Uji Wilcoxon Kelompok Statmat II

A. UJI BERT BERTAN ANDA DA WILCOXON WILCOXON Uji peringkat bertanda wilcoxon pertama kali diperkenalkan oleh Frank 

Wilcoxon pada tahun 1945 sebagai penyempurnaan dari uji tanda. Uji tanda untuk  menguj mengujii kemakn kemaknaan aan perbed perbedaan aan dua set pengam pengamatan atan berpas berpasang angan an dari dari sebuah sebuah sampe sampell atau atau dua dua sampe sampell berh berhub ubun unga gan n bers berska kala la ordi ordina nal. l. eng engan an uji uji tand tandaa  perbedaan pasangan nilai pengamatan kedua sampel diberi tanda positi! atau negati!. Uji tanda tidak memperhitungkan besarnya perbedaan pasangan nilai itu sendiri. "ekurangan itu diperbaiki dengan uji peringkat bertanda Wilcoxon. #ada uji ini$ disamping memperlihatkan tanda arah %positi! atau negati!&  juga memperlihatkan besarnya perbedaan pasangan nilai itu$ dalam menentukan apakah ada perbedaan nyata antara data pasangan yang diambil dari sampel atau sampel yang berhubungan. alam penerapanny penerapannya$ a$ uji peringkat peringkat bertanda bertanda Wilcoxo Wilcoxon n analog dengan metode nonparametrik yang disebut uji t berpasangan % pairet % pairet t test &$ &$ dengan objek   perbandingan adalah pengamatan'pengamatan dari dua buah sampel berhubungan. berhubungan. Untuk Untuk memper memperole oleh h dua sampel sampel berhub berhubung ungan$ an$ rancan rancangan gan yang yang sering sering dipaka dipakaii menggunak menggunakan an subjek yang after design. design. (amun subjek yang diteliti tidak harus sama sama %berasa %berasall dari dari satu populasi populasi$$ tetapi tetapi kedua kedua sampel sampel itu harus harus dihubu dihubungk ngkan an dengan dengan cara pencocokan pencocokan %matching  % matching & terhadap terhadap )ariabel')ari )ariabel')ariabel abel luar yang rele)an dengan )ariabel dependen dan atau )ariabel independen yang menjadi perhatian  penelitian. *iri'ciri yang membedakan Uji #eringkat bertanda Wilcoxon dangan uji t  berpasangan adalah+ 1. Uji peringkat bertanda Wilcoxon tidak membuat asumsi tentang normalitas distribusi distribusi populasi. populasi. ,adi walaupun walaupun distribusi distribusi populasi populasi meragukan meragukan untuk  untuk  dikatak dikatakan an normal normal$$ uji ini masih masih bisa bisa diguna digunakan kan.. -atu's -atu'satu atuny nyaa asumsi asumsi  peringkat bertanda Wilcoxon adalah bahwa )ariabel yang menjadi  perhatian penelitian mempunyai distribusi kontinu. 2. Uji peringkat peringkat bertanda bertanda wilcoxon wilcoxon tidak membutuhkan membutuhkan in!omasi in!omasi tentang tentang )arians populasi maupun )arians sampel. -edangkan uji t membutuhkan in!ormasi tentang )arian sampel$ baik )arians yang setara atau tidak setara$ untuk menghitung statistik t. 3. Uji pering peringkat kat bertan bertanda da wilcoxo wilcoxon n bisa bisa diguna digunakan kan meskip meskipun un data data yang yang tersedia hanya ordinal$ sebaliknya uji t hanya bisa diterapkan bila datanya diukur dalam skala inter)al atau ratio.

1

4. #erhatian analisis untuk membedakan satu sampel dengan sampel lainnya

 pada uji t ialah meannya$ perhtian analisis untuk membedakan satu sampel dengan sampel lainya pada uji peringkat bertanda Wilcoxon ialah mediannya. Fungsi Pengujian  Untuk menguji perbedaan median dua populasi berdasarkan median dua sampel berpasangan. Uji ini selain mempertimbangkan arah  perbedaan$ juga mempertimbangkan besar relati! perbedaannya. engan demikian bisa dikatakan bahwa Uji anda Wilcoxon memiliki kualitas yang lebih baik dibandingkan dengan Uji anda yang dibahas sebelumnya. Pe!s"a!a#an Da#a  ata paling tidak berskala ordinal . Uji #an$a %e!&asangan Uji dilakukan pada / sampel terpisah %independen&.

 tanda %0&  data pada sampel 1 2 pasangannya pada sampel /  tanda %3&  data pada sampel 1  pasangannya pada sampel /  tanda (ol %&  data pada sampel 1 6 pasangannya pada sampel /. anda  (ol tidak digunakan dalam perhitungan. Pene#a&an'&ene#a&an H ( $an H 1

-eperti umumnya uji hipotesis$ terdapat 7 alternati! H  dan H 1+ 1.  H ( & ) &( $an H 1 & * &(

Uji 1 arah dengan daerah penolakan  H ( + * , z /.  H ( & ) &( $an H 1 &  &( Uji 1 arah dengan daerah penolakan  H ( +  z 7.  H ( & ) &( $an H 1 & / &( Uji / arah dengan daerah penolakan  H ( + * , z -02 $an +  z -02 Ta%e uji i5n niai T #a%e $an niai 6 #a%e $an n#7 sa

abel wilcoxon  tabel untuk dua sampel berhubungan %dependen&

2

8!i#e!ia Penga9%ian 8esi9&uan 1. Ho diterima bila t hitung lebih besar dari t

 ( t hitung > t table )

table

2. H1 diterima bila t hitung lebih kecil dari t table ( t hitung  < t table ) Ta%e i5n 6 #a%e un#u: $ua sa9&e %e!7u%ungan ;$e&en$en<

8!i#e!ia Penga9%ian 8esi9&uan 1. Ho diterima bila z hitung  lebih kecil dari z

2. H1 diterima bila z hitung  lebih besar dari z

3

 ( z hitung < z table )

table

 ( z hitung > z table )

table

 P!se$u! Pengujian 1. Urutkan nilai jenjang8skor setiap pasangan dari anggota kelompok 

sampel pertama dan kedua. 2. itung nilai beda %d i& untuk setiap pasangan anggota kelompok sampel

 pertama dan kedua. 3. :uat ranking untuk setiap beda %di&

tanpa memperhatikan tandanya

%positi! atau negati!&. -elanjutnya lakukan penetapan ;ank %#eringkat& dengan aturan berikut+

 #eringkatke '1 diberikanpadanilaiterkecil di urutanpertama  #eringkat tertinggi diberikan pada nilai terbesar  ,ika tidak ada nilai yang sama maka urutan 6 peringkat.  ,ika ada nilai yang sama$ maka ranking dihitung dengan rumus +  Peringkat R =

∑ Urutan data yangbernilai sama Banyaknya data yang bernilai sama

4. #ada ranking d i$ cantumkan tanda = dan '$ sesuai dengan tanda =  dan  > 

 pada nilai beda ;$i<. ?. #isahkan ranking ;$i< yang memiliki tanda = atau >  paling sedikit. @. entukan nilai $ dengan cara menjumlahkan nilai rangking di yang memiliki tanda = atau >   paling sedikit tanpa memperhatikan tandanya ;niai 7a!ga 9u#a: !ang:ing $ i<. . entukan pula nilai  N $ dengan cara menghitung !rekuensi $i  yang

memiliki tanda = dan '$ sedangkan !rekuensi $i  yang memiliki tanda (  jangan dimasukan ke dalam hitungan. . ,ika N  2?$ lihat abel Wilcoxon yang menyajikan kemungkinan satu sisi8one tailed dan dua sisi8 two tailed untuk harga  dari pengamatan di  bawah . ,ika harga T dari pengamatan  T Ta%e$ maka tolak  untuk  tingkat signi!ikansi tertentu.
√

[

1

 ( + )

4 N   N  1

]

1

 ( + ) (

+ )

24 N   N  1 2 N  1

4

. Ji:a N  2?  guna:an !u9us   N  ( N + 1 ) 4

¿ T −¿  z =¿ Z =

T − μT  σ T 

 N  ( N + 1 )  μT = 4

σ T =

√

 N  ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 24

 Koreksi Ragam!am"el #esar $ untuk kasus ranking kembar. Ru9us 2 ¿  N 

T 

( N + 1 )( 2 N + 1) 24

−

1

g

∑ t  (t  −1)( t  +1 )

2  j=1

 j

 j

 j

σ ¿ imana + t  j  ) :anyaknya ranking kembar  N6

banyak data yang berubah setelah diberi perlakuan berbeda

T6

jumlah renking dari nilai selisih yng negati)e (apabila banyaknya

 selisih yang positif lebih banyak dari banyaknya selisih negatif). -edangkan tabel yang digunakan adalah abel kur)a normalyang menyajikan kemungkinan satu sisi8one tailed untuk kemunculan harga z   pengamatan di bawah o. 1(. Un#u: 2 sa9&e "ang %e!%e$a ; in$e&en$en < Uji wilcoxon untuk / sempel yang berbeda !okusnya dialihkan pada

sampel dengan ukuran terkecil. (otasi yang digunakan+ n1 6 ukuran sampel ke'1 n2 n1
6 ukuran sampel ke'/ 6 ukuran sampel ke'1 selalu lebih kecil dari sampel ke'/

5

W

6 jumlah peringkat pada sampel berukuran terkecil.

+¿ 1 n + n¿ ¿  (ilai =kspektasi %W& 6 =%W& 6 n ¿ ¿ 2

1

1

+¿ 1 n + n¿ ¿ 2

1

-tandar =rror 6 -= 6

n1 × n2 ×

¿

¿ √ ¿

W 

-tatistik uji 6 > 6

− E ( W ) SE

B. UJI BERTANDA WILCOXON UNTU8 GEHPEL BERPAGANAN ;DEPENDEN<

eknik ini merupakan penyempurnaan dari uji tanda ; !ign test).?ain halnya dengan uji tanda$ uji ini besarnya selisih nilai angka antara positi! dan negati! diperhitungkan. eknik ini digunakan untuk menguji signi!ikansi hipotesis komparati! dua sampel yang berkorelasi bila datanya berbentuk ordinal %berjenjang&. 1. Uji %e!#an$a Wi5n un#u: se9&e :ei ;N 2?< ,ika  N @ /5$ lihat abel Wilcoxon yang menyajikan kemungkinan satu

sisi8one tailed dan dua sisi8two tailed untuk harga  dari pengamatan di  bawah o. ,ika harga  dari pengamatan @ 

$ maka tolak o untuk 

abel

tingkat signi!ikansi tertentu. Cn#7  #ada suatu kantor pemerintah dilakukan penelitian untuk mengetahui  pengaruh

ruangan

yang

diberi <* terhadap

produkti)itas

kerja.

#engumpulan data terhadap produkti)itas kerja pegawai dilakukan pada waktu sebelum <* dipasang dan sesudah dipasang. ata produkti)itas kerja pegawai sebelum <* dipasang adalah Aa dan sesudah dipasang adalah Ab. (61 yang dipilih secara random.

6

Ta%e 1. P!$u:#ii#as 8e!ja Pegaai Ge%eu9 $an Gesu$a7 Di&asang A N Xa ;se%eu9< X% ;sesu$a7< 1 15 1 2 9C 94 DE DC 3 4 9 9C ? CD 9 C9 C5 @  DD CE 9/ CD   DC C 1( C/ C7

Pen"eesaian  P!se$u! &engujian  H 0   + idak terdapat perbedaan produkti)itas kerja pegawai sebelum

dan sesudah

memakai <*. ,adi$ <* tidak berpengaruh terhadap

 produkti)itas kerja pegawai.  H 1

+ erdapat produkti)itas kerja pegawai sebelum dan sesudah memakai <*. ,adi$ <* berpengaruh terhadap produkti)itas kerja

 pegawai.  Kriteria "engu%ian hi"otesis $  H 0 diterima bila harga jumlah jenjang yang terkecil  % dari  perhitungan & lebih besar dari harga  tabel ( & adalah harga 'ilcoon "ada tabel ). Untuk pengujian$ maka data tersebut perlu disusun kedalam tabel /

 berikut. -elanjutnya di uji berdasarkan &abel 'ilcoon% ?ampiran & untuk ( 6 1 tara! kesalahan 5B ( two tailed test ).

N 1 2 3 4 ? @    1(

Ta%e 2. Ta%e Penng un#u: Tes# Wi5n Be$a ; d ) Tan$a Jenjang Xa X% Xa ' X% Jenjang = ' 1 15 05 D$5 D$5 9C 94 '4 5$5  5$5 DE DC 0/ /$5 /$5 9 9C 0C 9 9 CD 9 07 4 4 C9 C5 '4 5$5  5$5 DD CE 09 1 1 9/ CD '5 D$5  D$5 DC C 0/ /$5 /$5 C/ C7 01 1 7 1 1C$5

8e&u#usan + terima ( karena T;)1?<  T #a%e ;) <. 8esi9&uan ja$i $a&a# $isi9&u:an %a7a !uangan :e!ja "ang $i%e!i AC #i$a: 9e9&un"ai &enga!u7 "ang signiKi:an #e!7a$a& &!$u:#ii#as :e!ja &egaai. 2. Uji %e!#an$a Wi5n un#u: se9&e %esa! ;N  2?< Untuk sampel besar$ maka distribusinya akan mendekati distribusi normal.

Untuk itu$ digunakan rumus distribusi normal %& dalam pengujiannya. T − μT  Z = σ T   N  ( N + 1 )  μT = 4

σ T =

√

 N  ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 24

imana + T 6 jumlah jenjang8ranking yang kecil. engan demikian+  N  ( N + 1 ) 4

¿ T −¿  z =¿

 Koreksi Ragam!am"el #esar $ untuk kasus ranking kembar. Ru9us 2 ¿  N 

T 

( N + 1 )( 2 N + 1) 24

−

1

g

∑ t  (t  −1)( t  +1 )

2  j=1

 j

 j

 j

σ ¿

Cn#7 

Ujilah hipotesis nol bahwa mesin ketik model baru tidak berpengaruh terhadap kecepatan dalam pengetikan yang diukur dalam jumlah kata per  menit. Gunakan tara! signi!ikansi $5 ,umlah kata per menit yang dicapai

8

oleh /9 orang pengetik dengan menggunakan model mesin ketik lama dan model mesin ketik baru ditunjukkan sebagai berikut + ata disajikan pada tabel dibawah ini+

Pen"eesaian  a.

H 0

+ Hesin ketik model baru tidak berpengaruh terhadap kecepatan

 pengetikan  H 1

+ Hesin ketik model baru berpengaruh terhadap kecepatan pengetikan

- ) ((? %. G#a#is#i: Uji 

9

T =38  N =22 d 0=7

 Karena terdapat ranking yang kembar, maka kita menggunakan koreksi ragam. Ran:ing

/$5 5$5 C 11$5 17$5 1E$5 otal 1 2

tj

tj ( tj + 1 ) ( tj −1)

4 / 7 / / /

E E /4 E E E 1C

( ttal )

 µ T 

54

=

(

4

 z  =

σ T 

=

7C − 1/E$5 /9$91/4

=

//( /7) 4

=

1/E$5

n

tj ( tj + 1 ) ( tj −1) ∑ =  j

T  −  µ T 

)

 N   N  + 1

1

2

/$95CE

=−

. Dae!a7 &ena:an 10

=54

 6 '/$95CE Untuk menentukan  tabel dengan dua pihak a8/6 $58/ 6 $/5. engan demikian koordinat > tabelnya 61$9E. $. 8!i#e!ia Pengujian

e. 8e&u#usan  Haka olak K.

 H 0

8esi9&uan engan tingkat kepercayaan 95 B$ mesin ketik model

terhadap kecepatan dalam waktu pengetikan. C. UJI WILCOXON UNTU8 2 GEHPEL ;INDEPENDEN< Uji wilcoxon untuk / sempel yang berbeda

baru

berpengaruh

AN

BERBEDA

!okusnya dialihkan pada

sampel dengan ukuran terkecil. (otasi yang digunakan+ n1 6 ukuran sampel ke'1 n2 n1
6 ukuran sampel ke'/ 6 ukuran sampel ke'1 selalu lebih kecil dari sampel ke'/ 6 jumlah peringkat pada sampel berukuran terkecil.

+¿ 1 n + n¿ ¿  (ilai =kspektasi %W& 6 =%W& 6 n ¿ ¿ 2

1

1

+¿ 1 n + n¿ ¿ 2

1

-tandar =rror 6 -= 6

n1 ×n2 × ¿

¿ √ ¿

11

W 

− E ( W )

-tatistik uji 6 > 6

SE

Cn#7 

:erikut ini adalah data pendapatan di / kelompok pekerja.

engan tara! nyata ?M ujilah apakah %peringkat& pendapatan di de'  partemen I lebih kecil dibandingkan dari departemen J Pen"eesaian  1.  H ( 1 ) 2

 H 1 1*2

/. G#a#is#i: Uji  > 7. A!a7 uji 1 arah 4. Ta!aK n"a#a &engujian )- ) ?M ) ((? 5. Dae!a7 Pena:an H ( lihat diagram pada halaman berikutnyaK @. G#a#is#i: uji

n1 6 4 n1

n/ 6 C ×

( n1 + n / + 1) /

=

W 6 19

4 × ( 4 + C + 1) /

=

4 × 17 /

=%W& 6

 6 /E n1

×

n/

×

( n1 + n/ + 1) 1/

=

4 × C × 17 1/

-= 6

=

41E 1/

=

74$EEE  6 5$C9

12

" 

%"  &

−  ! 

! 

>6

=

19 − /E 5$C9  6 L1$19

. 8esi9&uan

> hitung 6 31$19 ada di daerah penerimaan  H $ sehingga  H   dite'rima. ,adi$  peringkat pendapatan di kedua departemen sama.

13