120
Jorge Mendoza Dueñas
TEST
1.-
Los cuerpos al caer lo hacen: a) b) c) d) e)
2.-
a) b) c)
Con acelera aceleración ción constante. constante. En una recta recta vertical. De difere dif erentes ntes maneras maneras.. Sin fricción fricción del aire. Con velocida velocidad d uniforme. uniforme.
6.-
Si desde un avión que vuela horizontalment hori zontalment e con vevelocidad locid ad “v” “v ” se se deja caer caer un proyectil, proyecti l, ést ést e tendrá, tend rá, desdespués de un tiempo t iempo “t ”, una velocidad: 1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.-
a) b) c) 3.-
b)
1y2 1y3 2y3
c) d) e) 7.-
Son ciertas: d) e)
3y4 2y5
Un ascensor ascensor sube con aceleración “a “ a ”. ”. El pasajero que se encuentra en el ascensor deja caer un libro. ¿Cuál es la acelerac aceleración ión del cuerpo res r especto pecto al pasajero? pasajero?
a)
c)
g + a g – a a g a cero
d) e) 8.-
4.-
Marcar la proposición correcta. a) b) c) d) e)
5.-
Para la aceleración de una partícula en un plano inclinado sin fricción, podemos afirmar afirm ar que es: es:
− − −
a) b) c) 9.-
2vo g v2 Hmáxima = o 2g Tvuelo =
La velocidad en subida ubi da es igual igu al a la velocid velocidad ad en bajada. En el punto de altura máxima,la graveda gravedad d se se hace hace cero al al igual i gual que qu e la veloci velocidad. dad. Tiempo en subida es igual al al ti empo en en bajada. bajada.
Todos los cuerpos llegan ll egan con la misma velocidad al mismo nivel. Para t odos los cas casos la acelera aceleración ción sobre ellos es es función del seno del ángulo de inclinac in clinación. ión. A mayor mayor ángulo ángulo de inclinac incli nación ión menor será el tiemti empo de recorrido. La velocidad velocidad de llegada al mismo mismo nivel depende depende del ángulo de inclinación. N.A.
Respect especto o a la caída de los l os cuerpos cuerpo s en el vacío marcar verdadero (V) o falso (F): −
En las noches la acelerac aceleración ión de d e la gravedad es mayor que en el día. La aceleración aceleración de la gravedad gravedad es es el mismo en en todos los planetas. Loscuerpos no necesa necesari riamente amente caen caen hacia el cencentro de d e la tierra. Cuando un cuerpo sube, sube, la acelera aceleración ción de la gravedad est est á dirigid diri gida a ha hacia cia arri arriba. ba. La aceleración aceleración de la gravedad gravedad siempre iempr e es vertical vert ical y apuntando apunt ando hacia el cent centro ro de la l a Tierra.
gt an α g
Galileo alil eo reali realizó zó experiencias con planos pl anos inclinado incl inados s para llegar ll egar a demostrar demo strar las l as leyes de los cuerpos cuerp os en caída.Si consideramos que se tienen planos inclinados de diferente ferent e inclinación incli nación y cuerpos sobre sobre ellos ell os que se se s sueluelt an de la misma alt alt ura sin sin f ricción ¿Qué alt alt ernativa ernati va no se cumple? cumpl e?
b) a) b) c) d) e)
d) e)
En un lanzamient l anzamiento o hacia arriba arri ba en el vacío ¿Qué alt alt ernativa no se cumple cuando la velocidad de lanzamiento es vo? a)
Horizont Horizontal al igual a“v”. “v”. Total en cualqui cualquier er punto igual ig ual a“gt” “gt ”. Vertical igual a“gt”. “gt”. Horizont Horizontal al distint a de “v”. “v”. Vertical ertical igual igual “1/2 gt2”.
0 gse gsen α gcos gcos α
Todos los cuerpos soltados desde un mismo nivel pesados y livianos llegan al mismo tiempo. Dos cuerpos solt solt ados uno sobre sobre el ot o t ro provocan p rovocan una reacción reacción nula nul a ent entre re ellos. El camino recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. Lavelocidad velocid ad esproporcio prop orcional nal al cuadrado de la distancia. VVVF VVFF FVVF
d) e)
FFVF FVVV
Si la gravedad en un planeta fuera el doble de la terrestre y se lanzara lanzara hacia hacia arriba un cuerpo con la l a misma velocidad, con la que se lanzó en la tierra, no se cumpliría, ¿cuál de las alternativas?
121
Cinemática a) b) c) d) e)
La altura altu ra alcanzada alcanzada en dicho planeta sería sería la mitad de la alcanzada en la Tierra. El tiempo ti empo de vuelo sería sería la mitad del del empleado empleado en la Tierra. La altura altu ra alcanza alcanzada da en en dicho planeta sería sería el doble bl e del alcanza alcanzado do en la l a Tierra. Tierra. La velocidad de retorno reto rno sería sería igual igu al a la de lanzalanzamiento que tuvo en la Tierra. En este este caso caso en el el punt o de altura altu ra máxima la gravedad tampoco desaparece.
10.-
Si soltamos una piedra en el vacío, marcar verdadero o fals f also o para las l as siguient igu ientes es proposiciones. proposiciones. − − −
a) b) c)
En cada segundo recorrería 10 m en caso la gravedad sea 10 m/s2. En cada segundo su velocidad aumentaría en 10 m/ s en caso caso la gravedad sea 10 m/ s2. Para grandes alturas de caída en el vacío la piedra iría aumentando aument ando su peso. peso. FVF FVV FFF
d) e)
VFV FFV
PROBLEMAS RESUEL TOS TO S RESUELTO
A problemas de aplicación
1.-
Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con velocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demora en alcanza alcanzarr su máxima alt alt ura (g = 10 m/ s2).
02 = b10g
Solución:
h= 5m
t Entre A y B
b gh
− 2 10
20h = 100
b) Entre A y B
vo = 80m / s
vF = vo − gt
vF = 0
(Mov.retardado)
0 = 10 − 10t
g = 10m / s2
t = 1s
t AB = t = ? c)
v F = v o ± gt
v F = v o − gt ⇒
Entre nt re B y C 1 h = vot + gt 2 (Mov. acelerado) 2
El cuerpo sube:
0 = 80 −10t
2
1 5 = b0gt + b10gt 2 2
t = 8s
t = 1s
2.-
Una piedra es lanzada lanzada vertica verti calment lment e hacia arri arriba ba con una velocidad velocid ad de 10 m/ s. Se pide: pid e: a) b) c) d) e)
Calcular alcular la altura que subirá. El tiempo que demora en subir. El tiempo que demora en bajar. bajar. El tiempo ti empo que demora en regresar regresar al lugar de partida. La velocidad velocidad de llegada. llegada.
(Considerar (Considerar g = 10 m/ s2). Solución: a)
d)
Tiempo to t ot al = t subida ubida + t baja bajada da t total = 1+ 1
t total = 2 s e)
Entre nt re B y C vF = vo + gt (Mov. acelerado) v c = 0 + 10b1g
Entre A y B vF2 = v2o − 2gh
Nótese que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
(Mov. retardado)
⇒
vc = 10 m/ s
Nótese Nótese que la velocidad de s subida ubida esigual a la l a velocidad de llegada al mismo nivel.
122
3.-
Jorge Mendoza Dueñas Solución:
Se dispara un proyectil pr oyectil verticalment vert icalmente e hacía hacía arri arriba ba con una velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo la velocidad es de 10 10 m/s m/ s por prim p rimera era vez vez y a que altura alt ura se encuent encuentra ra (g = 10 m/s2).
t Entre A y B
Solución:
1 h = vot + gt 2 2
t Entre A y B
125 = 0 +
v o = 50 m / s
1 10gt 2 b 2
t 2 = 25
vF = 10 m / s
t = 5s
g = 10 m / s2
t Calculando la l a veloci velocidad dad final fi nal
t =? vF = vo − gt
v F = v o + gt
(sube)
vF = 0 + 10b5g
10 = 50 − 10t
vF = 50 m / s
⇒
t = 4s
l a alt alt ura entre ent re A y B t Calculando la
F vF + vo I J t H 2 K F 10 + 50 I J 4 h= G H 2 K h= G
B
1.-
problemas complementarios
Un cuerpo es dejado caer caer en el vacío sin sin velocidad inii nicial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular la altura alt ura desde desde el cual fue fu e abandonado. abandonado. Solución:
h = 120 120 m t Ent re B y C
4.-
1 h = vot + gt 2 2 1 2 25= vBb1g + b10gb1g 2
¿Qué veloci velocidad dad inicial in icial debe dársele dársele a un cuerpo para p ara que caiga 980 m en 10 s; y cual será su velocidad al cabo de d e 10 s. s. Solución:
25= vB + 5
t Entre A y B
vB = 20m / s
vo = ?
t Entre A y B
h = 980 980 m t = 10 s
2 + 2gh o
2
= 0 + 2 10
b gbH − 25g
b20g2 = 20bH− 25g
1 h = vot + gt 2 2
(baja)
980 = vo b10g +
1 b9, 8gb10g2 2
v o = 49 m / s t Calculando la l a veloci velocidad dad final fi nal (baja)
vF = 49 + 9,8b10g vF = 147 m / s 5.-
=v
vB
g = 9,8 m / s2
vF = vo + gt
2
vF
Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de 125 m de alt ura. Calcular cuánto t ardará en caer caer y con que velocidad velocid ad llegará al al suelo (g = 10 m/s m/ s2).
H − 25 = 20 2.-
⇒
H = 45 m
Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su caída caída se realiza reali za en el últ úl t imo im o segundo, calcul calcul ar el 2 tiempo ti empo tot al en segundos segundos (g = 10 m/s ). Solución: t Entre A y B
1 2 h = v o b t −1g + gb t − 1g 2 1 2 h = 0 + gbt − 1g 2 1 2 h = gbt − 1g ............ (1) 2
123
Cinemática t Entre A y C
Solución:
1 2h = gt 2 ............ (2) 2
t Dato:
2t 1 + t 2 = 4 s ....... (1)
t Reemplaza eemplazando (1)en(2)
t Entre A y B
1 2 1 2⋅ gbt − 1g = gt 2 2 2 2bt − 1g
2
=t
vF = vo − gt
(sube)
0 = v − 10t 1
2
t1 =
t = d2 + 2 i s
v ................ (2) 10
t Entre C y D
3.-
Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad constant e de 5 m/ s;cuando se encuentr encuentra aa una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre terrestre (g = 10 m/ s2).
vF = vo + gt 3v = v + 10t 2 t2 =
v ................ (3) 5
t (2) y (3) en (1)
Solución:
F v I J + v = 4 H 10K 5
2G
t Entre A y B
v F = v o − gt
(sube)
2v =4 5
0 = 5 − 10 1 0t
⇒
v = 10m / s
t Nuevamente Nuevamente ent re A y B
t = 0,5 s
F vF + vo I J t H 2 K 1 F 0 + 10I J F G 10I J h=G H 2 K H 10K h=G
t Entre B y C
t = 0,5 s
(Ya (Ya que el tiempo t iempo de subi subida da es igual igu al al tiempo ti empo de bajada)
h= 5m
v c = 5 m / s (A y C t iene el mismo mi smo nivel). 5.t Entre C y D
1 h = vot + gt 2 2 360 = 5t +
(baja)
(baja)
1 b10gt 2 2
Solución: T = t AB + 2bt BCg + 2b t DEg ................ (1)
360 = 5t + 5t 2 t 2 + t − 72 = 0
⇒
Una esfera esfera se deja caer caer desde 80 m de alt ura y al reboreb otar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de la altura altu ra anterior. ¿Qué tiempo tiemp o ha t ranscurrid ranscurrido o hasta que se produce produ ce el el t ercer impacto? impacto ? (g = 10 m/s m/ s2).
bt + 9gb t − 8g = 0
t = 8s t Finalmente:
Tt ot al = t AB + tBC + t CD Ttotal = 0, 5 + 0,5 + 8
Ttotal = 9 s 4.-
Un cuerpo se lanza verticalment vert icalmente e hacía arriba arrib a desde desde una ventana y luego de 4 segund segundos os tripli tri pli ca su velocivelocidad. Hall Hallar ar la máxima alt ura alcanzada alcanzada por el cuerpo respecto al lugar de lanzamiento (g = 10 m/s2).
t Entre A y B
1 2 h = gt AB 2 2 80 = 5t A B
⇒
t AB = 4 s
124
Jorge Mendoza Dueñas t Entre C y D
t (3) en (4):
1 2 gt CD 2 1 20 = 0b t CD g + b10gt C2D 2
5t 12 = 340b51− t1g
h = v ot CD +
t CD = 2 s
⇒
t 1 = 34 s Luego:
t BC = 2 s
t En (2):
h = b340gb17g
t Entre E y F
h = v ot EF +
1 2 gt EF 2
5 = 0bt EFg +
1 b10gt E2F 2
t EF = 1 s
⇒
7.-
t DE = 1 s
⇒
h = 5 780 m
Un ingeniero ingeni ero situado a 105 pies de alt alt ura,en la ventana del décimo octavo piso ve pasar un objeto raro hacia arriba y 4 s después lo ve de regreso, hallar con qué velocidad fue fu e lanzado lanzado el objet ob jeto o desde desde el piso. (g = 32 pies/s2). Solución:
t En (1):
t Datos:
T = 4 + 2b2g + 2b1g = 10
t BC + t CD = 4 s
T = 10 s 6.-
t 2 = 17 s
t BC = t CD = 2 s
En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una persona ubicada en el borde bord e de ésta escucha escucha el sonido del d el impact im pacto o luego lu ego de 51 segund segundos. os.¿Cuál es la propr ofundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s m/ s ; g = 10 m/ s2).
t Ent re B y C
vF = v o − gt BC 0 = vB − 32b2g
Solución:
vB = 64 pi es/ s t Entre A y B 2
vF
=v
2 − 2gh o
vB2 = v A2 − 2gb105g
b64g2 = vA2 − 2b32gb105g vA = 104 pies / s t Con el cuerpo:
1 2 1 2 h = gt 1 = b10gt 1 2 2 h = 5t 12 ............... (1) oni do: t Con el sonido:
8.-
Se suelt suelta a una piedra de un edificio edifi cio llegando ll egando al piso en 2 segun segundos. dos.¿Con qué q ué velocid velo cidad ad mínima míni ma se debe arroarro jar la piedra hacia arriba para alcanzar la altura del edificio? (g = 10 m/s m/ s2). Solución: er
h = vt 2 = 340 340t 2
1 Caso:
h = 340 340t 2 ............ (2)
1 H = v o t + gt 2 2 t = 2s
t Dato:
t 1 + t 2 = 51
t 2 = 51− t 1 ............ (3) t (1) = (2)
5t 12 = 340t 2 ......... (4)
Reemplazando:
H= 0 × t + H = 20m
1 2 × 10b2g 2
125
Cinemática do
10.-
2 Caso: La velocidad de d e partid part ida as será erá mínima siempre y cuando la piedra piedr a llegue a la cima del edificio edifi cio con velocidad cero. vF2 = v o2 − 2gH
Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta una esferi esferitt a y en ese ese mismo instante i nstante un muchacho m uchacho de 1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de impacto de d e la esferit esferit a, parte part e acelerado acelerado con 1,25 m/ s2. Si al llegar ll egar a dicho punto, pun to, la esferi esferitt a da en en la cabeza cabeza del muchacho.¿Qué alt alt ura tiene t iene el edificio edif icio? ?(g = 10 m/ s2). Solución:
2 0 = vmin − 2 × 10 × 20
vmin = 20m / s
9.-
Un trozo de madera s se e suelt suelta a a un metro met ro de distancia di stancia de la superficie superfi cie libre li bre de un est est anque lleno de agua,si el agua produce produ ce una desace desaceleración leración de d e 4 m/s m/ s2 sobre la madera. ¿Qué profundidad máxima alcanza la madera en el est est anque? (g = 10 m/s m/ s2). t Con el muchacho (M.R.U.V.) 1 e = v ot + a t 2 2
Solución: t En el aire: (mov. acelerado acelerado))
10 = 0t +
vF2 = v2o + 2gH = 0 + 2 × 10
v
2
= 20
t=4s
⇒
x = 80 m
1 x = vot + gt 2 2 1 2 x = 0 × 4 + 10b 4g 2
t En el agua: (mov. ret ret ardado)
t Finalmente:
vF2 = v 2o − 2a h 0 = v2 − 2a h 0 = 20 − 2 × 4h
⇒
l a es esferi feritt a t Con la
b1g
v
2
1 b1,25gt 2 2
H = x + 170 ,
H = 80 + 170 17 , 0 ⇒
h = 2,5 m
H = 8170 , m
PROBLEMAS PROPUESTOS
A problemas de aplicación
1.-
Un cuerpo se lanza lanza vertica verti calment lment e hacia abajo abajo con una velocidad de 20 m/s m/ s. Luego de que tiempo ti empo su velocidad será será de 80 m/s (g = 10 m/s m/ s2). Rpta.
2.-
6s
Se deja caer un objet ob jeto o desde una altura alt ura de 45 m, calcular calcular con que velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s m/ s2). Rpta.
3.-
30 m/s m/ s
Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo comprobándose que desciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue la velocidad velocidad inicial del lanz l anzamien amiento? to? Rpta.
4.-
10 m/s m/ s
Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10 s. s. Hall Hallar ar su alt alt ura máxima (g = 10 m/s m/ s2). Rpta.
125 m
126
5.-
Jorge Mendoza Dueñas Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar el tiempo ti empo que tarda en en llega ll egarr al piso (g = 10 m/s2). Rpta.
6.-
7.-
Rpta. 9.-
10.-
6.-
3,5 s
B
1.-
2.-
–25 m
Una plataforma se desplaza en línea recta y manteniendo niend o una velocidad velocid ad de 7 m/ s. Si de d e ést ést a s se e tira ti ra una piedra verticalmente hacia arriba arriba y retorna luego de de haber recorrido recorrid o 70 m la l a plataforma. plat aforma. ¿Con qué q ué velocidad se lanzó lanzó la l a piedra? (g = 10 m/s m/ s2). Rpta.
9.-
30 m/s
Si lanz l anzamos amos un cuerpo vert v erticalment icalmente e hacia hacia arriba arrib a con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia del punto de lanzamient lanzamiento o dicho cuerpo t endrá una velocid velocidad ad de 2 30 m/s m/ s? (g = 10 m/ s ). Rpta.
8.-
8s
Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea de un edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caer libremente y 4 s después choca con el primero. ¿Con qué velocidad se lanz lanzó ó el primero? pr imero? (g (g = 10 m/ s2). Rpta.
7.-
2 2 m/ s
Un globo aerostático aerostáti co sube sube verticalment vert icalmente ec con on una velocidad locid ad de 30 m/ s. El pilot pi lot o del globo gl obo al encontrars encont rarse ea una altura alt ura 240 m con respect respect o al suelo, lanza vert vert icalmente hacia abajo abajo un t omate, con una velocidad respecto a s su u mano de 20 m/ s. Al cabo de que tiempo t iempo el tomate to mate tocará t ocará el suelo? suelo? (g = 10 m/s2). Rpta.
6s
Se tiene ti ene un pozo vacío cuya profundi prof undidad dad es de 170 170 m. Una persona en la parte superior lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de (125/3) m/ s. ¿Lue Luego go d e que t iempo iemp o escucha escucha el eco? (vsonido = 340 m/ s ; g = 10 m/s2). Rpta.
5.-
20 m
Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba con velocidad velocid ad “v” “v ” la cual cual t oca el el césped césped con velocidad velo cidad 2v, considerando que la mano del árbitro suelta la moneda a 1,2 m sobre le césped césped halle h alle v en m/ s (g = 10 m/s2). Rpta.
80 m
Un globo aerostático aerostáti co asc asciende iende verticalment vert icalmente e con con una velocidad cte. de 10 m/s. Una persona situada en el globo suelta una pelotita justo cuando el globo se encuent ra a 120 120 m de alt ura respecto respect o al suelo. ¿Luego de qué tiempo la l a pelot pelotit ita a impacta impacta en el suelo? suelo? 2 (g = 10 m/s ). Rpta.
4.-
45 m
Dos esferi esferitt as macizas macizas se se lanzan verver t icalmente icalment e y simult imu lt áneament áneamente e de dessde A y B tal como se muestra. ¿Qué distancia di stancia las l assepara separa 2 s antes de cruzarse, si inicialmente estaban separadas 160 160 m? (g (g = 10 m/s m/ s2).
Un cuerpo es lanza lanzado do verti v ertica calment lmente e hacia hacia arriba arrib a y vuelve a tierra ti erra al cabo de 5 s. ¿Qué altura altu ra habrá recorrid recorr ido o en el último últ imo segundo de su su movimiento? movimi ento? (g = 10 m/s m/ s2). Rpta.
v = 100 m/s m/ s h = 500 m
Una piedra pied ra esabandonada abandon ada y cae cae librem li brement ente e ¿Qué dist ancia logra log ra descender descender en el 5°segun segundo do de de s su u movimov imiento? (g (g = 10 m/ s2). Rpta.
8.-
5s
Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida por un móvil que tarda 10 s en caer libremente. Rpta.
3.-
50 m/s
Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil hacia arriba arri ba si ést ést a se se reduce a la tercera part e cuando as subi ubido do 40 m (g = 10 m/s m/ s2).
Una alu alumn mna a desea desea comprob comp robar ar las leyes de caída caída libr li bre, e, para lo cual se deja caer caer desde desde la part e superio superiorr de un edificio edif icio de 256 pies de alt alt ura. Un segundo segundo más t arde aparece superman para lanzarse inmediatamente y salvar salvar a la alu alumna mna justo ju sto cuando está est á por chocar al suelo. Hallar la velocidad con que se lanza superman en caída caída libre lib re (g = 32 pies /s2).
Rpta.
Rpta.
problemas complementarios
30 m/s m/ s
Desde Desde lo alt o de un edificio edifi cio se lanza lanzaun cuerpo verticalvert icalmente ment e hacia hacia arriba arrib a con con una velocidad velocid ad de 30 m/s llegando al piso p iso luego de 8 s.Hallar Hallar la l a alt altura ura del edificio edif icio (g = 10 m/s2). Rpta.
80 m
10.-
37,3 37,3 pies pi es// s
Un ascensor presenta una v = cte de –10 m/s, en cierto instante i nstante del techo t echo del mismo se se desprende desprende un perno; e impacta en el piso luego de (4/7) s. ¿Qué altura t iene la cabina del d el ascens ascensor? or? (considere (considere g = 9,8 m/s2). Rpta.
1,6 m
