Departamento de Ciencias
“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y EL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN” “Universidad Privada del Nr!e” Fa"#l!ad$ In%enier&a Carrera Pr'esinal$ In%enier&a Civil( C#rs$ )e*e!r&a Anal&!i"a + ,l%e-ra(
Te*a$ Pr+e"! de Inves!i%a"i.n I nves!i%a"i.n$$ “Trans'r*a"ines Lineales”
Es!#dian!es$
• • •
C/in%#el Silva Ed%ar D&a0 1#r%s Dan+ An!ni )i""/ea Es2in0a S/erl+n 3ara Cr#0 Mila%rs 4a!/erine R#-i R*er Diana Yesenia S! D&a0 Saira Pa!ri"ia •
Pr'esra$ Rdr&%#e0 Alvarad L#0 Mari-el
Ci"l$ 5678$ I
L#%ar + Fe"/a$ Ca9a*ar"a: ; de *a+ del 5678(
1
Departamento de Ciencias
Dedicatoria: Cn la "er!e0a de <#e al%=n d&a re"*2ensare*s el es'#er0 de n#es!rs 2adres( Les dedi"a*s a ells: el 2resen!e !ra-a9 de inves!i%a"i.n: de-id al a2+: a2+: "nse9 + a*r <#e ns ns -rindan: 2r #s!edes "ada d&a s*s al%#ien *e9r(
Y a n#es!ra es!i*ada 2r'esra: 2r s# dedi"ada la-r al ense>ar: es #s!ed <#ien "ns!r#+e en ns!rs la a""i.n !rans'r*adra <#e "ns!i!#+e la ed#"a"i.n: rien!?ndns "ada d&a al @i! 2r'esinal(
LOS AUTORES(
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INDICE: 1. OBJE O BJETI TIVOS VOS:: 2. 3.
INTRO DUCCIÓ INTRODUC CIÓN: N:5 MARCO MAR CO TEÓ TEÓRIC RICO: O:6 3.1. INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 6
Ejem empl plo o 1:7 1: 7 Ej 3.1.1 Teore eorema ma e !ra"#$or !ra"# $orma%& ma%&o"e# o"e# l&"eale# l&" eale#:: 7 Ej Ejem empl plo o ':( ': ( Ejem empl plo o 3:) 3: ) Ej 3.1.'*rop&eae# 3.1.'*rop&eae# e !ra"#$orma%&o"e !ra" #$orma%&o"e# # l&"eale#: l&"eal e#:1+ 1+ Ej Ejem empl plo o ,:11 ,: 11 Ejem empl plo o -:1' -: 1' Ej 3.1.3 Teorema: !ra"#$orma%&" l&"eal e/"&a por 0"a ma!!r& ma r&: :13 13 Ej Ejem empl plo o 6:13 6: 13 Ej Ejem empl plo o 7:1, 7: 1, Ej Ejem empl plo o (:1(: 1-
Ejem empl plo o ):1): 1 Ej Eje Ejemp mplo lo 1+: 1+:16 16
Ejemp mplo lo 11: 11:16 16 Eje A*2ICACIONES 1
4.
REERENCIAS REERENC IAS BIB2IO4R5 BIB2IO4R5ICAS. ICAS.1!
5.
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"Tra#$%or& acio#e$ Li#ea'e$(
4
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7B O13ETI O13 ETIVOS VOS$$ De'inir la '#n"i.n Trans'r*a"i.n Trans'r*a"i.n LinealB en!re es2a"is ve"!riales( Plan Plan!e !ear ar la rela rela"i "i.n .n <#e <#e eis eis!e !e en!r en!re e #n es2a es2a"i "i ve"! ve"!r ria iall 2ara 2ara !rans2r!arl a !r( Anali0ar + e*2lear ls ds !ere*as de a2li"a"ines lineales T(L(B T(L(B 2ara de!er*inar de!er*inar el "a*-i "a*-i del es2a"i es2a"i ve"!r ve"!rial ial de de #n *?s *?s ve"!res ve"!res a !rav@s de s# s#*a ve"!rial *#l!i2li"a"i.n es"alar( es"alar( 5B INTRODUC INTR ODUCCIÓN CIÓN$$ Las !rans'r*a"ines lineales dese*2e>an #n 2a2el *#+ i*2r!an!e en ?reas ?reas "* "* *a!e*? *a!e*?!i" !i"a: a: '&si"a '&si"a:: + *#"/as *#"/as !ras !ras de in%eni in%enier& er&a a 2r"es 2r"esand and i*?%e i*?%ene nes: s: %r?' %r?'i" i"as as en "*2 "*2#! #!ad adr ra: a: %ene %enera rand nd 2#n! 2#n!s s de #-i" #-i"a" a"i. i.n: n: "ns!r#""i.n: in!era""i.n + an?lisis del es2a"i <#e ns rdea: lle%and in"l#s a e*2learse en n#es!ra vida diaria( Siend es!e !e*a 2ar!e in!e%ral en *#"/s de ls as2e"!s "!idians de "ada "ada d&a d&a + ne"e ne"esa sari ris s 2ara 2ara el "rr "rre" e"! ! desa desarr rrllll de n#es n#es!ra !ra "arr "arrer era a de in%eni in%enier& er&a a
el 2resen 2resen!e !e !ra-a9 !ra-a9 de inves! inves!i%a i%a"i. "i.n n !iene !iene 2r -9e!iv -9e!iv 2#n!#a 2#n!#all
resal!ar la i*2r!an"ia + #!ilidad de #na !rans'r*a"i.n lineal( Es!?s Es!?s !a*-i@ !a*-i@n n "n" "n"ida idass "* "* mapeos aplicaciones lineales sn !rans'r*a"ines en!re en!re es2a"is ve"!riales <#e “"nservan “"nservan 2era"ines” 2era"ines” de s#*a ve"!rial ve"!rial + *#l!i2li"a"i.n *#l!i2li"a"i.n es"alar es"alar:: an!es + des2#@s de ser e*2leadas e*2leadas(( Di"/as Di"/as a2li"a"ine a2li"a"iness 'a"ili!an el !ra-a9 !ra-a9 de #na !rans'r*a"i. !rans'r*a"i.n n del es2a"i es2a"i ve"!rial de ve"!res ve"!res *edian!e la a2li"a"i.n a2li"a"i.n de ds !ere*as de'inids( de'inids( La inves!i inves!i%a" %a"i.n i.n reali0a reali0ada da es!? "*2#es "*2#es!a !a de des"ri!as a "n!in#a"i.n$
5
IV 2ar!es: 2ar!es: las "#ale "#aless sn
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I Par!e$
Ls O-9e!ivs dnde dnde se de!alla la 'inalidad "n la <#e se desarrll.
el !e*a de las Trans'r*a"ines Lineales in'iriend s# a2li"a"i.n 2ara n#es!ra "arrera( II Par! Par!e$ e$
In!r In!rd d#" #""i "i.n .n resa resal!l!a a la #!il #!ilid idad ad e i*2 i*2r! r!an an"i "ia a de las las
Trans'r*a"ines Trans'r*a"ines Lineales en as2e"!s "!idians + !e.ri"s( III Par!e$
Mar" Te.ri" a<#& se *#es!ra de *anera de!allada ls "n"e2!s:
!ere*as: e9e*2ls + e9er"i"is de las a2li"a"ines lineales( IV Par! Par!e$ e$ Re'e Re'ere ren" n"ia ia 1i-l 1i-li i%r %r?' ?'i" i"a a es!? es!? 2ar! 2ar!e e la =l!i =l!i*a *a del del !ra!ra-a9 a9 de inves!i%a"i.n /a"e al#si.n al#si.n a la '#en!e de dnde dnde se e!ra9 !da la in'r*a"i.n e*2leada en n#es!r in'r*e(
3) MARCO TEORICO: 3.1) INTRODUCCIÓN A LAS TRANFORMACIONES TRANFORMACIONES LINEALES LINE ALES En es!e "a2&!#l se anali0an '#n"ines <#e !rans'r*an #n es2a"i ve"!r ve"!rial ial
V
W.
en #n es2a"i es2a"i ve"!ri ve"!rial al
Es!e !i2 de '#n"i.n se
den!a 2r$ T : V ⟶ W
Para Para es!as es!as '#n"i '#n"ines nes se #!ili0 #!ili0a a la n!a"i n!a"i.n .n es!?nd es!?ndar ar de ellas( ellas( Pr e9e*2l: V se lla*a d*ini de T ( Si V + W es!? en W de *d <#e$ T ( v ) =W
En!n" En!n"es es
W
se lla*a lla*a i*a%e i*a%en n de
!das las i*?%enes de ls ve"!res en ran% ran% de T ( v ) =W
7(7
6
T
V
-a9 -a9 V
+ el "n9 "n9#n #n! ! de !ds !ds l
T
( El "n9#n! de
se lla*a "n!rad*ini V
en
V
!ales <#e
se lla*a 2rei*a%en de W ( C* se *#es!ra en la 'i%#ra
Departamento de Ciencias
T : V ⟶ W
2 2 E9e*2l N ° 01 #na '#n"i.n R a R .
Para Para "#al< al<#ier #ier ve"! e"!rr
V =( v 1, v 2)
en
R
de'inida 2r )=( v 1− v 2 , v 1 + 2 v 2 ) T ( v 1, v 2 )=(
aB De!er* De!er*in@ in@ la i*a%en i*a%en de V =(−1,2 ) -B En"#en En"#en!re !re la 2rei 2rei*a% *a%en en de de W = (−1,11 ) .
Solución: aB Para V =(−1,2 ) se !iene 2 + 2 (2 ) −1 −2,−1 + 2 ¿ T ( −1,2 )= ¿ ¿ (−3,3 )
-B Si T ( V )=( v 1− v 2 , v 1 + 2 v 2) 7:77B: en!n"es v 1− v 2=−1 v 1 + 2 v 2=11
2
: sea
T : R
2
R
⟶
2
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Es!e sis!e*a de e"#a"ines !iene la sl#"i.n #ni"a Pr Pr !an! !an!: : la 2rei 2rei*a *a%e %en n de
(−1,11 )
"ns!a sla*en!e del ve"!r
(3,4 ) (
V 1=3
+ V 2= 4 (
2 es el "n9 "n9#n #n! ! en R
<#e
En es!e "a2i!#l la a!en"i.n se "en!ra en '#n"ines <#e "nservan las 2era"ines de s#*a ve"!rial + *#l!i2li"a"i.n es"alar( Es!as '#n"ines se lla*an !rans'r*a"ines lineales(
Defini Definició ción n de !"n#f !"n#fo!$ o!$"ci "cione one## line"l line"le# e# Sean ve"!riale ve"!riales( s( La '#n"i.n V
en
W
T : V ⟶ W
V y W
es2a"is
se lla*a !rans'r*a"in lineal de
si las ds 2r2edades si%#ien!es sn verdaderas 2ara
!d u y v en V + 2ara "#al<#ier es"alar C ( 1. T ( ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) 2. T ( ( cu ) =cT ( u )
Se di"e <#e #na !rans'r*a"i.n lineal "nserva 2rea"ines 2r<#e se -!iene el *is*s res#l!ad si las 2era"ines de s#*a + *#l!i2li"a"i.n es"alar se e'e"!=en an!es des2#es de <#e se a2li<#e la !rans'r*a"i.n lineal: a#n<#e se #!ili0an ls *is*s s&*-ls 2ara den!a den!arr las 2era" 2era"in ines es ve"! ve"!ria riales les en
V
"* en
W
: de-e
-se -serv rvar arse se <#e <#e las las 2er 2era" a"i ine ness 2#ed 2#eden en ser ser di'e di'ere ren! n!es es:: "* "* se indi"an en el si%#ien!e dia%ra*a
)
S*&a e#
S*&a e#
V
W
M*'ti+'icaci ,#
M*'ti+'icaci ,#
e$ca'ar e# V
e$ca'ar e# W
Departamento de Ciencias T ( u + v ) =T ( u ) + T ( v )
T ( cu )=cT ( u ) 2
Ejemplo : N ° 02. Compr Comprobación obaciónde de una transfor transformaci mación ónline lineal al en R en R
2
De*#es!re <#e la '#n"i.n dada en el e9e*2l 1 es #na 2 2 !rans'r*a"i.n lineal de R en R .
T ( v 1 }' , v 2)=( v1 −v 2 , v 1+ 2 v 2) T
Sl#"i.n$ Sl#"i.n$ Para de*s!rar de*s!rar <#e la '#n"i.n '#n"i.n
es #na !rans'r*a"i.n
lineal ne"esari de*s!rar <#e "nserva la s#*a + la *#l!i2li"a"i.n es"alar( Para es!: sean
V =( v 1, v 2 )
+
u1 ,u 2 u =¿
2 B ds ve"!res en R
+ sean C "#al<#ier n=*er real( En!n"es: "n las 2r2iedades de s#*a ve"!rial + de *#l!i2li"a"i.n es"alar: se !iene l si%#ien!e( 7(
Dad <#e + V =( 1 , 2 ) +( V 1 , V 2 )=( 1 + V 1 , 2 +V 2) T ( + V ) ) =T ( 1+ V 1 , 2 + V 2) '
2+ V 2 1 , 2−( 2 + V 2 ) , ( 1 , V 1 ) + 2 ¿
¿¿
( ¿ ¿ 1− 2)+( V 1 −V 2) , ( 1 + 2 2)+( )+ (V 1 , 2 V 2)
¿ ¿¿ ¿ ( 1− 2 , 1 + 2 2 )+ ( V 1−V 2 ,V 1 , 2 V 2 ) '
T ( ) + T ( V ) )
5(
Dad <#e C ( 1 , 2 )=C 1 , C 2 se !iene T ( C )=T ( C 1 ,C 2) =C 1−C 2 , 1 , C 1 + 2 C 2 ¿ CT ( ( )
Pr "nsi%#ien!e: T es #na !rans'r*a"i.n lineal(
!
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O-se O-serv rva" a"i. i.n$ n$ Para Para #na #na !ran !rans' s'r r*a *a"i "i.n .n line lineal al
T : V ⟶ V
de #n
es2a"i ve"!rial en si *is* se lla*a 2eradr lineal( La *a+r a+r&&a de las '#n"in ines es!#diadas en "?l"#l n sn !rans'r*a"ines lineales( Ejemplo : N ° 03. !l"unasfuncio !l"unasfunciones nes #ueno #ue no sontransforma sontransformacion cioneslineal eslineales es
aB
f ( ( $ )= sen ( $ )
n es #na !rans'r*a"i.n lineal en R en R , 2r<#e en
$ %en ( ¿ ¿ 1 + $2 ) & sen$ 1+ sen $ 2
%eneral
¿
or ejemplo , %en
-B
f ( ( $ )= $
2
[( ) ( )] ( ) Gsen ( ) ( ( ( + &sen 2 3 2
( 3
n es !rans'r*a"i.n lineal de R en R : 2r<#e en %eneral 2
f ( ( $ 1 + $ 2) & $1 + $ 2 + 1 2
or ejemplo : ( 1 + 2 ) & $ 1+ $ 2 + 1
"B
( $ + 1 ) f (
n es #na !rans'r*a"i.n !r ans'r*a"i.n lineal de R en R 2r<#e f ( ( $ 1 + $ 2) = $ 1+ $ 2 G7
En !an! <#e$ $ 1
¿
$
¿ ( ¿ 2 ¿ )=( $ 1+ 1 )= $ 1+ $2 + 2 ¿ f ¿ $
( ¿ ¿ 1 )+ f ( ( $ 2 ) !s) , f ( ( $1 + $ 2 ) & f ¿ ¿ O-serva"i.n$ La '#n"i.n del e9e*2l n lineal lineal(( En "?l"# "?l"#ll
f ( ( $ )= $ + 1
3 C
indi"a ds #ss del !er*in
se lla*a '#n"i.n lineal 2r<#e s#
%r?'i"a es #na re"!a( Si* e*-ar%: n es #n !rans'r*a"i.n lineal del
1-
Departamento de Ciencias
es2 es2a"i a"i ve"!r "!ria iall
R en R
2r<#e n "nserva rva ni la s#*a ni
*#l!i2li"a"i.n es"alares( Ds !rans'r*a"ines lineales si*2les sn la !rans'r*a"ines "er + la !rans'r*a"i.n iden!idad: <#e se de'ine "* si%#e$
1. T ( ( v )= 0 para todo v Transformación cero ( T : V ⟶ W )
ransformaciónidentidad identidad ( T : V ⟶ v ) 2. T ( ( v ) 0 para todo v Transformación
O-serve <#e la !rans'r*a"i.n lineal
2
!iene la 2r2iedad de <#e el
ve"! ve"!r r "er "er se !ran !rans' s'r r*a *a en s& *is* *is*( ( Es de"i de"irr
T ( 0 ) =0
( Es!a
2r2iedad es verdadera 2ara !das las !rans'r*a"ines lineales: "* se 2lan!ea en el si%#ien!e !ere*a(
Teo!e$" 1.1 %!o&ied"de# %!o&ied" de# de l"# T!"n#fo!$"cione# Line"le# Sea T #na !ras'r*a"i.n lineal V enW : dnde u y v es!an en V
( En!n"es: las 2r2iedades si%#ien!es sn verdaderas
1. T ( ( 0 )= 0
(
2. T ( ( −V ) =−T ( v ) 3. T ( ( u− v )= T ( u )− T ( v ) 4. %i v =c 1 v 1+ c2 v 2 + * + c n v n entonces
c 1 v 1+ c 2 v 2 + * + c n v n ¿ T ( ( v )=T ¿
11
Departamento de Ciencias v T ( ¿ ¿ 1)+ c 2 T ( v 2 ) + * + c n T ( v n) ¿ c1 ¿
De*s!ra"i.n$ Para de*s!rar la 2ri*era 2r2iedad: -serve <#e 0. v = 0
( En!n"es: se "n"l#+e <#e$
T ( 0 ) =T ( 0. V ) =0
−V =(−1 ) V : <#e i*2li"a
La se%#nda 2r2iedad se "n"l#+e de <#e
<#e T (−V ) )=T [ (−1 ) V ] ]=(−1 ) T ( V ) =−T ( V ) La !er"era 2r2iedad se
"n"l#+e
de
<#e
T ( −V )=T [ +(− 1) ] =T ( ( )− T ( V )
La
2r2iedad
4
!rnas'r*a"i.n lineal
del
!ere*a
T : V ⟶ W
1.1
es!a s!a-le" -le"e e
<#e #na #na
es de!er*inada "*2le!a*en!e 2r
s# e'e"! s-re #na -ase de V ( En !ras 2ala-ras: si T ( V 1 )
T ( v 2) , * . , T ( v n )
Es!? Es!?n n de'in e'iniids ds 2ara ara #na #na -ase
( v 1 , v 2 , * * . , v n)
:
en!n"es T ( v ) es!? de'inid 2ara "#al<#ier v en V( el #s de es!a 2r2iedad se *#es!ra en el e9e*2l H E9e*2l H Tras'r*a"ines lineales + -ases 3 3 Sea T : R + R #na !ras'r*a"i.n lineal !al <#e
T ( 1,0,0 )=( 2,−1, 4 ) T ( 0,1 , 0 )=( )=( 1,5,− 2)
)=( 0,3,1) . T ( 0,0,1 )=(
De!er*ine T ( 2,3, −2) Sl#"i.n
12
Departamento de Ciencias
Dad <#e ( 2,3,−2 ) 2#ede es"ri-irse "* ( 2,3,−2 )=2 ( 1,0,0)+ 3 (0,1,0 ) 2 ( 0,0,1) .
En!n"es la 2r2iedad H del !ere*a (7 se 2#ede #sar 2ara es"ri-ir T ( 2,3, −2)= 2 T ( 1,0,0 )+ 3 T ( (0,1,0 ) 2 T ( 0,0,1) T ( 2,3, −2)= 2 ( 2,−1, 4 )+ 3 ( 1,5, −2) 2 ( 0,3,1) T ( 2,3, −2)=( 7,7,0 )
O!ra O!ra ven! ven!a9 a9a a del del !er !ere* e*a a (7 (7 es <#e <#e 2r2 2r2r r"i "in na a #n *@! *@!d d r?2i r?2id d 2ara 2ara iden!i'i"ar '#n"ines <#e n sn !rans'r*a"ines lineales( Es de"ir: "* #na !rans' !rans'r* r*a"i a"i.n .n linea lineall de-e de-e "#*2li "#*2lirr las "#a!r "#a!r "ndi "ndi"i "ines nes del !ere* !ere*a: a: se "n"l#+e <#e si #na '#n"i.n T n sa!is'a"e "#al<#iera de las 2r2iedades en!n"es la '#n"i.n n es #na !rans'r*a"i.n lineal( Pr e9e*2l la '#n"i.n dada 2r( )=( $1 + 1, $2 ) T ( $ 1 , $2 )=(
N es #na !rans'r*a"i.n lineal 2r<#e T ( 0,0 ) & T ( 0, 0 ) En el si%#ien!e e9e*2l se #sa #na *a!ri0 2ara de'inir #na !rans'r*a"i.n lineal 2 3 de R en R ( El ve"!r v =( v 1 , v 2 ) se es"ri-e en 'r*a *a!ri"ial "*
[]
v=
v1 v2
De *d <#e es 2si-le *#l!i2li"arl a la i0<#ierda 2r #na *a!ri0 de rden 3 -2 ( E9e*2l 8 Una !ras'r*a"i.n lineal de'inida 2r #na *a!ri0 2 3 La '#n"i.n T : R + R se de'ine "*
[ ][ ] 3
T ( v )= !v = 2
0
v1
1 v −1 − 2 2
aB De!er e!er*i *ine ne T ( v ) : dnde v =(2, −1) 3 2 -B De*# De*#es es!r !re e <#e <#e T es #na !ras'r*a"i.n lineal de R en R
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Sl#"i.n aB Dad <# <#e v =(2, −1) : se !iene ector e# R3
[ ][ ] [ ]
T ( v )= !v =
3 2 −1
0 1 −2
2 −1
=
6 3 0
ecto r e# R2
Pr "nsi%#ien!e: se !iene <#e T ( 2,−1 ) =(6,3,0 ) -B Se e*2 e*2ie ie0a 0a 2r 2r -se -serv rvar ar <#e <#e
2 n !ras'r*a #n ve"!r de R
T
3
en #n ve"!r de R ( Para de*s!rar <#e T es #na !rans'r*a"i.n lineal: se #san las 2r2iedades de la *#l!i2li"a"i.n de *a!r *a!ri" i"es es se%= se%=n n se es!a es!a-l -le" e"i. i. en el !er !ere* e*a a 5(;( 5(;( La 2r2 2r2ie ieda dad d dis!ri-#!iva de la *#l!i2li"a"i.n *a!ri"ial s-re la adi"i.n 2rd#"e T ( u + v ) = ! ( u + v )= !u + !v=T ( ( u )+ T ( v ) De *anera se*e9an!e: la 2r2iedad "n*#!a!iva de la *#l!i2li"a"i.n es"alar "n la *#l!i2li"a"i.n de *a!ri"es 2rd#"e T ( cu )= ! ( cu ) =c ( !u )= cT ( u ) El e9e*2l 8 il#s!ra #n res#l!ad i*2r!an!e rela"inad "n la re2resen!a"i.n n m de las !rans'r*a"ines lineales de R en R ( Es!e res#l!ad se 2resen!a
en ds e!a2as( El !ere*a (5 es!a-le"e <#e !da *a!ri0 #na !rans'r !rans'r*a" *a"i.n i.n lineal lineal de
R
n
en
R
m
m- n
( L#e%: en la se""i.n (; se
de*s! de*s!rar rar? ? la "nve "nversa rsa$$ <#e <#e !da !da !rans' !rans'r* r*a"i a"i.n .n lineal lineal de 2#ede re2resen!arse "* #na *a!ri0
m- n
re2resen!a
R
n
en
R
m
(
O-serve <#e en el ini"i -B del e9e*2l 8 n se /a"e nin%#na re'eren"ia a la *a!r *a!ri0 i0 es2e es2e"& "&'i'i"a "a A( Pr Pr "ns "nsi% i%#i #ien en!e !e:: es!a es!a "*2 "*2r r-a -a"i "i.n .n sirv sirve e "* "* de*s!ra"i.n %eneral del /e"/ de <#e la '#n"i.n de'inida 2r "#al<#ier *a!ri0 m- n
n m es #na !rans'r*a"i.n lineal de R en R (
Teo!e$" Teo!e$" '.(. L" !"n#fo!$"ción line"l definid" &o! un" $"!i
14
Departamento de Ciencias
Sea ! #na *a!ri0 m - n ( La '#n"i.n T de'inida 2r T ( v )= !v R
Es #na !rans'r*a"i.n lin lineal de
*#l!i2 *#l!i2li" li"a"i a"i.n .n *a!ri" *a!ri"ial ial "n #na *a!ri0 *a!ri0
n
en m- n
R
m
( Para ara "n' "n' r*ar r*ar la
: ls ve" ve"!re !ress en
R
n
se
m re2resen!a re2resen!an n 2r **a!ri"es de n - 1 + ls ve"!res en R se re2resen!an
2r *a!ri"es m - 1 (
O*#e!+"ción: la *a!ri0 "er m - n "rres2nde a la !rans'r*a"i.n "er de R
n
m en R + la *a!ri0 iden!idad n n - n "rres2nde a la !rans'r*a"i.n
n m iden!idad de R en R (
Ase%=rese de "*2render <#e #na *a!ri0
!
m- n
de'in de'ine e #na #na
n m !ras'r*a"i.n lineal de R en R (
[
a11 !v = a21 a m1
a12 a22 am 2
][ ] [
a1 n v1 a2 n v2 amn v n
=
a11 v 1 + a12 v 2 + * + a 1 n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + * + a2 n v n am 1ector v 1+ am 2 ve# 2 + * + a mn v n #
] ector e# &
E,e$&lo '. T!"n#fo!$"cione# T!"n#fo!$"cione# line"le# d"d"# &o! M"!ice# n m La !rans'r*a"i.n lineal T : R + R es!? de'inida 2r T ( v )= !v ( De!er*ine n m la di*ensi.n de R + de R 2ara la !rans'r*a"i.n lineal dada 2r las si%#ien!es *a!ri"es(
aB
[
0
1
!= 2
−1
3 2
0 1
4
]
[ ] 2
-B ! = −5 0
−3 0 −2
Solución: aB Dad <#e el el rden rden de es!a es!a *a!ri0 *a!ri0 es es de 3 3 !rans'r*a"i.n lineal de R en R (
15
3 -3
: de'ine #na
Departamento de Ciencias
[
!v =
0 2 4
1 3 2
][ ] [ ]
−1 v 1 0 1
v2 v3
=
u1 u2 u3
-B C* C* el rde rden n de es!a es!a *a!ri0 *a!ri0 es es 3 - 2 : de'ine #na !rans'r*a"i.n de R
2
3 en R (
E,e$&lo -: Ro"ción del &l"no 2 2 De*#es!re <#e la la !ras'r*a"i.n !ras'r*a"i.n lineal T : R + R dada 2r la *a!ri0 ! =
[
]
−sen/
cos/ s en /
cos/
Solución: Pr el !ere*a (5 se sa-e <#e
T
es #na !rans'r*a"i.n
2 lineal( Para de*s!rar <#e r!a !d ve"!r en R
a las *ane"illas del rel9 #n ?n%#l R
<#e <#e es #na #na ve"!r ve"!r en v
e2resar
"*
2
en sen!id "n!rari / : se "nsidera v = ( $ , y )
( Usand "rdenadas 2lares: se 2#ede
rcos0 cos0 , rsen0 rsen0 v =( $ , y )=¿
Dnde r es la ln%i!#d de v + 0 es el ?n%#l des"ri! en sen!id "n!rari a las *ane"illas del rel9 del e9e $
2si!iv 2si!iv al ve"!r ve"!r
L#e%: al a2li"ar la !rans'r*a"i.n lineal T a v se -!iene
T ( v )= !v !v
[ ¿[
[
][ ]
cos/ −sen/ $ sen/ cos/ y
][ ]
¿ cos/ −sen/ rcos/
16
sen/
cos/
rsen/
]
rcos/ rcos/ cos0 −rsen/ rsen/ sen0 rsen/ rsen/ cos0 + cos/sen0
v
(
Departamento de Ciencias
[
¿ rcos ( / + 0 ) rsen ( / + 0 )
]
Pr "nsi%#ien!e: el ve"!r T ( v ) !iene la *is*a ln%i!#d <#e v ( Ade*?s: dad dad el el ?n%# ?n%#l l del del e9e e9e $ 2si!iv a T ( v ) es / + 0 : en!n"es T ( v ) es el ve"! ve"!r r <#e <#e se -!i -!ien ene e al r!a r!arr el ve"! ve"!r r
v
en sen! sen!id id "n! "n!ra rari ri a las las
*ane"illas del rel9 #n ?n%#l / : "* se -serva en la 'i%#ra (5(
2 O-serva"i.n$ La !rans'r*a"i.n !rans'r*a"i.n lineal del e9e*2l J se se lla*a r!a"i.n en R 2 ( Las r!a"ines en R "nservan !an! la ln%i!#d ve"!rial "* el ?n%#l
en!re ds ve"!res( Es de"ir: el ?n%#l en!re T ( u) + T ( v ) ( 3 E,e$&lo : Un" &!o/ección en R
3 3 La !rans'r*a"i.n lineal T : R + R dad 2r
[ ] 1
0
0
! = 0
1 0
0 0
0
1
u
+ v es i%#al al ?n%#l en!re
Departamento de Ciencias
Se lla*a lla*a 2r+ 2r+e" e""i "i.n .n en en!n"es
$ , y , 0 T ( v )=¿
R
3
( Si
v =( $ , y , 1 )
es #n #n ve"! ve"!r r en en
R
3
:
3 ( En !ras 2ala-ras: T !rans'r*a !d ve"!r en R
en s# 2r+e""i.n r!%nal en el 2lan $y : "* se *#es!ra en la 'i%#ra (;(
Fi0u!" '.3
Kas!a el **en! sl se /an anali0ad !rans'r*a"ines lineales R
m
R
n
en
( En el res! de es!a se""i.n se "nsiderar?n al%#nas !rans'r*a"ines
n lineales <#e i*2li"an !rs es2a"is ve"!riales di'eren!es de R (
E,e$&lo : Un" !"n#fo!$"ción line"l de 2 m, n en 2 n ,m Sea T : 2 m, n + 2 n , m la '#n"i.n '#n"i.n <#e !rans' !rans'r* r*a a #na *a!ri0 *a!ri0 ! m $ n en s# !rans2#es!a( Es de"ir: T ( ! ) = ! '
Des2#@s <#e
T
es #na !rans'r*a"i.n lineal(
Solución: Sean A + B *a!ri"es m x n .por el teorema 2.6 se obtiene: '
'
'
T ( ! + 3 )= ( ! + 3 ) = ! + 3 =T ( ( ! ) + T ( 3 )
1)
Departamento de Ciencias Y T ( c! ) =( c! ) = c ( ! ) =cT ( ! ) . '
'
Pr "nsi%#ien!e: T es #na !rans'r*a"i.n lineal de 2 m, n en 2 n ,m
E,e$&lo 12: El O&e!"do! Dife!enci"l Sea
C ' [ a , b ]
el "n9 "n9#n #n! ! de !da !dass las las '#n" '#n"i ine ness "#+ "#+as deriv derivad adas as sn sn
"n!in#as en [ a , b ] ( De*#es!re <#e el 2eradr di'eren"ial 4 $ de'ine #na !rans'r*a"i.n lineal de C ' ( a , b ) en C ' [ a , b ] (
Solución: Usand n!a"i.n de 2eradres: se es"ri-e 4 $ ( f ) ) =
d [ f ] ] d$
Dnde f es!? en en C ' ( a , b ) ( Para de*s!rar <#e 4 $ es #na !ras'r*a"i !ras'r*a"i.n .n lineal: se re"#rre re"#rre al "?l"#l( Es2e"&'i" Es2e"&'i"a*en! a*en!e: e: de-id a <#e la derivada de la s#*a de ds '#n"ines "n!in#as es "n!in#a: se !iene 4 $ (f + " )=
d [ f + " ]= d [ f ] ]+ d [ " ]= 4 $ ( f ) ) + 4 $ ( " ) d$ d$ d$
De *anera se*e9an!e: de-id a <#e la derivada de #n *=l!i2l es"alar de #na '#n"i. '#n"i.n n es i%#al i%#al al *=l!i2l *=l!i2l es"ala es"alarr de la deriva derivada da + dad dad <#e el *=l!i2 *=l!i2l l es"alar de #na '#n"i.n "n!in#a: se !iene 4 $ ( cf ) )=
( )
d [ cf ] ] =8 d [ f ] ] = c 4 $ ( f ) ) d$ d$
Pr "nsi%#ien "nsi%#ien!e: !e: 4 $ es #na #na !ran !rans' s'r r*a *a"i "i.n .n lin linea eall C [ a , b ]
de
C ' [ a , b ]
en
(
La !rans'r*a" !rans'r*a"i.n i.n lineal lineal 4 $ del e9e*2l 76 se lla*a o&e!"do! dife!enci"l ( Para 2lin*is: el 2eradr di'eren"ial es #na !rans'r*a"i.n lineal en n en n−1 : 2r<#e la derivada derivada de de #na '#n"i.n '#n"i.n 2lin.*i" 2lin.*i"a a de %rad %rad #na '#n"i.n 2lin*ial de %rad *enr i%#al i %#al <#e n −1 ( Es de"ir:
1!
n
es
Departamento de Ciencias n−1
+ * + a1 n n−1 4 5 ( a $ $ + * + a1 $ + a 0 )= ¿ n an $
El si%#ien!e e9e*2l des"ri-e #na !ras'r*a"i.n lineal de n En el es2a"i ve"!rial de ls n=*ers reales R (
E,e$&lo 11: L" ine0!"l definid" e# un" !"n#fo!$"ción line"l Sea T : + R de'inida 2r b
∫
T ( p )= p ( $ ) d$ a
T
De*# De*#es es!r !re e <#e <#e
es #na #na !ran !rans' s'r r*a *a"i "i.n .n line lineal al de
ve"!rial de '#n"ines 2lin.*i"as: en R
: es el es2a"i
: el es2a"i ve"!rial de n=*ers n=*ers
reales R ( Sl#"i.n$ Pr *edi *edi de las 2r2iedades 2r2iedades de las in!e%rales de'inidas: de'inidas: se 2#ede es"ri-ir$ b
∫ [ p ( $ ) +# ( $) ] d$
T ( p + # ) =
a
b
b
a
a
¿∫ p ( $ ) d$ +∫ # ( $ ) d$ p ( $ $ ) d$ b
∫
T ( cp )= c [ ¿ ] =c a
b
∫ p ( $ ) d$ =cT ( p )
(
a
Pr "nsi%#ien!e: T es #na !rans'r*a"i.n lineal(
APLICACIONES$
EEM%LOS:
•
2-
7( Dada la si%#ien!e a2li"a"i.n lineal: -!ener la i*a%en de !res ve"!res + reali0ar #n dia%ra*a(
Departamento de Ciencias
f : : 2 + R
2
( a + b$ + c $ ) + f ( ( a +b$ + c $ )=( a −b , 2 c + a ) 2
2
Solución: Ls ve"!res a "nsiderar sn$ Pr l !an!: al ree*2la0ar ls Solución: Ls valres de ls ve"!res: en la a2li"a"i.n lineal ': -!ene*s las i*?%enes "rres2ndien!es a "ada ve"!r( V 1 ( 1− $ ) + f ( ( 1 − $ )=( 2,1)
( 3 + $ −2 $ 2 ( 3 + $ −2 $ ) + f ( V 2 2
2
) =(2, −1)
2 ¿ 0 + 0 $ + 0 $
¿
V 3 3 ¿
Di"0!"$"$ Di"0!"$"$
% 2
a + b$ + c $
¿
•
¿
2
a + b$ + c $
¿ ¿ f ¿
5( Dada la si%#ien!e a2li"a"i.n lineal: -!ener la i*a%en de !res ve"!res + reali0ar #n dia%ra*a(
3
f : : R + R
2
( $ , y , 1 ) + f ( ( $ , y , 1 )=( 2 $ + y + 3 1 ,− $ + 2 y + 4 1 )
21
¿
Departamento de Ciencias
Sol ució Soluc ión n:Ls ve"!res a "nsiderar sn$ Pr l !an!: al ree*2la0a ree*2la0arr ls valres de ls ve"!res: en la a2li"a"i.n lineal ': -!ene*s las i*?%enes "rres2ndien!es a "ada ve"!r( V 1 ( 1,3,2 ) + f ( ( 1,3,2 )=( 11,13 ) 2 ( 3,5,1 ) + f ( ( 3,5,1 ) =(14,11) V 2
V 3 ( 0,0,0 ) + f ( ( 0,0,0 ) =(0,0 )
Di"0!"$":
3
R R
2
f ( ( $ , y , 1 )=( a .b )
( $ , y , 1 ) %
•
;( Dada la si%#ien!e a2li"a"i.n lineal: -!ener la i*a%en de !res ve"!res + reali0ar #n dia%ra*a( 3
f : : R + 2 2 x+y-z 2x+y2x+y-3z 3z
( $ , y , 1 ) + f ( ( $ , y , 1 )
x+3y+2z -3x+2 -3x+2y+ y+3z 3z
Solución: Ls ve"!res a "nsiderar sn$ Pr l !an!: al ree*2la0ar ls Solución: Ls valres de ls ve"!res: en la a2li"a"i.n lineal ': -!ene*s las i*?%enes "rres2ndien!es a "ada ve"!r(
V 1 ( 1,0,1 ) + f ( ( 1,3,2 )=
22
0 −1
3 0
Departamento de Ciencias
0 −4
V 2 2 (−2,3,1 ) + f ( ( 3,5,1 ) =
V 3 ( 0,0,0 ) + f ( ( 0,0,0 ) =
0 0
9 15
0 0
Di"0!"$":
3
2
R 2
( $ , y , 1 )
REFERENCIAS /I/LIO0RAFICAS:
23
f ( ( $ , y , 1 ) =
a c
b d