Curso de Investigación de Operaciones / Ing. Pedro Pablo Rosales López
PROBLEMAS 07
DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 1. ALFA S.A. produce cuatro tipos de producto a partir de una misma materia prima; cuyos requerimientos unitarios de mano de obra y materia prima se muestran a continuación: Tipo de producto Mano de obra (horas/unidad) Materia prima (kg/unidad) Utilidad ($/unidad)
1 3 1.5 16
2 2 1.8 18
3 5 2.2 12
4 1.5 1.6 16
La empresa dispone de 1400 horas de mano de obra y 1000 kg de materia prima. Se sabe que los clientes comprarán a lo más 200 unidades de producto 1 y a lo más de 120 unidades de producto 2. Asimismo, los clientes comprarán como mínimo 100 unidades del producto 3 y como mínimo 120 unidades del producto 4. Todo lo que se produzca se venderá. Desarrollar el análisis se sensibilidad del modelo de programación lineal que maximiza las utilidades semanales. a. ¿Cuál es la base óptima del problema? b. ¿El modelo posee múltiples soluciones óptimas? Justifique. c. El gerente de mercadeo le dice que por contrato con uno de los clientes más importantes de la empresa se debe entregar 50 unidades del producto 2. ¿Qué impacto tendrá esta decisión en las utilidades de la empresa? Determine la nueva utilidad óptima. d. ¿Cuál debe ser la utilidad unitaria mínima del producto 2 de tal manera que convenga producirlo? Justifique su respuesta. e. Por razones de equilibrio de mercado, la utilidad del producto 3 se ha incrementado en 18%. ¿Cambiará el plan óptimo de producción? f. Suponga que el precio de venta unitario del producto 1 es $30. ¿Entre qué límites puede variar dicho precio de venta sin que varíe el plan óptimo de producción? g. Se quiere llevar a cabo una campaña publicitaria para que los clientes compren por lo menos 150 unidades de producto 3. Calcule, de ser posible, la nueva utilidad óptima. h. La empresa tiene la oportunidad de adquirir 100 kg más de materia prima. ¿le conviene tomar esta decisión? ¿Se verá afectada la base óptima? Calcule, de ser posible, la nueva utilidad óptima, justificando su respuesta. i. Calcule de ser posible la nueva utilidad óptima, si la disponibilidad de materia prima se reduce en 120 kg.
Sets: Tipo /1..4/ : ManoObra, MPrima, Utilidad, Limite, X ; End sets Data: ManoObra = 3 2 5 1.5 ; MPrima = 1.5 1.8 2.2 1.6 ; Utilidad = 16 18 12 16 ; Limite = 200 120 100 120 ;
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Curso de Investigación de Operaciones / Ing. Pedro Pablo Rosales López End data Max = @sum(Tipo(i): Utilidad(i)*X(i)); [Dispo_MO] @sum(Tipo(i): ManoObra(i)*X(i)) <= 1400 ; [Dispo_MP] @sum(Tipo(i): MPrima(i)*X(i)) <= 1000 ; @For(Tipo(i) | i#LE#2 : [Max_a_comprar] X(i) <= Limite(i)) ; @For(Tipo(i) | i#GE#3 : [Min_a_comprar] X(i) >= Limite(i)) ; End
2. La empresa Natura – Farma se dedica a la extracción de compuestos medicinales de los árboles de la Amazonía. Para la extracción del compuesto X puede emplear la corteza de cualquiera de 2 árboles: Copaiba y Ojé. Para extraer el compuesto se puede usar cualquiera de 2 procesos distintos: P1 y P2. La información sobre la cantidad de compuesto medicinal que se extrae de la corteza de los diferentes árboles según el proceso elegido, los costos por Kg. de corteza, disponibilidad semanal de corteza, costo de procesamiento por Kg. de corteza y la capacidad semanal de cada proceso extractivo se presentan en la siguiente tabla: Compuesto extraído (%) Información sobre insumos P1 P2 Costo (Soles/kg) Disponibilidad (kg) Copaiba 1.5 1.70 0.35 38000 Ojé 2.0 1.85 0.50 50000 Costo procesamiento (Soles/kg) 1 0.70 Capacidad de proceso (kg) 40000 50000
Natura – Farma necesita producir semanalmente por lo menos 1600 Kg. del compuesto medicinal. Desarrollar el modelo de programación lineal que permite a Natura – Farma resolver su problema de producción y realizar el análisis de sensibilidad: a. Identifique y defina las variables de decisión. b. ¿Qué sucedería con el valor de la función objetivo si se decidiera destinar 2000 Kg. de corteza de Copaiba al Proceso 1? c. Si en lugar de tener la necesidad de producir por lo menos 1600 Kg. de compuesto medicinal; ahora solo se debe producir por lo menos 1580 Kg. ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo? Sustente su respuesta sin correr el modelo. d. Un proveedor le ofrece al administrador de Natura – Farma, suministrarle corteza adicional de cualquiera de los tipos de árbol. Si, usted como administrador se decidiera por la compra de alguna de los tipos de corteza. ¿Por cuál se decidiría? ¿Cuántos Kg. podría adquirir sin que la base óptima se modifique? Sustente su respuesta sin correr el modelo. e. ¿Cuál de los procesos trabaja a toda su capacidad? ¿Cuál puede ser la máxima capacidad de dicho proceso a fin de que la base actual no cambie?
Sets: Corteza/1..2/:costo_i,disp; Proceso/1..2/:costo_p,cap; CP(corteza,proceso):porcentaje, x; End sets Data: USIL / Facultad de Ingeniería / Problemas
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Curso de Investigación de Operaciones / Ing. Pedro Pablo Rosales López costo_i costo_p disp cap porcentaje
= = = = =
0.35 0.5; 1 0.7; 38000 50000; 40000 50000; 0.015 0.017 0.02 0.0185;
End data Min=@sum(CP(i,j):(costo_i(i)+costo_p(j))*x(i,j)); @for(corteza(i):[disponibilidad] @sum(proceso(j):x(i,j)) <= disp(i)); @for(proceso(j):[capacidad] @sum(corteza(i):x(i,j)) <= cap(j)); [compuesto_req]@sum(CP(i,j):x(i,j)*porcentaje(i,j)) >= 1600; End
3. Usted es un contratista que puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y San Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurín. La cantidad máxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurín 14 toneladas. Los costos de transporte y obtención de la arena se muestran en el cuadro siguiente: Costo de transporte (soles / tonelada) Construcción Cantera Cieneguilla Lurín
Surco
La Molina
San Borja
30 60
60 30
50 40
Costo de arena (soles/tonelada) 100 120
La cantidad de arena que como mínimo debe entregar a cada construcción es la siguiente: Surco 10 toneladas
La Molina 5 toneladas
San Borja 10 toneladas
Teniendo en cuenta los datos anteriores, desarrolle el modelo de programación lineal que permite al contratista determinar la cantidad de arena que debe transportar desde las canteras a las construcciones y realice el análisis de sensibilidad. a. Defina las variables de decisión. b. Si tuviera que establecer el precio por tonelada a cobrar a cada una de las construcciones por el material que les entrega, ¿qué resultados emplearía como base para fijar dichos precios? c. Usted ha escuchado que es posible que la cantera de Cieneguilla eleve el costo por tonelada de arena. ¿Hasta qué precio estaría usted dispuesto a pagar por tonelada en dicha cantera para mantener su plan actual? d. Se ha enterado que un competidor ha acudido antes que usted a la cantera de Cieneguilla y ha comprado material dejándole a usted una disponibilidad menor. Usted desea evaluar cuál será el efecto en sus costos totales y cuál sería la máxima disminución de dicha disponibilidad que le permitiera mantener las mismas rutas de transporte a utilizar en su plan actual. Sets: cant/1..2/ : disp, costo; const/1..3/ : req; CC(cant,const) : costo_t, x; End sets data: USIL / Facultad de Ingeniería / Problemas
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Curso de Investigación de Operaciones / Ing. Pedro Pablo Rosales López req = disp = costo = costo_t = End data
10 5 10; 18 14; 100 120; 30 60 50 60 30 40;
Min = @sum(cc(i,j):x(i,j)*costo_t(i,j)+x(i,j)*costo(i)); @for(cant(i):[disponibilidad] @sum(const(j):x(i,j))<=disp(i)); @for(const(j):[requerimiento] @sum(cant(i):x(i,j))>=req(j)); End
4. DIGITAL IMPORT es una empresa que se dedica principalmente a la venta de los siguientes artículos: Televisores de pantalla plana, equipos DVD, y equipos de sonido de alta fidelidad, los mismos que importa de una reconocida marca de equipos digitales. Los precios de venta, los costos de adquisición de cada uno de los artículos, el espacio de almacenamiento requerido, y las horashombre (HH) necesarias para su comercialización se presentan en la siguiente tabla: Precio de venta Costo adquisición Espacio Comercialización ($/unidad) ($/unidad) (m3 / unidad) (HH / unidad) TV. pantalla plana 250 180 0.20 4 Equipo DVD 100 65 0.08 2 Equipo de sonido 150 100 0.40 1 Artículo
Digital importa recibe sus lotes de pedidos cada 2 semanas (14 días), motivo por el cual desea planificar su plan de compras para cada período de aprovisionamiento. El almacén tiene una capacidad útil de almacenamiento de 180 m3, cada día la fuerza de ventas disponible es de 10 trabajadores que laboran 8 horas diarias, se ha destinado $ 60700 para la adquisición de mercadería. Desarrollar el modelo de programación lineal en LINGO que resuelve el problema de DIGITAL IMPORT y realizar el análisis de sensibilidad:
a. Identifique y defina las variables de decisión. b. ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo, si se decidiera adquirir 15 TV. pantalla plana? c. Si el precio de venta de los equipos DVD ya no fuera $ 100, si no que ahora fuera de $ 98. ¿La base óptima se modificaría? d. El administrador de DIGITAL IMPORT tiene dos posibilidades: Alquilar 22 m3 de almacenamiento extra o aumentar de 8 a 9 las horas que se laboran cada día. Independientemente del costo que representa cada alternativa ¿Cuál de las dos opciones es más conveniente? Sets: modelo/1..3/ : precio, costo, espacio, tiempo, x; End sets Data: costo=180 65 100; precio=250 100 150; tiempo=4 2 1; espacio=0.2 0.08 0.4; End data Max=@sum(modelo(i):(precio-costo)*x); [disp_espacio]@sum(modelo(i):x*espacio)<=180; [disp_tiempo]@sum(modelo(i):x*tiempo)<=8*10*14; USIL / Facultad de Ingeniería / Problemas
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Curso de Investigación de Operaciones / Ing. Pedro Pablo Rosales López [disp_presupuesto]@sum(modelo(i):x*costo)<=60700; End
5. El presidente de una región del interior del país ha visto disminuir su popularidad durante los últimos meses; la población le reclama que haga más obras públicas. Ordenó a sus asesores que realicen un estudio sobre las obras públicas que se pueden realizar con una duración no mayor de 20 días. Los asesores fueron recogiendo las opiniones de los pobladores de las diferentes provincias de la región, luego de lo cual determinaron los 4 tipos de obras públicas más solicitadas, que se pueden realizar en ese período de tiempo. Los requerimientos y el número de familias beneficiadas en promedio por cada tipo de obra pública se presentan en la siguiente tabla: Tipo de obra pública Losa deportiva Asfaltado pistas y veredas Parques y jardines Locales comunales
Ingenieros civiles 2 3 1 2
Obreros 10 12 8 9
Maquinaria Tipo 1 2 2 1 1
Maquinaria Tipo 2 1 2 2 1
Familias beneficiadas 190 250 180 150
Durante el período de tiempo señalado se dispone del siguiente número de ingenieros, obreros y maquinarias tipo 1 y tipo 2. Disponibilidad Ingenieros civiles Obreros Maquinaria Tipo 1 Maquinaria Tipo 2
84 360 51 60
Desarrolle el modelo de programación lineal que permite determinar el plan óptimo de ejecución de obras públicas y realice el análisis de sensibilidad: a. ¿Cuál sería el plan de ejecución de obras públicas? b. ¿Qué sería más conveniente, aumentar la disponibilidad de Maquinarias Tipo 1 o Tipo 2? c. ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo, si se decidiera construir 4 losas deportivas? d. ¿Hasta qué valores puede disminuir o aumentar el número de familias beneficiadas por la construcción de locales comunales, de tal forma que la solución hallada inicialmente siga siendo la óptima? e. El Alcalde de una región vecina ofrece enviar a 40 obreros calificados. Se desea que la base solución óptima hallada siga siendo la misma. ¿Se deberían aceptar a la totalidad de los obreros? ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo que se lograría con los obreros que sean aceptados? Sets: obra/1..4/ : beneficio, x; recurso/1..4/ : disp; OR(obra,recurso) : uso; End sets Data: beneficio=190 250 180 150; disp=84 360 51 60; uso = 2 10 2 1 3 12 2 2 1 8 1 2 2 9 1 1; End data USIL / Facultad de Ingeniería / Problemas
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6. Una compañía manufacturera produce caramelos y toffees. La demanda pronosticada para los meses de enero, febrero y marzo se muestra a continuación: Mes Enero Febrero Marzo
Demanda pronosticada (bolsas) Caramelos Toffees 10 700 4 300 10 000 4 250 10 900 4 400
Precio ($/bolsa) Caramelos Toffees 10 13 11 12 12 13
Mínimo a vender (bolsas) Caramelos Toffees 1000 100 500 120 800 100
La compañía posee dos plantas de producción. Cualquier producto puede ser elaborado en cualquier planta. La capacidad de cada planta y las tasas de producción se muestran en las siguientes tablas: Mes Enero Febrero Marzo
Producto Caramelos Toffees
Capacidad (horas) Planta 1 Planta 2 500 500 300 300 600 500
Tasa de producción (horas/bolsa) Planta 1 Planta 2 0.25 0.26 0.22 0.24
Además, se debe tener en cuenta lo siguiente: • No hay obligación de vender todo lo pronosticado. • El costo de producción es 5 $/hora (se paga sólo por las horas trabajadas). • Se puede almacenar productos a un costo mensual de 1.20 $/bolsa. • El inventario en el almacén a inicios de Enero, es de 600 bolsas de caramelos y 800 bolsas de toffees. • Al final del mes de marzo, se desea un inventario de por lo menos 1000 bolsas de caramelos y 1000 bolsas de toffees en el almacén. Las variables de decisión son las siguientes: • Produccion(i,j,k) : Cantidad de bolsas a producir del producto i en el mes j y en la planta k. • Inventario(i,j) : Inventario del producto i al final del mes j (en bolsas). • Ventas(i,j) : Cantidad de bolsas a vender del producto i en el mes j. Desarrollar el modelo de programación lineal para determinar el plan mensual de producción e inventarios que maximice la utilidad total y realizar el análisis de sensibilidad: Responda las siguientes preguntas: a. Complete el siguiente cuadro: b. Si el precio de venta de los caramelos en el mes de enero se incrementara a 11 $/bolsa: c. ¿Cambiará la base óptima? Justifique su respuesta. d. ¿Cambiará el plan óptimo de operaciones de la empresa? Justifique su respuesta. e. ¿Cambiará la utilidad total óptima? Justifique su respuesta. En caso de ser afirmativa, presente la nueva utilidad total. f. ¿Hasta qué valor puede aumentar el costo del inventario final de toffees en el mes de febrero sin que cambie la solución óptima? Justifique su respuesta.
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g. El gerente de abastecimiento ordena que el inventario de caramelos en el mes de marzo sea por lo menos 100 bolsas. ¿El impacto en las utilidades sería positivo, negativo o nulo? Justifique su respuesta. ¿Cuál sería la nueva utilidad total? h. ¿En qué planta y en qué mes se recomendaría incrementar la capacidad, y hasta qué capacidad recomendaría hacerlo sin que cambie la base óptima? Justifique sus respuestas. i. El gerente quiere que se produzca 150 bolsas de caramelos en la planta 1. Si tuviera que elegir que esa producción se hiciera en un solo mes, ¿Qué mes elegiría? Justifique su respuesta. Además Determine la nueva utilidad total. Sets: Prod /Caram Toff/ : Inv_Ini; ! i; Mes /ENE FEB MAR/ ; ! j; Planta /PL1 PL2/ ; ! k; ProdMes(Prod, Mes): Dem, Inv, Ventas, Minimo, Precio ; ! i,j; MesPlanta(Mes, Planta): Cap; ! j,k; ProdPlanta(Prod,Planta): Tasa; ! i,k; ProdMesPlanta(Prod, Mes, Planta): Produccion; ! i,j,k; End sets Data: Inv_Ini = 600 800 ; Dem = 10700 10000 10900 4300 4250 4400 ; Cap = 500 500 300 300 600 500 ; Minimo = 1000 500 800 100 120 100 ; Tasa = 0.25 0.26 0.22 0.24 ; Precio = 10 11 12 13 12 13 ; End data Max = @Sum(ProdMes(i,j): Ventas(i,j)*Precio(i,j)) - 5*@Sum(ProdMesPlanta(i,j,k): Produccion(i,j,k)*Tasa(i,k)) - 1.2*@Sum(ProdMes(i,j): Inv(i,j)); !Límite de capacidad por mes y por planta; @For(MesPlanta(j,k): [Lim_Capac] @Sum(Prod(i): Produccion(i,j,k)*Tasa(i,k)) <= Cap(j,k)); !Venta máxima por producto y por mes; @For(ProdMes(i,j): [Venta_Max] Ventas(i,j) <= Dem(i,j)); !Venta mínima por producto y por mes; @For(ProdMes(i,j): [Venta_Min] Ventas(i,j) >= Minimo(i,j)); !Balance de inventarios por producto y por mes; @For(ProdMes(i,j) | j #EQ# 1 : [Bal_Inv_Ene] Inv_Ini(i) + @Sum(Planta(k): Produccion(i,j,k)) = Ventas(i,j)+Inv(i,j)); @For(ProdMes(i,j) | j #GT# 1 : [Bal_Inv_Feb_Mar] Inv(i,j-1) + @Sum(Planta(k): Produccion(i,j,k)) = Ventas(i,j)+Inv(i,j)); !Inventario mínimo por producto en el mes de marzo; @For(Prodmes(i,j) | j #EQ# 3 : [Inv_Min]Inv(i,j) >= 1000); End
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