Reprezentarea grafica a diagramelor Bode Pentru sisteme oarecare 1. Considerente Considerente teoretice În analiza i sinteza sistemelor automate, rspunsul la fr ecven ecven se utilizeaz atât în me grafice tipice(locul de tra nsf er i caracteris for m a nalitic, cât i în for me ristici logaritmice). ecvenelor ar e la baz ur mtorul procedeu: s e aplic Studiul sistemelor în domeniul fr ecvene ecvene i aptitudini, deter minându-s e în mod la intrar e semnal ele ar monice, de anumite fr ecvene cor espunztor com por tar ea în r egim per manent a ieirii sistem temului r espectiv. Legturil e ecvenele semnalului de la intrar e i d e ieir e scot în eviden, în dintr e a m plitudinile i fr ecvene mod r em emar cabil, o serie de însuiri ale sistemului a nalizat. În cele mai multe cazuri, rspunsul la fr ecven ecven inter eseaz mai ales în cazul pulsa iilor joase i a celor înalte. Aceste dou domenii se numesc joas frecven i r espectiv, înalt frecven. A r e pr ezenta pulsaia de la 0 la pu nând î n eviden cele dou domenii este r elativ dificil i prin ur mar e pentru a r e pr ezenta a ceast s cal se apeleaz la logaritmar e (logarit m zecimal). Atunci când logaritmul variaz cu o unitate se numete decad. Diagra mel e Bode sunt r e pr ezentri grafice în funcie de logaritmul din ale ur mtoar elor mri mi: A([ ) ! 20 lg | G ( jw) |! 20 lg M ( jw)
N ([ ) ! arg G( j[ ) ! arctg
l ([ )
R([ )
Rspunsul la frecven al elementelor tipice lemente de tip ti p proporional(P) E lemente G ( s ) ! k , k " 1 M ([ ) !| G ( j[ ) |! k N ([ ) ! arctg
l ([ )
R([ )
0 ! arctg ! 0 k
Se obser v c oricar e ar fi valoar ea lui , modulul este egal cu factorul propor ional k i N ([ ) ! 0 A([ ) ! 20 lg | G ( jw) |! 20 lg M ( jw) ! 20 lg k R([ )
! k ; l ([ ) ! 0
N ([ )
A([ )
20 lg k lg([ )
lg([ )
Figura 1.1. Caracteristici logaritmice pentru elementul proporional
1
Teoria Sistemelor Lucrarea
2.
E lement ul
G ( s ) !
de tip integrator (I)
1 N ([ ) ! arctg ( g ) !
s
G ( j[ ) ! R([ )
de laborator nr. 13
1 j[
!
j 2
j[
! 0; I ([ ) !
!
1 [
j [
; M ([ ) !
1
A([ ) ! 20 log
[
R([)
E lement ul
! 20 log [
()
lg()
lg() -2
-20db
[ !0 3.
[
2
A()
l ([ )
[!g
1
T
de tip deriv ativ (D)
( s ) ! s
I ([ ) T N ([ ) ! arctg ! R ([ ) 2
( j[ ) ! j[ A([ ) ! 20 log [
R ([ ) ! 0; I ([ ) ! [
A()
l ([ )
[!g [!0
4.
E lement ul
() -2
20db
[)
R(
lg()
lg()
de întârziere de ordinul I (T1)
2
Teoria Sistemelor Lucrarea
¡
( s ) !
de laborator nr. 13
1
N ([ ) ! arctg (T [ )
Ts 1 1
( j[ ) !
!
Tj[
1 jT [
1 1 T 2[ 2 T [ 1 R ([ ) ! I ( ) [ ! 2 2 2 2 1 T [ 1 T [ ¡
A([ ) ! 20 lg 1 [ 2
T 2
a. comportarea la joas frecven
A( )
lim A([ ) ! 0 [ p0
lim lg [
lg)
!0
[ p0
b. comportarea la înalt frecven
A([ ) lim lg([ )
A( )
!0
[ pg
lg)
A([ ) ! 20 lg[ 20 lg
1 ! 20¨© lg lg[ ¸¹ T ª T º 1
-20JR
1
[1 ! ( pulsaia _ de _ frângere)
( )
T limN ([ ) ! 0 [ p0
limN ([ ) ! [ pg
lg)
T -/4
2
N ([ ) ! arctg (1) !
T
-/2
4 Figura 1.4. Caracteristici logaritmice pentru elementul T1
5. E lemente
G ( s ) !
de întârziere de ordin ul II(T2)
[ n2 s 2 2\[ n [ n2
A([ ) !
; G ( j[ ) !
1 T 2 [ 2 j 2\ T [ (1 T 2 [ 2 ) 2 4\ 2 T 2[ 2
1 1 2[ 2T 2
[ T 4\ 2[ 2T 2 4
4
! 20 lg
; lim R ([ ) ! 0; i I ([ ) ! 0; ¢
[ p g
[ p g
1
[ T 2[ 2 T 2 (\ 2 1) 1 4
4
3
I ([ ) 2\ T [ N ([ ) ! arctg ! arctg R([ ) 1 [ 2T 2 2\ T [ ! T arctg 1 [ 2T 2
, d ac[ "
, d ac[
1 T
1 T
La joas fr ecven: lim A([ ) ! 0; , iar la înalt fr ecven lim [ p g
A([ )
lg [
! 0;
[ p g
«
În situaia în car e \ ¬0, A()
2»
¼ tr e buie fcute anumite cor ecii diagra melor Bode.
2 ½
\
2 2
1/T -/4
-20JR
-/2
Figura 1.5. Caracteristici logaritmice pentru elementul T2
Spr e deose bir e de elementul d e ordinul I, la car e r e pr ezentar ea asi m ptotic aproxi mativ este suficient de
cor ect, în cazul elementului de ordin II, cu \
im por tante în apropier ea pulsa iei d e fr ânger e. Este mar e cu cât este mai mic.
2
2 vorba despr e un
$ 0,7 , apar
modificri
maxim local cu atât mai
1.2 Paii necesari pentru trasarea diagramelor Bode Se consider G(s) funcia de transf er a unui sistem liniar , constant, monovariabil, având poli i zerouri n semipla nul com plex stâng i eventual pe axa imaginar, { s C ; R e s 0} . Funcia de tra nsf er com pus a a cest ui tip de sistem poate fi expri mat sub for ma: G ( s ) ! G1 ( s ) G 2 ( s) ... G n ( s)
-
am plitudinea va deveni:
A([ )
n
! A1 ([ ) A2 ([ ) ... An ([ ) ! § Ai ([ ) i !1
-
faza va deveni n
N ([ ) ! N 1 ([ ) N 2 ([ ) ... N n ([ ) ! § N i ([ ) i !1
Din ultimele dou r elaii r ezult c trasar ea diagra melor de fr ecven pentru un sistem com pus e spoate face prin trasar ea diagra melor individuale pentru elementel e com ponente i însumar ea acestora. De aceea, se va ur mri un algoritm de trasar e rapid a diagra melor , ce va cuprinde ur mtoar ele etape:
4
1. Se aduce funcia de tra nsf er a sistemului sub for ma unui produs d e funcii d e transf er tipice pentru car e se cunosc diagra me de fr ecven ; 2. Se deter min pulsa iile de fr ânger e pentru toate elementele com ponente(s e deter mina acele [ f ,ce apar pentru elementele T1 ,T2 , A1 , A2). Pe caracteristicele de fr ecven, prin lg [ f , se traseaz dr e pte
ver ticale punctate.
Diagrame
Bode
¨ 1 1 ¸ s ¹ 100 s ( s 20) 20 ª º b) G ( s ) ! ! 3 ( s 0,01) 3 ( s 2 s 1) 1 ¨ 1 ¸ s 1¹ ( s 2 s 1) © 3 100 ª 100 º 20 100 s©
s: G(s)=s A1 : G1 ( s ) ! k !
20 100 100
3
1
1 s 1 T 1 ! ; [ f 1 ! 20; lg [ f 1 ! lg 20 ! 0,3 1 ! 1,3 20 20 !
2 10 3 10
6
! 2 10 9 9
k d b ! 20 lg k ! 20 lg 2 10 ! 20(9 0,3) ! 20
9,3 ! 186
e = exces pol zerouri (grad numitor ± grad numrtor) = 5 ± 2 = 3 1 q = nr. de integrar e (dac s este la numrtor => q negativ; iar dac s este la numitor => q pozi tiv i este la s puter ea acestuia) q= ±1
1
3 X T 1 : G2 ( s) !
T 2 : G3 ( s ) ! 2
T
1 100 1
s
2
; T 2
s 1
s 1
; T 3
!
1 100
; [ f 2
! 9,01; lg [ f 2 ! 2
! 1; [ f 3 ! 1lg [ f 3 ! 0; \ !
1 2
! 1 T ! 1
5
+20dB/d ec -40dB/dec
100 80 60 40
-80dB/d ec
20
-20 -38 -40
-60dB/dec
-60 -80
() 2 3T 2
T 2
T 2
T
3T 2
2T
5T 2
6
