Unidad 1 Distribuciones Fundamentales Para El Muestreo

ESTADISTICA INFERENCIAL 1 UNIDAD 1 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO INGENIERIA INDUSTRIAL

UNIDAD 1 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO

1.1 INTRODUCCION A LA ESTADISTICA INFERENCIAL Es la descripción de una característica particular de un fenómeno a partir de datos numéricos; por ejemplo la estatura de estudiantes, tamaño de plantas, tiempo de reacción de animales a cierto estimulo, edad de la población escolar, cantidad de piezas fabricadas por hora, etc.,. Las técnicas se utilizan en casi todos los aspectos de la vida; se diseñan encuestas para recabar la información previa al día de elecciones y así predecir el resultado de las mismas, se seleccionan al azar consumidores para obtener información con el fin de predecir la diferencia con respecto resp ecto a ciertos productos etc., . El medico que investiga realiza experimentos para determinar el efecto de ciertos medi medicam camen ento toss y de con condi dici cion ones es ambi ambien enta tale less cont contro rola lada dass con con los los humano humanoss y así determinar el método apropiado par curar cierta enfermedad; el ingeniero muestrea las características de calidad de un producto; Se toman muestras de fusibles recientemente fabricados antes de su envío para decidir si se entregan o se retienen ciertos lotes de dicho producto. Las técnicas estadísticas desempeñan una función importante en el logro del objetivo de cada uno de estos problemas prácticos. 1.2 INTRODUCCION AL MUESTREO Y TIPOS DE MUESTREO POBLACION Es el conjunto de elementos con ciertas características comunes. Es decir, el número de observaciones que caracterizan un fenómeno. MUESTRA Es un subconjunto representativo seleccionado de la población que se encuentra en análisis. REPRESENTATIVO Una buena muestra debe reflejar las características esenciales de la población de la cual se obtuvo. MUESTRA ALEATORIA Se obtiene cuando se ha asegurado que cada observación en la población tiene una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra. ESTADISTICO Es la característica de interés que se calcula utilizando una muestra. PARAMETRO Es el resultado de usar los estadísticos como base para hacer inferencias acerca de ciertas características de la población. VARIABLES DISCRETAS Solo pueden tener valores observados en puntos aislados a lo largo de una escala de valores, generalmente se presenta a través de un proceso de conteo, por esta razón los valores se expresan como números enteros. Por ejemplo el número de personas en un grupo, numero de automóviles producidos por una planta armadora etc.

M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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VARIABLES CONTINUAS Puede presentar un valor en cualquier punto fraccionario dentro de un intervalo especificado de valores, los datos son generados a través de un proceso de medición. medición. Por ejemplo el tiempo que transcurre para que se funda un foco, kilómetros transcurridos por litro de combustible, el peso de cualquier embarque etc. ESTADISTICA ADMINISTRATIVA Aplicación Aplicación de técnicas técnicas mediante las cuales se recopila, recopila, organiza, organiza, presentan y analizan analizan los los dato datoss cuant cuantit itat ativ ivos os con el fin fin de descri describi birr una carac caracte terís rísti tica ca part partic icul ular ar de un fenómeno. En estadística la inferencia es inductiva porque se proyecta de lo especifico (muestra) hacia lo general (población). (población). Es un procedimiento procedimiento donde siempre siempre existe la posibilidad posibilidad del error. Lo que hace que la estadística sea una ciencia, es que unida a cualquier proposición siempre existe una medida de confiabilidad de esta. ESTADISTICA DESCRIPTIVA La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El promedio es una medida medida de tendencia tendencia central para una serie de valores valores con el fin de describir los datos de alguna forma. MEDIA ARITMETICA Es la suma de los valores del grupo de datos dividida entre el numero de observaciones en la muestra y se representa por

+ + + ⋅⋅⋅⋅ + x x 1 x 2 x3 X =

n

n

Y se simplifica como: A)

B) n

X =

∑

N

∑

xi

i=1

n

µ

=

xi

i= 1

N

En ambas fórmulas se suman todos los valores y después se dividen entre el numero de datos analizados. La diferencia se encuentre en que para la formula B se utiliza N M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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VARIABLES CONTINUAS Puede presentar un valor en cualquier punto fraccionario dentro de un intervalo especificado de valores, los datos son generados a través de un proceso de medición. medición. Por ejemplo el tiempo que transcurre para que se funda un foco, kilómetros transcurridos por litro de combustible, el peso de cualquier embarque etc. ESTADISTICA ADMINISTRATIVA Aplicación Aplicación de técnicas técnicas mediante las cuales se recopila, recopila, organiza, organiza, presentan y analizan analizan los los dato datoss cuant cuantit itat ativ ivos os con el fin fin de descri describi birr una carac caracte terís rísti tica ca part partic icul ular ar de un fenómeno. En estadística la inferencia es inductiva porque se proyecta de lo especifico (muestra) hacia lo general (población). (población). Es un procedimiento procedimiento donde siempre siempre existe la posibilidad posibilidad del error. Lo que hace que la estadística sea una ciencia, es que unida a cualquier proposición siempre existe una medida de confiabilidad de esta. ESTADISTICA DESCRIPTIVA La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El promedio es una medida medida de tendencia tendencia central para una serie de valores valores con el fin de describir los datos de alguna forma. MEDIA ARITMETICA Es la suma de los valores del grupo de datos dividida entre el numero de observaciones en la muestra y se representa por

+ + + ⋅⋅⋅⋅ + x x 1 x 2 x3 X =

n

n

Y se simplifica como: A)

B) n

X =

∑

N

∑

xi

i=1

n

µ

=

xi

i= 1

N

En ambas fórmulas se suman todos los valores y después se dividen entre el numero de datos analizados. La diferencia se encuentre en que para la formula B se utiliza N M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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mayúscula mayúscula que son los datos de la población población y para A se utiliza utiliza n minúscula minúscula que son los datos de la muestra. Ejemplo. Supóngase que los siguientes datos representan el sueldo devengado por hora por 6 torneros especializados que han sido seleccionados en un muestreo aleatorio en una compañía. ¿Cuál es la media de su salario si los datos son 11, 13.5, 8.5, 9, 10.5 y 11?

MEDIANA Es una medida de tendencia central que aparece en el medio de una sucesión ordenada de valores en forma ascendente. Cuando el número de observaciones o valores es par o impar se utiliza la siguiente formula. MED = { X }

n +1

2

Del ejemplo de los 6 torneros la mediana es:

MODA Es el valor que se presenta más frecuentemente en un conjunto de datos. Por ejemplo en los datos de los salarios de los torneros la moda es: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica %20Descriptiva.pdf pagina pagina 17-23

MEDIDAS DE DISPERSION Las medidas de dispersión describen describen un grupo de valores en función de la variación o dispersión de las observaciones o datos incluidos en ese grupo. Dentro de las medidas de dispersión se encuentran: RANGO Es la diferencia entre el valor mas alto y el valor mas bajo de los datos en una distribución, y se representa por: R=S-1 S = Valor superior del grupo 1 = Valor inferior del grupo http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica %20Descriptiva.pdf páginas 1,2 y3 Estudiar! M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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VARIANZA Son las diferencias entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo, cada una de estas diferencias se eleva al cuadrado antes de sumarlas, luego se dividen entre N (n). La varianza poblacional se representa por 2

representa por S

σ

2

∑ ( xi − µ ) =

y la varianza muestral se

y sus respectivas fórmulas son:

Varianza poblacional. N

σ

2

Varianza muestral. n

2

i =1

N

2

S =

2

∑ ( xi − X ) I =1

n −1

Donde: 2

= Varianza pob lacional σ 2

S = Varianza muestral x = Cada valor de la muestra i

= Media poblacional µ N= Numero de datos en la población

X = Media muestral n= Nu mero de datos en la muestra

En la suma ( Xi - X ) solo n - 1 de los términos son independientes porque el calculo del estadístico S supone un conocimiento previo del estadístico X , es decir, si se conoce X se pierde un grado de libertad, porque solo se necesita conocer n-1 de los n términos para determinar la observación restante. Si el denominador hubiera sido n en lugar de n-1 se habría obtenido el promedio de las diferencias al cuadrado alrededor de la media. Sin embargo se utiliza n-1 debido a la propiedad de los grados de libertad. http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica %20Descriptiva.pdf páginas 28-29 Estudiar!

GRADOS DE LIBERTAD Son el número de variables que pueden fluctuar libremente dentro de un conjunto de variables. M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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La varianza es una medida de dispersión o variación de los datos de la variable aleatoria alrededor de la media.

1.3 TEOREMA DE LIMITE CENTRAL Si los valores tienden a concentrarse alrededor de la media, la varianza es pequeña en tanto que si los valores tienden a distribuirse lejos de la media la varianza es grande. El teorema de Limite central es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos decie que si una muestra es lo suficientemente grande(generalmente cuando el tamaño muestral supera a 30 unidades), sea cual fuera la distribución de lamedia muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguiran una distribucion normal. Ademas, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar. http://www.youtube.com/watch?v=wyhWGf90Rdw TLC; Observar y comprender! http://www.youtube.com/watch?v=dz3rBHjTeVQ TLC; Observar y comprender! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-38-est.htm Datos Bernoulli a normal Estudiar! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-39-est.htm Datos uniformes a normal Estudiar! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-40-est.htm Datos Bernoulli a normal Estudiar! DESVIACION ESTANDAR Es la raíz cuadrada de la varianza representada por σ para la población y por S para la muestra y su formula es: Desviación poblacional N

2

∑ ( xi − µ ) σ

i= 1

=

N

Desviación muestral n

∑ ( xi − X )


S =

i=1

1

2

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Ejemplo. Calcule la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos muestrales, 9.3, 7, 11, 13, 10.5, 8.5, 11.5, 10.25, 9.5 y 10.


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ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS, recordando! DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMA Muchas veces uno se pregunta, ¿para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio se escucha más que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? La respuesta se comienza con la recaudación de datos. Los datos son información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa1/matematicas_elaboracion_de _una_distribucion_de_frecuencias.pdf Resolver! CLASIFICACION DE CURVAS En términos de simetría las curvas pueden ser: Negativamente disimetrica Simétrica

En términos de curtosis las curvas pueden ser: Planicurtica Mesocurtica

Positivamente disimetrica

Leptocurtica

PLANICURTICA Plana, con observaciones distribuidas de manera relativamente uniforme a través de las clases. MESOCURTICA Ni plana ni puntiaguda, en términos de la distribución de los valores observados. LEPTOCURTICA Puntiaguda, con las observaciones concentradas en un estrecho rango de valores.


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Ejercicios: 1. Defina, estadística, población, muestra, muestra aleatoria, representativo, estadístico, parámetro, variables discretas, variables continuas, que son los grados de libertad y el promedio. 2. Cuales son las medidas de tendencia central y defina cada una de ellas. 3. Cuales son las medidas de dispersión y defina cada una de ellas. 4. Defina el origen del teorema de límite central. 5. Que son las distribuciones de frecuencias. 6. En términos de disimetria y curtosis como pueden ser las curvas(dibújelas). Resolver: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica %20Descriptiva.pdf páginas 4-8


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1.4 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO DISTRIBUCION NORMAL Es una distribución de probabilidad continua (puede tener cualquier valor dentro de un rango definido de valores), es tanto simétrica como mesocurtica (ni plana ni puntiaguda). Su curva es una campana simétrica que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como negativa. su rango de variación es −∞ ≤ x ≤ ∞ . http://www.youtube.com/watch?v=jKimIl_E2iM distribución normal; comprender!

Cualquier conjunto de valores x normalmente distribuidos puede convertirse a valores normales estándar z por medio de la formula: x − µ Z = σ

Aunque los datos originales para la variable aleatoria x tengan la media µ (miu) y la desviación estándar σ (sigma) la variable aleatoria estandarizada z siempre tendrá una 1 por lo tanto todos los datos media de µ = 0 y la desviación estándar σ Z

Z

=

estandarizados siempre tendrán media igual a cero y desviación estándar igual a 1. http://www.youtube.com/watch?v=m-mSxIncuMQ Uso de Tabla; comprender! http://www.youtube.com/watch?v=JgLtLYNE5Yk Uso de Tabla; comprender! http://www.youtube.com/watch?v=Myn3NuWYlAI Regla empírica; comprender! Ejemplos: 1.- Los resultados de un examen de Ingeniería Industrial en un prestigiado tecnológico tiene una distribución normal con media de 92 y la desviación típica de 5 ¿cual es la probabilidad de que los resultados queden entre 90 y 95 puntos ? 2.- En un proceso químico el tiempo de precipitado de una sustancia tiene una distribución normal con una media de 15.28 segundos y una desviación de .24 segundos. Calcule la probabilidad de que una sustancia similar para precipitarse tarde: a). Entre 15 y 15.5 segundos b). Por lo menos 15.25 segundos c). A lo mas 17 segundos M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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3.- Si x tiende a ser normal con media poblacional µ y varianza poblacional σ2(si x~n(10,9) ). Hallar: a) P(x < 1)= b) P(2
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b) ¿Cuál es el valor apropiado de C tal que un perno escogido al azar tenga un diámetro menor que C con una probabilidad de .8531? 9.- Se puede ajustar una maquina de refrescos de tal manera que llene los vasos con un promedio de 8 onzas por vaso. Si el numero de onzas por vaso tiene una distribución normal con una desviación estándar igual a 0.3 onzas, encuentre el valor de P (volumen total del vaso) de tal forma que los vasos de 8 onzas solamente se derramaran el 1% de las veces. 10.- Las bolsas de plástico utilizadas para empacar productos agrícolas se fabrican de modo que la resistencia a la ruptura de la bolsa tenga una distribución normal, con una media de 5 libras/pulgada cuadrada y una desviación estándar de 1 libra/ pulgada cuadrada. ¿Que proporción de las bolsas producidas tiene una resistencia a la ruptura: a) entre 5 y 5.5 libras / pulgada cuadrada? b) entre 3.2 y 4.2 libras / pulgada cuadrada? c) cuando menos 3.6 libras / pulgada cuadrada? d) menos de 3.17 libras / pulgada cuadrada? 11.- En un examen la calificación promedio fue de 74 y la desviación estándar fue 7. Si 12% de la clase recibió calificación A, y las calificaciones siguen una curva de distribución normal, ¿Cual es la posible A más baja y la posible B mas alta? 12.- Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes cuyas dimensiones no se encuentren dentro de la especificación 1.5 mas-menos d . Se sabe que esta dimensión es normalmente distribuida con una media de 1.5 y una desviación estándar de 0.2 Determine el valor d para que la especificación cubra (acepte) el 95% de las mediciones. 13.- Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión, ¿Qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 ohms? 14.- En un supermercado se utilizan bolsas de plástico para empacar los productos, y están fabricadas de tal manera que la resistencia a la rotura tiene una distribución normal con una media de 2.5 Kg por centímetro cuadrado y una desviación estándar de .5 Kg por centímetro cuadrado. ¿Que proporción de las bolsas tienen una resistencia a la rotura 2.5 y 3 Kg por centímetro cuadrado? ¿Que proporción resiste entre 1.5 y 2.3 Kg por centímetro cuadrado? 15.- Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm. y una desviación estándar igual a .001 cm. Para que el pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. si el diámetro del pistón es menor que 4.998 cm. se M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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desecha; si es mayor que 5.002 cm. el pistón puede reprocesarse. ¿Que porcentaje de pistones servirá? ¿Que porcentaje será rechazado? ¿Que porcentaje será reprocesado? 16.- Un fabricante de una cera para abrillantar metales quiere disponer su maquina envasadora de manera que en la producción solo 3 botes de 1000 contengan menos del llenado neto mínimo de 31.4 onzas. Se sabe que los pesos del llenado se distribuyen aproximadamente de manera normal con desviación típica de .2 onzas. ¿en donde habrá que situar la media del llenado para cumplir con este requisito? 17.-un fabricante tiene que comprar resortes espirales que resistan al menos una carga de 15 libras. El proveedor a garantiza que sus espirales resisten en promedio 20.5 libras con desviación típica de 2.1 libras; el proveedor b garantiza que sus resortes resisten una carga promedio de 19.9 libras con desviación típica de 1.5 libras, y el proveedor c garantiza que sus resortes resisten una carga promedio de 18.2 libras con desviación típica de 1.1 libras. Se suponen aproximadamente normales todas las distribuciones. Basándose en las garantías, ¿cuales resortes parecen preferibles y porque?


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DISTRIBUCION t DE STUDENT Se utiliza cuando una muestra es pequeña (n< 30) y la población esta normalmente distribuida, pero la desviación típica σ no se conoce. El rango de variación es: -∞< t < ∞ con n-1 grados de libertad.

http://www.youtube.com/watch?v=miMjtkypyLg Propiedades t-student; Comprender! PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION t Es simétrica. Su media vale cero. Es planicurtica. A medida que aumenta el tamaño de la muestra y los grados de libertad, la distribución t se acerca a una distribución normal. Gráfica

Ejemplos: 1.- Si v = 10 hallar la probabilidad de que t tome valores: a) Inferiores a: 2.23 b) Entre -1.37 y 1.37 c) Entre 1.81 y 3.17


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2.- Si v = 15 hallar la probabilidad de que t tome valores: a) Entre -2.131 y -1.341 b) Entre 1.753 y 2.602 c) Inferiores a 2.947

3.- Si v = 20 hallar los valores de t para los cuales: a) El área a la derecha sea 5% b) El área a la derecha sea 1% c) El área a la derecha sea .5%

4.- En una distribucion t de student, si la muestra que se tiene es de 18 elementos, hallar el valor de t para el cual el área a la derecha sea de: a) .995 b) .95 c) .25 d) .9


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DISTRIBUCION CHI CUADRADA Propiedades de la curva: Asimétrica positiva Su rango de variación es 2

0 ≤ X

<∞

Gráfica

http://www.youtube.com/watch?v=GmPNvOXTskw Propiedades ji-cuad; comprender! 1.- Si υ es igual a 10. Hallar la probabilidad de que chi cuadrada tome valores: a) Entre 2.558 y 25.188 b) Mayores que 23.209 c) Menores que 18.307 d) Entre 3.247 y 20.483 2.- Para una distribución chi cuadrada hallar los valores para los cuales una muestra de 12 elementos tenga un área bajo la curva a la derecha de: a) .10 b) .99 c) .01 d) .9


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DISTRIBUCION F- FISHER Propiedades de la curva: Asimétrica positiva Su rango de variación es de 0 ≤ F < α υ 1 = gra dosdelibertad υ 2 = gra dosdelibertad

F

ND

=

F

υ 1,υ 2

Hallar la probabilidad de que F con 5 y 10 gl exceda a 5.64

Hallar la probabilidad de que F con 12 y 22 gl exceda a 2.23


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DISTRIBUCIONES MUESTRALES Si se consideran todas las posibles muestras de tamaño n que pueden extraerse con o sin reemplazo de una población conocida, para cada muestra se puede calcular un estadístico (media x, varianza s2, desviación típica s) que variara de una muestra a otra. De esta forma obtenemos una distribución del estadístico, que se conoce como distribución muestral. Así si el estadístico de que se trata es la media, se obtendrá la distribución muestral de medias. Supongamos que se extraen tres posibles muestras de tamaño n=2 de una población, si calculamos la media X para cada una de las muestras tendremos la distribución del estadístico media o la distribución muestral de las medias. A 4 5 B 6 4 C 5 3 Calculamos la media para cada muestra(tres medias muestrales). A

XA= 4.5

B

XB= 5

C

XC= 4

Las tres medias muestrales forman una distribución muestral de medias. Y promediando las tres medias muestrales obtenemos LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS y se escribe como

µX=4.5 Si tomamos los datos del inicio como toda la posible población(población de 6 observaciones) µ =

4+5+6+4+5+3 = 4 .5 6

Tendríamos que la µ es 4.5 y que entonces podemos concluir que la media de la distribución muestral de medias es igual a la media poblacional.

µ X = µ http://www.youtube.com/watch?v=oTAg8cgxtCo Estudiar y comprender! M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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1.4.1 DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CUANDO SE CONOCE LA DE LA POBLACION. Supóngase que son extraidas de una población finita todas las posibles muestras sin reemplazo de tamaño n de tal forma que N>n, entonces:

µ X = µ y la varianza de la distribución será: Varianza de la distribución muestral de medias para una población finita o muestreo sin reemplazo. 2

2

σ X

N − n   σ =   N − 1

n

Varianza de la distribución muestral de medias para una población infinita o muestreo con reemplazo. 2 2

σ X =

σ n

Desviación estándar de la distribución muestral de medias para una población finita o muestreo sin reemplazo. 2

σ X =

σ

n

 N − n    − 1 N  

Desviación estándar de la distribución muestral de medias para una población infinita o muestreo con reemplazo. 2

σ X

σ =


n

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Entonces la fórmula de estandarización será:

Z

=

X − µ

X

σ X

Ejemplos: El peso de 1000 paquetes se distribuye de manera normal con una media de 12 onzas y una desviación estándar de .6 Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 paquetes obtenidos sin reemplazo proporcione un peso promedio: a)inferior a 11.9 onzas. b)superior a 11.95 onzas. c)entre 11.85 y 12.1 onzas. 500 rodillos de bolas tienen un peso medio de 5.02 onzas y una desviación de .09 onzas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 rodillos elegidos entre este grupo tenga un peso promedio: a)entre 4.96 y 5 onzas. b)mas de 5.1 onzas. El peso de ciertas cajas se distribuye en forma normal con media de 300 libras y una varianza de 2500 libras cuadradas. Hallar la probabilidad de que al cargar un camión con 25 de estas cajas se exceda su capacidad que se sabe es de 8200 libras. En un supermercado se utilizan bolsas de plástico para empacar los productos, y están fabricadas de tal manera que la resistencia a la rotura tiene una distribución normal con una media de 2.5 Kg por centímetro cuadrado y una desviación estándar de .5 Kg por centímetro cuadrado. Si se seleccionan al azar muchas muestras de 36 bolsas: a) ¿A que se podría esperar que equivaldrían la media y el error estándar de la media? b) ¿Que distribución seguirían las medias muestrales? c)¿Qué proporción de medias muestrales estarían entre 2.5 y 3 Kg por centímetro cuadrado? d)¿Qué proporción de medias muestrales estarían entre 1.5 y 2.3 Kg por centímetro cuadrado?


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DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS PARA EL CASO EN QUE SE DESCONOCE LA DESVIACION TIPICA DE LA POBLACION ORIGINAL. El supuesto básico radica en que la población original debe ser normal. Para este caso utilizaremos la t de student y la fórmula de estandarización es la siguiente:

t =

X − µ

X

s

n

EJEMPLOS: Una máquina produce piezas de un grosor de .05 pulgadas. Para probar si la máquina esta ajustada se tomo una muestra aleatoria de 10 piezas lo que proporcionó un grosor medio de .053 y una desviación estándar de .003 pulgadas. ¿Estos resultados apoyan o rechazan el hecho de que la máquina esta ajustada? Un fabricante de fusibles asegura que bajo una sobrecarga del 20% sus fusibles se fundirán al cabo de 12.2 minutos en promedio. Para probar esta afirmación se ensayaron 20 fusibles, lo que proporcionó un tiempo medio de 10.63 minutos y una desviación típica de 2.48 minutos. ¿Estos resultados tienden a rechazar o apoyar la afirmación del fabricante? Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina en una de sus marcas es de .6 miligramos por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que el promedio y la desviación estándar es de .75 y .175 mg respectivamente. Si se supone que la cantidad de nicotina de estos cigarrillos es una variable aleatoria normal. ¿Qué tan probable es el resultado de acuerdo al dato proporcionado por el fabricante?

http://www.youtube.com/watch?v=jnUCxNCgxoI Comprender y resolver!


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1.4.2 DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIAS DE MEDIAS PARA EL CASO EN QUE SE CONOCE LA DESVIACION DE LA POBLACION ORIGINAL. En el uso de la distribución normal para este caso se basa en las mismas condiciones que para la distribución muestral de medias, la única diferencia es que ahora se analizarán 2 muestras.

( x − x ) − µ 1

Z =

2

x1− x2

σ x − x 1

2

= µ − µ = µ − µ 1 2 x1− x 2 x1 x 2

µ

2

σ x − x 1

2

2

= σ + σ x1 x2

2

2

2

σ x

=

1

σ 1

n

1

2 2

σ x 2

=


σ 2

n

2

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EJEMPLOS: Ciertas lámparas de un fabricante A tienen una duración media de 1400 horas con una desviación típica de 200, en tanto que las del fabricante B tienen una duración media de 1200 horas con una desviación típica de 100. Si se toman muestras al azar de 125 lámparas de cada fabricante. ¿Cuál es la probabilidad de que las lámparas de A tengan una duración media de: a)160 horas mas que B? b)250 horas mas que B?

En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación típica es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos formados por 28 y 36 alumnos difieran en su puntuación media en : a)3 o mas puntos? b)6 o mas puntos? c)entre 2 y 5 puntos?

Los rodillos de cierta marca tienen un peso promedio de .5 onzas y una desviación típica de .02 onzas. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 lotes de 1000 rodillos cada uno difieran en un peso superior a 2 onzas?


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1.4.3 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION Las distribuciones muestrales que se han presentado centran su atención en la distribución de la media de las variables cuantitativas, por otro lado, al examinar las variables cualitativas la característica que se suele tomar en cuenta es la proporción de éxitos. Probablemente en algunos casos se desee hacer una encuesta donde se estuviese interesado en estimar la proporción de familias que tengan un auto económico(4 cilindros); o a un político quizá le interese estimar la verdadera proporción de votos que obtendrá un determinado candidato; en control de calidad quizá al investigador le interese determinar la tasa real de ocurrencia de un defecto en particular. Para hacer un análisis de este tipo de estadísticos (características) se define lo siguiente: Proporción de éxitos en la población.

p =

Numero

de

Numero

resultados

total de

exitosos

resultados

Proporción de éxitos en la muestra

Numero x p = n = s

de exitos en la

muestra

s

Tamaño de la

muestra

La desviación de la proporción

σ p =

p(1 − p ) n

Y al suponer que la distribución muestral de la proporción tiene una distribución normal se tiene que: x

Z

µ

−

x

=

σ x


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Y debido a que se esta tratando con proporciones muestrales (y no media de muestras) entonces se sustituye por el estadístico:

Z

=

p

s

− p

p (1 − p ) n

Ejemplos: El gerente de una empresa vendedora de neumáticos ha determinado que el 40% de los clientes que acuden a la empresa tienen abierta su cartera de crédito. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de la muestra de clientes con cartera de crédito abierto se encuentre entre .4 y .43? Históricamente el 10% de un gran embarque de piezas para máquinas son defectuosas. Si se seleccionan muestras aleatorias de 400 piezas. ¿Qué proporción de muestras tendrá: a)entre 9 y 10% de piezas defectuosas? b)menos del 8%? c)si se seleccionara una muestra de solo 100, ¿Cuáles hubieran sido las respuestas en a y b? Suponga que va a realizarse una prueba de mercado en la cual los estudiantes probarán dos marcas diferentes de refresco. Su tarea es identificar correctamente la marca probada. Si se seleccionan muestras aleatorias de 200 estudiantes y se suponen que estos no tienen la sensibilidad para distinguir entre las dos marcas. a)¿Qué proporción de las muestras obtendrán entre un 50 y 60% de identificaciones correctas? b)¿Cuál es la probabilidad de obtener un porcentaje de muestra de identificaciones correctas que exceda el 65%? c)¿Dentro que límites simétricos del porcentaje de la población se encontrará el 90% de porcentajes de las muestras?

1.4.4 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES En muchas situaciones prácticas el investigador necesita hacer inferencias sobre la diferencia entre dos proporciones poblacionales. M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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Un sociólogo puede querer saber si las poblaciones urbanas y rurales difieren en cuanto a la proporción de gente que está a favor de la pena capital. Un educador quiere saber si la población de alumnos suspendidos en secundaria y la población de los que siguen en el colegio, son diferentes en cuanto ala proporción de los que provienen de hogares disueltos. Un investigador médico esta interesado en saber si la proporción de los casos de cáncer pulmonar es mas alta en una población que fuma que en otra compuesta por no fumadores. El gerente de un almacén podría estar interesado en saber si los clientes que tienen tarjeta de crédito en dos áreas diferentes de la ciudad varían en cuanto a la proporción de cuentas atrasadas. La distribución muestral más importante en estos casos es la de la diferencia entre dos proporciones muestrales. La distribución muestral de Ps1-Ps2 , o diferencia entre dos proporciones muestrales, donde Ps1 se calcula a partir de todas las muestras aleatorias simples de tamaño n1 que se pueden extraer de una población con parámetro P1 y Ps2 se calcula a partir de todas las muestras aleatorias simples e independientes de tamaño n2 que se pueden extraer de una población con parámetro P2, tiene una media

= p − p

µ p − p s 1

1

s 2

2

Y una desviación típica

σ p − p s 1

s 2

=

p (1 − p ) p (1 − p ) + n n 1

1

1

2

2

2

Si n1 y n2 son grandes, la distribución muestral de Ps1-Ps2 es mas o menos una distribución normal.

Ejemplos Una trabajadora social psiquiatra opina que el 15% de los adolescentes de la comunidad A y el 10% de la comunidad B sufren de un problema mental o emocional. En una muestra aleatoria simple de 150 adolescentes de la comunidad A, la trabajadora social encontró que 30 tenían ese problema. Una muestra aleatoria simple independiente M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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de 100 adolescentes de la comunidad B reveló que 7 estaban sufriendo de algún problema mental o emocional. Supongamos que la opinión que tiene la trabajadora social sobre los adolescentes de estas dos comunidades es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia entre las proporciones muestrales mayor o igual a la que realmente se observa?

Se cree que dos drogas A y B, son igualmente efectivas para reducir el nivel de ansiedad de ciertas personas emocionalmente perturbadas. La proporción de personas en que la droga resulta efectiva es .70 En una muestra aleatoria de 100 personas emocionalmente trastornadas a quienes se les suministró la droga A, 75 experimentaron una reducción del nivel de ansiedad. La droga B resultó efectiva en 105 personas de una muestra aleatoria independiente de 150 personas. Si las dos drogas son igualmente efectivas como se cree, ¿Cuál es la probabilidad de observar un valor de PSA-PSB tan grande o más grande de lo que aquí se anota?

1.4.5 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZA Ahora estudiaremos la distribución de muestreo teórica de la varianza muestral de muestras aleatorias de poblaciones normales. Como la varianza muestral S2 no puede ser negativa, deberíamos sospechar que esta distribución de muestreo no es una curva normal; en efecto, se relaciona con la distribución chi-cuadrada, y se tiene lo siguiente. M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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Si S2es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con la varianza σ2, entonces: n

2

χ =

( n − 1) s

2

2

σ

=

∑( x i − x )

2

i =1

2

σ

Es la variable aleatoria con la distribución chi-cuadrada con el parámetro ν=n-1(grados de libertad). Ejemplos. Una empresa óptica compra cristales para engarzarlos en lentes, y se sabe por experiencia que la varianza del índice de refracción de este tipo de cristales es de 1.26x10-4. Como es importante que las diversas piezas de cristal tengan casi el mismo índice de refracción, la empresa rechaza un embarque si la varianza de la muestra de 20 piezas seleccionadas al azar excede de 2 x 10-4. Suponiendo que los valores de la muestra pueden ser considerados como una muestra aleatoria de una población normal, ¿Cuál es la probabilidad de que un embarque sea rechazado aunque σ2=1.26x10-4?


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1.4.6 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA RAZON DE VARIANZAS. Si se extraen muestras independientes de tamaño n1 y n 2 respectivamente de dos poblaciones normales con varianzas σ21 y σ22 respectivamente, y si; S21 y S22 son las varianzas de las muestras aleatorias, entonces el estadístico de prueba es: 2

S = F S

1 2 2

Cuando se obtienen los valores S21 y S22 a partir de las muestras y se calcula el cociente se concluye que la hipótesis de varianzas iguales es falsa si el valor de este cociente es de manera suficiente, distinto de 1 (1 + .1) Se consideran las varianzas iguales si se encuentran dentro de este rango. Hipótesis: 2

2

1

2

2

2

H :σ = σ 0

H A :σ 1 = σ 2 EJEMPLOS La variación en el número de unidades diaria de cierto artículo producido por dos operadores A y B debe ser la misma. En base a muestras de tamaño 16 y 21, el valor de sus desviaciones estándar es de 8.2 y 5.8 unidades respectivamente. Si el número de estas, manejadas por los dos operadores por día, son dos variables aleatorias independientes. ¿Existe alguna razón para creer que las varianzas son iguales?


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El gerente de compras de una compañía camionera esta considerando adquirir neumáticos de la marca A o de la marca B que se sabe tienen la misma durabilidad media. Para decidir ensayo con 16 neumáticos de la marca A, lo que dio una varianza de 38990 kilómetros, y 21 de la marca B lo que dio una varianza de 21000 kilómetros. En base a estos resultados, ¿Qué marca recomendaría usted?

Se utilizaron dos máquinas para envasar cierto producto, se extrajo una muestra al azar de 20 envases de cada máquina lo que proporcionó una varianza en el peso de los envases de la máquina A de .16 en tanto que los de la máquina B proporcionaron una varianza de .4661 ¿Existe razón para dudar que las varianzas sean iguales?


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DISTRIBUCIONES MUESTRALES Ejercicios 1.- Una compañía emplea varios miles de vendedores puerta a puerta porque es el único modo de distribuir su producto. Normalmente un vendedor, visita a una ama de casa y hace una corta presentación esperando que se le haga un pedido, la compañía considera una visita si cualquier pedido superior a 50 $ es ordenado. En promedio un vendedor hace 4.5 visitas exitosas por día con una desviación estándar de .6 ¿Cual es la probabilidad de que una muestra de 70 vendedores resulte con un promedio de ventas entre 4.05 y 4.1 por día? 2.- Se utilizan 2 maquinas para envasar cierto producto. Se extrajo una muestra al azar de 20 envases de cada maquina, lo que proporciono una varianza en el peso de los envases de la maquina A de .16 En tanto que los de la maquina B proporcionaron una varianza de .2561 ¿Se podrá concluir que las maquinas están igualmente ajustadas en cuanto a la variabilidad? 3.- La compañía Trevi Milk posee derechos de franquicia y opera 31 almacenes de sorpresas lácteas. Sorpresas lácteas prepara 47 variedades de helados. Como una promoción la Trevi Milk promete dar un cono de helado doble a cualquier cliente que encuentre una estrella impresa en el recibo de la registradora. El departamento de contabilidad en la casa matriz de la compañía a examinado las cintas usadas de una registradora en un día y determino que el numero promedio de estrellas que saldrán en un almacén en un día es de 4 con una desviación estándar de 2 ¿Cual es la probabilidad de que en una muestra de 3 almacenes la media sea mas de 6 estrellas? 4.- Si cierta maquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia promedio de 40 ohms y una desviación estándar de 5 ohms, ¿Cual es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 de estas resistencias tenga una resistencia combinada de 1458 ohms? 5.- La duración promedio de la computadora de cierto fabricante es de 5 años, con una desviación de 1 año. Asumiendo que las duraciones de estas computadoras siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida promedio de una muestra aleatoria de 36 computadoras caiga entre 4.4 y 5.2 años. b) El valor de x a la derecha de la cual caería el 15% de las medias calculadas de las muestras aleatorias de tamaño 39. 6.- Las horas de vida de una pila para transistores tiene una distribución normal con media de 100 horas y una desviación de 20. Si se seleccionan muestras aleatorias de 16 pilas ¿Qué proporción de las medias muestrales se encontraran: a) entre 100 y 115 horas? b) mas de 90 horas? M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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c) ¿Dentro de qué limites alrededor de la media poblacional se encontrara el 90% de las medias muestrales? 7.- Un equipo de salvamento submarino se prepara para explorar un sitio mar adentro, frente a la costa de Florida donde se hundió una flotilla entera de 45 galeones españoles. A partir de registros históricos, el equipo espera que estos buques naufragados generen un promedio de 225 000 dl de ingresos cada uno cuando se exploren, con una desviación estándar de 39 000 dl. El patrocinador del equipo, sin embargo, se muestra escéptico, y ha establecido que si no se recuperan los gastos de exploración que suman 2.1 millones de dl con los primeros nueve galeones rescatados, cancelara el resto de la exploración. ¿Cuál es la probabilidad de que la exploración continúe una vez explorados los primeros nueve galeones? 8.- Dada una población de 80 especímenes con una media de 22 y una desviación estándar de 3.2 ¿Cual es la probabilidad de que una muestra de 25 de ellos tenga una media entre 21 y 23.5? 9.- Las lámparas que fabrica cierta empresa tienen una vida media de 800 horas y una desviación típica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 46 lámparas tenga una vida media: a) entre 760 y 810 hrs. b) mas de 820 hrs. c) menor de 764 hrs. d) entre 760 y 860 hrs. 10.- Los paquetes recibidos en un almacén tienen un peso medio de 400 lbs. y una desviación típica de 65 lbs. ¿Cual es la probabilidad de que 50 de estos paquetes, elegidos al azar y metidos en un montacargas, no exceda el límite de carga de éste, que es de 20 000 lbs. 11.- El número de horas de duración de una pila para el tipo de transistores tiene una distribución normal con media de 100 hrs. y desviación de 20 . a) ¿Que proporción de pilas durará entre 100 y 125 hrs? Si se seleccionan muestras aleatorias de 46 pilas de las anteriores, ¿Qué proporción de medias muestrales estará: b)entre 100 y 125 hrs? c) mas de 90 hrs? d) Dentro de que límites caerá el 90% de las medias muestrales alrededor de la media de la población? 12.- Una compañía (REMACHAZ) que produce remaches para construcción de edificios con estructura de hierro; Su consumidor, la muy famosa empresa “ACME” le pide que los remaches con especificación entre .8745 y .8755 pulgadas de diámetro. La Remachaz produce esta clase de remaches para pistola neumática con una media en el diámetro de . 8752 pulgadas y una desviación de .00035 pulgadas. De un lote de 250 remaches, ¿Cuantos remaches la empresa Acme espera recibir: a) dentro de especificación? M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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b) por debajo de especificación? c) por arriba de especificación? 13.- Una muestra de tamaño 5 se saca aleatoriamente de una población que está normalmente distribuida con media de 50 y varianza de 9, si se registra la media muestral X1 . Una segunda muestra de tamaño 54 es seleccionada, independiente de la primera de una población que también está normalmente distribuida con media de 40 y varianza de 4 y se registra la media muestral X2 . Encuentre P(X1-X2)< 8.2 14.- El periodo de tiempo en que un cajero de un banco atiende a un cliente es una variable aleatoria con una media de 3.2 minutos y una desviación estándar de 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos en el cajero sea de: a) cuando mucho 2.7 minutos. b) mas de 3.5 minutos. c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 15.- Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83 miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de este tipo tiene un contenido de nicotina de: 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0 y 1.6 miligramos. ¿Estaría usted de acuerdo con la afirmación del fabricante? 16.- La afirmación de que la varianza de una población normal es de 21.3 se rechaza si la varianza de la muestra aleatoria de tamaño 15 excede a 39.74 ¿Cual es la probabilidad de que la afirmación sea rechazada a pesar de que σ2 = 21.3? 17.- Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco despachada está normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros. a) ¿Que fracción de los vasos contendrá mas de 224 mililitros? b) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en los siguientes 100 refrescos que serán despachados? 18.- Ciertos estudios muestran que el rendimiento de la gasolina para automóviles compactos, vendidos en Estados Unidos, tiene una distribución normal, con un rendimiento medio de 30.5 millas por galón (MPG) y una desviación estándar de 4.5 MPG. Si un fabricante desea diseñar un coche compacto más económico que el 95% de los automóviles compactos vendidos en Estados Unidos, ¿Cual debe ser el rendimiento mínimo del coche nuevo? 19.- Una manera para obtener predicciones económicas es utilizar un enfoque de consenso. Se obtiene una predicción de cada uno de un gran numero de analistas; El promedio de estos pronósticos es la predicción del consenso. Supóngase que las predicciones individuales acerca de la tasa principal de interés en enero de 1996 de todos M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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los analistas económicos, tienen una distribución aproximadamente normal, con media de 14% y una desviación estándar de 2.6% . Se selecciona al azar un solo analista de este grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que la predicción de la tasa principal de este analista sea mayor que 18%? ¿Cuál es la probabilidad de que la predicción de la tasa principal de interés sea menor que 16%? 20.- Un fabricante de cera para abrillantar metales quiere disponer su maquina envasadora de manera que en la producción solo 3 botes de 1000 contengan menos del llenado neto mínimo de 31.4 onzas. Se sabe que los pesos del llenado se distribuyen aproximadamente de manera normal con desviación típica de .2 onzas. ¿En donde habrá que situar la media del llenado para cumplir con este requisito? 21.- Un fabricante tiene que comprar resortes espirales que resistan al menos una carga de 15 libras. El proveedor A garantiza que sus espirales resisten en promedio 20.5 libras con desviación típica de 2.1 libras; El proveedor B garantiza que sus resortes resisten una carga promedio de 19.9 libras con una desviación típica de 1.5 libras, el proveedor C garantiza que sus resortes resisten una carga promedio de 18.2 libras con una desviación típica de 1.1 libras. Se suponen aproximadamente normales todas las distribuciones. Basándose en las garantías, ¿Cuales parecen ser preferibles y porque? 22.- En un examen la calificación promedio fue de 74 y la desviación estándar fue 7. Si 12% de la clase recibió calificación A, y las calificaciones siguen una curva de distribución normal, ¿Cual es la posible A mas baja y la posible B más alta? 23.- Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes cuyas dimensiones no se encuentren dentro de la especificación 1.5 mas-menos d . Se sabe que esta dimensión es normalmente distribuida con una media de 1.5 y una desviación estándar de 0.2 Determine el valor d para que la especificación cubra (acepte) el 95% de las mediciones. 24.- Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión, ¿Qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 ohms? 25.- A la compañía de luz y fuerza se le presentan una serie de llamadas de emergencia cuando existe tormenta en una gran ciudad y estas llamadas siguen una distribución normal con media de 8 minutos y desviación estándar de 2 minutos. Si se seleccionan muestras aleatorias de 35 llamadas a).- Calcule el error estándar de la media. b).- ¿Que proporción de medias muestrales estarían entre 7.5 y 8.3 minutos? c).- ¿Que proporción estaría entre 7.3 y 8 minutos? M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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d).- Si se seleccionan al azar muestras de 100 llamadas ¿Qué proporción de las medias muestrales estarían entre 7.5 y 8.3 minutos? 26.- En un supermercado, el tiempo que un cajero dedica a servir a cada cliente tiene una media de 3.2 minutos y una desviación estándar de .4 minutos. Si se selecciona una muestra al azar de 36 clientes. a).- ¿Que probabilidad hay que el tiempo promedio dedicada a cada cliente sea por lo menos de 3 minutos? b).- ¿A cuantos minutos por debajo de la media muestral podría estar si hay una posibilidad de 35 %? c).- Si se tomara al azar una muestra de 16 clientes ¿Cuantos minutos por debajo de la media muestral podría estar con una posibilidad del 35%? ¿Que suposición se debe hacer para resolver este inciso? 27.- Una gran cadena de centros de artículos domésticos tiene en existencia una marca de taladros eléctricos portátiles que se distribuye en todo el país. A fin de obtener el máximo descuento por volumen, los pedidos de reposición de los taladros de todas las tiendas se harán juntos. La decisión de reordenar existencias es hacerlo cuando el inventario promedio de una muestra de tiendas sea inferior a 25 taladros. Sobre la base de la información anterior se supone que la desviación estándar sea de 10 taladros. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 tiendas ¿Cuál es la probabilidad de que el taladro sea ordenado cuando el inventario promedio real de todas las tiendas a).- sea de 20 taladros? b).- sea de 30 taladros? c).- ¿Que suposición se debe hacer en a) y b)? d).- ¿Cuál sería la respuesta en a) y en b) si el tamaño de la muestra aumentara a 36? 28.- Un cierto tipo de tornillo se fabrica con una resistencia a la tensión promedio de 78.3 Kg y una desviación estándar de 5.6 kilogramos ¿Cómo cambia la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra: a)aumenta de 64 a 196? b)disminuye de 784 a 49? 29.-Se utilizan 2 maquinas para envasar cierto producto. Se extrajo una muestra al azar de 20 envases de cada maquina, lo que proporciono una varianza en el peso de los envases de la maquina A de .16 en tanto que los de la maquina B proporcionaron una varianza de .2561 ¿Se podrá concluir que las maquinas están igualmente ajustadas en cuanto a la variabilidad? 30.-Una compañía emplea varios miles de vendedores puerta a puerta porque es el único modo de distribuir su producto. Normalmente un vendedor, visita a una ama de casa y hace una corta presentación esperando se le haga un pedido, la compañía considera una visita si cualquier pedido superior a 50 pesos es ordenado. En promedio un vendedor M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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Unidad 1 Distribuciones Fundamentales Para El Muestreo

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