recurre al uso de la inform>tica. "l proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matem>tica que propician y propiciaron el avance de las susodicas matem>ticas.
"l presente trabajo tiene como título Fobtención de los modelos matem>ticos de formas variadas sobre vaciado de tanque de una esfera en un módulo dise?ado por alumnos de la facultad de ingeniería químicaG De la presente investigación se tiene poco marco referencialE la metodología usada tiene un tipo de investigación: eCperimentalE desarrollando un módulo el cual nos permita conocer casi eCactamente el tiempo que transcurre desde un punto de referencia en el cual se llena la esfera con agua y sale por un orificio abajo del mismo.
" FORMULACION DEL PROBLEMA
,.. /!"2#%)A 2"%"!A =Se pueden obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al
vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica ,.(.H/!"2#%)AS "S/"*-I*AS =*u>les son los procedimientos correctos para determinar
las variables y
constantes adecuadas para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica =*u>les son las condiciones para obtener modelos matem>ticos
de formas
variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica # OB$ETIVOS
'.. O03")I4O 2"%"!A •
Determinar los par>metros adecuados para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques
de las ecuaciones
diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica '.(. O03")I4OS "S/"*I-I*OS •
*onocer los procedimientos correctos para determinar las variables y constantes adecuadas para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de
la
aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo •
dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica Determinar las condiciones para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica
% LU&AR DE E$ECUCION DEL PROBLEMA:
"n la facultad de Ingeniería @uímica de la F#%I4"!SIDAD.. ' $USTIFICACION
Debido los a que cotidianamente se puede observar
tanques de vaciado se tiene la
necesidad de obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica /ara poder obtener modelos matem>ticos se piensa determinar los par>metros adecuados de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques
de las
ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica )ambiBn para obtener un buen modelo matem>tico de vaciado de tanques se debe *onocer los procedimientos correctos para determinar
las variables y constantes
adecuadas para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques que en el caso del trabajo se usara como par>metro al tiempo que tendr> que variar de acuerdo a la altura.
REVISION BIBLIO&RAFICA
5. $A!*O )"O!I*O A/I*A*IO%"S D" AS "*#A*IO%"S DI-"!"%*IA"S O!DI%A!IAS D" /!I$"! O!D"% A /!O0"$AS D" 4A*IADO D" )A%@#"S
$ucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. #no de ellos es la salida de líquido de un tanque a travBs de un orificio situado al fondo del mismo. a forma geomBtrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. *onsidere un recipiente lleno de agua asta una altura . Suponga que el agua fluye a travBs de un orificio de sección transversal FaGE el cual est> ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea ;t< la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y 4;t< el volumen de agua del tanque en ese instante. a velocidad v del agua que sale a travBs del orificio es: v =√ 2 gh ( 1 )
Donde g es la gravedad. a ecuación ;< representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua asta el agujero. "n condiciones realesE ay que tomar en cuenta la contracción que sufre un corro de agua en un orificioE por lo que se tendr> v =c √ 2 gh ( 2)
Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 7 y ; 7 J c J <.
O0S"!4A*IK% *uando el valor del coeficiente de descarga c no se indicaE se asumira que c L 7.1 SegMn la ey de )orricelliE la razón con la que el agua sale por el agujero ;variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo< se puede eCpresar como el >rea FaG del orificio de salida por la velocidad v del agua drenadaE esto es: dv =−av ( 3) dt
sustituyendo la ecuación ;(< en la ecuación ;,<
dv =−ac √ 2 gh ( 4 ) dt
Si A;< denota el >rea de la sección transversal orizontal del tanque a la altura E aplicando el mBtodo del volumen por secciones transversales se obtiene: h
∫
v = A ( h ) dh 0
derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del c>lculo dv dh = A ( h ) ( 5 ) dt dt
*omparando las ecuaciones ;,< y ;+< A ( h )
dh =−ac √ 2 gh dt
Sean la altura de líquido en el tanque en cualquier instante tE FaG el >rea del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanqueE g la gravedadE * el coeficiente de descarga y A;< el >rea de la sección transversal del tanque. a ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es A ( h )
dh =−ac √ 2 gh dt
"sta es una ecuación diferencial de variables separablesE la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial
h0
para el tiempo t L 7E permite obtener la
ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.
#%IDAD"S N %O)A*IO%"S ""$"%)O
%O)A*IO%
Altura
;t<
#%IDAD"S
Cm
m
pies
4olumen
4;t<
2ravedad
2
)iempo
)
transversal *oefieciente de
981 cm
3
/ seg
m 2
A
cm
A;<
cm
2
*
descarga
3
pies
9.81 cm
seg 2
Area de Orificio Area de la seccion
cm
/ seg
2
3
32 pies
seg
2
/ seg
seg
cm
2
pies
2
cm
2
pies
2
Sin unidades
METODOLO&IA
"n la realización de esta investigación fue utilizado un enfoque cuantitativo que tambiBn es conocido como matem>ticoE en el cual su principal característica es la utilización de nMmeros y la interpretación de un moduloE todo ayudado por la ecuaciones diferenciales. 6. /!O*"DI$I"%)O $")ODOO2I*O "n el transcurso y realización de la presente investigación se utilizó un enfoque metodológico basado en mBtodos y tBcnicas cuantitativas en su totalidad. Se aplicaron como instrumento un moduloE que tiene por supuesto un periodo de pruebaE donde se registraron tiempos eCperimentales para poder comparar con los datos teóricos que se obtendr>n a partir del modelo matem>tico.
* TIPO DE INVESTI&ACION •
Investigación eCperimental
1+ PROCEDIMIENTO
os c>lculos se realizó con las formulas desarrolladas en el marco teórico A ( h )
dh =−avdonde v =c √ 2 ghse asumira qque c =0.6 dt
π ( 2 Rh−h ) dh=−π r ( 0,6 ) √ 2 ghdt 2
H
∫ h
(
2 Rh
2
2
)
0
− h dh = √ h √ h t
∫−r (0.6 ) √ 2 g dt 2
∫ ( R h −h ) dh =r ( H
2
1
3
2
2
2
0.6
) √ 2 g∗ t
h
4 R 3
( H −h )− ( H −h )= r ( 3
3
2
2
2
5
5
2
2
2
5
4 R 3
( H − h )− 5 ( H −h ) 3
3
2
2
2
5
5
2
2
r ( 0.6 ) √ 2 g 2
0.6 ) √ 2 g∗t
=t
)eniendo como condiciones iniciales: L5.+ !L7.( gL86 !eemplazando: 4 ( 7.5 ) 3
(7.5 − h )− 5 (7.5 −h ) 3
3
2
2
2
5
5
2
2
0.2 ( 0.6 ) √ 2∗981 2
(
10 7.5
3 2
3
)
−h −0.4 2
1.0631
=t
( 7.5 −h ) =t 5
5
2
2
!""$/APA%DO A A)#!A "% A -O!$#A A%)"!IO! A)#!A;cm< 5.+ 1.+ +.+ '.+ ,.+ (.+
)I"$/O )"O!I*O;seg< 7 8.6( '7.1 1.1 6(.(5 7.56
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Pr.e/a 1 Pr.e/a !
Pr.e/a
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R"rror 7R (7.8R ('.7R (,.7R (.+R 6.+R
(.+6R
11 CONCLUSIONES •
*onocimos los procedimientos correctos para determinar
las variables y
constantes adecuadas para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo •
dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica Determinamos las condiciones para obtener modelos matem>ticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise?ado por los alumnos de la -acultad de Ingeniería @uímica
1! REFERENCIA BIBLIO&RAFICA
,. SI)IOS 9"0
•
ttp:campus.usal.esTmodelosmatematicos$odelos$atematicosindeCUfiles)ra
•
bajoR(7"cR(7DiferencialesR(7enR(7Ingenieria.pdf ttp:VVV.ing.uc.edu.veTjpaez$A,071contenidoscontenidoUma,b71Utema,U+ .pdf
