Función lineal Una aplicació (también llamada func aplicación n lineal lineal (también función ión lineal lineal, transformación transformación lineal u operador lineal ) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, plano, o en general una variedad lineal. lineal.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Definición Se denomi denomina na transfor toda transformació mación n lineal lineal, func función ión lineal lineal o aplicación aplicación lineal lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K , y T una V en W . T es T es una transformación lineal si para todo par de vectores u función de V en y v pertenecientes a V y V y para todo escalar k escalar k perteneciente perteneciente a K a K , se satisface que: 1. 2.
donde k es un escalar .
Ejemplos (Aclaración: 0V es el vector nulo del mariquismo dominio y 0 W es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal identidad
Homotecias con Si k > 1 se denominan dilataciones Si k < 1 se denominan contracciones Ver artículo sobre Homotecias sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones transformaciones lineales
Sean Sean que:
y
espaci espacios os vector vectoriale ialess sobre sobre
Si
(donde (donde
repres represent entaa el cuerpo) cuerpo) se satisface
es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de T de la siguiente manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio. El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio: dado que
1. 2.
Dados
3.
Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del vector del dominio. •
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
•
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
una funcion lineal es la correspoendecia
Teorema fundamental de las transformaciones transformaciones lineales •
Sea B = {v 1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w 1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no nece necesa sari riam amen ente te dist distin into tos, s, ento entonc nces es exis existe te una una únic únicaa transformación lineal.
Clasificación de las transformaciones transformaciones lineales 1.
Monomorfismo: Monomorfismo: Si
es inyectiva, inyectiva, o sea si el único elemento del
núcleo es el vector nulo. 2.
Epimorfismo: Epimorfismo: Si
es sobreyectiva (exhaustiva).
3.
Isomorfismo: Isomorfismo: Si
es biyectiva es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).L
Matriz asociada a una transformación lineal Una matriz asociada asociada es la matriz formada por las coordenadas coordenadas de los elementos elementos de una base. Dada T: V → W, con B = {v1, v 2, v 3, ..., v n} y C = {w 1, w 2, w 3, ..., w p} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v 1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v 1. T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + a p.w p Entonces: coordC(v1) = (a1, a2,..., a p) Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v 2), ..., coordC(vn))
Función lineal generales
como propiedad de
los sistemas
Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades: •
Si aplicamos una entrada u 1(x) obtenemos una salida particular y 1(x).
•
Si aplicamos una entrada u 2(x) obtenemos una salida particular y 2(x).
•
Entonces si aplicamos u 3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y 3(x)=c1y1(x) +c2y2(x) para todos los pares de entradas entradas u 1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.
Interpretación Interpretación geométrica Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines En el análisis matemático y en la geometría, geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:
donde m y b son constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín. La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f ( x) x) = mx + b tiene una función lineal asociada f asociada f ( x) x) = mx. mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación ecuación lineal. lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy. •
m es denominada la pendiente de la recta.
•
b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo en el plano xy
En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:
en la primer primer recta el parámetro m = ½, esto es, el crecimiento de la recta es ½, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en ½ unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y = 1. La ecuación:
tiene el valor de la pendiente m = ½, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b = -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y = -1. La tercera ecuación, es:
la pendiente de la recta, el parámetro m = 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y = 1, dado que el valor de b = 1. En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional Las Las func funcio ione ness line lineal ales es de vari varias as vari variab able less admi admite ten n tamb tambié ién n inte interp rpre reta taci cion ones es geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
representa un plano y una función
representa una hipersuperficie plan planaa de n-1 n-1 dime dimens nsio ione ness y pasa pasa por por el orig origen en de coordenadas en un espacio n-dimensional.
Sistemas de ecuaciones lineales Los sist sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es line lineal ales es expr expres esan an vari varias as ecua ecuaci cion ones es line lineal ales es simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto ( Sistema lineal lineal de dos dos ecuacio ecuaciones nes con dos dos incógn incógnita itass ), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución. Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones que incógnitas, o cuyo dete determ rmin inan ante te es nulo nulo.. En esto estoss caso casoss habr habráá incó incógn gnit itas as para para los los que que no poda podamo moss encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una variedad lineal en el espacio afín asociado al espacio vectorial en el que trabajemos. Ventajas de las funciones lineales Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La variable independiente puede ir acompañada por valores constantes en forma de factores o sumandos y la variable dependiente cambia conforme a como varía la variable independiente y se ve afectada por los términos constantes que le acompañen. ac ompañen. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.