4.1 Definición de muestreo. Es un término mayormente utilizado en el campo de la estadística, la cual para poder para poder realizar estudios a una población (que es el conjunto de elementos físicos, que presentan alguna característica en común, situados en un espacio geográfico determinado en un lapso de tiempo de tiempo específico, y sobre los cuales se desea investigar), es necesario tomar una muestra de esa población dada, debido a que estas pueden ser finitas o infinitas, y aún en el caso en el que sean finitas estas pueden estar formadas por una gran cantidad de elementos lo que hace imposible un análisis completo. Un muestreo es el procedimiento a través del cual cua l es seleccionada una muestra (que es un subconjunto de elementos de una población, es decir, una porción de elementos extraídos de una población previamente definida) a partir de una población. El muestreo se refiere a esa reducción de elementos que componen a un universo o población, para par a así poder pode r cumplir con la investigación correspondiente. Para poder realizar el estudio que se desea a la población (a partir de la observación de unos pocos de sus componentes), la muestra extraída debe ser representativa de ella, para que las conclusiones a las que se llegue o los resultados que se obtengan del análisis sean válidos e imparciales, esto es gracias a la técnica la técnica del muestreo. Resumimos a continuación las principales ventajas ventaj as e inconvenientes de usar muestreo frente a estudiar todo un universo.
Ventajas:
Necesitamos estudiar menos individuos, necesitamos menos recursos (tiempo y dinero). La manipulación de datos es mucho más simple. Si con una muestra de 1.000 personas tengo suficiente, ¿para qué quiero analizar un fichero de millones de registros?
Inconvenientes:
Introducimos error (controlado) en el resultado, debido a la propia naturaleza del muestreo y a la necesidad de generalizar resultados. Tenemos el riesgo de introducir sesgos debido a una mala selección de la muestra. Por ejemplo, si la forma en que selecciono individuos para la muestra no es aleatoria, mis resultados pueden verse seriamente afectados.
4.1.1 Tipos de muestreo aleatorio, sistematizado, estratificado y conglomerado.
MUESTREO ALEATORIO Todos los miembros de la muestra han sido elegidos al azar, de forma que cada miembro de la población tuvo igual oportunidad de salir en la muestra.
Muestreo Aleatorio Simple: Elegido el tamaño de la muestra, los elementos que la compongan se han de elegir aleatoriamente entre los N de la población. Si se hace con calculadora, se utilizan los números aleatorios. Se subdivide en: 1° Sin reposición de los elementos: Cada elemento extraído se descarta para la subsiguiente extracción. Por ejemplo, si se extrae una muestra de una "población" de bombillas para estimar la vida media de las bombillas que la integran, no será posible medir más que una vez la bombilla seleccionada. 2° Con reposición de los elementos: Las observaciones se realizan con remplazo de los individuos, de forma que la población es idéntica en todas las extracciones. En poblaciones muy grandes, la
probabilidad de repetir una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse con reposición aunque, realmente, no lo sea. 3° Con reposición múltiple: En poblaciones muy grandes, la probabilidad de repetir una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse con reposición.
Muestreo Aleatorio Sistemático: Se ordenan previamente los individuos de la población; después se elige uno de ellos al azar, a continuación, a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra. Considerando una población de N elementos, si queremos extraer una muestra de tamaño n, partimos de un número h=N/n, llamado coeficiente de elevación y tomamos un número al azar a comprendido entre 1 y h que se denomina arranque u origen. La muestra estará formada por los elementos: a, a+h, a+2h,...a+(n-1) h. De aquí se deduce que un elemento poblacional no podrá aparecer más de una vez en la muestra. La muestra será representativa de la población pero introduce algunos sesgos cuando la población está ordenada en función de determinados criterios.
Muestreo Aleatorio Estratificado: Se divide la población total en clases homogéneas, llamadas estratos; por ejemplo, por grupos de edades, por sexo. Hecho esto la muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada clase o estrato. La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:
1° Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales. 2° Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato.
3° Afijación Óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación. Hay dos subtipos principales de muestreo estratificado: el proporcional y el muestreo desproporcionado. a) Muestreo Estratificado Proporcional: El número de elementos asignados a diversos estratos es proporcional a la representación de los estratos de la población objetivo; es decir, el tamaño de la muestra extraída de cada estrato es proporcional con el tamaño relativo de ese estrato de la población objetivo. La fracción de muestreo es aplicada a cada estrato, dando a cada elemento de la población la misma oportunidad para ser seleccionados. La muestra resultante es una muestra autoponderada. Este procedimiento de muestreo se utiliza cuando el propósito de la investigación es estimar los parámetros poblacionales. b) Muestreo Estratificado Desproporcionado: Este es un procedimiento de muestreo estratificado en que el número de elementos incluidos en la muestra de cada estrato no es proporcional a su representación en la población total. Los elementos de la población no tienen la misma oportunidad de ser incluidos en la muestra. La misma fracción de muestreo no se aplica a cada estrato. Por otra parte, los estratos tienen diferentes fracciones de muestreo, y como tal, este procedimiento de muestreo no es una selección equiprobable. Con el fin de estimar los parámetros de población, la composición poblacional debe utilizarse para compensar la desproporción en la
muestra. Sin embargo, para algunos proyectos de investigación el muestreo estratificado desproporcionado puede ser más apropiado que el muestreo estratificado proporcional. El muestreo estratificado desproporcionado puede ser dividido en tres subtipos con base a los propósitos de nuestra asignación, que por ejemplo podrían ser el facilitar el análisis dentro de los estratos o centrarse en la optimización de los costos, de la precisión o la optimización de ambos: precisión y costos.
Muestreo Aleatorio Conglomerado: Mientras que en el muestreo aleatorio estratificado cada estr ato presenta cierta homogeneidad, un conglomerado se considera una agrupación de elementos que presentan características similares a toda la población. Por ejemplo, para analizar los gastos familiares o para controlar el nivel de audiencia de los programas y cadenas de televisión, se utiliza un muestreo por conglomerados-familias que han sido elegidas aleatoriamente. Las familias incluyen personas de todas las edades, muy representativas de las mismas edades y preferencias que la totalidad de la población. Una vez seleccionados aleatoriamente los conglomerados, se toman todos los elementos de cada uno para formar la muestra. En este tipo de muestreo lo que se elige al azar no son unos cuantos elementos de la población, sino unos grupos de elementos de la población previamente formados. Elegidos estos grupos o "conglomerados" en un número suficiente, se pasa posteriormente a la elección, también al azar, de los elementos que han de ser observados dentro de cada grupo, o bien, según se desee, a la observación de todos los elementos que componen los grupos elegidos.
Dos grandes dimensiones se utilizan para clasificar los diferentes tipos de muestreo por conglomerados. Una se basa en el número de etapas en el diseño de la mue stra, y el otro en la representación proporcional de los grupos en la muestra total.
Subtipo basado en el número de etapas: A menudo, el muestreo por conglomerados se lleva a cabo en más de una “etapa”. Una etapa es un paso dentro de l proceso de muestreo en el que se toma una muestra. Considerando el número de etapas en el diseño, hay tres subtipos principales de este muestreo: de una sola etapa, de dos etapas, y el muestreo por conglomerados de etapas múltiples.
1° Muestreo por conglomerados de una etapa: El muestreo se hace una sola vez. Un ejemplo sería, digamos que estamos interesados en el estudio de personas sin hogar que viven en refugios. Si hay cinco refugios en una ciudad, un investigador seleccionará al azar a uno de los refugios y luego incluirá en el estudio a todas las personas sin hogar que residen en el refugio seleccionado. Un investigador de mercado podría optar por utilizar un diseño de muestreo por conglomerado de una sola etapa. Digamos que un investigador está interesado en la prueba de comercialización de un producto. El investigador puede seleccionar al azar códigos postales; enviar muestras del producto junto con un cuestionario de evaluación a cada dirección dentro del grupo seleccionado.
2° Muestreo por conglomerados en dos etapas: El diseño incluye todos los pasos del diseño de un muestreo por conglomerados, con una excepción del último paso. En lugar de incluir todos los elementos de los grupos seleccionados de la muestra, una muestra aleatoria (ya sea una muestra aleatoria simple, muestra estratificada o muestra sistemática) se toman los elementos de cada grupo seleccionado. El muestreo por conglomerados de una etapa se refiere a veces
como un submuestreo. En general, a menos que el grupo sea homogéneo, un diseño de muestra de conglomerados en dos etapas es mejor que uno de una sola etapa.
3° Muestreo por conglomerados de etapas múltiples: Las encuestas de grandes áreas geográficas requieren un diseño de la muestra algo más complicado que los descritos ha sta este punto. Por lo general, se debe utilizar un diseño de muestreo por conglomerados de etapas múltiples, que consiste en la repetición de dos pasos básicos: listado y toma de muestras.
CUADRO COMPARATIVO DE LOS TIPOS DE MUESTREO ALEATORIO TIPO DE MUESTREO ALEATORIO Simple
VENTAJAS Sencillo y de fácil comprensión.
Requiere que se posea de antemano un listado completo de toda la población. Cuando se trabaja con muestras pequeñas es posible que no represente a la población adecuadamente.
Cálculo rápido de medias y varianzas.
Se basa en la teoría estadística, y por tanto existen paquetes informáticos para analizar los datos
Sistemático
DESVENTAJAS
Fácil de aplicar.
Si la constante de muestreo está asociada con el fenómeno de interés, las estimaciones obtenidas a partir de la muestra pueden contener sesgo de selección.
No siempre es necesario tener un listado de toda la población.
Cuando la población está ordenada siguiendo una tendencia conocida, asegura una cobertura de unidades de todos los tipos.
Estratificado
Tiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a la población en función de unas variables seleccionadas.
Se obtienen estimaciones más precisa.
Su objetivo es conseguir una muestra lo más semejante posible a la población en lo que a la o las variables estratificadoras se refiere.
Conglomerado
Se ha de conocer la distribución en la población de las variables utilizadas para la estratificación.
Es muy eficiente cuando la población es muy grande y dispersa. No es preciso tener un listado de toda la población, sólo de
El error estándar es mayor que en el muestreo aleatorio simple o estratificado. El cálculo del error estándar es complejo.
las unidades muestreo.
primarias
de
Típicamente, en cada etapa, los grupos se hacen progresivamente más pequeños en tamaño; y en la última etapa se utiliza el elemento de muestreo.
4.2 Concepto de distribución de muestreo de la media. La distribución de muestreo es la distribución de probabilidad de una estadística, es una función de las variables aleatorias que se observan en la muestra, que resulta de un número infinito de muestras aleatorias de tamaño, mutuamente independientes; provenientes de la población de interés. Distribución de Muestreo de la Media: Un estadístico está distribuido normalmente cuando la muestra que se toma es grande, conocido como el teorema del límite central. Cuando el tamaño de la muestra es grande y la varianza de la población es conocida se toma la distribución normal estándar como estadístico de prueba. Pero cuando el tamaño de la muestra no es grande y a su vez se desconoce la varianza de la población, es aconsejable aplicar la Distribución de students. Estas condiciones se conocen como el TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL.
4.2.1 Distribución muestral de la diferencia entre dos medias. Dos poblaciones que sigan distribuciones normales N (μ1, σ1) y N (μ2, σ2), o bien, si ambas poblaciones tienen distribuciones cualesquiera con media μ 1 y μ2, desviaciones típicas σ 1 y σ2, y las respectivas muestras son de tamaño n 1 y n2, suficientemente grandes, entonces la distribución muestral de diferencia de medias sigue una distribución normal:
Y la variable tipificada viene dada por la expresión:
4.3 Teorema de límite central. Si X1, X2,..., Xn son variables aleatorias (discretas o continuas ) independientes, con idéntico modelo de probabilidad, de valor medio μ y varianza σ2, entonces la distribución de la variable
se aproxima a la de una variable normal tipificada N (0,1), mejorándose la calidad de la aproximación a medida que n aumenta. Este resultado prueba que el estadístico o estimador media muestral
Con carácter general, o al menos en los modelos de probabilidad clásicos, se admite una aproximación aceptable al modelo normal siempre que n sea mayor o igual que 30, a pesar de que esta cifra es insuficiente en determinados casos y excesiva en otros; por lo que debemos ser cautelosos en su aplicación. El teorema central del límite es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una muestra es lo bastante grande (generalmente cuando el tamaño muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguirán una distribución normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar. La importancia del teorema central del límite radica en conjunto de teoremas, se desvela las razones por las cuales, de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales o casi.
que mediante un en muchos campos
4.4 Determinación del tamaño de la muestra de una población. Los factores que determinan el tamaño de la muestra son la distribución de la población, el nivel de confianza y el margen de error permitido.
Distribución de la población: La población puede ser homogénea o heterogénea, se puede realizar un estudio piloto para tener alguna medida estadística descriptiva como la media y la desviación estándar (S). Si no se poseen datos previos, se puede adoptar los supuestos de posición conservadora, esto es, considera un universo infinito por lo tanto los valores de la proporción en máxima incertidumbre son P=Q=0.50, entonces S=0.5. Nivel de confianza: Se refiere a la probabilidad de que la estimación efectuad a se ajuste a la realidad. Niveles de confianza: 0.90; 0.95; 0.99. Los valores de la tabla Normal para Z de acuerdo al nivel de confianza son: 1.645; 1.96 y 2.575 respectivamente. En Ciencias Sociales puede aceptarse el trabajo con un nivel de confianza de 0.95. Cuanto más grande es el nivel de confianza, mayor será la garantía de que la estimación realizada a través de la muestra se aproxime a la realidad. Error de muestreo permitido: Para fijar el tamaño de muestra adecuado a cada investigación es preciso determinar el porcentaje de error que estamos dispuestos a tolerar. El error es el porcentaje de incertidumbre, es el riesgo estimado de que la muestra elegida no sea representativa. A medida que se incrementa el tamaño de la muestra, el error muestral tiende a reducirse.
Tamaño de la Muestra Si se establece una muestra probabilística y se conoce el tamaño de la población, de ahora en adelante denotado por N se procede a determinar por fórmula el tamaño de la muestra adecuado. No siempre se tiene el dato del tamaño de la población y entonces existe otra fórmula para obtenerlo. ¿Cuál es el menor número de unidades muestrales (personas, familias, grupos, organizaciones, etc.) que se necesitan para conformar una muestra (n) que asegure un error de muestreo menor de 0.01, 0.03 o 0.05? Tamaño de la muestra denotado por n.
Muestreo aleatorio simple (Si se conoce el tamaño de la población):
N = tamaño de la población. n = tamaño necesario de la muestra. Z = margen de confiabilidad o número de unidades de desviación estándar en la distribución normal que producirá un nivel deseado de confianza. S = desviación estándar de la población conocida o estimada a partir de anteriores estudios o de una prueba piloto. E = error o diferencia máxima entre la media muestral y la media de la población que se está dispuesto a aceptar con un nivel de confianza que se ha definido.
Muestreo aleatorio simple (Si no se conoce el tamaño de la población):
n = tamaño necesario de la muestra. Z = margen de confiabilidad o número de unidades de desviación estándar en la distribución normal que producirá un nivel deseado de confianza. S = desviación estándar de la población conocida o estimada a partir de anteriores estudios o de una prueba piloto. E = error o diferencia máxima entre la media muestral y la media de la población que se está dispuesto a aceptar con un nivel de confianza que se ha definido.
Muestreo proporcional
n = tamaño necesario de la muestra. Z = margen de confiabilidad. P = probabilidad de que el evento ocurra. Q = probabilidad de que el evento no ocurra. E = error de estimación. N = tamaño de la población. Muestreo estratificado. Suponiendo que se trabaja con tres estratos A, B y C el tamaño de cada estrato proporcional al tamaño de la población en cada estrato se determina con la siguiente fórmula:
n = tamaño total de la muestra. nA = tamaño óptimo de la muestra que se extrae del estrato A.
N A = número de elementos en el estrato A. S A = desviación estándar de los elementos del estrato A. NB = número de elementos en el estrato B. SB = desviación estándar de los elementos del estrato B. NC = número de elementos en el estrato C. SC = desviación estándar de los elementos del estrato C.
4.5 Intervalos de confianza para la media, con el uso de la distribución normal y “t” de
Student. Dada una variable aleatoria con distribución Normal N (μ, σ), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de la variable.
Caso de varianza desconocida Dada una muestra X 1,..., X n, el estadístico
se distribuye según una t de Student de n − 1 grados de libertad. Por tanto, y siguiendo pasos similares a los del apartado anterior, el intervalo de confianza resultante es
donde t α/2 es el valor de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2. Con el programa siguiente podemos calcular el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal con desviación típica desconocida.
4.5.1 Determinación del tamaño de la muestra con grado de confianza y estimación de u.
4.6 Intervalos de confianza para diferencia entre dos medias μ1 -μ2 con σ12 y σ22, σ12=σ22 pero conocidas, con el uso de la distribución normal y la “t” de Student. El estadístico T, definido como:
4.7 Una sola muestra: estimación de la proporción. 4.8 Tamaño de la muestra como una estimación de P y un grado de confianza (1.- α) 100%. La amplitud del intervalo de confianza depende del valor de
Con un nivel de confianza del (1-a) 100% admitimos que la diferencia entre la estimación para la media a partir de la muestra y su valor real es menor que E, que llamaremos error máximo admisible . El tamaño de la muestra depende del nivel de confianza que se desee para los resultados y de la amplitud del intervalo de confianza, es decir del error máximo que se esté dispuesto a admitir. Fijados estos, 1-a y E, podemos calcular el tamaño mínimo de la muestra que emplearemos.
En el caso de estimar proporciones
con lo que
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