DIAGRAMA DE BODE, A PARTIR PARTIR DEL DIAGRAMA DE POLOS POLOS Y CEROS C EROS
Introducción. Conceptos Básicos
Diagramas de Bode: gráficas semilogarítmicas de la magnitud expresada en decibeles y de la fase expresada en grados de una función de transferencia en el dominio de la frecuencia.
La justificación de hacer este cambio es que al sustituir por se desprecia el transitorio (que lo define la parte real real s) y se mantiene sólo la información información del régimen permanente. La frecuencia frecuencia de la señal de salida es la misma que la de la entrada.
Concepto de Decibelio El decibelio se utilizó uti lizó por primera primera vez en estudi os de acústica. El oído humano no responde de manera lineal line al sino que que lo hace de forma logarítmica. logarítmica. El Bel se utili za para para relacionar relacionar dos niveles de potencia potencia
Figura 1: Diagramas de Bode
Fourier: Cualquie Cual quierr señal arbitraria arbitraria equivale a suma de señales señale s armónicas (senoidales). (senoidales).
Figura 2: Diagrama de Fourier
La técnica para analizar el comportamiento y la estabilidad de un sistema consiste en estudiar su función de transferencia. transferencia. Un sistema real se puede modelizar mediante una función de transferencia transferencia que relacione relacione las señales de entrada con con l as de sali da dependiendo de la frecuencia de trabajo.
Función de transferencia: transferencia:
Se va a trabajar trabajar en el dominio de la f recuencia: recuencia:
2 < − | | [ ]
Es una función compleja complej a que depende de la l a frecuencia frecuenci a .
(Ganancia de un sistema). Se def ine como el logaritmo decimal del cociente entre entre esas dos potencias. Al ser una unidas muy grande se prefiere el uso del decibel io (décima parte). parte).
1010 ∙ logog 2020 ∙ logog 20 ∙l∙ log 20l o g 0°. | | 20l o g ±180° 20log 20/é 90°
Término constante: para para la ganancia ganancia K es de y la fase es de Si Si K es e s negativo, la magnitud magnitud sigue siendo de pero la fase corresponda a
Polo/ Cero en el origen: Para el cero en el origen, origen, la magnitud magnitud es de y la l a fase corresponde a , magnitud magnitud pendiente de .
Figura 3: Diagramas de Bode con polos y ceros en el origen
1 / | | 20l o g 1/ 1 / − /
Polo/ Cero simple: Para un cero simple a magnitud es de equivale a
, y la fase
su módulo indica la respuesta en amplitud (ganancia) su argumento la respuesta de fase. su
La respuesta en frecuencia puede determinarse completamente a partir de la l a función de transfere transferencia ncia G(s), sustituyendo por .
cero simple (1+jw/z1 ) Figura 4: Diagramas de Bode del cero
Sistemas continuos de 1er y 2do Orden Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico. Consecuentemente el orden de un sistema coincide con el número de polos de éste y con el orden de la ecuación diferencial que lo modela. Los sistemas más sencillos y representativos son los de 1er y 2º orden. El análisi s de la respuesta temporal de los sistemas se hace a partir de su respuesta a ciertas entradas, en particular al escalón unitario u(t).
Sistemas continuos de 1er Orden • Un sistema de 1er orden tiene una función de
transferencia de la forma:
1 1 −/ ∗ [1 −/]
er
Figura 6: Diagrama de Bode para un sistema de 1 orden
De la Figura 6 se muestra las ventajas de la escala logarítmica de frecuencia, podemos obtener un diagrama de bode, sin mucha dificultad aproximado de mucha utili dad para un sistema continuo de 1er orden.
Sistemas continuos de 2do Orden • Los sistemas de 2º orden tienen una función de
La respuesta al impulso es:
transferencia de la forma:
La respuesta de este sistema ante una entrada escalón unitario tiene por expresión:
- K: Ganancia estática.
2ξ
- ωn: Frecuencia natural no amortiguada. - ξ: Coeficiente de amortiguamiento. Los dos polos de este sistema pueden ser reales o complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el coeficiente de amortiguamiento ξ .
± ξ /
con : 0 < ξ < 1.
er
Figura 5: Respuesta de un sistema de 1 orden de u(t)
Los parámetros característicos que representados en la figura anterior son:
aparecen
- K: La ganancia estática se define como el valor final ante entrada escalón unitario. -τ : Constante de tiempo (es el tiempo en el que se alcanza el 63% del valor final). - t s= 3T : Tiempo de establecimiento (es el tiempo que tarda la respuesta en entrar y permanecer en la zona del ±5% en torno a su valor de equil ibrio).
: Constante de amortiguamiento. frecuencia amortiguada.
Si σ es positivo el sistema será estable. Si ξ es mayor que la unidad, los polos serán reales y el sistema no presentará oscilaciones. Por el contrario si ξ es menor que la unidad, los polos serán complejos y el sistema oscilará. Estas consideraciones nos permiten clasificar los sistemas de segundo orden frente a entrada escalón de la siguiente manera: ξ < 0 INESTABLE
ξ > 1 SOBREAMORTIGUADO ξ = 1 CRITICAMENTE AMORTIGUADO 0 < ξ < 1 SUBAMORTIGUADO
La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado, ante la entrada escalón unitario, queda representada en la Figura 7 donde aparecen una serie de parámetros característicos cuya
denominación, continuación.
significado
y
valor
se
dan
a
logarítmica conduce a asíntotas lineales de alta y baja frecuencia para la magnitud log. Así pues de la ecuación de la función de transferencia se tiene:
|| {[ ] }
A partir de esta expresión, se desprende que:
do
Figura 7: Respuesta de un sistema de 2 orden de u(t)
Así, para 0< ξ <1, el sistema de segundo orden muestra una respuesta al impulso que tiene un comportamiento oscilatorio amortiguado, y en este caso el sistema se conoce como subamortiguado, Si ξ >1, tanto c1 como c2 son reales y negativas, y la respuesta al impulso es la diferencia entre dos exponenciales decreciente. En este caso, el sistema está sobre amortiguado. En el caso que ξ =1, cuando c1=c2, el caso se considera críticamente amortiguado. A continuación se muestran las figuras para dichos casos mencionados anteriormente:
do
Figura 9: Diagramas de Bode de sistema de 2 orden con ξ
Evaluación Geométrica de la transformada de Fourier a partir del diagrama de polos y ceros. Como sabemos la T.F de una señal constituye la T.L. evaluada sobre el eje jω. En esta sección analizamos un procedimiento para evaluar geomé tricamente la transformada de Fourier y de manera más general, la transformada de Laplace en cualqui er conjunto de valores a partir del patrón de polo y ceros asociado con la transformada racional de Laplace Para desarrollar el procedimiento consideremos primero la transformada de Laplace con un sol o cero [es decir X(s) =s-a], la cual evaluamos en un valor especifico de s, digamos s=s1 . La expresión algebraica s1-a es la suma de dos números complejos, s1 y – a, cada uno de l os cuales se puede representar como un vector en el pl ano, tal como se ilustra en la Figura 10.
do
Figura 8: Respuesta de un sistema de 2 orden con ξ
En la Figura 9 hemos representado el diagrama de bode de la respuesta en frecuencia de la función de transferencia para este caso, para varios valores de ξ . Al igual que en el sistema de 1er orden, la escala
Figura 10: Representación en el plano complejo de los
vectores S 1-a
El vector que representa el numero complejo s1 -a es por consiguiente el vector suma de s1 y – a, el cual vemos en la figura como el vector que va desde cero localizado en s=a hasta el punto s1. El valor de X ( s1 ) tiene entonces una magnitud igual a la longitud de este vector y un ángulo que consiste en el ángulo del vector respecto al eje real. Si en lugar de un cero, X(s) tiene un polo en s=a [es decir, X(s)=1/(s-a)], entonces el denominador estaría representado por el mismo vector de s1 y – a, y el valor de X( s1 ) tendría una magnitud que e s el reciproco de la longitud del vector desde el polo en s= s1 y un ángulo que es el negativo del ángulo el vector con el eje real.
∏ ∏==
+
=> contribuye la disminución de 20dB/década,
lo cual empieza e n la frecuencia de corte
1
00
Para el Diagrama de Fase
Factores:
1 0.1 1 + 1 1 100 + 10 20 l100 og| | => contribuye con 0 a la fase hasta 0.1
=> se eleva linealmente desde 0 a hasta un valor de a 0 => se cancela la elevación anterior en
,
lo cual contribuye a una disminución lineal en un ángulo de entre a
Una transformada racional de Laplace más general consiste en un producto de términos constituidos por polo y ceros de la forma discutida en el párrafo anterior. Ejercicio de Aplicación – Diagramas de Bode Aplicando la Transformada de Laplace tenemos la Función de Transferencia:
100 100 110100 1001 10 100 1001 10 100 (10 1 )11 101 1100 1 20 log| |
=> aporta una reducción lineal en un ángulo
de
entre
a
El Diagrama de Bode para es la suma de los Diagramas de Bode correspondientes a cada uno de los factores. Las Asíntotas se deben sumar para obtener las asíntotas para el Diagrama de Bode completo como se observa en la Figura 11.
Factorando se obtiene:
Por lo tanto la respuesta en frecuencia es:
Para obtener el Diagrama de Bode para factorizamos de la siguiente forma:
,
El Diagrama de Bode para es la suma de los Diagramas de Bode correspondientes a cada uno de los factores. Las Asíntotas se deben sumar para obtener las asíntotas para el Diagrama de Bode completo. Para el Diagrama de Magnitud Factores:
Figura 11: Diagrama de Bode para la función del sistema en
+, + 1
=> Valor constante de - 20dB en cada frecuencia => forma estándar de
primer orden Por lo tanto => Frecuencia de corte produce una elevación de 20dB/década
1 +
1
el ejercicio de aplicación anterior. a) magnitud y b) fase :
Alan Oppenheim, A. W. (1998). Señales y sistemas. Boston-EESS: Pearson Educación.
, lo cual
José Espinoza, D. S. (2015). Sistemas Lineales Dinámicos. Recuperado el 09 de 01 de 2016
=> se cancela la elevación anterior mediante la
Madrid, U. C. (s.f.). SEÑALES Y SISTEMAS. Madrid. Recuperado el 09 de 01 de 2016
1
disminución de 20dB/década, lo cual empieza en la frecuencia de corte 0
