Trabajo Colaborativo Cálculo III 2018-21

INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS BÁSICAS F ACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO

C ÁLCULO III Spira Mirabilis

Las espirales son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza. Así podemos encontrarlas en la caparazón de los caracoles, en trompas y las de animales, en serpientes enrrolladas, en plantas y flores (particularmente en girasoles) y más aún encontrarlas en las huellas dactilares, en adornos, dibujos y esculturas. Objetivos de aprendizaje:

1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de espiral. 2. Identifica que mediante expresiones matemáticas es posible analizar el entorno natural. 3. Estudia las propiedades de la spira Mirabilis aplicando conceptos de cálculo III.

Indicaciones generales:

 Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: 





Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito.  Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro.

Ejercicio

La espiral logaritmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma   = &' cos  , &'sin ()

Donde  y  son números reales positivos.

Se querie estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva, () es () =  &' 2. Muestre que el vector tangente a la curva es 2  =  &'    − sin ()  +  &' (   + cos ( ))  

3. Muestre que la rápidez de la curva está dada por la expresión () =  &'  + 1 ;

4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión −1

 = cos

() ∙ ′() () ′()

−1

= cos

; ; + 1

5. Si  ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?. 6. Si  ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?. 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo)