1 Preguntas propuestas
Semestral UNI • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales
GEOMETRÍA visita: mathwallace.blo mathwallace.blogspot.com gspot.com
2 3 4
Geometría Triángulo
C) 270º D) 360º E) 240º
NIVEL BÁSICO 4. 1.
Dado el gráfico, ca lcule a si m+ n=210º.
Del gráfico, calcule x. B
x
3α
º 1 0 0 n
m
x α
θ
α
ω α
ω ω
θ
A
A) 150º D) 120º 2.
B) 140º
C) 130º E) 110º
C
A) 10º D) 25º
B) 15º
C) 20º E) 30º
Del gráfico, calcule x. 5.
Según el gráfico, calcule el va lor de x.
α
x
ω+ x
ω
3 x α
2 x
x
70º
A) 36º B) 40º C) 45º D) 54º E) 50º 3.
θ α
θ
A) 20º 20 º B) 15º C) 35º D) 17,5º E) 18º
Del gráfico, calcule x+ y+ z.
z
θ
6. θ α α
En un triángulo isósceles ABC de de base AB, se traza la bisectriz exterior BD, tal que AB= BD. Calcule m BAC .
x
y
A) 90º 90 º B) 180º
α
A) 18º B) 20º C) 24º D) 30º E) 36º 2
Geometría Triángulo
C) 270º D) 360º E) 240º
NIVEL BÁSICO 4. 1.
Dado el gráfico, ca lcule a si m+ n=210º.
Del gráfico, calcule x. B
x
3α
º 1 0 0 n
m
x α
θ
α
ω α
ω ω
θ
A
A) 150º D) 120º 2.
B) 140º
C) 130º E) 110º
C
A) 10º D) 25º
B) 15º
C) 20º E) 30º
Del gráfico, calcule x. 5.
Según el gráfico, calcule el va lor de x.
α
x
ω+ x
ω
3 x α
2 x
x
70º
A) 36º B) 40º C) 45º D) 54º E) 50º 3.
θ α
θ
A) 20º 20 º B) 15º C) 35º D) 17,5º E) 18º
Del gráfico, calcule x+ y+ z.
z
θ
6. θ α α
En un triángulo isósceles ABC de de base AB, se traza la bisectriz exterior BD, tal que AB= BD. Calcule m BAC .
x
y
A) 90º 90 º B) 180º
α
A) 18º B) 20º C) 24º D) 30º E) 36º 2
Geometría C) 30º D) 40º E) 50º
NIVEL INTERMEDIO 7.
Halle a+b+q+f+ϕ+w. 11.
θ 20º
En el gráfico mostrado, los triángulos ABC y BCD son isósceles de bases AB y BC , respecti vamente. Halle x. B
β
φ
α
ϕ
ω x
3 x
C
A
A) 80º 80 º D) 180º 8.
B) 100º
70º
C) 160º E) 200º 200 º
D
Dado el gráfico, calcule x.
A) 10º D) 25º
B 100º
θ θ
12.
x
β
β
α
A
A) 50º 50 º D) 65º 9.
B) 55º
B) 24º
C) 60º E) 70º 13.
C) 36º E) 72º
En un triángulo ABC , la m ABC =100º, =100º, en AC se ubica el punto P y en PC el el punto Q, tal que AP= PB y BQ=QC . Calcule la m PBQ. A) 10º B) 20º
En los lados AC y BC de de un triángulo ABC se ubican los puntos M y N , tal que NC = AM = AB. Calcule la m NMC , si m ABC =80º =80º y m BCA=40º.
En la región interior de un triángulo ABC se ubica el punto P, de modo que m ABP=63º, A PC =120º. m BA P=18º y m APC =120º. Si AB = PC , calcule m PCB. A) 9º D) 36º
14.
B) 18º
C) 30º E) 40º
En un triángulo sus lados miden 24, a+5 y a+13. Calcule el mínimo valor par de a. A) 1 D) 3
3
C) 20º E) 30º
A) 90º 90 º B) 100º C) 110º D) 120º E) 130º
C
En un triángulo ABC se se traza traz a la ceviana interior BD, tal que BC = DC y m ABC – m BAC =72º. =72º. Calcule la m ABD. A) 18º D) 45º
10.
2α
B) 15º
B) 2
C) 3 E) 4
Geometría 15.
En un triángulo ABC , en su interior se
18.
ubica el punto P, tal que AB= AP= PC . Si
ubica el punto P, tal que
m ABC =3m PCB+2m PAC ,
m APC = 90º +
calcule
la
m ACB.
m PAC 2
, m APB = 120º y
PB= AC . Calcule la m PCB.
A) 30º
B) 45º
D) 75º 16.
En la región interior de un triángulo ABC se
C) 60º
A) 15º
E) 15º
En un triángulo ABC , m BAC > m ACB, AB=5. Calcula la suma del máximo y mínimo
B) 30º
D) 20º 19.
C) 45º E) 60º
En un triángulo ABC , m ABC =98º, exteriormente y relativo al lado AC se ubica el punto D,
valor entero de AC si BC toma su mínimo valor
tal que AB= AD, m BAC =60º – a, m CAD =a.
entero.
Calcule el valor de a si m ADC =164º.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
A) 4º
E) 12
B) 6º C) 8º
NIVEL AVANZADO
D) 10º E) 12º
17.
En un triángulo ABC se traza la ceviana interior 20.
BD, tal que AC =2 BD. m BAD 3
m BCA =
2
=
y la suma de las medidas de los ángulo BAC
m ABD
y ACB es menor de 90º. Calcule los posibles
Calcule la m ABD. A) 15º D) 24º
B) 18º
Dado un triángulo ABC en el cual AB=3, AC =7
valores enteros que puede tomar BC . C) 20º
A) 2 o 3
E) 30º
D) 6 o 7
B) 3 o 4
C) 5 E) 5 o 6
4
Geometría Congruencia de triángulos
4.
NIVEL BÁSICO 1.
A) 7º D) 15º
En el gráfico mostrado, AB=CD y AD= AC + BC . Calcule x. B
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior AD que se intersecan en E , tal que BE =5 y DE =6. Halle m ACB.
5.
B) 8º
C) 14º E) 16º
En el gráfico, BC =2( AD) y BM = MC . Calcule x.
α
B
A x
C
M
θ θ
x
D
α
A
A) 53º A) 30º D) 53º 2.
B) 37º
C) 45º E) 60º
D)
B) 37º
53º
C) 45º E)
37º
2
Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC , y en la región exterior relativa a esta base se ubica D, tal que BD y AC se intersecan en E , además, AE = BD= AB y CD= BE . Halle m BAC .
6.
En el gráfico, BC =CD=2 y AD
=
2
2 3 . Calcule x.
C
120º 50º
A) 18º B) 20º C) 24º D) 30º E) 36º 3.
C
D
D
B x
En el gráfico, ABD es un triángulo isósceles de base AD. Si AD = DC , calcule q.
A
A) 90º D) 120º
B 2α
α
B) 100º
C) 110º E) 130º
NIVEL INTERMEDIO 7.
θ
A
A) 30º D)
37º 2
D
B) 60º
C
C)
53º 2
E) 45º
5
En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores AD y CE , E está en AD, de modo que AB= EC , CD= AE y m BAD =m ECD. Calcule m BDE . A) 30º D) 80º
B) 40º
C) 50º E) 60º
Geometría 8.
En el gráfico mostrado, AC = AD. Halle
BC CD
.
12.
En el gráfico mostrado, AD =4( AB ) y AD > CD. Halle x.
B
B
C
C 2 x
x 2 x
A
A) 1 D) 9.
A
D
B)
A) 41º D) 53º
2 C) 2
1 2
2
E)
3
D
3
13.
2
Del gráfico, calcule x.
B) 45º
Se tiene un triángulo rectángulo ABC , recto en B, donde se traza la ceviana interior AD, tal que CD=2( AB) y la m BAD=m DCA. Halle m DAC . A) 15º D) 45º
a b
14. α α
C) 51º E) 61º
B) 30º
C) 37º E) 60º
En el gráfico mostrado, N es punto medio de AC y CM =2( BM ). Calcule x en función de a.
x
B
A) a+ b D) 2(a+ b)
B) a+2 b
C) 2a+ b E) b+3a
M x
10.
En un triángulo ABC se traza la mediatriz de BC , la cual interseca el lado AC en D, y la mediatriz de AD contiene al vértice B. Si m ACB=20º, halle m ABC . A) 90º D) 140º
11.
B) 120º
A
C) 120º E) 150º
En un triángulo ABC obtuso en B, la mediatriz de BC interseca a AC en M , tal que AM =2( MN ), N es punto medio de BC y m ABC =2(m ACB). Calcule m ACB. A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 36º
α
N
A) a
B)
2a 3
D) 2a 15.
C
C)
3a 2
E) 3a
En un triángulo ABC , recto en B, se trazan las cevianas interiores AM y AN ( N está en MC ), tal que trisecan al ángulo del vértice A; además, MN =3 y NC =5. Halle m BAM . A) 15º D)
B) 30º
37º
C) 37º E)
2
6
53º 2
Geometría 16.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si dos triángulos rectángulos isósceles presentan un lado de común, entonces dichos triángulos son congruentes. II. Si dos triángulos rectángulos presentan hipotenusas congruentes y sus alturas relativas también son congruentes, entonces dichos triángulos son congruentes. III. Dos triángulos rectángulos isoperimétricos siempre son congruentes. A) VVV D) FVF
B) FFF
A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 18º 19.
m BCE =20º. Calcule A) 1
20.
17.
AC BE
. C) 2
B) 2
D) 3
C) FVV E) VFF
NIVEL AVANZADO
En un triángulo ABC , AB= BC . Se traza la ceviana interior CE , tal que m ABC =40º y
E)
3 3
Según el gráfico, BP= b, donde b es un número par, además, a < 30º. Calcule el máximo valor entero par de QH . H
En el triángulo ABC se traza la ceviana interior BM , de modo que AM = BM + BC . Si la m ACB=2(m BAC )=40º, calcule la m MBA.
A
θ
θ
A) 15º D) 45º
B) 30º
C) 37º E) 60º
α
Q 18.
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza una ceviana interior AD, tal que CD es cuatro veces la distancia de B hacia AD, y la m DAC=2(m BAD). Calcule m DAB.
7
A) b D) b+1
P
B) b – 1
B
C) b – 2 E)
b 2
−1
Geometría Cuadriláteros
5.
NIVEL BÁSICO 1.
Si ABCD es un paralelogramo, AP=2 y PC =6, calcule QD.
B
Sea ABCD un trapezoide, tal que m ADC =45º, m BCD=98º, AB= BC =5 y AD ⊥ AB. Calcule AD. A) 10 D) 13
B) 11
C θ
C) 12 E) 15
P θ
A 2.
En un trapezoide simétrico ABCD, m BCD=37º y m BAD=53º. Halle A) 2 D)
3.
B) 3
5
E)
2
BD
D) 3
B) 2
3
3
C) E)
2
Q
.
3
A) 5 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2
4
4 5
En un triángulo ABC , m ABC =120º, BC =2( AB)=4. Halle la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ABC . A) 3
4.
C)
AC
6.
2 3 3 3
M
En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BAD que interseca a BC en E . Si CD= K , calcule la distancia entre los puntos medios de AC y DE .
2
A) 2 K
Si ABCD es un rectángulo de centro O, además, el perímetro de la región rombal sombreada es 20 y MO=3, halle q. B
D
D)
B) K
K
C)
E)
4
K
2 3 K 2
C
NIVEL INTERMEDIO O θ
A
A) 7º B) 8º C) 14º D) 15º E) 16º
7.
D
En un trapezoide ABCD ( AB= BC =CD), m BAC =20º y m ACD=80º. Calcule la m CAD.
A) 25º B) 20º C) 30º D) 35º E) 40º
8
Geometría 8.
Se muestra un trapecio isósceles ABCD de bases AD y BC , tal que AF =2. Halle BD. B
C
A) 30º D) 60º 12.
30º
F
9.
B) 3
10.
B) 37º
A) 90º D) 37º
BD
B) 45º
8
BD
14.
)
3 .
C) 150º E) 15º
AC =
6
MN =
5
15.
.
C) 60º E) 143º
B
C α
N N
C) 60º E) 100º
B) 4,2 u
C) 4,5 u E) 5 u
En un cuadrado ABCD, de centro O, la mediatriz de OC lo interseca en M e interseca a la prolongación de AD en L. Si N es punto medio de AD, halle m NML. A) 37º D)
16.
B) 45º
En un cuadrado ABCD en la prolongación de AC se ubica E , tal que AC =6 u y BE =5 u. ¿Cuánto dista A de BE ? A) 4 u D) 4,8 u
Si ABCD es un cuadrado, además, AM = NL, calcule a.
B) 45º
127º
C) 53º E)
2
143º 2
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si un cuadrilátero convexo presenta sus diagonales congruentes y perpendiculares, entonces dicho cuadrilátero es un cuadrado. II. El cuadrado presenta 8 ejes de simetría axial. III. Solo existen dos paralelogramos de diagonales congruentes.
75º
A
(
En un rombo ABCD, se ubica N en CD, tal que BN y AC se intersecan en M , además, MN = ND. Si m BAC =15º, calcule m BNC . A) 30º D) 90º
C) 45º E) 60º
Se tiene un trapecio ABCD ( BC // AD) cuya base media es MN . Calcule el ángulo formado por las diagonales, si
11.
C) 2 3 E) 3 3
2
Se tiene un trapecio isósceles ABCD ( AD // BC ), m BAD=45º, en AD se ubican M y N , tal que BCNM es un cuadrado. Calcule la medida del menor ángulo determinado por las diagonales de dicho trapecio. A) 30º D) 53º
B) 135º
=
D 13.
A) 3 D) 6
C) 53º E) 75º
En un romboide ABCD, BD=2( AB) y AC Calcule m ACD. A) 120º D) 30º
A
B) 37º
L
M
9
D
A) VVV D) FFF
B) FV V
C) VFV E) FFV
Geometría 19.
NIVEL AVANZADO 17.
En un cuadrilátero ABCD, la m BAD =45º y m ABC =m ADC =90º. Si la diferencia de distancias de A y C a BD es 4, calcule BD. A) 4 D) 2
B) 2
A)
C) 1 E) 2 2
En un romboide ABCD, se traza la altura BH , que intersecta a AC en N , tal que CN =2(CD). Si m NAH =q, halle m ABH .
37º
B)
2
B) 2q
C) 3q E) 90º – 3q
2
C) 30º E) 45º
Se tiene el cuadrado ABCD de centro O, en la prolongación de DA se ubica el punto P, donde m PBA=m OPD= x. Calcule el valor de x. A) 15º
A) q D) 90º – 2q
53º
D) 37º 20.
18.
Desde un punto P, exterior a un cuadrado ABCD y relativo a CD, se traza PH ⊥ AB ( H en AB), PH ∩ CD={ L}, CPQL: paralelogramo, siendo Q un punto en la prolongación de AD. Si m CHQ=m DBC , calcule m LQH .
D)
B) 37º
53º
C) 22º30’ E) 30º
2
10
Geometría Circunferencia
3.
B
NIVEL BÁSICO 1.
En el gráfico, ABRE es un cuadrado, H y T son puntos de tangencia. Calcule x. A) 18º B) 20º C) 23º D) 25º E) 27º
En el gráfico mostrado, A, D y N son puntos de tangencia. Halle x. x
R x
T
N H
D A 4.
E
En el gráfico, M y T son puntos de tangencia, m AM
=
(
). Calcule x.
2 m AT
A T
A) 90º B) 87º C) 82º D) 76º E) 74º 2.
A
x M
En el gráfico mostrado, A, B, C y D son puntos de tangencia, AP=24 y PD=3. Halle P. A) 30º
P A
C
D)
B
L
B) A) 21 B) 24 C) 25 D) 30 E) 35
127º 2
E) 45º
2
Según el gráfico, B, P y T son puntos de m ASP tangencia. Calcule . m PLT A)
37º
C)
143º
D 5.
B) 37º
B
1 2
A
1
T P
4
C) 1 D)
1
S
3
E) 2 L
11
Geometría 6.
En el gráfico mostrado, A, B, C , D y T son puntos de tangencia. Halle
r R
8.
En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule
.
AH BE
. B
120º
H E
B r A
C A
T
C
A) 1
B) 2
C) 3
R
D)
5
E)
3 2
D 9.
A)
D)
1 2
B)
3
C)
2
1
E)
3
En el gráfico, ABCD es un cuadrado, además, T es punto de tangencia. Calcule x.
3 3
B
C
2 3
T x
NIVEL INTERMEDIO
7.
A
En el gráf ico mostrado L es mediatriz de AB. Calcule m AT . Considere que T es punto de tangencia. L
A) 30º D) 53º 10.
T
D
B) 37º
C) 45º E) 60º
A partir del gráfico mostrado, ca lcule m BD si C y E son puntos de tangencia.
D
A
A) 106º B) 120º C) 127º D) 135º E) 143º
C
B
B
E
A) 100º D) 85º
B) 60º
12
C) 90º E) 70º
A
Geometría 11.
Según el gráfico, las circunferencias son congruentes. Si P y Q son puntos de tangencia y AB= PQ, calcule x.
14.
Si M y N son puntos medios de los arcos DT y CT , halle x. Considere que A, B, C , D y T son puntos de tangencia.
A
A B
T
x B P
A) 14º30’ D) 22º30’ 12.
D
B) 18º30’
C) 26º30’ E) 30º
15.
x 42º
B) 92º
C) 96º E) 100º
C
En la prolongación del diámetro AB de una semicircunferencia se ubica el punto P desde el cual se traza la tangente PT a la semicircunferencia (T punto de tangencia). Desde T se traza TH perpendicular a AB ( H en AB). Si PB=2 BH , calcule la m APT . A) 16º D) 37º
Q
16.
A) 90º D) 94º
x
A) 30º B) 36º C) 45º D) 60º E) 90º
En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si P y Q son puntos de tangencia, calcule x. P
N
M
Q
B) 45º
C) 30º E) 53º
Según el gráfico, M , N y Q son puntos de tangencia. Calcule m BG.
A 13.
Del siguiente gráfico, A, B, C , D y T son puntos de tangencia, además, las circunferencias mostradas son congruentes. Calcule q.
62º
N
M B
θ
B
Q
C
T
C
G A
A) 60º D) 75º
D
B) 82º
C) 76º E) 74º
13
A) 37º D) 53º
B) 60º
C) 74º E) 75º
Geometría 19.
NIVEL AVANZADO
En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si mTM
=
TL=80º, m MN , m
calcule la medida del
ángulo entre PT y ML. 17.
En el gráfico, M , N y P son puntos de tangencia. M
Calcule m ADB.
C
T
N L P
P B
M
A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
N A D
A) 135º D) 180º 18.
B) 153º
C) 167º E) 215º
20.
Se muestra un cuadrado ABCD, cuyo centro pertenece al cuadrante mostrado. Si AN = DM , halle m LN .
En el gráf ico, A, B, C , D y E son puntos de tangencia. Calcule x.
B
C
A
N B
x
L
x
E C D
A) 30º D) 45º
B) 36º
M
C) 54º E) 60º
A
A) 45º D) 74º
D
B) 53º
14
C) 60º E) 75º
Geometría Figuras inscritas y circunscritas
4.
NIVEL BÁSICO 1.
A)
En el gráfico, se muestra una circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD. Calcule x. B
En un trapecio isósceles circunscriptible ABCD ( BC // AD), AB= K . Halle la longitud de su base media.
D)
C
5.
x
K
2 3 K
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, la mediatriz de AC es tangente a la circunferencia inscrita. Calcule m ACB. Considere que BC > AB.
D
D) A) 30º D) 53º 2.
B) 37º
C) 45º E) 60º
6.
En el gráf ico mostrado T es punto de tangencia. Halle
C) 2 K
E) 4 K
2
A) 30º A
B) K
B) 37º
37º 2
C) E)
45º 2 53º 2
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, se inscribe una circunferencia, tal que AB=15 y CD=17. Calcule BC. ( BC < AD).
m AB.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 13
70º B
NIVEL INTERMEDIO T
En un cuadrilátero inscriptible ABCD, si AB= BC =a, CD = b y AD=a+ b, calcule la m BCD.
Indique de forma ordenada el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si dos cuerdas son perpendiculares, entonces una de ellas biseca a la otra. II. Todos los diámetros de una circunferencia son congruentes. III. Todo trapecio inscrito en una circunferencia es rectángulo.
A) 90º B) 60º C) 135º D) 120º E) 100
A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FVF
A) 70º D) 100º 3.
A
B) 80º
7.
C) 90º E) 110º
15
Geometría 8.
En el gráfico, BEC es equilátero y ABCD es un cuadrado de centro O, además, CM = ME . Halle x.
A)
1
B)
2
2 2
C) 1
D) 2
E) 2
E 12.
M
B
C
x
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, BC – AB= K . Halle la distancia del centro de la circunferencia inscrita en el ABC hacia la mediatriz de AC . A) 4 K
B) 2 K
C) K
O
D) A
D 13.
A) 45º D) 75º 9.
B) 53º
C) 60º E) 30º
En el gráfico mostrado, T es punto de tangencia. Halle AD en función de r .
K
E)
2
A)
14. D r
4
En un cuadrilátero ABCD, m BAD=m BCD=90º, además, m BDC =2(m ADB) y AB+CD= K . Halle AM + MD. Considere que M es el punto de intersección de AC y BD. K
B)
3
K
C) K
2
D) 2 K A
K
E)
2 K 3
En un cuadrilátero bicéntrico ABCD, halle la medida del ángulo entre los segmentos que unen los puntos de tangencia de los lados opuestos.
T
A) r D)
B) 2 r 3
A) 90º D) 75º
C) r 2 E)
2 r
15.
B) 60º
Calcule la m ABC si
C) 45º E) 30º m MN
=
40 º .
3
A 10.
En un triángulo ABC , la mediatriz de BC interseca a la bisectriz del ángulo CAB en T y la m ACB=20º. Calcule m ATB.
C B
A) 10º D) 30º 11.
B) 20º
C) 40º E) 15º
Un trapecio ABCD se inscribe en una circunferencia, tal que m AD + m BC = 180º. Halle la razón entre las longitudes de la altura y la base media de dicho trapecio.
M N
A) 18º D) 14º
B) 20º
16
C) 22º E) 25º
Geometría 16.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. El único trapecio inscriptible es el isósceles. II. Si un paralelogramo es inscriptible, entonces siempre es un cuadrado. III. Si un paralelogramo es circunscriptible, entonces siempre es un cuadrado. A) VV V D) VFF
B) VVF
A) 30º
B)
37º
C)
2
D) 37º 19.
3º 2
E) 53º
Si ABCD es un cuadrado y BM = MC . Calcule x. B
M
x
C
C) VFV E) FFF
NIVEL AVANZADO 17.
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, m ACB=37º, M es punto medio de AC , tal que BM interseca a la circunferencia inscrita en P y Q. Si el radio de dicha circunferencia mide 5, halle PQ. A) 6 D)
B)
C)
3 2
E)
4 6
A
A) 7º
2 3
6 3
D) 20.
D
B) 8º
C) 14º
15º
E)
2
21º 2
En el gráf ico mostrado, ABCD es un rectángulo. Calcule x.
18.
Si L es la recta de Simpson con respecto de P en el ABC , además, MP=3 y NP=5, halle x.
M B P
B
C
x N x A A
D
C
L
17
A) 90º D) 45º
B) 75º
C) 60º E) 106º
Geometría Puntos notables asociados al triángulo NIVEL BÁSICO 1.
A) 100º D) 135º 4.
B) 120º
C) 127º E) 143º
En el gráfico, ¿qué punto notable es P del triángulo ABC ?
En el gráfico, G es el baricentro de la región RAB, AR= AC =2 y AB 2 6. Calcule x. =
B
R
G
P
A
B
A
C
x
A) baricentro B) ortocentro C) incentro D) circuncentro E) cevacentro
C
A) 30º D) 53º 2.
B) 37º
C) 45º E) 60º
En el gráfico mostrado, I es el incentro del ABC . Calcule m BIC .
5.
B
Si O es circuncentro del ABC y AM =OM , calcule x. B x
I
A
C
O 60º
A) 105º D) 115º
B) 120º
C) 125º E) 130º A
3.
En el gráfico, H es el ortocentro del Halle x.
M
C
T ADL.
A) 30º D) 40º
D
B) 35º
C) 36º E) 50º
α 6.
H
2α
A
En un triángulo acutángulo ABC , H es ortocentro y O es circuncentro. Si la m AHC =m AOC , calcule la m ABC .
x
β
β L
A) 30º D) 72º
B) 45º
18
C) 36º E) 60º
Geometría 11.
NIVEL INTERMEDIO 7.
En el triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la semicircunferencia de diámetro BC , que contiene el baricentro de ABC . Calcule AC si el radio de la semicircunferencia es 1 cm. A) 3 D) 6
8.
B)
C) 2 E) 4
3 2
D) 12.
B)
A) 1 D)
B)
1
4
En el gráfico, H es el ortocentro del triángulo ABC . Calcule x. A
. m CDF
140º
2 3
x
En un triángulo ABC , se traza la altura BH , tal que m ACB=q. Halle m MBN si M y N son los incentros de los triángulos ABH y ABC , respectivamente.
D)
45º −
2
C) 2
2
3
B)
b 2
m ABE
E)
A) θ 4
C) b 2
2
E)
1
b
b
En un cuadrado ABCD, en la prolongación de DA se ubica E , tal que EI interseca a AC en F ( I es incentro de ABE ). Calcule
10.
A) b
3
9.
En un triángulo ABC , de ortocentro H , si m ABC =45º y AC = b, calcule la distancia entre los puntos medio de AB y HC .
θ
C)
2
θ
E)
2
90º −
R
S
A) 20º D) 80º
θ
2
45º +θ
13.
2
En el gráfico mostrado, ¿qué punto notable es B del T DAN si ABCM y BNPR son cuadrados? D
B) 40º
C 45º 14.
R
C) 60º E) 100º
En un triángulo acutángulo ABC , O es un circuncentro, tal que la prolongación de BO interseca a AC en D, además, BO= AD y OD=CD. Calcule m ABC . A) 30º D) 60º
M
H
B) 36º
C) 54º E) 72º
En el gráfico, E es excentro del T ABC , además, DE =2( DH ). Calcule m ABC . E B
P B
A
D
N
A) circuncentro B) incentro C) ortocentro D) excentro E) baricentro
3α
H
α
C
A
A) 30º D) 60º
19
B) 45º
C) 53º E) 37º
Geometría 15.
En el gráfico, H es ortocentro del Calcule m ABC si BH = AM .
T ABC .
B
A) 100º D) 150º 19.
B) 120º
C) 140º E) 160º
En el siguiente gráfico, H y O son ortocentro y circuncentro del T ABC , además, BH =ON . Halle x.
O B
H
A
A) D) 16.
C
M
143º
B) 37º
2
C)
53º
x
127º
H
2
E) 60º
2
N
En un triángulo acutángulo ABC , la recta de Euler interseca a los lados BC y AB en los puntos M y N , respectivamente. Si BM = BN , calcule la m ABC . A) 45º B) 53º C) 60º D) 72º E) 75º
NIVEL AVANZADO 17.
A) 45º D) 37º 20.
C
A
B) 53º
C) 60º E) 30º
En el gráfico mostrado, I es el incentro del ADN . Calcule x. A
En un cuadrilátero ABCD, m ABC =m DAC =90º, m ACD
53º =
2
. Halle
AC G1G2 .
m ACB
45º =
2
y
. Considere G1 y G2
I
son los baricentros de las regiones ABC y ACD, respectivamente.
x N
D
A) 1 D) 2 2 18.
O
B) 2
C) 3 E) 2 3
En un triángulo acutángulo ABC , de circuncentro O, con centro en B y radio OB se traza un arco que interseca a AB y BC en M y N respectivamente; si m MON =150º, calcule m AOC .
A) 30º B) 37º C) 45º D) 60º E) 90º
20
Geometría Proporcionalidad de segmentos
4.
DM
NIVEL BÁSICO 1.
AC
ET
.
A) 1/3 D) 1/8
En el gráfico, A y T son puntos de tangencia. Calcule
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM . Si AB=3 y BC =5, calcule
B) 1/5
C) 2/7 E) 2/5
.
TM
5.
Si AB=6; BC =7 y AC =8, calcule
AD AE
.
B
E T
E D A
M α α
A) 1/5 D) 2/7 2.
B) 1/4
C) 1/3 E) 1/6
A
C
A) 1/2 B) 2/3 C) 2/5 D) 3/5 E) 4/7
En el gráfico, AB=5 y BC =20. Calcule BP. B α
θ θ
P
α α
6.
A
En el gráfico, IE ∩ BC ={G}. Si AB=26; AC =25 y
C
BC =17, calcule
A) 3 D) 6 3.
B) 4
C) 5 E) 8
En el gráfico, BC=a, CD=b y DE=c. Calcule
AF FE
IG GE
.
.
B E
B C G
D I A A
A)
D)
F
a+ b c−a
2a + b c−a
B)
2a + b a+ c
C
E
C)
E)
2 ( a + b) c−a a+ b
2c − a
A) 2/3 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/4 E) 4/7
21
Geometría A) 1/7 D) 3/5
NIVEL INTERMEDIO 7.
En un triángulo ABC , la circunferencia inscrita es tangente a BC en M . Luego, se traza MN // AB. Si AB=9; BC =5 y AC =6, halle AN ( N ∈ AC ). A) 5/2 D) 25/3
8.
B) 5/3
C) 10/3 E) 25/6
B) 2/3
A
E C D
B
C) 4/3 E) 4
A) 17 D) 27
B) 21
C) 24 E) 35
En el gráfico, BM=MC =2 y AC =6. Calcule CD. 13.
M θ
A
θ
C
A) 6 D) 14
y BN =3( NC ). Calcule
D
B) 9
A) 2 D) 5/2
C) 12 E) 16
En el gráfico, BC =4( AB), calcule B
AC DE
14.
.
α
A
MN NQ
.
B) 3/2
C) 3 E) 4
En un triángulo ABC , se ubican los puntos M y N en AB y BC , respectivamente, tal que MN interseca a la prolongación de AC en Q; luego, se traza MR // BC , además, AR=RQ. Si AM =10; MB=6 y MN =9, calcule NQ.
α D
En un triángulo ABC , se ubican los puntos M y N en AB y BC , de modo que MN interseca a la prolongación de AC en Q; además, AM =3( MB)
B
10.
C) 2/5 E) 8/3
En el gráfico mostrado, A, B y C son puntos de tangencia. Si 2( AE )=5( AD) y BD=14, halle BE .
En un triángulo ABC , se traza la mediana BM y las cevianas interiores AD y CE , concurrentes con dicha mediana, tal que, AE =4; CD=6 y BE =2. Halle BM . A) 2 D) 3
9.
12.
B) 2/9
C
β
A) 3 D) 6
β
B) 4
C) 5 E) 9
E 15.
A) 3/4 D) 4/3 11.
B) 1
C) 3/2 E) 5/4
En un triángulo ABC , cuyo circuncentro es O, su circunradio mide 6. La bisectriz interior BM interseca a OH en F ( BH : altura). Si BH =8 y OF =2, calcule HF . 22
En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior BD tal que AB=8; BC =12; AD=4 y CD=9. En los triángulos ABD y BCD se trazan las bisectrices interiores AM y CN , halle A) 1/3 D) 3/5
B) 2/3
MN
.
DM
C) 2/5 E) 2/7
Geometría 16.
En la prolongación AD de un rombo ABCD, se ubica E , tal que, BE interseca a CD y AC en M y N , respectivamente; además, B, N , M y E forman una cuaterna armónica. Si ( AC )2+(CE )2=36, halle BC+DE . A) 18 D) 6
B) 12
18.
A) 90º D) 60º
C) 9 E) 3 3 19.
NIVEL AVANZADO 17.
Tiene un triángulo rectángulo, el segmento que une al incentro y al baricentro de dicho triángulo es paralelo a uno de los catetos. Calcule una de las medidas angulares interiores. A) 30º B) 37º C) 45º D) 37º/2 E) 53º/2
En un triángulo ABC , sobre AB y BC se ubican D y E , respectivamente tal que, DE interseca a AC en F . Si EF =8, CE =5 y ( BD)( AF )=( AD)( BE ), calcule m ACB. B) 74º
En un triángulo escaleno ABC , se trazan las cevianas concurrentes AD, BE y CF , tal que, m BEF =m BED. Calcule m BEC . A) 30º D) 75º
20.
C) 76º E) 53º
B) 45º
C) 60º E) 90º
En un trapezoide ABCD, se traza una recta que contiene a los puntos medios de las diagonales, que interseca a AB y CD en M y N , respectivamente. Si AM =6; BM =8 y DN =12, calcule CN . A) 4 D) 12
B) 7
23
C) 9 E) 16
Geometría Semejanza de triángulos
A) 4/3 D) 8/5
B) 5/4
C) 6/5 E) 5/3
NIVEL BÁSICO 4. 1.
En el gráfico, A es punto de tangencia. Calcule
Según el gráfico, ABCD y BEFG son paralelogramos. Si AB=8 y AD=12, calcule BE – EC . B
AB
A) 1,2 B) 2,1 C) 4,2 D) 2,4 E) 4,8
BC
E
C
G
F
α α
A A
A) 1
B
B)
C
2 2
C) 1/2
D) 2/3 2.
5.
En el gráfico, 2( AR)=3( AE ). Calcule
AS SR
A) 2 D) 6/5
.
S
6.
α α
E θ
I
A) 2/3 D) 4/5 3.
R
B) 3/4
C) 2/5 E) 4/9
Se muestra un cuadrado ABCD, en el que T es punto de tangencia. Calcule
CS ST
B
BC BD
. B) 3/2
C) 4/3 E) 5/3
Se tienen 2 circunferencias tangentes exteriores, tangentes en M , cuyos radios miden a y b. Halle la distancia de M hacia una de las rectas tangentes comunes exteriores. A)
θ
A
En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior BD, al que, m ABD=m ACB, AB=6 y CD=5. Calcule
E) 1/3
D
D)
ab
C) 2
B) 2ab
ab
E)
a+ b
ab
2ab a+ b
NIVEL INTERMEDIO 7.
En el gráfico, AC =4(CO)=8. Calcule R.
. C
R
C
O
S T
A
A
D
24
A) 3 2 D) 10
B) 2
5
C) 2 E) 4
3
Geometría 8.
Según el gráfico, AB=12; AC =16; HP=4 y BM=MC . Calcule HQ.
12.
En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior BD, tal que, m ACB=2(m ABD), AB=6 y AD=4. Halle el semiperímetro de la región ABC .
B
A) 6,5 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 8,5
M
P H
Q
A
A) 2 D) 5 9.
C
B) 3
13.
C) 6 E) 16/3
En un triángulo ABC , AB=6; BC =7 y AC =8. Calcule la distancia entre el incentro y el baricentro de ABC .
En un triángulo ABC , recto en B, se traza la altura BH ; en los triángulos ABH y BHC se trazan las alturas HM y HN , respectivamente; en los triángulos AMH y HNC se trazan las alturas MF y NG, respectivamente; luego, en el triángulo HNG se traza la altura GI y en el triángulo HIG se traza la altura IE . Si MF=a y GN=b, calcule IE . A)
A) 1 D) 1/3 10.
B) 2
C) 1/2 E) 2/3
D)
En el gráfico, ( AB)(CE )=32, ES=8(CD). Halle ES.
14.
B) 2
ab
C)
ab
2ab
E)
a+b
ab a+ b a+ b
3
En el gráfico mostrado, el ABC es equilátero; además, AE =18 y AD=8. Halle AB.
A B C θ
S
B
D
E D
θ
A
A) 4 D) 12 11.
B) 6
C) 8 E) 16
En un triángulo, las longitudes de sus lados son números enteros consecutivos; además, la medida del mayor ángulo interior es el doble del menor ángulo interior. Halle el perímetro de la región triangular inicial. A) 17 D) 15
B) 18
C) 19 E) 12
C
A) 12 D) 13 15.
B) 16
E
C) 10 E) 9
En un triángulo ABC , la mediatriz de AC interseca a la circunferencia circunscrita en P, y AP interseca a BC en D, tal que, AD=6 y AB=4( BD). Halle PD. A) 1/2 D) 3/2
B) 1
25
C) 2 E) 3
Geometría 16.
En la figura, AB y AC son diámetros, además CT es tangente al arco AB, AB=BC =2 r y ET =4. Calcule r .
A) 2/3 D) 4/5
19.
E
D T
B
C
D) A) 2 D) 6
B) 3
C) 2 E) 2
3
20.
C) 2 E) 6/5
En un triángulo isósceles, R es radio de la circunferencia inscrita, y r , el radio de la circunferencia tangente a la primera circunferencia, y tangente a los lados laterales. Halle la longitud de la altura relativa a la base. A)
A
B) 3/2
Rr
B)
R − r
2 R
Rr
2
R
2
R + r
2 E) 2 R
R + r
R − r
En el gráfico, M , N y T son puntos de tangencia. Si TO'=2 y O 'L=1, calcule
NIVEL AVANZADO
C)
TP PQ
.
T 17.
En un triángulo ABC , se trazan las cevianas BD y AE , tal que I y G son incentro y baricentro de ABD y BDC , respectivamente. Si m ABD=2(m ACB), IG // AC ; AB=6 y BD=8; calcule A) 1 D) 4
18.
EC EB
O M L
'
P
O
.
N
B) 2
Q
C) 3 E) 5
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, se traza una semicircunferencia de diámetro AB, la cual es tangente a CD en T . Si AD=3 y BC =2, calcule ET ( E : punto de intersección de AC y BD).
26
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 4/5 E) 3/4
Geometría Relaciones métricas I
4.
En el gráfico, calcule BC , si AH =2; AB // HG y G es baricentro de la región triangular ABC .
NIVEL BÁSICO B 1.
En el gráfico, Calcule AB.
= 2 α m AB
y ( MB)( BN )=8. G
A
A
A) 3 D) 3
O
α
M
N
B
5.
C
H
B) 2 2
C) 2 3 E) 3 3
2
En el gráfico, DE=EB y ( AB)( BC )=8. Calcule BC . D
E
A) 4 D) 2 2.
B) 4
A
C) 2 2 E) 8
2
C B
En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si un punto del arco PT dista de las tangentes 9 u y 8 u. Calcule el radio de la circunferencia.
F
A) 1 D) 5
P
6.
T
B) 2
C) 4 E) 4,5
Según el gráfico, T es punto de tangencia y ABCD es un cuadrado. Si MD=3 y MB=2, calcule BP. P
A) 5 u
B)
145 34
D) 17 u 3.
u
C) 29 u A
E) 19 u
B
M
En un triángulo ABC , AB=8; BC =6 y AC =7. Si la tangente trazada a la circunferencia circunscrita, trazada por B , interseca a AC en T , calcule TB.
T
A) 8,5 D) 10,5
B) 9,8
C) 10 E) 12
D
A) 2 D) 6
C
B) 4
27
C) 5 E) 3
Geometría E
NIVEL INTERMEDIO
C
B 7.
Del gráfico, calcule ( AT )(TB) siendo T punto de tangencia. A B
A) 10 D) 25 10.
4
2
D
O
B) 15
C) 20 E) 40
Según el gráfico mostrado, A, B, C y D son puntos de tangencia. Si GE =3; FE =4 y EB=5, calcule la longitud del segmento AG.
T
A B
G A
E
A) 60
B) 106
D) 71 8.
F
C) 96
D
E) 84
C
A) 3 D) 6
Según el gráfico, r =20, calcule AB. A
11.
B) 4
C) 5 E) 9
En el gráfico mostrado, se muestran dos semicircunferencias. Si AM=MB, halle
BC CD
.
A
M
B
37º
B
C
D
r
A) 1 D) 1/3 A)
2 14
D) 5 9.
7
B) 3
14
C) 4 E)
7
6 7
Si O es el centro de la circunferencia, mostrada, además, ( AB)( AC )+( BD)( DE )=400, halle AD.
28
12.
B) 2/3
C) 1/2 E) 1/4
En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC , se ubica el punto N . En AB se ubica el punto medio M . Si la m MNC =m BCA; AN =3 y NC =7, calcule la m BMC . A) 37º D) 45º
B) 53º
C) 60º E) 54º
