Preguntas Propuestas
TRIGONOMETRÍA visita: mathwallace.blogspot.com mathwallace.blogspot.com
Trigonometría Sistemas de medición angular 1.
5.
Si L 1 // L 2, calcule a.
Del gráfico, calcule x+ y.
L 1 π
rad 5 45º
3
L 2 1 rad
10ag
2 x – 9
5 y – 2
A) 1 D) 2/3
A) 7
B) 5
C) 4
D) 6
2.
6.
E) 8
Si (30, 34)º= Aº B'C ", ",
B) 90
C) 85
D) 80 3.
E) 75
Se crea un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad (1u) es la séptima parte del ángulo de media vuelta. Simplifique la expresión
A) 1/2 D) 2
B) 12/7
C) 1/3 E) 3
Reduzca la siguiente expresión 7.
1g1m m
+
1
2 g2 m 2
m
+
3 g3 m m
+
3 101
... +
202g202 m 202
π
10
5º 5 + 5
'
8.
+
6 g 80 m
'
rad
A) 137 D) 138
10 m
B) 135
C) 141 E) 140
Calcule el valor de la siguiente expresión x º + x
'
x g
De la siguiente igualdad ag bmcs=45g28m63s+28g63m45s+63g45m28s
calcule a – b – c A) 32 D) 64
Calcule el equivalente de 54º +60 g
m
A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202 4.
C) 3 E) 3/2
7 u 2π + rad 3 3 7u g + 50 3
calcule A+ B+C A) 74
B) 2
B) 60
C) 54 E) 52
A)
D)
−
39 x m
40
B)
27 20
25 27
C)
E)
27
2
50 27 23 27
Trigonometría Longitud de arco de circunferencia 9.
A)
D)
10.
A)
Si con un alambre recto de 40 cm de longitud se construye un sector circular cuyo ángulo central mide 45º, calcule el radio de dicho sector circular. 100 π+
B)
2
120 π+
C)
8
120 π+
E)
4
B)
160 π+
C)
D)
4
E)
Calcule la longitud que describe el centro de la rueda al recorrer la superficie AC , si O1 A // O2C.
2 2 a +b
2a 2 2 a +b
2 b a
2
+
b
2
b − a 2 2 a +b
ab
12.
O2
120º
a+ b
8
160 π+
2 2 a +b
Calcule el perímetro de la región sombreada.
R
1 7 8
A
C
B B
O1
A) 2 p D) 5p 11.
A) B) 3p
C) 4p E) 6p
A
2
B) p R
R
D) 2p R
Si AOB, NOM y TOR son sectores circulares, calcule MN en términos de a y b. Si AB = b y = a. TR
≠
13.
E)
3≠ 2
R
5≠ 2
R
Si AOB y MON son son sectores circulares, calcule el área de las regiones sombreadas, considere que AO=2 y ON =2. =2. B
M
A
N
C)
T N O
45º R O b
M a
B
A) p /4 D) p /3
3
B) p /6
C) p /2 E) p /12
Trigonometría 14.
Si AOB, MON , ROT y y POF son son sectores circulares, tal que OP= PR= RM = MA. Calcule el área de la región sombreada. A) B) C) D) E)
17.
A
3≠
M
2
r
P
4 O
2π
10º
3
2 F
3≠
T
4
N
2≠
M
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 5/3
A 120
B
B
3 18.
15.
Calcule el número de vueltas que da la rueda al ir de A hacia B, si r =2 =2 u, además, AM =4 =4p u y MB=2p u.
R
5≠ 5≠
Aplica Aplicacio ciones nes del cálcul cálculo o de una longitu longitud d de de arco arco
Si AOB, MON y ROT son sectores circulares, además, se cumple que
MN
=
10 ,
calcule
Determine el número de vueltas de la rueda en ir de A hacia B. Si r =3 =3 y AM + MB=16p.
.
M
AB
A
A)
12
M r
B)
14
C)
17
D)
13
E)
15
A
S
O
S
80º
S
T
40º
A) 1 D) 8/3
N B
16.
B
R
Si AOB, MON , ROT y POF son sectores circulares, calcule la relación entre la región sombreada y la región no sombreada.
19.
B) 2
C) 3 E) 7/6
El número de vueltas que da la rueda al desplazarse de A hacia C es 11/8. Determine la medida del ángulo q, si AB= BC =p. B
A
A) B) C) D) E)
16
θ
M
7
R
9
P
7
1
18 7 13 6 10 3
O a
A
F 2a
T 3a
A)
N 4a
B
D)
≠
B)
rad
4 ≠
C ≠
6
rad
C) E)
rad
8
4
≠
rad
3 ≠
12
rad
Trigonometría 20.
Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen como radio 5 r y y 3 r . Al realizar cierto recorrido la suma de los números de vueltas de ambas ruedas es 80. Calcule la longitud recorrida por la rueda más pequeña, si r =20 =20 cm.
23.
Del sistema mostrado, halle r .
A) 8p m B) 6p m C) 30p m D) 60p m E) 2p m 21.
4
A
r
B) 8/3
E) 7/3
Determine la separación vertical entre A y B, si el punto A se desplaza verticalmente 2 m, además, R=2 r .
r
B) 2 m r
C) 1 m
R
D) 4 m A) 4p D) 20p 22.
C) 4/3
A) 3 m
8
C
4
D) 5/3 24.
6
2
A) 3
En el gráfico mostrado, halle el ángulo que gira C , cuando la rueda A da 12 vueltas.
B
3
B) 12p
E) 5 m
C) 8p E) 16p
B
A
El gráfico mostrado tiene un sistema de poleas. Si la polea A da 1 vuelta, calcule cuántas vueltas dará la polea D;
a =
b
2.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo 25.
C
Si ABCD y EAF son son un cuadrado y un sector circular, respectivamente, calcule cotq · cosq.
A
A) 8/3 B) 5/3
B
C) 3
40 cm
b
A)
2 2
B)
3
a
B
C θ
E
D) 2 C) 1
E) 1
D)
D
E)
30 cm
5
1 2
2 3
θ
A
D
F
Trigonometría 26.
Del gráfico
29.
Según el gráfico, calcule cotq.
120º
c
a
10 14 θ
4
b
θ
2
se cumple que (a+ b+c) =12ab.
calcule
sen sen θ cos cos θ
A) 2 D) 4 27.
A) 3 3
1 + sen θ + cos θ
D) 2
B) 3
C) 5 E) 1
B) 4
C) 6
3
E) 6
3
30.
Si ABCD es un cuadrado,
calcule
58 (sen θ + cos θ). C
Del gráfico, calcule senq, si AM = MC . B N
B
θ
D θ
37º
30º
A
A)
D)
28.
M
7 B) 7
21 21
A
C
C)
3 3
E)
A) 8
3
D) 9
7 21
31.
14
A) 2 2
M
θ
B
D)
1 3
B) 2
D) 1
53º
9
Si
cule (secq)4cosq.
N
2
E) 7
tan13º · tan260º, siendo q un ángulo agudo, cal-
C
A)
32.
A
B)
5 9
C) 6
cos60º · secq · tan13º – cos 245º · csc30º · cot77º=
Si AM =3( =3( BN ), ), calcule tanq.
53º
B) 10
C) E)
1
C) 4 E) 2
Si sen(3a+ b)º=cos(a+3 b)º, donde los ángulos dados son agudos, calcule
csc(3a – b)cos(a+5 b)+4tan(2a+2 b)
2
5
A) 6
14
D) 3
B) 7
C) 8 E) 5
6
Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos 33.
A) 2 m (cot 20º + B) m (cot 20º +
Si AB=40, BC =20 =20 y AP+ PC =50, =50, calcule cscq – cotq.
)
3 · sen 10º
)
3 · cos 10º
C) mcot20º · sen10º D) m (tan 20º +
B
E) 2 m (cot 20º + P
36.
θ
)
3 · sen 10º
)
3 · cos 10º
Si AM =1, =1, calcule BC en en términos de q. C
A
A) tan q(1+senq) B) cosq(1 – cotq) C) cosq(1+cotq) D) senq(1+tanq) E) senq(1 – tanq)
C
A) 1/3 D) 1/4
B) 2
C) 3 E) 1/2
M
θ
34.
Si BM = 3 , calcule el perímetro del triángulo ABC . B
45º
A 37.
B
Del gráfico, calcule cotq en términos de AE =3 =3 y DE =2. =2. A θ D
60º
60 º
θ
A
M
C α
A) 6senq D) 6cosq
B) 12senq
B
C) 8cosq E) 8senq
A) sena – cosa 35.
Si AC = AD, calcule la altura relativa a CD del triángulo ACD en términos de m. B
B)
C)
2 m
C
3 sen α − 2 cos α 3 cos α + 2 sen α 3 cos α − 2 sen α 3 cos α + 2 sen α
30º
D) 20º 80º
A
E) D
7
2 sen α + 3 cos α 3 cos α − 2 sen α 2 sen α + 3 cos α 3 sen α − 2 cos α
E
C
a
si
Trigonometría 38.
Calcule OP en términos de a y q.
39.
θ
2a
Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la parte más alta de una palmera es 53º, y desde la parte superior del poste que tiene 6 m de altura, el nuevo ángulo de elevación es de 18º30'. Calcule la altura de la palmera.
P
A) 8 m D) 15 m O
A) asen3q B) acos2q C) asen2q D) acos3q E) asenq
40.
B) 10 m
C) 12 m E) 16 m
Un avión observa un barco con un ángulo de depresión a. Luego se desplaza una distancia igual al triple de la altura constante a la que se encuentra y observa el barco con un ángulo de depresión 90º – a. Calcule cota – tana. (Considere que el avión no sobrepasa el barco) A) 9 D) 5
B) 7
C) 3 E) 6
CLAVES
8
Trigonometría Introducción a la geometría analítica I 1.
Y Q
Del gráfico, calcule la suma de ordenadas de los puntos M y y N , si ABCD es cuadrado A.
P(a; a+3) X
Y
O
B(1; 7) N
A) 2 D) 6
(5; 4) C (5; A M
X
53º
5.
B) 4
C) 3 E) 5
Si G1 y G2 son baricentros de los triángulos ABC y AOC , respectivamente. Calcule la relación
D
entre la ordenada de G1 y la abscisa de G2. A)
17
B)
6
43
C)
6
19
Y
3
A
X O
D)
39
45º
E) 7
7
C 2.
A)
2 5
D) 4
B) 4
5
C) 5 E)
2
A)
2
D)
3 2 6.
3.
Sobre una recta se ubican los puntos A(– 4; – 1), B, C y D(8; 5) respectivamente, tal que
BC BC AB = 2
CD =. 3
82º
B
Si la distancia entre los puntos A(2; 3) y B( x –1; –1; 1) es 5 . Calcule la mayor distancia entre B y el punto M (5; (5; 5).
10
B)
3
C)
9
7
7 9
E) 7
3
Si BO=OM y y G es baricentro del triángulo BMO. Calcule cotq. Y
M
Calcule las coordenadas
de los puntos B y C .
G A
A) (– 2; 0) y (2; 2) B) (– 1; 0) y (1; 1) C) (– 3; 0) y (3; 3) D) (– 2; 1) y (2; 3) E) (– 1; 2) y (1; 4) 4.
10
En el gráfico, OP = 5 . Calcule el mayor valor de la ordenada del punto Q.
θ
O X
5
C
B
A) D)
7
B)
3 7
12
17 3
C)
17 7
E) 1
17
9
Trigonometría 7.
Si el área de la región sombreada es 50 u 2. Cal-
10.
cule tanq – cota.
El punto P de abscisa 13 esta sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto 7). Calcule la ordenada de P. A(2; – 7).
Y X
A) 23
θ α
(5; m)
C) 25
D) 26 11.
E) 27
Se tienen las rectas paralelas
y
L 2,
B) – 10
C) 5 E) ±5
A) 2,2 u
B) 2,3 u
C) 2,5 u E) 2 u
Calcule el área de la región sombreada. 12.
Y
Del gráfico, calcule la distancia entre el punto P y la recta L .
A(4; 7)
Y
B(– 6; 2)
(2; 1) F (2;
(– 3; 4) P(–3;
A(0; 3)
(3; – 3) E (3;
X B(– 4; 0)
D(– 3; – 5)
A) 50
L
X
(– 1; – 2) C (–1;
B) 60
C) 52
D) 62
E) 53
A) 5, 3 D) 5, 5
B) 4, 4
C) 2, 6 E) 4, 8
Introducción a la geometría analítica II 13. 9.
tales
L 1: (a+1) x – 3 y+7=0; L 2:4 x – ay+18=0, a ∈ R+. Calcule la distancia entre dichas rectas.
D) 2,8 u 8.
L1
que
(4; n)
A) 10 D) – 5
B) 24
Calcule el área de la región sombreada.
Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de x+y – n=0 L : x+y
las siguientes proposiciones. I. Lo Loss pu puntos A(1,5; 3); B(2; 4) y C (– (– 5; –10)
Y
(– 1; 3) P(–1;
son colineales.
X
II. II. Los punt puntos os A(– 2; 3); B(0; 2) y C (2; (2; 0) no son colineales. III. III. Si A(1; 3); B(3; 9) y C (5; (5; 7), el ángulo forma(0; – 4) M (0;
do por AC y y CB es 90º. A) VFV
B) VFF
C) VVF
D) FVF
E) VVV 10
A) 2 D) 4
B) 3
C) 1/2 E) 1
Trigonometría 14.
Ángulos en posición normal I
Del gráfico, calcule el valor aproximado del ángulo de inclinación de la recta L 1.
17.
Del gráfico, calcule
cot θ 2
Y
− 1.
Y
L 1
(2; 3)
4u 2u
30º
(0; 1)
X
θ
A) 53º D) 143º 15.
B) 127º
C) 37º E) 135º
X
A) 3
Del gráfico, calcule la ecuación de la recta L paralela a OR, si el área de la región cuadrada ERAP es 16 m.
D) 18.
B) 2
C)
3
2
E) 1
2
Del gráfico, calcule 9tana si AB=10 y BC =20. =20. Y
C Y
1
L E
R B
37º
α
O
P
A (6; 0)
A
X
A) – 3 D) – 9
A) 3 x – 2 y+8=0 B) 2 x – 3 y+8=0 C) 2 x – 3 y+6=0
19.
D) 3 x – 2y+4=0
B) – 2
C) – 1 E) – 10
Del gráfico mostrado, calcule tanq si se sabe que ABCD es una paralelogramo tal que CD=5.
E) 4 x – y – 8=0 16.
Y
Calcule la pendiente positiva de una recta que contiene a la bisectriz determinada por las rectas. L 1:
3 x – 4 y– 3=0
L 2:
4 x+3 y – 24=0
A) D)
3 5 1 7
X
B)
B
C
θ
37º A(–11; 4 3
C)
7 24
E) 7
A)
−
D) −
7 3
D
0)
B)
4
−
5 3
C) − E)
7
11
−
3 5 3 7
X
Trigonometría 20.
Según el gráfico, calcule secq+2.
23.
En el gráfico, calcule tanq – 2tana, si M es es punto medio de CD.
Y
Y
4
b
B
X
A
α
θ
X
a
5
6
θ
C
A) 8 D) 7 21.
B) 10
C) 6 E) 9
A)
Del gráfico, AP= PB= BC . Calcule
D)
97 · ( sen θ − cos θ). 24.
Y C
b
B)
a
D
M
2a
C)
b
2 b
E)
a
a b a+ b a− b
En el gráfico, la rueda de radio r recorre del punto M al al punto N , una longitud igual a su perímetro. Calcule tanq.
B Y
P(4; 3)
posición r inicial
X
A θ
A) 5 D) – 5
r
B) 9
M N
C) 13 E) – 13
θ
R
22.
Si OA=OB, calcule cscq+tanb. A(–1; n)
Y
2π r R
A) tan θ
X
B)
O
β
A) D)
2
B)
R
2π r R
B(–3; m)
10 + 1
2π r − tan
C) cot
10 + 2
C)
3
10 + 2
E)
4
12
10 + 1 3
5 +3 2
2π r R
D) − cot E)
2π R − cot r
X
Trigonometría Ángulos en posición normal II 25.
Si
tan tan θ sen sen θ < 0 ,
A) I B) II C) I y II D) III E) III y II
calcule el signo de las si-
guientes expresiones. I. tan100º+cosq II. cos230ºsec q III.
26.
28.
Si senq+cscq < 0 y
5 13
.
sen 170º
Calcule 5tanq+13sen q.
cot θ
A) –, +, –
A) – 24
B) +, +, –
B) – 18
C) +, –, +
C) – 20
D) –, +, +
D) – 25
E) +, +, +
E) –16
Si x es un ángulo positivo menor que una vuelta perteneciente al tercer cuadrante. Calcule el
29.
signo de las siguientes expresiones.
I.
cos θ =
cos
Si se cumple tan2 θ = Calcule
x csc 2 x 2 3
1 + 4 tan θ 5
, q ∈ IIC.
26 · cs csc θ − cot θ.
A) 21 B) 25 C) 27
x x II. cot cos 4 3
D) 29 E) 31
x + 30º 3
III. tan
30.
Si a es un ángulo en posición normal y no pertenece al IIIC, además
A) –, +, +
Calcule acota+ b · cosa.
B) +, –, – C) –, –, + D) –, +, –
27.
E) –, –, – Si 92º < a < 182º y 45º < b < 47º, determine lo correcto en las siguientes proposiciones.
C) 0 D)
b − a
2
a
B)
I. cos(a+b) > sen (a – b) II. cos (a+b) · sen(a – b) > 0 III. III. cos( cos(a+b) · sec(a – 2º)+sen(a – b) · tanb > 0
2
A) −2
b
−
E) 2
b a
2 2 b − a
13
−a
sen α =
b
, b < a < 0.
Trigonometría 31.
Si a, q, b ∈ 〈0; 2p〉 son ángulos cuadrantales que
34.
cumplen la condición (cosq+1)2=tanb+cota.
sen x + 1 + 3 ·cos x · (csc x − cot x ) 1 + cos x sen x
Calcule el mayor valor de a – q – b. A)
A) 4 B) 2
3π −
2
C) 6 D) 3 E) 8
B) – 2p C)
π −
Reduzca la siguiente expresión
2
35.
De la igualdad, calcule A+ B 4
sen x − sen
D) – p
2
4
x · tan 2
tan x − sen x
E) 32.
4
x =
2
A + B ·sec x
π −
4
A) 3 B) 2 C) 0 D) – 1
Si q y a son las medidas de dos ángulos cuadrantales positivos, diferentes y menores que una vuelta, tales que sena < tanq. Calcule
cos θ + sen α − tan (θ / 4 )
α θ sen + cos 3 3
.
E) 1 36.
Si sen x + cos x =
A) A) 2 B) – 2
B)
C) 1 D) – 1
C)
E) – 3/2
D)
3 4
, calcule
1 + tan x sec x
+
csc x 1 + cot x
3 2 2 3
12 25 25 12
Identidades trigonométricas fundamentales I E) 1 33.
Simplifique la siguiente expresión cos x cos x − sec y
37.
sec x
+
Si sen2 x+csc2 x=3, calcule sen2 x – csc2 x.
sec x − cos y
A) A) 1
3
B) − 3
B) – 1
C)
C) cos x · cos y
−
D) cos x+1
D) 5
E) cos x · cos y – 1
E) 14
−
5
2
.
Trigonometría 38.
Elimine la variable angular q, de las siguientes
39.
Si senq – tanq=1, calcule cotq – cosq.
condiciones 3
A) 1 D) 1/2
3
sen θ + cos θ sen θ + cos θ
= n
(1– sen2q)(1– cos2q)= m
(I) (II)
A) (1– n)2= m2 B) (1+ n)2= m C) (1 ( 1 – n)2= m D) (1+ n)2= m2 E) 1– n= m2
40.
B) –1
C) 0 E) –1/2
Si sen2q+tan2q=2, calcule cos4q+2 · cos2q. A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 3/2
Aplicación
Forma práctica para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Ejemplo Si sen θ =
−4 5
5
y cotq > 0, ¿a qué es igual cosq?
4
θ 3
Resolución
Consideramos q agudo; es decir, sen θ
=
4 5
Ubicamos a q en un triángulo rectángulo.
Identifcamos el verdadero cuadrante para q. senq < 0 y cotq > 0 → q ∈ IIIC Calculamos el valor de la razón trigonométrica consiconsiderando el verdadero cuadrante de q. → cosq=– 3/5
CLAVES
15
Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales II 1.
Si senq > cosq > 0 y
6
6
sen θ + cos θ =
2 3
6.
B)
3
C) 5 2 E) 2
D) 2 2.
tan θ
A) 3 D) 4
+ cos θ ·
cot θ
2
7.
C) 9 E) 16
B) 8
, calcule
B)
2 cos θ + 1 sen θ − 1
2 −
3
3 2
. 13
C)
−
E)
−
8 8 13
Siendo q una constante, se cumple que sen x · tanq=secq+cos x. x
sen
Calcule
Si sen2q+senq=1 y sen4q+cos4q= A – Bsenq, calcule A · B. A) 6 D) 14
2
2
D) −
.
B) 6
3
3
Si tanq+cotq=3, calcule sen θ·
3.
sen θ + 1
A) 3 3
=
,
calcule sen q – cosq. A)
2 cos θ − 1
Si
+
cos θ
sen θ
x
.
cos
A) 1 D) 2cotq
B) 2
C) 2tanq E) 0 2
8.
En el gráfico, determine el equivalente de
4 r c
2
B
C) 12 E) 16 O
4.
Elimine la variable angular x, de las siguientes condiciones. 1 + cos x sen x 1
−
=
b
B) 2(1+cosa)(1+sena)
2
C)
sen
D)
sen
E)
cos
tan
2
x + cot 2 x − 1
2 α
2 2 α
2
2
(1 + sen α ) (1 + cos α )
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I
x + cot 2 x + 2
A) sen 4 x+cos4 x B) sen6 x+cos4 x C) sen4 x+cos6 x D) sen6 x+cos6 x E) sen2 x+cos4 x
α α α cos − sen 2
Determine el equivalente de la expresión 2
C
A) 2(1– sena)(1– cosa)
(II)
A) ( a+1) · ( b+1) =4 B) (a+1)2 · ( b – 1)2=2 C) (a+1)2 · ( b – 1)2=4 D) (a – 1)2 · ( b+1)2=1 E) a2 b2=4
tan
c
(I)
= a
2
5.
α
A
sen x
cos x
r
9.
Determine el equivalente a sen
( x + A) cos x − sen A sen x
A) cos( x – A) B) cos( x+ A) D) cos x – sen A 16
C) sen( x – A) E) cos x+sen A
.
Trigonometría 10.
En la identidad trigonométrica 2sen x+3cos x= kcos( x – a), determine tana. 2
A)
B)
13
2
3
C)
3
3
13 4
D)
3
13
E)
2
3 α
11.
Si tan ( x − y ) =
a− b a+ b
, tan( y – z)=1.
α
A
Calcule tan( x – z). A) D)
12.
a+ b
B)
b
b
C)
a
a+ b
E)
a− b
4 x = a y 7
A)
a b
O
B) 3 3
2 3
D) 5
3
C)
4 3
E)
6 3
a+ b a
16.
En el siguiente gráfico,
MC
CB
AB
4
8
=
3
y
=
MC = MD. Calcule tan x.
3 x = b, entonces al sim 7 x ·tan x ·tan ·tan se obtiene plificar E = (1 − a2 b2 ) ·ta 7 Si tan
2
tan
D
M
C
x
B) a2 – b2
A) a – b D) ab
C) a+ b E) a / b UNI 2011 - II
13.
Si
0
π <
−
14
x <
π
2
y
sen
π − x = 14
2 10
A
,
5π + x . 28
calcule cos A) D) 14.
3 5
2
C)
5
8
E)
5
Si B – C =q y se cumple senq= m · cos B · cosC cosq= m · sen B · senC calcule tanq A) m – 1 D) m2 –1
15.
B)
A) 1 7
5
22 7
24 5
C) E)
8 3
17 9
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II 17.
C) 1– m E) m2+1
En el gráfico adjunto, la longitud del segmento AO es 17
4
B)
4
(I) (II)
B) m+1
D)
13
B
Si cos( A+ B) y cos( A – B) tienen el mismo signo, luego A y B satisfacen la relación. A) sen A > cos B B) sen B > cos A C) |sen B| > |cos A| D) |sen A| < |cos B| E) |sen A|=|cos B|
Trigonometría 18.
Simplifique la siguiente expresión
24.
tan ( A − B ) + tan ( B − C ) + tan (C − A)
En el gráfico mostrado, 5( BC )=9( )=9( AD). Calcule E =
tan ( A − B ) · tan ( B − C ) · tan (C − A)
sen θ · se sec 4θ + cos 3θ cos 3θ
B
A) – 1 D) 2 19.
B) 1
C) 0 E) – 2 D
En un triángulo acutángulo ABC , calcule el valor de E =
cos
( A − B)
sen A sen
B
A) 3 D) 6
cos
+
( B − C )
sen B sen C
B) 4
cos
+
( A − C )
θ
sen A sen C
3θ
A
C) 5 E) 8
A)
C
12
B)
9
13 9
C)
14 9
UNI 2011 - II
20.
D)
El mayor valor que toma la función f ( x)=cos2 x+3sen2 x+2 es A) 2 + D) 1 +
B) 6
10 10
C) 3 + E) 5
cos 20º + 3 sen 20º
22.
A) – tan17º D) tan51º
C) 2 E) 0
Determine el equivalente de la expresión cot10º · cot240º – cot10º.
Si
26.
A) sen 3q D) – sen3q
C) – cos3q E) senq · cosq
C) tan34º E) cot34º
π − x · csc (2π − x ) · sen 3π + x 2 2 3π · tan π + x ·csc ( x − π ) cos x − 2 2
cot
π
B) tan3q
B) cot17º
Simplifique la siguiente expresión
A) cot x D) tan x
y tan A+tan B+tanC +tan +tanq=0, 2 calcule sen( A+q) · sen( B+q) · sen(C +q). A + B + C =
− tan 343º − tan 107º tan 163º tan 197º + ta tan 73º
se obtiene
A) cot40º B) 2cot50º C) 2cot40º D) 2 E) sen10ºcsc240º 23.
9
Simplificando la expresión
= K =
3 cos 10 10º − sen 10º
B) 1
9
16
Reducción al primer cuadrante
10
Calcule el valor de la siguiente expresión
A) – 1 D) – 2
E)
UNI 2008 - II
25. 21.
15
27.
B) – tan x
C) 1 E) – cot x x
9 π − x + 12 cot (3π + x ) = 5, 2
Si 13 sec
calcule csc x+cot x x. A) 5 D) 12
B) 1/5
18
C) 13 E) 7/13
Trigonometría 28.
Reduzca la expresión, si ABCD es un cuadrilátero
31.
M
sen ( A + B + C) + cos( A + B + C ) 7( A + B + C + D) ·cos tan ( A + B)·cot (C + D) 8
cos
=csc( np+(–1) na), n ∈ Z N =csc( calcule E
D − π 4 π − D 4
2 cos
29.
30.
−
2
N
M · N
.
C) cota · cosa D) – cota · cosa E) – 1
D− π 4
32.
Simplifique la expresión se n
=
2
B) – tanasena
π + D 3
2 sen
E)
M
A) tan a · sena
C) sen D)
π = tan kπ + + α , k ∈ Z 2
π A) 2 sen D − 4 B)
Sabiendo que
11π + x ·sen 33 π + y − cos 55π + x ·cos 77π + y 4 4 4 4
Calcule a, sabiendo que está en el tercer cuadrante, es positivo, mayor que una vuelta, pero menor de dos vueltas. Sabiendo que cos α
= − sen
π
. 11
75 ≠
73 ≠
71≠
A) sen( x+ y) B) – sen( x+ y) C) – cos( x+ y) D) cos( x+ y) E) sen( x+ y) · cos( x+ y)
A)
En el gráfico, calcule tanq.
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I
D)
Y
33. X
22 69 ≠
45º
A) D)
7 2
B)
7
C)
−
2
5
E)
2
19
5 −
22
C) E)
22
22 67 ≠ 22
Podemos afirmar que sen6 x+cos6 x es igual a A)
1−
B)
1−
C)
1−
3 4
θ
(7; – 3)
B)
3 4
D) 1 −
3 2 3 2
2
cos 2 x
2
sen 2 x
2
cos 2 x
2
sen 2 x
2 3
−
2
E) 1 +
3 2
2
sen 2 x UNI 2008 - II
Trigonometría 34.
Dada la siguiente identidad trigonométrica
38.
1 − 1 sec2 10º 1− 1 sec2 20º 1− 1 sec 2 40º 2 2 2
3 x − sen 2 x 2 2 2 x = A cos + B 2 2 2 cos x − sen x
cos
2
A) cot 210º B) csc280º C) tan210º D) sec210º E) sec280º
el valor de A · B es A) – 2 D) 1 35.
B) – 1
C) 0 E) 2
Al calcular el valor de F
1 =
sen 10º
A) 1 D) 5 36.
3 −
cos 10º
B) 2
39.
obtenemos
C) 3 E) 4
40.
B) cot50º
C) cot100º E) cot20º
En un triángulo ABC recto recto en A, el valor de la expresión ( a − b)2 + 4 ab sen 2
2 E = c ( a + b)2 − 2 bc ·cot 2
Calcule el valor de la siguiente expresión (sec40º+1)(sec80º+1)(sec160º+1) A) 1 D) 4
Si se cumple que =cot50º+cot250º+cot350º+... M =cot50º+cot =csc50º+csc250º+csc350º+..., N =csc50º+csc calcule M (1– (1– tan40º)+ N (1– (1– sec40º) A) cot25º D) tan25º
Si sen4q – sen2q= m, calcule cos4q. A) 8 m – 1 B) 8 m+1 C) 1 – 8 m D) 1+4 m E) 1 – 4 m
37.
Simplifique la expresión
B) 2
C) 3 E) –1
c
donde a, b y c son los lados del triángulo, es igual a A) – 2 D) 2
B) – 1
C) 1 E) 4 UNI 2011 - I
CLAVES
20
Trigonometría A) cot80º
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples II 1.
B) tan80º C)
Reduzca la expresión cos 3 x − cos
3
D) 3cot80º
x
2.
A)
−
D)
−
2 3 2
sen x
3
E)
sen 2 x 3
3 tan 80º
B)
3 2
sen x
C)
3 2
7. cos x
E) – 3sen3 x
cos x
2
4
6
Si 9sen x – 24sen x+16sen x= n,
Tenemos un triángulo con ángulos interiores α; 2α; 2α y lados b; a; a. Entonces el valor de a / b es: A)
5
D)
2
B) 2( 5 − 1)
C) E)
1+
5
2 2 +1
2
calcule cos 3 x 8.
2
A) 1 – n D) 1 – n 3.
B) 1+ n
C) n – 1 E) – n2
sen
x
sen 3 x
cos −
3
x
cos 3 x
1 +
2
A) 3sen2 x · csc6 x =
cos x + sen x
A − B ⋅ sen( Bx)
B) – 3sen2 x · csc6 x
calcule A+B. A) 1 D) 2
C) B) 0
Si tan( 60º x) −
=
C) – 1 E) 3
A)
−
D)
−
13 9
2
sen 2 x ⋅ csc 6 x 3 2
sen 2 x ⋅ csc 6 x
E) – sen2 x · csc6 x
1 , 3
UNI 2005 - I
Transformaciones Transformaciones trigonométricas
B)
13 9
9
C) E)
13
9
9.
13
A) 4cos2 xcos4 xcos6 x B) 4cos xcos3 xcos5 x C) 4cos xcos2 xcos3 x D) 4cos xcos2 xcos4 x E) 4cos2 xcos3 xcos4 x
13
4tan3 x – 3tan2 x – 12tan x+1=0, calcule 4sen3 x – cos3 x B) – 3
Calcule el equivalente de la siguiente expresión 1+cos2 x+cos4 x+cos6 x
5
De la igualdad
A) 3 D) 1
3
D) −
calcule tan3 x.
5.
3
De la siguiente identidad cos 3 x − sen 3 x
4.
Simplifique la siguiente expresión
2
C) 2 E) 0
10.
Simplifique la siguiente expresión sen 6θ + sen 4θ + sen 5θ cos 6θ + cos 4θ + cos 5θ
6.
Reduzca la expresión 3 − (tan 20º + ta t an 40º )
A) tan θ D) cotθ
B) tan3θ
21
C) cot5θ E) tan5θ
Trigonometría 11.
Si cos3 x= M · cos5 x, calcule tan4 x · tan x A)
M + 1 M − 1
B)
M − 1
C)
M + 1
M + 2
Resolución de triángulos oblicuángulos I 17.
M
En un triángulo ABC de de circunradio R, determine sen A
D) 12.
M
E)
M − − 1
M
a
sen A + sen B + sen C
13.
C) – 1 E) 0
18.
El valor de la expresión cos
2π + cos 4π + cos 6 π es 7 7 7
A) – 1/2 D) – 1
B) 0
C) 1/2 E) 1
De la siguiente identidad 4 cos cos θ cos cos 3θ + 1 =
UNI 2010 - I
sen( Aθ) , sen θ 19.
calcule el valor de A. A) 4 D) 5 15.
C) 6 E) 2
A)
− 2 sen 70º
2 sen 10º
D)
D) B) 0
C) 1
2 2
E)
cos A
20.
a
b +
c
cos B
B)
3
+
cos C
b
=
3 tan A ⋅ tan B
C)
3
ab
E)
3
c
3 bc
3
Del gráfico, determine θ. B
3 2
θ
UNI 2010 - II 16.
a
Calcule cosc.
Calcule el valor de la siguiente expresión
A) – 1
En un triángulo ABC , si AB=C , BC=a y AC=b, se cumple
B) 3
1
Cuando el ángulo de elevación del sol es de 60º, un poste inclinado en 15º desde la vertical proyecta una sombra de 20 m. Determine la longitud del poste. A) 26,1 B) 25,5 C) 24,5 D) 23,2 E) 22,5
UNI 2005 - II 14.
c
A) 0 B) R C) 2 R D) 2 R /3 E) 3 R /2
sen( B) + sen( C ) + sen A
B) – 2
b
3 sen C −
M + + 1
En el triángulo ABC , simplifique la expresión
A) 2 D) 1
2 sen B +
2 u
Calcule el valor de la siguiente expresión 80º
( 3 sec 70º −2) ⋅ csc 50º
A) 2 D) 1/2
B)
A
3
C) 3 E) 4 22
A) 20º D) 10º
20º
D
B) (22,5)º
2 u
C) 15º E) 40º
C
Trigonometría 21.
Del gráfico, calcule bccos A+accos B+abcosC
D C
A
A
5
B
O
6 E
B
A) 55 D) 52 22.
C
7
B) 54
En el gráfico, determine
C) 53 E) 51 2 2 C2 − C1 + 2acos B1
(C2 + C1)
A)
2 37 37 + 6 3
B)
2 37 37 + 4 3
C)
2 37 37 + 2 3
D)
2 37 37 − 6 3
E)
2 37 37 − 4 3
B
UNI 2002 - I
3
5
a
Resolución de triángulos oblicuángulos II B1 A
A) 15 D) 18 23.
B
C 1
C
C 2
B) 16
25.
c respectiEn un triángulo ABC de de lados a, b y c vamente, se cumple que a=5 b y mC =120º. =120º.
A − B 2
C) 17 E) 19
Calcule sec2 A)
Del siguiente gráfico B
D)
α
n
5
26.
n
31
B)
27
8
2
C
E)
4
+c
2
2
m
=
2
m
+
1
−
1
, m > 0
y m B=60º. Calcule
determine el valor de ncos2(α) A)
A) 1/6 B) 1/7 C) 1/9 D) 1/10 E) 1/12
3 m
B) 3 m C)
3
m2
UNI 2007 - II
D) 3 m 24.
En el gráfico O es el centro de la circunferencia, AB es diámetro, m DB = 30º y m BE = 120º. Si CD=2 y EC =10, =10, entonces AC es es igual a
27
En un triángulo ABC , se cumple a
3
C)
15
2ac A
2
E)
3 m 23
tan
A − C 2
31 4 31 28
Trigonometría 27.
En el siguiente gráfico
30.
En un triángulo ABC de de lados a, b y c respecti vamente, reduzca la expresión expresión 4 ma2 − b2 − c2
C
4 mc2 − a2 − b2 b
B1 A
C 1
ma: mediana relativa al lado a m b: mediana relativa al lado b
b
a
B A) tanC cot cot B A D) tanC cot cot A
B2 B
C 2
A’ 31.
se conoce a, b, A y B1. Si C 1 > C 2, entonces se cumple que A) C 1+C 2=2acos(B1) B) C 1 – C 2=2 bcos(A) C) C 1+C 2=2acos(A) D) C 1 – C 2=2acos(B1) E) C 1+C 2=2 bcos(B1)
D)
ab
B)
a+ b ab
En un triángulo de lados 7; 8 y 9 m se traza la mediana relativa al lado de 8 m. Determine el coseno del ángulo comprendido entre el lado 7 m y la mediana trazada.
32.
2ab
C)
a+ b
3
E)
a+ b
C) 45/49 E) 47/49
ab
A) 7/8 D) 9/40
2ab 4
B) 7/16
C) 3/80 E) 13/25 UNI 2002 - I
a+ b
Del gráfico, calcule 2
B) 43/49
Dos autos parten simultáneamente desde un punto P en direcciones que forman un ángulo θ uno a 5 km/hora y el otro a 12 km/hora. Calcule el cosθ sabiendo que al cabo de 1 hora la distancia desde el punto P al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km.
UNI 2009 - II 29.
A C) tan Bcot A E) tanC tan tan A
UNI 2007 - I
En un triángulo ABC se tiene AB=a, BC=b y m ABC =120º. =120º. Calcule la longitud de la bisectriz interna BF , si F ∈ AC . A)
B) tan AcotC
A) 41/49 D) 46/49
UNI 2006 - II 28.
, donde
Circunferencia trigonométrica I 33.
2
En el gráfico, calcule CD.
a sen 2 B + b sen 2 A
Y
a+ b
C D
A) B)
3Vc
C
a
b V c
C) Vc
E)
A X
30º 30º
2
D) 2 Vc
O
B
Vc
B
M
Vc
C. T.
A
A) D)
3 24
5 5 4 6 15
B)
4 5 15
C) E)
6 5 7 5
Trigonometría 34.
Si CB=5( BA), calcule el área de la región sombreada.
A) VFF B) VFV C) FVV
Y
D) FVF E) FFV
P 37.
B
C
Del gráfico, calcule
2 S cos α
, donde S=S1 – S2
A X
Y C. T.
A)
D) 35.
2 5 3 1
u
u
2
B)
5
u
3
2
x2+ y2=1
5 u
C)
2
S2
α
2
E)
3
2
u
3
A) – 2 D) 1
Y
38.
N
B) – 1
O
θ
A X
C. T.
A) tan θ B) cotθ C) – cosθ D) – senθ E) secθ Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. I.
sen
π < 13π sen 4 7
II. sen1 > sen3
(0,1)
P
Q O
36.
C) 1/2 E) 2
Según el gráfico, halle el área de la región triangular OQP. Y
D
X
2
Del gráfico, calcule CD
C
S1
A)
−
B)
−
θ
(1,0) X
sen θ ⋅ cos θ 4 sen θ ⋅ cos θ 8
C)
−
D)
−
sen θ ⋅ cos θ 16 sen θ ⋅ cos θ 2
E) – senθ · cosθ
III. sen5 > sen4
UNI 2004 - I
25
Trigonometría 39.
En la circunferencia trigonométrica, si
D)
cos α + 2 sen α
m AMP = α . Calcule la abscisa del punto Q,
donde R es punto medio de ON .
E)
Y
40.
N
cos α + 3 sen α
En el gráfico 2 AB = BC , determine el área de la región triangular sombreada.
P
Y
R Q
C. T.
θ
A O
A
X
B X
M
A)
B)
C)
C
cos α 1 − 2 sen α
A) cos2 θ(2cosθ – 1)
cos α + 1
B) sen2θ(2cosθ+1)
1 − 2 sen α
C)
1 2
sen 2θ ( 2 cos θ − 1)
cos α + 1
D) sen3θ+sen2θ
1 + sen α
E) sen3θ – sen2θ
CLAVES
26
Trigonometría Circunferencia trigonométrica II 1.
Si
2a − 5 b
2
cos θ =
3 b
7.
,
calcule la variación de a / b. 5 A) ; 4 2
3 B) ; 4 2
2.
Si cos 2θ =
A) 〈0; 1〉 D) 〈–1; 0]
4 C) ; 4 3
1 D) ; 3 4
2 E) ; 2 3 n + 1
10
;
θ∈ −
Calcule la variación de la expresión π 1 − sen θ , θ ∈ ; π 1 + sen θ 6
8.
A) [0; cos1] B) [0; 1] D) [1/2; cos1]
π π
. ; 6 6
3.
B) 4
C) 7 E) 5
cos 3 x
C) [cos1; 1] E) [– cos1; 1]
Circunferencia trigonométrica III 9.
Del gráfico mostrado, halle AP en términos de a. Y
π π Si x ∈ ; , calcule la variación de la expre 36 4 sión
C) [0; 1〉 E) 〈0; 1]
Calcule la variación de la expresión cos(cos x).
Calcule el número de valores enteros de n. A) 6 D) 3
B) [0; 1/2〉
C.T.
π + . 12 P
A)
1 1 − ; 2 2
B) −
3 2
;
3
C) 2
3 D) 0; 2
E)
−
3 2
α
3
2
2
A)
4.
Si
− sen α − 1 = 1 − cos θ,
donde a ∈ 〈4; 5〉 y θ ∈ 〈6; 7〉. Calcule cos(q+a).
A) 0
B)
cos
E) – 1
B) 52
1 1 + tan α
C) 49 E) 66
Si el mínimo valor que asume la expresión 2 2 acos x+sen x, si a < 0, es – 3. Calcule el valor de a2. A) 1 D) 4
B) 9
1
C)
1 − tan α
tan α
E)
2 + tan α
tan α 1 − tan α tan α 1 + tan α
En la circunferencia trigonométrica mostrada, 3( MO)=2( MA). Halle el área de la región sombreada en función de b. A)
6 25
B) − C) −
6.
B)
C) 1
Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la expresión 4sen 2q+20senq+25. A) 60 D) 58
D) 10.
3 D) cos 2 5.
21 2
X
; 0
1
− ;
A
C) 16 E) 25
D) − E) −
Y
tan β 3
25 2 5
25
5
M
tan β
6
3
β
tan β
O
tan β
tan β
27
A X
Trigonometría 11.
En la circunferencia trigonométrica, si el área de la región sombreada es 1/12. Calcule 6tan2q+13tanq.
13.
Calcule la variación de la expresión tan 2 x , x ∈
7 π 7π ; 8 6
Y
A) [0; 1 〉
B) 1; 3
3 C) 0; 3
θ
D) 0; 3
E)
X
14.
Si tan 3θ =
n − 2
4
3 3
;1
π π . ; 12 12
, θ ∈ −
Calcule la variación de n. A) – 6 D) – 4 12.
B) 5
C) – 3 E) 6
A) [– 2; 5] B) [– 1; 6] C) [– 2; 6]
Calcule el producto de las pendientes de las rectas L 1 y L 2.
D) [– 2; 7] E) [– 1; 4]
Y
L 2
L 1 15.
Si θ ∈
π;
4 π 3
, calcule la variación de la expre-
2 sión cot θ + 3
C.T.
X
A)
θ
1 3
2
3 .
;+∞
B) 〈1; +∞〉 C) 〈1; 3〉
A) B)
D) 〈3; +∞〉
cos θ + 1 cos θ − 1
E) 0;
1 + cos θ
D) E)
3
1 − cos θ 16.
C)
1
1 − cos θ
Calcule la variación de a en 〈0; p〉 de la siguiente igualdad 2cos2q=cota+1, θ ∈ R.
1 + cos θ
π π A) ; 4 2
tan θ − sen θ 1 + cos θ
π D) ; π 4
cos θ − 1 cos θ + 1
28
π 3π B) ; 4 4
3π C) ; π 4 E)
0;
3π 4
Trigonometría C)
Circunferencia trigonométrica IV 17.
Si el área de la región sombreada es 8/3. Calcule sen2 q.
D)
sec θ − sen θ co cos θ sen θ + 1 sec θ − cos θ − tan θ sen θ + 1
Y
A) 3/4 B) 2/3 C) 3/8 D) 1/2 E) 1/4
E)
C.T.
20. X
sec θ + cos θ + tan θ sen θ + 1
Calcule la ordenada del punto P en términos de q. Y
θ C.T.
18.
X
En la circunferencia trigonométrica, calcule en términos de q. MN en
θ
Y
A) cot q – secq B) tanq – cscq C) cscq – tanq D) cotq – cscq E) tanq – secq
M
N
θ
A) cot q – cscq B) tanq – secq C) secq – tanq D) cscq – tanq E) cscq – cotq
X
19.
P
Del gráfico, calcule MN en en términos de q.
21.
Calcule todos los valores de siguiente igualdad exista sec θ =
Y
n,
para que la
n − 2 4
A) 〈– ∞; – 4] ∪ [4; +∞〉
C.T.
B) 〈– ∞; – 2] ∪ [7; +∞〉 M
C) 〈– ∞; – 3] ∪ [6; +∞〉
N X
D) 〈– ∞; – 2] ∪ [6; +∞〉 E) 〈– ∞; – 6] ∪ [2; +∞〉
θ
22.
A) B)
sec θ − cos θ + tan θ
Si csc θ =
a
+ 3 a+ 2 − , θ ∈ IIIC. 2 3
Calcule la variación de a.
sen θ − 1 sec θ + cos θ − tan θ sen θ − 1
A) 〈– ∞; – 9〉
B) 〈9; +∞〉
D) 〈– ∞; –10〉
C) 〈– ∞; –11〉 E) 〈11; +∞〉
29
Trigonometría 23.
Calcule la variación de la expresión csc| x – p|, si
26.
2π 7 π . ; 3 6
f( x )
x ∈
A)
2 3 A) ;+∞ 3
π 5π ; 2 6
π π C) ; 6 2
2 3
3
D) 0;
E) 2; + ∞ Si
sec x − 2 sen x − 1, x ∈ 0; 2 π
{}
C) [2; +∞〉
24.
=
π 5π π B) ; − 6 6 2
B) 〈– ∞; – 2] 2]
D) − ∞; −
Calcule el dominio de la función definida por
2 < sec θ < 2 ,
el intervalo de
{}
2
27.
; 2≠ .
5π ∪ ;π 2 6
π 2π π E) ; − 3 3 2
calcule la variación de q en
3≠
π
Calcule el dominio de la función definida por f(tan x )
2
=
2
−
tan x
A)
5≠ 7≠ ; 3 4
A) [2; + ∞〉
B)
7 ≠ 11≠ ; 4 6
π π B) ; π − 2 4
C)
5 ≠ 11≠ ; 3 6
D) E)
5≠ 3
C) 〈– ∞; – 2] ∪ [1; +∞〉 π π D) ; 4 2
; 2≠
E) [– 2; 1]
3 ≠ 11≠ ; 2 6
28.
Calcule el dominio de la función definida por f( x )
1 cos2 x − cos4 x − ; n ∈ Z 4
=
A) (2 n + 1) Calcule el dominio de la función definida por f ( x )
=
1 sen x − 1
tan x
{}
Funciones trigonométricas directas I 25.
−
+
A) 2 nπ; (4 n + 1)
cos x
+
sen 2 x cos x
+
2 sen x
D)
, n ∈ Z 29.
π
2
B)
n≠
C) (2 n + 1)
2
n≠
π
4
4
2
= −
cos x
2π A) ; π 3
D) 〈2 np, (2 n+1)p〉 E)
D)
R
30
4
n E) (4 n + 1)
+
sen x sen 3 x
, x ∈ 0; π
B) 〈2 np, (2 n+1)p〉 π C) 2 nπ, (4 n + 1) 2
π
Calcule el dominio de la función definida por f ( x )
2
π
2≠ 3
;≠
π B) 0; 3
C)
≠ 2
;≠
π E) ; π 2
Trigonometría 30.
Calcule el dominio de la siguiente función. f ( x)=tan2 x+cot4 x+2csc2 x; n ∈ Z A)
{
(2 n + 1)
R−
π
4
Funciones trigonométricas directas II 33.
}
Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la función definida por
B) R
31.
C)
R−
D)
R−
E)
R−
f( x )
{2} {4} { } nπ
nπ
(2 n + 1)
cot 60 º se sen x + sec 30º co cos x
=
A)
4
D)
4
5
B)
3
4
5 2
C)
4
E)
4
3 5
π
2
2 5
3 8
Calcule el dominio de la función definida por f( x )
=
csc 4 x +
A)
R−
B)
R−
C)
R−
{4} { {2}
sec x tan 2 x
+
2 csc x
, n ∈ Z
34.
Calcule el rango de la función definida por 2 2 f ( x)=sec x+csc x+tan x+cot x
nπ
(2 n + 1)
A) [1; + ∞〉 nπ 4
}
B) [2; +∞〉 C) 〈1; 2〉
nπ
D) [6; +∞〉 E) 〈0; 2〉
D) – { np} E) 32.
R−
{8} nπ
35.
f ( x )
Calcule los puntos de discontinuidad de la función definida por f ( x )
A) B)
=
nπ
2
1 − sen x
sen x
C) {– 2; 0; 2}
π
D) {–1; 1; 2}
8
E) {– 2; 2}
π +
2
8
C) 2 nπ +
D) nπ + E)
sen x +
B) {0; 1; 2}
+
4
cos x =
A) {–1; 0; 1}
csc (sen 2 x − cos 2 x ) ; n ∈ Z. sec (sen 2 x − cos 2 x )
nπ
Calcule el rango de la función definida por
nπ +
π
36.
Calcule el rango de la función definida por f ( x)=|sen x – tan x|+1+sen x, x ∈
8
π
8 π
16
A) 〈0; 2〉 B) 〈1; 2〉 C) 〈0; 1〉 D) 〈–1; 2〉 E) 〈–1; 0〉 31
;
π
5 π 4
.
Trigonometría 37.
π π Si x ∈ − ; , calcule el rango de la función 4 3
39.
f ( x )
definida por f ( x)=tan(| x|+ x) A) 0; 3
1 + sen x + cos x
C) 1 − 2; 1 + 2 − {0}
D) − 3; 0
38.
(1 + sen x ) (1 + cos x )
B) [–1; 1] – {0}
C) − ∞; 0] ∪ 3 ; + ∞
− ∞; −
=
1 − 2 1+ 2 ; A) 2 2
B) − ∞; − 3 ∪ 0; + ∞
E)
Calcule el rango de la función definida por
1 − 2 1 + 2 D) ; − {0} 2 2
3
∪ 0; + ∞
1 1 E) − 2; + 2 2 2
3
Calcule el rango de la función definida por 40.
f( x )
π π = csc cos x − cot cos x 2
2
Calcule el rango de la función definida por f ( x )
2 =
tan 2 x
1 −
tan x
A) R B) R – {0} C) R – {– 1; 0; 1} D) R – {±1} E) R+
A) 〈– 1; 1〉 – {0} B) [– [ – 1; 1] C) 〈– 2; 2〉 – {0} D) [0; 1] E) [– 1; 1] – {0}
CLAVES
32
Trigonometría Funciones trigonométricas directas III 1.
B) II y III
A) FVV D) VVV 3.
B) VVF
A)
g( x )
=
6.
D) 4.
≠ 2
≠ 2
; 2≠;
2
B)
;
;
4 2 4
2
A) 0; B) 0;
2 2
C) FFV E) FVV
2
, calcule
C)
F ( x)=2
π
π
2
T 1 T 2
.
≠
4 ≠
3
D)
π
2
π ∪
2 π ∪
2
;
π
;π
∪
2π
X
2 ; 2π
3π 2
3π 2
3π
3π 2
sen x
; 2π
≠ 3≠ 2
;
2
≠ 2
Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si T es es el periodo de F → aT también también es periodo de F , donde a ∈ N. II. Si p y q son periodos de F → a p+b q es periodo de F , donde a, b ∈ N. III. H( x) cos x no tiene periodo. B) VVF
x
E)
0
≠ ≠ C) ≠; ;
=
sen
Del gráfico, en qué intervalos la función F es creciente
C)
E) ≠; 2≠;
+
B) p
C) FFV E) VFV
≠ ≠ ≠
; ≠; ≠
A) VVV D) VFV
≠
1 + cos x
≠
sen x
Y
III. h( x)=|tan x|+|cot x x| A)
=
T 2 el periodo de la fun-
D) 2p
Calcule el periodo principal de las siguientes funciones. I. f ( x)=sec(sen x) II.
x = cos cos sec sec π y
ción G( x )
C) I, II y III E) solo II
Analice la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. La fun funci ción ón defi defini nida da por F ( x)+ F ( – x) es necesariamente par. II. Si F y G son funciones impares, entonces F+G es impar, solo si Dom( F ) ∩ Dom(G) ≠ f. III. III. Si F es una función par, entonces F 2 también es par.
Si T 1 es el periodo de la función F ( x )
Indique las funciones cuyas gráficas son simétricas al eje de ordenadas. I. h( x)=2cos x II. g( x)=cos(cot x x) III. f ( x)=tan(sen(3 x)+ x4) A) I y II D) I y III
2.
5.
E) 〈p; 2p〉 7.
¿Cuál de las siguientes funciones es creciente en el intervalo 0; A) y=sen x B) y= – x2 C) y=cot x x D) y=cos x E) y= – x 33
≠ 2
?
Trigonometría 8.
Sea f ( x)=|tan x|· cos x, analice el valor de ver-
11.
Calcule el perímetro de la región sombreada.
dad (V) o falsedad (F) de las siguientes proY
posiciones.
G( x)=cos3 x
I. f es es una función impar. II. f es es creciente en
≠ 2
III. f es es decreciente en
;≠ X
3≠ 2
; 2≠ f ( x)=sen3 x
A) VVV B) FFF C) FVV
A)
D) FFV E) FVF
D)
2
π + 3
π +
4
B)
2
π +
3
2 2
C) E)
2 2
3
π + 3
π +
2
5 2
12
Funciones trigonométricas directas IV 12. 9.
Del gráfico, calcule F ( F(7) + F (8) ). Y
Grafique la función f , cuya regla de correspondencia es f ( x )
f ( x)= Asen( Mx)
cos =
2
x
1 + sen x
2
A) 4
Y
X
–2
X
B) A) 0
B) 2
C) 1
D) –1 10.
E) – 2
X
C)
Calcule el área de la región sombreada. Y
Y
Y
4) f ( x)=3sen(π x/ 4)
X
D)
Y
X
X
E) A) 18
B) 19
Y
C) 20
D) 22
E) 21 34
X
Trigonometría 13.
Indique la gráfica de la función f ( x)=sen x – 2|sen x|
A)
Y
A)
23π ; − 45
B)
4 π ; − 1 9
C)
5π ; − 12
D)
31π ; − 1 90
E)
7π ; − 18
X
B)
Y
2
2
2
X
C)
2
Y
15.
X
Del gráfico, su regla de correspondencia es ). y=A · cos( Bx+C ).
D)
Y
Determine
3
5
Y
X
14.
C
A ⋅ B ⋅ π ⋅ sen
Y
X
E)
π
–
Si f ( x)= – | A · sen( Bx)| y g( x)= A · cos( Bx), calcule las coordenadas del punto P. Y
π
7π
2
2
–5
g( x)
2
A) 1 B) 2 2π
– 2
P
X
C) 2 2
3
D) 2
f ( x)
E) 4
35
X
Trigonometría 16.
Determine la gráfica aproximada de la función f( x )
A)
2π = 3 cos 2 x + − 4
Funciones trigonométricas directas V 17.
3
Determine el rango de la función 3 π f ( x)=7sen x+cos2 x; x ∈ π; 2 A) −2 2 ; 2 2
Y
–1
B) [ – 8; 1〉
X
C) −6; 2 7 D) −8; 5 2 –7
B)
E) 〈 – 8; 1〉 18.
Y
1
9 2 3 + 1 A) ; 8 6
X
–7
C)
Determine el rango de f x π π f( x ) = tan 2 x + ; x ∈ ; 8 6 π
1 3 + 1 B) ; 8 6
Y
–1
3 +1 9 ; C) 3 8
X
9 6 3 + 1 D) ; 8 6 –7
D)
9 3 + 2 E) ; 8 6
Y
–1
19.
X
Determine el área de la región sombreada. Y
y= y= 1– tan(3π x) x)
–7
E)
Y
–1
X
X
A) 1/5 u 2 D) 1/2 u2
–7
36
B) 1/4 u2
C) 1/3 u2 E) 1 u2
Trigonometría 20.
Calcule el área de la región sombreada; A < 0
23.
Determine la gráfica de la función 1
Y
y=tan( Ax)
A) –π
3π
π
X
D) 21.
B) 3p
2
C)
3≠
E)
8
π ∈
−
;
π
2 2
1 π
π
2
2
B) 3≠
x
Y
–
A)
1
2 2 f( x ) = (sec x − 1) 2 − (csc x − 1) 2 ;
X
Y
3≠ 4 –
≠
π
π
2
2
X
4 C)
Halle el área de la región sombreada.
Y
y=3tan( y=3tan( x x /2) –
Y
π
π
2
2
X
3
D)
Y
X –
π
π
2
2
E) A) p u2
B) 2p u2
Y
C) 4p u2
D) 6p u2 22.
X
E) 3p u2
X
Del gráfico, determine cot( A+B)+C
24.
F ( x)= tan x
–
π
6
C A
D) – 1
π + 2, indique verdadero (V) 4
o falso (F) según corresponde a las siguientes
Y
A) 2
Si F( x ) = tan x −
B
B) – 2
X
C) 1 E)
+1
proposiciones. π I. Si x ∈ − ; 0 → F ( x )máx = 1 4 II. F tiene tiene periodo mínimo igual a p. ≠ III. F tiene tiene punto de inflexión en y 4 A) FVF
3
B) VVV
D) VFF
5≠
C) VVF E) VFV
37
4
Trigonometría Funciones trigonométricas directas VI 25.
Grafique la función F , cuya regla de correspondencia es 2
F ( x )
A)
sec x =
+
2 (tan x
2
cs c x
+
cot x )
Y
27.
A)
5 π y
B)
π y −
C)
5 π y
−
4 2x
−
4π 2
=
0
D)
5 π y
+
4 2x
−
8π 2
=
0
E)
5 π y
−
4 2x
+
8π 2
=
0
−
4 2x
4 2x
2π
=
0
5π 2
=
0
−
−
Determine el área de la región sombreada multiplicado por A/B. Y
X
B)
Y
f ( x)=csc(3 x) B X
C)
A
Y
g( x)=3 – csc(3 x) X X
D)
Y
A) D)
≠
u
2
B)
6
2≠
u
≠
u
2
C)
4
2
E)
9
9≠
u
2
4 3≠
u
2
4
X
E)
Y
28.
Determine el área de la región triangular ABC . Y
X
26.
y=2
A
Determine la ecuación de las recta que pasa por los puntos A y B.
3 csc x
X
π
3
Y A
y=2sen x
B
X
A)
y=csc x
D)
38
2π 3 π
3
(3 −
(9 + 2
)
3 u
)
2
3 u
C
–4
B
B) 2
2≠ 3 3
u
2
C) E)
π
2
(3 +
π
3
)
3 u
2
(5 + 2 3 ) u 2
Trigonometría 29.
Grafique la función f( x )
=
tan 2 x ⋅ tan x
30. tan 2 x
+
Sea la función f ( x)= A · sec( Bx+C ), ), ( B > 0). B
Determine
A ⋅ C
tan x
Y
A)
Y
asíntotas
4
–π /4
2
3π 4
/4 π
–2
X
π
π
4
2
–4
B)
Y
–π /4
2
/4 π
–2
−
D)
−
X
31.
C)
π
A)
π
B)
8
π
−
6
1 2π
X
π
C)
−
E)
−
2 1 π
Determine la regla de correspondencia del gráfico.
Y
Y 2 π π /4
–π /4
–2
X
2 0 –1
D)
π
π
6
3
2π 3
X
Y
)+ D f ( x)= A · csc( Bx+C )+ –π /4
2
/4 π
–2
X
A) y=2 · csc(3 x) – 2 B) y
E)
2
csc (3 x )
1 −
2
π − 2 6 1 π 1 D) y = csc 3 x − − 2 6 2
Y
C) y = 2 ⋅ csc 3 x +
2
–π /4
1 =
π /4
X
E) y=csc(3 x) – 1
39
Trigonometría 32.
¿Cuál de los gráficos mostrados representa mejor a la función? y
34.
Calcule el valor de
tan arccos
x 2 π π = cos x − 1 − para x ∈ − ; 2 2
2
A) − A)
Y
35.
5
1
− arc se sen B) −
8
13
2
7
C)
4
7
D) X
2
E)
4
1 8
8 5
Calcule el dominio de la función f 1
B)
1
12 12 f( x ) = arc sen x + − arccos x − 2 2
Y
A)
X
{} 1
B) {0}
2
C) [ – 1; 1]
D) [ – 1; 0] C)
36.
Y
Determine el dominio de la función f ( x)=arc sen(1 – sen x)+arc cos(1+cos x); ∀ x ∈Z π A) (4 k − 1) ; 2πk 2
X
D)
E) [0; 1]
π B) (2 k − 1) ; πk 2
Y
π C) (4 k + 1) ; (2 k + 1) π 2 π D) 2 kπ; (4 k + 1) 2
X
E)
π π E) (4 k − 1) ; (4 k + 1) 2 2
Y
37.
X
f( x )
UNI 2012 - I
Funciones trigonométricas inversas I 33.
Calcule el rango de la función. 1 = arccos x + + 2
A) 1 D) 0
2x
−1+ 2
B) 2
C) – 1 E) – 2
Calcule el valor de la siguiente expresión
arcsen
A) D)
+arccos 6 + 2 1
≠
6
B)
+ arccos 6 − 2 1
≠
C)
3
2≠
E)
3
40
5≠ 12
≠
2
1 − 3 −1 2 1
38.
Determine el rango de la siguiente función f ( x)=2 · (arc sen x)2+p|arc sen x| π2 π2 A) ; 8 2 2
D) [0; p ]
π2 2 B) ; π 8
π2 2 C) ; π 2 π 2 E) 0; 2
Trigonometría 39.
Del gráfico, calcule cos2 b+cos2 d .
40.
Del gráfico, calcule A+C .
Y
Y y=arccos( x /3)
)+ D 2π y= Aarcsen( Bx+C )+
(a; b) (c; d )
–4
B) – 7/9
C) – 5/9 E) – 5/6
X
–π
X A) – 8/9 D) – 1/3
6
A) 16/5 D) 11/15
B) 14/5
C) 13/15 E) 3
CLAVES
41
Trigonometría Funciones trigonométricas inversas II 1.
arcsen x =
1 +
arctan x
Calcule el rango de la función definida por F ( x)=arccot x x+arccos x
Calcule el dominio de la función definida por F ( x )
π A) ; π 4
arccos x
π 7π B) ; 4 4
π 7π D) ; 2 4
A) [–1; 1 〉 B) [–1; 1〉 – {0} C) 〈–1; 1〉 D) 〈–1; 1〉 – {0} E) [–1; 1] – {0} 2.
6.
7.
π 5π E) ; 4 4
Grafique la función definida por F( x )
=
arctan (2 x − 1) −
π
4
Calcule el dominio de la función definida por Y
π
x + arcsen F ( x ) = 2 arctan − 2 2 3 x
A) A) [1; 3] D) [0; 3]
B) [0; 2]
C) [2; 3] E) [1; 2] X
3.
F ( x )
π +
=
arctan x
A) 〈– ∞; 0〉 D) 〈–1; 0〉 4.
2
B)
π −
2
B) 〈0; 1〉
X
C) 〈0; +∞〉 E) 〈– ∞; 1〉
Calcule el rango de la función definida por F ( x)=arctan x+|arctan x|+p A) 〈0; p〉 B) 〈0; p /2〉 C) [p; 2p〉 D) 〈p /2, 3p /2〉 E) 〈0; 2p〉
5.
Y
Calcule el rango de la función definida por arctan x
Y
C)
X Y
D)
Calcule el rango de la función definida por X
2 F ( x ) = arccot 2 1 + sec x π 3π A) ; 4 4 π π D) ; 4 2
B) 〈0; p〉
Y
π C) ; π 4 E)
π 3π C) ; 4 4
E)
π 3π ; 2 4
X
42
Trigonometría 8.
Calcule el área de la región sombreada
11.
Calcule el rango de la función definida por F ( x )
Y
y=arc tan x
–
X
12.
3
B) C) D) E)
π
2 π
4 π
4 π
8 π
2
(
3
)
B)
{4} π
(
3
−1
)
(
3
+1
(
3
+1
(
3
+
13.
) )
2
14.
=
arcsecx
π −
4
π +
3
−
B) 1
B) 1; 2 C) −2; − 2 D) 2; 2
15.
{ 2} π
C) 0 E) – 2
Calcule el número de puntos de corte de la función =
arccsc
x 2
A) 1 D) 4
A) [1; 2]
4π C) π; 3 π 5π E) ; 6 6
De la siguiente igualdad arcsec x=arctan(1– x), calcule el valor de x.
F ( x )
arcsecx
∈[4;7]
E) {0}
A) 2 D) –1
)
x
C)
π
Calcule el dominio de la función definida por F( x )
π
−
−
Funciones trigonométricas inversas III 9.
π 5π B) ; 3 3
{ 2} D) { } 4
+1
3
Calcule el rango de la función definida por F ( x)=arcsen x+arcsec x A)
A)
3
π 4π A) ; 3 3 π 7π D) ; 6 6
y=arc cot x
π
x − 1 π = 3arcsec + , +
+
2 − x
, con el eje x.
B) 2
C) 3 E) 0
Del gráfico, calcule el valor de F (4) − F (
2 2
)
Y
3π
E) [–2; –1]
F ( x)=arc sec( Bx)+c 10.
Calcule el dominio de la función definida por F ( x )
=
arccsc
x
+
2
x
−1
2π
A) 〈1; +∞〉
–2
B) 1; 2 C) 2; +∞ D) 〈2; +∞〉 E) 〈1; 2〉
A) p /12 D) p /8 43
2
B) p /6
X
C) p /3 E) p /16
Trigonometría 16.
Con respecto a la función definida por F( x )
=
arcsec 2 x
19.
3π +
2
A) 〈p; 2p〉 B) 〈p; 3p /2〉 C) 〈2p; 3p〉 D) 〈p; 5p /2〉 E) 〈p; 3p〉
Analice la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. F ( x) es creciente en 〈– ∞; –1/2〉 II. F ( x) es decreciente en 〈1/2; +∞〉 III. El rango rango de F ( x) es [3p /2; 2p〉 20.
A) VVF D) FVV
B) VVV
C) VFV E) FFV
Calcule el dominio de la función definida por F( x )
arc csc 4 x
=
−
21.
arc sec 4 x
tan
22.
2 1 ;− E) − 4 4 Calcule el rango de la función definida por 2 2 F ( x)=(arctan x) – (arccot x x) , x ∈〈–1; 0〉
23.
2
24.
π
D)
−
E)
−π
2
2 2
;−
;−
B) p
2
4 2
2
C) 5/3 E) 2
C) p /2 E) 3p /4
Calcule el valor de la siguiente sumatoria
1 2
n=1
π
π
B) 3
∑ arctan 1 + n
π C) − ; 0 4
C) secq –1 E) 1– secq
Calcule el valor de la siguiente expresión arctan(1/5)+arctan(1/8)+arctan(1/2)
4
2
θ
Calcule el valor de la siguiente expresión.
A) p /4 D) 3p /2
A) − ; 0 2 ;π
c sc
B) 1– cscq
A) 8/3 D) 7/2
π2 2
π − arc csc 2
5π 6 sen π 8 arc tan π 1 + cos 8
1 D) ; +∞ 4
−π
2
arc sen sen sen sen
1 2 C) −∞; ∪ ; +∞ 4 4
B)
Calcule el equivalente de la siguiente expresión
A) csc q+1 D) cscq –1
2 B) ; +∞ 4
C) − 3 3 E) 3
B) 0
D) –1
1 2 A) ; 4 4
18.
De la siguiente igualdad – arctan x=arccot(– x), calcule el valor de x. A) 1
Funciones trigonométricas inversas IV 17.
Calcule el rango de la función definida por F ( x)=arcsen(sen x)+3 x, x ∈〈p /2; p〉
A) arctan(1/3) B) arctan(3/4) C) arctan(1/2) D) arctan(2/5) E) arctan(2/3) 44
+ n
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas I 25.
29.
cos4 x sen
Resuelva la ecuación 2cos2 x – 2cos x+1=0, A) p /5 D) p /4
Calcule la menor solución positiva de la ecuación
x ∈
0;
B) p /12
π − 2 x + cos π + 2 x cos π − 2 x = 0 4 4 4
π
A) 3 p /8 D) 5p /8
2
C) p /10 E) p /3
30.
B) p /16
C) p /8 E) p /24
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 13 π
26.
cot2 x(csc x–1)=1+csc3 x – 2csc2 x, x ∈ 0;
Calcule la solución general de la ecuación (sen x + cos x )2
{ B) { C) { D) { E) {
A)
nπ 2
5 +3
=
4
,
n ∈
} } } } }
A) 6 p B) 15p /2 C) 7p D) 13p /2 E) 11p /4
n π + ( −1)
20
n π
2 nπ + ( −1)
nπ 2
nπ 4
nπ 2
10
31.
n π
+ ( −1)
12
n π + ( −1)
2
n π + ( −1)
28.
B) – p /2
C) – p /3 E) – 2p /3
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 2tan x+2tan x+1=6, A) 6 p D) 7p
B) 2
C) 6 E) 4
10
Calcule la mayor solución negativa de la ecuación sen4 x – sen2 x=cos4 x+cos2 x A) – 3p /4 D) – p /6
Calcule el número de soluciones de la ecuación |tan x – 2|= 4 – tan2 x, x ∈〈0; 2p〉 A) 3 D) 5
32. 27.
2
x ∈
17 π 0; 4
B) 3 p /2
Calcule la solución general de la ecuación sen 3 x sen 2 x
A)
3 2
,
n ∈
1 π ± arccos −
2 n
3
4 1
B) nπ ± 2arccos − C) D)
C) 5p E) p /2
=
E)
2 π ± 2arccos
2 n
3
π
n
2
1 ± 2arccos 4
1 π ± arccos −
2 n
4
CLAVES
45
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas II 1.
5.
(cos x − 3)(cos x + 2) ( 2 sen x − 1) ≤ 0 ,
Si n ∈ Z, calcule la solución general de x, del sistema de ecuaciones sen x+sen y= – 1 (I) π
x
+
y
=
7π
A) nπ +
x ∈ 〈0; 2p〉
2π
5π 6
C) 2 nπ + E)
3
nπ 2
5 π 7π D) ; 4 4
6
4π +
π π B) ; 12 2
5π A) ; π 12
2 C) (2 n+1)p
7.
π
2
π 2π C) ; 3 3 π 5π E) ; 12 12
π 5π D) ; 6 6
nπ
E) 2 np
Resuelva la inecuación 2 sen(2 x ) − 1 ≥ 0, x ∈ 0; π cos x + 2
A) np
D) ( 4 n + 1)
3π 7π E) ; 2 4
3
Del sistema de ecuaciones 2sen x=1 – cos y (I) 2cos x=1+cos y (II) Calcule la solución general de y, si n ∈Z.
B)
π 3π C) ; 4 4
7π
6. 2.
π 5π B) ; 4 4
π 3π A) ; 2 4
(II)
B) 2 nπ +
6
D) nπ +
3
Resuelva la inecuación trigonométrica
Si el conjunto solución de la inecuación 3
sen 2 x ≤
2
, x ∈[ 0; π ]
es [a; b] ∪ [c; d ]. ]. 3.
Resuelva la inecuación 3sen x – cos2 x – 1 > 0, x ∈ 〈0; 2p〉 A) B) C) D) E)
4.
π
3
;
;
π
π
6 π
2 π
;
;
2π
6
∪
11π 6
; 2π
5π
D)
2π 3
∪
π
6 3
1 3 ; 2 2 1 2
b + c
.
6
∪
8.
4 π 3π ; 3 2
;2
B)
1 5 ; 4 4
Para qué valores de x ∈ 〈0; 2p〉 se cumple sen x+sen xcos x < 1 + cos x+cos2 x A) 〈0; 2p〉
2 π 5π ; 3 6
π B) 0; 2π − 2 π C) 0; π − 2
Resuelva la inecuación sen(p x) – cos(p x) > 0, x ∈ [0; 2] A)
a + d
A) 1/4 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) 1
3
7π
;
Calcule
C) 0;
1 4
E) 〈1; 2〉
D) 〈p; 2p〉 E)
3π 2
; 2π
UNI 2009 - II
UNI 2004 - II
46
Trigonometría Secciones cónicas I 9.
14.
Si V es es el vértice, F el el foco y el eje Y la la directriz de la parábola, calcule las coordenadas del punto P, si el área de la región sombreada es 16 u 2. Y
A) x= – 2 B) x= – 4 C) x=3 D) x= – 3 E) x=2
P
V
15. F
10.
B) (3; 6)
16.
Calcule la ecuación de la parábola cuyo eje focal es horizontal, con vértice en el origen y pasa por el punto (1; – 3). A) y2=9 x D) y2
11.
C) (2; 4) E) (5; 10)
B) y2=18 x
2
E) y2=6 x
x
B) 1
C) – 2 E) – 1
Calcule n, de modo que el foco de la parábola 4 y=( x+1)2 – 2 n, se encuentre sobre el eje x. A) 3 B) 1/2 C) 1 D) 1/4 E) 2
C) y2=3 x
3 =
Calcule el valor de n ≠ 0 de manera que las coordenadas del vértice de la parábola y2+ nx+2 y – 3=0, sumen 3 u. A) 1/2 D) 2
X
A) (1; 4) D) (4; 8)
Calcule la ecuación de la directriz de la parábola y2 – 4 x – 12 y+28=0
Secciones cónicas II
El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz es y= – 1. Calcule la ecuación de la parábola.
17.
Si la distancia entre los focos F 1 y F 2 es 2 2 y la longitud del eje menor B1 B2 es 2 2 . Calcule el perímetro de la región sombreada.
A) ( x – 3)2=32( y – 2) B) ( x – 3)2=16( y – 2) C) ( x – 3)2=20( y – 2) D) ( x – 3)2=12( y – 2) E) ( x – 3)2=8( y – 2)
Y
F 1
12.
Calcule la longitud del lado recto de la parábola y2+2 x – 10 y+27=0 A) 4 D) 12
13.
B) 6
B) 1
C) 3 E) 4 47
B2 F 2
C) 8 E) 2
Calcule n ≠ 0 de manera que la longitud del lado recto de la parábola de ecuación x2+4 x=2 ny mida 4 u.
A) 2 D) 5
B1
A) 14 B) 10 C) 12 D) 8 E) 6
X
Trigonometría 18.
Calcule la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, uno de sus vértices
está en el punto A(0; 7) y pasa por M 5 ;
A)
x
2
y
+
16
2 =1
25
B)
x
2
9
+
y
2
49
=
1
C)
x
2
4
+
y
C)
14 3
2
144
x
E)
x
=1
19.
x
2
y
+
16
2 =1
49
E)
x
2
25
+
y
y
2
121
=1
36
2 +
=1
2
y
+
81
169
D)
+
2
D) 2
49
x
y
2
144
=1
2
49
=1
21.
Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada en términos de a y b.
Calcule la ecuación de la elipse que pasa por
Y
7 2 ; 3 , tiene su centro en el ori-
el punto N
y=x
y=– x
2 x2 y + =1 a2 b2
gen de coordenadas, su eje menor coincide con eje X y y la longitud de su eje mayor es el doble de la longitud de su eje menor.
A)
B)
x
2 +
9
x
2 +
2
y
2 =
36
y
X
1
A)
2 =
8
1
2a2 b2 2 a
+
2
C)
x
2 +
4
y
D)
2 =
16
1 22.
20.
2
D)
x
E)
x
+
2
16
+
y
2 =1
4
y
64
1
Calcule la ecuación de una elipse con vértice en el origen de coordenadas y eje horizontal. Además de uno de los vértices dista 8 u de un foco y 18 u del otro foco.
A)
B)
x
2
144 x
+
2
169
+
y
A)
B)
C)
2
81 y
=1
2
100
=1
2
2
a
+
2
+
C)
2 a
b
2
4a b
a
2
2a2 b2
E)
2
b
2 b
+
2
2
+
b
8a b 2
a
2
Los vértices de una elipse son V 1(– 2; – 3), V 2(8; – 3) y la longitud de su lado recto es 32/5. Calcule la ecuación de la elipse.
2 =
B)
2 b
2
4a b
D)
( x − 3)2 25 ( x − 3)2 25 ( x − 3)2 49 ( x − 3)2 36
2 E) ( x − 3)
25
+
+
+
+
+
( y + 3)2 9 ( y + 3)2 4 ( y + 3)2 16 ( y + 3)2 25 ( y + 3)2 16 48
=
1
=
1
=
1
=
1
=
1
Trigonometría 23.
Calcule el área del cuadrilátero que tiene dos vértices en los focos de la elipse 9 x2+5 y2=45 y los otros dos d os vértices coinciden en los extremos de su eje menor. A)
D)
24.
2 45
5
B)
2 15
5
C) 4
5
E)
20
27.
5
4
A) ( y’)3 – x’=0 B) ( x’)3+ y’=0 C) ( x’)3 – y’=0 D) ( y’)3+ x’=0 E) ( y’)3+2 x’=0
5
45
Si F 1 y F 2 son los focos y C el el centro de la elipse, calcule el área de la región sombreada. ( x – 2)2 ( y – 1)2 + =1 9 4
Y
F 1
28.
F 2
C
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación dada en otra que no contenga términos de segundo grado, ni término independiente. y3+3 y2+ x+3 y+6=0
Si los ejes coordenados son trasladados a un nuevo origen, calcule sus coordenadas de modo que las ecuaciones dadas carezcan de término independiente. x – 2 y+3=0 (I) 2 x +2 x – 4 y – 3=0 (II)
X
A)
10
D)
6
B)
C)
5
E)
A) (3; 3) ∨ (– 3; 0) B) (3; 3) ∨ (3; 0) C) (– 3; 3) ∨ (– 3; 0) D) (3; – 3) ∨ (3; 0) E) (– 3; 3) ∨ (– 2; 0)
2 5 3 2
Transformación de coordenadas 29. 25.
Calcule la ecuación en el que la función ax+by+c=0 es transformada, si el origen es trasladado al punto
O ' bh bh;
c − ah − . b
A) 5 x2 – 24 xy+5 y2+72=0 B) 5 x2 – 20 xy+ y2+70=0 C) 5 x2 – 26 xy+5 y2+72=0 D) 4 x2+26 xy+5 y2+36=0 E) 9 x2+23 xy – 5 y2 – 72=0
A) ax’ – by’=0 B) bx’+ay’=0 C) bx’ – ay’=0 D) ax’+by’+c=0 E) ax’+by’=0 30. 26.
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación en otra que carezca de términos de primer grado xy – 7 x+3 y – 22=0. A) x y ’ y’=2 D) x y ’ y’=1
B) x y ’ y’=1/2
C) x y ’ y’=4 E) x y ’ y’=1/4 49
Por una rotación de 45º de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en 4( x’)2 – 9( y’)2=36. Calcule la ecuación original.
¿Qué tipo de cónica generada o degenerada representa la ecuación 9 x2 – 12 xy+7 y2+4=0? A) dos rectas paralelas B) parábola C) un punto D) elipse E) el vacío
Trigonometría 31.
Elimine el término xy, en la ecuación x2 – xy=1. A)
2 x '
2
+
y'
2
=1
B) (1 − 2 ) x '2 + (1 + 2 ) y '2 C)
2 x '
D) (1 − E)
x '
2
+
3y '
)
3 x '
2 −
2y '
2
+
2
=
=
3
2
=
2
1
(1 +
2
=
)
3 y'
2
32.
Mediante una traslación y una rotación de ejes, reduzca la ecuación 5 x2+6 xy+5 y2 – 4 x+4 y – 4=0 A) ( x”)2+4( y”)2=4 B) 2( x”)2+( y”)2=4 C) 4( x”)2+( y”)2=4 D) ( x”)2+2( y”)2=4 E) 4( x”)2+3( y”)2=4
CLAVES
50
