Tópicos de Matemática Elementar I

Universidade Unive rsidade do Sul de Santa Catarina

Tópicos de Matemática Elementar I Disciplinaa na modalidade a distância Disciplin

Palhoça UnisulVirtual 2008

Apresentação Tópicos ópicos de Este livro didático corresponde à disciplina T Matemática Elementar I.

O material foi elaborado visando v isando a uma aprendizagem autônoma autônoma e aborda con conteúdos teúdos especialment especial mentee selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando propor cionando condições condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre-se de que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial T utorial da UnisulVirtual, UnisulVirtual , por isso a “distância” fica caracterizada somen somente te na modalidade modal idade de ensino que você optou para sua su a formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão estar ão sempre conectados com você. Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas ferra mentas e canais de acesso, tais como: telefone, telefo ne, e-mail e o Espaço UnisulVirtual UnisulVirtua l de Aprendizagem, que é o canal cana l mais recomendado, recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para par a seu maior controle controle e comodidad comodidade. e. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe l he atender,, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. atender Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual

Diva Marília Flemmi Flemming ng Elisa Flemming Luz Christian Wagner

Tópicos de Matemática Elementar I Livro didático

Design Instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing

Palhoça UnisulVirtual 2008

Copyright © UnisulVirtual 2008 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.

Edição – Livro Didático Professores Conteudistas

Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner Design Instrucional

Carolina Hoeller da Silva Boeing Projeto Gráfico e Capa

Equipe UnisulVirtual Diagramação

Delinea Design Soluções Gráficas e Digitais LTDA Leniza Wallbach e Silva Marcelo A. Gorniski Revisão

B2B

510 F62

Flemming, Diva Marília Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing. – Palhoça : UnisulVirtual, 2008. 256 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografa. 1. Matemática. 2. Funções (Matemática). I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Christian. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva . IV. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Sumário Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03 Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Unidade 2 – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Unidade 3 – Função do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Unidade 4 – Função do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Unidade 7 – Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Referências ..........................................................219 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 223

Palavras dos professores Prezados alunos,

Neste texto apresentamos conteúdos da disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I que estão de acordo com a ementa do projeto pedagógico do seu curso. Os objetos matemáticos discutidos são considerados básicos, pois traduzem alicerces necessários para a discussão de objetos mais específicos e práticos. Todos os conteúdos apresentados ao longo desse livro são assuntos tratados no ensino fundamental e médio; entretanto, a contextualização em situações reais é uma característica específica deste texto. Criamos dois personagens: Ted e Mad (amigos de infância que se tornaram microempresários). Eles irão dialogar e resgatar situações do dia-a-dia que os levarão a compreender importantes conceitos matemáticos. Para facilitar a leitura e o aprofundamento das representações gráficas, optamos por uma metodologia que valoriza o uso de recursos computacionais na resolução de problemas. Considerando que estamos trabalhando com a modalidade a distância, adotamos uma linguagem que estimule as suas estruturas mentais de modo que as diferentes representações semióticas sejam estabelecidas e trabalhadas para que o processo de aprendizagem significativa se concretize. Nós, autores e tutores dessa disciplina, nos colocamos à disposição para atendê-lo. Iremos interagir com você através das ferramentas disponíveis no ambiente virtual do seu curso. As ferramentas promovem uma dinâmica de socialização que lhe permitirá um verdadeiro caminhar para a conquista de novos conhecimentos. Mãos à obra! Profa. Diva Marília Flemming, Dra. Profa. Elisa Flemming Luz, Dra. Prof. Christian Wagner, Msc.

Plano de estudo O plano de estudo visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: 

livro didático;



Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);





as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de auto-avaliação); Sistema Tutorial.

Ementa

Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função: conceitos, propriedades, características e representações gráficas. Funções elementares: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Objetivos Geral:

Discutir e refletir conceitos básicos da Matemática.

Universidade do Sul de Santa Catarina

Específicos: 







revisar conjuntos numéricos; trabalhar funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas a partir de representações gráficas e resolução de problemas; motivar o estudo de conteúdos de Matemática a partir do uso das novas tendências da Educação Matemática; compreender o conceito de telecomunicações e informática.

Carga horária

A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula. Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o livro didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 7 Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos

Nesta unidade, apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos, ampliando-se as idéias inicias com conceitos e propriedades operatórias. Unidade 2 – Funções

Nesta unidade, as funções são apresentadas como objetos matemáticos e como elementos fundamentais para a resolução de problemas do dia-a-dia. A análise das representações 12

Matemática

gráficas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos diferentes tipos de funções. Unidade 3 – Função do primeiro grau

As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica, a modelagem de problemas práticos e a resolução de equações e sistemas de equações. Unidade 4 – Função do segundo grau

As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas práticos em diversas áreas. Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais

Nesta unidade, as funções polinomiais e racionais serão apresentadas em diferentes representações (gráficas e algébricas). Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica

Nesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso das funções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos de problemas práticos. O contexto financeiro é destacado com problemas reais de juros e crescimento exponencial. Unidade 7 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas serão discutidas partindose da resolução de triângulos retângulos. A análise das representações gráficas dará a oportunidade de resgatar os conceitos de domínio, imagem, periodicidade dentre outros.

13


Agenda de atividades/ Cronograma 





Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina.

Atividades obrigatórias

Demais atividades (registro pessoal)

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UNIDADE 1

Revisão de conjuntos numéricos Objetivos de aprendizagem 





Identificar conjuntos numéricos em diferentes situações-problema. Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem os números reais. Aplicar propriedades dos números reais na resolução de problemas.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Conjuntos numéricos Seção 3 Adição de subtração com números reais Seção 4 Multiplicação e divisão com números reais Seção 5 Resolução de equações

1


Para início de estudo

Ted e Mad programam uma viagem nas férias: – Acho que uma viagem para o Nordeste seria ótimo! – Nordeste?! Mas tudo por lá é muito caro, principalmente na alta temporada. Tudo bem que as praias são maravilhosas, mas eu estava com vontade de fazer alguma coisa diferente. – Alguma coisa diferente? – É, que tal uma pescaria? – Será, cara? Não vamos cair numa roubada? – Acho que não, sugiro o Pantanal! – Legal, então já vou consultar os valores para programar a nossa economia. – Combinado então. Depois acertamos os detalhes! 16

Tópicos de Matemática Elementar I

Seção 1 - Introdução A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Em vez de usar símbolos para representar os números, utilizava-se a comparação de conjuntos. A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção.

Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. Veja como é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na região Sul: A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}. Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos: B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}. Pare! Revise!

O conjunto A é dito finito pois possui três elementos, já o conjunto B é dito infinito pois possui um número infinito de elementos. Pare! Observe!

Perceba que no conjunto B usamos reticências (...) para representar os números pares positivos maiores do que 10 que não foram explicitados. Esta representação nos auxilia quando se trata de conjuntos muito grandes ou mesmo infinitos, como neste caso.

Se for necessário, um conjunto pode ser representado especificando-se as propriedades comum dos elementos. Para os conjuntos A e B teremos: A = {x | x é um estado da região Sul do Brasil}. B = {y | y é um número par positivo}. Unidade 1

17


Cada membro que compõe o conjunto é chamado elemento. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome etc. É possível estabelecermos relações entre elementos e conjuntos usando-se símbolos que indicam se um elemento “pertence” ou “não pertence” ao conjunto. Acompanhe o exemplo. Se C = { 1, 3, 5, 7, 9 }, podemos dizer que: 1 ∈ C , ou seja, o número 1 pertence ao conjunto C; 2 ∉ C , ou seja, o número 2 não pertence ao conjunto C; 3 ∈ C , ou seja, o número 3 pertence ao conjunto C; 4 ∉ C , ou seja, o número 4 não pertence ao conjunto C. Pare! Revise!

Um conjunto que possui apenas um elemento é dito unitário e um conjunto que não possui elementos é um conjunto vazio, representado por ∅ ou { }.

As relações de pertinência auxiliam a entender a noção de subconjunto, que também é interessante quando trabalhamos com conjuntos. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B.

Linguagem simbólica

A ⊂ B, ou seja, A está contido em B ou ainda B ⊃ A, ou seja, B contém A. Pare! Observe!

O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Sempre que comparamos dois conjuntos podemos usar a relação de inclusão.

18


Sejam os conjuntos A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e}, podemos dizer que: A ⊂ B, ou seja, A está contido em B; B ⊃ A, ou seja, B contém A; B ⊄ A, ou seja, B não está contido em A.

Dois ou mais conjuntos podem ser reunidos usando-se uma operação conhecida por união ou reunião de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, chamamos de reunião de A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.


A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} Uma outra operação que pode ser definida é a intersecção entre conjuntos. Veja: Dados dois conjuntos A e B, chamamos de intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.


A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} {a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d} {a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d} {a,b,c} ∪∅ = {a,b,c}

∅∪∅ = ∅ {a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a,b} {a,b} ∩ {c,d} = ∅ {b,c} ∩∅ = ∅ Unidade 1

19


Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, o conjunto dos números reais irá embasar o estudo dos diferentes tipos de funções. Então, veja como se chegou até estes números reais estudando a próxima seção!

Seção 2 - Conjuntos numéricos O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e, por incrível que pareça, já nascemos com ela. Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo objetos análogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos familiares. Por exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade quatro brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois deles, certamente ele sentirá falta. Não que já saiba contar, mas porque já possui uma noção de número em sua formação individual.

Para fins de padronização, criou-se uma notação comum para representar os números. Utilizam-se os algarismos hinduarábicos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, se não houvesse uma padronização, imagine a confusão que seria! Olhando o passado!

Já há algum tempo, sabe-se que determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números. Inúmeras experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo:

20


“Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo deixava o ninho, instalava-se numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, o castelão recorreu a uma artimanha: fez entrar dois companheiros na torre. Instantes depois, um deles desaparecia, enquanto o outro ficava. Mas, em vez de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele fez entrar três homens, dos quais dois se afastaram em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeçou-se a experiência com quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo não conseguia reconhecer mais que quatro homens ou quatro objetos...” (Extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)

Conjunto dos números naturais

Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números conhecidos pela humanidade. Sua representação é dada por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Perceba que este é um conjunto infinito, pois é possível sempre acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor. Pare! Revise!

Quando utilizamos a notação N* representamos a exclusão do zero: N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

Unidade 1

21


Olhando o passado!

O número zero tem uma história interessante. Em 662 d.C. o bispo sírio Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, num trabalho público, mas não fazia referência ao zero. O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito bem sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está no mundo grego. Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou gregos (letra grega ômicron, que é a primeira da palavra Ouden, que significa vazio).

Conjunto dos números inteiros

Olhando o presente!

Veja o seguinte problema.

P1 – Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de

julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$ 130,00 D. O que isto significa?

Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. Veja por que! Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito. Isto significa que na conta havia 130 reais negativos, ou seja, –R$ 130,00, estavam faltando R$ 130,00. Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a fazer parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda, a noção de números negativos já é amplamente utilizada. Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros:

22


Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Conjunto dos números racionais

Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu diaa-dia você utiliza também números fracionários. Ao comer uma fatia de um bolo dividido em oito partes iguais, por exemplo, além de ter água na boca, você pode dizer que estará comendo uma parte do todo. Estará comendo 1 do bolo. 8

No nosso sistema monetário usamos frações decimais do real. Por exemplo: 



R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real; R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa 1 de um 4 real.

Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 1 2 ou entre 3 e 4 o número 3,25.

As frações são representadas na forma m , n ≠ 0, m, n ∈ Z e n formam o conjunto dos números racionais , denotado por:  

Q = x | x =

m n

 

, m,.n ∈ Z e .n ≠ 0 

Unidade 1

23


Veja alguns exemplos: 3

10

−1

9

4

7

2

5

Veja como se faz a leitura de frações: 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7

1

Um meio

8 1

Um terço

9

Um oitavo

Um nono

1

Um quarto

10 1

Um quinto

11 1

Um sexto

12 1

Um sétimo

20

Um décimo

Um onze avos*

Um doze avos

Um vigésimo

*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que possuem denominador maior que dez.

Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como se faz: 1 2 3 4 1 3 2 7

24

= 0, 5 = 0, 75

= 0, 3333…

= 0, 285714285714…


Pare! Observe!

Algumas frações possuem representação decimal exata e outras uma representação decimal periódica. 51 = 0,5151515151... 99 ⇒ são dízimas periódicas. 31 = 0,3444444444... 90 1 0, 5 2 20 5 4 =

⇒ são decimais exatos.

=

Para encontrar a forma decimal você pode realizar as divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.

Olhando o presente!


P2 – Em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em dez

fatias iguais. Se Mario comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 1/5, quantas fatias sobraram?

Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível raciocinar: 

Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a metade de 10 fatias, ou seja, 10 = 5 fatias. 2



Sua namorada comeu 1 da pizza, então comeu 1 de 10 fatias, ou seja,

5 1 de 10 = 10 = 2 fatias. 5 5

5

Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias. Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias.

Unidade 1

25


Pare! Observe!

Todos os números inteiros são também números racionais, pois podem ser escritos na forma de uma fração. Veja: 4 1 7 7= . 1 4=

Olhando o passado!

Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século III. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu Diofanto? Fonte:

Conjunto dos números reais

Para definir o conjunto dos números reais, é necessário considerar os números que não podem ser escritos na forma de m com n n ≠ 0 e m, n ∈ Z . Estes números formam o conjunto dos números irracionais, que pode ser denotado por Q . São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653..., e =2,718281828..., 2 = 1, 41... É comum dizer que o conjunto dos números reais é o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. R = Q∪Q .

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Os números reais são representados geometricamente por uma reta numerada, denotada por reta real.

Olhando o passado!

Você não imagina a consternação no seio dos pitagóricos quando descobriram a existência de grandezas que não guardam entre si uma relação de inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando verificaram a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento.

Acredita-se que os pitagóricos guardaram este segredo por muitos anos, pois esta constatação significava a existência de seres disformes no seu mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que este ser disforme é a raiz quadrada de dois.

O número Pi

A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemáticos da Antigüidade. É importante relembrar, para ser justo, do nome de Arquimedes, famoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C. No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam que o comprimento de uma circunferência é igual a um número um pouco maior que três vezes o seu diâmetro.

Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato desse número um pouco maior que 3 que hoje é conhecido como número Pi, simbolizado por π. Unidade 1

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Vários métodos geométricos demonstram que o valor do Pi é π = 3,141592653...

Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do número Pi. O número e

A origem do número e está associada à origem dos logaritmos. As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os cálculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir multiplicações e divisões em simples adições e subtrações. É usual se falar “número neperiano” em homenagem ao matemático John Napier, que em 1614 apresentou uma maneira prática para definir o logaritmo de e . Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o número e é um número útil em toda a Matemática e ciências afins. Por exemplo, é muito usado em Economia, Estatística, Probabilidades etc. Nos dias de hoje, não se usam as tábuas de logaritmos porque as calculadoras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode dispensar esse número de nossas vidas. Vários fenômenos são modelados por uma fração que envolve o número e, por exemplo, o crescimento populacional, o aumento de capital e juros. Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e ! e = 2,718281828... Conjunto dos números complexos

Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode não ser bonito, mas não causa “mal-entendido” porque ele tem um único significado.

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Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número complexo” tal como é usado em Matemática. E isto causa um mal-entendido! Entretanto, é importante lembrar: Quando uma palavra é definida precisamente e tem apenas um significado, não há mais razões para criticar seu uso.

Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia matemática precisa. Olhando o passado!

Cardano, um grande matemático do século XVI, foi o primeiro a reconhecer a verdadeira importância desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de uma equação e ao cálculo com números complexos.

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números reais e pelas raízes de ordem par de números negativos, e pode ser representado por: C

= { z | z = ( a, b ) , a, b ∈ R}

Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na forma algébrica: z =

−4 = 2i = 0 + 2i = ( 0, 2 )

z = 2 +

−9 = 2 + 3i = ( 2, 3)

Ao olhar para o par ordenado (a,b) fica simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imaginária do número complexo: 

a é a parte real;



b é a parte imaginária.

Unidade 1

29


Pare! Revise!

Lembre-se de que i = −1 . Assim, tem-se que: i×i

= −1 2 i = −1

(

2

−1 ) = −1 .

Pare! Observe!

(

2

−1 ) = ( −1) = 2

1 = 1 está INCORRETO.

Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais, sendo enfatizados diferentes representações, algoritmos e métodos de tratamento adequados a cada situação identificada.

Seção 3 - Adição e subtração com números reais Para discutir as operações de adição e subtração com números reais, veja inicialmente algumas propriedades da adição: Comutativa Associativa Elemento neutro

a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a+0=0+a=a 0 é o elemento neutro da adição.

Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situações que envolvem a adição com números reais. 1) Efetue as seguintes operações: a)

30

2 4 10+12 22 + = = 3 5 15 15


Pare! Observe!

É possível estabelecer uma regra prática para calcular a adição ou subtração com números fracionários. Considere as expressões

a b

e

c d

escritas de forma que

b e d são diferentes de zero: a b

b)

1

c)

1

2

9

+

10 7

=

7 + 20 14

2

1+ 6

3

9

+ =

=

=

c

ad ± bc

d

bd

± =

27 14

7 9

Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da configuração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, você pode visualizar: 0, 7777 0, 777777 0, 77777777 0, 77777777778 .

d)

20 + 45

Com uma calculadora, é possível determinar os valores aproximados para 20 e 45 : 20 ≅ 4, 472135955 45 ≅ 6, 708203932 20 + 45 ≅ 11,180339887 .

O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição usando propriedades da radiciação. Na Unidade 6 você verá um breve resumo de algumas destas propriedades. Unidade 1

31


e)

3 4

− 0, 3 = 0, 75 − 0, 3 = 0, 45

Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma decimal para que a operação fosse realizada. Uma outra opção é escrever o número decimal como um número fracionário: 3 4

f)

1 5

3

3

4

10

− 0, 3 = − 2

3 − 10

3

15

− =

=

=

30 − 12 40

=

18 40

=

9 20

= 0, 45

−7 15

g) −0, 2 + 0, 37 = 0, 37 − 0, 2 = 0,17

2) Um mergulhador passou da profundidade de –6m para –4m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros? Perceba que o número – 6 é menor que o número –4. Assim, quando o mergulhador passa de – 6m para –4m ele aumenta duas unidades. Isto significa que ele subiu 2m, pois -6m é mais fundo que -4m.

3) Imagine três pizzas de mesmo tamanho, cortadas de forma diferente: a primeira em duas partes, a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana come um pedaço de cada uma, quanto terá comido? Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada pedaço usando números fracionários:

32



1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = 1 ;



1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = 1 ;

2

4




1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = 1 . 6

Podemos escrever, 1 2

1

1

4

12

+ +

6 ⋅1 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅1

=

12

=

10 12

Assim, Joana comeu 10 , ou quase uma pizza inteira! 12

4) Um bondoso homem doou 1 da sua fortuna para 5 2 menores carentes, e para um asilo de idosos. 3

a) Que fração de suas posses ele doou? Ele doou 1 + 2 = 3 + 10 = 13 . 5

3

15

15

b) Que fração sobrou? Se ele doou 13 , então sobrou um inteiro menos esta 15 fração: 1−

13 15

1 13

= −

1 15

=

15 − 13 15

=

2 15

As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão dos números reais.

Unidade 1

33


Seção 4 - Multiplicação e divisão com números reais Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas propriedades da multiplicação: Comutativa

a x b = b x a

Associativa

(a x b) x c = a x (b x c )

Elemento neutro

a x 1 = 1 x a = a 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão. Imagine que Ted e Mad foram pescar no Pantanal. Em determinado momento, cansados de esperar, eles conversam: – Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez que nós dois não pegamos peixes. – Nosso saldo está devedor. Já gastamos seis iscas.

Como representar esta situação matematicamente? (+ 3) x (– 2) = – 6

34


Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações. Por exemplo: (+ 3) x (+ 2) = + 6 (– 3) x (– 2) = + 6 (– 3) x (+ 2) = - 6 Observando essas operações é possível escrever: A multiplicação de números de sinais diferentes apresenta resultado negativo e números de sinais iguais apresentam resultado positivo.

Resumindo simbolicamente as regras de sinais: Divisão

Multiplicação

(+) ÷ (+) = (+)

(+) x (+) = (+)

(–) ÷ (+) = (–)

(–) x (+) = (–)

(+) ÷ (–) = (–)

(+) x (–) = (–)

(–) ÷ (–) = (+)

(–) x (–) = (+)

Olhando o presente!


P3 – Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo

de zero, variando por volta de –18oC. Sabendo-se que a temperatura baixou o mesmo número de graus a cada dia, quantos graus teria abaixado por dia?

Para modelar esta situação, é possível escrever: (– 18) ÷ (+ 6 ) = (– 3) Isto significa que a temperatura baixou 3oC por dia, até que chegasse a –18oC. Unidade 1

35


Pare! Revise!

Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma divisão exata. Por exemplo, 12 : 6 = 2. Isto é verdade, pois 2 x 6 = 12. Da mesma forma, 35 : 5 = 7, pois 7 x 5 = 35.

Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações, sendo b e d números diferentes de zero: a c

a⋅c

b d

b ⋅ d

⋅ =

1) Resolva as operações indicadas: a)

1 1

1.1

4 3

4.3

b)

5

c)

⋅ =

⋅

−1

=

8 4 1 10

⋅

2 5

=

=

1 12

5. − 1 8.4 1.10 2.5

=

=

−5 32

10 10

=1

d) 0,25 x 1,3 = 0,325 c) 0,721 x 3,69 = 2,66049 2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule 1 e 3 deste valor. 2

5

Para resolver este problema multiplique o valor total por suas frações: 1 2 3 5

de 350 → 1 ⋅ 350 = 350 = 175 2

2

de 350 → 3 ⋅ 350 = 1050 = 210 . 5

5

3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo ela comeu? Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou 1 . 7

A metade de 1 fatia representa

36

1 14

do bolo, ou 1 × 1 = 7

2

1 14

.


Assim, a pessoa comeu

1 14

do bolo.

4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre sete pessoas, cada pedaço custasse R$ 0,80, quanto custariam três pedaços do bolo? 1 pedaço do bolo

→

1

3 pedaços do bolo

→

3

7 7

→

R$ 0,80

→

3 X R$ 0,80 = R$ 2,40

Assim três pedaços do bolo custariam R$ 2,40. Olhando o passado!

Matemático tem cada idéia! Veja o problema histórico criado para justificar a regra de sinais . (–) x (–) = (+) “Eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas. Assim, fiquei 12 moedas mais rico”. “perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas”  (– 3) x (– 4) = 12.

Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda. a b

c

a d

ad

d

b c

bc

÷ = ⋅ =

com b, d e c diferentes de zero.

Unidade 1

37


Resolva as operações indicadas: a)

2 3

5

2 4

2.4

4

3 5

3.5

÷ = ⋅ =

=

8 15

1

b)

2 3

1 5

1.5

2 3

2.3

= ⋅ =

=

5 6

5

c)

5 9

−5 5 −6 5. − 6 −30 ÷5= −6 ÷3= −2 ÷ = ⋅ = = = = 6

9 5

9.5

45

÷5 =

9

÷3=

3

Pare! Revise!

Você não pode fazer uma divisão por zero. Por exemplo, não é possível dividir dois por zero: 2 ÷ 0 pois se 2 ÷ 0 = x, então x . 0 = 2. Não existe número que multiplicado por zero seja igual a 2.

Após tratar das operações de multiplicação e divisão com números reais, é possível introduzir um importante conceito, utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a porcentagem. É comum você se deparar com expressões do tipo: 

a inflação no último mês foi de 4% (quatro por cento);



promoção: descontos de 30% à vista;



o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%.

Mas o que isso significa?

A porcentagem é uma forma de comparar números usando a proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão centesimal a um valor. Como o nome já diz é por 100 ou sobre 100. 38


Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a , à razão x , é x x a . 100

100

Indica-se a expressão

x 100

por x %.

Para entender melhor, veja a aplicação deste conceito nos exemplos apresentados.

Exemplos 1) Calcule 10% de 500. A razão centesimal é dada por 10% =

10 100

. Portanto,

10% de 500 →

10 100

5000

⋅ 500 =

100

= 50 .

2) Calcule 25% de 210. Neste caso, a razão centesimal é dada por 25% =

25 100

. Portanto,

25% de 210 →

25 100

5250

⋅ 210 =

100

= 52, 5 .

3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4? Equacione a taxa indicada como x 100

=

3 4

= 3 ⋅100 4 x = 300 4 x

300

x

=

x

= 75 .

4

Então a taxa é de 75%. Unidade 1

39


4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço de suas mercadorias vendidas a vista. Se uma camisa custa R$ 90,00, qual será o seu valor com o desconto? O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00. Assim teremos: 10% de 90 →

10

⋅ 90 =

100

900 100

= 9.

Isto significa que a camisa custará R$ 9,00 a menos. Portanto, o preço a ser pago é de R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.

Parada recreativa

Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu? Veja de novo o que estava em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.”

Vamos identificar por V o tempo de vida de Diofanto, medido em anos. O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das frações indicadas. Assim, temos: V =

V 6

+

V 12

V

V

7

2

+ + 5+ + 4

Resolvendo a soma de frações, teremos: V 6 V 6

+ +

V

V

V

+ + − V = −9

12 7 V V

2 V

V

+ + − = −9

12 7 2 1 14V + 7V + 12V + 42V − 84V

= −9

84

−9V

= −9 84 V = 84 .

40


Determinando o valor de V, já é possível saber que Diofanto viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos: Menino

Rapaz

Antes de casar Filho nasceu Conviveu com o filho Morreu

84 6 84 12 84 7

= 14 anos

Até 14 anos

= 7 anos

14 aos 21 anos

= 12 anos

21 aos 33 anos

5 anos depois de casar 84 2

= 42 anos

4 anos depois da morte do filho

33 + 5 = 38 anos 38 aos 80 anos 80 + 4 = 84 anos

Seção 5 - Resolução de equações Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer o uso de objetos matemáticos, a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algoritmos numéricos, resolução de equações ou sistemas de equações. Para cada situação, usa-se a ferramenta matemática adequada, que poderá ser simples ou de nível mais complexo, como é o caso de derivadas e integrais (objetos matemáticos não estudados nesta disciplina). Os problemas considerados da área econômica, em geral, são modelados através de expressões algébricas resultando fórmulas práticas. Ao aplicar os dados, você fica diante de uma equação ou de um sistema de equações. É importante que neste momento você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o e 2o graus, pois estes conceitos serão amplamente aplicados no estudo das funções nas próximas unidades.

Unidade 1

41


Equação do 1o grau

A resolução de uma equação do 1o grau consiste na determinação da incógnita x , “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para tal, você precisa relembrar dois princípios: 

princípio aditivo da igualdade: adicionando (ou

subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, ao passar um número que está somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal; 

princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando

(ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, um número que está multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; já um número que está dividindo passa para o outro lado da igualdade multiplicando. Pare! Revise!

É usual utilizar letras para representar os valores que uma variável pode assumir. É comum, de forma mais tradicional, usar o termo “incógnita” para expressar o valor que é desconhecido e se procura saber.

Exemplos 1) Determine o valor da incógnita x das seguintes equações do 1o grau: a)

8 x + 4 = 12

8 x + 4 = 12

= 12 − 4 8 x = 8 8 x

42

8

x

=

x

=1

8


b) −3 x + 4 = −3

−3 x + 4 = −3 −3 x = −3 − 4 −3 x = −7 − 7 x = −3 7

x =

c)

2 7

3

x − 3 = 5 2 7

x − 3 = 5 2 7 2 7

x = 5 + 3 x = 8 x = 8 ⋅ x =

7 2

56

2 x = 28

2) O testamento de um moribundo impõe que, quando sua esposa, que está grávida, tiver um filho, este herdará 3 e a 4 1 viúva dos bens; mas se nascer uma filha, esta herdará 7 4 12 5 e a viúva dos bens. Como devem ser divididos os bens 12 no caso de nascer um casal de gêmeos?

Problema extraído de EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 1995, p. 314.

Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana. A solução considerada viável faz uma suposição satisfatória, pois, rigorosamente, não se poderia solucioná-lo já que não se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de filhos gêmeos (poderia, por exemplo, ser uma escolha aleatória). A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar: 

para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da viúva pois 3 = 3 × 1 4

4

Unidade 1

43




para uma filha o valor equivalente a 7 do valor da viúva 5 7 7 5 pois = × 12

5 12

Assim, é possível escrever a equação: 7

x + 3 x +

5

x =1

Considerando-se que a herança foi repartida para três pessoas (viúva, filho e filha), e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente proposta, na equação o valor de x representa a parte da viúva. Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios enunciados para a resolução de uma equação do 1o grau. Veja: x + 3 x +

7

x =1

5

5 x + 15 x + 7 x 5 27 x 5

=1 =1

27 x = 5 x =

5 27

.

Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma: A viúva receberá total.

5 27

dos bens, o que corresponde a 18,51% do

O filho recebe: o triplo de 5 = 3 × 5 = 15 dos bens, o que 27 27 27 corresponde a 55,56% do total. A filha recebe: 7 de 5 a 25,93% do total.

44

5 27

7

5

5

27

= ×

=

7 27

dos bens, o que corresponde


Equação do 2o grau

Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes cálculos. A fórmula mais conhecida é a fórmula de Bhaskara: −b ± ∆ −b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c x = = 2⋅a 2⋅a −b + b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x1 = 2⋅a −b − b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x2 = 2⋅a

Exemplos 1) Resolva as equações do 2o grau. a)

2 x 2 + 5 x − 3 = 0

x =

b)

−5 ±

16 − x 2

52 − 4 ⋅ 2 ⋅− 3 2⋅2

=

−5 ±

4

−5 + 7

x1

=

x2

=

4

25 + 24 2

1

4

2

= =

=

−5 ±

49

4

=

−5 ± 7 4

−5 − 7 −12 = = −3 4

4

=0 x =

−0 ±

x1

=

x2

=

02 − 4 ⋅ −1⋅16 2 ⋅ −1

8

−2

=

0 ± 64

−2

=

±8 −2

= −4

−8 =4 2 −

Unidade 1

45


2) Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as funções de demanda e oferta, sendo x a quantidade e y o preço: x 2 + 5 x − y + 1 = 0 2 x 2 + y − 9 = 0

Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equações dado. Isolamos y = 9 − 2 x2 e substituímos na primeira equação: x 2 + 5 x − (9 − 2 x 2 ) + 1 = 0 x 2 + 5 x − 9 + 2 x 2 + 1 = 0 3 x 2 + 5 x − 8 = 0

Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, temos: x =

−5 ±

52 − 4 ⋅ 3 ⋅ −8 2⋅3

=

−5 ±

−5 + 11

x1

=

x2

=

6

25 + 96 6

=

−5 ±

121

6

6

= =1 6

−5 − 11 −16 = 6

6

Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido ser representado por um número negativo. Assim, apenas nos interessa o valor de x 1 = 1. Substituindo x = 1 em uma das equações, temos: y = 9 − 2 x 2 y = 9 − 2 ⋅12 y = 9 − 2 y = 7

Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preço de equilíbrio e a quantidade para as funçõe de demanda e oferta apresentadas. 46


Parada recreativa

Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos? Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um quadrado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou em qualquer das diagonais for sempre a mesma. A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste. Fonte: Faculdades de Guarulhos. Disponível em: .

Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar o quadrado mágico proposto. Lembre-se de que ao multiplicar os valores das linhas, colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor. – 12

–1 6 –3

Unidade 1

47


Síntese Ao finalizar esta unidade você já pode dizer que conhece todos os números que são amplamente discutidos na Matemática e, muitas vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que os conceitos relacionados aos números, às frações e às operações são importantes para que você avance e amplie seus estudos na Matemática. Lembre-se de que a Matemática também é a base do curso que você está realizando, principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento do raciocínio lógico. Um bom profissional nos dias de hoje deve desenvolver várias habilidades e competências e, dentre elas, destaca-se a facilidade em resolver problemas. A Matemática pode ajudá-lo neste contexto. Pense nisto! Nas próximas unidades você irá estudar as funções. Até lá!

Atividades de auto-avaliação 1) Efetue as operações indicadas: a) b)

2 3 1 9

+

5

−

2

6

c) 10 ÷

7 3 4

d) 9 − e) f) 48

1 4

5

− 0, 3

3 1 4

4

×

3


7  3 +  ×   2  3 

1

g)

3

h)

4

÷

5 3

7

i)

6 7

10 j) 5 3

2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$ 1200,00. No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais

1 3

referente às férias.

Quanto ele recebe?

3) Mario trabalhou sete meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. Por isso, recebeu a quantia igual a

7 12

de um salário, correspondente à

parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?

4) Se

2 5

correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?

Unidade 1

49


5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que roda em média 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante?

6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio?

7) Uma mãe deu dinheiro aos três filhos, dizendo que era um terço para cada um. O primeiro filho gastou só um terço da sua parte. Que fração do total ele gastou?

50


8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de idade. Esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados?

9) Em uma aplicação financeira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, sendo descontada uma taxa anual fixa, relativa à administração, igual a 5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$ 6000,00 e aplica este dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo final?

10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de uma cidade, obteve-se o seguinte resultado: Candidato A Candidato B Indecisos

Número de pessoas 132 x 74

Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada.

Unidade 1

51


11) Um incêndio destruiu 30% da área verde em uma floresta. Se 20% desta floresta é formada por rios e riachos e o restante somente por área verde, qual o percentual da floresta atingida pelo fogo?

12) Resolva as seguintes equações: a)

3 x + 1 5

= − x

b) 3 x + 3 = −12 c)

2 x + 5 x − 4

=

1 2

d) x 2 + 2 x − 3 = 0

 

e) ( x − 3)  x +

1 

 = 0

2 

f) ( 2 x − 5 ) ( 4 − x ) = 0

52


Saiba mais Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a Matemática não está presente apenas nos livros, é a leitura do livro Mar Sem Fim, de Amyr Klink (veja a seguir a referência completa). Além de navegar junto com o autor, você poderá expandir seus conhecimentos e observará a Matemática presente em cada página, nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antártica! KLINK, Amyr. Mar sem fim: 360 º ao redor da Antártica. São Paulo: Companhia das Letras, 2000.

Unidade 1

53


54

UNIDADE 2

Funções Objetivos de aprendizagem 





Identificar funções presentes no cotidiano e que modelam situações-problema. Analisar representações gráficas dos diferentes tipos de funções. Analisar características e propriedades das funções.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Tipos de funções Seção 3 Propriedades e características Seção 4 Função inversa

2



Sexta-feira à noite, após uma semana inteira de trabalho, Ted e Mad encontram-se em um barzinho da cidade: – E aí, amigo, tudo bem? – Opa, rapaz, curtindo um happy hour? – Pois é, na verdade só estou dando uma passadinha para fazer uma hora. Tenho uma festa na família para hoje ainda. – De qualquer forma, sente aqui um pouquinho. O que você quer beber? – Um refrigerante, sabe como é, ainda vou dirigir! – Ok, garçom, manda um “refri” bem gelado. Em seguida chega o garçom, com o refrigerante e um copo de gelo. – Sabe, estes dias eu estava pensando: por que será que eles sempre trazem este copo com gelo? Percebi que as bebidas não estão tão geladas. Será que o custo é menor, desta forma? Vamos gastar menos energia elétrica e garantir a qualidade oferecendo gelo? 56


– Pois é, não sei não. Se pudéssemos modelar uma função que relacionasse todas as variáveis envolvidas, talvez chegássemos a alguma conclusão... – Seria necessário levar em consideração o tempo que a bebida precisa ficar no refrigerador, se o bar possui espaço suficiente para armazenar gelado tudo o que consome em uma noite, o preço do gelo, etc., etc., etc. – Acho que é uma função de várias variáveis, como dizia nosso professor de Matemática! – Tudo bem, tudo bem! Quem sabe em uma outra hora a gente aprofunda este assunto. Agora vamos brindar ao final de semana!

Seção 1 - Introdução Você já parou para pensar onde aparecem as funções em sua vida? Mas antes disso, você sabe realmente o que é uma função?

Você pode pensar, intuitivamente, que uma função é uma relação entre variáveis. Assim, por exemplo, podemos dizer que a temperatura depende da umidade relativa do ar, da localização que está sendo considerada, da altitude, da presença de um ar condicionado, entre outras coisas. É possível dizer, de forma simplificada, que a temperatura é uma função destas variáveis elencadas, ou seja, Temperatura = f (umidade relativa do ar, localização, altitude, ar condicionado).

Unidade 2

57


Esta pode ser uma função que envolve muitas variáveis. Perceba que Ted e Mad também identificaram uma relação entre variáveis. Se analisarem com mais detalhes, podem até modelar uma função que auxilie o dono do bar na tomada de decisão sobre a questão levantada. Para entender as funções de muitas variáveis, é importante que você conheça, num primeiro momento, algumas funções mais simples, chamadas de funções de uma variável. São também relações que envolvem apenas duas variáveis: uma dita dependente e outra dita independente.

– Que tal um exemplo? Existem inúmeras situações que envolvem estas funções de uma variável, por exemplo: o espaço percorrido por um automóvel depende do tempo;  a área de uma sala quadrada depende da medida do seu lado; 



o custo de fabricação de um produto depende do número de unidades produzidas.

Nos exemplos colocados, é possível identificar as variáveis dependentes e independentes: 

variáveis dependentes: espaço percorrido, área da sala,

custo de fabricação do produto;



variáveis independentes: tempo, medida do lado da sala,

número de unidades produzidas.

Para modelar essas situações, são utilizadas funções do tipo y = f (x), sendo x a variável independente e y a variável dependente. Para definir uma função é necessária a existência de dois conjuntos e uma relação específica entre eles. A Figura 2.1

58


mostra diagramas que representam os dois conjuntos e a relação em três diferentes situações. Observe que: 





a)

todos os elementos do conjunto A têm um único correspondente no conjunto B; no conjunto D você pode ter elementos que são correspondentes de mais de um elemento no conjunto C; no conjunto F você pode ter elementos que não são utilizados na relação entre os dois conjuntos.

A 1 2

B

b)

2 4

Apresenta uma função de A em B: a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

C 1 2

0

D 2 4

Apresenta uma função de C em D. Pode-se dizer que 2 é imagem de 1 e 4 é imagem de 0 e 2, ou f (1)= 2 f (0)= f (2) = 4.

c)

E 1 2

F 2 7 4

Apresenta uma função de E em F. O conjunto F tem um elemento que não é imagem da função.

Figura 2.1 – Diagramas com funções

Definição de função Formalmente podemos definir função da seguinte forma: Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números reais. Uma função f : A → B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B.

Unidade 2

59


Linguagem simbólica: f : A → B x 

f

A → B

ou x  y = f ( x)

f ( x)

Podemos dizer que uma função definida no conjunto dos reais é uma relação específica, pois estamos diante de um subconjunto do produto cartesiano R x R. Assim, a representação gráfica de uma função y = f (x ) é o conjunto dos pares ordenados (x , f (x )), e para cada valor de x existe um único correspondente y . É usual identificar: Domínio de uma função : conjunto em que a função

é definida (conjunto A). Contra-domínio de uma função : conjunto em que a

função toma valores (conjunto B). Conjunto imagem de uma função ou simplesmente

imagem da função: conjunto dos valores f (x ).

Pare! Observe!

Na linguagem mais coloquial é usual confundir as notações f com f (x ): f é a função f : A → B , enquanto que f (x ) é o valor que a função assume em x . Costumase falar que f(x) é a imagem de x.

Olhando o passado!

Euler foi um escritor prolífico da história da Matemática. Sua produtividade surpreendente não foi prejudicada quando ficou cego. Publicou 530 trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos publicados após a sua morte. É muito grande a sua contribuição para a matemática. Destaca-se aqui a sua autoria por notações matemáticas que permanecem imutáveis através dos séculos. Por exemplo, a notação de funções y = f (x ) .

60


Acompanhe os exemplos a seguir:

Exemplos 1) Considere as funções apresentadas na Figura 2.1. Determine o domínio D( f ), o contra-domínio CD( f ) e o conjunto imagem Im( f ). a)

b)

c)

f : A → B

f : C

D(f) = {1,2}

D(f) = {0,1,2}

D(f) = {1,2}

CD(f) = {2,4}

CD(f) = {2,4}

CD(f) = {2,4,7}

Im(f) = {2,4}

Im(f) = {2,4}

Im(f) = {2,4}

→D

f : E → F

Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais. Neste caso, as funções são ditas reais com variáveis reais e a representação usual é a representação algébrica da lei de formação que define a relação entre os conjuntos. 2) Para cada uma das funções, identificadas a partir de sua representação algébrica, calcule a imagem nos pontos 1, –3e 1: 2

a) f (x ) = x – 1 Para calcular a imagem nos pontos indicados, é necessário fazer x = 1, x = – 3 e x = 1 . Assim, temos: 2

f (1) = 1 – 1 = 0 f (– 3) = – 3 – 1 = – 4 1 − 2 −1  1  1 f   = − 1 = = 2 2  2  2

Unidade 2

61


b)

g ( t ) = −t 2

Neste caso, vamos fazer t = 1, t = – 3 e t = 1 . Assim, 2 tem-se: g (1) = −12

= −1

g ( −3) = − ( −3)

2

= −9

2

1  1  g ( t ) = −   = − 4  2  Pare! Observe!

Veja a diferença entre a imagem e o conjunto imagem de uma função: o conjunto imagem são todos os pontos que a função pode assumir, ou seja, todos os valores que a variável y assume. A imagem é calculada para cada ponto identificado. Assim, é possível calcular

 1   , que serão, respectivamente,  2  1

f (1) , f ( −3) ou f 

a imagem da função no ponto 1, – 3 ou

2

.

Seção 2 - Tipos de funções Para fins didáticos é interessante que as funções sejam classificadas de acordo com algumas características. Nesta disciplina você terá a oportunidade de aprofundar o estudo das funções polinomiais do primeiro e segundo graus (unidades 3 e 4), das funções racionais e polinomiais com grau maior do que 2 (unidade 5), das funções exponenciais e logarítmicas (unidade 6) e, por fim, das funções trigonométricas (unidade 7). Neste momento, você terá apenas uma panorâmica geral destes tipos de funções, para que possa estudá-las separadamente nas demais unidades. Veja nas figuras 2.2 até 2.8 exemplos gráficos de diferentes tipos de funções. 62


Figura 2.2 - Função polinomial do primeiro grau

Figura 2.3 - Função polinomial do segundo grau

y = x + 1

y = x 2 + 1

Figura 2.4 - Função polinomial do terceiro grau

Figura 2.5 - Função racional

y = x3 + 1

y =

1 x + 1

Figura 2.6 - Função exponencial

Figura 2.7 - Função logarítmica

y = 2 x

y = log x Unidade 2

63


Figura 2.8 - Função trigonométrica

y = sen x

Olhando o futuro!

Existem vários softwares matemáticos que auxiliam no tratamento de gráficos de funções. Os gráficos apresentados neste material foram feitos no software GRAPH 2.6, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/graph/. Mas você pode utilizar qualquer outro software para fazer gráficos de funções. Experimente procurar na internet que você encontrará várias versões demo prontas para o download . Vale a pena tentar!

Olhando o presente!

Os problemas estão ao nosso redor mostrando exemplos de funções. Confira!

P1 – A equação de demanda de um produto é p

2

+ 2 p + 2 x − 24 = 0 ,

sendo p o preço de uma unidade x da mercadoria e o número de unidades da mercadoria. Se o produto fosse de graça, qual seria a demanda?

Para resolver este problema, é importante entender o que é a equação de demanda. Num primeiro momento, perceba que estamos trabalhando com duas variáveis: 

64

p é o preço de uma unidade da mercadoria;




x é a quantidade de mercadoria demandada.

Usando métodos estatísticos e dados econômicos, você pode montar uma equação de demanda que pode representar funções do tipo p = f ( x) (função preço) ou x = g ( p) (função de demanda). Em situações econômicas normais, o domínio dessas funções é um subconjunto dos números reais não negativos. Ao fazer o gráfico dessas funções é usual na área de Economia representar a variável p no eixo horizontal e a função fica definida em intervalos convenientes. Podemos considerar também a equação de oferta envolvendo as variáveis: 



p é o preço de uma unidade da mercadoria; x é a quantidade de mercadoria a ser ofertada por um produtor. Numa situação econômica normal esta função é crescente. Quando o preço da mercadoria aumenta, o produtor aumentará a oferta para tirar vantagem dos preços altos. A curva da demanda é decrescente, pois quando o preço aumenta a procura do produto diminui.

O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um dado preço, é igual à quantidade de mercadoria ofertada àquele preço. Em outras palavras, o equilíbrio de mercado ocorre quando tudo que é oferecido para a venda de um determinado preço é comprado.

No decorrer deste texto vamos voltar a discutir esse tipo de problema, que pode ser modelado por funções polinomiais.

Unidade 2

65


A partir destas considerações, podemos definir a demanda, para a situação apresentada em P1, caso o produto fosse de graça. A representação gráfica da função definida a partir da equação de demanda p 2 + 2 p + 2 x − 24 = 0 poderá auxiliar neste momento. Podemos determinar a função de demanda dada por x = f ( p ) e, para isto, vamos isolar a variável x na equação de demanda do produto: p 2 + 2 p + 2 x − 24 = 0. 2 x = − p 2 − 2 p + 24 x =

− p 2 − 2 p + 24

x =

2

−1 2

p 2 − p + 12

Usando um software matemático, podemos fazer o gráfico da função x = −1 p 2 − p + 12 , conforme mostra a Figura 2.9: 2

Figura 2.9 – Curva de demanda do produto

Olhando para o gráfico da Figura 2.9 é possível determinar que, se o produto fosse de graça, ou seja, a variável p = 0 , o valor 66


da variável x seria igual a 12, ou seja, a demanda seria de doze unidades do produto analisado. É possível encontrar este valor de forma algébrica, fazendo p = 0 na função encontrada: x = x =

−1

p 2 − p + 12

2

−1

⋅ 02 − 0 + 12

2 x = 12 .

Seção 3 - Propriedades e características Quando você for trabalhar com funções, é importante que reconheça as diversas linguagens utilizadas em sua representação. Em especial, nas representações gráficas é possível visualizar propriedades e características das funções sem a necessidade de desenvolvimentos algébricos mais elaborados. Veja a seguir a formalização das principais propriedades e características das funções, que serão estudadas de forma específica para cada tipo de função nas próximas unidades. Representação algébrica

É a lei de formação da função. Usualmente utiliza-se a notação y = f ( x ) .

Representação gráfica

É o gráfico da função no sistema cartesiano de coordenadas.

Domínio

São os valores que a variável independente pode assumir. Na representação gráfica, é possível identificá-lo a partir da análise do eixo x .

Conjunto imagem

São os valores que a variável y assume. Na representação gráfica, é possível identificá-lo a partir da análise do eixo y .

Zero ou raiz

Quando igualamos a lei de formação a zero ( y =0 ), haverá um valor correspondente de x . Assim, o(s) valor(es) de x tais que f ( x ) = 0 será(ão) o(s) zero(s) da função. Graficamente é o ponto em que o gráfico corta o eixo x .

Unidade 2

67


Sinal de uma função

O sinal de uma função é dado pelo sinal da imagem da função. Quando os valores de y assumem sinal positivo, dizemos que f ( x ) > 0 , ou seja, a função assume sinal positivo. Quando os valores de y assumem sinal negativo, dizemos que f ( x ) < 0 , ou seja, a função assume sinal negativo. Graficamente, a função é positiva acima do eixo x e é negativa abaixo dele.

Uma função é crescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2 , com x1 < x2 , Crescimento ou decrescimento tivermos f ( x1 ) < f ( x2 ) . Uma função é decrescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2 ,com x1 < x2 , tivermos f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Olhando o presente!


P2 – Numa indústria, verificou-se que, se o preço de uma peça fosse

igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. Quando o preço passou a ser R$4,50, as encomendas passaram para 60 unidades por dia. Como podemos representar a função de demanda desta peça?

Para resolver este problema, vamos inicialmente fazer o gráfico da função p = f ( x ) , sendo p o preço e x a quantidade ofertada. Com os dados do problema, podemos dizer que esta função passará pelos pontos (50;5) e (60;4,5), conforme mostra o gráfico da Figura 2.10.

Figura 2.10 – Representação gráfica da função de demanda da peça

68


Para esta função, vamos analisar suas propriedades e características: Representação algébrica

A lei de formação desta função é dada por p = −0, 05 x + 7, 5 .


Veja a Figura 2.10.

Domínio

A variável x assume valores que vão de 0 até 150. Portanto temos: D ( f ) = x ∈ [0,150 ] . Observe que na prática x é um número inteiro, mas na área econômica esse formalismo é relaxado.

Conjunto imagem

Analisando o eixo vertical do gráfico, podemos perceber que a variável p assume valores que vão de 0 até 7,5. Portanto, temos: Im ( f ) = p ∈ [0; 7, 5] .

Zero ou raiz

O zero da função é o ponto cujo gráfico corta o eixo horizontal, ou seja, o eixo x . Nesta função, isto acontece quando x = 150.

Sinal de uma função

Esta função é positiva em (0 ,150 ), pois seu gráfico está todo acima do eixo x . É uma função decrescente, pois à medida em que os valores de x aumentam, os valores de p diminuem. Dos dados do problema podemos mostrar que, se x1 = 50 e x2 = 60 , com x1 < x2 , teremos:

Crescimento ou decrescimento

f ( x1 ) = 5 f ( x2 ) = 4, 5 f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Olhando o futuro!

Estamos de forma sistemática incentivando o uso de softwares.Veja, no exemplo desenvolvido, a expressão que define a lei de formação foi fornecida pelo software usado (GRAPH). Colocamos os pontos dados usando a ferramenta Function e Insert point series. Para fazer o traçado do gráfico usamos um ajuste de curva usando a ferramenta Function e Insert trendline escolhendo a opção linear . Se você ainda não dispõe de um software não perca tempo, pesquise o mais rápido possível um software livre na internet, pois ele vai ser seu ajudante no decorrer desta disciplina.

Unidade 2

69


Seção 4 - Função inversa Ao definirmos uma função y = f ( x ) na forma f : A → B , ressaltou-se que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B . Em algumas funções, para cada y ∈ B existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f ( x ) . Nestes casos, define-se uma função g : B → A na forma x = g ( y ) . A função g é dita inversa de f , e é denotada por

f −1 .

Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por exemplo, não possuem inversa a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contradomínio. Acompanhe com atenção os exemplos para entender o procedimento de determinação da função inversa.

Exemplos 1) Determine a função inversa de f ( x ) = 2 x − 1 . Para determinar a representação algébrica da função inversa de f (x ), troca-se o x pelo y na função dada, lembrando que podemos escrever y = f ( x ) , ou seja, y = 2 x − 1 . Assim tem-se: x = 2 y − 1

Isolando a variável y determina-se a função inversa: x + 1 = 2 y y =

Portanto,

70

−

f 1

=

x +1 2

.

x +1 2

.


2) Determine a representação representação algébrica da função inversa de 1 y = . x

Também neste exemplo Também exemplo vamos trocar o x pelo pelo y na na forma algébrica da função: x =

1 y

Isolando a variável y determina-se determina-se a função inversa: x ⋅ y = 1 y =

1 x

Portanto, y −1 = 1 . x

3) Determine a representação representação grá gráfica fica função inversa de f (x ),), cujo gráfico pode ser visualizado na Figura 2.11.

Figura 2.11 2.11 – Gráfico da função f (x )

Unidade 2

71


O procedimento procedimento de trocar troca r o x pelo pelo y quando quando se tem o gráfico também ta mbém pode ser realizado. Como temos uma reta, podemos marcar os pontos que cortam cortam os eixos ei xos para que a reta final seja traçada. Assim, a função inversa deve passar pelos pontos (0,1) e (–3,0), já que a função passa pelos pontos (1,0) e (0,–3). Acompanhe na Figura 2.12 os pontos pontos marcados para que se possa p ossa traçar a reta da função inversa.

Figura 2.12 – Gráfico da função f (x )

Por fim, na Figura 2.13 você pode visualizar a representação gráfica da função f (x ) e de sua inversa, representada por f −1 ( x ) . Vale Vale destacar que há um eixo de simetria entre os dois gráficos que é dado pela reta y = x .

Figura 2.13 – Gráfico das funções f (x) e f –1(x )

72


4) Verifique a existência da função inversa de y = x2 − 4 x + 3 . Faça sua representação gráfica, caso exista. Veja na Figura Fig ura 2.1 2 .144 a representação gráfica grá fica da função f unção 2 y = x − 4 x + 3 :

Figura 2.14 – Gráfico da função y = x 2 − 4 x + 3

Na função do segundo grau é necessário realizar uma restrição no domínio, pois para cada y ∈ B existe mais de um x ∈ A correspondente. Veja no gráfico que quando y = 3 ⇒ x = 0 ou x = 4 . Portanto, a função Portanto, f unção inversa só poderá ser identificada caso haja uma restrição no domínio da função. Suponha que a f : [ 2, +∞ ) → R. Veja na função passe a ser definida como f : Figura 2.15 o gráfico da função:

Unidade 2

73


Figura 2.15 – Gráfico da função y = x 2 − 4 x + 3 definida de [ 2, +∞ ) → R

Graficamente, a função inversa é simétrica à função y = x 2 − 4 x + 3 definida de [ 2, +∞ ) → R, em relação à reta y = x . Veja Veja a representação gráfica das duas funções f unções na Figura 2.16.

f : [ 2, +∞ ) → R, y = x 2 − 4 x + 3 e sua inversa Figura 2.16 – Função f :

74


Na Unidade Unidade 6 você estudará estuda rá que as funções f unções exponenciais e logarítmicas podem ser definidas uma como a inversa da outra. Parada recreativa

Malba Tahan foi um escritor famoso por suas atividades recreativas envolvendo a matemática. Veja se você consegue resolver a seguinte situação apresentada para “o calculista” – figura criada por este autor. Como pagamento de pequeno lote de carneiros, três criadores de Damasco receberam 21 vasos de vinho:  7 cheios; 

7 meio-cheios;



7 vazios.

Como dividir em partes iguais, de forma que cada um deles receba o mesmo número de vasos e a mesma quantidade de vinho, sem abrir os vasos? Fonte: Faculdades de Guarulhos. Disponível em: .

Síntese Ao finalizar esta unidade é importante que você perceba que está com uma ferramenta ferra menta matemática matemática poderosa e muito útil na modelagem de problemas práticos. O detalhamento detal hamento dos itens itens que foram aqui mostrados será apresentado no decorrer das próximas unidades. Mas não siga adiante sem antes sanar todas as suas dúvidas. Procure o seu professor tutor! A próxima unidade tratará das funções do primeiro grau. Até mais!

Unidade 2

75


Atividades de auto-avaliação 1  1) Calcule f ( 0 ) e f   2  para as funções representadas algebricamente   por:

b) f ( x ) =

a) f ( x ) = x 2 − x + 1

x +1 x − 1

2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um produto é dada por C ( q ) = q 3 − 10q 2 + 100q + 100 , sendo q o número de unidades do produto. a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades. b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade?

3) Sejam as funções representadas graficamente nas figuras 2.17 e 2.18:

Figura 2.17 - Gráfico de f (x )

76


Figura 2.18 - Gráfico de g(x)

Complete a tabela com as características e propriedades das funções f (x ) e g (x ). g(x)

f(x) Domínio

Conjunto imagem

Zero ou raiz

Sinal da função

Intervalo de crescimento

Intervalo de decrescimento

4) Determine a representação algébrica da função inversa de: a) f ( x ) = x + 3 2

b) y = 4 − 5 x

Unidade 2

77


Saiba mais Em todas as áreas do conhecimento as funções são usadas para modelar fenômenos físicos e naturais. A leitura de gráfico é requerida em quase todas as áreas. Para saber mais sobre a aplicação das funções na área biológica, visite o site http://www.virtual.epm.br/material/tis/curr-bio/ trab2003/g5/, que apresenta vários gráficos lidos e interpretados por médicos no contexto da cardiologia.

78

UNIDADE 3

Função do primeiro grau Objetivos de aprendizagem 





Identificar uma função do primeiro grau através de sua forma algébrica. Conhecer e analisar o gráfico de uma função do primeiro grau. Aplicar as funções do primeiro grau em situações reais.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Gráfico da função do primeiro grau Seção 3 Propriedades e características Seção 4 Aplicações

3



Ted e Mad encontram-se no shopping: - E aí, amigo, tudo bem? - Opa, rapaz, passeando um pouquinho? - Pois é, vim ver umas coisas e aproveitar para visitar o amigo, agora empresário. Como vão os negócios? - No começo um pouco difíceis, os custos são grandes e as vendas, nem tanto. - É mesmo? - Tenho todo mês um custo fixo, com luz, aluguel, salário dos empregados, mais o custo variável para a compra de estoque. - É, mas conhecendo o seu faro para negócios tenho certeza de que a receita supera o custo. - Ainda bem que sim, lucro sempre é bom. - Mas é isso. Sucesso e até mais. - Um abraço e passe aqui para gastar um pouquinho. 80


Seção 1 - Introdução Você percebeu no diálogo entre os nossos amigos Ted e Mad a menção de alguns termos muito comuns no mercado econômico, como receita , custo e lucro. Todos estes termos podem ser analisados através de formas algébricas que são funções do 1° grau. Pare! Revise!

Lembre-se de que receita é tudo que se ganha, custo é aquilo que se paga e o lucro é obtido diminuindo o custo da receita.

Olhando o presente!


P1- Uma floricultura tem como principal produto buquês de rosas que

são vendidos a R$ 25,00 cada buquê. A despesa mensal com aluguel, luz e funcionários é de R$ 2000,00. O custo para compor cada buquê é de R$ 15,00. Escreva a função receita, custo e lucro e calcule quantos buquês devem ser vendidos para que a receita seja igual ao custo, ou seja, para que o lucro seja zero. P2- Suponha que um retângulo tem lados iguais a x e x + 2. Qual a

função que nos dá o perímetro deste retângulo?

Para resolver estes problemas é importante você relembrar os conceitos relacionados com as funções de primeiro grau. Definição: Chama-se de função do primeiro grau a

função que associa cada número real x , o número real a . x + b com a ≠ 0.

Unidade 3

81


Linguagem simbólica:

f : R → R f(x) = a . x + b sendo a , b ∈ R com a ≠ 0

Os números reais a e b são chamados de coeficiente angular e coeficiente linear , respectivamente. As funções do primeiro grau podem ser classificadas de acordo com os valores assumidos por a e b, veja a tabela a seguir: Condição dos coeficientes

Representação algébrica

Nome da função

a ≠ 0 e b ≠ 0

f(x) = a . x + b

Função afim

b = 0

f(x) = a . x

Função linear

b = 0 e a = 1

f(x) = x

Função identidade

Pare! Observe!

Observe que a função do primeiro grau chamada de identidade é única, ou seja, existe apenas um caso em que b = 0 e a = 1.

Exemplos 1) Classifique as seguintes funções quanto ao seu tipo: f ( x) = −2 x

Função linear

b) g ( x) = 1 x − 9

Função afim

c) y = x

Função identidade

a)

d)

2

r (t ) = 4 − 7t

Função afim

2) Escolha um número qualquer, multiplique por dois e some dez. Escreva esta regra como uma função do primeiro grau na forma algébrica. Escolher um número: x 82


Multiplicar por dois: 2 . x Somar dez: 2 . x + 10 Assim, temos: f(x) = 2 . x + 10. Esta função associa cada número x ao seu dobro mais 10. 3) Escreva a forma algébrica de uma função f que associa a cada número a sua metade e do resultado subtrai seis. Em seguida calcule f (– 2), f (0) e f (2). f ( x) =

1 2

f ( −2) = f (0) =

1

f ( 2) =

1

2

2

x − 6 é 1 2

a função pedida

⋅ (−2) − 6 = −1 − 6 = −7

⋅ 0 − 6 = 0 − 6 = −6 ⋅ 2 − 6 = 1 − 6 = −5

4) Agora você já está apto a resolver o problema inicial P1, da venda de buquês em uma floricultura. Considere x a quantidade de buquês vendidos no mês. Como cada buquê é vendido a R$ 25,00, temos que a receita total no fim do mês é dada por 25 . x , logo R(x ) = 25 . x

Esta é uma função do primeiro grau do tipo linear. O custo total da floricultura é a soma do custo variável e do custo fixo. Como gastam-se R$ 15,00 para a confecção de cada buquê, segue que o custo variável é de C V = 15 . x . Já o custo fixo é de C F = 2000, logo o custo total é dado por: C = C V + C F C (x ) = 15 . x + 2000 Unidade 3

83


Esta é uma função do primeiro grau do tipo afim. Agora para obter a função que nos dá o lucro total da floricultura, basta subtrair o custo da receita, ou seja, L(x ) = R(x ) – C (x ) L(x ) = 25 . x – (15 . x + 2000) L(x ) = 10 . x – 2000

Esta também é uma função do 1° grau do tipo afim. Falta agora calcularmos a quantidade vendida para que a receita seja igual ao custo, ou seja, o lucro seja zero. Se L(x ) = 0, então 10 . x – 2000 = 0. Resolvendo esta equação temos que x = 200. Assim, concluímos que, se a venda for inferior a 200 unidades, então a floricultura ainda está tendo prejuízo e, se a venda for maior que 200 unidades, os lucros começam a aparecer. Pare! Observe!

O ponto em que a receita coincide com o custo, ou seja, o ponto em que o lucro é zero, é chamado de ponto de nivelamento. Os economistas usam a expressão break even point .

No início desta seção tínhamos um outro problema a ser resolvido, que era o cálculo do perímetro de um retângulo. Pare! Revise!

Você lembra como calcular o perímetro de um retângulo? É muito simples, basta somar todos os lados. Assim, de maneira mais formal, definimos que o perímetro de um retângulo é a soma dos seus lados.

84


Agora já podemos encontrar a função que nos dá o perímetro de um retângulo que tem dimensões x e x + 2. Assim, P = x + x + (x + 2) + (x + 2) P = 4 . x + 4

Usando a notação de função temos que P (x ) = 4 . x + 4.

Seção 2 - Gráfico da função do primeiro grau Nesta seção você vai estudar a representação gráfica da função do primeiro grau. Olhando o presente!

Novas situações-problema para a nossa análise, observe.

P3 - Suponha que você tenha dois pontos no plano cartesiano. Como

obter a lei de formação da função do primeiro grau? P4 – Como analisar a representação gráfica da função lucro obtida no

problema P1?

Para obter a representação gráfica de uma função do primeiro grau, fazemos o uso de uma tabela de valores, para em seguida colocar os pontos obtidos no plano cartesiano. Olhando o passado!

Dizem que uma mosca pode ter motivado a notação do sistema cartesiano. O matemático René Descartes observava uma mosca que caminhava no forro de seu quarto, junto a um dos cantos. Chamou sua atenção o fato de que o caminho da mosca sobre o forro poderia ser descrito se as distâncias até as paredes adjacentes fossem conhecidas.

Unidade 3

85


Exemplos 1) Represente graficamente a função y = x + 2. Inicialmente, constrói-se uma tabela atribuindo valores para x e determinando os valores de y correspondente. x

y = x + 2

(x, y)

–2

y = – 2 + 2 = 0

(-2,0)

–1

y = –1 + 2 = 1

(-1,1)

0

y = 0 + 2 = 2

(0,2)

1

y = 1 + 2 = 3

(1,3)

2

y = 2 + 2 = 4

(2,4)

Note que a cada par ordenado (x, y ) corresponde um ponto no plano cartesiano. Assim obtém-se o gráfico mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1 – Gráfico da função y = x + 2

Pare! Observe!

Note que uma reta pode ser definida por apenas dois pontos. Logo, basta determinar dois pontos para a construção do gráfico de uma função do primeiro grau.

86


2) Represente graficamente a função y = x . x

y = x

(x,y)

0

y = 0

(0,0)

1

y = 1

(1,1)

O gráfico desta função é mostrado na Figura 3.2.

Figura 3,2 – Gráfico da função y = x

Olhando o futuro!

Os gráficos mostrados nas figuras 3.1 e 3.2 podem ser gerados por softwares matemáticos. Você pode utilizar qualquer software para fazer gráficos de funções. Experimente procurar na internet que você encontrará várias versões demo prontas para o download . Vale a pena tentar!

Apesar de estes programas nos auxiliarem na construção dos gráficos, é bom saber fazer esboços sem ajuda tecnológica, pois a construção manual possibilita a identificação de características da função. Agora que você já sabe como fazer o gráfico de uma função do primeiro grau, já podemos retornar às situações P3 e P4 do início da seção.

Unidade 3

87


A situação P3 requer que definamos a lei de formação de uma função do primeiro grau conhecendo apenas dois pontos. Considere uma reta que passa pelos pontos (– 1,3) e (2,4). Visualize esta reta na Figura 3.3.

Figura 3.3 – Gráfico da reta que passa pelos pontos (– 1,3) e (2,4)

A lei de formação é dada por f (x ) = a . x + b. Temos que: 

A imagem de -1 é 3, logo f (– 1) = a . (– 1) + b = 3



A imagem de 2 é 4, logo f (2) = a . 2 + b = 4

Agrupando estas equações, temos o seguinte sistema:  −a + 2 ⋅ a + 

b b

= =

3 4

Resolvendo este sistema, tem-se que a = 1 e b = 10 . 3

3

Logo a lei de formação da função é dada por f ( x) = 1 ⋅ x + 10 . 3

3

Voltamos à resolução do problema P4 para analisar a representação gráfica da função lucro obtida no problema P1. Lembre-se de que, de acordo com o problema P1, temos que L(x ) = 10 . x – 2000. Note, inicialmente, que para fazer o gráfico desta função devemos ter que x ≥ 0, pois x representa quantidade,

88


logo o gráfico de L está todo à direita do eixo y . Veja o gráfico na Figura 3.4.

Figura 3.4 – Gráfico da função L(x ) = 10x – 2000









O coeficiente linear é igual b = – 2000, isto é, o gráfico de L, toca o eixo y no ponto (0, – 2000). Neste ponto nada foi vendido. O ponto (200,0) é onde a reta corta o eixo x . Assim, x = 200 é o ponto tal que a receita é igual ao custo. Quando x < 200, temos prejuízo, o gráfico está abaixo do eixo x . Quando x > 200, obtemos lucro efetivo, o gráfico está acima do eixo x .

Seção 3 - Propriedades e características A forma algébrica de uma função do primeiro grau nos leva a uma série de conclusões sobre a função, mesmo sem termos a sua representação gráfica. Algumas características que serão analisadas apenas olhando sua representação algébrica são: domínio, imagem, zero da função, crescimento e decrescimento e sinal da função. Unidade 3

89


Para a análise completa vejamos a comparação entre duas funções do primeiro grau representadas nas figuras 3.5 e 3.6.

Figura 3.5 – Gráfico de f (x ) = 2x + 4

Figura 3.6 – Gráfico de f (x ) = – 2 x + 4

O que vamos observar?

f (x ) = 2x + 4

f (x ) = – 2 x + 4


É uma reta

É uma reta

Domínio

Conjunto dos números reais Conjunto dos números reais

Imagem

Conjunto dos números reais Conjunto dos números reais

Zero ou raiz: ponto onde o gráfico

corta o eixo dos x , isto é, f (x ) = 0

2x + 4 = 0 ⇒ x = – 2

– 2x + 4 = 0 ⇒ x = 2

Crescimento e decrescimento :

a análise é feita através do sinal do coeficiente angular. Se a < 0, a função é crescente e se a > 0, a função é decrescente.

Como a = 2 > 0, segue que Como a = – 2 > 0, segue a função é crescente. que a função é decrescente.

Sinal da função: análise da imagem

da função. Como f (x ) = a . x + b, segue que f (x ) > 0, quando a . x + b > 0, ou x > −

b a

e f (x ) < 0 se x < − b .

f (x ) = 2 . x + 4 > 0 se x > – 2 e f (x ) = 2 . x + 4 < 0 se x < – 2

f (x ) = – 2 . x + 4 > 0 se x < 2 e f (x ) = – 2 . x + 4 < 0 se x > 2

a

Note que todas estas características podem ser visualizadas diretamente com a análise gráfica.

90


Exemplos 1) Considere a função lucro do problema P1. Analise suas propriedades e características. Temos que L( x) = 10 ⋅ x − 2000 (veja o gráfico na Figura 3.4). Note pelo gráfico que: 









O domínio é dado por: A imagem é dada por y ≥ −2000 .

D ( L) = [0, +∞) , isto é, x ≥ 0 .

Im( L) = [ −2000, +∞) , isto é,

O zero desta função é quando x = 200 .

L( x) = 0 , neste caso

Esta função é crescente, pois a = 10 > 0 A função é positiva quando x > 200 e negativa quando x < 200 .

2) Seja

f ( x) = −3 x + 9 . Determine:

a) O gráfico de

f ( x) .

b) O ponto em que a reta cruza o eixo x. c) O ponto em que a reta cruza o eixo y. d) A função é crescente ou decrescente?

Unidade 3

91


a) A Figura 3.7 apresenta a visualização gráfica de f ( x) = −3 x + 9 .

Figura 3.7 – Gráfico da função f ( x) = −3 x + 9

b) O ponto em que a reta cruza o eixo x é o ponto onde y = 0 , logo: −3 ⋅ x + 9 = 0 ⇒ −3 ⋅ x = −9 ⇒ x = 3

Assim, a reta corta o eixo x no ponto (3,0). c) O ponto em que a reta cruza o eixo y é o ponto onde x = 0, logo: y = −3 ⋅ 0 + 9 ⇒ y = 9

Assim, a reta corta o eixo y no ponto (0,9). Note que o valor 9 é perceptível na forma algébrica da função (coeficiente linear). d) A função é decrescente pois a = – 3 < 0.

92


Seção 4 - Aplicações Já notamos que algumas variáveis econômicas podem ser modeladas por meio de funções de primeiro grau, entre elas, a receita, o custo e o lucro.

Olhando o presente!

Veja a aplicação de demanda e oferta no mercado.

P5 – A quantidade demandada de um bem é dada por qd = 8 − 4 p e a quantidade ofertada é dada por qo = −2 + 6 p . Qual é preço ótimo em reais a ser cobrado para este bem, para que toda a oferta seja demandada, ou seja, a quantidade submetida ao mercado seja consumida?

O problema P5 faz menção a duas novas variáveis: quantidade demandada e quantidade ofertada . Veja a definição de ambas: Função demanda

A quantidade demandada de um determinado bem (q d ) depende do preço deste bem. É a quantidade que o consumidor está disposto a consumir. Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro grau. O coeficiente angular desta função é negativo, ou seja, a função é decrescente, isto é, à medida em que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui, e à medida em que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta. Os gráficos destas funções estão no primeiro quadrante, já que as variáveis envolvidas, preço e quantidade, são sempre maiores ou iguais a zero.

Unidade 3

93


Função oferta

A quantidade ofertada de um determinado bem (q o) depende do preço deste bem. É a quantidade que o comerciante deveria submeter ao mercado. Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro grau. O coeficiente angular desta função é positivo, ou seja, a função é crescente, isto é, à medida em que o preço aumenta, a quantidade ofertada também aumenta, e à medida em que o preço diminui, a quantidade ofertada também diminui. Os gráficos destas funções estão no primeiro quadrante, já que as variáveis envolvidas, preço e quantidade, são sempre maiores ou iguais a zero. Voltando ao problema P5. Note que as funções demanda qd = 8 − 4 p e oferta qo = −2 + 6 p estão de acordo com as definições acima. Primeiramente, veja o gráfico das duas funções, traçadas no mesmo sistema de coordenadas na Figura 3.8.

Figura 3.8 – Gráficos das funções qd

= 8 − 4 p e qo = −2 + 6 p .

Perceba que estas funções se interceptam em um ponto, que é chamado de ponto de equilíbrio, ou preço de equilíbrio. Neste ponto tudo que é ofertado é vendido; seria o preço ótimo do produto no mercado. Esta análise pode ser feita algebricamente

94


também. Como queremos que a quantidade demandada seja igual à quantidade ofertada, temos: qd

= qo

8 − 4 p = −2 + 6 p 10 p = 10 p = 1

Portanto, o preço de equilíbrio é de R$ 1,00. Para p = 1 , temos qd = qo = 4 . Isto quer dizer que, se o preço do bem for de 1 real, então se forem disponibilizadas quatro unidades no mercado todas são vendidas. Parada recreativa

Antes de apresentar sugestões para a sua auto-avaliação, vamos fazer um relaxamento. Ted e Mad no tempo de colégio gostavam de charadas e jogos. Mas nunca se entendiam. Dona Flor, mãe de Ted, nos contou que um dia eles ficaram várias horas discutindo sobre o tamanho das mesas que apareciam no calendário da sua cozinha. Ted afirmava que ambas as mesas tinham a mesma medida e Mad dizia que não. Afinal, quem estava com a razão?

Unidade 3

95


Síntese Nesta unidade você teve contato com as funções do primeiro grau e percebeu que muitas aplicações práticas do dia-a-dia são modeladas através destas funções, entre elas, as funções de oferta e demanda, além das funções receita, custo e lucro. Muitas das características destas funções podem ser visualizadas na representação gráfica, e neste caso o uso de softwares ajuda no desenvolvimento gráfico com uma apresentação de qualidade. Na próxima unidade você vai estudar as funções do segundo grau e perceber que algumas das funções, da área econômica, envolvidas nesta unidade também podem ser modeladas pelas funções do segundo grau. Até mais!

Atividades de auto-avaliação 1) Identifique as seguintes funções quanto ao seu tipo: a) f ( x) = −3 x b) h(t ) = 1 − 4t c) s (t ) = t d) g ( x) = 2 x + 1

96


2) Encontre a lei de formação para a função que associa a cada número x qualquer, um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5.

3) Na fabricação de um determinado bem, verificou-se que o custo total foi obtido a partir de uma taxa fixa de R$ 1.000,00, adicionada de um custo de produção de R$ 500,00 por unidade. Determine a função custo total em relação à quantidade produzida e o custo de fabricação de dez unidades.

4) Uma locadora de carros cobra R$ 50,00 pelo aluguel de um carro mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Determine: a) o preço a ser pago para rodar 10 km; b) o preço a ser pago para rodar 35 km; c) a função que modela esta situação.

5) Seja s (t ) = −4 + 8t . Determine: a) o gráfico de s (t ); b) o domínio e a imagem de s (t ); c) se a função s (t ) é crescente ou decrescente; d) o sinal da função s (t ).

Unidade 3

97


6) Uma pequena fábrica de móveis tem como seu principal produto a fabricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 25,00. A fábrica tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00 em aluguel e máquinas, conta de luz, compra de material e pagamento de funcionários. A mesma gasta R$ 15,00 para fabricar cada banqueta. Determine: a) a função receita total e custo total; b) a função lucro total; c) o ponto de nivelamento; d) se a fábrica terá lucro ou prejuízo com a venda mensal de 500 banquetas; e) a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ 1.000,00; f) o lucro para a venda de 760 banquetas mensais.

7) A quantidade demandada de um bem é de qd = 5 − p e a quantidade ofertada é de qo = −1 + 2 p . Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente.

98


Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções do primeiro grau, recomendamos a leitura do livro: FLEMMING, D. M.; LUZ, E. F. Representações gráficas. São José: Saint Germain, 2003. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas através da leitura gráfica. Bom trabalho!

Unidade 3

99


100

UNIDADE 4

Função do segundo grau Objetivos de aprendizagem 





Identificar uma função do segundo grau através de sua forma algébrica. Conhecer e analisar o gráfico de uma função do segundo grau. Aplicar as funções do segundo grau em situações reais.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Gráfico da função do segundo grau Seção 3 Propriedades e características

4



Ted e Mad encontram-se num passeio no campo: - Como é bom viajar pelo campo, não? - Com certeza, ar puro, silêncio, paz... - O engraçado é como a tecnologia está presente por aqui também, percebeu? - Não, o quê? - A quantidade de antenas parabólicas, cada casa tem uma. - Pois é, rapaz, a tecnologia anda a mil. Mas, você sabe por que o nome “antena parabólica”? - Acredito que é o fato de ter a forma de uma parábola, acertei? Ando meio enferrujado. - Isso mesmo, a Matemática presente em todos os campos, inclusive num passeio pelo “campo”. He he he... 102


Seção 1 - Introdução No diálogo desta unidade, nossos amigos Ted e Mad mencionaram um objeto muito comum no nosso dia-a-dia – a antena parabólica, que nos remete a um assunto bem matemático. Todas as parábolas são modeladas com funções do segundo grau. É importante observar que uma parábola é uma figura plana que não deve ser confundida com a antena parabólica, que é uma superfície denotada como parabolóide. Outros fenômenos utilizam as funções ditas quadráticas para formalizar a modelagem. Por exemplo: 

modelos econômicos;



objetos em queda livre;



balística;



faróis de um carro.

Olhando o presente!


P1- Uma revendedora de doces percebeu que a equação de demanda de seu principal produto (barras de chocolate) é dada por x = 20 − p . A função custo é dada por C ( x) = 2 x + 17 . Obtenha a função lucro a partir da

análise gráfica da função e determine o número de barras de chocolate a serem vendidas para se obter lucro máximo. P2- Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40m/s. Sua altura depois de t segundos é dada por h = 40t − 16t 2 . Analise as

características da função.

Para resolver estes problemas devemos discutir as funções do segundo grau.

Unidade 4

103


Definição: Chama-se de função do segundo grau a função que associa cada número real x ao número real ax 2 + bx + c , com a , b, c pertencentes aos reais e a ≠ 0 .

Linguagem simbólica: f : R → R f ( x) = ax 2 + bx + c sendo a ,

b e c ∈ R com a ≠ 0 .

Exemplos 1) São exemplos de funções do segundo grau: a)

f ( x) = x 2 + 2 x + 1

b)

s(t ) = 9t 2

c)

h( x) = 10 x − 20 x 2

Pare! Observe!

Perceba que em algumas funções os valores de b e c são iguais a zero. O que não pode ocorrer é a = 0, pois assim não caracterizaria uma função do segundo grau.

2) Escreva a forma algébrica da função f que associa a cada número o seu quadrado multiplicado por 2 e ao resultado subtrai-se 18. Encontre também f (– 1), f (0) e f (1). A função pedida é

f ( x) = 2 x 2 − 18 .

f ( −1) = 2 ⋅ (−1) 2 − 18 = 2 − 18 = −16 f (0) = 2 ⋅ 02 − 18 = 0 − 18 = −18 f (1) = 2 ⋅12 − 18 = 2 −18 = −16

104


3) Resolver o problema P1. O problema solicita que você encontre a função lucro, mas para isso é necessário primeiramente encontrar a função custo, já que a função lucro é dada por L( x) = R( x) − C( x) .

Você estudou na Unidade 3 que R( x) = p ⋅ x , sendo p o preço do produto, que no caso do problema P1 são barras de chocolate. Perceba que nesta situação o preço não é dado explicitamente, ele varia de acordo com a quantidade, então: x = 20 − p

ou p = 20 − x .

Assim a função receita é dada por: R( x) = p ⋅ x = ( 20 − x) ⋅ x = 20 x − x2 .

Logo a função lucro é: L( x) = R( x) − C( x) L( x) = 20 x − x2 − (2 x + 17 ) L( x) = − x 2 + 18 x − 17 .

Note que a função lucro pedida é uma função do segundo grau. A resolução da segunda parte do problema (discussão do lucro máximo) será feita mais adiante, depois da apresentação das características, propriedades e representação gráfica da função do segundo grau.

Unidade 4

105


Seção 2 - Gráfico da função do segundo grau Da mesma maneira como você já estudou nas funções do primeiro grau, vamos fazer uso de uma tabela de valores para obter a representação gráfica de uma função do segundo grau. Você irá perceber que apenas dois pontos não são necessários para obter a representação gráfica deste tipo de função.

Exemplos 1) Represente graficamente a função y = x2 − x − 2 . Inicialmente é necessário construir uma tabela, atribuindo valores aleatórios para x e determinando os valores de y correspondentes.

106

x

y = x2 − x − 2

(x,y)

–3

y = (−3) 2 + 3 − 2 = 10

(– 3, 10)

–2

y = (−2) 2 + 2 − 2 = 4

(– 2, 4)

–1

y = (−1) 2 + 1 − 2 = 0

(– 1, 0)

0

y = 0 2 − 0 − 2 = −2

(0, – 2)

1

y = 12 − 1 − 2 = −2

(1, – 2)

2

y = 22 − 2 − 2 = 0

(2, 0)

3

y

=

32

−

3

−

2

=

4

(3, 4)


Colocando estes pontos no plano cartesiano, obtém-se o gráfico da função y = x2 − x − 2 , como mostra a Figura 4.1.

Figura 4.1 – Gráfico da função y = x 2 – x – 2

Olhando o futuro!

O gráfico mostrado na Figura 4.1 foi obtido usandose o software GRAPH, já apresentado nas unidades anteriores. Um software algébrico, potente no contexto da Matemática, é o Derive, cuja versão demo é encontrada em diversos sites na internet. Basta colocar a palavra chave “Derive” num site de busca para pesquisar um local de acesso para download .

2) Podemos agora obter o gráfico da função lucro do problema P1 e responder a questão sobre lucro máximo que deixamos em aberto na seção anterior.

Unidade 4

107


Observe a tabela de valores: x

L( x) = − x 2 + 18 x − 17

(x, y)

0

L = −02 + 0 − 17 = −17

(0, – 17)

1

L = −12 + 18 − 17 = 0

(1, 0)

5

L = −52 + 90 − 17 = 48

(5, 48)

9

L = −92 + 162 − 17 = 64

(9, 64)

10

L = −102 + 180 − 17 = 63

(10, 63)

17

L = −17 2 + 306 − 17 = 0

(17, 0)

Na Figura 4.2 temos o gráfico. Observe que as parábolas têm simetrias e, portanto, ao fazer um gráfico com lápis e papel é interessante colocar pontos simétricos para que o traçado fique com mais perfeição. A tabela apresentada neste exemplo apresenta o cálculo de um par de pontos simétricos: (1, 0) e (17, 0). Na prática costumamos trabalhar somente com a parte positiva da parábola.

Figura 4.2 – Gráfico da função

108

L( x ) = − x 2 + 18x − 17


Note que a partir do gráfico é possível analisar algumas propriedades da função. Por exemplo: 





a concavidade da parábola é voltada para baixo; a função corta o eixo y no ponto (0, – 17) , que é exatamente o valor de c na forma geral de uma função do segundo grau; a função corta o eixo x em dois pontos, x = 1 e x = 17. Para obtê-los fazemos L(x ) = 0, obtendo a equação do segundo grau cujas raízes são x = 1 e x = 17. Pare! Revise!

Lembre-se de que, para resolver uma equação do 2 segundo grau do tipo ax + bx + c = 0 , usa-se a conhecida fórmula de Baskhara: x =



−b ±

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a

Note que o maior valor de L(x ) ocorre no vértice da parábola, que é o ponto (9, 64). Assim a pergunta do problema P1 já pode ser respondida, ou seja, o lucro será máximo (R$ 64,00) quando forem vendidas nove barras de chocolate. Olhando o passado!

“O primeiro registro conhecido da resolução de problemas envolvendo o que hoje chamamos de equação do 2º grau data de 1700 a.C. aproximadamente, feito numa tábula de argila através de palavras. A solução era apresentada como uma ‘receita matemática’ e fornecia somente uma raiz positiva. Os mesopotâmicos enunciavam a equação e sua resolução em palavras, mais ou menos do seguinte modo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos 2 o lado dá 870? (o que hoje se escreve: x − x = 870) . E a “receita” era: Tome a metade de 1 (coeficiente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 x 0,5 = 0,25). Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado (870,25=29,52 ) cujo lado somado à metade de 1 vai dar (30) o lado do quadrado procurado”.

Unidade 4

FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º grau. Revista do Professor de Matemática, n. 43,

p.20-25, 2º. São Paulo, quadrimestre de 2000.

109


Todas as informações observadas graficamente podem ser obtidas conhecendo-se apenas a forma algébrica da função de segundo grau. É importante que você esteja atento para usar a linguagem adequada (gráfica ou algébrica) na resolução das diferentes situações-problema.

Seção 3 - Propriedades e características Nesta seção, a partir da forma algébrica da função do segundo grau, vamos discutir as seguintes características e propriedades das funções: domínio, imagem, concavidade, vértice, raízes, crescimento e decrescimento e sinal da função. 

Representação gráfica : você percebeu que em todos os

nossos exemplos anteriores o gráfico de uma função do segundo grau é sempre uma parábola . 

Domínio: o domínio de uma função do segundo grau é

o conjunto dos números reais. 

Concavidade: na Seção 2, você teve a oportunidade de

construir o gráfico de duas funções do segundo grau –na Figura 4.1 a concavidade era voltada para cima e na Figura 4.2 a concavidade era voltada para baixo. Desta forma, você observou que é possível saber a concavidade apenas analisando a forma algébrica, ou seja, a parábola tem concavidade voltada para cima se a > 0 e concavidade voltada para baixo se a < 0.

Exemplos 1) Considere as seguintes funções: g ( x) = − x 2 − 2 x + 3 .

110

f ( x) = x 2 + 2 x + 3 e


Determine o domínio, a concavidade e o gráfico das funções. A representação gráfica é mostrada nas figuras 4.3 e 4.4.

Figura 4.3 - Gráfico da função

Figura 4.4 - Gráfico da função

f ( x ) = x 2 + 2 x + 3

g ( x ) = − x 2 − 2 x + 3

O quadro a seguir apresenta um resumo das propriedades solicitadas. O que vamos observar?

f ( x) = x 2 + 2 x + 3

f ( x) = − x 2 − 2 x + 3


É uma parábola.

É uma parábola.

Domínio

Conjunto dos números reais.

Conjunto dos números reais.

Concavidade

Como a = 1 > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima.

Como a = −1 < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Vamos continuar com as características das funções do segundo grau. 

Simetria : a parábola apresenta simetria em relação à reta

paralela ao eixo dos y passando pelo vértice. 

Vértice : o vértice da parábola ocorre no ponto

 

V  −

b

2a

,−

∆   . Este ponto é um ponto de máximo ou 4a 

mínimo conforme a concavidade esteja voltada para baixo ou para cima, respectivamente. O ponto acima Unidade 4

111


pode ser encontrado formalmente a partir do momento que analisamos a função f ( x) = ax 2 + bx + c , reescrita como: bx c   +  a a   2 b b2 b2 c = a  x + 2 ⋅ ⋅ x + 2 − 2 +  2a 4a 4a a   b  2 4ac − b 2  = a  x +  +  2 2 a 4 a      b  2 −∆  = a  x +  + 2  .  2a  4a 

f ( x) = a  x 2 +

Numa rápida inspeção é possível observar a importância do sinal do a e do discriminante ∆ = b2 − 4ac no formalismo algébrico, e conseqüentemente na identificação das propriedades e características da função do segundo grau. 

Imagem: se a concavidade é voltada para cima então

a imagem são os valores de y pertencentes ao intervalo [ yV , +∞) , ou seja, y ≥ yV . Se a concavidade é voltada para baixo, então a imagem são os valores de y pertencentes ao intervalo (−∞, yV ] , ou seja, y ≤ yV . Lembrando que yV é a ordenada o ponto do vértice da parábola.

Exemplos Uma indústria prevê que o lucro total do seu principal produto, ao final do mês, é dado pela função L( x) = −2 x2 + 9 x − 10 , sendo x a quantidade vendida em milhares e L o ganho em milhões de reais. Encontre o valor de x que maximiza o lucro. Note que a = −2 < 0 , e portanto a concavidade é voltada para baixo, o que nos leva a concluir que o vértice é um ponto de

112


máximo. Para responder a pergunta da questão basta determinar o vértice. ∆   9 b 92 − 4(−2 )( −10)   9 81 − 80   9 1   V  − ,−  =  4 , − −8  =  4 , 8  = ( 2, 25 ; 0,125 )  =  − 2(−2) , − 2 a 4 a 4 ( 2 ) −        

Assim o lucro máximo é de 0,125 milhões de reais quando forem vendidas 2,25 milhares de unidades. Veja o gráfico da função na figura abaixo:


L( x ) = −2 x

2

+ 9 x − 10

Outras características das funções do segundo grau. 



Zero ou raiz: são os pontos onde f ( x) = 0 , o que nos leva a resolver uma equação do segundo grau (ax 2 + bx + c = 0) . Crescimento e decrescimento: variam de acordo com a concavidade da parábola. Se a concavidade for para cima, o intervalo de crescimento é x > x V e o intervalo de decrescimento é x < x V. Já se a concavidade for para baixo, o intervalo de crescimento é quando x < x V e o de decrescimento quando x > x V. Lembrando que x V é a abscissa do ponto do vértice da parábola.

Unidade 4

113


Exemplos Considere as equações de demanda e oferta q = 4 − p 2 e q = 4 p − 1. Discuta usando a representação gráfica e algébrica do equilíbrio do mercado. Algebricamente:

O equilíbrio ocorre quando a demanda e a oferta são iguais, ou seja: 4 − p 2

= 4 p −1

− p 2 − 4 p + 5 = 0

ou p 2 + 4 p − 5 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos que p = 1 e p = −5 . O valor para p = −5 deve ser descartado, já que não temos preço de mercado negativo. Estes valores obtidos são as raízes da equação − p 2 − 4 p + 5 = 0 . Portanto, o valor que nos interessa é p = 1 . Se analisarmos simplesmente a função f ( p) = − p 2 − 4 p + 5 , podemos afirmar que os valores obtidos para p são as os pontos tais que o gráfico de f corta o eixo x , ou seja, f ( p) = 0 .

114


Geometricamente:

Fazendo o gráfico das duas funções (ver Figura 4.6), o equilíbrio ocorre no ponto de interseção gráfica, que é o ponto (1, 3), ou seja, quando p = 1, q = 3.

Figura 4.6 – Ponte de equilíbrio do mercado

Para terminar o estudo das propriedades e características das funções do segundo grau, falta apenas o estudo do sinal da função, isto é, para quais valores de x uma função é positiva ou negativa. 

Sinal da função: são os valores de x para o qual os

valores de y são positivos ou negativos, ou seja, analisa-se o sinal da imagem da função.

Unidade 4

115


Nas figuras 4.7 a 4.12 apresentamos exemplos com as situações que podem ocorrer.

Figura 4.7 – Parábola com , ∆ > 0 e a > 0 e x 1 < x 2

Figura 4.8 – Parábola com , ∆ > 0 e a < 0 e x 1 < x 2

Neste exemplo temos:

Neste exemplo temos:

• sinal positivo em x ∈ ( −∞, x1 ) ∪ ( x2 , +∞ )

• sinal positivo em x ∈ ( x1 , x2 )

• sinal negativo em x ∈ ( x1 , x2 )

• sinal negativo em x ∈ ( −∞, x1 ) ∪ ( x2 , +∞ )

Figura 4.9 – Parábola com , ∆ = 0 e a > 0 e x 1 = x 2

Figura 4.10 – Parábola com , ∆ = 0 e a < 0 e x 1 = x 2

Neste exemplo temos sinal positivo em toda Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real, portanto a função não assume valores reta real, portanto a função não assume valores negativos. positivos.

116


Figura 4.11 – Parábola com ∆ < 0, a > 0 e não tem raízes reais

Figura 4.12 – Parábola com ∆ < 0, a < 0 e não tem raízes reais

Neste exemplo temos sinal positivo em toda Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real, portanto a função não assume valores reta real, portanto a função não assume valores negativos. positivos.

Exemplos 1) Agora você já pode analisar o problema P2. Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40m/s. A sua altura depois de t segundos é dada por h = 40t − 16t 2 . Analise as características da função. Na Figura 4.13 você pode visualizar o gráfico da função h = 40t − 16t 2 .

Figura 4.13 – Gráfico da função do problema P2

Unidade 4

117


Observe que você irá analisar as características desta função contextualizadas no problema. Lembre também que não temos tempo negativo e altura negativa – a pedra sobe até uma altura máxima e depois cai até o solo. O solo está sendo considerado no eixo dos x . Temos: 







O domínio da função é D [0, 5 / 2] , pois como t é o tempo, não podemos considerar valores negativos. =

A concavidade é voltada para baixo, pois a = −16 < 0 . Vértice: temos que ∆ = 40 − 4.(−16).0 = 1600 , logo  40  1600   5 V − ,− , 25 =    −32 −64   4  . Este ponto representa o tempo t=5/4 s em que a bola atinge a altura máxima. O valor h=25m representa a altura máxima. 2

Como a concavidade é voltada para baixo e segue que Im( f ) [0, 25] .

yV

=

25 ,

=





As raízes são t = 0 e t = 5 . 2

Como a concavidade é voltada para baixo, tem-se que h é crescente quando t < 5 e decrescente quando t > 5 . 4



4

Para o sinal da função temos que a = −16 < 0 e 0, 5  t ∈ ∆ = 1600 > 0 então h(t ) > 0 quando  2  . Como h está relacionada com a altura, tem-se que não temos valores para t tal que h seja negativa. x2

2) Seja y = − 20 . Para qual valor de x , a função assume o 5 menor valor? Como a = 1 > 0 , temos que a concavidade é voltada para 5 cima, logo a função tem um ponto de mínimo. Este ponto de mínimo ocorre no vértice da parábola. 118


Temos: 1   2 − ⋅ 0 4 .( −20)    0 16  ∆  b  5 V  − ,− = ( 0, −20 )  =  0, − 4   =  − 1 , − 1 2 a 4 a     2 ⋅   4⋅ 5  5  5 

Logo o menor valor que a função assume é y = −20 e ocorre quando x = 0 . Veja o gráfico na Figura 4.14 para tirar suas conclusões.

Figura 4.14 – Gráfico da função y =

x2 5

− 20

Parada recreativa

Que tal fazermos economia de maneira diferente: vamos supor que no primeiro dia do mês você guarde 1 centavo, no segundo 2 centavos, no terceiro 4 centavos, no quarto dia 8 centavos e, assim, dobrando sucessivamente durante 30 dias seguidos. Quanto teria você guardado ao final de um mês? 100 reais? 200 reais? É possível para qualquer mortal uma economia deste tipo? Mas não se precipite nas suas conclusões!

Unidade 4

119


Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar mais detalhes da função do segundo grau. Os exemplos discutidos mostraram que este tipo de função é muito importante na modelagem de vários problemas práticos. O uso das representações gráficas associadas à representação algébrica auxilia na visualização das propriedades e características dessas funções. Ao discutir as propriedades podemos encontrar as respostas dos problemas práticos. Na unidade seguinte você irá avançar discutindo outros tipos de funções.

Atividades de auto-avaliação 1. Encontre uma função f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade. Em seguida encontre f (– 1), f (0) e f (1).

2. Trace o gráfico das seguintes funções: a) y = x 2 − 2 x − 3 b) y = − x 2 + 2 x − 4

120


3. Seja p = 50 − 2 x , em que x é quantidade demandada e o preço é p . Encontre a função receita total, esboce o seu gráfico e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima.

4. Seja f ( x) = x 2 − 7 x + 10 . Analise as propriedades e características (domínio, imagem, concavidade, raízes, vértice, crescimento e decrescimento e o sinal da função) e esboce o gráfico de f .

5. Um terreno retangular tem dimensões de modo que sua largura é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 300m2.

Unidade 4

121


6. A função demanda de um produto é p = 10 − x e a função custo é dada por C ( x) = 20 + x . Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo.

Saiba mais Uma boa sugestão para que você se aprofunde nesta unidade é fazer uma pesquisa na internet, usando um site de busca, com a palavra-chave parábola . Você verá sugestões de leituras de interessantes aplicações das funções de segundo grau. É importante que você faça uma análise crítica dos objetos matemáticos apresentados. É um exercício que vale a pena fazer! Bom trabalho!

122

UNIDADE 5

Funções polinomiais e racionais Objetivos de aprendizagem 

 



Identificar funções polinomiais de grau maior do que dois. Identificar funções racionais. Analisar a representação algébrica e gráfica das funções polinomiais e racionais. Discutir aplicações das funções polinomiais e racionais.

Seções de estudo Seção 1 Funções polinomiais Seção 2 Funções racionais Seção 3 Outros tipos de funções

5



Ted e Mad preparam uma lista de convidados para uma festa. - Ah Ted, acho que precisamos inicialmente definir quanto queremos gastar. - É verdade, a diversão é boa, mas também não adianta entrar no negativo. As coisas estão muito caras hoje em dia. - Talvez um churrasco vá bem, apesar de a carne estar cara. Mas aí podemos pedir para que cada um traga a sua bebida. - Tudo bem, então vamos fazer a lista de convidados. Começamos pelos amigos em comum: Flávio, Marta, Junior, Ricardo, Sil... - Ah, não, o Ricardo não. Ele é muito chato. Eu não quero ele aqui... - Mas fica chato convidar a Marta e não chamar o Ricardo. A Marta é uma pessoa muito interessante.

126

Topicos de Matematica Elementar I

- Mas se é namorada do Ricardo já considero tão chata quanto ele. Por favor! - Mas eu não abro mão da Marta. Será que não há uma forma de conciliarmos isto?

Seção 1 - Funções polinomiais Após estudar as funções de primeiro e segundo graus, você pode agora visualizar as características e propriedades das funções polinomiais de grau maior do que dois. Mas como são estas funções? Definição: A função polinomial é definida por

f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + … + an −1 x + an sendo a0 , a1 ,… , an números reais, com a0

≠ 0 , chamados

de coeficientes e n um número inteiro não negativo que determina o grau da função.

A representação gráfica das funções polinomiais é uma curva que pode apresentar pontos de máximos ou mínimos. São gráficos que, para serem traçados com mais facilidade, necessitam de conceitos do cálculo diferencial (não estudados nesta disciplina) ou de softwares matemáticos como o GRAPH, já citado nas unidades anteriores.

Exemplo Classifique as seguintes funções polinomiais quanto ao seu grau:

Unidade 5

127


a)

f ( x) = 2 x + 3

b) f ( x ) = 2 x2 + 3 x − 1 c) f ( x ) = x3 + x2 − 3 d) f ( x ) = 4 x7 + x6 − 1

É uma função polinomial de grau 1. Perceba que esta é a função do primeiro grau estudada na Unidade 3. É uma função polinomial de grau 2. Perceba que esta é a função do segundo grau estudada na Unidade 4. É uma função polinomial de grau 3. É uma função polinomial de grau 7.

Pare! Observe!

A partir da análise da representação algébrica da função polinomial é possível dizer que o domínio destas funções será sempre o conjunto dos números reais.

Para analisar as características e propriedades das funções polinomiais, neste momento, é importante que você visualize a representação gráfica da função. Existem casos particulares das funções polinomiais que são interessantes de serem analisados. Por exemplo, as funções escritas como f ( x ) = xn , sendo n um inteiro positivo. Para n > 2 a forma do gráfico depende de n ser par ou ímpar. Veja as figuras 5.1 e 5.2.

Figura 5.1 – Gráfico de y = x n com n par

128


Figura 5.2 – Gráfico de y = x n com n ímpar

As funções y = xn possuem aspectos comuns. Veja na tabela como ficam as propriedades e características destas funções. Representação algébrica Representação gráfica

y = xn

y = x n

n é par

n é ímpar

Figura 5.1

Figura 5.2 conjunto dos reais

Domínio Conjunto imagem

[0, +∞ ) x = 0

Zero ou raiz Sinal da função

conjunto dos reais

Positivo para qualquer x ∈ R

Crescimento

x > 0

Decrescimento

x < 0

Positivo para x > 0 e negativo para x < 0 A função é crescente para qualquer x ∈ R. Não possui intervalos de decrescimento

Exemplos Analise as características e propriedades das funções polinomiais. a) y = x3 + 1

Unidade 5

129


Figura 5.3 – Gráfico de

y = x3 + 1

Pare! Observe!

Se você comparar o gráfico de y = x3 (Figura 5.2) com o gráfico de y = x3 + 1 (Figura 5.3), pode perceber que a curva foi deslocada uma unidade para cima no eixo y. Isto acontecerá em vários casos, por exemplo, y = x3 + 2 estará deslocado duas unidades para cima, y = x3 + 3 , três unidades para cima e y = x3 − 4 ,

quatro unidades para baixo. Representação algébrica

y = x3 + 1

Representação gráfica Conjunto imagem

Figura 5.3 conjunto dos reais conjunto dos reais

Zero ou raiz

x = −1

Domínio

Sinal da função Crescimento/decrescimento

b) y = x4 − x3 − 2 x2

130

Positivo para x > −1 e negativo para x < −1 . A função é crescente para todos os valores de x ∈ R.


Figura 5.4 – Gráfico de y = x 4 − x3 − 2 x2


y = x 4 − x3 − 2 x2


Figura 5.4 conjunto dos reais


[−2, 83 ; +∞)

Observando que o valor – 2,83 é aproximado. x = −1 , x = 0 , x = 2

Zeros ou raízes Sinal da função Crescimento/decrescimento

Positivo para x ∈ (−∞ , −1) ∪ ( 2, +∞ ) e negativo para x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 2). A função possui intervalos de crescimento e decrescimento.

Pare! Observe!

Quando a função passa de decrescente para crescente, temos um ponto de mínimo. Quando passa de crescente para decrescente temos um ponto de máximo. Perceba que na Figura 5.4 estão assinalados dois pontos de mínimo e o ponto de máximo.

c) y = x5 − x3

Unidade 5

131


Figura 5.5 – Gráfico de y = x5 − x3


y = x 5 − x3

Representação gráfica Conjunto imagem

Figura 5.5 R R

Zeros ou raízes

x = −1 , x = 0 , x = 1

Domínio


Positivo para −1 < x < 0 ou x > 1 e negativo para x < −1 ou 0 < x < 1 . A função possui intervalos de crescimento e decrescimento.

Olhando o presente!

Veja o seguinte problema:

P1 – Suponha que a função C ( q ) = q

3

− 20q 2 + 300 q + 250 expresse o

custo total de fabricação de um produto. Como calcular o custo de cinco unidades? E o custo de fabricação da quinta unidade?

Se você já tem a função que expressa o custo total de fabricação de um determinado produto, pode facilmente responder as duas questões solicitadas. Para facilitar você irá supor que a função seja

132


C ( q ) = q 3 − 20q 2 + 300q + 250

.

O custo de fabricação de cinco unidades é encontrado quando se calcula a imagem da função no ponto q = 5. Portanto, C (5) = 53 − 20 × 52

+ 300 × 5 + 250 = 125 − 500 + 1500 + 250 = 1375.

Se você trabalhar com unidades monetárias em reais, a resposta é R$ 1375,00. Para saber o custo da quinta unidade, você precisa fazer a diferença entre o custo de 5 unidades e o custo de 4 unidades, ou seja, C (5) − C (4) =

= (53 − 20 × 52 + 300 × 5 + 250) − (43 − 20 × 4 2 + 300 × 4 + 250 ) = 1375 − 1194 = 181.

Assim, o custo da quinta unidade é de R$ 181,00. Observe que o gráfico desta função pode auxiliar na obtenção de outras análises (veja a Figura 5.6).

Figura 5.6 – Gráfico da função custo total C ( q ) = q3 − 20q 2 + 300q + 250

Unidade 5

133


Por exemplo, é possível observar que o aumento do custo de produção cresce mais rapidamente a partir de, aproximadamente, vinte unidades.

Seção 2 - Funções racionais As funções racionais são bastante utilizadas em aplicações práticas relacionadas a situações reais. Perceba que são definidas como o quociente de duas funções polinomiais. Definição: A função racional é definida por

f ( x ) =

P ( x )

Q ( x) Q ( x) ≠ 0 .

sendo P ( x ) e Q ( x ) polinômios e

São exemplos de funções racionais: f ( x ) = x2 + 1 , y = x e x + 3 x + 3 1. h ( x) = x

Diante da definição da função racional e a partir da análise de sua representação algébrica é fácil constatar que o domínio da função é dado pelo conjunto de números reais excluindo todos os valores de x tais que Q ( x ) = 0 .

Exemplos Analise as características e propriedades das funções indicadas. a) y =

134

1 x − 1


Figura 5.7 – Gráfico da função y = 1 x − 1

y=


1 x − 1


Figura 5.7

Domínio

R − {1}

Conjunto imagem

R − {0} Não possui zero ou raiz.

Zero ou raíz Sinal da função Crescimento/decrescimento

Positivo para x > 1 e negativo para x < 1 . A função é toda decrescente.

b) y = x + 7 x − 9


Unidade 5

x+7 x − 9

135


y=


Figura 5.8

Domínio

R − {9}

Conjunto imagem

R − {0} Não possui zero ou raiz.


Positivo para x > 9 e negativo para x < 9 . A função é toda decrescente.

x x 2 − 1



y =

x x 2 − 1 y=

x x 2 − 1


Figura 5.9


R − {−1,1} R

Zero ou raíz

x = 0


136

x − 9


Zero ou raíz

c) y =

x+7

Positivo para −1 < x < 0 ou x > 1 . Negativo para x < −1 ou 0 < x < 1 . A função é toda decrescente.


d) y =

3 x 2 + 1


3 x

2

+1

y=


3 x 2 + 1

Domínio

Figura 5.10 R

Conjunto imagem

0 < y ≤ 3

Zero ou raíz

Não possui zero ou raiz. A função é toda positiva..


Sinal da função

A função é crescente quando x < 0 e decrescente quando x > 0 .

Crescimento/decrescimento

Olhando o presente!


P2 – A função preço de um determinado bem é dada por P =

Analise o gráfico da função de demanda, escrita como x =

400

x + 4 f ( P ) .

.

Para fazer o gráfico da função de demanda, escrita como x = f ( P ) , num primeiro momento, isola-se a variável x da função preço: Unidade 5

137


P =

400

x + 4 =

400

x + 4 P × ( x + 4 ) = 400

x =

P 400 P

−4

O gráfico da função de demanda é mostrado na Figura 5.11.

Figura 5.11 – Gráfico da função de demanda x =

400 P

−4

Perceba que para analisar o gráfico da função de demanda, basta considerar os valores em que o preço é maior do que zero, já que não faz sentido falar em preço negativo. Veja na Figura 5.12 este mesmo gráfico considerando apenas este intervalo.

Figura 5.12 – Gráfico da função x =

138

400 P

− 4 para valores de P > 0


Ao analisar a representação gráfica da Figura 5.12 é possível perceber que o preço aumenta à medida em que a demanda diminui. Portanto, a função de demanda é decrescente. Em valores próximos de P = 0 a demanda é bem alta, isto significa que, com um preço baixo, a demanda tende a um valor alto.

Seção 3 - Outros tipos de funções Nesta seção você poderá visualizar representações gráficas de outros tipos de funções, como as funções irracionais, as que envolvem expressões polinomiais, as que possuem raízes quadradas, dentre outras. A idéia é que você visualize graficamente estes tipos de funções, deixando claro que uma ferramenta computacional é imprescindível, neste momento, para que você consiga traçar estes gráficos.

Exemplos Trace o gráfico das funções indicadas. a) y = x2 + 1 x

Figura 5.13 – Gráfico da função y = x 2 +

Unidade 5

1 x

139


Ao analisar o gráfico da Figura 5.13 é possível dizer que o domínio desta função é dado pelos números reais exceto x = 0 e o conjunto imagem é formado pelos números reais. A função possui intervalos de crescimento e decrescimento e um zero no valor de x = −1 . b) y =

x


x

Já que a raiz quadrada de um número é sempre um valor positivo, então esta função possui como imagens apenas números positivos e tem como sinal apenas valores positivos. O domínio são todos os reais não negativos incluindo-se o zero, ou seja, os valores em que x ≥ 0 e o conjunto imagem são todos os valores reais tais que y ≥ 0 . A função é toda crescente e possui como zero o valor de x = 0 . c) y =

x2 − 4


140

x2 − 4


Esta função, assim como a do exemplo anterior, tem como imagem o conjunto dos números reais positivos, incluindo o zero. O domínio é dado pelos valores de x ≤ −2 e x ≥ 2 . Veja que no gráfico da função não há imagens entre os valores –2 e 2. A função decresce para x ≤ −2 e cresce para x ≥ 2 . O sinal é sempre positivo e os zeros da função são –2 e 2.

Olhando o presente!


P3 – Seja a função de demanda representada na Figura 5.16, sendo x

a quantidade demandada e y o preço expresso em reais. Determine as quantidades demandadas se o preço for igual a R$ 10,00 e R$ 100,00.

Figura 5.16 – Gráfico da função de demanda x =

12, 03 y

0 , 21

A função de demanda apresentada é decrescente de forma que, à medida em que o preço aumenta, a demanda diminui. Perceba que a quantidade demandada fica próxima a um valor abaixo de 10 e acima de 0, aproximadamente 5. Assim, mesmo que o preço seja muito alto, a quantidade demandada fica praticamente estável neste intervalo. Para determinar as quantidades demandadas para os preços indicados no problema, basta localizar no gráfico os pontos indicados. Quando o preço é igual a R$ 100,00 a quantidade Unidade 5

141


demandada fica entre 0 e 10, próximo de 5. Quando o preço é igual a R$ 10,00 esta quantidade está próxima do valor 10, mas ainda abaixo dele. Para encontrar estes valores, é possível substituir a variável y na forma algébrica da função de demanda. Assim temos: y = 10 x =

12, 03

(10 )

≅ 7,41763 0 , 21

y x =

=

12, 03

(100 )

0 , 21

100

≅ 4, 57367

Os valores foram calculados com a ajuda de uma calculadora. Parada recreativa

Vamos ajudar Ted e Mad a resolverem o problema da lista de convidados? Você percebeu que o Ted e o Mad falaram sobre pessoas chatas e interessantes? Não há quem não pense dessa forma: algumas pessoas são interessantes, e outras são chatas. Faça uma lista das pessoas que você considera chatas e outra de pessoas interessantes. Depois analise a lista das chatas. Identifique a mais chata das chatas. Mas avalie se ela é a mais chata das chatas ela passa a ser extremamente interessante e muda de lista. Agora, outra pessoa será a mais chata das chatas, o que a torna interessante também. Assim, a certa altura, todas as pessoas serão interessantes. Será assim? Pense nisso...

Síntese Nesta unidade você teve contato com funções polinomiais, racionais, irracionais e outros tipos de funções que usualmente aparecem em aplicações práticas. É importante que, ao finalizar esta unidade, você tenha percebido a importância da representação gráfica destas funções para que se possam fazer análises inerentes aos problemas de aplicações. Sem o gráfico, fica muito complicado identificar as propriedades e características destas funções. Portanto, tenha em mente que a 142


leitura correta de representações gráficas é muito importante para o entendimento de situações modeladas por funções. Na próxima unidade você vai estudar as funções exponenciais e logarítmicas que possuem um campo vasto de aplicações na área da administração e economia. Até mais!

Atividades de auto-avaliação 1) Seja a função f ( x) =

1 3

x3 −

1 2

x2 − 2 x −

16 3

, representada graficamente

na Figura 5.17. Determine o que se pede:

Figura 5.17 – Gráfico da função f ( x) =

1 3

x3 −

1 2

x2 − 2 x −

16 3

a) Grau da função polinomial b) Domínio da função c) Raiz da função d) Intervalos de crescimento e) Intervalos de decrescimento f) Análise do sina l da função

Unidade 5

143


2) Um estudo sobre eficiência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 3 2 horas da manhã terá montado, x horas após, f ( x) = − x + 6 x + 15 x peças do produto. a) Quantas peças o operário terá montado às 11 horas da manhã? b) Quantas peças terá montado entre 10 e 11 horas da manhã?

3) Usando um software gráfico (por exemplo o GRAPH) faça o gráfico da função y =

144

x +1 x − 1

e analise suas propriedades e características.


4) Analise as características e propriedades das funções representadas graficamente nas figuras 5.18 e 5.19.

Figura 5.18 – Gráfico da função y = x ( 30 − 2 x ) ( 25 − 2 x )



x2 4 − x 2

y = x ( 30 − 2 x ) ( 25 − 2 x )

y=

x2 4 − x 2

Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função

Unidade 5

145


Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções polinomiais e racionais, recomendamos o primeiro capítulo do volume 1 do livro Cálculo: um novo horizonte , de autoria de Howard Anton. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas, bem como a análise de outras representações gráficas deste tipo de funções. Procure o seu professor tutor para esclarecer suas dúvidas. Bom trabalho!

146

UNIDADE 6

Funções exponencial e logarítmica Objetivos de aprendizagem 





Identificar funções exponenciais e logarítmicas em diferentes situações-problema. Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem exponenciais e logaritmos. Realizar leituras de representações gráficas e identificar propriedades e características das funções envolvidas.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Função exponencial Seção 3 Função logarítmica Seção 4 Aplicações

6



Ted e Mad encontram-se no banco. – Bom dia, Mad. – Olá, cara, fazendo aplicações financeiras? – Vou bater um papo com o meu gerente de conta para ajudar na aplicação financeira da conta da minha mãe. – E aí? Nunca mais falei com a sua mãe? Como ela está? – Vai bem, desde que papai morreu ela fica muito sozinha. A nossa vida corrida do dia-a-dia nos deixa, às vezes, sem tempo de dar mais atenção para a família. – Eu soube que vocês venderam a casa da praia. – Exato! Por isso estou aqui, quero ver se faço uma boa aplicação, assim mamãe fica mais tranqüila, sabendo que pode contar com uma renda adicional. – Bem! Até mais! Dê um abraço na sua mãe por mim. 148


Seção 1 - Introdução O estudo das funções exponenciais e logarítmicas envolve o uso de operações com potências e logaritmos. Sabendo da importância de se ter bastante clareza dos conceitos, optou-se por fazer uma rápida revisão dos objetos matemáticos envolvidos. Potência com expoente natural

Observe a seguir os procedimentos operatórios que envolvem potências com expoentes naturais, inteiros e racionais. Considere um número real a e um número natural n, diferentes de zero. A expressão a n (potência de base a e expoente n), representa um produto de n fatores iguais de a : an

= a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a  

n fatores

Exemplos 1) Para 21 = 2 n = 1, considera-se por definição que a 1 = a , uma vez que não há produto com um único fator. 2)

53

3)

( 5) 2

= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125

−

=

( 5) ( 5) −

3

 1  4)  3  =  

1 3

⋅

−

⋅

1 3

=

⋅

25 1 3

=

1 27

Pare! Observe!

= (−3) ⋅ (−3) = 9 −32 = −(3 ⋅ 3) = −9 Assim: (−3) 2 ≠ −32 

( −3) 2



Unidade 6

149


Propriedades das potências com expoente natural

Lembrar de propriedades no momento de efetuar as continhas é muito interessante. Ao apresentarmos a generalização das propriedades, estamos sempre considerando a validade somente para a situação de existência dos números reais. Observe: 23 . 24 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27 ou 23 . 24 = 23 + 4 = 27. 33 . 34 . 32 . 35 = (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) . (3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3 . 3) = = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 314 ou 33 . 34 . 32 . 35 = 33 + 4 + 2 + 5 = 314. Podemos concluir: Prop. 1: Para multiplicar potências de mesma base mantemos a base e

somamos os expoentes.

a m . a n = a m + n

Observe: 2 4 ÷ 23

= (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ÷ (2 ⋅ 2 ⋅ 2) =

ou 64 ÷ 62

64 ÷ 6 2

2.2.2

= 21 = 2

= 24−3 = 21 = 2 .

2 4 ÷ 23

= (6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6) ÷ (6 ⋅ 6) =

ou

2.2.2.2

6⋅6⋅6⋅6 6⋅6

= 62 = 36

= 64− 2 = 62 = 36 .

Podemos concluir que: Prop. 2: Para dividir potências de mesma base mantemos a base e

subtraímos os expoentes. a

150

m

÷a = a n

m− n

ou

am a

n

= a m−n com a ≠ 0


– O que acontece quando os expoentes forem iguais? 53 ÷ 53

= (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ÷ (5⋅ 5 ⋅ 5) =

5⋅5⋅5 5⋅5⋅5

=1

ou 53 ÷ 53 = 53−3 = 50 Podemos afirmar que: a0

= 1 com a ≠ 0

Temos, ainda, um outro caso interessante quando o expoente do divisor é maior do que o do dividendo. 2 4 ÷ 27

ou

= (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ÷ (2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2) =

2.2.2.2 2.2.2.2.2.2.2

=

1 2⋅2⋅2

=

1 23

= 24−7 = 2−3 .

24 ÷ 27

Podemos afirmar que: a−n

=

1 an

Como conseqüência você pode observar, para 1 a−n

−n

=a

n

a, b ≠ 0 ,

que:

n

 a   b  e  b  =  a     

Exemplos −1

 2  = 1 = 1⋅ 7 = 7 1)  7   2 2 2 7 −2

2

 3   5  25 2)  5  =  3  = 9    

3)

1 2

−3

= 23 = 8

Unidade 6

151


Observe a situação denominada potência de potência. A base é elevada a um expoente, e todo esse número é elevado a outro expoente. Veja: (34 ) 2

= 34 ⋅ 3 4 = 34+ 4 = 38 ou

(7 3 ) 4

= 73 ⋅ 73 ⋅ 73 ⋅ 73 = 73+3+3+3 = 712 ou

(34 ) 2

= 34⋅2 = 38 (7 3 ) 4

= 73⋅4 = 712

Podemos escrever: (a m )n

= a m⋅n Pare! Observe! 

(53 ) 2



53

2

= 53⋅2 = 56

= 59

Assim, (53 ) 2

2

≠ 53

Considere as expressões: ( 2 ⋅ 7) 2

= (2 ⋅ 7) ⋅ (2 ⋅ 7) = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 2 ⋅7 2

(3 ÷ 8)

3  3 3 3 33  =   = ⋅ ⋅ = 3 = 33 ÷ 83  8  8 8 8 8

3

3

Podemos afirmar que: ( a ⋅ b) n

= a n .bn

e n

n a a   (a ÷ b) n = a n ÷ bn ou   = n com  b  b

a, b ≠ 0

Olhando o futuro!

Os recursos tecnológicos não abrem mão de uma notação baseada nas propriedades das potências. Se você tem uma calculadora científica, observe o que chamamos de notação científica.

152


Quando trabalhamos com números muito grandes ou muito pequenos é conveniente escrever em forma de potência: 

247 000 = 2,47 . 105



100 000 000 = 108



0,000 001 = 10 –6



0,000 123 = 1,23 . 10 –4



10–1 = 0,1 =



10–3 = 0,001 =



5 . 107 = 50 000 000

1 10 1 1000

Esta forma de expressar um número é conhecida como notação científica. Para representá-la usamos um número real pertencente ao intervalo [1, 9] multiplicado por uma potência de 10. Note que o valor do expoente da potência 10 é o número de casas que a vírgula teve que percorrer. Potência com expoente racional

Para a real, b real e n inteiro positivo ímpar, temos n a = b 1 n = índice; sempre que b n = a . Denominamos: a = radicando; b = raiz.

Para a e b real positivo ou nulo e n inteiro positivo par, temos n a = b sempre que . Usamos a representação da raiz n-ésima como

m

n

a

m

= an .

Pare! Observe!

Não existe raiz real de índice par de números negativos.

Unidade 6

153


Exemplos 1) Verifique as seguintes raízes ditas exatas: a)

25

b)

3

c)

6

= 5 ⇔ 5 ⋅ 5 = 52 = 25

−125 = −5 ⇔ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = (−5) 3 = −125 64

= 2 ⇔ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 26 = 64

2) Verifique a existência das raízes: a)

4

34

b)

4

−3 não existe

c)

3

−27 = −3

=3

Propriedades das potências com expoente racional

As propriedades para expoentes racionais são as mesmas das com expoente natural. Observe a validade das expressões no contexto dos reais. Vejamos um resumo: a)

n

a ⋅m a

b)

n

a ⋅b

= n a⋅nb

a

n

a

n

b

c)

n

b

d) ( e)

154

=

n

m n

a

m

= n×m a n+ m

) =

a

n

am

= n⋅m a


Exemplos 1) 2)

4

3 .

4

3 = 3

3 .

4

5=

4

1 2

1

1

4

2

. 3 =

3 . 5 =

4

3

+

1

=

4

2

+1 4

3

=

3

34

15

ou 1

4

4

3 . 5

3)

23

1

1

5 = 3 4 5 4 . (3 . 5) 4 =

=

10

4

3 . 5 =

4

15

23

ou

1

 5  2 =  2  =   3

5

2

3

3

2

5

.

1 2

=

3

2

10

– Ufa! É um monte de continhas. Vamos relaxar? Parada recreativa

Vejam o que aconteceu com o nosso amigo Ted na sua infância. Professor: Ted preste atenção, vou fazer a primeira pergunta. Se você responder, nada mais lhe perguntarei. Dar-me-ei por satisfeito. Digame: quantos fios de cabelo tem na sua cabeça? Ted: Duzentos e quarenta e cinco vezes dez elevado a cem. Professor: Como chegou a essa conclusão? Ted: Caro professor, não se esqueça de que o senhor garantiu que só faria uma pergunta. Trato é trato.

Unidade 6

155


Seção 2 - Função exponencial Vamos agora discutir as funções exponenciais. Observe que essas funções são usadas para modelar o crescimento e o decrescimento populacional e, também, em várias situações da Matemática Financeira. Olhando o presente!

Discutir aplicação financeira é uma atividade do dia-a-dia de muitos cidadãos. É possível que um grande número de pessoas desconheçam os objetos matemáticos que estão inseridos neste contexto. Lembrando da conversa do Ted com o Mad, é possível formular o seguinte problema: P1 – A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês

(creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos daqui a onze meses? E daqui a dez anos? P2 – Como podemos modelar a população de um país para o ano de

2010?

Estes e outros problemas podem ser modelados a partir de funções exponenciais. Podemos dizer que as funções exponenciais são amplamente utilizadas em problemas que apresentam fenômenos da natureza e da sociedade. Definição: Função exponencial é uma função real que associa a cada número real x o número a x , com a > 0 e a ≠ 0.

Linguagem simbólica: f : R → R f ( x) = a x para a > 0, a ≠ 1

156


Exemplos 1)

f ( x) = 2 x x

 1  2) f ( x) =  2   

3)

f ( x) = e x

Você não deve confundir a função exponencial com a função potência. Na função exponencial a variável é expoente e na função potência a variável está na base. Pare! Observe!

Por que a deve ser positivo? Suponha que a = – 9 e x = 1/2. A função

f(x) = (– 9)1/2 = −9 . Assim, teríamos como resposta um número não real.

Gráfico da função exponencial

Observe a seguir o gráfico das funções exponenciais. Não esqueça que você deve verificar as características das funções para facilitar o esboço de gráficos de forma manual. Neste texto os gráficos apresentados são desenvolvidos com recursos tecnológicos. Basicamente vamos ter duas situações para analisar. Observe os exemplos das figuras 6.1 e 6.2. Veja que ao fazer um gráfico manualmente você deve inicialmente construir uma tabela para posteriormente fazer o traçado gráfico.

Unidade 6

157


y = 2 x e na Figura 6.2 Na Figura 6.1 temos o exemplo da função x 1   temos o exemplo da função y =  2  .

 

x

f ( x) = 2 x

–3

2−3

=

–2

2−2

=

–1

2−1

=

0 1 2 3

1

(x, y)

=

1

=

1

1

= 1

1

2

2

23 1 22

8

4

=1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

 −3, 1   8     −2, 1   4     −1, 1   2    (0, 1)

20

(1, 2) (2, 4) (3, 8)

Figura 6.1 – Gráfico da função f (x ) = 2x

x

x

 1  f ( x) =    2 

–2

 1  = 22 = 4  2   

–1

 1  = 21 = 2  2   

(x, y)

−2

(– 2, 4)

−1

158

(– 1, 2)


0

0

 1  = 1  2    1

1

 1  = 1  2  2  

 1, 1   2   

2

2

 1  = 1  2  4  

 2, 1   4   

(0, 1)

x

 1   

Figura 6.2 – Gráfico de f ( x) =   2

Propriedades e características

Pela observação das tabelas e gráficos, podemos enunciar as seguintes características: 

os domínios são todos os reais;



a imagem é sempre positiva, excluindo o zero;



o gráfico passa pelo ponto (0, 1);



para a > 1 a função é crescente;



para 0 < a < 1 a função é decrescente.

Com um pouco de formalismo matemático é possível provar que essas características são gerais para as funções exponenciais.

Unidade 6

159


Exemplos 1) Analise com o uso de um software os gráficos das seguintes funções: a)

y = 2 x +1

b)

y = 2 x + 1

c)

y = −2 x +1

Na Figura 6.3 apresentamos o gráfico da função y = 2 x+1 , na Figura 6.4 a função y = 2 x + 1 e na Figura 6.5 a função y = −2 x+1 .

Figura 6.3 – Gráfico da função y = 2x + 1

Figura 6.4 – Gráfico da função y = 2x + 1

160


Figura 6.5 – Gráfico da função y = – 2x + 1

Observe os gráficos das figuras 6.3 e 6.5. Verifique que eles são simétricos em relação ao eixo dos x . Observe as leis de formação da função e verifique que este efeito está representado pela troca de sinal. Agora, observe os gráficos das figuras 6.3 e 6.4. Compare-os. Veja que o acréscimo de uma unidade na variável x provocou a subida do gráfico em uma unidade. 2) Analisar graficamente o comportamento de uma família de funções do tipo f (x ) = a x com a > 0 e a ≠ 1.

Figura 6.6 – Família de funções exponenciais

Observe a Figura 6.6 e perceba o comportamento da família de funções exponenciais e as características comuns aos membros da família, tais como: 

passam pelo ponto (0,1); Unidade 6

161






são duas a duas simétricas em relação ao eixo dos y ; o gráfico nunca corta o eixo dos x (observar que os recursos de desenho podem causar a impressão de que algum gráfico toque o eixo do x , mas isto não é verdade);



o domínio é o conjunto dos reais;



o conjunto imagem é o conjunto

(0, ∞ ) .

3) Faça o gráfico da função f (x ) = 3x e f (x ) = x 3. Compare o crescimento dos gráficos. O que é possível afirmar? Na Figura 6.7 podemos observar os gráficos das funções solicitadas no mesmo sistema cartesiano. Ao comparar o crescimento (ambas são funções crescentes), podemos afirmar que o gráfico da função exponencial f (x ) = 3x cresce mais rapidamente que o gráfico da função potência f (x ) = x 3. Os comportamentos dessas funções para valores menores que zero são completamente diferentes, pois a função potência assume valores negativos.

Figura 6.7 – Gráfico das funções f (x ) = 3x e f (x ) = x 3.

Aplicações

Foi possível observar, ao discutir as características e propriedades das funções exponenciais, que elas são interessantes para modelar fenômenos populacionais e econômicos. Estamos assim prontos para resgatar agora os problemas P1 e P2 desta unidade.

162


No problema P1 queremos discutir uma aplicação financeira em caderneta de poupança. P1 – A taxa de juros da caderneta de poupança é

de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos daqui a onze meses? E daqui a dez anos?

O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e financeiras é o de juros compostos, que se baseia no seguinte princípio: 





ao final do 1o período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele incorporados, produzindo o 1o montante; ao final do 2o período, os juros incidem sobre o 1o montante e incorporam-se a ele, gerando o 2o montante; ao final do 3o período, os juros, calculados sobre o 2o montante, incorporam-se a ele, gerando o 3o montante; e assim por diante.

De modo geral, um capital C , a juros compostos, aplicados a uma taxa unitária fixa i , durante n períodos, produz: M

= C (1 + i) n

No problema dado temos C = 100, i = 0,5%=0,5/100=0,005, n = 11 na primeira pergunta e n = 120 na segunda. Temos: Para 11 meses temos R$ 105,64. De fato: M

= C (1 + i) n 11

 0, 5  M = 100 1 +   100  = 100(1 + 0, 005)11 ≅ 105, 64.

Unidade 6

163


Para 10 anos ou 120 meses temos R$ 181,94. De fato: M = C ( 1 + i )n 120

 0, 5  M = 100 1 +   100  = 100(1 + 0, 005)120 ≅ 181, 94.

A Figura 6.8 apresenta um gráfico da evolução do investimento.

Figura 6.8 – Gráfico de M = 100(1 + 0,005) n

Vamos agora discutir o problema P2. P2 – Como podemos modelar a população de um país para o ano de

2010?

Vamos supor que tenhamos dados da população do Brasil de 1950 a 1996. Com esses dados é possível fazer uma estimativa da população do ano de 2010. Veja como! Temos os seguintes dados obtidos através das estatísticas mundiais divulgadas em diferentes mídias. Veja os dados em http://www.novomilenio.inf.br/porto/mapas/nmpop.htm.

164


Ano

População Brasil x milhões

1950

53.443

1960

71.695

1970

95.684

1980

122.958

1990

151.084

2000

175.553

Vamos colocar esses dados em um software que tem a capacidade de nos dar a função exponencial que modela esse crescimento populacional. A Figura 6.9 mostra o resultado apresentado quando usamos o software GRAPH.

Figura 6.9 – Modelo de crescimento populacional

A função apresentada é P(t ) = 56404, 4 × (1, 02439)t . Observe que consideramos a contagem do tempo a partir de 1950. Assim 1950 corresponde a t = 0; 1960 a t = 1, etc. Para achar a estimativa da população para o ano de 2010 basta fazer: P (60) = 56404, 4 × (1, 02439) 60

≅ 239.459

Portanto, 239.459 milhões de habitantes.

Unidade 6

165


Seção 3 - Função logarítmica Vamos agora discutir as funções logarítmicas. Observe que essas funções são usadas associadas aos modelos exponenciais. Você terá a oportunidade de observar que isto não é por acaso. Você estudará nesta seção que estamos diante de funções inversas. Olhando o presente!

Usando a função logarítmica vamos poder dimensionar, por exemplo, o tempo em que as aplicações financeiras duplicam ou triplicam.

P3 – Uma aplicação de R$ 10000,00 a juros de 10% ao ano rendeu um

montante de R$ 13310,00. Por quanto tempo durou a aplicação?

Para resolver este problema vamos precisar de algebrismos do objeto matemático logaritmo. Logaritmo

Acompanhe o nosso raciocínio! Pense num número, digamos 16. Agora perguntamos: a qual expoente devemos elevar o número 2 para obter 16? Sem muitas dificuldades chegamos ao resultado 4 , ou seja 24 = 16.

O que acabamos de fazer foi encontrar o logaritmo do número 16 na base 2. Apesar de um nome um pouco assustador – logaritmo –, o que se faz nada mais é que a busca de um expoente. Calcular o logaritmo de um número b > 0 numa base a > 0 e a ≠ 1 é simples desde que tenhamos uma maneira de escrever b como uma potência de a . Melhor dizendo, qual expoente que devemos elevar a para obter b? No nosso exemplo: log 216 = 4 pois 24 = 16 166


De maneira geral, simbolicamente escrevemos: log a b = x ⇔ a x

=b

sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1 

O número b é chamado de logaritmando;



o número a é chamado de base;



o número x é chamado de logaritmo. Pare! Observe!

Quando calculamos log a b = x , note que para qualquer base a > 0 não existe expoente para a que nos retorne um número negativo, logo b > 0.

Note que nunca podemos calcular o log1 b , pois o número 1 elevado a qualquer expoente é sempre igual a 1, ou seja, não conseguimos escrever qualquer número positivo b, na base 1, logo obrigatoriamente a ≠ 1. Quando a base do logaritmo for igual a 10 , não costumamos escrever a base, por exemplo, log10 100. Escrevemos simplesmente log 100, e fica subentendido que a base é 10 . Aos logaritmos na base 10 , damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs. Aos logaritmos que utilizam a base e (número neperiano) damos o nome de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. A sua notação também pode ser diferente: loge b = 1 ou ln b.

Exemplos 1) Calcule log 1000 Se log 1000 = x então 10x = 1000 = 103 x = 3

10 x

Portanto log 1000 = 3. Unidade 6

167


2) Calcule Se

log347

log347 1 49

1 49

.

= x então

347 x = (73 ) x

1

.

49 1

=

72

= 7−2 3 x = −2 x = −2 / 3 73 x

3) Calcule Se

log 243 3 .

log 243 3 = x então 243 x

=

3 1

= 32

5 x

(3 )

1 5 x

3

= 32

5 x = x =

1 2 1

10

4) Verifique para qual valor de x os os logaritmos abaixo existem. a) log4 = (x – – 6) A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando: x – – 6 > 0 x > > 6

b) log(x – – 2) 100 Como o logaritmando já é um número positivo, positivo, estabelecemos apenas a condição para a base: x − 2 > 0 e x − 2 ≠ 1

ou x > 2

168

e

x ≠ 3.


Assim o conjunto verdade verdade é dado por V = { x ∈ R, x > 2 e x ≠ 3} . Olhando o passado! Na escala Ritcher temos o uso de logaritmos!

Você por acaso sabe o que significa dizer que um terremoto atingiu 5 graus na escala Ritcher? Na verdade este número é o logaritmo da energia liberada pelo tremor. tremor. Quem criou esta escala foi o sismologista americano Charles Ritcher. A energia liberada por tremores é um número enorme, na casa dos bilhões. O que Ritcher fez foi calcular o logaritmo da energia em uma unidade chamada erg. Em seguida subtraiu 11,8 do resultado do logaritmo da energia, e por fim dividiu o resultado resultado por 1,5. Com estas simplificações, simplifi cações, os valores na escala vão de 1 a 10, uma simplificação e tanto, não é? (Nota: o número 11,8 subtraído do resultado do logaritmo é um número arbitrário).

Propriedades do logaritmo

As propriedades que seguem são ditas operatórias e são usadas em diferentes momentos em que o uso dos logaritmos é indicado. Lembre que ao usar a linguagem ling uagem simbólica estamos considerando considerando que os parâmetros parâ metros literais são dimensionados dimensionados de modo que o logaritmo exista. 1) O logaritmo do produto de dois dois ou mais números, em uma mesma base, é a soma dos logaritmos destes números na mesma base. Simbolicamente log a ( m ⋅ n) = log a m + log a n .

2) O logaritmo do quociente de dois números numa mesma base é a diferença d iferença entre o logaritmo do numerador numerador e o logaritmo do denominador, denominador, na mesma base. Simbolicamente log a ( m / n) = log a m − log a n .

Unidade 6

169


3) O logaritmo de uma potência é igual ao produto produto do expoente desta potência pelo logaritmo da base da potência, mantendo mantendo o logaritmo loga ritmo na mesma base. Simbolicamente log a b n = n log a b . Como propriedades propriedades gerais gera is podemos ter: a) log a 1 = 0 , pois a 0 = 1 ; b)

log a a = 1 , pois a1

c)

log a a m

= a;

=m.

Exemplos 1) Sabendo que log 2 = 0, 3010 e log log 24 .

log 3 = 0, 4771 , calcule

Primeiramente fatoramos o número

24 = 233 , assim:

log 24 = log( 23 ⋅ 3)

= log 23 + log 3 = 3 ⋅ log 2 + log 3 = 3 ⋅ 0, 3010 + 0, 4771 801. = 1, 3801.

2) Sabendo que log a = 0, 3010 , log c = 0, 8450 , calcule log

log b = 0, 4771 e a ×c b2

.

Vamos usar as propriedades: log

a ×c b

2

= log(

a × c) − log( b 2 )

= log a1/ 2 + log c − 2 log b =

1 2 1

log a + log c − 2 llog og b

= × 0, 3010 + 0, 8450 − 2 × 0, 4771

2 = 0, 0413

170


3) Calcule

log 0, 02 , sabendo-se que log 2 = 0, 3010 .

Temos T emos:: log 0, 02 = log

2 100

= log 2 − log 102 3010 − 2 ×1 = 0, 30 = −1, 699. Mudança de base de logaritmo

As bases de logaritmo loga ritmo mais comuns são as decimais ou de Briggs e as naturais ou neperianas. Estas aparecem na maior parte das calculadoras científicas e financeiras. Olhando o futuro!

Se você é inseparável da sua calculadora financeira ou científica, parabéns! Você tem a visão de que a tecnologia está em constantes avanços e que precisamos nos atualizar. Mas cuidado! A calculadora não raciocina e não consegue viabilizar situações sem que você assuma o comando. Por exemplo, se você está diante de um logaritmo com base 4? Sua calculadora vai resolver?

Usamos a mudança de base. Acompanhe as idéias seguintes: log A B = C ⇒ AC = B

(1)

log D B = F

(2)) (2

⇒ D F = B

log D A = G ⇒ DG

=A

(3)) (3

De (1) (1) e (2) temos que AC = D F . Como de (3) temos que DG = A , podemos reescrever: = D F ( D G )C = D F ou D GC = D F AC

GC

= F

C =

F

Unidade 6

G

171


Assim, podemos reescrever (1) como: =

log A B

F G

ou log A B =

log D B log D A

Quando D = B , podemos escrever: log A B

=

log B B

ou

log B A

log A B

1 =

log B A

Exemplos 1)

log 2 13 =

log 3 13 log 3 2

= 3,70044. 2)

log3 5 =

log 5

= log 3

=

log 5 13 log 5 2

0, 6989 69897 70 0, 477121

=

log 7 13 log 7 2

=

log 13 log 2

1,1139 113943 43

= 0, 30103 = 01030 0

= 1,464974.

Vamos lembrar do problema do início desta seção para constatar a importância de saber lidar l idar com logaritmos. P3 – Uma aplicação de R$ 10 000,00 a juros de 10% ao ano rendeu um

montante de R$ 13 310,00. Por quanto tempo durou a aplicação?

Solução: Para resolver este problema problema vamos precisar utilizar util izar o

conceito de logaritmo. Temos T emos::

M = 13310 C = 10000 i = 10%

Assim,

= C (1 + i) n 13310 = 10000(1 + 0,1) n M

172

13310

1,1n

=

1,1n

= 1, 331

10000


Para encontrarmos n, vamos aplicar logaritmo: log(1, 1) n

= log 1, 331

Usando propriedades de logaritmos e uma calculadora temos: n ⋅ log(1,1) = 0,124 n ⋅ 0, 041 = 0,124 n=

0,124 0, 041

n ≅ 3.

Ou seja, o capital inicial ficou aplicado por aproximadamente três anos. Estamos agora prontos para discutir na seção seguinte as funções logarítmicas. Vamos discutir a função logarítmica de forma comparativa com a função exponencial, e verificar que essas funções são inversas uma da outra. Ao resolver um problema prático é possível observar que podemos usar a função exponencial ou a função logarítmica. Por que isto acontece?

Para responder esta pergunta vamos lembrar da definição de logaritmo. Temos: log a b = x ⇔ a x

=b

As operações indicadas são ditas inversas. Da mesma forma a função exponencial é a função inversa da função logarítmica ou vice-versa. Pare! Revise!

A existência da inversa fica garantida, pois ambas as funções são ditas sobrejetoras. Veja: Se y = f (x ) é uma função de A em B e se para cada y ∈ B existir exatamente um valor y ∈ A tal que y = f (x ), então podemos definir uma função g = f – 1 tal que x = g (y ).

Unidade 6

173


Para facilitar o esclarecimento da definição acima podemos visualizar a Figura 6.10, que mostra as funções y = log2 x , y = 2x e y = x . Podemos observar uma função exponencial, uma função logarítmica e a função linear y = x . Verifique a perfeita simetria das curvas em relação à reta.

Figura 6.10 – Função exponencial e logarítmica

Olhando o presente!

Para reforçar as idéias acima vamos resgatar um problema prático.

P4 – A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês

(creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 em quanto tempo vamos ter um saldo de R$ 135,00?

Este problema pode ser resolvido usando-se funções exponenciais ou função logarítmica. Temos: = C (1 + i)n M = 100(1 + 0, 005) n M = 100 ×1, 005n M

Na Figura 6.11 podemos visualizar a função exponencial M = 100 ×1, 005n , que modela o problema. E na Figura 6.12 podemos visualizar a função logarítmica n = 461, 67(log M − 2) ,

174


que modela o mesmo problema. problema. A resposta do problema problema pode ser observada no próprio gráfico, ou seja, 60 meses ou 5 anos.

Figura 6.11 6.11 – Gráfico da d a função M = = 100 x 1,005 n

Figura 6.12 – Gráfico da função n = 461,67(log M – – 2)

Veja que se não usamos a representação gráfica podemos resolver o problema usando representação representação algébrica. algébr ica. Neste caso a função f unção logarítmica é recome recomendada. ndada. Veja Veja como a função fu nção logarítmica foi estruturada. Vamos escrever a inversa de M = = 100(1,005)n. Basta aplicar logaritmo e explicitar o valor de n. Temos: log M = log[100(1, 005) n ]

= log 100 + n log 1, 005 log M − log 100

log M n=

log 1, 005

Unidade 6

175


Usando a calculadora calcu ladora podemos obter obter (observe (observe que estamos usando logaritmo logar itmo na base 10 10):): n = 461, 67 log

M 100

ou n = 461, 67(log M − log 100) n = 461, 67(log M − 2)

Para responder à pergunta do problema basta aplicar o valor R$ 135,00 135 ,00 para pa ra obtermos o valor de n: n = 461, 67(log 135 − log 100) n ≅ 60.

Temos T emos portanto 60 meses meses ou 5 anos. Formalment Formal mentee podemos definir a função logarítmica logar ítmica como como a função inversa da função exponencial. Assim: y = log a x ⇔ a y

Observando que a > 0

e

=x

a ≠ 1 e x > 0 .

Exemplos 1) A representação representação algébrica da função inversa de y = = 3x será dada por: x = = 3 y (trocar x pelo pelo y )

Para isolar a variável y aplicamos o logaritmo na base 3 nos dois lados da equação: log 3 x = log 3 3 y log 3 x = y log 3 3 (aplicando a propriedade 3c do logaritmo) y = log 3 x

176


2) Agora faça o mesmo mesmo para as funções f ( x ) = 2 x + 1 e g ( x ) = 10 x −1 . f ( x ) = 2 x + 1

g ( x ) = 10 x −1

y = 2 x + 1

y = 10 x −1

x = 2 y + 1

x = 10 y −1

x − 1 = 2 y

log x = log 10 y −1

log 2 ( x − 1) = log 2 2 y

log x = ( y − 1) log 10

log 2 ( x − 1) = y log 2 2

log x log x = ( y − 1)

y = log 2 ( x − 1)

y = 1 + log x

f −1 ( x ) = log 2 ( x − 1)

g −1 ( x ) = 1 + log x

Vamos fazer uma análise a nálise conjunta das duas funções, fu nções, facilitando assim as reflexões sobre as propriedades e características. Função exponencial

Função logarítmica

Definição: Dado um número real a , tal que 0 < a ≠ ≠ 1, chama-se função exponencial de base a a a função f que associa a cada x real real o x número a .

Definição: Dado um número real a , tal que 0 < a ≠ ≠ 1, chama-se função logarítmica de base a a a função f que associa a cada x real real o número log a x .

f : R → R*+ x → a x

f : R*+ → R x → loga x

f ) = R O domínio da função exponencial é D ( f e a imagem é Im( f f ) = (0, +∞).

f ) = (0, O domínio da função logarítmica é D( f +∞) e a imagem é Im( f f ) = R.

f (x ) = a x é crescente se, e somente se, a > > 1 (ver Figura 6.13) e decrescente se, e somente se, 0 < a < < 1 (ver Figura 6.14).

f (x ) = loga x é é crescente se, e somente se, a > > 1 (ver Figura 6.15) e decrescente se, e somente se, 0 < a < < 1 (ver Figura 6.16).

Com relação ao gráfico da função f (x ) = a x , pode-se dizer que: 1°) a curva que representa esta função está toda acima do eixo dos x , pois y = = a x > 0 para todo x ∈ R; 2°) a curva sempre sempre corta o eixo y no no ponto de ordenada 1, pois, se x = = 0, então f (0) = a 0 = 1.

Com relação ao gráfico da função f (x ) = loga x pode-se dizer que: 1°) a curva que representa esta função está toda à direita do eixo dos y, já que esta função só é definida para x > 0; 2°) a curva corta o eixo dos x no ponto de abscissa 1, pois, se x = 1, então f(1) = loga 1 = 0.

Unidade 6

177


Figura 6.13 - Gráfico de y = = a x , para a > > 1

Figura 6.15 - Gráfico de y = = logax, para a > > 1

Figura 6.14 - Gráfico de y = = a x para 0 < a < < 1

Figura 6.16 - Gráfico de y = = loga x , para 0 < a < < 1

As funções f (x ) = a x e g (x ) = loga x , são inversas uma da outra. O gráfico de f (x ) = a x é simétrico ao gráfico da função g (x ) = loga x em relação à reta y = = x .

Seção 4 - Aplicações Vamos apresentar exemplos exemplos para finaliza fina lizarr esta unidade. Observe Obser ve bem os detalhes detal hes para esclarecer todos os conceitos conceitos e propriedades das funções discutidas.

Exemplos 1) Como modelar a produção produção de um operário em uma fábrica? 178


A produção de um operário em uma fábrica pode ser modelada. Por exemplo, f (t ) = 50(1 − e− kt ) , sendo t o tempo em dias e k uma constante característica do contexto no qual os dados são coletados. A partir de uma informação pontual é possível achar o valor de k. Por exemplo, exemplo, se o operário produzir 36 unidades em quatro dias, temos temos:: f (4) = 37

ou f (4) = 50(1 − e− k 4 ) = 37

Podemos Pode mos reescrever: reesc rever: 50 − 50e − k 4

= 37 −50e − k 4 = 37 − 50 −50e − k 4 = −13

e − k 4

=

13 50

Aplicando logaritmo natural: ln e − k 4

= ln

13

50 − 4k ≅ −1, 35 k ≅ 0, 34

Assim a função que modela é

f (t ) = 50(1 − e−0,34t ) (ver Figura 6.17).

Figura 6.17 – Gráfico de

f (t ) = 50(1 − e −0,34 t )

Unidade 6

179


Vejamos outros exemplos. 2) Em um laboratório, um determinado inseto apresenta um ciclo reprodutivo de uma hora: a cada hora um par de inseto gera outro par. Um par foi deixado junto para reprodução. Depois de cinco horas verificou-se o número de insetos presentes. Qual o valor encontrado? Como modelar essa experiência? Acompanhe a análise: P0 = população inicial

=2

P1 = população após 1 hora

= P0 . 2

= P0 . 21

P2 = população após 2 horas = P1 . 2 = P0 . 2 . 2

= P0 . 22

P3 = população após 3 horas = P2 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2

= P0 . 23

P4 = população após 4 horas = P3 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2 . 2 = P0 . 24 P5 = população após 5 horas = P4 . 2 = P0 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = P0 . 25 Genericamente, poderíamos dizer que para este ciclo teríamos: Pn = P0 . 2 n sendo n = número de horas P0 = população inicial Pn = população após determinado número de horas

3) Qual a taxa mensal (%) para dobrar um capital em dois anos? A expressão que devemos usar para resolver esse problema é: M = C (1 + i)n

180


Queremos encontrar i tal que C seja duplicado, ou seja, M = 2C. Como queremos a taxa mensal, vamos usar n = 2 anos = 24 meses. Assim, = C (1 + i)24 2 = (1 + i ) 24 24 2 = 1+ i i = 24 2 − 1 i ≅ 0, 029 2C

Portanto, temos 2,9 %.

Síntese Nesta unidade você estudou as funções exponenciais e as funções logarítmicas. Para facilitar o estudo optamos pelo desenvolvimento detalhado de objetos matemáticos tais como potências, raízes e logaritmo. Você deve sair dessa unidade com a certeza de que consegue visualizar situações práticas que são modeladas com funções exponenciais ou logarítmicas. Na última unidade vamos analisar as funções circulares ou trigonométricas visualizando problemas gerais do dia-a-dia.

Atividades de auto-avaliação 1) Escreva na forma decimal: a) 1034 b) 105 c) 3 . 102

Unidade 6

181


2) Escreva na notação científica: a) 72 000 b) 0,004 c) 0,022

3) Escreva na forma de uma única potência: a) 2 – 5 . 22 b)

(133 ) 4 (132 )5

c) 43 . 8 . 2– 5 d)

5−2 . 5−3 5−10 . 58

4) Calcule: a) d)

39 . 9 −2 27 7 . 81−5 125 . (252 )3 3

725

4

5) Simplifique: a)

w6 . z −6 z 3 . w 2 x3 . (y 2 )3

b)

182

3

y 4 . x1 4


6) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f (x ) = 2x b) f (x ) = 3x – 1 c) f (x ) = log2 x d) f (x ) = log(1/2) x

7) Identifique se as seguintes funções são crescentes ou decrescentes: a) f (x ) = 6x x

b) f (x ) = 3 2 x

 3  c) f (x ) =    4 

d) f (x ) = (0,125)x e) f (x ) = log3 x f) f (x ) = log(1/3) x

8) Calcule os seguintes logaritmos a) log327 b) log3(1/243) c) log10100 d) log81 4 3

Unidade 6

183


9) Determine o valor de x: a) log(1/625) 5 = x b) logx 25 = 2 c) log2 x = 8 d) logx (8/27) = 3

10) Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam: a) log3 (x + 1) b) log(7x -21) 4

11) Sabendo que log 2 = 0,3010 , calcule log0,0002.

12) Um capital de R$ 56,00 é aplicado, a juros compostos, por dois anos e meio, à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação?

184


13) Um capital foi aplicado, a juros compostos, durante três meses, à taxa de 20 % a.m. Se, decorrido esse período, o montante produzido foi de R$ 864,00, qual o capital aplicado?

14) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em oito anos?

15) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de, aproximadamente, 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar, mantendo esta taxa?

16) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N = 2 (0,5) t, em que t é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar, se o limite permitido por lei é de 0,8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 0,3)

Unidade 6

185


Saiba mais Sugerimos que você faça uma pesquisa na internet para visualizar várias situações do contexto financeiro, pois a área econômica e financeira é rica em situações-problema que são modeladas com funções exponenciais e funções logarítmicas . Como curiosidade sugerimos a leitura do artigo “Tabela Price e a Prática de Anatocismo”, de Luiz Gonzada Junqueira de Aquino, que poderá ser visualizado em http://www.sindecon-esp.org.br/ force_download.php?file=arq_sys/neodownload/resptabelaprice. pdf&name=resptabelaprice.pdf.

186

UNIDADE 7

Funções trigonométricas Objetivos de aprendizagem 



Identificar funções trigonométricas em diferentes situações-problema. Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções trigonométricas.

Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 Relações trigonométricas no triângulo

retângulo Seção 3 Funções trigonométricas Seção 4 Funções trigonométricas inversas

7


Para início de estudo Ted e Mad estão sempre inventando uns fins de semana diferentes. Veja o que eles estão conversando na academia! - Ted, vamos combinar no próximo feriadão um passeio radical? Que tal lembrar do nosso sonho de adolescente e fazer uma escalada no Morro da Cruz? - Oh! Cara! Pirou? - Esqueceu que escalar é um desejo tão humano como o de voar? - É, mas é um esporte de muito risco, sobretudo porque exige preparo físico e eu estou um bocado enferrujado. - Sabe, Mad, ainda lembro de palavras do dicionário de alpinismo que consultamos para fazer uma pesquisa no colégio. - Puxa! O que você lembra? - SOROCHE! - Soroche? O que significa? - É o chamado mal das alturas, que ocorre a partir dos 3500 metros de altura. - É você sempre tem boa memória. Que horas são? - Sete. - Puxa cara, vou nessa, estou atrasado, ainda tenho uma reunião de negócios no jantar. - Até mais! Fica pra próxima a nossa escalada. - Até!

188


Seção 1 - Introdução Para discutir as funções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo. Assim, nesta primeira seção vamos fazer uma revisão para que você possa discutir com facilidade os objetos envolvidos no contexto das funções trigonométricas. Lembrando da conversa do Ted e Mad, vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida. Este conceito é conhecido pelos alpinistas, pois existe uma preferência por subidas íngremes. Na Figura 7.1 você pode observar duas subidas. Qual a mais íngreme?

(A)

(B) Figura 7.1 - Subidas

Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em (A). A referência matemática para fazer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso (A) é maior que em (B). É possível definir o ângulo de subida a partir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação: percurso, altura e afastamento (ver Figura 7.2).

Figura 7.2 – Medidas relacionadas com o ângulo de subida

Unidade 7

189


Para discutir essa situação-problema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo. Em geral o índice de subida é dado pela relação: índice de subida

=

altura

afastamento

Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a definição da tangente do ângulo de subida. Porém, outras relações ainda podem ser definidas para facilitar cálculos necessários na resolução de diferentes problemas práticos. A partir dessas relações podemos discutir as funções trigonométricas ou funções circulares. Olhando o passado!

A trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga. A primeira tabela com razões trigonométricas foi compilada por Hiparco, no século II a.C. Essa ferramenta matemática atendia aos interesses da astronomia, agrimensura e navegação. A transição dos estudos das razões trigonométricas para as funções trigonométricas começou no século XVI com o Matemático Viète e culminou no século XVIII com o trabalho de Euler.

Para os interessados em mais detalhes, recomendamos a leitura do artigo “Seno de 30 é um meio?”, de Renate G. Watanabe, disponível na Revista do Professor de Matemática, n. 30, p. 26–32 do primeiro quadrimestre de 1996.

190

Formalmente, existe diferença entre as definições das funções trigonométricas e das funções circulares, entretanto, neste texto, não vamos nos preocupar com essa diferença, para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos.


Seção 2 - Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos falando de trigonometria no triângulo retângulo, os ângulos são medidos de 00 (zero graus) a 1800 (cento e oitenta graus) ou de 0 a radianos. π

Pare! Observe!

Para todo círculo, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega π (Pi), que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para π com 10 dígitos é 3,1415926536... Pare! Revise!

É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras. Se considerarmos: a = medida da hipotenusa; b = medida do cateto oposto

ao ângulo B; B

c = medida do cateto oposto

ao ângulo C. Podemos escrever a 2

= b2 + c2

Observe na Figura 7.3 as propriedades e razões estabelecidas a partir do triângulo retângulo ABC.

Figura 7.3 – Triângulo retângulo

Unidade 7

191


1. O triângulo ABC é retângulo. O ângulo A é o ângulo reto (mede noventa graus). 2. A hipotenusa do triângulo dado mede a , e os catetos medem b e c . 3. O cateto b é oposto ao ângulo B e adjacente ao ângulo C . 4. O cateto c é oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B . 5. Vale o Teorema de Pitágoras:

= b2 + c2 .

a2

6. Valem as relações que definem: Seno de B sen B

cateto oposto =

hipotenusa

ou

sen B

b =

a

Cosseno de B cos B

cateto adjacente =

hipotenusa

ou

cos B

c =

a

Tangente de B tg B

cateto oposto =

cateto adjacente

ou

tg B

b =

c

De forma similar podemos estabelecer as razões para o ângulo C . 7. A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente. 8. A secante é o inverso do cosseno. 9. A cossecante é o inverso do seno. Você pode fazer um jogo algébrico e formatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo. Ao fazer isto você estará analisando a trigonometria no triângulo retângulo.

192


Olhando o passado!

A palavra “trigonometria” significa medida dos três ângulos de um triângulo:  TRI  três;  GONO  ângulos;  METRIA  medida. A palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não tem nada a ver com o conceito matemático. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até os nossos dias. A palavra que deveria ser traduzida é jiba, que significa um arco de caça ou de guerra. Na tradução do Árabe para o Latim as consoantes jb são traduzidas para sinus, e para a nossa língua seno.

Exemplos 1) Observe os triângulos retângulos dados e encontre o valor de x assinalado. a)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: = 22 + 62 x 2 = 4 + 36 x 2 = 40 x = 40 x ≈ 6, 32 x 2

x

2 6 b)

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

2

= 22 + x 2 36 = 4 + x 2 x 2 = 36 − 4 x 2 = 32 x = 32 x ≈ 5, 66 62

x

6

Unidade 7

193


Olhando o presente!


P1 – O ângulo de subida (ou de elevação) do pé de uma árvore, a 30 m da base de um morro, ao topo do morro é de 600 . Que medida deve ter um

cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro? Qual a altura do morro? morro?

Na Figura Figu ra 7.4 7.4 você pode observar observa r a situação apresentada no problema proble ma P1 e constatar que a solução é obtida a partir part ir do uso de uma relação trigonom t rigonométrica. étrica.

Figura 7.4 – Modelo do problema P1

Para calcular o comprimento x basta basta aplicar a relação entre o afastamento e o comprimento: cos600

194

=

cateto adjacente

=

30

hipotenusa x


O valor do cosseno de 60 graus pode p ode ser obtido numa tabela ou de forma mais rápida numa calculadora ( cos 600 = 0, 5 ). ou 0, 5 =

30

x 0, 5 × x = 30 x =

30 0, 5

x = 60 metros .

Para calcular calcu lar a altu altura ra do morro podemos usar o Teorema Teorema de Pitágoras fazendo = 302 + h2 602 = 30 2 + h 2 h 2 = 602 − 30 2 h 2 = 3600 − 900 h 2 = 2700 h = 2700 h ≅ 51, 9 96 metros 6 metros .

x 2

Pare! Observe!

Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizando-se utilizando-se também a razão raz ão trigonométrica tg 600

=

cateto oposto cateto adjacente

Unidade 7

.

195


Exemplos 1) Um observador visualiza o ponto culmina culminante nte de um morro sob um ângulo de 60 graus. Afastando-se do morro mais 20 metros, visualiza-se v isualiza-se o mesmo ponto sob um ângulo de 45 graus. Qual a altura do morro? 2) Triângulo DBC: tg 600

=

h x

.

Considerando tg 60 600 = temos 3 = h ou h = x

3 3x

Dessas relações podemos escrever um sistema: h = x + 20  h = 3x

Estamos diante de dois triângulos retângulos retângulos:: 1) Triângulo ABC: tg 450

=

h x + 20 .

Considerando que h tg 45 tg 450 = 1 temos 1 = x + 20 ou h = x + 20

ou x + 20 = 3 x 3 x − x = 20 x( 3 − 1) = 20 x =

20

3 −1 x ≅ 27, 32

Portanto a altura h do morro é h = x + 20

= 27, 32 + 20 = 47, 32 metros.

196


2) A 2000 metros de de um aeroporto aeroporto temtem-se se uma torre torre com 40 metros de altura. Para segurança do vôo, vôo, ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo 500 metros acima da torre. Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança? Na Figura 7.5 apresenta-se apresenta-se um modelo para auxil au xiliar iar a visualização visual ização do problema. problema.

Figura 7.5 – Modelo do problema do exemplo 1

Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a: h = 40 + 500

= 540 metros .

Do triângulo triâng ulo retângulo retâng ulo que modela o problema temos temos o valor do cateto oposto (altura h) e do cateto adjacente (afastamento horizontal). horizontal). Assim, podemos podemos escrever: tg θ

altura h =

afastamento afastamentohorizo horizontal ntal 540

=

=

2000 0, 27 .

Usando uma tabela ou uma calculadora vamos verificar que o ângulo ângu lo de subida, denotado denotado por θ , mede aproximadamente 150 .

Unidade 7

197


Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o todo, infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

3) Uma aplicaçã aplicaçãoo basta bastante nte interessa interessante nte e atual do Teorema de Pitágoras está nos fractais. Na Figura 7.6 (A) apresenta-se apresenta -se um fractal fr actal e na Figura F igura 7.6 (B), o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema de Pitágoras de forma geométrica (ou (ou através de recortes de figu figuras) ras)..

(A)

(B) Figura 7.6 7.6 – Fractal

É possível constatar a presença do Teorema de Pitágoras na Figura Figu ra 7.6. 7.6. Observe a Figura Figu ra 7.7 7.7 e compare. Para mostrar o Teorema T eorema de Pitágoras Pitágoras através da Figura Figu ra 7.7 7.7 basta recortar recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a fazer fazer a composição composição do quadrado de lado c .

Figura 7.7 – Teorema de Pitágoras

198


Olhando o futuro!

Você deve ter percebido como é importante uma calculadora para o desenvolvimento rápido das situações-problema. Cabe observar que o uso da calculadora, neste contexto, quase sempre vai nos apresentar um resultado com aproximação numérica, pois os valores das funções trigonométricas são usados de forma aproximada.

Seção 3 - Funções trigonométricas Geralmente as funções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio 1 denominado de círculo trigonométrico. Na Figura 7.8 apresenta-se um círculo trigonométrico com todas as funções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP. Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede 1 unidade de medida.

Figura 7.8 – Círculo trigonométrico

Unidade 7

199


As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e ficam geometricamente representadas por segmentos. Por exemplo: senα

cos α

medida de AP =

medida de OP

=

medida de OA =

medida de OP

=

medida de AP ou

medida de OB

medida de OA ou

medida de BP

Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e, portanto, podemos ampliar a análise para os demais quadrantes. As funções trigonométricas

Basicamente no item anterior já definimos as funções trigonométricas. As funções seno e cosseno podem ser definidas a partir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno. Função seno e função cosseno

Considere x um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico, como mostra a Figura 7.9. Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunferência. Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P, e cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P. Assim podemos escrever: ____

____

P = (OP1 , OP2 ) = ( senx, cos x)

200

.


Figura 7.9 – Círculo trigonométrico

É possível variar o valor do x para estabelecer o gráfico das funções. Observe o comportamento da função seno e da função cosseno na tabela que segue e nos gráficos das figuras 7.10 e 7.11. Vamos trabalhar com valores múltiplos de , pois daqui para frente vamos ver os ângulos com unidade de medida em radiano. π

x 0 π

/6

π

/3

π

/2

2π / 3 5π / 6 π

7

π

/6

4π / 3 3π / 2 5π / 3 11π / 6 2π

sen x = OP1

cos x = OP 2

0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0

1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0 0,5 0,866 1

Unidade 7

201


Observe que: 1) o domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [−1 , 1] ;

Figura 7.10 – Função seno (senóide)

2) há intervalos de crescimento e decrescimento.

Observe que: 1) o domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [−1 , 1] ;

Figura 7.11 – Função cosseno (cossenóide)

2) há intervalos de crescimento e decrescimento.

Pare! Observe!

Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio. Essa característica está relacionada com o fato de as funções trigonométricas serem periódicas.

- Mas você sabe o que é uma função periódica? Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T ≠ 0 tal que f ( x + T ) = f ( x) para todo x ∈ D( f ). Ao observar o gráfico de uma função periódica você verifica que ela se repete a cada intervalo de comprimento |T|.

202


Exemplos 1) A função seno é periódica de período 2 . Assim, sen ( x + 2 ) = sen x. π

π

2) A função cosseno é periódica de período 2 . Assim, cos ( x + 2 ) = cos x. π

π

Uma característica muito interessante da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade. Para todos os reais vale: sen x = − sen (− x) e cos x = cos(− x)

Pode-se dizer que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. Confira essa afirmação na seguinte definição: Uma função f (x ) é par, se para todo x no seu domínio temos f (x )= f (-x ). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio, temos f (x )=- f (-x ).

Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são definidas em função de seno e cosseno. Tem-se: tg x =

sen x cos x

1) domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x ≠ 0 ; 2) periódica de período π ; 3) sempre crescente; 4) função ímpar.

Figura 7.12 – Função tangente

Unidade 7

203


Tem-se: cot g x =

cos x sen x

1) domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x ≠ 0 ; 2) periódica de período π ; 3) sempre decrescente; Figura 7.13 - Função cotangente

4) função ímpar. Tem-se: sec x =

1 cos x

1) domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x ≠ 0 ; 2) periódica de período 2π ;

Figura 7.14 – Função secante

3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; 4) função par. Tem-se: cossec x =

1 sen x

1) domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x ≠ 0 ; 2) periódica de período 2π ;

Figura 7.15 – Função cossecante

3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; 4) função ímpar.

204


Exemplos 1) Usando um software , desenvolva o gráfico dos conjuntos de funções dadas e identifique domínio, conjunto imagem e período. a) y = senx ; y = sen2 x ; y = sen3 x Para resolver esse exercício vamos usar o software GRAPH. Observe que você pode outro software de sua livre escolha. Observe as figuras geradas para o intervalo de [−2

π

, 2π ].

Figura 7.16 - Gráficos de y = senx ; y = sen2 x ; y = sen3 x

Observe que: o domínio de todas as funções é o conjunto dos reais; o conjunto imagem de todas as funções é o intervalo [−1 , 1] ; 





o período da função y = senx é 2 ; o período da função y = sen2 x é e o período da função y = sen3 x é 2 . π

π

π

3

Unidade 7

205


Portanto, ao multiplicar o valor de x , da função y = senx , por um número real, vamos observar que o período da função fica 2 dividido por este número. π

b) y =| senx |

Figura 7.17 - Gráfico de y =| senx |

Veja o gráfico gerado no software ao colocarmos para variar entre [−2 , 2 ]. Tem-se que: π

π



o domínio é o conjunto dos reais;



o conjunto imagem é [0,1] ;



o período é . π

Olhando o presente!

Você sabia que na sua viagem de negócios ou de passeio a trigonometria acompanha você?

P2 – Como modelar matematicamente a situação de um avião voando

a 240 mi/h (milhas por hora) com proa de 60 graus com um vento de 30 mi/hora de 330 graus?

Antes de discutir este problema é importante fazer alguns esclarecimentos de nomenclatura (acompanhe nas figuras 7.18 e 7.19): 206




proa de um avião é a direção para o qual o avião está

apontando. A proa é medida no sentido horário a partir do norte e expressa em graus e minutos. No problema tem-se 60 graus; 

velocidade no ar (determinada na leitura do indicador na

aeronave) é a velocidade do avião em ar parado;



rota do avião é a direção na qual ele se move em relação

ao chão. Ela é medida no sentido horário a partir do norte; 

velocidade de solo é a velocidade do avião em relação ao

solo;



ângulo de deriva (ou ângulo de correção do vento) é a

diferença (positiva) entre a proa e a rota.

Figura 7.18 – Modelagem do problema P2

Figura 7.19 – Triângulo retângulo OBC

Podemos calcular a velocidade de solo, representada pela hipotenusa no triângulo retângulo OBC. Temos: = 2402 + 302 v 2 = 58500 v ≅ 241, 87 milhas / horas v2

Para encontrar a rota é necessário encontrar o ângulo θ . Temos que: tg θ

30 =

240

=

0,125

Unidade 7

. 207


Usando a calculadora podemos encontrar que o ângulo θ é aproximadamente igual a 7 graus. Assim, Rota = 600 + 7 0

= 67 0 .

Seção 4 - Funções trigonométricas inversas Você já estudou as funções inversas na Seção 4 da Unidade 2. Agora você irá analisar a existência das funções trigonométricas inversas. Num olhar inicial, pode-se dizer que é impossível definir função inversa para cada uma das funções trigonométricas, pois a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x . Para formalizar a definição das funções inversas é necessário fazer restrição no domínio. Veja como fica inicialmente a inversa da função seno. Função arco seno 

π

π



Vamos redefinir a função f ( x) = sen x para o domínio − 2 , 2  .   Assim, a função inversa de f ( x) , será chamada de função arco seno e denotada por y = arc sen x . Tem-se que para   cada x ∈ [−1,1] corresponde y ∈ − 2 , 2  , valendo a seguinte   equivalência: π

π

y = arc sen x ⇔ sen y = x

Observe o gráfico da Figura 7.18 para identificar as seguintes características dessa função: 

208

D ( arcsenx) = [−1,1] ;








π

π



Im(arcsenx) = − ,   2 2 

;

função sempre crescente.

Figura 7.20 – Função arco seno

Observe o quadro que segue com as demais funções trigonométricas inversas:

Função arco cosseno

Para

0 ≤ y ≤ π temos:

y = arc cos x ⇔ x = cos y

Observe que esta função é decrescente em todo o seu domínio. Figura 7.21 – Função arco cosseno

Unidade 7

209


Função arco tangente

Para −

π

< y <

π

temos:

2 2 y = arc tg x ⇔ x = tg y

Esta função é sempre crescente. Figura 7.22 – Função arco tangente

Função arco cotangente

Para 0 < y < a função inversa da tangente pode ser definida como: π

y

Figura 7.23 – Função arco tangente

=

arc cot g x

π =

−

2

arc tg x

Essa função é sempre decrescente, portanto pode ser a forma de um escorregador. Função arco secante

Pode-se definir a função arco secante como: y = arc sec x = arc cos (1 / x)

Figura 7.24 – Função arco secante

210

Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que | x |> 1 .


Função arco cossecante

Pode-se definir a função arco secante como: y = arc cos ec x = arc sen (1 / x)

Observe que o domínio é dado por valores x reais tais | 1. que | x >

Figura 7.25 – Função arco cossecante

Exemplos No seu contexto do dia-a-dia você exercita o uso das funções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir do seno, cosseno ou tangente. Retome o problema P2 e constate que este conceito foi usado: tg θ

30 =

240

=

0,125

θ

=

arctg 0,125

θ

=

0,124 radianos

Podemos converter para graus lembrando da relação π

radianos

=

180 graus

Assim, para transformar radianos em graus usamos: medida do ângulo em graus =

medida do ângulo em radianos ×1800 π

=

=

medid a do ângulo em radianos ×1800 3,14 medida do ângulo em radianos ×57, 32

Unidade 7

211


Observe que estamos trabalhando com valores aproximados. Assim: θ = arctg 0,125 θ = 0,124

radianos

ou θ ≅ 7 graus .

Parada recreativa

No domingo Ted e Mad se encontraram rapidamente na rua movimentada. – Olá, Ted, como vai? – Puxa cara! Que corrida. Minha vida deu uma virada de 360 o. – Ah! Ah! Ah! Que piada! Conta outra.

Você sabe por que Mad ficou rindo?

212


Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as funções trigonométricas que têm aplicações em várias situações. Em especial as funções trigonométricas são trabalhadas em Matemática mais avançada modelando fenômenos físicos que têm a característica de periodicidade. Esta unidade encerra o seu estudo nesta disciplina. Esperamos que os objetos discutidos, ao longo das unidades, possam mostrar a beleza e a grandeza da Matemática como ferramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias. Bom trabalho no decorrer do seu curso!

Atividades de auto-avaliação 1) Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções: a) y = 1 + senx

 x    2 

b) f ( x ) = cos 

c) g ( x ) = 2tg ( x )

Unidade 7

213


2) Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30 o. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m, qual é a altura entre os dois pisos da loja?

3) Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus. Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus. Qual é a altura do morro?

4) Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte?

5) Uma escada apóia-se na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício. A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão?

214


6) Do topo de um farol, 120 metros acima do nível do mar, o ângulo de depressão de um barco é 15 graus. Qual é a distância do farol ao barco?

7) Na Figura 7.26 tem-se que: CD = 5 cm BC = 4 cm AB = 3,2 cm AC = x cm BD = y cm Pergunta-se: a) Qual o valor de x? b) Qual o valor de y? c) Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo

α

?

d) Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo β?

Figura 7.26 – Triângulos retângulos

Unidade 7

215


Saiba mais Se você ficar interessado em conhecer mais detalhes sobre as funções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria, recomendamos uma busca na internet. Observe que este é um dos temas preferidos em sites que discutem objetos matemáticos. Vale a pena conferir! Em especial recomendamos: http://www.dapp.min-edu.pt/nonio/softeduc/soft3/circ.htm

para obter um software livre e

http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/data/pi.html para

constatar 10000 dígitos do número Pi.

216

Para concluir o estudo Você concluiu o estudo desta disciplina, que é parte integrante do seu curso. Para finalizar, gostaríamos de deixar uma mensagem destacando a importância da Matemática no seu dia-a-dia. Sabemos que os objetos matemáticos citados nesta disciplina são, em certos momentos, bastante abstratos, pois nem sempre conseguimos concretizar um exemplo real. Mas o conhecimento adquirido no estudo desses conteúdos está além de situações reais, pois a lógica matemática carrega uma estrutura que provoca um repensar sistemático de caminhos para a resolução de diferentes tipos de problemas. Temos a certeza de que os conteúdos aqui apresentados são básicos para o estudo mais avançado da Matemática, mas são também fontes inspiradoras de caminhos para a resolução de diferentes tipos de problemas. Você deve ter observado que os personagens Ted e Mad foram criados para inspirar situações práticas nas quais a Matemática básica e elementar está presente. Esperamos, por fim, que você lembre dos nossos personagens sempre que for necessário associar os métodos matemáticos na resolução de diferentes situações-problema. Uma boa caminhada para você!

Referências ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática . Campinas: UNICAMP, 1995. FLEMMING, D. M.; LUZ, E. F. Representações gráficas . São José: Saint Germain, 2003. FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º grau. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n. 43, p.20-25, 2º quadrimestre de 2000. IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. KLINK, Amyr. Mar sem fim: 360o ao redor da Antártica. São Paulo: Companhia das Letras, 2000. WATANABE, Renate G. Seno de 30 é um meio? Revista do Professor de Matemática, n. 30, p. 26 – 32 1º quadrimestre de 1996.

Sobre os professores conteudistas Diva Marília Flemming é doutora em Engenharia de

Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É mestre em Matemática Aplicada e graduada em Matemática, ambos pela UFSC. Já atuou no ensino de disciplinas em curso de administração na Universidade para o Desenvolvimento do Estado de SC (UDESC), como professora convidada. Aposentada como professora pela UFSC, atualmente é professora e pesquisadora na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). No contexto do ensino de Matemática tem desenvolvido suas atividades na Unisul com alunos dos cursos de Engenharia e de Matemática. É autora de livros de Cálculo Diferencial e Integral, adotados em vários estados do Brasil. Como pesquisadora, no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM – UNISUL), dedica-se à Educação Matemática com ênfase nos recursos tecnológicos. Sua atual paixão profissional está nos desafios da educação a distância, realizando experimentos na formação de professores de Matemática. Atualmente, coordena na UnisulVirtual dois cursos oferecidos a distância: Graduação em Matemática – Licenciatura e Pós-Graduação em Educação Matemática. É autora de vários livros didáticos utilizados na UnisulVirtual. Elisa Flemming Luz é doutora em Engenharia de

Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), mestre em Engenharia Elétrica e graduada em Engenharia Elétrica, ambos pela UFSC. Atuou como professora da Unisul de 1996 até agosto de 2006, ministrando aulas em disciplinas na área da Matemática para os cursos de Engenharia e Matemática. Ministra disciplinas em cursos de especialização presencial e a distância. Desenvolveu diversas pesquisas no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM – UNISUL) na área de Educação Matemática. Atualmente é professora do CEFET de Santa Catarina.

Christian Wagner é mestre em Física-Matemática pela

Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e bacharel em Matemática e Computação Científica pela UFSC. Professor substituto na UFSC entre 2001 e 2003. Professor horista da Unisul desde 2001. Atualmente atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM) nas atividades de ensino e extensão voltadas para as dificuldades de aprendizagem da Matemática. No contexto da pós-graduação atua na especialização em Educação Matemática na modalidade a distância como autor e tutor de disciplinas.

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação Unidade 1 1) Efetue as operações indicadas: a)

2 3

5

+

6 2 3

b)

1 9

−

5

2 ⋅ 2 + 5.1

6

6

2

1⋅ 7 − 2 ⋅ 9

7

9⋅7

+ =

c) 10 ÷

− =

6

2

=

7 − 18 63

=

−11 63

.

4

d) 9 −

3 4

4

40

3

3

= 10 ⋅ =

.

4 5 9−

4 5

4

3

4

3⋅5 − 4

5

1

5

5

= 3− = − =

− 0, 3 1 4

f)

3

3

10 ÷

4

6

9

= = .

7 9

1

4+5

2 1

e)

=

− 0, 3 = 0, 25 − 0, 30 = −0, 05 .

3 1

×

4 3 3 1

3 ×1

4 3

4×3

× =

=

3 12

1

= . 4

=

15 − 4 5

=

11 5

.


 3 + 7  × g)   2  3  1  7  1  9 + 7  1  16  1×16 16 8 ×  3 +  = ×  = = .  = ×   = 2  3  2  3  2  3  2 × 3 6 3 1

h)

3 4

÷

5 3 3 4

5

3

3

3× 3

3

4 5

4×5

÷ = × =

=

9 20

.

7

i)

6 7 7

6 7

7

7

7

1

7 ×1

6

1

6

7

6×7

= ÷ = × =

=

7

1

42

= . 6

10 j) 5 3 10 5 3

=

10 1

5

÷ = 3

10 3 1

× = 5

10 × 3 1× 5

=

30 5

=6

.

2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$ 1200,00. No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais Quanto ele recebe? Vamos calcular

1 3

1 3

referente às férias.

de R$ 1200,00: 1 3

de 1200

1

1200

3

3

= ×1200 =

= 400

Assim, o funcionário receberá, no mês de suas férias R$ 1200,00 + R $400,00 = R$ 1600,00.

224


3) Mario trabalhou sete meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. Por isso, recebeu a quantia igual a

7 12

de um salário, correspondente à

parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida? 7

Para determinar a quantia recebida, é preciso calcular de R$ 12 600,00: 7 12

× 600 =

4200 12

= 350 .

Assim, Mario recebeu R$ 350,00 referentes à parte do 13o salário. 4) Se

2 5

correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?

Para calcular quanto é um inteiro, vamos estruturar uma regra de três simples: 2 5 5

→

180

=1 →

5

2 5 2 5

x

⋅ x = 180 ⋅1 ⋅ x = 180 x = 180 ⋅

5 2

x = 450

Assim, um inteiro será igual a 450. 5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que roda, em média, 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante? Vamos calcular a distância que o carro roda se fizer a média estabelecida e se pusermos 14,5 litros: 7,14

km l

×14, 5 l = 103, 53 km

Se o carro consegue rodar 103,53 km, então com certeza chegará ao hotel que fica a 98 quilômetros de distância do início do percurso. 225


6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio? No recheio usa-se 0,25 de 0,5 litros de leite. Isto pode ser escrito da seguinte forma: 0,25 de 0,5 = 0,25 x 0,5 = 0,125. Assim, utiliza-se 0,125 litros de leite no recheio. Veja que esta quantidade corresponde a

1 8

do litro.

7) Uma mãe deu dinheiro aos três filhos, dizendo que era um terço para cada um. O primeiro filho gastou só um terço da sua parte. Que fração do total ele gastou? Se o primeiro filho gastou

1 3

de sua parte, então ele gastou 1 1

1

3 3

9

1 3

de

1 3

⋅ = .

Então ele gastou

1 9

do valor total.

8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de idade. Esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados? Vamos colocar os dados do problema na regra de três: 60 associados 18 associados

→ →

1 x

60 x = 18 ⋅1 60 x = 18 x = x =

18 60 3 10

Os jovens com menos de 15 anos de idade correspondem a

3 10

do

quadro de associados. Veja que esta fração corresponde a 30% do número total de associados do clube.

226

:


9) Em uma aplicação financeira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, sendo descontada uma taxa anual fixa, relativa à administração, igual a 5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$ 6000,00 e aplica este dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo final? Inicialmente vamos calcular o valor do rendimento mensal, que é igual a 1,0% de R$ 6000,00: 1 100

de 6000 =

1 100

× 6000 =

6000 100

= 60 .

O rendimento é igual a R$ 60,00 por mês. Em um ano e meio, ou seja, em 18 meses, temos: 18 × 60 = 1080

o que indica que o rendimento total será de R$ 1080,00. A taxa de administração é dada por 5% do depósito inicial e é cobrada anualmente: No 1o ano: 5% de 6000 = No 2o ano: 5% de 6000 =

5 100 5 100

5 × 6000

× 6000 = × 6000 =

100 5 × 6000 100

= 300 . = 300 .

Assim, o saldo final será calculado pela soma entre o depósito inicial e os rendimentos, subtraindo-se os valores relativos à taxa de administração: R$ 6000,00 + R$ 1080,00 – (R$ 300,00 + R$ 300,00) R$ 6000,00 + R$ 1080,00 – R$ 600,00 R$ 7080,00 – R$ 600,00 R$ 6480,00 10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de uma cidade, obteve-se o seguinte resultado: Número de pessoas

Candidato A Candidato B Indecisos

132 x

74

Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada. Se a pesquisa foi realizada com 500 pessoas, então já é possível determinar a variável x , uma incógnita na tabela: 500 = 132 + x + 74 x = 500 − 132 − 74 x = 294

227


Portanto, a tabela pode ser reescrita como: Número de pessoas

Valor percentual 500 A = 100 ⋅132

Candidato A

132

A =

13200

= 26, 4%

500

500 B = 100 ⋅ 294

Candidato B

294

B =

29400 500

= 58, 8%

500 I = 100 ⋅ 74

Indecisos

500 132

→ →

74

100%

500

A%

294

I =

→ →

7400 500

100%

500

B%

74

= 14, 8% → →

100% I %

Perceba que os percentuais foram calculados a partir das regras de três estruturadas para cada opção. 11) Um incêndio destruiu 30% da área verde em uma floresta. Se 20% desta floresta são formados por rios e riachos e o restante somente por área verde, qual o percentual da floresta atingida pelo fogo? É possível equacionar as considerações do problema para determinar o percentual de área verde que a floresta possui. Assim, temos: 100%(área total da floresta) – 20%(rios e riachos) = 80% de área verde. Isto significa que a floresta possui 80% de área verde. Para calcular o percentual atingido pelo fogo, basta calcular 30% destes 80%: 30% de 80%

=

30

×

80

100 100

= 0, 3 × 0, 8 = 0, 24 = 24 % da floresta.

Assim, 30% da área verde correspondem a 24% da floresta. O incêndio atingiu 24% da área total da floresta.

228


12) Resolva as seguintes equações: a)

3 x + 1 5

= − x

3 x + 1 = −5 x 3 x + 5 x = −1 8 x = −1 x =

−1 8

.

b) 3 x + 3 = −12 3 x + 3 = −12 3 x = −12 − 3 3 x = −15 x =

−15

3 x = −5.

c)

2 x + 5 x − 4

=

1 2

2 ⋅ ( 2 x + 5 ) = x − 4 4 x + 10 = x − 4 4 x − x = −4 − 10 3 x = −14 x =

d) x

2

−14 3

.

+ 2x − 3 = 0

Para resolver a equação do segundo grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 ⋅1⋅−3 = 4 + 12 = 16 x =

−b ± ∆ −2 ± 16 −2 ± 4 = = 2a 2 ⋅1 2 −2 + 4 x1 = =1 2

x2

=

−2 − 4 2

= −3

229


Assim, a solução desta equação é igual a 1 e –3.

 

e) ( x − 3)  x +

1 

 = 0

2 

Observe que esta é uma equação do segundo grau que está escrita na forma fatorada. Desta forma, para resolvê-la basta igualar seus fatores a zero:

( x − 3) = 0

 x + 1  = 0  2   

x = 3

x = −

Assim, a solução é igual a 3 e

1 2

1

− . 2

f) ( 2 x − 5 ) ( 4 − x ) = 0 Assim como no item anterior, vamos igualar os fatores a zero:

( 2 x − 5) = 0 2 x = 5 x =

A solução é igual a

5 2

5 2

( 4 − x ) = 0

− x = −4 x = 4

e 4.

Unidade 2

 1 

1) Calcule f ( 0 ) e f   para as funções representadas algebricamente  2  por:

 1  1 basta substituir x = 0 e x = nas   2  2

Para calcular f ( 0 ) e f  funções indicadas.

a) f ( x ) = x 2 − x + 1 f ( 0 ) = 02 − 0 + 1 = 1 . 2

1 1 1− 2 + 4 3  1   1  1 f   =   − + 1 = − + 1 = = . 4 2 4 4  2   2  2

230


b) f ( x ) =

x +1 x − 1

f ( 0 ) =

0 +1 0 −1 1

=

+1

1

−1

= −1 .

1+ 2

3

2

2

 1  = 2 = 2 = 2 = 3 ⋅ 2 = 6 = −3 .   2  1 − 1 1 − 2 −1 2 −1 −2

f 

2

2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um produto é dada por C ( q ) = q 3 − 10q 2 + 100q + 100 , sendo q o número de unidades do produto. a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades. O custo de fabricação de cinco unidades é calculado fazendo-se . Assim, temos: C ( 5 ) = 53 − 10 ⋅ 52 + 100 ⋅ 5 + 100 = 125 − 250 + 500 + 100 = 475

Assim, o custo de fabricação de cinco unidades é igual a R$ 475,00. b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade? Para calcular o custo da quinta unidade, é necessário fazer a diferença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades: C ( 5 ) = 53 − 10 ⋅ 52 + 100 ⋅ 5 + 100 = 125 − 250 + 500 + 100 = 475 C ( 4 ) = 43 − 10 ⋅ 4 2 + 100 ⋅ 4 + 100 = 64 − 160 + 400 + 100 = 404 C ( 5 ) − C ( 4 ) = 475 − 404 = 71

Assim, o custo da quinta unidade será de R$ 71,00.

231


3) Sejam as funções representadas graficamente nas figuras 2.14 e 2.15. Complete a tabela com as características e propriedades das funções f (x ) e g (x ). f (x)

g (x)

Domínio

x ∈ ( −∞, 6 ) ∪ ( 6, +∞ )

x ∈ ( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )

ou x ∈ R − {6}

ou x ∈ R − {0}

Conjunto imagem

y ∈ ( −∞, 3) ∪ ( 3, +∞ )

y ∈ ( 0, +∞ )

ou y ∈ R − {3}

ou x ∈ ( −∞, 0 )

O zero da função é igual a 3 pois a função cruza o eixo x no ponto A função não possui zero ou raiz. em que x = 3.

Zero ou raiz Sinal da função

Função positiva: x > 3 Função negativa: x < 3.

A função é toda positiva.

Intervalo de crescimento

A função é crescente para todos os valores de . x

x ∈ ( −∞, 0 )

Intervalo de decrescimento

A função não possui intervalo de decrescimento.

x ∈ ( 0, +∞ )

4) Determine a representação algébrica da função inversa de: Para determinar a função inversa, vamos trocar as variáveis x e y e isolar a variável y : a)

f ( x ) =

x 2

+3 x = x − 3 = 2 ( x − 3) =

y 2 y

+3

2 y

y = 2 x − 6.

b) y = 4 − 5 x

x = 4 − 5 y x − 4 = −5 y y = y =

232

x−4

−5 4− x 5

.


Unidade 3 1) Identifique as seguintes funções quanto ao seu tipo: a) f ( x) = −3 x

Função linear

b) h(t ) = 1 − 4t

Função afim

c) s(t ) = t

Função identidade

d) g ( x) = 2 x + 1

Função afim

2) Encontre a lei de formação para a função que associa a cada número x qualquer, um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5. Valor de x adicionado de 2: x + 2 Resultado multiplicado por 5: 5 ⋅ ( x + 2) Logo a função procurada é dada por: f ( x) = 5 ⋅ x + 10 . 3) Na fabricação de um determinado bem, verificou-se que o custo total foi obtido a partir de uma taxa fixa de R$ 1.000,00, adicionada de um custo de produção de R$ 500,00 por unidade. Determine a função custo total em relação à quantidade produzida e o custo de fabricação de dez unidades. Custo fixo: C F = 1.000 Custo variável: CV

= 500 ⋅ x , em que x é a quantidade produzida.

Função custo total: C ( x) = CV

+ CF

C ( x) = 500 ⋅ x + 1.000

O custo para a fabricação de dez unidades é dado por C (10), logo C (10) = 500 ⋅10 + 1.000 = 6 .000 .

Assim o custo para a fabricação de dez unidades é de R$ 6.000,00.

233


4) Uma locadora de carros cobra R$ 50,00 pelo aluguel de um carro mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Determine: a) o preço a ser pago para rodar 10 km; b) o preço a ser pago para rodar 35 km; c) a função que modela esta situação. (a) O preço a ser pago para rodar 10 km é dado por: 50 + 10 ⋅ 2 = 70 , ou seja 70 reais. (b) O preço a ser pago para rodar 35 km é dado por: 50 + 35 ⋅ 2 = 120 , ou seja 120 reais. (c) A função que modela este problema é f ( x) = 2 ⋅ x + 50 , em que x é o quilômetro rodado. 5) Seja s (t ) = −4 + 8t , determine: a) o gráfico de s (t ); b) o domínio e a imagem de s (t ); c) se a função s (t ) é crescente ou decrescente; d) o sinal da função s (t ). (a) Na figura que segue temos o gráfico da função

(b) Como se trata de uma função do primeiro grau tem-se que: D( s) = R e Im( s ) = R

(c) Como a = 8 > 0, a função s (t ) é crescente. 234


(d) A função é positiva quando s(t ) > 0 ⇒ −4 + 8t > 0 ⇒ 8t > 4 ⇒ t >

1 2

 , ou seja, t ∈   , +∞  1

 2

A função é negativa quando s(t ) < 0 ⇒ −4 + 8t < 0 ⇒ 8t < 4 ⇒ t <

1 2

 

, ou seja, t ∈  −∞,



1 

 .

2 

6) Uma pequena fábrica de móveis tem como seu principal produto a fabricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 25,00. A fábrica tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00 em aluguel e máquinas, conta de luz, compra de material e pagamento de funcionários. A mesma gasta R$ 15,00 para fabricar cada banqueta. Determine: a) a função receita total e custo total; b) a função lucro total; c) o ponto de nivelamento; d) se a fábrica obterá lucro ou prejuízo com a venda mensal de 500 banquetas; e) a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ 1.000,00; f) o lucro para a venda de 760 banquetas mensais. (a) Considere x a quantidade. Assim, se cada banqueta é vendida a 25 reais, tem-se que a receita total é dada por: R ( x) = 25 ⋅ x

Custo fixo: C F = 5.000 Custo variável: CV = 15.x Custo total: C = CV

+ C F , ou seja, C ( x) = 15.x + 5.000

(b) O lucro total é dado por: L = R − C , então: L( x) = R( x) − C( x) L( x) = 25 x − (15 x + 5.000) L( x) = 10 x − 5.000

235


(c) Ponto de nivelamento ou de equilíbrio: R = C , então: 25x = 15x + 5.00 10x = 5.000 x = 500

Portanto o lucro será zero quando forem vendidas 500 banquetas. (d) Como a venda de 500 banquetas nos dá um lucro de zero, não obteremos nem lucro nem prejuízo. (e)

1.000 = 10 ⋅ x − 5.000 10 ⋅ x = 6.000 x = 600

Assim a venda de 600 banquetas acarreta um lucro de R$ 1000,00. (f) Neste caso x = 760 , então devemos calcular L(760) , ou seja, L(760) = 10 ⋅ 760 − 5.000 L(760) = 7.600 − 5.000 L(760) = 2.600.

O lucro para a venda de 760 banquetas é R$ 2600,00. 7) A quantidade demandada de um bem é de qd = 5 − p e a quantidade ofertada é de qo = −1 + 2 p . Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente. O preço de equilíbrio ocorre quando qd

= qo , então

5 − p = −1 + 2 p 3 p = 6 p = 2 .

236


Geometricamente é mostrado no gráfico que segue. Observe que estamos trabalhando somente com valores positivos.

Unidade 4 1) Encontre uma função f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade. Em seguida encontre f (– 1), f (0) e f (1). f ( x) = x 2 + 2 x + 1 f (−1) = (−1) 2 + 2 ⋅ (− 1) + 1 = 0 f (0) = 02 + 2 ⋅ 0 + 1 = 1 f (1) = 12 + 2 ⋅1 + 1 = 4

2) Trace o gráfico das seguintes funções: a) y = x

2

− 2x − 3

237


b) y = − x

2

+ 2x − 4

3) Seja p = 50 − 2 x , sendo x a quantidade demandada e p o preço de um determinado produto. Encontre a função receita total, esboce o seu gráfico e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima. A função receita é dada por: R ( x) = p ⋅ x R ( x) = (50 − 2 x) x R ( x) = 50 x − 2 x2 .

Trata-se de uma função do segundo grau com a concavidade voltada para baixo, portanto esta função atinge o seu máximo no vértice.

 

V  −

238

b 2a

,−

2500  ∆   50 ,− =  −  = (12, 5 ; 312, 5 )  4a   2 ⋅ (−2) 4 ⋅ ( −2)  .


Devem ser vendidas 12,5 unidades para que a receita seja máxima. Caso o produto não possa ser particionado, o valor deve ser arredondado para 13 unidades. Veja o gráfico.

4) Seja f ( x) = x 2 − 7 x + 10 . Analise as propriedades e características (domínio, imagem, concavidade, raízes, vértice, crescimento e decrescimento e o sinal da função) e esboce o gráfico de f . Temos as características da função que podem ser observadas graficamente.

Domínio: D( f ) = R Concavidade: como a = 1 > 0 , a concavidade é voltada para cima. Raízes: f ( x) = 0 x 2 − 7 x + 10 = 0

Usando a fórmula de Baskhara, segue que x = 2 e x = 5. 

 

Vértice: V  −

b 2a

,−

∆   7 9   =  , −  4a   2 4  239




Imagem: Im( f ) =  − , +∞  



A função é decrescente no intervalo

9



intervalo 



4

 7 , +∞   .  2 

 −∞, 7   2  e crescente no  

Os valores de x para o qual f ( x) > 0 , ocorre nos intervalos ( −∞, 2) ∪ (5, +∞) e os valores de x para o qual f ( x) < 0 ocorre no intervalo (2, 5) .

5) Um terreno retangular tem dimensões de modo que sua largura é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 300 m2. Vamos considerar: 

altura: x



largura: 3x

A área do retângulo é dada por A = x ⋅ 3 x A = 3 x 2 .

Como a área vale 300 , segue que 300 = 3 x 2 x = ±10 .

Podemos descartar o valor negativo, logo devemos ter como dimensões de 30 m ×10 m . 6) A função demanda de um produto é p = 10 − x e a função custo é dada por C ( x) = 20 + x . Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo. A função receita é dada por: R ( x) = p ⋅ x R ( x) = (10 − x) x R ( x) = 10 x − x2 .

240


A função lucro é dada por: L( x) = R( x) − C( x) L( x) = 10 x − x2 − ( 20 + x) L( x) = − x 2 + 9 x − 20 .

Trata-se de uma função do segundo grau com concavidade voltada para baixo, e portanto o seu vértice é um ponto de máximo.

 

V  −

b 2a

,−

∆   9 1   =  ,  = (4, 5 ; 0, 25) . 4a   2 4 

O lucro será máximo quando a quantidade vendida for de 4,5 unidades. Caso o produto não possa ser particionado a resposta deve ser arredondada para 5 unidades.

Unidade 5 1) (a) Grau da função polinomial (b) Domínio da função. (c) Raiz da função (d) Intervalos de crescimento (e) Intervalos de decrescimento (f) Análise do sinal da função

A função polinomial possui grau 3. Assim, é uma função do 3o grau. A função está definida para todos os reais As raízes reais da função podem ser observadas pelo corte do gráfico no eixo dos x . Portanto, é dado como raiz real x = 4. Observamos que as outras duas raízes são complexas (não observáveis graficamente). Crescimento em (– ∞, – 1) e (2, + ∞). Decrescimento em (-1,2). A função é positiva para valores maiores que 4 (observar a parte do gráfico acima do eixo dos x ) e negativa nos demais pontos do seu domínio.

2) Um estudo sobre eficiência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado, x horas após, f ( x) = − x3 + 6 x 2 + 15 x peças do produto. a) Quantas peças o operário terá montado às 11 horas da manhã? b) Quantas peças terá montado entre 10 e 11 horas da manhã?

241


(a) Às 11 horas da manhã o operário terá trabalhado 3 horas, se chegou às 8 horas da manhã. f ( x ) = −x 3 + 6 x 2 +15x 3

f (3) = −(3)

2

(3)

+ 6×

+15 ×3

f (3) = −27 + 6 ×9 + 45 f (3) = −27 + 54 + 45 f (3) = 72

Portanto, ele terá montado 90 peças às 11 horas da manhã. (b) Para saber o número de peças montadas entre 10 e 11 horas, podemos calcular a diferença entre o número de peças montadas até 10 horas (que será calculado abaixo) e o número de peças montadas até 11 horas (calculado no item a). Quando x = 2 calculamos o número de peças montadas até 10 horas: f ( x) = − x3 + 6 x 2 + 15 x

+ 6 × ( 2 )2 + 15 × 2 f ( 2 ) = −8 + 6 × 4 + 30 f ( 2 ) = −8 + 54 f ( 2 ) = 46 f ( 2) = − ( 2 )

3

Assim, entre 10 e 11 horas teremos 72 46 −

=

26 peças montadas.

3) Usando um software gráfico (por exemplo o GRAPH), faça o gráfico da função y =

x +1

x − 1

e analise suas propriedades e características.

Usando o GRAPH, a representação gráfica da função é dada por:

242


y=


x +1 x − 1

Domínio

R – {1}

Conjunto imagem

R – {0}

Zero ou raiz

A função não cruza o eixo x, portanto, não possui zero ou raiz.

Sinal da função

Positiva (acima do eixo x ): x > 1. Negativa (abaixo do eixo x ): x < 1.

Crescimento ou decrescimento

A função é toda decrescente.

4) Analise as características e propriedades das funções representadas graficamente nas figuras 5.18 e 5.19. x2


y = x ( 30 − 2 x ) ( 25 − 2 x )

Domínio

R

R – {– 2, 2}

Conjunto imagem

R

R

Zero ou raiz

Para determinar os zeros da função, podemos mantê-la na forma fatorada e calcular: x = 0

x = 0

y=

4 − x 2

30 − 2 x = 0 ⇒ x = 15 25 − 2 x = 0 ⇒ x = 12, 5

Sinal da função

Positiva (acima do eixo x ): 0 < x < 12,5 ou x > 15. Negativa (abaixo do eixo x ): x < 0 ou 12,5 < x < 15.

Positiva (acima do eixo x ): – 2 < x < 2. Negativa (abaixo do eixo x ): x < – 2 ou x > 2.

243


Unidade 6 1) Escreva a forma decimal: a) 1034 = 112550881 b) 105 = 100 000 c) 2 . 102 = 200 2) Escreva na notação científica: a) 72 000 = 7,2 x 104 b) 0,004 = 4 x 10–3 c) 0,022 = 2,2 x 10–2 3) Escreva na forma de uma única potência: a) 2–5 . 22 = 2–3 b)

(133 ) 4 2 5

(13 )

= 1312−10 = 132

c) 43 . 8 . 2 – 5 = ( 22 )3 .23.2−5 d)

5−2 . 5−3 5

−10

=

8

. 5

5− 5 5

−2

= 24

= 5−5−( −2) = 5−3

4) Calcule: a)

39 . 9 −2 −

277 . 81 5

=

39.(32 ) −2 3 7

4

(3 ) .(3 )

−5

=

35 3

= 34 = 81 3

2 3

) b) 125 . (25 4 3

3

3/ 2

5 .25

= 3

725

6

2

(5 .29 )

= 4

12

5 .5

58 / 3.294 / 3

=

5

2

+12−

294 / 3

5) Simplifique: a)

b)

244

w6 . z 3

−6

z . w

2

= w4 .z −9

x3 . (y 2 )3 3

y 4 . x1 4

=

x 3/ 2 . y 6 y

4/3

1/ 4

.x

3 1

= x

−

2 4

.y

6−

4 3

= x5/ 4 . y14/3

8 3

=

565 / 6 294 / 3


6) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f (x ) = 2x

b) f (x ) = 3x – 1

c) f (x ) = log2 x

245


d) f (x ) = log(1/2) x

7) Identifique se as seguintes funções são crescentes ou decrescentes: a) f (x ) = 6x Crescente x

b) f (x ) = 3 2 Crescente x

 3  c) f (x ) =   Decrescente  4  d) f (x ) = (0,125) Decrescente e) f (x ) = log3 x Crescente f) f (x ) = log(1/3) x Decrescente 8) Calcule os seguintes logaritmos: a) log3 27 log3 27 = x ⇒ 3 x ou

= 33 x = 3 3 x

246

= 27


b) log3 (1/243) log3

1 243

= x ⇒ 3 x =

1 243

ou

= 3−5 x = −5 3 x

c) log10 100 log10 100 = x ⇒ 10 x

= 100

ou 10 x

= 102

x = 2

d) log81 4 3 log81 31/ 4

= x ⇒ 81 x = 31/ 4

ou

= 31/ 4 4 x = 1 / 4 x = 1 / 16 34 x

9) Determine o valor de x: a) log(1/625)5 = x x

 1  = 5 log1/ 625 5 = x ⇒    625  ou 5−4 x

=5 −4 x = 1 x = −1 / 4 b) logx 25 = 2 log x 25 = 2 ⇒ x 2

= 25

ou x = 25 x = 5

247


c) log2 x = 8 log2 x = 8 28 = x

x = 256 e) logx (8/27) = 3 logx (8/27) = 3

x 3 =

8 27 3

 2  x 3 =    3  x =

2 3

10) Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam: a) log3(x + 1) A base já é um número positivo e diferente de 1, logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando:

x + 1 > 0 x > – 1 b) log(7x – 21) 4 Como o logaritmando já é um número positivo, estabelecemos apenas a condição para a base: 7x – 21 > 0 e 7x > 21

e

x > 3 e

7x – 21 ≠ 1 7x ≠ 22

x ≠ 22 7

11) Sabendo que log 2 = 0,3010 , calcule log 0,0002. log0,0002 = log

2

10000 = 0,3010 – 4 = – 3,699.

248

= log

2 10

4

= log 2 – log 10 4 = log 2 – 4log 10 =


12) Um capital de R$ 56,00 é aplicado, a juros compostos, por dois anos e meio, à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação? Sabemos que Cn

= C (1 + i)n

C n = 56(1 + 0, 04)30

Dados do problema:

C n = 56(1, 04)30

C = 56

C n = 56 × 3, 24339751

i = 4% = 0,04

C n = 181, 63

n = 30 meses

O valor resultante da aplicação de R$ 56,00 é de R$ 181,63. 13) Um capital foi aplicado, a juros compostos, durante três meses, à taxa de 20 % a.m. Se, decorrido esse período, o montante produzido foi de R$ 864,00, qual o capital aplicado? Dados do problema:

Cn

n = 3

= C (1 + i)n

864 = C (1 + 0, 2)3

i = 20% = 0,2

864 = C (1, 2)3

C n = 864

C =

O capital aplicado foi de R$ 500,00.

864 1, 728

= 500

14) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em oito anos? Dados do problema

n = 8 anos = 96 meses C n= 4C Cn

= C (1 + i)n

4C

= C (1 + i)96

log(1 + i) = 0, 00627 10log(1+ i )

= 100,00627

4 = (1 + i )96

1+ i = 1,01454

log 4 = log(1 + i) 96

i = 0,01454

log(1 + i) = log(1 + i) =

log 4 96

i = 1,45%.

0, 60205 96

249


15) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de, aproximadamente, 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar, mantendo esta taxa? Equação a ser utilizada: P = P0 (1 + i) n .

Dados do problema:

P = 2P 0 i = 2% = 0,02 2 P0

= P (1 + 0, 02) n . 2 = (1,02)n

log 2 = log(1, 02) n log 2 = n log 1, 02 n = n =

log 2 log 1, 02 0, 3010 0, 0086

n = 35 .

A população irá dobrar em cinco anos. 16) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N = 2 (0,5)t, em que t é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar, se o limite permitido por lei é de 0,8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 0,3) Temos que N = 2 × (0, 5)t , onde N = 0,8, portanto 0, 8 = 2 × (0, 5)t (0, 5)t =

0, 8 2

(0, 5)t = 0, 4 log(0, 5)t = log 0, 4 t log

250

1 2

= log

4 10


t log 2−1 = log 4 − log 10

−t log 2 = log 22 − 1 −t log 2 = 2 log 2 − 1 2 log 2 − 1 −t = log 2

−t =

2 × 0, 3 − 1 0, 3

−t = −1, 3333 t = 1,3333 horas t = 80 minutos t = 1 hora e 20 minutos

Unidade 7 1) Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções: a) y = 1 + senx

 x    2 

b) f ( x ) = cos 

251


c) g ( x ) = 2tg ( x )

2) Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30 o. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m, qual é a altura entre os dois pisos da loja? Observe a figura que modela o problema.

sen300

=

x 12

x = sen300 ×12 x =

1

× 12 2 x = 6 metros . A altura é de 6 metros. 252


3) Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus. Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro, passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus. Qual é a altura do morro? Veja a figura que modela o problema.

Temos que: tg 600

=

tg 450

=

h

⇒

x

h = 3x

h

⇒

50 + x

h = 50 + x

Observe que estamos usando os valores tg 600

=

3 e tg 450

= 1.

Podemos igualar as relações encontradas: 3 x = 50 + x 3 x − x = 50 x( 3 − 1) = 50 x =

50

3 −1 x ≅ 68, 30 metros .

A altura do morro é aproximadamente igual a 68,30 metros.

253


4) Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte? Observe a figura que modela o problema.

tg 200

=

0, 364 = x =

50 x 50 x

50 0, 364

≅ 137, 36 metros .

O tamanho da sombra é aproximadamente 137,36 metros. 5) Uma escada apóia-se na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício. A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão? Observe a figura que modela o problema.

tg 700

=

2, 747 =

h 4 h

4 h = 2, 747 × 4 ≅ 10, 99 metros .

A distância do ponto de apoio até o chão é de 10,99 metros. Para achar o valor de x , vamos aplicar o Teorema de Pitágoras:

254


= h2 + 42 x 2 = 10, 99 2 + 4 2 x 2 = 120, 78 + 16 x 2 = 136, 78 x = 136, 78 x ≅ 11, 70 metros t x 2

O comprimento da escada é de 11,70 metros. 6) Do topo de um farol, 120 metros acima do nível do mar, o ângulo de depressão de um barco é 15 graus. Qual é a distância do farol ao barco? Observe a figura que modela o problema. Topo do farol

tg 150

=

0, 268 =

x 120 x

120 x = 0, 268 ×120 ≅ 32,16 metros .

A distância do farol até o barco é de 32,16 metros. 7) Na Figura 7.26 tem-se que: CD = 5 cm BC = 4 cm AB = 3,2 cm AC = x cm BD = y cm Pergunta-se: a) Qual o valor de x ? b) Qual o valor de y ? 255


c) Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo ? d) Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo ?

Figura 7.26 – Triângulos retângulos

Vamos colocar os valores conhecidos na figura para facilitar a visualização das relações trigonométricas nos triângulos retângulos.

a) Para encontrar o valor de x vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CAB.

= x 2 + 3, 22 x 2 = 42 − 3, 2 2 x 2 = 16 − 10, 24 x 2 = 5, 76 x = 5, 76 x = 2, 4 cm. 42

b) Para encontrar o valor de y vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CBD.

= 42 + y 2 y 2 = 25 − 16 y 2 = 9 y = 3 cm . 52

c) Os valores das funções trigonométricas do ângulo alfa: senα =

256

3, 2 4

= 0, 8

cos α =

2, 4 4

= 0, 6

tg α =

3, 2 2, 4

≅ 1, 33


cot g α =

2, 4 3, 2

= 0, 75

sec α =

4 2, 4

cossec α =

≅ 1, 67

4 3, 2

= 1, 25

d) Os valores das funções trigonométricas do ângulo beta: senβ =

3 5

cot g β =

= 0, 6 4 3

cos β =

= 1, 333

4 5

= 0, 8

sec β =

5 4

tg β =

= 1, 25

3 4

= 0, 75

cos sec β =

5 3

= 1, 67

257

Tópicos de Matemática Elementar I

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