ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING)
TRABAJO COLABORATIVO 1 TAREA (VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES)
PRESENTADO POR: KELLY JOHANA GIRALDO MONSALVE CÓDIGO: 1.036.133.829 JANNER GALEANO COGIDO: 1056783612 ALEXANDER BUELVAS CODIGO: 1028006954 LAURA CRISTINA BARRERO ALZATE CODIGO: 1039456051 CARLOS ANDRES JIMENEZ CODIGO:
PRESENTADO A: LEONARDO FABIO GARCIA
208046_113
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA DIST ANCIA UNAD 22 DE MARZO DE 2016
INTRODUCCION El presente trabajo contiene el estudio de temas comprendidos en el álgebra lineal; los cuáles sirven para dar solución a problemas que se generan en nuestro entorno, movilidad, desplazamiento, determinar distancias, valores, pues, se emplean temas tales como: Determinantes, Determinantes, matrices y vectores. vectores. La importancia y relevancia de aprender a identificar y solucionar matrices por métodos como: Cofactores, gauss, gauss- jordan, al igual que; aprender sobre determinantes; pues son éstas la solución a grandes problemas matemáticos.
ACTIVIDAD COLABORATIVA
1. Una mosca se para en la la pared de un cuarto. cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m. (A) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto?. (B) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
DEASARROLLO:
-
Para solucionar el problema mediante la fórmula:
Reemplazamos:
iniciamos por determinar la distancia
+
+ √ + √
r = 2,23m -
La mosca está a 2,23 m de la esquina del cuarto.
Luego: procedemos a hallar la posición en coordenadas polares de la siguiente forma: Punto de coordenadas (2,1) que representa x y Y respectivamente.
. − . .º ( ,, )) ( , ) (..,.º)º) -
En coordenadas polares :
2. Un auto se desplaza 300 m del Norte Norte 30° al Este, luego 500 m del del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y grafica
Para desarrollar el pr problema oblema iniciamos identificando el recorrido del carro tal y como se aprecia en la gráfica anterior, posteriormente hallamos las componentes en X y Y.
300.60259,80 300.60150 ̅ 500.30250 ̅ 500.30433,01 0 300
Una vez hallados los componentes, se procede a realizar la sumatoria de las mismas de la siguiente forma:
∑ ∑ 259,80 + 250 + 0 509,8 ∑150433,01300583,01 ̅ ∑ + ∑ (509,8) +(583,01) ̅ 774
Una vez hallada la distancia, procedemos a buscar la dirección; para la cual empleamos la siguiente fórmula:
− 583.509.801 Tan
48.74
El auto quedó a 774 m del punto de inicio; en dirección
48,74
3. Una partícula experimenta experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el e l norte, y halle:
(A) Las componentes de cada desplazamiento. (B) Las componentes del desplazamiento resultante. (C) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante. (D) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.
Desarrollo: 1- Graficamos el problema.
2. Hallamos los componentes: (componentes de cada desplazamiento).
= =. º 5.26 0º =−. 5.5.2626 = =. º 5.5.2626 0º = −. 0
2.2.9494 26º26º 5.5.34 5.94 26º 2.6
Ahora sumamos: (componentes del desplazamiento resultante)
Dónde: A =
+
Dónde: A = (-2.9 i - 2.9 j) m
Dónde: C =
+
Dónde: C = (5.3 i + 2.6 j) m
Componentes: A = (-2.9 i - 2.9 j)j) m
dónde: B =
+
dónde: B = (5.26 i + 0 j ) m
B = (5.26 i + 0 j ) m C = (5.3 i + 2.6 j) m
-
Para hallar C usamos la siguiente fórmula:
S=
+ +
Reemplazamos: S=
+ (.(.) + (.)
S= 7.7 m
Dirección
− ... .º Tan
D) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo la partícula hasta el punto de arranque es de 7.7 m, en una dirección de
2.2º
4. Dados los vectores: u = -i + 2j -4k ; w = 2i-3j+k y v= -4i+3j+2k
Calcular: A) u . w, w . v
DESARROLLO u.v
, , ) , ,
U= (
W= (
U = (-1, 2, -4) )
W = (2, -3, 1)
u. w= (-1.2 + 2.-3 + -3 + (-4)) u.w= -2 + (-6) +(-4) u.w = -12 RTA
w.v
, , , , )
W= (
)
v= (
w.v= 2. -4 + (-3). (3) + 1.2 w.v = -8 + (-9) +2 w.v = -15 RTA
W = (2, -3, 1) U = (-4, 3, 2)
B) u x v , u x w
i+2j4k 4i + 3j + 2k
Uxv=
Por regla de Cramer.
i
j
k
i
j
-1
2
-4
-1
2
-4
3
2
-4
3
= 4i +16j -3k + 8k + 12i + 2j = (16i +18j + 5k) = 16,18, 5 RTA.
i+2j4k 2i3j+k
UxW=
i
j
k
i
j
-1
2
-4
-1
2
2
-3
1
2
-3
= 2i -8j + 3k -4k -12i – 12i +1j = (-10i – 7j -1k) = -10, -10, -7, -1
RTA
C) (u x w ). V DESARROLLO
i+2j4k 2i3j+k UxW=
i
j
k
i
j
-1
2
-4
-1
2
2
-3
1
2
-3
= 2i -8j + 3k -4k -12i – 12i +1j = (-10i – 7j -1k) = -10, -10, -7, -1
RTA
( ) × 10, 7, 1 (u × w) ∗ v (u × w) ∗ v (10,7,1) ∗ (4,4,3,2) (u × w) ∗ v (10∗4) + (7∗3 7∗3) + (1∗2) (u × w) ∗v (40,40,21,2) RTA.
D) Cos ( u, w) DESARROLLO
(,, ) (() ( (1,1,2,4)4) (0.0.99,0.99,0.99 ) () ( (2,2,3,1) (0.0.99,0.99 ,0.99 )
RTA
RTA.
5. Un hipermercado hipermercado quiere ofertar tres tres clases de bandejas: A, A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada ca da uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. - Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. DESARROLLO: Para llevar a cabo la solución del problema iniciamos organizando los datos que tenemos en matrices; su producto nos da la raíz que buscamos con las cantidades en gramos.
M=
A
B
40
120 150
A 50
120
B
160 80
C
80
120 80
A
.
Expresados en Kg.
. . ..
=
.. .
M
26.600
80
= R
25.600
C 100
CA
21.600
X
=
C
RTA:- Para sacar 50 bandejas de queso tipo A; es necesario 26.6 kg del mismo. -
Para sacar 80 kg de queso tipo B, es necesario 25.6 kg.
-
Para sacar el queso tipo C, es necesario 21.6 21.6 kg de queso.
5.1) Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg A) Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula
DESARROLLO:
P M N
A)
22 12 64 1 2 3
P 1.5 M
1 N
2
1.8 0.8 2
-
solución por método de Gauus- Jordan.
P M N
MATRIZ IDENTIDAD
22 12 64 22 12 64 | 10 01 00 1 2 3 1 2 30 0 1 12 F1→11 12 12⁄2 1⁄02 01 00 6 4 31 0 1 0 1 1 1 ⁄ ⁄ 0 0 2 2 F2-F1F1 →→ 06 14 33⁄2 10⁄2 10 01 1 1 1 1 ⁄ ⁄ 0 0 2 2 F3-6F1 →00 -12 30⁄2 1-3⁄2 10 01 1 0 1 1 1 0 F1-F2F2 →→ 00 -12 30⁄2 1-3⁄2 10 01 1 0 1 1 1 0 F3+2F2 →00 10 33⁄2 1-4⁄2 12 01 1 1 0 1 0 1 13 F3 → 0 1 3⁄2 14⁄⁄2 21⁄ 10⁄ 00 1 3 3 3 1 1 0 1 0 1 3 3 1 F2F2 2 F1 → 00 10 01 4⁄⁄23 20⁄3 1⁄⁄32 = =
1 1 1 ⁄ ⁄ ⁄ 3 3 3 1 0 0 F1 + F3 → 00 10 01 43⁄⁄2 20⁄ 11⁄⁄2 3 3 3 1 1 1 ⁄ ⁄ ⁄ 3 3 3 − 3 1 4⁄⁄2 20⁄ 1⁄⁄2 3 3 3 − 1 2 2 1 A 16 24 23
Por determinantes: Empleando el método de cofactores.
det A; lo realizamos por cofactores.
Tomo la fila 2. det (A) = 1A21 + 2(A22) + (2)A23 =
24 13 (6 4) 2 2 1 6 3 (6 6 ) 0 2 2 6 4 (812 8 12) 4 det( ) 1(22) + 2(0) + 2(4)
A21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3
= -[(2)(3)-(4)(1)]
A22 = (-1)2+2 M22 = (-1)4
= [(2)(3)-(6)(1)]
A23 = (-1)2+3 M23 = (-1)5
= -[(2)(4)-(6)(2)]
Por tanto
2+0+8
Los cofactores son:
A11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 A12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 A13 = (-1)1+3 M13 = (-1)4 A21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3 A22 = (-1)2+2 M22 = (-1)4 A23 = (-1)2+3 M23 = (-1)5 =4 A31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4 A32 = (-1)3+2 M32 = (-1)5 =-3 A33 = (-1)3+3 M33 = (-1)6
24 23 16 23 16 24 24 13 26 13 26 24 22 12 21 12 21 22
Matriz de cofactores
2 9 8 22 03 42
Transpuesta de la matriz
= - 2 = - 9 = - 8 = - 2 = 0 = - 4
= 2 = 2
= 2
2 − 9
02 23 8 4 2 − 1 2 2 2 1 − 6 98 04 23 1 1 1 ⁄ ⁄ ⁄ 3 3 3 43⁄⁄2 20⁄ 11⁄⁄2 3 3 3 Resolvemos la inversa
La matriz inversa de
P m n
22 12 64 1 2 3
13⁄⁄3 10⁄3 11⁄⁄3 4⁄23 2⁄3 1⁄32
CONCLUSIONES Con este trabajo se busca fortalecer el conocimiento analítico y resolutivo, obteniendo a partir de dicha fortaleza las virtudes y recursos para avanzar dentro del curso, además busca mejorar la forma en cómo se trabaja de manera colaborativa, dando así un paso agigantado a lo que se avecina dentro de la carrera y el curso como tal, sin dejar por fuera la fuente de conocimiento que en si representa este documento y que puede servir como guía en un caso dado a quien lo requiera.
BIBLIOGRAFÍA.
YouTube. (2016). Matriz Inversa - Metodo Gauss Jordan - Matrices - Video 093 . [En línea] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=098Zu8JUZPI [Acceso
21 Febrero 2016].
Dieumsnh.qfb.umich.mx. (2016).
Inversa .
[En línea] Disponible en:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/inversa.htm [Acceso 22 Febrero
2016].
