v07 - Bode - Dijagrami

BODE-ovi DIJAGRAMI AUDITORNE VJEŽBE

PRIKAZ OSNOVNIH ČLANOVA U BODE-ovom DIJAGRAMU

s
jω

G [dB]

P0 član G(s) = K P G( jω) = K P G = KP

ω

G [ dB] = 20logK P - za KP = 10 :

G [ dB] = 20 dB

ϕ = ϕB − ϕN = arctg(

ϕ

Im Im )B − arctg( )N = 0 Re Re ω

P1 član KP Ts + 1 KP G( j ω) = 1 + Tj ω KP G = 1 + (Tω)2 G(s) =

G

[dB] = 20log

20log

KP 1 + (Tω)2

G( jω)

= 20log K P − 20log 1 + (Tω)2

NFA : ω <<

20log K P − 20log 1 ≈ 20log G( jω) ω→0 ≈ 20log K P

VFA : ω >>

20log K P −20log (Tω) ≈ 20log G( jω) ω→∞

LOMNA FREKVENCIJA - sjecište niskofrekvencijske i visokofrekvencijske asimptote

20log G( jω ) ω →0 = 20log G( jω ) ω →∞

20log K P = 20log K P − 20log (T ωL ) −20log (T ωL ) = 0 1 T ωL = 1 , ωL = T

G [dB ]

AFK

- za KP = 1  NFA: |G| [dB] = 20 log KP = 0 - nagib visokofrekvencijske asimptote : NFA

uzmemo :

ω1 = ω1 ω2 = 10ω1

ωL =

1 T VFA - 20 dB/dek

20log G( jω ) ω 1 = 20log K P − 20log (T ω1 ) 20log G( jω ) ω 2 = 20log K P − 20log (T ω 2 ) 20log G( jω ) ω 2 − 20log G( jω ) ω 1 = −20log (T ω 2 ) + 20log (T ω1 ) = 10ω1 Tω = −(20log (T ω 2 ) − 20log (T ω1 )) = −20log 2 = −20log ω1 T ω1 = −20 dB / dek

ω

ϕ = ϕB − ϕN = −ϕN = −arctg ( Im )N Re

ϕ = −arctg (

Tω ) = −arctg (T ω ) 1

− za : ω <<

ϕ =0

ω >>

ϕ =−

π 2

FFK ϕ

ωL ω

−

π 4

−

π 2

PD član G(s ) = Ts + 1 ,

uz K P = 1

G( jω ) = 1 + Tjω

G = 1 + (T ω )2 G

[dB ] = 20log

1 + (T ω )2

− za : ω << G = 1

ω >> G = T ω

ωL =

1 T

G dB = 0 G dB = 20log(T ω ) AFK

G [dB ]

VFA 20 dB/dek

NFA

ωL =

1 T

ω

ϕ = ϕB − ϕN = ϕB = arctg ( Im )B Re

ϕ = arctg (T ω ) − za : ω <<

ω >>

ϕ =0 π ϕ=

2 ϕ

FFK

π 2 π 4

ωL

ω

I0 član G(s) = 1 , uz KP = 1 Ts i G( j ω) = 1 Ti j ω 1 G= Tω i 1 G dB = 20log( ) = −20log(Ti ω ) Ti ω

ϕ = ϕB − ϕN = −ϕN = −arctg( Im )N Re Tω ϕ = −arctg( i ) = − π 0 2

G [dB ]

AFK

ωL =

1 Ti ω

- 20 dB/dek

ϕ

FFK ω

−

π 2

D0 član G(s) = Tds , uz KP = 1 G( jω) = Td j ω G = Tdω

G [dB ]

AFK

20 dB/dek

G dB = 20log (Tdω )

ωL =

ωL

1 Td

ϕ = ϕB − ϕN = ϕB = arctg( Im )B Re Tω π ϕ = arctg( d ) = 2 0

ϕ

ω

FFK

π 2

ω

Član sa mrtvim vremenom TM G(s ) = e −TM s G( jω ) = e −TM jω

G [dB ]

AFK

G( j ω ) = G e j ϕ G =1 ω

G dB = 20log 1 = 0

ϕ = −TMω

ϕ

FFK ω

ZADATAK 1. 1

Za sustav opisan prijenosnom funkcijom G(s ) =

10 (s + 1)(10s + 1)(5s + 1)

potrebno je nacrtati Bodeov dijagram.

G( s ) =

10 = 10 ⋅ (s + 1)(10s + 1)(5s + 1) P0

G1 = 10 G2 =

1 1 ⋅ ⋅ s +1 10s + 1 P1

1 5s + 1 P1

P1

G dB = 20 dB

1 s +1

1 G3 = 10s + 1 1 G4 = 5s + 1

T =1 , T = 10 , T=5 ,

ω L2 =

ϕ =0 ÷ −

ω L3

1 = 1 s −1, T 1 = = 0,1 s −1, T

ϕ =0 ÷ −

1 = = 0,2 s −1, T

ϕ =0 ÷ −

ω L4

π 2

π 2

π 2

G [dB] - 20 dB/dek

G1

20 - 40 dB/dek

0.2

G2

1

0.1

ω

G4 - 60 dB/dek

G3

G ϕ 0.1

−

π 2

ϕ3

ϕ1

1

0.2

ϕ4

ϕ2

ω

−π 3π − 2

ϕ

ZADATAK 2.

Zadane su asimptote AFK dijagrama otvorenog kruga. Potrebno je naći prijenosnu funkciju sustava zatvorenog s jediničnom negativnom povratnom vezom.

G [dB]

0.1 0.2

1 2

ω

20 dB/dek 20 dB/dek

G [dB]

G1 → D0

0.1

0.2

G3 → PD

1 2

G2 → P1

ω G4 → P1

G [dB]

G1 → D0

0.1 0.2

G3 → PD

1 2

G2 → P1

1 G1 = s = 5s 0,2

Go = G1 G2 G3

GZ =

1

1 G2 = = 1 s + 1 10s + 1 0,1 G4 =

5s(s + 1) (10s + 1)(0,5s + 1)

Go 5s(s + 1) = 1 + Go 10s 2 + 15,5s + 1

ω

G4 → P1

G3 = s + 1

G4 =

1 0,5s + 1