Dominio y codominio
T: V W
Para este tipo de funciones se utiliza la notación estándar de ellas. Por ejemplo, V se llama domino de T. Si v está en V y w está en W de modo que
T(v)=w,
Entonces w se llama imagen de v bajo T. el conjunto de todas las imágenes de los vectores de V se llama contradominio de T y el conjunto de todos los v en V tales que T(v)=w se llama preimagen de w.
Ejemplo 1: Una función de R2 a R2
Para cualquier vector v = (a,b) en R2, sea T: R2 R2 definida por
T(a,b)= (a-b , a + 2b)
Determina la imagen de v = (-1,2).
Encuentre la preimagen de w = (-1,11)
Solución
Para v = (-1,2)
T(-1,2)= (-1-2 , -1 + 2(2))
= (-3,3)
Si T(v)=(a-b , a+2b) = (1,11), entonces
a-b=-1
a+2b=11
este sistema de ecuaciones tiene la solución única a=3 y b=4. Por lo tanto la preimagen de (-1,11) es el conjunto en R2 que consta solamente del vector (3,4).
Ejercicios:
Encontrar la imagen de v y la pre imagen de w.
1.- T(a , b)=(2b-a , a , b); v=(0,6) ; w=(3,1,2)
Solución
Imagen de v
T(0,6)= (2(6)-0 , 0 , 6)
= (12 , 0 , 6) ; imagen de v=(12, 0 , 6)
Preimagen de w
T(a,b)= (2b-a , a , b)=(3,1,2)
Entonces
2b-a=3 preimagen de w=(a,b) entonces preimagen de w=(1,2)
a=1
b=2
2.- T(a , b , c)= (2a+b , 2b-3a , a-c) ; v=(-4,5,1) ; w=(4,1,-1)
Solución
Imagen de v
T(-4,5,1)=(2(-4)+5 , 2(5)-3(-4) , -4-1)
=(-3 , 24 , -5) ; imagen de v = (-3,24,-5)
Preimagen de w
T(a,b)= (2a+b , 2b-3a , a-c)=(4,1,-1)
Entonces
2a+b=4 preimagen de w=(a,b,c) entonces preimagen de w=(1,2,2)
2b-3a=1
a-c=-1
Ejercicios
solución
Solución
Propiedades de las transformaciones lineales.
T(0)=0
T(-v)=-T(v)
T(u-v)=T(u)-T(v)
Si v = c1v1+c2v2+…cnvn entonces T(v)= T(c1v1+c2v2+…cnvn)
= c1T(v1) + c2T(v2) + … + cnT(vn)
5.1.4. Definición de recorrido y núcleo de una transformación lineal.
Definicion de Transformación.
Una funcion, aplicación o transformacion es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un espacio vectorial V, para convertirlo en eun elemento de otro espacio vectorial W.
Al igual que las funciones tradiciones, las transformaciones tienen tres partes esenciales para existir: el dominio, el codominio y la regla de asignación.
Recorrido de la Transformación Lineal
El dominio es el espacio vectorial V al cual se le aplicara la transformación; el codominio es el espacio W al cual pertenece el resultado de aplicar la transformación; la regla de asignación T es la forma en la cual se debe manipular un elemento de V para convertirlo en un elemento de W; finalmente, T(V) es el recorrido de la transformación, y es el subconjunto de W obtenido a partir de la aplicación de la transformación de cada elemento de v.
Núcleo de la Transformación Lineal.
Dentro de las transformaciones existe un subconjunto especial llamado núcleo. El núcleo es parte del dominio y es el conjunto de vectores de V cuya transformación bajo T tiene como único resultado al vector nulo del espacio W (codominio). Es decir, si se tiene una transformación T: V W y existe un subconjunto U C V tal que T (U)= entonces el subconjunto U es el núcleo de la transformación T.
Tarea: