Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.Descripción completa
un análisis de datos mas eficaz y mas precisoDescripción completa
TRANSFORMACIONES LINEALES - UNMSM
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TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES DEFINICIÓN Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea colección
de
lineal
todos
los
definida por
identidad sobre
V .
operadores
lineales
para todo x en
Si
V se
El
operador
llama transformación
se llama invertible o no
Un operador lineal
singular si y sólo si existe una transformación se llama inverso de T .
TEOREMA entonces
.
la
S
en
L
es una transformación es una transformación lineal.
tal que
lineal
no
singular,
DEMOSTRACIÓN
Sean
, como
tales que
tiene dominio V , existen vectores y
. Aplicando
tenemos
T a
y .
Entonces por ser
T transformación
lineal
porque
Entonces Ahora supongamos que Sea
. Entonces
(T es lineal)
es un escalar. y
,
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De donde
y
es una transformación lineal.
Es claro que existe una relación entre la transformación lineal la matriz
. La matriz A depende tanto de la base
de la base
de
y
de
como
. Al trabajar con un operador lineal
generalmente es conveniente usar
y escribimos
,
, en lugar
de . Si se dice que A es la matriz de T referida a la base . Si su representación matricial es una matriz cuadrada y no todas estas matrices tienen inversa. Dada la relación entre la transformación y su matriz, se puede esperar que no todos los operadores lineales tengan inverso. De hecho, un operador tendrá inverso si y sólo si la matriz referida al operador tiene inversa, referida a cualquier base. Ejemplo Determine si las siguientes transformaciones lineales tienen inversa. a.
Sea
la base estándar
Por tanto la matriz de
y Sea
,
T referida
,
y
a la base estándar para
existe y
R3
es
.
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b.
,
y
donde A referida a la base canónica es Como la columna 1 y 2 son iguales, entonces donde T no es invertible.
TEOREMA Sea
base singular. Aún mas
,
no existe. De
un operador sobre un espacio vectorial .
T es
no singular si y sólo si la matriz cuando
existe.
V con
es no
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Entonces, la matriz producto
Por tanto
Entonces
y
Recíprocamente,
T es
si
no singular. T es
no
singular,
entonces
y
(ver problema 5 de la siguiente sección de ejercicios). Además, que
