Universidad tecnológica del Perú
FACULTAD: INGENIERIA INDUSTRIAL
TEMA
GRAFICAS DE FUNCIONES
PRESENTADO POR: VICTOR MANUEL DE LA CRUZ HACCA
PROFESOR ASESOR: ING. DANIEL NORIEGA A.
LIMA – PERÚ 2012
ANALISIS DE FUNCIONES Graficas de funciones Tópicos relacionados Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente, constatarte, pendiente de una recta, función, relación parábola, hipérbola.
1. Objetivos.
Obtener correctamente graficas de un conjunto de datos experimentales y analizar el comportamiento de un fenómeno físico a partir de estas graficas.
Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogaritmico.
Aprender a practicar el uso de calculadoras científicas y hojas de calculo
2. Equipos y materiales.
Tres (3 ) papeles gráficos milimetrados.
Dos (2)papeles gráficos logarítmicos
Dos (2)papel grafico semilogaritmico
Una (1)calculadora científica
Una (1) regla 0,30 m, 1/1000 m.
3. Fundamento teorico.
Tabla de datos.- la obtención de datos experimentales para el análisis y la formulación de nuevas conclusiones los obtenemos atreves de la medición. Los datos experimentales van organizados en tablas. Cada tabla por su parte superior lleva un símbolo el cual expresa el contenido de una columna.
Graficas.-una grafica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.
A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán necesarios para familiarizarnos con una grafica:
Función: una cantidad y (variable dependiente) es función de otra cantidad x (variable dependiente), si su valor se determina por el valor de la variable x. Una función se expresa matemáticamente de la forma y =f(X), y nos dice “y depende de x” o “y es una función de x”.
como ejemplo, tomemos el
modulo de la velocidad en función del tiempo cuya expresión seria v=f(t).
Variables: una variable es un elemento de una formula proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera. Ejemplo Y=x+2
Como se menciono arriba arriba, estas pueden ser:
Variable dependiente: una variable dependiente como su nombre lo dice depende del valor de otra, en esta expresión “y” se considera la variable dependiente ya que dependiendo del valor de “X” es el resultado de “y”, en conclusión es el factor que es observado y
medido para determinar el efecto de la variable independiente.
Variable independiente: ahora con el mismo ejemplo “X” seria la variable independiente ya que no requiere de una variable adicional para obtener su valor.
Contantes: son aquellas variables con cantidad o valor fijo que no varia en una determinada operación.
Papel grafico milimetrado: es el papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas con una distancia determinada (normalmente 1mm en la escala regular).
Estas líneas se usan como guías de dibujo, especialmente para graficar funciones matemáticas o datos experimentales y diagramas. Se emplean en la enseñanza de matemáticas e ingeniería.
Papel semilogaritmico: este papel se usa cuando quieres representar datos con diferentes órdenes de magnitud. Por ejemplo, si quieres representar en el mismo eje de las y ( 0.5 ; 2; 700; 10000; 300000; 6000000; etc). Es decir es una representación grafica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de las abscisas o el eje de las ordenadas tienen escala logarítmica mientras que el otro ojo tiene escala lineal o proporcional.
Papel logarítmico: para analizar fácilmente curvas. Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos ciclos. Es decir representa una retícula que sirve de pauta para trazar gráficos cartesianos con valores logarítmicos en los dos ejes de coordenadas.
Pasos a seguir para construir una grafica.Seleccionar y denominar las escalas y coordenadas adecuadas.Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y las variables independientes paralelos al eje X. Escogemos una escala dependiendo de los mayores valores con que se cuenta tanto en le eje X como en el eje Y, para poder hacer una adecuada distribución de las variables y así poder interpretar mejor la grafica. se debe recordar que no es necesario que la grafica contenga los puntos (0;0) si es que no están contenidos en las variables.
Representa los puntos que representan los datos en el papel grafico.Se deben ubicar los puntos utilizando líneas horizontales y verticales, y en la intersección ubicar un símbolo (.,+) que nos permita ubicar con facilidad dichos puntos ,luego de ello unir los puntos para observar la grafica formada, cabe mencionar que si se cuenta con más de una grafica se debe utilizar diferentes colores. Hacer la leyenda respectiva.
Ajustar la curva entre los puntos (se verá más adelante).Preparar el titulo y la descripción del grafico.El titulo debe estar ubicado dentro del margen del papel grafico sin interferir con la curva (el titulo debe incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafico)no olvidar que las graficas deben estar enumeradas correlativamente, y el contenido dependerá de las indicaciones del docente.
Principales funciones.-
Función lineal: Esta función se puede escribir como f(X)=mx+b m=Y2-Y1/X2-X1
Donde m y b son constantes reales y X es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta en el eje Y . Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
Función cuadrática: Esta función se puede escribir como:
Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La representación grafica en el eje XY haciendo:
Y=f(x) Esto es:
Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
Función exponencial: Esta función se puede escribir como
Usa común base del logaritmo neperiano
Función potencial: En este tipo de función X esta elevado a una exponente constante. Se representa de la siguiente manera:
4. Procedimiento
Se graficaran y analizaran los resultados de los tres experimentos: La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta a velocidad constante en función del tiempo expresado en segundos.
Tabla N°1
t(s)
e(m)
1.1
8.45
2.9
14.75
4.1
18.95
6.6
27.7
8.0
32.6
9.8
38.9
10.5
41.35
12.1
46.95
13.9
53.25
15.5
58.85
Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta con aceleración constante en función del tiempo expresado en segundos. Tabla N°2
t(s)
e(m)
1.0
1.00
2.2
4.84
3.4
11.56
4.4
19.36
5.9
34.81
7.1
50.41
Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el dia uno se detecto una desintegración de 4.3 x 10 nucleos. Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para distintos días se muestran en la tabla N*3.
Tabla N°3
t(días)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a(t)%
83
69
57
47
39
32
27
22
18
15
A partir de los datos anteriores. Realice las siguientes graficas: I. En papel milimetrado los valores de las tablas Tabla N°1, N°2 y N°3. II. En papel logarítmico los valores de las tablas N°1, N°2 y N°3.
III. En papel logarítmico los valores de las tablas N*1, N*2 y N*3.
5. Cuestionario
-Usando las graficas obtenidas en el paso 1 del procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (Use calculadora científica para ello).
-Según la tabla N°3 ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día 0)? ¿Cuántos núcleos quedaran por desintegrar el día N°7?
-Investigue datos experimentales cuya grafica describa una línea recta y grafíquelas en papel milimetrado adicionalmente grafique estos datos usando el software logger pro del laboratorio de física
-Investigue datos experimentales cuya grafica
describa una curva
parabólica y grafíquelas en papel milimetrado adicionalmente grafique estos datos usando el software logger pro del laboratorio de física.
-Busque información sobre la existencia de otros papeles, además del milimetrado, logarítmico y semilogaritmico.
¿Cuales don las características de una función?, explique.
¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?
6. Conclusiones
Del primer procedimiento llegamos a la conclusión que todo movimiento en línea recta a velocidad constante es una función lineal.
Se puede afirmar que debemos de conocer al menos 2 valores experimentales de X,Y en una función lineal para poder obtener la función.
Del procedimiento uno podemos usar el grafico para ver de una manera más amplia el movimiento del carro con respecto al tiempo.
Llegamos a la conclusión de que teniendo una hoja semilogaritmica podemos realizar graficas con una visión más amplia
Al realizar nuestra grafica pudimos identificar qué función era.
