A.
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang Masalah
Istilah nonparametrik pertama kali digunakan oleh Wolfowitz, pada tahun 1942. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Istilah lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi ( distribution-free statistics) dan uji bebas asumsi ( assumption-free test). Statistik nonparametrik banyak digunakan pada penelitian-penelitian sosial.
Data yang diperoleh dalam penelitian sosial pada umunya berbentuk kategori atau berbentuk rangking. statistik nonparametrik adalah prosedur statistik yang tidak mengacu pada parameter tertentu. Itulah sebabnya, statistik nonparametrik sering disebut free-distibuti on procedures). Banyak sebagai prosedur yang bebas distribusi ( free-distibution
orang berpendapat, jika data yang dikumpulkan terlalu kecil maka prosedur statistik nonparametrik lebih baik digunakan. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal karena pada umumnya data berjenis nominal dan ordinal tidak menyebar normal. Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi. Dari segi jumlah data, pada umumnya statistik nonparametrik digunakan untuk data berjumlah kecil (n < 30).
1
Contoh metode statistik nonparametrik diantaranya adalah Uji Wilcoxon (Signed-rank Test ), Uji Tanda (sign Test ), Uji Mann-Whitney ( Mann-Whitney Test ), Uji Kruskal-Wallis (K-W Test ), Uji Kolmogorov-Smirnov(K-S Test ), dan
Uji McNemar ( McNemar Test ).
2.
Rumusan masalah
a. Memberikan pemahaman konsep tentang statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon b. Memberikan
pemahaman
langkah-langkah
untuk
menyelesaikan
permasalahan yang berhubungan dengan statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon
3.
Tujuan penulisan
Adapaun tujuan dari penulisan makalah ini adalah: a. Memahami pengertian statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon c. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan statistika non parametrik melalui uji Wilcoxon d. Menambah wawasan dan pengetahuan khususnya bagi penulis dan bagi pembaca pada umumnya
2
B. PEMBAHASAN 1.
Uji Wilcoxon Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon mengusulkan suatu cara nonparametrik
yang sangat sederhana untuk membandingkan dua populasi kontinu bila hanya tersedia sampel bebas yang sedikit dan kedua populasi asalnya tidak normal. Cara ini dinamakan uji Wilcoxon atau uji jumlah rang Wilcoxon Hipotesi nol Ho bahwa µ 1 = µ 2 akan diuji lawan suatu tandingan yang sesuai pertama-tama ambillah sampel acak dari tiap populasi. Misalkan n 1 banyaknya pengamatan dalam sampel yang lebih kecil, dan n 2 banyaknya pengamatan dalam sampel yang lebih besar. Bila sampelnya berukuran sama, maka n 1 dan n2 dapat dipertukarkan. Urutkanlah semua n 1 + n2 pengamatan dengan urutan membesar dan berikan rang 1, 2, . . . , n 1 + n 2 pada tiap pengamatan. Bila terdapat seri (pengamatan yang besarnya sama), maka pengamatan tersebut diganti dengan rataan rang nya. Jumlah rang yang berasal dari ke n 1 pengamatan dalam sampel yang lebih kecil dinyatakan dengan w 1. Begitu juga, w2 menyatakan jumlah rang yang berasal dari n2 pengamatan dalam sampel yang lebih besar. Jumlah n 1 + n2 hanya bergantung pada banyaknya pengamatan dalam kedua sampel dan sama sekali tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan. Jadi, bila n 1=3 dan n2=4, maka w1+w2=1+2+…+7=28
()( )
Secara umum:
w1+w2=
Dari rumus w1 didapat rumus untuk w2, yaitu: w2 =
( )() - w1
3
Bila sampel ukuran n 1 dan n2 diambil beberapa kali, maka dapat diharapkan bahwa w 1 dan w2 akan berubah. Jadi w 1 dan w2 masing-masing di pandang sebagai nilai peubah acak W 1 dan W2. Untuk lebih mudah dalam menghitung peluangnya, kita menggunakan tabel. Tabel ini didasarkan pada statistika U, minimum U 1 dan U2, dengan: U1 = W1-
()
dan
U2 = W2-
( )
Untuk uij ekaarah, Bila P(U ≤ u Ho benar) ≤ α, uji tersebut berarti dan Ho ditolak. Untuk uji dwiarah, uji tersebut berarti bila 2P(U ≤ u Ho benar) ≤ α, dalam hal ini hipotesis tandingan bahwa µ 1 ≠ µ2 diterima. Bila, n1 = 3, n2 = 5, dan w 1 = 8, sehingga w 2 =
()() =2
u1 = 8 –
()() - 8 = 28, jadi
u2 = 28 –
()() = 13
dengan menggunakan tabel, untuk u = 2, diperoleh: P(U ≤ 2 Ho benar) = 0,071
2. Langkah-Langkah uji Wilcoxon Untuk menguji hipotesis nol, bahwa rataan dua populasi yang tak normal adalah sama bila hanya tersedia sampel acak yang terkecil (ukurannya), maka dikerjakan melalui langkah-langkah berikut: 1. Ho : µ 1
= µ 2
2. H1 : Tandingannya adalah µ 1 < µ 2 , µ 1 > µ 2 , atau µ 1 ≠ µ 2 3. Pilih taraf keberartian
4
4. Daerah kritis:
a)
Semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u Ho benar) < α bila n 2 ≤ 8 dan ujinya ekaarah;
b)
Semua nilai u yang memenuhi 2P(U ≤ u Ho benar) < α bila n 2 ≤ 8 dan ujinya dwiarah;
c)
Semua nilai u yang lebih ke cil atau sama dengan nilai kritis yang sesuai dalam table bila 9 ≤ n2 ≤ 20
5. Hitung w1, w2, u1, u2dari sampel bebas berukuran n 1 dan n2, dengan n 1≤n2.
Dengan menggunakan yang terke cil diantara u1 dan u2 sebagai u, tentukanlah apakah u jatuh pada daerah penerimaan atau pada daerah kritis. 6. Kesimpulan: tolak Ho bila u jatuh dalam daerah kritis; jika sebaliknya, terima Ho.
Contoh 1:
1. Untuk mengetahui apakah suatu serum baru akan menyembuhkan leukemia, dipilih Sembilan tikus yang penyakit leukemianya sudah cukup parah. Lima tikus mendapat pengobatan sedangkan empat tidak. Lamanya tikus hidup, dalam tahun sejak permulaan percobaan adalah Perlakuan
2,1
5,3
1,4
4,6
Tanpa perlakuan
1,9
0,5
2,8
3,1
0,9
Pada tarif keberartian 0,05, dapatkah dikatakan serum tersebut manjur?
Jawab:
n1 = 4 dan n2 = 5,
diperoleh:
1. Ho : µ 1 = µ 2 2.
H1 : µ 1 < µ 2 5
3.
α = 0,05
4.
daerah kritis: semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u Ho benar)<0,05
5.
perhitungan: semua pengamatan diurutkan membesar dan diberi rang 1 sampai 9 Data Asli
0,5
0,9
1,4
1,9
2,1
2,8
3,1
4,6
5,3
Rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Rang pengamatan dari sampel perlakuan digarisbawahi. w1 = 1 + 4 + 6 + 7 = 18 w2 =
Jadi,
u1 = 18 –
[()() ] - 18 = 27
[()() ]=8
u2 = 27 –
[()() ] = 12
sehingga u = 8. Karena P(U ≤ 8 Ho benar) = 0,365 < 0,05, maka nilai u = 8 jatuh pada daerah penerimaan. 6.
Kesimpulan: terima Ho dan simpulkan bahwa serum tidaklah memperpanjang usia dengan cara mengobati leukemia.
Contoh 2: 2. Kadar nikotin dua merek rokok, diukur dalam miligram, sebagai berikut: Merek A
2,1
4,0
6,3
5,4
4,8
3,7
6,1
3,3
Merek B
4,1
0,6
3,1
2,5
4,0
6,2
1,6
2,2
1,9
5,4
Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa rata-rata kadar nikotin kedua merek rokok sama. Jawab:
n1 = 8 dan n2 = 10
6
1.
Ho : µ 1 = µ 2
2.
H1 : µ 1 < µ 2
3.
α = 0,05
4.
Daerah kritis: semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u Ho benar)<0,05
5.
Perhitungan: semua pengamatan diurutkan membesar dan diberi rang 1 sampai 18 Data Asli 0,6 1,6 1,9 2,1 2,2 2,5 3,1 3,3 3,7
Rang
Data Asli
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rang
4,0 4,0 4,1 4,8 5,4 5,4 6,1 6,2 6,3
10,5 10,5 12 13 14,5 14,5 16 17 18
Rang pengamatan dari sampel yang lebih kecildigarisbawahi. w1 = 4 + 8 + 9 + 10,5 + 13 + 14,5 + 16 + 18 = 93
w2
Jadi,
()() =[ ] – 93 = 78
u1 = 93 –
[()() ] = 57
u2 = 78 –
[()()] = 23
Sehingga u = 23 6.
Kesimpulan : terima Ho dan simpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan dalam kadar nikotin kedua merek rokok
7
C . PENUTUP 1. Kesimpulan 1. Uji statistik nonparametrik ialah suatu uji statistik yang tidak memerlukan adanya asumsi-asumsi mengenai sebaran data populasi
2. uji Wilcoxon atau uji jumlah rang Wilcoxon adalah suatu cara nonparametrik yang sangat sederhana untuk membandingkan dua populasi kontinu bila hanya tersedia sampel bebas yang sedikit dan kedua populasi asalnya tidak normal
3. enam langkah pengujian Wilcoxon, yaitu: 1. Ho : µ 1
= µ 2
2. H1 : Tandingannya adalah µ 1 < µ 2 , µ 1 > µ 2 , atau µ 1 ≠ µ 2 3. Pilih taraf keberartian 4. Daerah kritis:
d)
Semua nilai u yang memenuhi P(U ≤ u Ho benar) < α bila n 2 ≤ 8 dan ujinya ekaarah;
e)
Semua nilai u yang memenuhi 2P(U ≤ u Ho benar) < α bila n 2 ≤ 8 dan ujinya dwiarah;
f)
Semua nilai u yang lebih ke cil atau sama dengan nilai kritis yang sesuai dalam table bila 9 ≤ n2 ≤ 20
5. Hitung w1, w2, u1, u2dari sampel bebas berukuran n 1 dan n2, dengan n 1≤n2.
Dengan menggunakan yang terke cil diantara u1 dan u2 sebagai u, tentukanlah apakah u jatuh pada daerah penerimaan atau pada daerah kritis. 6. Kesimpulan: tolak Ho bila u jatuh dalam daerah kritis; jika sebaliknya, terima Ho.
8
2. Saran
Dalam mempelajari statistika nonparametrik kita telah tahu banyak mengenai uji Wilcoxon tetapi belum tahu tentang pengaplikasiannya. Untuk itu saran dari
penulis, diharapkan kepada pembaca agar sudi kiranya untuk menelaah lebih mendalam mengenai pengaplikasian statistika nonparametrik khususnya mengenai uji Wilcoxon.
9
D. DAFTAR PUSTAKA
Walpole, Ronald E. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB Mangkuatmodjo, Soegyarto. 1999. Statistika Lanjutan. Jakarta: Rineka cipta Boedijoewono, Noegroho. 2007. Pengantar Statistika. Yogykarta: UGM
10
