Definición de Superficies Una superficie superficie es la representaci representación ón graficas graficas del conjunto conjunto no vacíos de puntos puntos (x,y,z) (x,y,z) que satisfacen sa tisfacen una ecuación de 3 variables F(x,y,z)!"
2
#je$plo%
x − xo ¿ ¿
&
y − yo ¿ ¿
2
2
&
z − zo ¿ ¿
! % #sfera
Tipos de superficies 'os tipos de uperficies son cilíndricas y cudricas"
Superficies Cilíndricas: on Cilíndricas: on superficies generadas cuando una recta (generatriz) se $uev $ueve e para parale lela la$e $ent nte e a sí $is$ $is$a a a lo larg largo o de una una curva curva (dir (direct ectriz riz)" )" u ecuación tiene dos de las tres variables x,y,z por lo tanto es del tipo F(x,y)!* F(x,z)!* F(y,z)!" 'a generatriz es paralela al eje de la variable faltante y la directriz es curva en el plano de las variables en la ecuación"
x 2
+
y 2
=
a2
Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro.
Cilindro hiperbólico
y
=
z 2 +osee la ecuación%
Superficies Cuádricas: #s la grfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x,y,z de la for$a% 2
A x
+¿
By
2
+C
2
z + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + k =0
Con A, B, C no todos nulos.
#xisten superficies cudricas bsicas las cuales son% -) #lipsoide .) /iperboloide de una /oja 3) /iperboloide de dos /ojas 0) paraboloide elíptico 1) paraboloide /iperbólico ) cono elíptico
1.
Elipsoide
x2 y2 + a2 b2
z2 + c2
=
1
2iene por ecuación
y2 Si x = 0 ⇒ b2
z2 + c2
x2 = 1 elipse Si y = 0 ⇒ a2
z2 + c2
=
1 elipse
'as trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse
x2 y2 + Si z = 0 ⇒ 2 a b2
=
1 elipse
2. Hiperboloide de una hoja
2iene por ecuación %
x2 Si y = 0 ⇒ a2
z2 − c2
x2 y2 Si z = 0 ⇒ + 2 a b2
x2 = 1 Hiperbola a2
+
y 2 b2
−
y2 = 1 Elipse Si x = 0 ⇒ b2
z2 c2
=
z2 − c2
1
=
1 Hiperbola
#l eje por donde se abre el /iperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z)" 'a diferencia funda$ental entre el /iperboloide de una /oja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo"
3. Hiperboloide de dos hojas z 2 c2
−
x 2 a2
−
y 2 b2
+ =
1
Tiene por ecuación
'as trazas de estas superficies son%
z2 y2 si x = 0 ⇒ − 2 c b2
=
1 iperbola
+ara planos paralelos a 4 son /ip5rbolas al igual que para planos paralelos a 64"
si z
=
0
⇒ −
x 2 a2
z 2 si y = 0 ⇒ c2
−
y 2 b2
x 2 − a2
=
=
1 Elipse
1 hiperbola
Paraboloides elípicos: x 2 a2
+
y 2 b2
=
Z
Tiene por ecuación
y2 Si x = 0 ⇒ b2
z = c
2 ⇒ y
b2z par!bola = c "as trazas del paraboloide son#
x2 Si y = 0 ⇒ a2
z = c
2 ⇒ x
=
a2z par!bola c
+ara planos paralelos al 6 son elipses, para planos paralelos al 4 o al 64 son parbolas . Si z
=
x 2 y 2 + K ⇒ 2 a b2
=
k c
Elipse , y si a
Paraboloide Hiperbólico
b Círculo
=
x2 y 2 a2
Tiene por ecuación
y 2 si x = 0 ⇒ − b2
=
z c
−
b2
=
z c
parábolas
Trazas# +ara planos paralelos al 6 son /ip5rbola, para planos paralelos al 4 o al 64 son parbolas" x 2 si z = 0 ⇒ a2
si y = 0
⇒
y 2 − b2
x2 a2
=
Cono Elípico
=
0
⇒
Hipébola
z par!bolas c
x 2 a
2
+
y 2 b
2
−
z 2 c
2
=
0
2iene co$o ecuación:
"as trazas del paraboloide son# +ara planos paralelos al 6 son elipses, para planos paralelos al 4 o al 64 son parbolas x 2 si z = 0 ⇒ a2
y 2 + b2
y 2 = 0 Elipse si x = 0 ⇒ b2
x 2 si y = 0 ⇒ a2
z 2 − c2
=
0 Hiperbola
z 2 − b2
=
0 Hiperbola
EJERCICIO S PROPUEST OS
$.
%ara las ecuaciones si&uientes, acer un estudio co'ple to# trazas, cortes con los
e(es,identifica r la superficie y acer un &r!fico aproxi'ado.1. ...
0 .
7 3
. !
x y z x y z
)Hiperboloide de una o(a con centro en ) 1 , 1, *1+ +2. ...
7 !
7
. 0
x y z x y z
)Esfera+. ...
.07 x y z
)Cono el-ptico de 2 o(as+. ...
-! .1 ! x y z z
)Cono circular abierto sobre e(e y+/. ..
3 y x z
3
8
)%araboloide el -ptico+. ..
1 x z y
)%araboloide i perbólico+. ...
0 0 - - !
1
x y z x y z
)Hiperboloide de una o(a+. ..
.!
y z x
)%araboloide ci rcular abierto sobre e(e x+3. ..
3
.
z x y
- -
)%araboloide a bierto acia ar riba en z +10. ...
-0 8 8 z y x
)Hiperboloide de dos o(as si '4trico a z+11. ..
x z
)Cilindro circul ar paralelo al e (e y+12. .
x z
)Cilindro parab ólico paralelo al e(e y+1. ..
0 x y
)Cilindro iper bólico paralelo al e(e z+1. ..
0 3 x y
)Cilindro el-pti co paralelo al e (e z+1/. .
0 x y
)Cilindro parab ólico paralelo al e(e z+1. ..
0 - x z
)Cilindro el-pti co paralelo al e (e
