DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA :
Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricación de reproductores DVD y Blu-Ray montó un punto de fábrica en Colombia, cumpliendo con los estándares de calidad necesarios en la producción de dichos electrodomésticos. Sin embargo, desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos ópticos en los reproductores, ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad.
Diagrama del motor DC
Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar módulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Por tal razón, ha decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniería Electrónica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que diseñe un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco óptico sea óptima. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas eléctricas o señales parásitas en el sistema.
La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la función de transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parámetros del diseño propuesto, además del proceso de diseño detallado descriptiva y matemáticamente.
La función de transferencia del motor, según su hoja técnica, se describe a continuación:
G( s)
8 2 s
2
24 s 40
Como requisitos de diseño se necesita que la velocidad del motor una vez implementado el controlador no difiera en más del 10% del valor requerido; además, el motor debe estabilizarse en máximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del motor pueden dañarlo, se requiere un sobrepaso máximo del 16%. Además, por las características del reproductor, se necesita que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento (ζ) de 0.7 a una frecuencia (ωn) de 4 rad/seg. Para resolver el problema, se ha dividido éste en tres etapas:
En la etapa 1, se deberá analizar la dinámica del sistema, determinar su estabilidad absoluta, graficar y analizar el lugar geométrico de las raíces y determinar controlabilidad y observabilidad.
En la etapa 2, se deberá analizar la respuesta en frecuencia del sistema, diseñar un compensador por lgr y un controlador PID que permitan que el sistema cumpla con las especificaciones requeridas y simularlos para verificar l os resultados.
En la etapa 3 (prueba final), se elaborará un documento de presentación donde se resuma todo el proceso y se muestren los resultados obtenidos. De igual forma, se deberá elaborar un cuadro comparativo entre los dos controladores diseñados en la etapa 2 indicando ventajas y desventajas. El grupo deberá concluir con argumentos, cuál de los dos controladores es más óptimo para implementar en los reproductores.
Además, se propone una actividad inicial de reconocimiento del curso que permita al estudiante identificar claramente los contenidos, propósitos y competencias a desarrollar en el periodo académico. También se deberá responder un cuestionario evaluativo de los temas del curso.
Visualización personal del problema del problema:
La finalidad del problema consiste en la elaboración de una tarjeta controladora para un motor dc, la cual sea alimentada por una señal análoga que proviene de sistema de control externo. La tarjeta deberá recibir la señal análoga, procesarla dar la salida controladora del motor dc. Determinaremos los conceptos o términos que conocen y los que se desconocen.
Listado de conceptos, términos y/o aspectos que conocen:
Sistemas dinámicos Sistemas de control Estado transitorio Estado estacionario Función de trasferencia
Transformada de Laplace (s) Respuesta en frecuencia Señales de prueba: (rampa, escalón unitario, Impulso, parabólica) Ecuación característica (denominador del polinomio de la función de transferencia). Modelamiento matemático Diagrama de bloques Sistemas enlazo abierto y cerrado Dinámica de un sistema (Leer conceptos). Sistemas de primer y segundo orden Actuadores, comparadores, planta, perturbación, error, sensor, realimentación LGR.
Criterio de Routh-Hurwitzz (se debe reforzar conocimiento Listado de aquello que se desconoce:
Respuesta en el tiempo C(t )= Ctr + Css (t ) (fortalecer conceptos) Dinámica de un sistema (fortalecer conceptos) Criterios de estabilidad Sistemas de primer y segundo orden LGR (ampliar conocimiento) Matlab (ampliar conceptos e implementación de funciones y análisis de respuestas) Funcionamiento de motores en DC Funcionamiento de discos ópticos ( en DVD blu ray) Señales parasitas en DC Estabilidad absoluta, controlabilidad y observabilidad. Sistemas de control analógicos. criterio de Routh-Hurwitzz (ampliar los conceptos)
En la etapa 1, se deberá analizar la dinámica del sistema, determinar su estabilidad absoluta, graficar y analizar el lugar geométrico de las raíces y determinar controlabilidad y observabilidad. Analizar la dinámica del sistema:
Identificar orden del sistema y estabilidad absoluta usando el criterio de Routh-Hurwitz Según especificaciones técnicas de los motores, su función de transferencia es: G( s)
8 2 s 2
24 s 40
Como requisitos de diseño se necesita que el motor se estabilice en máximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del motor pueden dañarlo, se requiere un sobrepaso máximo del 10%. Además, por las características del reproductor, se necesita
que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento (ζ) de 0.7 a una frecuencia (ωn) de 4 rad/seg.Para resolver el problema, se ha dividido éste en tres etapas:
Análisis De Resultados Obtenidos Analizando obtenemos resultados de todo el proceso, donde se analizó a fondo el sistema. Primero analizamos los resultados de la dinámica del sistema, identificando los siguientes parámetros:
El orden del sistema es de segundo orden, ya que son aquellos que responden a una ecuación diferencial lineal de segundo orden.
( ) =
s + 2z +
←
El cual es de la forma
() = Dónde: = 2
ms + +
= 24
= 40
k
n
m 40
n
n
2
4.472
Determinamos la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitz: Según la tabla de Routh para un sistema de segundo orden: S 2 2a0 S 1 240 S 0 400
b1
a1 a 0
a1
0a 2
b1
40
Concluimos que para que un sistema sea estable, se solicita que: a. Que no haya cambio de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Cumple satisfactoriamente b. Se cumple la Condición necesaria a2, a1, a0 > 0. Cumple satisfactoriamente c. Se cumple la condición suficiente que dice que los coeficientes de la primera columna del algoritmo sean positivos (+). Cumple satisfactoriamente. El sistema es Estable, nuestro sistema cumple con todas las condiciones necesarias y suficientes.
5. determinar la controlabilidad del sistema de forma manual y comprobar usando scliab
C B A * B
1 0 1 0 * 20 12 1 12 0 1 C Es controlable. 1 12
AB
Det (C )
1
1 0 COMPROBACION EN SCILAB
6. Determinar la observabilidad del sistema de forma manual y comprobarla usando scilab.
C CA
CA
4
1 0 CA 4 0 20 12
0
4 0 0 4 Det ( ) 16 OBSERVABLE
COMPROBACION MEDIANTE SCILAB
