Transformaciones Lineales en La Ingenieria

EMA EMA

! A" A"LIC LICACI ACIONE ONESS DE RANS RANSFOR FORMAC MACION IONES ES LIN LINEAL EALES ES EN LA IN#ENI IN#ENIERI ERIAA

"ROFE "ROFESOR SOR

! RAUL RAUL CASRO CASRO

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LUM)A$ Le%nel

DEDICATORIA Dedico este trabajo a nuestros padr padres es por por todo todo el apoy apoyo o que que nos brindan a lo largo de nuestra vida vida y en espe especi cial al en nues nuestr tra a carrera

2

INDICE DEDICAORIA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, INRODUCCION00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 A"LICACIONES DE RANSFORMACIONES LINEALES EN LA IN#ENIERIA00000000000000000000000000000000000000000002 AL#E)RA LINEAL0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002 "RO"IEDADES DE UNA RANSFORMACI3N LINEAL00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 "r%5iedad .0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 "r%5iedad ,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 "r%5iedad 60000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 NUCLEO E IMA#EN DE UNA RANSFORMACION LINEAL0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007 N8cle% e i9agen de la tran&:%r9ación cer%00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000; LA MARI( MARI( DE UNA RANSFORMACION LINEAL000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000; LINEAL00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0; A"LICACIONES DE LAS RANSFORMACIONES LINEALES! REFLEICA DIRECA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 DIRECA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.1 .1 MODELAMIENO DEL RO)O00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.2 M%del% CAD000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.2 M%dela9ient% 9ate9?tic% 5ara la cine9?tica directa00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.4 IM"ORANCIA0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.; SUS A"LICACIONES000000000000000000000000000 A"LICACIONES0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000,. ,. CONCLUSIONES00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,, )I)LIO#RAFIA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,6

3

INTRODUCCION Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en  Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operacin y la accin! de estos espacios.

"eniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la valide# de las propiedades usuales de funciones.

La ingenier$a es un conjunto de conocimientos cient$ficos y t%cnicas que se emplean para la formacin, perfeccionamiento e implementacin de estructuras f$sicas y tericas que nos permitan resolver problemas que se presenten y afecten nuestras actividades en la vida diaria en sociedad

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APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES EN LA INGENIERIA

ALGEBRA LINEAL ', + ' ,.' ) &, + v ,.v ) Sean ( y ( dos dos K  espa espaci cios os vect vector oria iale les. s. )na )na func funci in n f * & � '  se

llama una transformacin lineal (u +omomorfismo, o simplemente

morfismo! de & en ' si cumple* i! f ( v + v v- ) ii! f ( l.v v )

=

f ( v)

= l. f

+

f ( v- )

,v-�& "v,v-

( v ) "l �K,"v �&

bservacin* Si f* &  ' es una transformacin lineal, entonces f(/v! 0 /. 1n efecto, puesto que f ( /v ) /

=f

=

f ( /v + / v )

=

f ( /v )

+

f ( /v ) ,  entonces

( /v ) + ( - f ( /v ) ) = ( f ( /v ) + f ( / v ) ) + ( - f ( / v ) ) = =

f ( /v ) + ( f ( /v ) + ( -f ( /v ) ) )

=

f ( / v ) + /  = f ( /v )

Ejemplos.

2omo se mencionado al comien#o, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. 1sto +ace que en algunos casos se respete

5

la estructura de subespacio, por ejemplo, en las im3genes y pre-im3genes de subespacios por transformaciones lineales*

Proposición Sea f* &  ' una transformacin lineal. 1ntonces* 4. Si S es un subespacio de &, entonces f(S! es un subespacio de '. 5. Si " es un subespacio de ', entonces f64('! es un subespacio de &.

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PROPIEDADES DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL Propie!"! # La imagen del vector nulo del dominio /&/& es el vector nulo del codominio //* "(/&! 0/"(/&! 0/

Demos$r"ción% "(/&! 0" (/.v! 0/. "(v!0/. 0/'"(/&! 0" (/.v! 0/. "(v!0/. 0/' Donde +emos e7presado a /&/& como el producto del escalar // por cualquier  vector del espacio vectorial &&, +emos usado la segunda condicin que debe cump cumplir lir una una tran transf sfor orma maci cin n line lineal al,, y final finalme ment nte e +emo +emoss vuel vuelto to a usar usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar / por cualquier  vector.

Propie!"! & La imagen del vector vv es igual al opuesto de la imagen de vv* "(v! 0"(v!"(v! 0"(v!

Demos$r"ción% "(v! 0" (4. v! 0 4. "(v! 0 "(v!"(v! 0" (4. v!0 4. "(v!0 "(v! La justificacin de los pasos dados en la demostracin es similar a la anterior.

Propie!"! ' 2onsideremos r vectores del espacio vectorial &&* v4, v5, 8, vr ∈ & "omemos una combinacin lineal en el dominio* 94v4 : 95v5 : 9;v; :...: arvr  Donde 9i ∈< Si aplicamos aplicamos la transforma transformacin cin lineal lineal == de && && a '', '', teniendo teniendo en cuenta cuenta las propiedades enunciadas en la definicin, resulta*

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1s decir que una transformacin lineal >transporta? combinaciones lineales de && a '', '', conservando los escalares de la combinacin lineal. 1jemplo 4  Anali#ar si la siguiente funcin funcin es una transformacin lineal* lineal*

Resol(ción 2ontrolemos primero que el transformado del /&/& sea el /'/'. @sta es una cond condic ici in n nece necesa sari ria* a* si no se cump cumplilier era, a, no ser$a ser$a tran transf sfor orma maci cin n line lineal al.. 2omo "((/,/,/!! 0 (/,/! " ((/,/,/!! 0 (/,/!, la funcin dada es >candidata? a ser  trans transfo form rmac aci in n line lineal al.. ara ara demo demost stra rarr que que es una una tran transf sfor orma maci cin n line lineal al tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definicin. 2ondicin 4* "(uva!0"(u!:"(v! ∀u, v∈&"(u:v! 0"(u!:"(v! ∀u, v∈& "omemos dos vectores de <;<; ) 0 (u4, u5, u;! u0 (u4, u5, u;! & 0 (v4, v5, v;! v0 (v4, v5, v;! &eamos si " (u:v! 0"(u!:"(v!"(u:v! 0"(u!:"(v! rimero +acemos la suma de uu y vv*

B a+ora aplicamos ""* " (u:v! 0 (u4:v4:u;:v;, (u4:v4:u;:v;, u5:v55u;5v;! "(u:v! 0 (u4:v4:u;:v;, (u4:v4:u;:v;, u5:v55u;5v;!

" (u:v! 0"(u!:"(v!"(u:v! 0"(u!:"(v! 8

1n conclusin* se cumple la primera de las condiciones. Cos faltar$a la otra propiedad. 2ondicin 5* " (.v! 0. "(v! ∀v∈&, ∀∈<" (.v! 0. "(v!∀v∈&, ∀∈< " (.v! 0" ((v4, v5, v;!! 0 (v4:v;, v55v;! " (.v! 0" ((v4, v5, v;!! 0 (v4:v;, v55v;! 0 . (v4:v;, v55v;! 0. "(v!0. (v4:v;, v55v;! 0. "(v! 2omo "" cumple las dos condiciones, es una transformacin lineal.

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION TRANSFORMACION LINEAL Sea & y ' dos espacios vectoriales y sea "* &

 '

una transformacin lineal.

1ntonces*

9

N)cleo e im"*en !e l" $r"ns+orm"ción cero Sea "v 0 / para todo v

& (" es la transformacin lineal!. lineal!. 1ntonces nu " 0 & e

im" 0 (/! CEcleo e imagen de la transformacin identidad Sea " v 0 / para todo v

& (" es la transformacin identidad!. 1ntonces 1ntonces nu " 0

(/! e im " 0 &. Las transf transform ormaci acione oness cero cero e identi identidad dad propor proporcio cionan nan dos e7trem e7tremos. os. 1n la primera todo se encuentra en el nEcleo. 1n la segunda slo el vector cero se encuentra en el nEcleo.

LA MATRI, DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Si A es una matri# de m F n y "*


puede estar estar defin definida ida por 
ecuaciones de la forma*

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1n notacin matricial*

1n notacin m3s compacta* ' 0 AF "eorema Sea "*

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APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES% REFLE-IN DILATACION CONTRACCIN / ROTACIN. Dil"$"ción o esc"l"mien$o &D 1l escalamiento 5D implica el cambio de tamaGo de un pol$gono, donde cada punto p 0 (74,75! es transformado por la multiplicacin de dos factores de escalamiento* S4 y S5  a lo largo de los ejes F 5 y B 5 respectivamente, de esta forma las coordenadas del nuevo punto p0 ( 74-,75 )  se obtienen como* F4-= F4.S4 F5 -= F5.S5

Sea s 0 (S4, S5! el vector de factores de escalamiento y S(s! la matri# de escalamiento, en coordenadas +omog%neas el escalamiento de un punto p en 5D se puede e7presar como el producto matricial p0 p. S(s!, es decir*

La figura muestra el efecto escalamiento de una figura con S 4 0 4.H y S5 0 5

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Dil"$"ción o esc"l"mien$o 'D 17tendiendo la idea anterior a ;D, el escalamiento implica el cambio de tamaGo de un polie poliedr dro, o, dond donde e cada cada punt punto o p 0 ( 74,7 5 ,7; )   es transformado por la multiplicacin de tres factores de escalamiento* s4, s5  y s;  a lo largo de los ejes F4, F5 y F;  respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p = ( 74-, 75 -, 7;- )  se obtiene como*

Sea s = ( s4, s5 , s; )  el vector de factores de escalamiento y S(s! la matri# de escalamiento en coordenadas +omog%neas el escalamiento de un punto p en ;D se puede e7presar como el producto matricial p0 p. S(s! es decir*

La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura con S4 = 5, S5

=

5/H

y S; 0 4.H

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Tr"ns+orm"ción !e re+le0ión -7 �7 � �

Sea " * <5 � <5  definida por " � �= �

�y � �y

. 1s f3cil verificar que " es lineal. 1n

t%rminos geom%tricos, " toma un vector en <5  y lo refleja respecto al eje y.

REPRESENTACION MATRICIAL DEL MO1IMIENTO EN EL ESPACIO Las transformaciones lineales pueden asumirse como mapeos de particular  impo import rtan anci cia a en el estu estudi dio o del del alge algebr bra a line lineal al y sus sus aplic aplicac acio ione nes. s. Dic+ Dic+as as transformaciones se reali#an entre espacios vectoriales que conservan la suma y la multiplicacin vectorial por un escalar. 2ualquier transformacin lineal " entre entre espaci espacios os vecto vectorial riales es de dimens dimensin in finita finita admite admite una repres represent entaci acin n matricial A". 1n caso de ser A" invertible, entonces " puede ser escrita como una sucesi sucesin n o compos composici icin n de una una o m3s transf transform ormaci acion ones es espec especial iales, es, conocidas como e7pansiones, compresiones, refle7iones, rotaciones y cortes.

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CINEM2TICA DIRECTA La cine cinem3 m3titica ca dire direct cta a corre corresp spon onde de a la dete determ rmin inac aci in n de la loca localili#a #aci cin n (posicin y orientacin! del e7tremo del robot, con respecto a un sistema de coorde coordenad nadas as que que se toma toma como como refere referenci ncia, a, conoci conocidos dos los valor valores es de las articulaciones y los par3metros geom%tricos de los elementos del robot. 1n este modelo se conocen los grados de libertad del robot y se desea encontrar  la posicin final del e7tremo del robot a partir de las posiciones angulares, as$ como se describe en la figura. ara encontrar el modelo cinem3tico directo se utili#a el m%todo de matrices de transformaciones +omog%neas, el cual consiste en reali#ar los movimientos necesarios desde la base fija +asta la +erramienta, para cada movimiento se obtienen las matrices +omog%neas y el resultado final es el producto de las matrices.

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MODELAMIENTO DEL ROBOT ara la etapa de modelamiento del
Mo!elo CAD 1n la figura se presenta el modelo 2AD del
Figura. Modelo CAD del Robot

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Mo!el"mien$o m"$em3$ico p"r" l" cinem3$ic" !irec$" 1l mode modelo lo cine cinem3 m3titico co del del bra# bra#o o est3 est3 basa basado do en el uso uso de atr atric ices es de "ransformacin omog%nea para tal fin se ubican los sistemas coordenados segEn la convencin propuesta y apoyada en uso de los pasos 4,5 y ; del algoritmo de Denavit- artenberg, para la numeracin y locali#acin de los eslabones y ejes de cada articulacin. La convencin adoptada es la siguiente* or medio de la geometr$a de las transformaciones lineales de dimensin finita se describe la posicin de los diferentes elementos del robot en funcin de las rotaciones de sus grados de libertad. ara el modelo se +a adoptado el an3lisis del robot con H (2inco! grados de libertad rotacionales y 4 ()n! grado de libertad prism3tico, para un total de I (seis!. Las trasformaciones lineales se repr repres esen enta tar3 r3n n por por medi medio o de matri matrice cess de tras trasla laci cin n y rota rotaci cin n,, dond donde e se describir3n las traslaciones reali#adas sobre los segmentos y las rotaciones en torno a los ejes de referencia F, B, y M, respectivamente. A continuacin, se describen las matrices de trasformacin lineal segEn el modelo.

ara dar inicio al an3lisis del modelo cinem3tico del robot se establece una cade cadena na cine cinem3 m3titica ca abie abiert rta, a, debi debido do a que que e7is e7iste te una una Enic Enica a secu secuen enci cia a de articulaciones, conectando los puntos inicial y final de los eslabones de la cadena (Siciliano et al, 5//N!.

"ambi%n es necesario establecer los ejes de referencia sobre los cuales se inic inicia iar3 r3 el an3l an3lis isis is de los los movi movimi mien ento tos, s, a dic+ dic+os os movi movimi mien ento toss se les les +a

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asignado una notacin especifica con respecto al marco de referencia ilustrado en la figura.

 Adem3s de esto se +an fijado los puntos de referencia / (unto edio del soporte!, 4, 5, ; y O, y las longitudes A4, L4, L5 y L; para los segmentos del robot.

"omando las recomendaciones de &eslin et al, 5//P, el conjunto de ecuaciones presen presentad tadas as a contin continuac uacin in descri describe be detall detallada adamen mente te las trasfo trasforma rmacio ciones nes reali#adas desde el punto inicial / en la base de soporte +asta los puntos 4, 5, ; y O, modelando el movimiento desde el punto inicial +asta cada uno de los segmentos a manera de transformaciones lineales ("!.

La conv onvenc encin in pro propues puesta ta busca usca defin efinir ir tod todas las las rota rotaci cio ones nes de las las articulaciones positivas cuando el sentido de giro cumpla con la convencin de de7trgiro, las traslaciones siempre sobre el eje 7 e y en sentido positivo.

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Los Los movi movimi mien ento toss gene genera rado doss para para ir de un sist sistem ema a de refe refere renc ncia ia a otro otro,, representados matem3ticamente por matrices de transformacin, se reali#an de forma tal que muestren la geometr$a particular del robot. Se reali# una simplificacin en las dimensiones del robot, como la e7clusin de la distancia lateral entre bra#os. Dic+a simplificacin se consider necesaria para reducir la complejidad de las transformaciones y no afectan el comportamiento espacial del modelo que se observa en la figura. 1l modelo cinem3tico completo es presentado en las ecuaciones 4 a I, teniendo en cuenta los lineamientos y la notacin propuesta por Siciliano.

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IMPORTANCIA 1l alge algebr bra a line lineal al es una una de las las rama ramass de las las mate matem3 m3tic ticas as que que estu estudi dia a conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque m3s formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. 1s un 3rea activa que tiene cone7iones con muc+as 3reas dentro y fuera de las matem3ticas e7+austivo y preciso de ciencias como las naturales y f$sicas, de aquellas relacionadas con el comportamiento en general, de las ingenier$as de la econom$a, de la computacin de las mismas matem3ticas abstractas y aplicadas.

oy en d$a esta rama se estudia con m3s disciplina debido a la invencin de las computadoras de alta velocidad y al aumento general en las aplicaciones de las matem3ticas.

1n la actualidad el Algebra Lineal se +a constituido con una teor$a matem3tica de generali#aciones y nuevos m%todos de an3lisis y se +a convertido en una +err +erram amie ient nta a muy muy impo import rtan ante te en dive divers rsos os camp campos os de la indu indust stri ria a y la investigacin. -

1l

3lgebra

lineal

+a cobrado

mayor

importancia

con el

uso de

computadoras, porque se requiere de un nEmero grande de operaciones -

anejo anejo de im3ge im3genes nes,, sonido sonido y digita digitali#a li#aci cin n de toda toda clase clase de informa informaci cin n requiere de vectores o arreglos

-

grupos grupos de de vector vectores es /orma /orman n matrice matricess y el trabajo trabajo con con matrices matrices es justa justamen mente te el 3lgebra lineal

20

-

1l algeb algebra ra aporta aporta al perfil perfil del del ingen ingeniero iero,, la capaci capacidad dad redes redesarr arroll ollar  ar  un pensamiento lgico y algor$tmico al resolver problemas

-

uc+os uc+os /en /enmen menos os de la natu natural rale#a e#a,, que se pres present entan an en la ingen ingenier ier$a $a se pueden apro7imar a un modelo lineal

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SUS APLICACIONES ara resolver de muc+os problemas en ingenier$a requieren de m%todos de solucin solucin de sistemas sistemas de ecuacione ecuacioness lineales, lineales, de transforma transformacione cioness lineales lineales representadas por matrices de diagonali#acin de matrices etc.

2ontribuye a desarrollar una amplia gama de aptitudes y competencias que constituyen los pilares de la investigacin y del avance de la ciencia y de la ingenier$a en particular. particular.

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CONCLUSIONES )na transformacin lineal es una funcin entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro y preserva combinaciones line lineal ales es.. &erem eremos os que, que, debi debido do a esto esto,, una una tran transf sfor orma maci cin n line lineal al qued queda a un$vocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

1l ingeniero actual debe contemplar la nueva matem3tica, convencerse de que el Algebra Lineal, +oy en d$a es una +erramienta indispensable en su desarrollo profesional. )n ingeniero en potencia ser3 aquel que logre acompaGar la nueva matem3tica con las tecnolog$as actuales y la f$sica moderna.

Se present una asimilacin espacial m3s r3pida del comportamiento y el func funcio iona nami mien ento to de las las tran transf sfor orma maci cion ones es line lineal ales es,, teni tenien endo do en cuen cuenta ta el comportamiento vectorial de las mismas que le permitir3 al estudiante aprender  el conc concep epto to b3si b3sico co de mode modela lami mien ento to mate matem3 m3tic tico o aplic aplicab able le a dife difere rent ntes es fenmenos f$sicos presentes en la industria.

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