Trabajo Colaborativo Cálculo III

TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III

SUBGRUPO 45 Fonseca Plazas Leonardo Ortiz Willinton Ramírez Cuellar John Jairo Rojas Rave Juan David Toscano Morantes Janeth

Tema SPIRA MIRABILIS

Tutor ESPITIA FERNANDO

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO III 2018

INTRODUCCION

El presente trabajo está basado en la investigación sobre SPIRA MIRABILIS, espirales con curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza, esta investigación está dada a interpretar y analizar geométricamente mediante expresiones matemáticas las cuales estaremos tratando durante el tiempo dado a este módulo, cada inquietud presentada se despejará con guías y conferencias dadas por parte del instructor, para comprender y despejar los interrogantes de la investigación.

OBJETIVOS

1.Interpreta analítica y geométricamente el concepto de espiral. 2. Identifica que mediante expresiones matemáticas es posible analizar el entorno natural. 3. Estudia las propiedades de la spira Mirabilis aplicando conceptos de cálculo III.

INDICACIONES GENERALES:  Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito.  Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro.

EJERCICIO La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma.

Donde

y son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:

1.Muestre que la magnitud de la curva, ll c (t) ll es ll c (t) ll =

ll c (t) ll =

    ²



Aplicando

 ²²²  s in² t + ² = 1  || c (t) || =   ² donde se elimina la √  con la potencia 2 Entonces  || c (t) ||=  ll c (t) ll =

2. Muestre que el vector tangente a la curva es:

  = (  ) Derivamos las componentes de la ecuación paramétrica

  = (   )(   ) Sacamos factor común:

  =  -  ))  +       3.Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión

 √   

( )=

La rapidez de una partícula en el tiempo t  está dada por: ||c'(t)|| . Por el punto anterior se tiene c'(t) , ahora hallamos ||c'(t)|| así:

  = (    )           || || = ( )         ²

Desarrollando los cuadrados:

|| || {        }  {      } factor común:

  [{  ] *Reduciendo los términos semejantes y asociando los términos se obtiene:

   [ ][]   =  [ ]  = s(t) == √    4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión

 .    − − = a=      || ||||  + por la definición del producto punto entre dos vectores

∥ ∥∣ ∣

c(t).c(t)= c(t) c(t) cos α despejamos el ángulo alfa:

.

cos a∥ct∥ct|

a=

,  +  −  , . − +  −   + +      − a=     + a=

−  +

5. Si Si

0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? 0 a=

−( ) = −(0) = 

línea radial: Son líneas rectas que parten de un punto en distintas direcciones. Son radios de un circulo que se proyectan en diferentes ángulos.

   =  línea tangencial: Una línea tangente es una línea que toca una curva en exactamente un punto. Más formalmente, es una curva diferenciable en un punto donde la pendiente de la curva es igual a la pendiente de una línea. Una línea tangenta a un círculo es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia.

s(t) = ae

0√02 1

es decir, s(t) = a 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis

Es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. quien la llamó, "la espiral maravillosa”. Una   espiral logarítmica, espiral equiangular o

espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular. La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico (Enlaces a un sitio externo.) o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación.

BIBLIOGRAFIA https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica