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Aplicaciones y ejercicios de transformaciones lineales. 1. Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz:
Cubierta
Cubierta
Cubierta de Lujo
dura
blanda
Papel
$
/
0
Material para la cubierta
/
2
Ilustración 1 Tabla del contenido del problema.
Deja que represente el ector producci!n, donde " 1, " #, " $ representan el n%mero de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectiamente, que se publican. La transformaci!n lineal &: ' $ ( '# definida por
&)"* + " nos da el ector
, donde y 1 representa la cantidad total de papel
requerido y y # la cantidad de material para la cubierta. -uponga que entonces,
2
,
3or lo que se requiere 01, gramos en papel y 04, gramos en material para la cubierta.
plicaci!n de las transformaciones lineales: refle"i!n, dilataci!n, contracci!n y rotaci!n. Reflexión sobre el eje x 5n este caso, queremos aeriguar como está definida la transformaci!n T de '# en '# que cada ector
lo refleja sobre el eje x ,
para obtener un ector 5n una gráfica, emos la situaci!n como sigue:
Ilustración 2 Grafca de la situación
5n este caso, la situaci!n es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
5sta transformaci!n se llama la refle"i!n sobre el eje x , y es lineal, ya que: 3
2. Ejemplo dilatación o expansión Una dilataci!n es una transformaci!n que incrementa distancias. -ea 6+ )# * encontrara la e"pansi!n ertical cuando 7+# 5"pansi!n 8orizontal )941* o contracci!n )91* 5"pansi!n ertical )941* o contracci!n )91*
3. Ejemplo contracción Una contracci!n es una transformaci!n que decrece distancias. ;ajo una contracci!n, cualquier par de puntos es eniado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. -ea 6+ )# * encontrara la contracci!n 8orizontal cuando 7+1<# =aciendo la grafica el punto disminuye en el eje 8orizontal.
. Rotación por un ángulo
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Ilustración 3 Grafca de la situacón.
-ea aeriguar
un ángulo medido en radianes. >ueremos cuál es la transformaci!n T de '# en '# que gira cada
ector
un angulo
, para obtener un ector
5n una gráfica, emos la situaci!n como sigue: -i
usamos
Distribuyendo
las
y
usando
y
3or
funciones
el
trigonom?tricas,
8ec8o
de
tenemos
que:
que
tenemos que:
lo
tanto,
ya
descubrimos
c!mo
transformaci!n
debe tal
5
estar
definida
la
que
5sta transformaci!n se llama la rotaci!n por un ángulo
y es lineal, ya que:
5. Modelamiento matemático para la cinemática directa 5l modelo cinemático del brazo está basado en el uso de @atrices de &ransformaci!n =omog?nea para tal fin se ubican los sistemas coordenados seg%n la conenci!n 3ropuesta por rcila et al, #0 y apoyada en uso de los pasos 1,# y $ Del algoritmo de DeAabaB =artenberg , para la numeraci!n y localizaci!n de Los eslabones y ejes de cada articulaci!n. La conenci!n adoptada es la siguiente: 3or medio de la geometra de las transformaciones lineales de dimensi!n finita -e describe la posici!n de los diferentes elementos del robot en funci!n de las 'otaciones de sus grados de libertad. 3ara el modelo se 8a adoptado el análisis del 'obot con / )Cinco* grados de libertad rotacionales y 1 )Un* grado de libertad prismatico, para un total de 2 )seis*. Las trasformaciones lineales se representaran 3or medio de matrices de traslaci!n y rotaci!n, donde se describirán las traslaciones 'ealizadas sobre los segmentos y las rotaciones en torno a los ejes de referencia E, F, y G, respectiamente. Continuaci!n se describen las matrices de trasformaci!n Lineal seg%n el modelo presentado por ;arrientos para el modelamiento De operaciones con el fin de describir los moimientos del robot.
Ilustración 4 Sistema de matrices
3ara dar inicio al análisis del modelo cinemático del robot se establece una Cadena cinemática abierta, debido a que e"iste una %nica secuencia de articulaciones, Conectando los puntos inicial y final de los eslabones de la cadena &ambi?n es necesario
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establecer los ejes de referencia sobre los cuales se inicia al análisis de los moimientos, a dic8os moimientos se les 8a asignado una Hotaci!n especifica con respecto al marco de referencia ilustrado en la figura 0. demás de esto se 8an fijado los puntos de referencia 3 )3unto @edio del soporte*, 31, 3#, 3$ y 3, y las longitudes 1, L1, L# y L$ para los segmentos del 'obot. &omando las recomendaciones de 6elsen et al, #4 I1/J, el conjunto de ecuaciones 3resentadas a continuaci!n describe detalladamente las trasformaciones 'ealizadas desde el puntos inicial 3o en la base de soporte 8asta los puntos 31, 3#, 3$ y 3, modelando el moimiento desde el punto inicial 8asta cada uno de Los segmentos a manera de transformaciones lineales )&*.
Ilustración 5 Sistemas de Reerencia para el robot KK! KR "# $%T R
a con!ención propuesta "usca de#nir todas las rotaciones de las articulaciones $ositi!as cuando el sentido de giro cumpla con la con!ención de dextrógiro%as traslaciones siempre so"re el eje x & & en sentido positi!o.
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os mo!imientos generados para ir de un sistema de re(erencia a otro% representados Matemáticamente por matrices de trans(ormación% se reali)an de (orma tal *ue muestren la geometr+a particular del ro"ot. ,e reali)ó una simpli#cación -en en las dimensiones del ro"ot% como la exclusión de la distancia lateral entre ra)os. /ic0a simpli#cación se consideró necesaria para reducir la complejidad /e las trans(ormaciones & no a(ectan el comportamiento espacial del modelo *ue ,e o"ser!a en la #gura . El modelo cinemático completo es presentado en la Ecuaciones 1 a 6% teniendo en cuenta los lineamientos & la notación propuesta por
Ilustración " Sistemas de Reerencia & transormaciones para el robot KK! KR "# $%T R
1 1 1 8% 1 1 1 2 9 1%1 Rx81% 9 1 : x81%1 2 2
'
3 9 2%
9 1%2 Rx82% 9 2 : R&;2% 9 1 : &;2%2 3
3 4 9 3%3 Rx83% 9 3 : &;3%3 4 4 5 9 2 R&;4% 9 2 5 5 * 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4
6. plicación compresiones
licación com resiones
7. plicación a escalonamiento a lo largo de los ejes 8 & ;
'.
Ilustración ( %scalonamiento a lo lar)o de los e*es + &
1
8. Aplicación Cortes.
Ilustración ' Grafca del desli,amiento en e*e +
. plicación a las =omputadoras Las transformaciones lineales tienen aplicaciones importantes en el mundo de los gráficos por computadora. Aunque los matemáticos observan una transformación lineal como una manipulación de vectores en un plano, los diseñadores gráficos lo miran como una manipulación de píxeles en una pantalla de una computadora. Cada vector representa un píxel de una imagen. Esto permite al diseñador utiliar una transformación lineal para agrandar, ampliar o girar los píxeles, uno por uno, !asta que la imagen siga su deseo. Los
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programadores usan las transformaciones lineales para !acer muc!as de las imágenes tridimensionales " de computadora que disfrutas en línea.
1.
plicación a los Modelos de regresión
Los modelos de regresión a"udan a los investigadores a determinar los patrones en los datos recogidos. Ellos recogen datos " los introducen en un modelo de regresión que los organia en un diagrama de dispersión o gráfico de líneas. Cada punto de la gráfica corresponde a un vector en dos variables. #or e$emplo, en un modelo de regresión que describe el n%mero de b%squedas de &oogle !ec!as al año, el n%mero de b%squedas se corresponde con el valor " el año representa la dirección. El investigador puede introducir los vectores en una transformación lineal que detecta la tendencia de los datos " predice el n%mero de b%squedas que se producirán en los próximos años. Los investigadores m'dicos utilian transformaciones lineales para predecir resultados importantes como los efectos de las !ierbas medicinales en los pacientes con cáncer.
11.
Ejercicios propuestos
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1#.
1$.
13
14.
1/.
16.
>$uede una trans(ormación lineal cam"iar un di"ujo por otro? @"ser!a como la trans(ormación A R 2 B R2 de#nida por x% & x% xC& cam"ia los siguientes di"ujosD
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Ilustración - tra,o en el plano
Ilustración 1# e*emplo practico
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Klustraci!n 1 &abla del contenido del problema.........................................................# Klustraci!n # rafica de la situaci!n...........................................................................$ Klustraci!n $ rafica de la situac!n.........................................................................../ Klustraci!n -istema de matrices..............................................................................2 Klustraci!n / -istemas de 'eferencia para el robot 7U7 7' 2 M5& '..................4 Klustraci!n 2 -istemas de 'eferencia y transformaciones para el robot 7U7 7' 2 M5& '....................................................................................................................0 Klustraci!n 4 5scalonamiento a lo largo de los ejes " y .........................................1 Klustraci!n 0 rafica del deslizamiento en eje "......................................................11 Klustraci!n N trazo en el plano..................................................................................1/ Klustraci!n 1 ejemplo practico................................................................................1/
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Kndice Aplicaciones y ejercicios de transformaciones lineales..................# plicaci!n de las transformaciones lineales: refle"i!n, dilataci!n, contracci!n y rotaci!n.........................................................................$
#. 5jemplo dilataci!n o e"pansi!n.....................................................
$. 5jemplo contracci!n......................................................................
. 'otaci!n por un ángulo.................................................................
/. @odelamiento matemático para la cinemática directa..................2
2. plicaci!n compresionesBe"pansiones.........................................N
plicaci!n compresionesBe"pansiones...............................................N
4. plicaci!n a escalonamiento a lo largo de los ejes E y F ..........1
N. plicaci!n a las Computadoras...................................................11
1.
plicaci!n a los @odelos de regresi!n.....................................1#
11.
5jercicios propuestos...............................................................1#
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1'