Diseño de un Tanque cilindrico para almacenar agua potable. Datos: D = 20.35 m R = 10.18 m H = 1.575 m H1 = 1.875 m w = 1000.00 Kg/m3 densidad del agua F = pA = wghA = Presion del suelo, P= 1,218.00 kg Presión del suelo externo bW = 100 cm
1589.81 Kg
Se hace uso de las tablas de coeficientes, en la publicación Circular Concrete Tanks without Prestressing, de Portland Cement Association (PCA), edición 1993 t = 0.23 m 23 cm espesor de la pared 1000.00 m Peso volumetrico del liquido f'c = 210 kg/ cm2 fy = 4200 kg/ cm2 acero de refuerzo en flexion fs = 0.3 fy 1400 kg/ cm2 Es = 2038902 kg/ cm2 Modulo de elasticidad del acero W= 2300 kg/ m3 Peso unitario del concreto Ec = 15100*(f'c)1/2 Modulo de elasticidad del concreto
ν= relacion de modulos
Ec = 218820 kg/ m2 Ec = 202879 kg/ m2 0
Para problemas posteriores Para este problema Modulo de poisson supuesto
n= 10 n=Es/Ec - Estimación del espesor necesario de la pared del depósito El espesor del muro se puede calcular en forma preliminar si se limita la tensión anular a 10% de f'c e= 23 tomar 23 cm
interpolando
peso especifico del rellen
H2/(Dt) = 0.52999145 El espesor de 30 cm para la pared del depósito es el valor mínimo que recomienda el Comité 350 (sección 2.5 parrafo15) La carga actuante por el lado interior del depósito, es la presión hidróstatica del agua. De conformidad con las disposiciones contenidas en el informe del Comité 350 de ACI, se debe considerar un Coeficiente sanitario (comité 350 del ACI)
para flexion = 1.3
para tensión directa =1.65 Por consiguiente, la carga última para la tension directa vale: wut = (coeficiente sanitario para tensión directa) x (factor de carga) x (w)
wut =
2805.00 Kg/m3 ojito
y para flexion
wuf =
2210.00 Kg/m3 La Tabla A.5 de la PCA suministra los coeficientes para determinar la tensión anular, en la suposición de que la base del depósito se encuentra articulada y el borde superior libre. La tensión anular máxima se determina al multiplicar wuHR por el mayor coeficiente de la Tabla A.5 que para H2/(Dt) = 0.5299914539 +0.454 a una altura de 0.0H La tensión anular máxima vale entonces (véase la tabla E.1.1). Nmax = (coeficiente) wuHR Nmax =
20426.13 Kg El refuerzo requerido para resistir esta fuerza de tracción es Areaacero = Nmax/(0.9 x Fy) Areaacero =
5.40 cm2
- Verificar que el espesor supuesto para la pared es el adecuado Se considera que el coeficiente de contracción del concreto C= 0.0003 y con un esfuerzo permisible a la tension del 10%f'c, la formulasiguiente permite calcular el espesor de la pared de concreto deldeposito Si se propone un espesor t = 30 cm de la pared del depósito y se reemplazan valores fcc = 4.50 kg/cm2
f 10% f'c > fcc es aceptable 10%f'c = 21.00 kg/cm2 El esfuerzo de tensión aceptable para el concreto es de un 10% de su resistencia a la compresión, De conformidad con circular concrete Tanks. Por consiguiente, el espesor elegido de 22 cm es adecuado. 3.0. Determinación de las fuerzas de tensión anular y los momentos flexionantes producidos por la presión hidrostática interna del líquido (condición de carga No. 1) Los coeficientes para la tensión anular y el momento flexionante en la pared de un depósito con la base articulada
cc =
CE s A s + N max Ac+
y el borde superior libre, se calculan con las Tablas A.5, como ya se ha visto y la A.7 respectivamente. Para esta condición de carga con la presión hidrostática triangular por el interior del depósito, se tienen las siguientes fuerzas: Tabla E.1.1. Tensión anular provocada por la presion hidrostatica
(condicion de carga No 1) Base empotrada, borde superior libre Fuerza anular en kg el Coeficiente de la Tabla A.5 signo + denota tensionar(kg)
Punto
H2/(Dt) =0.52999145 0.0H 0.1H 0.2H 0.3H 0.375H
+ + + + +
As= Tu/0.9fy
N=coef x WuHR
0.449 0.421 0.388 0.355 0.326
20161 18925 17441 15958 14654
5.33 5.01 4.61 4.22 3.88
0.4H
+ 0.319
14340
3.79
0.5H
+ 0.281
12609
3.34
0.6H 0.7H
+ 0.233 + 0.194
10451 8698
2.76 2.3
0.8H
+ 0.121
5430
1.44
0.9H
+ 0.067
2989
0.79
Mayor wu =
2805.00 Kg/m3
0.59 m
0.67 m
0.32 m
20161 2.81 Tn/m3
wu HR =
44951.88 Kg/m Los momentos flexionantes para la misma condición de carga se determinan multiplicando los coeficientes de la Tabla A.7, por wu H3. Notese que wu se obtiene para un coeficiente sanitario de 1.3 que es el correpondiente a la flexion Tabla E.1.2. Momentos flexionantes provocados por la presion hidrostatica
(condicion de carga No 1)
Base articulada, borde superior libre Coeficiente de la Tabla A.7
Punto
H2/(Dt) =0.52999145 + 0.0000 + 0.0020 + 0.0068 + 0.0142 + 0.0219 + 0.0286 + 0.0334 + 0.0343 + 0.0302 + 0.0192
0.0H 0.1H 0.2H 0.3H 0.4H 0.5H 0.6H 0.7H 0.8H 0.9H wu =
2210.00 Kg/m3
wu H =
8634.44 Kg/m
3
Momento flexionante en km/m el signo + indica tension en la cara exterior
0 17.27 58.71 122.61 189.09 246.94 288.39 296.16 260.76 165.78
Interpolacion 0.0004 0.024 0.0244 0.034 0.01
0.(x)H=?
0.0238 0.0242 0.0333 -0.95
2.21 Tn/m3
4.0. Revisión de cortante para la misma condición de carga No. 1 La capacidad al cortante del muro de t= 23 cm con Recubrimiento r = 4.0 cm y con d= 19.0 cm con f'c = 210 kg/ m2 ,es: 11701.79 kg ΦVc = para este problema 10945.00 kg ΦVc = φV =0 . 75∗0 . 53∗ c
√ f ' c bw d
La fuerza cortante aplicada se obtiene multiplicando al coeficiente correspondiente de la Tabla A.12, por wuH 2 el valor Wu se aplica con un coeficiente sanitario de 1.0, si V U es < Vc wu = (factor de carga) x (coeficiente sanitario) x (peso volumétrico del líquido)
wu =
1700.00 Kg/m3
wu H 2 =
4217.06 Kg/m
para carga triangular
En la Tabla A.12, el coeficiente para H2/(Dt) = 0.5 carga triangular, base articulada y borde superior libre =
Vu = 1009.99 kg por tanto Si la base se encuentra empotrada, el coeficiente vale: coef = 0.405
0.2395 <17484 kg
de (Tabla A.12) y por consiguiente el Vu = 1707.91 kg <11702 kg Lo que es tambien adecuado Por lo tanto, la sección de concreto soporta satisfactoriamente la fuerza cortante impuesta sin necesidad de incrementar sus dimensiones o con un refuerzo especial. - Comparación con la suposición de que la base se encuentra empotrada con el borde superior libre Los datos: H2/(Dt) = 0.5 wu HR = 44951.88 Kg/m wu H3 = 8634 y la carga hidrostática triangular, son los necesarios para obtener los coeficientes de las Tablas A.1 y A.2, para la tensión anular y el momento flexionante, respectivamente. La Tabla 1.3 muestra los resultados obtenidos. Tabla E.1.3. Tensión anular y momento flexionante provocados por la presión hidrostática
(condicion de carga No 1) Base empotrada, borde superior libre Punto
0.0H 0.1H 0.2H 0.3H 0.4H 0.5H 0.6H 0.7H 0.8H
Coeficiente de la Tabla A.1 para la fuerza anular
H2/(Dt) =0.52999145 + 0.1929 + 0.187 + 0.168
+ 0.073
Coeficiente de la Fuerza anular en kg/m El signo + indica tension
+ 8671.22 + 8383.53 + 7529.44 + 0.00 + 0.00 + 0.00 + 3259.01 + 0.00 + 0.00
Tabla A.2 para la fuerza anular H2/(Dt) =0.52999145 0 + 0.0007 + 0.0020 + 0.0027 + 0.0035 + 0.0001 - 0.0083 - 0.0223 - 0.0412
Momento flexionante kgm/m el signo + indica tension en la cara exterior
0 6.04 17.27 23.31 30.22 0.86 71.66 192.54 355.72
0.9H 1.0H
+ 0.00 el Mayor
- 0.0681 - 0.1047
8,671
- Revisión del análisis de base empotrada utilizando las ecuaciones propuestas por Timoshenko La mayor parte de las tablas para diseño de depósitos circulares se basan en el trabajo original de Timoshenko. En Theory of Plates and Shells por Timoshenko y Woinowsky-Krieger, las ecuaciones básicas para condiciones de base empotrada se determina como sigue a) La tensión anular:
[
N=wRH 1−
x 1 −θ( βx )−( 1− ) ζ ( βx ) H βH
]
donde x es la altura del punto a partir de la base del deposito b) El momento para un punto cuya altura es x:
M x =−
[
wRHt 1 −ζ ( βx )+( 1− ) θ( βx ) 2 βH √ 12(1−v )
]
En las ecuaciones anteriores: Nota:tener cuidado de introducir el seno y elcoseno en radianes c) La fuerza cortante en la base del depósito:
V=
wRHt
√ 12( 1−v 2 )
( 2 β−
1 ) H
Puesto que para el fondo del deposito, 0 1
ξ ( βx )= θ( βx )= d) El momento máximo en la base vale:
M max=− donde:
β=
√ 4
wRHt
√ 12( 1−v
3( 1− v 2 2 2
R t
( 1− 2
1 ) βH ; v es el modulo de Poisson
587.98 903.98 904
β=
√ 4
3( 1− v 2 R2 t2
Ver la pagina 468 ecuacion 275, de la obra citada de Timoshenko, Wpinowsky-Krieger Si se supone, un Modulo de Pisson = 0
√
β= 4
3 Rt 2
- Cálculo de N, Mx, Mmax y V para el presente ejemplo, en el cual, a manera de recordatorio, se repiten los datos desde el principio propuestos para el depósito: Para la tensión anular, la presión hidrostática, wu = 2.81 Tn/m3
Para momento flexionante, la presión hidrostática w wu = 2.21 Tn/m3 N es máxima @ 0.0H 0.00 m de Tabla E.1.1. Tensión anular provocada por la presion hidrostatic = para base empotrada, esto es (ver la Tabla A.2): para0.0H X es x = 1.575 m de la altura respecto a labase Sustituyendo: 0.86 x 1.35 ex 0.259 57.3 grado/radian cosx cos (77.355) = 0.2189096573 = senx sen (77.355) 0.9757451317 x x e cosx = 0.0566976012 x exsenx = 0.2527179891 Aplicación de las ecuaciones de Timoshenko para calcular la variación de la tensión anular y el momentoflexionante en toda la altura del depósito: Si se sustituyen los valores, se determinan N,Mmax y V en la base: Numax = -5.5218438401 Mu base = -0.615434294 ton Vu base = 1.9627392843 ton
Si se comparan estos resultados con los de la Tabla E.1.3, tensión anular y momento flexionante cuando la base seconsidera empotrada, se podrá apreciar que los resultados son muy similares. - Presión de tierras por el lado exterior (condición de carga No. 2) Podrá presentarse la situación en la que el depósito se encuentre enterrado o semienterrado y al mismo tiempo vacío. En este caso existirá un empuje de tierras por el lado exterior. Para esta condición de carga habrá que determinar: a) La compresión anular y los momentos flexionantes de la presión exterior del empuje de tierras b) Adicionar el efecto de la restricción al desplazamiento lateral que experimenta el borde superior, en el caso de que el depósito tenga una losa de cubierta simplemente apoyada sobre el muro. El depósito con la base articulada y el extremo superior libre está sujeto a una carga trapecial, que consiste en la Presión hidrostática equivalente del suelo, más la sobrecarga, la cual es usual calcularla como una presión rectangular sobre la pared del depósito, equivalente a una altura de 90 cm del mismo suelo (la altura de 90 cm es una propuesta de la nueva edición de Circular Concrete Tanks, PCA 1993. Véase en la sección 20, el ejemplo de diseño y en particular, la Tabla E.3 del mismo ejemplo). Supóngase que el peso volumétrico del suelo es de= 1600.00 Kg/m3 Para la carga trapecial se supone un coeficiente sanitario de 1.65, aun cuando ACI 350 no previene nada sobre el Particular (Circular Concrete Tanks), cuando se trata de una presión de compresión. Para calcular la compresión anular se utilizan los coeficientes de las Tablas A.5 y A.6, multiplicados por wuHR y puHR, respectivamente, donde Wu y pu son el empuje triangular y rectangular equivalente, respectivamente wu HR = -71923.01 PuHR =
-41098.86 Nótese que en 3.2.4 del texto de este Manual, se recomienda un relleno de 60 cm que se considera como una carga muerta. Sin embargo, en este ejemplo, el cual sigue los lineamientos de PCA, el relleno se considera una carga viva y con 90 cm de altura. El lector podrá hacer sus propias consideraciones. Los resultados se muestran en la Tabla E.1.6 siguiente: Tabla E.1.6. Tensión anular para el empuje de tierras por el lado exterior (Condición de carga No.2) Base articulada borde superior libre
Punto
Coeficiente de la Tabla A.5, para carga triangular
Coeficiente de la fuerza anular de la tabla A.6, para carga rectangular
H2/(Dt) =0.52999145
H2/(Dt) =0.52999145
Fuerza anular para carga triangular(kg)
Fuerza anular para carga rectangular (kg)
0.0H 0.1H 0.2H 0.3H 0.375
0.4543545482 0.4253622124 0.3896071309 0.3543112296
1.4543545482 1.3253622124 1.1896071309 1.0543112296
-32678.5444453125 -30593.328530625 -28021.715623125 -25483.128339375
-59772.31 -54470.88 -48891.5 -43330.99
0.4H
0.3164745086
0.9164745086
-22761.797664375
-37666.06
0.5H
0.2767117629
0.7767117629
-19901.9415065625
-31921.97
0.6H 0.2287117629 0.6280969678 -16449.6372665625 0.7H 0.1792525826 0.4792525826 -12892.3843978125 0.8H 0.1240969678 0.3240969678 -8925.426838125 0.9H 0.0643188938 0.1586224592 -4626.0081196875 1.0H el Mayor 0.454 1.454 -4,626 Para el cálculo de los momentos se utiliza la tabla A.7, multiplicando cada uno de los correspondientes coeficientes por la suma de (wuH3 +puH2)
-25814.07 -19696.73 -13320.02 -6519.2 -6,519
wu H3 = -13,815.00 pu H2 = -7894 Suma =
wu H3 = + pu H2
= -21709
Tabla E.1.7. Momentos flexionantes para el empuje de tierras por el lado exterior (condicion de carga No 2) Base articulada, borde superior libre Punto
0.1H 0.2H
Coeficiente de la Tabla A.7
H2/(Dt) =0.52999145 0.0019614795 0.0068918361
Momento flexionante kg m/m el signo + indica tension en la cara interior (kg-m)
-42.58 -149.61
42.58 149.61
0.3H 0.4H 0.5H 0.6H 0.7H 0.8H 0.9H 1.0H el Mayor
0.0144066311 0.0221140286 0.0289443852 0.0336829057 0.0346214262 0.0304295901 0.0193147951 + 0.0000 0.0346
-312.75 -480.07 -628.35 -731.22 -751.6 -660.6 -419.3
312.75 480.07 628.35 731.22 751.6 660.6 419.3
Tabla 13.2 relacion B/(H+hs) para diferentes tipos de terreno
B/(H+hs)
Caw(kg/m3)
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
204 269 343 423 512 605 715 830
seno 28 = 0.46947156
Ha = (1/2)CawH2 (1-sen)/(1+sen) = Ca = Caw = 578 = 28 ° B/(H+hs) = 0.5591 S/c = 300 kg/m2 peso especifico del relleno= 1600 kg/ m3 Fuerzas que actuan H1= 1015 H2 =
203 ###
0.36103348
hs = 0.1875 H+hs = 2.0625 B= 0.27107879 B/3= 0.0903596
f cc =
CE s A s + N max ( sin factorar ) A c + nA s
3.79 cm2
1.44 cm2 Φ3/8"@ 0.30 mΦ3/8"@
0.20 m Φ1/2"@ 0.25 m
5.33 cm2
Corte en la base de la pared cilíndrica
ambien adecuado
0 6.04 17.27 23.31 30.22 0.86 71.66 192.54 355.72
587.98 903.98 904
0.90 Tn-m
da por la presion hidrostatica
-92450.854445 -85064.20853063 -76913.21562313 -68814.11833938
92451 85064 76913 68814 62524
24.46 22.5 20.35 18.2 16.54
-60427.85766438 60428
15.99
-51823.91150656 51824
13.71
-42263.70726656 -32589.11439781 -22245.44683813 -11145.20811969
11.18 8.62 5.88 2.95
-11,145
42264 32589 22245 11145 92,451
0.59
24.46
0.67
15.99
0.315
5.88
Φ5/8"@ 0.13 mΦ5/8"@ 0.10 m
Resultante de ambas fuerzas el signo + denota tension (kg)
Φ1/2"@ 0.22 m
=Mu /8"@ 0.33 m
