: UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE INGENIERÍA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA PROFESORA: VIVIANA POLISENA AÑO: 2008/2009
LÍMITE DE FUNCIONES FUNCIONES DE DOS VARIABLES VARIABLES Otro enfoque para su estudio ÁREA: MATEMÁTICA
ASIGNATURA: ANÁLISIS ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Por Claudia Durnbeck
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PLANTEAMIENTO TRABAJO FINAL POSGRADO: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN TEMA: LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES ÁREA: MATEMÁTICA ASIGNATURA: ANÁLISIS ANÁLISIS MATEMÁTICO II Referencias para una adecuada interpretación de esta propuesta: Cuando nombremos “Límite”: Estaremos refiriéndonos al Límite de una función de Dos variables. Cuando digamos “Límite Doble”: Estaremos refiriéndonos al Límite también llamado Límite Simultáneo, que es cuando las dos variables tienden juntas al punto en cuestión.
FUNDAMENTACIÓN: El concepto de Límite de funciones de Dos Variables, también llamado Límite Doble, se desarrolla, en general, en primer año de las distintas Facultades de Ingeniería. En esta etapa del estudio universitario, encontramos alumnos habituados a resolver resolver ejercicios con resultado resultado únicos, lo que les les permite llegar a conclusiones irrefutables sobre el problema planteado. La dificultad que representa explicar y comprender el tema Límite de Funciones de dos Variables se debe, a mí entender, a las siguientes razones: 1. Se inicia el desarrollo del tema con la expresión, que define el Límite Doble:
Con
Interpretarla, implica, conocer el significado de los operadores y cuantificadores que en ella interviene y, en general, la mayoría son nuevos para alumnos de este nivel.
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También su comprensión, implica tener claros ciertos conceptos como: Dominio de una función, punto de acumulación, entorno reducido de un punto ó distancia entre puntos en , y otros. Hacemos un gráfico escueto, difícil de comprender, señalado a dónde están ubicados los elementos que intervienen en la definición y hablamos de caminos… 2. Las posibilidades de elegir el camino(*) para acercarnos a un punto, en el espacio de 2-dim, no son únicas, ni finitas, muy por el contrario…las posibilidades de elección son infinitas.
En la práctica, lo que se hace, es encontrar el valor de Límite por algunos caminos, teniendo en cuenta que si existe, es único, si por esas trayectorias, elegidas arbitrariamente, se llega al mismo resultado, entonces se ´supone´ que el límite existe y su valor corresponde al hallado. Suponer un resultado, no es algo que resulte cómodo en matemática, creo que la incertidumbre no es familiar en el lenguaje de la matemática básica, y es lo que hace que el tema propuesto, sea uno de los pocos en el que los docentes aceleramos, para cruzar rápido el puente y llegar al próximo tema y los alumnos quedan con el interrogante …pero…entonces …existe el límite, ó no?
(*) Distintas curvas planas, cuyas ecuaciones ya deben ser conocidas, su dominio, estar incluidas en el Dominio de nuestra función y el punto pertenecer a ella. 3. Para afirmar que el Límite de una función en un punto existe irrefutablemente, se debe probar que “ él mismo” verifica la definición y no siempre es posible hacerlo, depende de la expresión de la función, e incluso en los casos posibles, para el alumno es una tarea muy difícil. Sin certeza, no hay comodidad matemática.
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Si bien admito que el estudio del Límite de funciones de dos Variables puede ser poco atractivo o antipático, lo que fundamenta mi inquietud, es que lo utilizamos como hipótesis en muchos teoremas y definiciones, como en el tema inmediato : Continuidad, el que a su vez, es la base para fundamentar otras Definiciones y Teoremas. Sin haber entendido adecuadamente el concepto de Límite de funciones de dos variables …
HIPÓTESIS:
¿Es posible desarrollar el tema, sin utilizar, al menos inicialmente, las expresiones: Infinitos (caminos) vs. Único (valor del Límite) y es p o s i b l e que exista…? ¿Si la función está definida ¨naturalmente¨ en el punto, el límite está resuelto? ¿Sería conveniente comenzar el estudio del Límite de una función, analizando en el punto, previamente, el comportamiento Algebraico de la función? ¿Es suficiente ¨hallar¨ mecánicamente el Límite ó es necesario justificar su existencia? ¿Cuál es la prestación más interesante que brindan los límites Reiterados o Iterados? ¿Los Límites Reiterados…son límites direccionales?
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OBJETIVOS:
Encontrar otra manera de comenzar el desarrollo del tema que no sea por la Definición. Es decir, No comenzar por la definición. Representar gráficamente la situación del Límite de manera clara y didáctica, para usar ésta representación como partida en el desarrollo del tema. Utilizar el Concepto ya estudiado de Límite de funciones de una Variables, como apoyo, destacando las diferencias y concordancias. Transmitir los conceptos de L. Simultáneo, L. Iterados y L. Direccionales, con herramientas didácticas y pedagógicas accesibles, de modo que el alumno pueda descubrir las diferencias y las concordancias que hay entre ellos, y así potenciar su valor como herramientas en el estudio del Límite. Utilizar las representaciones Gráficas de la función estudiada, como guía en el estudio. Relacionar conceptos vistos en cursos anteriores, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, de modo que nos sirvan de apoyo en este estudio. Por último: Encontrar un procedimiento más estimulante para el alumno que el tradicional, con respecto al estudio de Límite. Teniendo como meta, que el alumno se involucre en las investigaciones propuestas, es decir, en el análisis algebraico de la función y la interpretación de su representación gráfica.
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Límite de Funciones de Dos Variables Otro enfoque para su estudio
Desarrollo
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Pensemos en la idea Intuitiva del concepto de Límite: En general, se entiende como una barrera hasta la cual podremos llegar. Hablamos cotidianamente de límites entre Países, de los límites entre terrenos, de los límites que deben tener nuestros hijos…Cuando hablamos de
los límites de Funciones, nos referimos al valor al cual ellas tienden, cuando nos acercamos a cierto elemento de su dominio, que de algún modo, es también ¨hasta dónde llegan¨. Usamos este concepto ¨intuitivamente¨ en cursos de Geometría, cuando definimos longitud de una circunferencia como el Límite al que tiende una sucesión de perímetros de Polígonos circunscriptos o inscriptos en ella, cuando la longitud de los lados tiende a cero. También en cursos de Fís ica, cuando nos referimos a la “ velocidad instantánea” como el Límite de la “velocidad media” para intervalos de tiempo cada vez más pequeños. Y hay muchos ejemplos para la idea de límite de funciones de una variable independiente. Para el estudio del límite de funciones de una variable independiente, hemos visto que el problema se reduce a observar cómo se comporta la función al acercarnos a un punto del Dominio por derecha e izquierda, moviéndonos en general, sobre la recta Y=0. En el caso de funciones de dos variables independientes, para acercarnos a un punto del Dominio, , tenemos infinitas opciones, infinitos caminos para llegar a él. Y es justamente esto, lo que hace complejo el estudio del Límite de funciones de Dos Variables, pues si recordamos ¨La unicidad del Límite¨, propiedad vista para funciones de una variable, y también válida para funciones de dos variables, ¨Si el Límite existe, es único e independiente del camino utilizado¨ y nunca podremos verificar que por todas estas opciones, llegamos al mismo resultado. Conclusión 1: Es por eso, que solamente si el Límite hallado, verifica la definición, podremos asegurar la existencia del Límite. Veremos un ejemplo, tomando una función sencilla, que nos ilustrará sobre el comportamiento de los valores de una función escalar de dos
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variables, cuando los puntos del Dominio se aproximan a un punto que puede o no pertenecer a él. Sea:
y estudiemos su comportamiento en
Dominio de la función, todo el plano R2, solo representamos el primer octante. Realizamos una tabla de valores en las proximidades de (3;2), con el objeto de vincular este estudio, con el de funciones de una variable. 8
Tomemos valores sobre las rectas x=3 e y=2. X
y
F(x;y)
2,991
2
4,991
2,995
2
4,995
2,999
2
4,999
2
5
3 3
1,999 4,999
3
1,995
4,995
3
1,991
4,991
Observemos la tabla y el gráfico, sin olvidar que nos estamos moviendo sobre las rectas x=3 e y=2. Cuanto más nos acercamos al punto del Dominio (3;2) , la función se aproxima al número real 5. La diferencia entre f(x;y) y 5 será más pequeña, cuando los (x;y) estén más cerca de (3;2).
Consideremos que el valor absoluto de esta diferencia es menor que dos milésimo:
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Volvamos a la tabla y tomemos (x,y)=(3;1,9999) para verificar: x
Y
3
1,9999
f(x;y) 4,9999
Vemos que a los (x;y) que se encuentren a una distancia de (3;2) inferior a 0,001 le corresponden por medio de la función, valores reales que están a una distancia menor que 0,002 de 5. Debemos tener en cuenta que fijamos previamente el número 0,002 y de ahí se desprendió el número 0,001, por lo tanto es . Del desarrollo anterior deducimos que para cualquier número (en el ejemplo ejemplo )
)
, es suficiente elegir
(en el
Porque si:
Conclusión 2: Tomamos una función sencilla, conocida por los alumnos y de fácil representación, realizamos un desarrollo similar al que se hace para funciones de una variable y relacionamos este nuevo concepto. Analizamos gráfica y analíticamente grupalmente y luego… definimos.
Generalizando la deducción anterior, expresamos la Definición de Límite de funciones de Dos variables:
Literalmente: (Sugerimos ser muy explícitos para tener una mejor llegada al alumno, siempre relacionar con la gráfica, para lograr una rápida interpretación) 10
¨El Límite de la función f(x;y)cuando (x;y) tiende o se aproxima al punto de acumulación del Dominio de la función (a;b,) es igual número real L, si y solo si, para todo número real Épsilon ( , positivo, existe en correspondencia o dependiente de él, otro número real Delta ( , también positivo, de tal modo que para todo punto (x;y) del dominio que pertenezca al entorno reducido del punto (a;b) de radio Delta, entonces la diferencia entre el valor de la función en ese punto y el número real L, tomada en valor absoluto, es menor que Épsilon¨. (Observemos la representación de la función, junto con los alumnos e interpretemos gráficamente la definición, antes de expresarla simbólicamente) Simbólicamente:
Co n
No es necesario que la función este definida en (a;b) para que el Límite en ese punto exista. Hasta el momento, hicimos un desarrollo similar al que algunos autores hacen para Límite de funciones de una variable. Observemos la diferencia: Cuando hablamos de distancia en R, solo tenemos la posibilidad de tomarla de un lado o del otro del punto. En cambio, para hablar de distancia en R2, tenemos que hablar de Entorno. Conclusión 3: Usamos los conceptos adquiridos para funciones de una variable y establecemos las diferencias con este nuevo concepto: El entorno en R2.
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Definición: Dado un punto Entorno del punto pertenecientes al
y un número real , llamaremos , de radio ¨ ¨, al conjunto de todos los puntos cuyas distancias a son menores que ¨ ¨.
Simbólicamente: Será Entorno Reducido, cuando el punto Entorno. Recordemos Distancia en
no pertenezca al
:
Este Disco con centro en el punto al cual nos aproximamos, abre un abanico de infinitos caminos posibles. El Entorno no necesariamente tiene que ser circular, pero es común trabajar con este tipo. Se representa en por un círculo de centro y radio r . Si el resultado del Límite no es el mismo para todas las trayectorias posibles de acercarnos al punto entonces el Límite no existe.
Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente del camino elegido y de que el camino debe contener al punto. 12
Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estén incluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste, no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular el límite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto de puntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites ¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función.
Antes de ver algunos ejemplos, distinguiremos dos situaciones: a) Cuando la función está definida en el punto donde queremos estudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando calculo el Límite Doble o Simultáneo. b) Cuando la función no está definida en el punto donde queremos calcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcular el Límite Doble. En el caso a), cuando no hay indeterminación, problema resuelto: El Límite Doble existe. Debemos pensarlo “intuitivamente”, el Límite al
cual tenderá, será igual al valor que tome
“naturalmente” la
función.
El caso b) es el que nos va a ocupar, cuando el Límite doble simultáneo no existe, lo que genera la necesidad de usar otros caminos para buscar el límite. Veamos algunos Ejemplos. 1er. Ejemplo: Hallar Previamente, estudiamos cual es el Dominio de la función.
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Son todos los puntos del plano a excepción del punto (0;0). Como ya hemos dicho, no es necesario que el punto donde se estudia el Límite pertenezca al Dominio de la función, pero si debe ser un punto de acumulación, es decir, es necesario que esté definida para los punto de un entorno reducido de, en este caso, de (0;0). Haciendo uso de los programas con los que contamos actualmente, por ejemplo el Derive, graficamos la función a estudiar, para obtener la información que orientará el análisis. Sugerimos hacerla rotar, aplicar zoom, cambiar los colores, etc. Observemos esta primera posición de la gráfica y prestemos atención a lo que sucede en (0;0), teniendo en cuenta la referencia que figura arriba a la izquierda, con respecto a la posición de los ejes. l
Vemos que aparentemente en (0;0) hay una irregularidad, la hacemos rotar de tal modo de observa r “desde arriba” como se comporta en el origen.
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Y en esta posición vemos el “agujero” en (0;0), lo que No implica que
el Límite no exista, pues puede no estar definida en el punto y sin embargo tener Límite en él. Aplicamos el L. D.:
Pertenece al grupo b) pues obtenemos una indeterminación. Recurramos a otros caminos para, descartar la existencia del Límite, encontrando dos Límites distintos, ó por distintas trayectorias un mismo valor, con lo que tendremos es un “candidato “ a Límite y
deberemos probarlo por Definición para asegurar la absoluta existencia, lo que es, en la mayoría de los casos, muy complicado.
Introducimos el siguiente concepto:
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Límites Reiterados o Sucesivos:
Éstos no perteneces al grupo de los Límites Restringidos. Definición:
Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable. Los Límites Reiterados, presuponen que un cierto entorno reducido de “b” sobre la recta x=a y un cierto entorno reducido de “a” sobre la recta y=b existen las funciones y respectivamente.
La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe.
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En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Volvamos el ejemplo y apliquemos los Límites Reiterados:
Este resultado de la aplicación de Límites Reiterados, nos ilusiona sobre la existencia del Límite por haber obtenido el mismo valor por dos caminos distintos…
Pero sabemos que esto no indica nada, lo ideal hubiera sido que ellos tengan resultados distintos, así podríamos concluir en la No existencia del Límite. Debemos seguir trabajando. Conclusión 4: Explicamos en forma sencilla, que son y para qué son útiles los Límites Iterados o Reiterados, como así también sus limitaciones, definiéndolos e ilustrando con un ejemplo. Tomemos ahora la trayectoria , Parábola incluida en el Dominio de la función y que pasa por el punto (0;0), apropiado. Entonces:
No podemos sacar ninguna conclusión con esta indeterminación obtenida, el camino elegido, no nos proporciona ningún dato.
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(La idea didáctica es, en este primer ejercicio, transitar por distintos caminos, que NO nos lleven por un tobogán a la solución, para que los alumnos puedan ver que nosotros también erramos en la elección de trayectorias y que quede claro, que cuando no nos brindan datos, debemos descartarlos) Tomemos ahora la trayectoria y=x, siempre repasando: Está incluida en el Dominio de la función y contiene al punto de estudio.
Hemos encontrado dos valores distintos del Límite. La función NO puede tener Límite en (0;0) porque en un entorno del punto, hay elementos para los cuales la función tiende y para otros a 0 (ver resultado de los Límites Iterados).
2do. Ejemplo: Hallar
:
Elegimos un ejercicio cuya función es similar a la del ejemplo anterior con el propósito de llamar la atención del alumno sobre la definición de cada una. Cuando arribemos a una conclusión de este segundo ejemplo, haremos las comparaciones. Observemos su Representación gráfica:
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Aplicando L.D. simultáneo, tenemos: Indeterminación, caso b), debemos seguir estudiándolo por otros caminos. Hallemos los Iterados:
Iguales…Tomamos otra trayectoria, por ejemplo y=mx, haz de rectas que pasan por el origen, recordemos que el resultado tiene que ser independiente de m , de lo contrario tendríamos infinitas soluciones, . para
Encontramos un candidato a Límite, es 0. Debemos intentar probar que para ese valor se cumple la definición, de otro modo, no podremos asegurar la existencia del mismo. :
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Comparemos el Ejercicio 1 con el 2, teniendo en cuenta que en ambos casos, buscamos el Límite en (0;0). Las funciones son: Ejemplo 1)
Ejemplo 2)
Funciones del mismo tipo, ambas cociente de polinomios de dos variables. Analizamos con el alumno, porqué la 1) No tiene límite y la 2) Sí, siendo muy parecidas? Con la intensión de que haga este tipo de análisis, como Método, antes de comenzar a resolver un ejercicio, 21
como así también, observar previamente las gráficas, porque esta información puede orientarlo en cómo encarar la demostración, si para la No Existencia o para la Existencia. En 1) el Polinomio del numerador es de igual grado que el de denominador. Si atendemos a la parte algebraica, que pasará para valores próximos a (0;0)…podemos imaginar e incluso probar con
puntos tales que . Sabemos que los puntos de este entorno reducirán su valor cuanto más próximos estén a (0;0) y por ser de igual grado numerador y denominador , lo harán simultáneamente, de modo que la indeterminación es inevitable al llegar al punto. Esto nos dispone a buscar la prueba de que No existe límite. Para ello, sugerimos, “ Pispear” la función para detectar en que subconjunto del Dominio la función tendría infinitos límites ó uno distinto a alguno ya determinado. En 2) El polinomio del numerador es de mayor grado que el de denominador, por lo tanto, al acercarnos a (0;0), el numerador se achicará más rápidamente, que el denominador, de esta forma, al aproximarnos a (0;0), tendremos el cociente 0/número, lo que nos da 0. Estas consideraciones nos orientan a probar la Existencia del Límite. Siempre recordando que solo la comprobación por la Definición nos asegura la existencia. Conclusión 5: Consideramos que el análisis del comportamiento algebraico de la función debe hacerse, antes de comenzar con la mecánica de pruebas por distintos caminos. Debemos apoyarnos y confiar en los cursos previos a éste, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, los alumnos ya tienen los conceptos para hacer este tipo de estudio y usarlos les genera confianza y estímulo. Depende de nosotros, docente, el encontrar los disparadores de su interés. Ahora comparemos las gráficas. Si pensamos en el cálculo del Límite, como una acción, al “aproximarnos”, como dice la definición, estamos
en movimiento. Ahora bien, si nos imaginamos sobre una alfombra, deslizándonos por una y otra superficie, cuál de las dos tiene la ¨anatomía¨ de hacernos llegar a (0;0)? En el ej. 1) nos frenaríamos, pues es una superficie de suaves pendientes, por el contrario, en el ej.
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2) chocaríamos con el eje “z” en (0;0), por ser pronunciada su
inclinación hacia el punto en estudio. Es otro elemento más, poco ortodoxo matemáticamente, pero que nos guía con respecto al rumbo, el estudio del Límite. Analicemos un par de funciones:
Es una función exponencial, con exponente “x.y”. Para ningún punt o del plano , se van a presentar inconvenientes , ninguno va a poder provocar una indeterminación. Por lo tanto, va a existir el Límite en todos ellos, caso a). Vemos la gráfica donde se aprecia la regularidad de la función:
Vista de arriba no pres enta “agujeros”, lo que nos indica que esta función se portará bien, en todos los puntos de su Dominio.
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Tanto el análisis gráfico como el analítico, nos orientan a probar la existencia del Límite.
La función no está definida en (0;0) Apliquemos el L.D. simultáneo:
Pero si “pispeamos” la función y trabajamos algebraicamente…
Podemos calcular el Límite del producto, como el producto de los Límites, por propiedad de esta aplicación:
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Conclusión 6: Recordemos al alumno, los conceptos ya estudiados y hagamos que los relacionen en todos los temas posibles. Ellos tienden a encapsular los conceptos y no establecen relaciones, como tampoco los usan de apoyo. De este modo los estimularemos para que optimicen lo estudiado anteriormente. Observemos la gráfica:
Apreciamos el corte, es decir, la indefinición que la función presenta en el origen de coordenadas. Pero como el L.D. simultáneo nos da un resultado real, deberemos intentar comprobarlo por definición, ó quedarnos con el candidato a Límite, L=-1. Conclusión 7: Atendiendo a la Definición y a la Gráfica de la función, el alumno, encontrará un sendero por donde transitará con mayor comodidad, que utilizando la práctica tradicional en la búsqueda del Límite a ciegas. Y los profesores, no correremos tanto, cuando tengamos que desarrollar el tema.
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(*) Desmitificando a los Límites Iterados:
Todos vamos a estar de acuerdo en lo siguiente: “Al alumno le fascinan los Límites Iterados”. Esto es así, porque ellos les son
cómodos, en un simple paso, tiene algo conocido, como funciones de una variable, para trabajar. Esto hace que los usen con frecuencia y que sobrevaloren el resultado que ellos arrojan. Podemos darle el siguiente ejemplo, cuando nos encontremos con la afirmación: “el L. D. no existe porque no pueden hallar los Iterados”.
En general, los alumnos concluirían en que la función no tiene límite. Probemos que si lo tiene, a pesar de que uno de los Iterados no existe. Estudiemos el Límite Radial, o Restringido a el haz de recta y=mx:
El candidato es 0. Probemos por definición, en este caso es posible:
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Esta desigualdad por hipótesis.
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BIBLIOGRAFÍA:
Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1 y 2) – Hebe Rabuffetti Cálculo 2 Spinadel, Vera N. Cálculo 2 Larson Cálculo Diferencial e Integral Antonio Aburto Barragan Cálculo Diferencial e Integral N. Piskunov Análisis Matemático 1 y 2 J. Rey Pastor Cálculo de Varias Variables M. Besada- J. García – M.A. Mirás – C. Vazaquez Consultas en Internet:
www.newgrupos.com www.elprisma.com www.slta.uma.es www.cidse.itcr.ac.cr
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