Cinematic A

DEMEGI

MECÂNICA II CINEMÁTICA

Marcelo Francisco S. F. de Moura Carlos A. Magalhães Oliveira

PORTO - 2002

AGRADECIMENTOS

Para a realização deste trabalho muito contribuíram várias pessoas, às quais os autores desejam expressar o seu agradecimento.

Uma primeira palavra de apreço para o Professor Vasco Sá, autor da sebenta anterior, na qual todos nós aprendemos cinemática. A evolução natural do conteúdo da disciplina e das ferramentas à disposição, justifica a execução deste novo texto.

Aos colegas que nos últimos anos têm estado ligados à disciplina pelo empenho e dedicação que têm sido frutuosos, no que concerne a uma melhor aprendizagem e taxa de aproveitamento por parte dos alunos. Destacaríamos, neste contexto, os Professores José Chousal, Pedro Reina, José Magalhães e Pedro Ribeiro.

À Ana Cristina pela excelente colaboração prestada na dactilografia do presente texto.

ÍNDICE 1

INTRODUÇÃO ..................................................................................1

2

CINEMÁTICA DO PONTO ...............................................................4

2.1 TRAJECTÓRIA E MOVIMENTO ............................................... 4

2.2 MOVIMENTO RECTILÍNEO - Análise escalar ........................... 5 2.2.1 Lei do Movimento ........................................................... 5 2.2.2 Velocidade ..................................................................... 6 2.2.3 Aceleração ..................................................................... 7

2.3 MOVIMENTO CURVILÍNEO- Análise vectorial ......................... 9 2.3.1 Componentes cartesianas .............................................. 9 2.3.1.1 Vector posição ..................................................... 9 2.3.1.2 Vector velocidade .............................................. 11 2.3.1.3 Vector aceleração .............................................. 12 2.3.2 Componentes intrínsecas ou naturais .......................... 14 2.3.2.1 Posição .............................................................. 14 2.3.2.2 Vector velocidade .............................................. 14 2.3.2.3 Vector aceleração .............................................. 15 2.3.3 Coordenadas polares e cilíndricas ................................19 2.3.3.1 Coordenadas polares .........................................19 2.3.3.1.1 Vector posição ..................................... 19 2.3.3.1.2 Vector velocidade ................................ 20 2.3.3.1.3 Vector aceleração ................................ 21 2.3.3.2 Coordenadas cilíndricas .................................... 22 2.3.3.2.1 Vector posição ..................................... 22 2.3.3.2.2 Vector velocidade ................................ 22 2.3.3.2.3 Vector aceleração ................................ 23 2.3.3.2.4 Movimento helicoidal ........................... 23

2.4 MUDANÇAS DE REFERENCIAL .................................... 23

2.5 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO .......................................... 27 2.5.1 Velocidade angular ............................................... 27 2.5.2 Vector velocidade angular ou rotação .................. 29 2.5.3 Aceleração angular instantânea ........................... 30 2.5.4 Vector aceleração angular .................................... 31

2.6 SÍNTESE DE 2.1 A 2.5 .................................................... 32

2.7 CONCEITO DE PARÂMETRO E GRAU DE LIBERDADE. 32

2.8 MOVIMENTOS COM MAIS DE UM GRAU DE LIBERDADE .................................................................... 34 2.8.1 Vector velocidade num referencial fixo ................ 34 2.8.2 Vector velocidade num referencial móvel ............ 36 2.8.3 Vector aceleração ................................................ 41

2.9 SÍNTESE DE 2.7 E 2.8 .................................................... 42

2.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................... 42

3

CINEMÁTICA DO SÓLIDO ........................................................... 45

3.1 INTRODUÇÃO ................................................................. 45

3.2 MOVIMENTO DE TRANSLACÇÃO ................................. 46

3.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO .......................................... 48 3.3.1 Vector velocidade ................................................. 49 3.3.2 Vector aceleração ................................................. 50

3.4 MOVIMENTO GERAL DE UM SÓLIDO .......................... 51 3.4.1 Vector velocidade ................................................. 52

3.4.1.1 Propriedade projectiva ............................ 54 3.4.2 Vector aceleração ................................................. 56

3.5 MOVIMENTOS PARTICULARES DOS SÓLIDOS .......... 59 3.5.1 Movimento plano .................................................. 59 3.5.1.1 Métodos para a obtenção do CIR ........... 60 3.5.1.1.1 Método da perpendicularidade .. 60 3.5.1.1.2 Método da proporcionalidade ... 62 3.5.2 Movimento polar ................................................... 63 3.5.3 Movimento helicoidal ............................................ 63

3.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO 3 ..................................................... 65

3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................... 68

4

TEORIA DE MOVIMENTOS RELATIVOS .................................... 69

4.1 INTRODUÇÃO ................................................................. 69

4.2 VELOCIDADES ............................................................... 72 4.2.1 Campo de velocidades ......................................... 72 4.2.2 Determinação dos CIR pela propriedade do alinhamento ................................................... 75

4.3 ACELERAÇÕES .............................................................. 78

4.4 PARALELISMO ENTRE A TMR E A TEORIA DAS DERIVADAS RELATIVAS ............................................. 80

4.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 4 ............................................. 83

4.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................... 84

5

CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS EM CONTACTO PERMANENTE

85

5.1 INTRODUÇÃO ................................................................ 85

5.2 IMPORTÂNCIA DO ROLAMENTO E ESCORREGAMENTO .................................................. 85

5.3 SÓLIDOS EM CONTACTO PONTUAL ........................... 86 5.3.1 Movimento de permutação .................................. 86 5.3.2 Velocidade de escorregamento ........................... 88 5.3.3 Especifidades do torsor gerador do movimento relativo 2/1 no ponto de contacto ........................ 89 5.3.4 Escorregamento puro ........................................... 91 5.3.5 Rolamento puro – sólidos em movimento plano ... 91 5.3.5.1 Definição matemática da base e da rolante .............................................. 93 5.3.5.2 Generalização da análise a quaisquer movimentos planos .................................. 94 5.3.5.3 Velocidade de permutação ..................... 96 5.3.5.4 Aceleração relativa do ponto de contacto (ou CIR) ..................................... 99

5.4 SÓLIDOS EM CONTACTO LINEAR ............................. 101 5.4.1 Superfícies axoides ............................................ 102 5.4.2 Superfícies axoides nos movimentos planos .... 106

5.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 5 ........................................... 107

5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................... 108

6

ANEXO – PROBLEMAS DE EXAME ...........................................113

Mecânica II

1. Introdução

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A Mecânica Teórica é uma ciência que aborda temas como o equilíbrio dos corpos materiais e o movimento mecânico. No primeiro caso (estudo do equilíbrio dos corpos materiais em repouso) estamos no domínio da Estática. Quando se estuda o movimento dos corpos estamos no âmbito da Cinemática e/ou Dinâmica. A Cinemática estuda o movimento dos corpos única e exclusivamente do ponto de vista geométrico sem se preocupar, nem com as causas que originam esse movimento (forças, momentos), nem com a inércia dos corpos (massas, momentos de inércia). Pode-se afirmar que a Cinemática traduz o estudo da geometria do movimento, estabelecendo relações entre deslocamento, velocidade, aceleração e tempo sem qualquer referência às causas que originam ou alteram o movimento. A Dinâmica também se ocupa do movimento dos corpos, nomeadamente do estudo da relação existente entre as solicitações que actuam num corpo (forças, momentos), a sua inércia (massa, momento de inércia) e o movimento resultante. Rapidamente se conclui que o estudo dinâmico de um movimento implica a sua abordagem prévia em termos cinemáticos.

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1. Introdução

Mecânica II

Para melhor compreender a relação entre Estática, Cinemática e Dinâmica recordemos a bem conhecida Segunda Lei de Newton do movimento

F = ma

(1.1)

em que F é a resultante das forças actuantes, m é a massa do corpo e a é a aceleração resultante. Nesta equação, que é a base de toda a Dinâmica, a obtenção da aceleração requer previamente, uma análise cinemática. Na ausência de movimento, o segundo membro da equação anula-se e teremos um problema de Estática. Pode-se então concluir que a Estática é um caso particular da Dinâmica e que deveria ser estudada depois desta. Tal não sucede por questões de ordem pedagógica. Na verdade, é mais fácil a assimilação de conceitos partindo da situação particular (Estática), para o caso geral (Dinâmica). O objectivo último deste trabalho é o estudo cinemático de mecanismos simples. Um mecanismo é um conjunto de corpos ligados entre si e dimensionados de forma a obter-se à saída um movimento com as características cinemáticas e dinâmicas desejadas. Por exemplo, o sistema biela-manivela transforma o movimento rectilíneo alternativo dos êmbolos em movimento de rotação da manivela (ver figura 1.1).

B Manivela

Biela

C Êmbolo

A Figura 1.1 – Sistema biela-manivela.

Teoricamente, conhecer o movimento de um mecanismo é saber definir, em todos os instantes, a trajectória, a velocidade e a aceleração de um ponto genérico de qualquer um dos corpos que o constituem. Na prática, o conhecimento do movimento de alguns pontos notáveis ou a redução dos

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Mecânica II

1. Introdução

movimentos aos seus elementos teóricos essenciais, através de modelos matemáticos adequados, resolve o problema. Inicialmente, a abordagem será feita recorrendo à Cinemática do Ponto Material. Um ponto material genericamente representa um corpo com massa, mas de dimensões desprezáveis relativamente ao seu movimento. Assim, a Terra no seu movimento em torno do Sol pode ser assimilada a um ponto material. Um sistema de pontos materiais pode ser contínuo ou discreto. Os corpos rígidos que constituem os mecanismos podem ser assimilados a sistemas contínuos de pontos materiais, em que estes permanecem a distâncias fixas uns dos outros durante o movimento. Embora os corpos se deformem

durante

o

movimento,

essas

deformações

consideram-se

desprezáveis relativamente ao próprio movimento. A abordagem cinemática dos corpos rígidos constitui o tema da Cinemática do Sólido. Realce para a aplicação da Teoria dos Movimentos Relativos e a sua relação com a Teoria da Derivação (Cinemática do Ponto) e as Equações de Mozzi (Cinemática do Sólido). Finalmente, dedicaremos especial atenção ao estudo do Movimento de Sólidos em Contacto Permanente, situação que ocorre com frequência em muitos mecanismos.

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2. Cinemática do Ponto

Mecânica II

CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DO PONTO 2.1 TRAJECTÓRIA E MOVIMENTO A trajectória é o lugar geométrico das diversas posições assumidas por um ponto quando este se desloca entre duas posições diferentes. A trajectória é uma linha necessariamente contínua. O conceito de movimento é essencialmente relativo. Diz-se que um ponto está em movimento em relação a outro quando a sua posição, relativamente a este, muda com o tempo. Saliente-se que esta mudança de posição se pode traduzir por uma variação da distância entre eles ou por uma variação da direcção definida por esses dois pontos. Efectivamente, se um dos pontos descreve uma circunferência relativamente ao outro com centro neste, não há alteração de distância, mas há alteração de posição. Num movimento geral poderá haver variação de distância e direcção em simultâneo. Pode-se também afirmar que dois pontos estão em repouso um em relação ao outro se não houver alteração das posições relativas. Esta noção de movimento está intrinsecamente associada à noção de referencial. Na verdade, a existência de movimento ou repouso de um ponto depende do referencial a que o observador está ligado: a trajectória, a velocidade e a aceleração do ponto são diferentes conforme o referencial

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ligado ao observador. Assim, dois passageiros sentados num autocarro estão em repouso um em relação ao outro, mesmo quando o autocarro se desloca. No entanto, ambos estão em movimento relativamente a um terceiro indivíduo que se encontre sentado na paragem. Mas esse movimento é ainda diferente relativamente a um quarto passageiro que se desloque no corredor do autocarro. Também o será relativamente a um condutor de automóvel que nesse instante ultrapasse o autocarro. Temos, assim, uma série de exemplos que ilustram de modo claro o conceito essencialmente relativo de qualquer movimento. Poder-se-á mesmo dizer que nenhum movimento é cem por cento absoluto. Se considerarmos que a Terra, o Sistema Solar, as galáxias e todos os corpos celestes estão em movimento compreendemos melhor o alcance da afirmação anterior.

2.2 MOVIMENTO RECTILÍNEO – Análise escalar 2.2.1 LEI DO MOVIMENTO

O movimento de um ponto diz-se rectilíneo quando a sua trajectória é uma linha recta. Consideremos o eixo OX como a direcção da trajectória (ver figura 2.1). A posição do ponto material P e o sentido do deslocamento ficam definidos pelo modo como varia a distância ao ponto de referência O em cada instante (sentido crescente ou decrescente do eixo coordenado x). Por outras palavras, é necessário conhecer a função x(t), que se designa por lei do movimento.

O

t

t+∆ t

x

x(t ) x(t+∆ t) Figura 2.1 – Referencial usado para o movimento rectilíneo.

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2.2.2 VELOCIDADE Observando a figura 2.1 vamos supor que nos instantes t e t+∆t a partícula se encontra nas posições x(t) e x(t+∆t) respectivamente. O deslocamento ∆x entre estes dois instantes pode ser dado por

∆x = x (t + ∆t ) − x (t ) .

(2.1)

A velocidade média durante o intervalo de tempo ∆t é definida como

vm =

∆x ∆t

(2.2)

ou seja, pelo quociente entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t. Em termos físicos podemos dizer que a velocidade representa o deslocamento por unidade de tempo, sendo a sua unidade no sistema internacional o metro por segundo. A velocidade instantânea será dada pelo limite deste quociente quando ∆t tende para zero ou, em termos matemáticos, será a derivada do deslocamento em ordem de tempo

v = lim ∆t →0

∆x dx = = xɺ (t ) . ∆t dt

(2.3)

Utilizaremos com frequência xɺ (omitindo o t) para denominar a velocidade instantânea que, daqui em diante, será apenas designada por velocidade. O ponto por cima de uma variável significa a sua derivada em ordem ao tempo. A velocidade é representada por um número real, que pode ser positivo ou negativo consoante o valor de x aumente ou diminua com o tempo. Por outro lado, a própria velocidade pode variar de instante para instante, ou seja, pode variar no tempo e temos, então, v=v(t). A relação entre o deslocamento de um ponto e a velocidade pode ser estabelecida a partir da equação (2.3), escrevendo

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Mecânica II


dx = v dt .

(2.4)

Integrando temos

∫

x

x0

dx =

t

∫ v dt

(2.5)

t0

e finalmente

x = x0 +

t

∫ v dt

(2.6)

t0

sendo x0 o deslocamento do ponto no instante inicial t0 considerado para origem da contagem dos tempos. A obtenção do deslocamento x para um determinado instante t implica o conhecimento da função v(t). No caso particular da velocidade ser constante o movimento é uniforme e temos x = x 0 + v (t − t 0 ) .

(2.7)

2.2.3 ACELERAÇÃO Recordando a figura 2.1 vamos supor que nos instantes t e t+∆t a partícula apresenta velocidades v(t) e v(t+∆t). A variação de velocidade pode ser positiva ou negativa e é dada por ∆v = v (t + ∆ t ) − v (t ) .

(2.8)

A aceleração média no intervalo de tempo ∆t é igual a

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am =

∆v . ∆t

(2.9)

A aceleração instantânea (daqui em diante será designada apenas por

aceleração) obtém-se calculando o limite do quociente de (2.9) quando ∆t tende para zero

a = lim ∆t →0

∆v dv = = vɺ . ∆t dt

(2.10)

A unidade da aceleração no sistema internacional é o metro por segundo ao quadrado. Atendendo à equação (2.3) podemos ainda escrever

a=

dv d  dx  d 2 x =  = = xɺɺ . dt dt  dt  dt 2

(2.11)

Os dois pontos por cima da variável significa a segunda derivada desta em ordem de tempo, ou seja, a aceleração é também dada pela segunda derivada do deslocamento em ordem ao tempo. Note-se que, genericamente, o deslocamento, a velocidade e a aceleração são funções do tempo. No entanto, por simplificação da notação, é comum omitir-se o t na designação da variável. A relação entre a aceleração e a velocidade é obtida a partir da equação (2.10) dv = a dt ,

(2.12)

e integrando

∫

v

v0

dv =

∫

t

a dt

(2.13)

t0

logo

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v =v0 +

∫

t

a dt

(2.14)

t0

em que v0 é a velocidade no instante inicial t0. A lei dos deslocamentos obtémse integrando a equação anterior em ordem ao tempo (ver equações (2.4) e (2.5)), sendo no entanto, fundamental conhecer a função a(t). No caso particular da aceleração ser constante o movimento é uniformemente variado (positiva ou negativamente) e temos v = v 0 + a (t − t 0 ) .

(2.15)

Neste caso, a obtenção da lei dos deslocamentos pode ser feita recorrendo à equação (2.5)

∫

x

x0

dx =

∫ (v t

t0

0

+ a (t − t 0 ))dt

(2.16)

e finalmente,

1 x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 2 . 2

(2.17)

2.3 MOVIMENTO CURVILÍNEO – Análise vectorial 2.3.1 COMPONENTES CARTESIANAS 2.3.1.1 Vector posição

Acabámos de apresentar o cálculo do deslocamento, da velocidade e da aceleração no movimento rectilíneo, utilizando um modelo de análise

unidimensional e um método de resolução escalar. Todavia, para localizar um ponto P que se desloca no espaço tridimensional é mais cómodo recorrer a

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uma análise vectorial, em que a posição do ponto em cada instante se obtém através das suas coordenadas no referencial escolhido. Através da figura 2.2 constata-se que a posição do ponto P fica definida no referencial com origem no ponto O arbitrariamente escolhido, através do vector posição

r = OP

(2.18)

xP    r = y P  . z   P

(2.19)

ou

sendo xP, yP e zP as coordenadas escalares do vector posição OP no referencial da figura 2.2. Em geral, este vector é uma função do tempo ( r (t)) e pode variar não só em módulo, mas também em direcção.

z s

P

Q ∆r

P0 O

x

y P

r (t) r (t + ∆ t) zP

xP

y

Figura 2.2 –Vector posição em coordenadas cartesianas.

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2.3.1.2. Vector velocidade

Observando a figura 2.2 vemos que o ponto adquire as duas posições P e Q da trajectória nos instantes t e t+∆t, respectivamente. O deslocamento entre estes dois instantes é dado por

∆r = r (t + ∆ t ) − r (t )

(2.20)

e a velocidade média neste intervalo de tempo será

vm =

∆r ∆t

(2.21)

ou

1 vm = ∆t

 xQ  y Q z  Q

− xP   − yP  . − zP 

(2.22)

Dado que ∆ r é um vector e ∆t um escalar conclui-se, da equação (2.21), que vm é um vector com a direcção de ∆ r , ou seja, da recta secante à trajectória

que passa pelos pontos P e Q (ver figura 2.2), e o sentido é o do vector deslocamento. A velocidade instantânea obtém-se considerando intervalos de tempo ∆t cada vez menores e, consequentemente, vectores ∆ r cada vez mais curtos. Por outras palavras, a velocidade instantânea pode ser obtida como sendo o limite de vm quando ∆t tende para zero. Como se depreende da figura 2.2, a velocidade instantânea é um vector tangente à trajectória no ponto P, pois quando ∆t tende para zero, Q tende para P e a direcção da secante ∆ r tende para a direcção da tangente. Temos então,

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v = lim∆t →0

•

∆r d r = =r ∆t dt

(2.23)

sendo

 xɺ    r = yɺ  .  zɺ    •

(2.24)

O módulo da velocidade será dado por

v = xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 .

(2.25)

2.3.1.3 Vector aceleração

A velocidade do ponto pode variar de instante para instante. Consultando a figura 2.3 admitimos que nos instantes t e t+∆t, o ponto ocupa as posições P e Q da trajectória e que as velocidades são v (t) e v (t+∆t), respectivamente. A variação da velocidade é dada por

∆ v = v (t + ∆t ) − v (t )

(2.26)

e a aceleração média por

am =

∆v ∆t

(2.27)

ou

v Qx 1  a m = v Q y ∆t  Q v z

12

− v xP   − v yP  . − v zP 

(2.28)

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z P

r(t)

v(t )

v(t )

v ( t +∆ t )

Q

∆v

r ( t +∆ t )

v ( t +∆ t ) y

x

(a)

(b)

Figura 2.3 – Representação geométrica da variação de velocidade. (a) No espaço de referência. (b) Considerando os vectores velocidade com a mesma origem.

Mais uma vez, a aceleração instantânea obtém-se calculando o limite de (2.26) quando ∆t tende para zero. Assim temos, •

a = lim ∆t →0

∆v d v = =v ∆t dt

(2.29)

ou

v x   xɺɺ a x  d       a = v y  = yɺɺ = a y  . dt       v z   zɺɺ a z 

(2.30)

O módulo da aceleração será dado por

a = ax2 + ay2 + az2 .

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(2.31)

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Mecânica II

2.3.2 COMPONENTES INTRÍNSECAS OU NATURAIS 2.3.2.1 Posição

Em 2.3.1 obtivemos a posição do ponto P a partir das suas coordenadas cartesianas. Todavia, uma vez conhecida a trajectória do ponto, podemos definir a sua posição de uma forma alternativa e que consiste em (ver figura 2.2):

1) Definir um ponto fixo sobre a trajectória (P0) para contagem do comprimento de arco s. 2) Arbitrar um sentido de percurso positivo a que corresponde valores de s crescentes. 3) Definir a posição do ponto pelo comprimento de arco P0P que

designamos por s.

2.3.2.2 Vector velocidade

Vimos que a velocidade é um vector que é tangente à trajectória em cada instante. Vamos então exprimir o vector velocidade segundo a direcção da tangente. A partir da definição do vector de velocidade expresso na equação (2.23) podemos escrever

v=

d r d r ds = . dt ds dt

(2.32)

Como facilmente se depreende da figura 2.2, quando ∆t tende para zero e Q tende para P, a corda d r tende para o valor do arco ds, logo o seu quociente

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Mecânica II


tende para a unidade. Por outro lado, d r , que é uma secante à curva, tenderá para a direcção da tangente no ponto P. Assim,

dr =τ ds

(2.33)

sendo τ o versor (módulo unitário) da tangente e cujo sentido é o do movimento. Podemos então, definir o vector velocidade em componentes intrínsecas como

v=

ds τ = sɺ τ dt

(2.34)

em que sɺ nos dá o módulo e τ nos define a direcção e o sentido do vector velocidade.

2.3.2.3 Vector aceleração

Ao contrário do vector velocidade que é tangente à trajectória, o vector aceleração pode decompor-se segundo duas direcções; uma tangencial e outra normal à trajectória em cada ponto, e que são conhecidas pelas componentes intrínsecas ou naturais da aceleração. Recorrendo às equações (2.29) e (2.34) podemos escrever

d v d 2s ds d τ a= = 2 τ+ . dt dt dt dt

(2.35)

A variação do versor das tangentes τ com o tempo, pode ser tratada como

d τ d τ ds d τ ɺ = = s. dt ds dt ds

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(2.36)

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Mecânica II

A variação do versor τ consiste numa mudança de direcção, uma vez que o seu módulo (unitário) se mantém constante. Assim, e recorrendo à figura 2.4(a) podemos dizer que a variação ∆ τ dos versores entre os pontos P e Q pode ser escrita como

∆ τ = τQ − τ P .

y

(2.37)

A

ρ

τQ

ρ ∆α P

Q

∆τ τQ

∆α

τP

τP x

O

(a)

(b)

Figura 2.4 – Representação da variação do versor das tangentes (a) No espaço de referência. (b) Perspectiva aumentada dos dois versores considerados com a mesma origem.

A figura 2.4(b) permite-nos definir com facilidade o módulo de ∆ τ . Dividindo simetricamente o triângulo isósceles constituído por τ P, τ Q e ∆ τ a partir da sua base ∆ τ , podemos obter dois triângulos rectângulos onde

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∆τ  ∆α  = τ Q sen   2  2 

(2.38)

∆τ  ∆α  = sen   2  2 

(2.39)

ou

uma vez que τ Q é unitário. Calculando o limite da equação anterior quando ∆ τ tende para zero obtemos

d τ = dα

(2.40)

uma vez que lim x → 0 sen x = x . Por outro lado quando ∆ τ → 0 a direcção de d τ tende para a normal a τ (versor n ) como facilmente se depreende da figura 2.4(b), imaginando Q muito próximo de P. Assim , podemos escrever

d τ = dα n .

(2.41)

O valor do comprimento de arco ds correspondente a dα pode ser obtido pelo produto do raio de curvatura ρ por dα (ver figura 2.4 (a)) ds = ρ dα .

(2.42)

Assim, retornando à equação (2.35), podemos escrever

dτ dτ ɺ dα ɺ n ɺ = s= n s= s. dt ds ρdα ρ

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(2.43)

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Mecânica II

Finalmente, recorrendo às equações (2.34) e (2.43) temos

a = sɺɺ τ +

sɺ 2 n. ρ

(2.44)

Podemos então dizer que o vector aceleração se pode decompor em duas componentes: - a tangencial a t = sɺɺ τ que é devida unicamente à variação do módulo da velocidade;

sɺ 2 - a normal a n = n que é devida à curvatura da trajectória. ρ Num movimento ao longo de uma trajectória no espaço, podem-se definir no ponto P inúmeras normais. A definição da normal principal que conterá o versor

n , pode ser feita a partir do plano osculador em P, que se define como o plano que contém os versores τ P, τ Q e ∆ τ quando Q tende para P (ver figura 2.4(b)). Como se constata da observação de 2.4(b), este plano contém o versor n . Um exemplo que retrata a importância desta componente normal da aceleração, é o projecto de linhas ferroviárias. Neste caso, um segmento recto de via nunca é seguido directamente de um troço circular; utilizam-se secções especiais de transição, para suavizar a passagem do raio de curvatura infinito do segmento recto para o raio de curvatura finito da secção circular. Caso contrário, existiriam mudanças bruscas na aceleração das carruagens, o que para além de ser prejudicial aos materiais seria também desagradável e perigoso para os passageiros. A conclusão mais importante a reter é que num movimento curvilíneo a aceleração nunca é nula. Assim, se esse movimento for uniforme, sɺ será constante e a componente tangencial de aceleração será nula, mas existirá a componente normal

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sɺ 2

ρ

. Esta componente só será nula quando a velocidade

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Mecânica II


for nula (ausência de movimento) ou nos pontos de inflexão em que o movimento terá, ainda que momentaneamente, uma trajectória rectilínea, que se caracteriza por ρ = ∞.

2.3.3 COORDENADAS POLARES E CILÍNDRICAS 2.3.3.1 Coordenadas polares

2.3.3.1.1 Vector posição

Nalguns problemas de movimento plano, a posição do ponto material P pode-se definir através das suas coordenadas polares r e θ de versores u r e

u θ respectivamente (ver figura 2.5).

uθ

ur

r

θ O Figura 2.5 – Coordenadas polares.

Torna-se então conveniente decompor a velocidade e a aceleração segundo a direcção radial identificada pelo versor u r e a direcção transversal (versor u θ ) perpendicular à anterior. No caso do ponto P se movimentar ao longo de uma trajectória rectilínea teremos r a aumentar ou a diminuir mantendo-se θ constante e o movimento faz-se segundo u r . Por outro lado, se houver variação de θ, e r se mantiver constante, o movimento faz-se segundo

u θ . Num caso geral haverá alteração de r e θ simultaneamente.

FEUP – DEMEGI

19


Mecânica II

O vector posição do ponto P pode-se escrever

r = r ur .

(2.45)

2.3.3.1.2 Vector velocidade

Derivando o vector posição, obtemos o vector velocidade •

•

v = r = rɺ u r + r u r .

(2.46)

Recordando a figura 2.4(b), que nos permitiu estudar a derivada de um versor animado de movimento de rotação, podemos usar um procedimento análogo •

para a obtenção de u r . Assim considerando u rP , u rQ , ∆u r e ∆θ em vez de τ P,

τ Q, ∆ τ e ∆α respectivamente, temos a partir da figura 2.4(b)

∆ ur 2

= u r sen

∆θ 2

(2.47)

ou

∆u r = ∆θ

(2.48)

quando ∆ θ tende para zero. Para calcular a variação média de ∆u r

em

relação ao tempo fazemos

∆u r ∆t

20

=

∆θ ∆t

(2.49)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


cujo limite será θɺ quando ∆t tende para zero. Tal como sucedia com ∆ τ (ver equação 2.41), também aqui a direcção de ∆u r tenderá para a perpendicular a

u r para valores muito pequenos de ∆θ. Podemos então escrever •

dθ uθ = θɺ uθ dt

(2.50)

v = rɺ u r + rθɺ uθ .

(2.51)

ur =

e, consequentemente

2.3.3.1.3 Vector aceleração

Derivando o vector velocidade obtemos o vector aceleração •

•

•

a = v = rɺɺu r + rɺ u r + rɺ θɺ u θ + r θɺɺu θ + r θɺ u θ .

(2.52)

•

Seguindo um raciocínio análogo ao que permitiu a obtenção de u r , obtemos •

para u θ •

u θ = − θɺ u r

(2.53)

logo, o vector aceleração fica

(

)

(

)

a = rɺɺ − r θɺ 2 u r + 2 rɺ θɺ + r θɺɺ uθ

(2.54)

ou seja, tal como no vector velocidade, temos uma componente radial e uma componente transversal.

FEUP – DEMEGI

21


Mecânica II

2.3.3.2 Coordenadas cilíndricas

2.3.3.2.1 Vector posição

Por vezes torna-se cómodo definir a posição do ponto material P no espaço recorrendo às coordenadas cilíndricas r, θ e z de versores u r , u θ e k , respectivamente (ver figura 2.6). Neste caso podemos decompor o vector posição do ponto material P segundo os versores e temos

r = r ur + z k .

(2.55)

z k

P

uθ ur

r zk

O

θ r ur x

y

Figura 2.6 – Coordenadas cilíndricas.

Note-se que o versor k para além do módulo também tem direcção constante, o que o torna um vector constante.

2.3.3.2.2 Vector velocidade

Derivando a equação anterior obtemos o vector velocidade •

v = r = rɺ u r + r θɺ u θ + zɺ k .

22

(2.56)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


2.3.3.2.3 Vector aceleração

O vector aceleração obtém-se por derivação do vector velocidade •

(

)

(

)

a = v = rɺɺ − r θɺ 2 u r + 2 rɺ θɺ + r θɺɺ u θ +zɺɺk .

(2.57)

2.3.3.2.4 Movimento helicoidal

Um caso típico da aplicação das coordenadas cilíndricas é o movimento helicoidal descrito por um ponto P na periferia do filete de um parafuso de secção constante. Neste caso, a coordenada z é proporcional a R θ sendo R uma constante. Temos então,

z =hRθ

(2.58)

r = R u r + hR θ k

(2.59)

v = R θɺ uθ + h R θɺ k

(2.60)

a = − R θɺ 2 u r + R θɺɺuθ + h R θɺɺ k .

(2.61)

2.4 MUDANÇAS DE REFERENCIAL No capítulo 2.3 vimos diferentes modos de exprimir os vectores velocidade e aceleração em diversos tipos de coordenadas: cartesianas, intrínsecas, polares e cilíndricas. Na verdade, tratam-se de perspectivas diferentes de visualização das mesmas entidades físicas. Por outras palavras, um determinado vector (posição, velocidade ou aceleração) pode ser expresso, por exemplo, em coordenadas cartesianas, intrínsecas ou cilíndricas. Embora nestes três sistemas de coordenadas o vector tenha, matematicamente, um

FEUP – DEMEGI

23


Mecânica II

aspecto diferente, ele representa a mesma entidade física. Um observador no centro da cidade do Porto tem uma perspectiva diferente da Torre dos Clérigos relativamente a outro que a sobrevoe, mas a entidade física (Torre dos Clérigos) é a mesma. Na realidade, trata-se de recuperar o conceito de referencial já referido no capítulo 2.1, embora num contexto diferente. Por vezes existe a necessidade de projectar um vector num referencial diferente daquele em que ele se encontra projectado. O método mais cómodo é recorrer ao operador matemático conhecido por matriz transformação. Para ilustrar a construção desta matriz passemos a um exemplo concreto retratado na figura 2.7, onde se representam dois referenciais SA (xA, yA, zA) e SB (xB, yB, zB), em que os eixos x são coincidentes e os eixos y e z se encontram desfasados de θ . Imaginemos um vector OP que em SA tem como componentes

OP S

A

a    = b  . c   

(2.62)

Podemos obter OP projectado em SB fazendo

OP S = [TAB ]OP S B

(2.63) A

sendo [TAB ] a matriz transformação de A em B.

zA

zB

θ θ

yB

O

yA

xA x B Figura 2.7 – Referenciais SA e SB.

24

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Para elucidar a construção desta matriz consideremos a projecção dos versores do sistema SA ( i A , j A , k A ) em SB.

•

O versor de xA projectar-se-á de igual modo em SB. Podemos então preencher a primeira linha e a primeira coluna desta matriz com o valor 1 na posição correspondente à transformação de xA em xB e zero nas outras posições.

xA

yA

1 [TAB ]= 0 0

•

0

zA 0  xB y  B  zB

(2.64)

O versor de yA ( j A ) projecta-se em yB multiplicando-o por cos θ e em zB multiplicando-o por −sen θ (ver figura 2.8)

zA

zB

θ jA cos θ

O jA sen θ

θ jA

yB yA

Figura 2.8 – Projecção do versor de yA em yB e em zB. Podemos então acrescentar mais duas projecções na nossa matriz

FEUP – DEMEGI

25


Mecânica II

xA 1 [TAB ]= 0 0

•

yA

zA

0  xB y cos θ  B  zB − sen θ 0

(2.65)

O versor de zA ( k A ) projecta-se em yB multiplicando-o por sen θ e em zB por cos θ (ver figura 2.9).

zA

zB

θ kAcosθ

O

kA

yB

θ

k Asen θ

yA

Figura 2.9 – Projecção do versor de zA em yB e em zB. Temos então a matriz transformação completa

xA 1 [TAB ]= 0 0

yA

zA

0  xB cos θ sen θ  y B − sen θ cos θ  zB 0

(2.66)

e a projecção de OP S será (ver equação (2.63)) B

26

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


OP S

B

1 = 0 0

0  a   a       cos θ sen θ  b  =  b cos θ + c sen θ  (2.67) − sen θ cos θ  c  − b sen θ + c cos θ  0

Os vectores OP S e OP S representam exactamente a mesma entidade física A

B

(a posição do ponto P relativamente ao ponto O), embora apresentem um aspecto matemático diferente (comparar 2.62 com 2.67). Calculando o módulo de OP S e OP S obtemos exactamente o mesmo valor, como é obvio, A

B

OP = a 2 + b 2 + c 2 .

Note-se

que

este

exemplo,

poder-se-ia

aplicar

(2.68)

à

transformação

de

coordenadas cilíndricas em cartesianas. Assim, se considerarmos o sistema SB como sendo de coordenadas cilíndricas (r, θ e z), a matriz [TBA ] permite a transformação referida. Saliente-se ainda que, pelo facto dos sistemas SA e SB serem ortonormados a matriz transformação [TBA ] é igual à transposta de

[TAB ] . Como é óbvio, [TBA ] permite passar um vector representado em SB para SA. Sugere-se como exercício, a aplicação da matriz [TBA ] ao vector OP S (ver B

equação (2.67)) e obter OP S (ver equação (2.62)). A

2.5 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 2.5.1 VELOCIDADE ANGULAR

No subcapítulo 2.2.2 definimos velocidade linear como sendo a derivada do deslocamento em ordem ao tempo num movimento rectilíneo. A velocidade angular segue uma filosofia semelhante, bastando para tal considerar deslocamentos angulares em vez de lineares. Para melhor compreensão

FEUP – DEMEGI

27


Mecânica II

consideremos então o caso particular do movimento circular descrito num plano xy (ver figura 2.10).

y

Q

θQ

P

θP

O

x

Figura 2.10 – Movimento circular plano.

Considerando

duas

posições

para

o

ponto

material,

P

e

Q

respectivamente, em dois instantes diferentes a velocidade angular média define-se como

ω med =

∆θ . ∆t

(2.69)

O limite deste quociente quando ∆t tende para zero é a velocidade angular instantânea.

ω = lim ∆t →0

∆ θ dθ ɺ = =θ ∆t dt

(2.70)

cuja unidade no sistema SI é o radiano por segundo. O deslocamento angular obtém-se da equação anterior fazendo d θ = ω dt

28

(2.71)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


e após integração

t

θ = θ 0 + ∫ ω dt . t0

(2.72)

No caso do movimento circular uniforme temos θ = θ 0 + ω 0 (t − t 0 ) .

(2.73)

2.5.2 VECTOR VELOCIDADE ANGULAR OU ROTAÇÃO

Recordando a figura 2.10 vamos calcular o vector velocidade no ponto P recorrendo a um produto vectorial do vector velocidade angular ω pelo respectivo vector posição. Por uma questão de simplificação e sem perda de generalidade imaginemos que o ponto P se encontra sobre o eixo x na sua trajectória circular. Como já sabemos que a velocidade é tangente à trajectória e admitindo um sentido de rotação anti-horário, o vector velocidade será vertical e positivo

0 vP = v P 0

0 = r θɺ

(2.74)

0

e vamos calculá-lo fazendo

FEUP – DEMEGI

v P = ω x 0P .

(2.75)

0 r r θɺ = ω x 0 . o 0

(2.76)

29


Mecânica II

Pela regra do produto vectorial rapidamente concluímos que o vector ω só pode ter componente segundo z positiva, ou seja

0 ω= 0 . ω

(2.77)

Daqui se depreende que o vector velocidade angular ou rotação apresenta as seguintes características: •

o seu módulo é igual à velocidade angular instantânea θɺ ;

•

a sua direcção é perpendicular ao plano do movimento circular;

•

o seu eixo suporte contém o centro da trajectória circular;

•

o seu sentido é definido pela regra da mão direita, ou seja, ascendente para uma rotação com sentido anti-horário e descendente no caso contrário.

2.5.3 ACELERAÇÃO ANGULAR INSTANTÂNEA

Recordando a figura 2.10 vamos admitir que nas posições P e Q do ponto material existe uma variação de velocidade angular ∆ω . A aceleração média angular α m será dada por

αm =

∆ω . ∆t

(2.78)

O limite desta quantidade quando ∆t tende para zero será a aceleração angular instantânea dada por

α = lim ∆t →0

∆ω dω = = ωɺ = θɺɺ . ∆t dt

(2.79)

Da equação anterior podemos escrever

30

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


dω = α dt

(2.80)

e integrando temos

t

ω = ω0 + ∫ α dt . t0

(2.81)

No caso particular do movimento circular uniformemente variado temos ω = ω 0 + α (t − t 0 ) .

(2.82)

Integrando novamente podemos obter o ângulo rodado

1 θ = θ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + α (t − t 0 ) 2 . 2

(2.83)

2.5.4 VECTOR ACELERAÇÃO ANGULAR

O vector aceleração angular obtém-se a partir da derivação do vector velocidade angular. No caso particular do movimento circular plano o vector ω tem direcção constante segundo z. Assim o vector aceleração angular vem

α=

dω ɺ = ω k = θɺɺk . dt

(2.84)

Podemos então dizer que no caso de um movimento plano o vector aceleração angular tem as seguintes características: •

o seu módulo é igual à aceleração angular instantânea α ;

•

a sua direcção é a mesma do vector ω , ou seja, perpendicular ao plano do movimento;

FEUP – DEMEGI

31


•

Mecânica II

o sentido é o definido pela derivada do vector ω .

Note-se que se estivermos em presença de um movimento não plano a direcção do vector ω varia, o que alterará o cálculo de α . Voltaremos a este assunto mais à frente.

2.6 SÍNTESE DE 2.1 A 2.5 Antes de prosseguirmos vamos fazer uma síntese dos conceitos fundamentais transmitidos nos cinco primeiros subcapítulos da Cinemática do Ponto. Assim, após uma detalhada definição de trajectória e movimento em 2.1, introduzimos os conceitos de velocidade e aceleração em 2.2, recorrendo ao movimento rectilíneo e a uma análise escalar. Estes conceitos foram aprofundados em 2.3 com a introdução do movimento curvilíneo. Aqui recorreuse a uma análise vectorial e usaram-se diferentes tipos de sistemas de coordenadas (cartesianas, intrínsecas, polares e cilíndricas) para exprimir os vectores velocidade e aceleração. Em 2.4 apresentamos a matriz transformação, um operador matemático que permite, de uma forma expedita, projectar um vector num referencial diferente daquele em que ele se encontre. Finalmente em 2.5 recorremos ao movimento circular plano para, de uma forma simples, introduzir os vectores velocidade e aceleração angulares. Nos subcapítulos que se seguem vai fazer-se a extensão destes conceitos a problemas com mais de um grau de liberdade.

2.7 CONCEITO DE PARÂMETRO E GRAU DE LIBERDADE Para definir a posição de um ponto material P recorre-se a um certo número de grandezas geométricas, parâmetros, que consoante o sistema usado poderão ser coordenadas lineares ou angulares. Assim se usarmos coordenadas cartesianas a posição do ponto ficará definida pelas três coordenadas x, y e z no sistema escolhido. Caso utilizemos coordenadas

32

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


cilíndricas usaremos duas distâncias e um ângulo. A escolha dos parâmetros depende da geometria geral do mecanismo e adopta-se o que for mais simples para o tratamento analítico. Um parâmetro é dito independente se a sua variação não é condicionada pela dos outros. O número de graus de liberdade é igual ao número de parâmetros independentes utilizados para definir a posição do ponto material. Se um parâmetro não é independente é porque existe uma relação analítica que o liga a outros parâmetros. Para clarificar recuperemos o exemplo do mecanismo biela-manivela (ver figura 2.11). A posição do ponto C define-se pela equação AC = R cos α + L cos β .

(2.85)

sendo R e L as dimensões, conhecidas, da manivela e biela, respectivamente. O sistema só tem um único grau de liberdade porque entre os dois parâmetros

α e β existe uma relação de dependência R sen α = L sen β .

(2.86)

Assim, podemos dizer que a posição de C fica definida por um único parâmetro α , escrevendo

AC = R cos α + L 1−

R2 2

L

sen 2 α .

(2.87)

B L

R

α

β

C

A

Figura 2.11 – Sistema biela-manivela.

FEUP – DEMEGI

33


Mecânica II

2.8 MOVIMENTOS COM MAIS DE UM GRAU DE LIBERDADE 2.8.1 VECTOR VELOCIDADE NUM REFERENCIAL FIXO

Vamos começar por estudar um sistema com dois graus de liberdade recorrendo a um exemplo simples como é o do mecanismo dos aviões de feira (ver representação geométrica na figura 2.12). Designando por P a posição do passageiro, vemos que este, poderá estar sujeito a dois movimentos independentes entre si: - uma rotação do disco de base (corpo 1) em torno do eixo vertical (parâmetro cinemático θ); - movimento de rotação do braço de comprimento r (corpo 2), em torno de um eixo horizontal (parâmetro cinemático β).

z0

z1 β

θ

P z 2

r

2 1

O

θ

θ x0

y1 β

β

x1 x 2

y0

y2

Figura 2.12 – Representação geométrica do mecanismo de dois graus de liberdade.

Na análise de mecanismos com n graus de liberdade é habitual, por uma questão de simplificação, assumir-se a existência de n+1 referenciais. No nosso exemplo teremos:

34

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

•


Referencial S0 (Ox0y0z0) – referencial fixo, caracterizado pelo facto de um dos seus eixos (z0) ser o eixo de rotação do corpo 1 e os outros (x0 e y0) estarem no seu plano de rotação horizontal (plano do disco);

•

Referencial S1 (Ox1y1z1) – referencial móvel que acompanha o movimento do corpo 1. Regra geral constrói-se em conjugação com S0. O eixo que coincide com o eixo de rotação do corpo 1 será o eixo homólogo ao que foi considerado em S0, ou seja z1. Os outros dois eixos, x1 e y1, estarão no mesmo plano de x0 e y0, mas desfasados de um ângulo θ (parâmetro cinemático que traduz o movimento do corpo 1) e terão de ser colocados de modo a obedecer ao sentido de rotação (indicado por θɺ );

•

Referencial S2 (Ox2y2z2) – referencial móvel que acompanha o movimento do corpo 2. O eixo que coincide com o eixo de rotação do corpo 2 relativamente ao corpo 1, será o eixo homólogo ao que foi considerado em S1, ou seja x2. Os outros dois eixos, z2 e y2, estarão no mesmo plano de z1 e y1, mas desfasados de um ângulo β (parâmetro cinemático que traduz o movimento do corpo 2 relativamente ao corpo 1) e terão de ser colocados de modo a obedecer ao sentido de rotação (indicado por βɺ ).

Vamos começar pela obtenção da velocidade de P a partir de um vector posição representado em S0. Este vector terá a sua origem num ponto fixo (ponto O) e é facilmente representável em S2,

0 OP S = 0 . 2 r

(2.88)

Em seguida por projecção directa ou recorrendo à matriz transformação

[T21 ] podemos obtê-lo em S1

FEUP – DEMEGI

35


Mecânica II

0

OP S = [T21 ]OP S = r sen β 1 2 r cos β

(2.89)

e finalmente em S0 recorrendo a [T10 ]

− r sen β sen θ

OP S = [T10 ]OP S = r sen β cos θ . 0 1 r cos β

(2.90)

Sugere-se aos leitores, como exercício, a obtenção das matrizes transformação. Finalmente, a velocidade de P pode-se obter por derivação de

OP relativamente a S0,

•

vP

S0

= OP S0 S 0

− r βɺ cos β sen θ − r θɺ sen β cosθ = r βɺ cos β cos θ − r θɺ sen β sen θ . (2.91) − r βɺ sen β

2.8.2 VECTOR VELOCIDADE NUM REFERENCIAL MÓVEL

Regressando à figura 2.12 vamos imaginar um ponto genérico Q (não representado) cujas coordenadas em S1 sejam

x1 OQ S1

= y1 = x1 i1 + y1 j1 + z1 k1 . z1

(2.92)

O cálculo da velocidade de Q implica a derivação de (2.92)

36

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

2. Cinemática do Ponto •

•

•

v Q = xɺ 1 i1 + x1 i1 + yɺ 1 j1 + y 1 j1 + zɺ1 k 1 + z1 k 1 .

(2.93)

A obtenção da derivada dos versores segue um processo similar ao descrito •

em 2.3.2.3 e 2.3.3.1.2. Assim, de uma forma sintética temos para i1 , ∆ i1 ∆θ = i1 sen 2 2

(2.94)

∆ θ = ∆ i1 .

(2.95)

ou

Para calcular a variação relativamente ao tempo fazemos

∆θ ∆ i1 = ∆t ∆t

(2.96)

ou seja, •

θɺ = i1

(2.97)

logo •

i1 = θɺ j1

(2.98)

pois, como nos casos anteriormente referidos, quando ∆ θ tende para zero a direcção de ∆ i tende para a normal a i . Um aspecto importante é constatarmos que a derivada do versor i1 pode ser obtida recorrendo a um produto vectorial

FEUP – DEMEGI

37


Mecânica II

0

0 ɺ i1 = ω x i1 = 0 x 0 = θ i1 . θɺ 0 0 •

i1

(2.99)

Do mesmo modo temos •

j1 = ω x j1

(2.100)

•

k 1 = ω xk 1 .

Regressando à equação da velocidade (2.93) podemos agora escrever,

vQ = xɺ1 i1 + yɺ1 j1 + zɺ1 k1 + x1 ω × i1 + y1 ω × j1 + z1 ω × k1

(2.101)

ou

vQ = xɺ1 i1 + yɺ1 j1 + zɺ1 k1 + ω × ( x1 i1 + y1 j1 + z1 k1 )

(2.102)

ou ainda,

xɺ1 vQ = yɺ1 S1 zɺ1

x1 + ω

S1

S1

× y1 z1

(2.103) S1

e finalmente, de uma forma mais sintética,

•

vQ

S1

= OQ

+ ω10 S1 S 1

38

S1

× OQ

(2.104) S1

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


•

representa a velocidade de Q relativamente a S1 e

sendo que OQ S1 S 1

ω10

S1

× OQ

a velocidade de um ponto imaginário Q1 solidário de S1 e que S1

coincide com Q nesse instante. A equação (2.104) traduz o modo como se deriva um vector relativamente (S0), estando ele projectado noutro referencial diferente (S1), que se movimenta relativamente ao primeiro. Na sua forma mais geral a equação (2.104) terá a seguinte forma,

•

•

= AB

AB Sx S y

+ ω yx Sy

Sy

× AB

(2.105)

Sy

Sy

independentemente do significado do vector AB (vector posição, velocidade linear ou angular, força, etc.) e é conhecido como Teorema das Derivadas Relativas.

Regressando ao nosso problema (figura 2.12) podemos agora calcular a velocidade do ponto P partindo do respectivo vector posição representado em S1 (equação 2.89). Assim, temos

•

vP

S1

•

= OP

= OP S0 S 1

+ ω10 S1 S 1

S1

× OP

(2.106) S1

o que resulta

− r θɺ sen β v P S = r βɺ cos β . 1 − r βɺ sen β

FEUP – DEMEGI

(2.107)

39


Mecânica II

Também podemos obter a velocidade de P partindo do vector posição representado em S2 (equação (2.88)) fazendo

•

vP

S2

•

= OP

= OP S0 S 2

+ ω 20 S2 S 2

S2

× OP

(2.108) S2

sendo que,

ω 20

S2

= ω 21

S2

+ ω10

S2

(2.109)

ou,

− βɺ

− βɺ

0

ω 20 = 0 + − θɺ sen β = − θɺ sen β . 0 θɺ cos β θɺ cos β

(2.110)

o que origina

vP S2

− r θɺ sen β = βɺ r .

(2.111)

0

Um aspecto de particular relevância é a comparação que se deve fazer entre os vectores de (2.91), (2.107) e (2.111). Embora apresentem um aspecto diferente, estes três vectores representam a mesma coisa – a velocidade do ponto P. O diferente aspecto matemático dos três vectores está relacionado

com o facto de estarem escritos em referenciais distintos. Sugere-se como exercício, a aplicação de matrizes transformação que demonstrem a veracidade desta afirmação.

40

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


2.8.3 VECTOR ACELERAÇÃO

Recorrendo mais uma vez ao nosso problema da figura 2.12, e admitindo que a velocidade angular θɺ é constante, obtemos o vector aceleração do ponto P no referencial fixo S0 a partir da derivação relativamente a S0 de v P

S0

•

aP

S0

= vP S0 S 0

− r βɺɺ cos β sen θ + r βɺ 2 sen β sen θ − r βɺ θɺ cos β cos θ = r βɺɺ cos β cos θ − r βɺ 2 sen β cos θ − r βɺ θɺ cos β sen θ + − r βɺɺ sen β − r βɺ 2 cos β (2.112)

− r βɺ θɺ cos β cos θ + r θɺ 2 sen β sen θ + − r θɺ βɺ cos β sen θ − r θɺ 2 sen β cos θ . 0

A aceleração de P a partir do vector velocidade em S1 vem

•

aP

S1

•

= vP

= vP S0 S 1

+ ω10 S1 S 1

S1

× vP

(2.113) S1

ou seja,

− 2 r θɺ βɺ cos β a P S = − r βɺ 2 sen β + r βɺɺ cos β − r θɺ 2 sen β . 1 − r βɺ 2 cos β − r βɺɺ sen β

Também se pode obter o vector aceleração a partir de v P

•

aP

S2

s2

•

= vP

= vP S0 S 2

FEUP – DEMEGI

(2.114)

+ ω 20 S2 S 2

S2

× vP

.

(2.115)

S2

41


Mecânica II

aP

S2

− 2 r θɺ βɺ cos β = βɺɺ r − r θɺ 2 cos β sen β . − βɺ 2 r − r θɺ 2 sen 2 β

(2.116)

2.9 SÍNTESE DE 2.7 E 2.8 Nestes dois subcapítulos da cinemática do ponto começamos por recordar os conceitos de parâmetro e grau de liberdade. Em seguida, em 2.8, estudámos movimentos com mais de um grau de liberdade. Recorrendo a um exemplo simples apresentou-se o procedimento de colocação de referenciais, bem como o cálculo do vector velocidade a partir de um vector posição projectado num referencial fixo. O cálculo do mesmo vector velocidade a partir de um vector posição escrito em referenciais móveis permitiu a apresentação do Teorema das Derivadas Relativas, que foi, posteriormente, aplicado ao cálculo do vector aceleração.

2.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1)

z

θθɺɺ P • •ɺ

ββ y x Figura 2.13 – Ventoinha com dois graus de liberdade.

A hélice de uma ventoinha de raio r roda com velocidade angular βɺ constante em relação ao compartimento do motor. Este por sua vez roda em torno de um

42

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


eixo vertical com velocidade angular θɺ conhecida (ver figura 2.13). Admitindo que a dimensão segundo y entre o centro do sistema de eixos e o centro de hélice mede L e que o ponto P se encontra na periferia da hélice, determine:

a) A velocidade do ponto P a partir de um vector posição projectado em S1;

Solução:

vP

S1

− r βɺ cos β − Lθɺ = − r θɺ sen β − r βɺ sen β

b) A velocidade do ponto P a partir de um vector posição projectado em S2;

Solução:

vP

S2

− r βɺ − Lθɺ cos β = − r θɺ sen β L θɺ sen β

c) Mostre que as duas velocidades são iguais recorrendo à respectiva matriz transformação;

d) A aceleração do ponto P a partir do vector velocidade projectado em S1;

Solução:

aP

S1

r βɺ 2 sen β − Lθɺɺ + r θɺ 2 sen β = − r θɺɺ sen β − 2 r θɺ βɺ cos β − L θɺ 2 − r βɺ 2 cos β

e) A aceleração do ponto P a partir do vector velocidade projectado em S2;

Solução:

aP

S2

− Lθɺɺ cos β + r θɺ 2 sen β cos β = − r θɺɺ sen β − 2 r θɺ βɺ cos β − L θɺ 2 Lθɺɺ sen β − r θɺ 2 sen 2 β − r βɺ 2

f) Mostre que as duas acelerações são iguais recorrendo à respectiva matriz transformação.

FEUP – DEMEGI

43


Mecânica II

2)

y x

θɺ

Figura 2.14 – Lança telescópica com três graus de liberdade.

A lança telescópica espacial da figura roda em torno de um eixo vertical com velocidade angular θɺ e, em torno de um eixo horizontal com velocidade angular βɺ constante. Para além disso a sua extremidade translada segundo a direcção da própria lança com velocidade Lɺ constante. Repita as seis alíneas do problema anterior.

Soluções:

L βɺ cos β + Lɺsen β a) v P S = L θɺ sen β 1 − L βɺ sen β + Lɺcos β

βɺ L

b) v P

S2

= L θɺ sen β Lɺ

2 Lɺ βɺ cos β − L βɺ 2 sen β − L θɺ 2 sen β d) a P S = L θɺɺ sen β + 2 L θɺ βɺ cos β + 2 Lɺ θɺ sen β 1 − Lɺ βɺ 2 cos β − 2 Lɺ βɺ sen β

e) a P

44

S2

2 βɺ Lɺ − L θɺ 2 cos β sen β = 2 Lɺ θɺ sen β + L θɺɺ sen β + 2 L θɺ βɺ cosβ − L θɺ 2 sen 2 β − βɺ 2 L

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3. Cinemática do Sólido

CAPÍTULO 3 CINEMÁTICA DO SÓLIDO 3.1 INTRODUÇÃO No capítulo 2 estudou-se o movimento de pontos materiais. Como foi oportunamente referido, quando as dimensões de um determinado corpo se podem desprezar face ao seu movimento, ele pode ser assimilado a um ponto material. Em contrapartida, neste capítulo considerar-se-á a cinemática dos corpos rígidos, ou seja, pretender-se-á calcular em cada instante a posição, a velocidade ou aceleração de diferentes pontos do mesmo sólido rígido. Definese sólido rígido, como sendo um corpo em que as eventuais deformações de carácter elástico, que ocorrem durante o funcionamento da generalidade dos mecanismos, são desprezáveis em relação aos deslocamentos sofridos durante o movimento. Assim, na Cinemática do Sólido dedicar-nos-emos ao estudo do movimento de alguns pontos notáveis de um sólido. De facto, como a distância entre dois pontos quaisquer é considerada invariável, o conhecimento das características cinemáticas (trajectória, velocidade e aceleração) de alguns pontos do sólido permite a obtenção das mesmas características em qualquer outro ponto. O recurso a referenciais solidários do sólido no seu movimento, facilitará a extensão do movimento ao de um espaço rígido ilimitado que lhe seja associado. Na realidade, se um automóvel se

FEUP – DEMEGI

45


Mecânica II

desloca numa estrada, tudo o que ele transporta, tal como, passageiros, carga e a massa de ar circunscrita ao seu interior, se movimenta à mesma velocidade. Os movimentos dos sólidos podem ser agrupados em três tipos diferentes: •

translação;

•

rotação;

•

movimento mais geral de um sólido.

3.2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO Um movimento é dito de translação se qualquer linha recta no interior do corpo se mantiver na mesma direcção durante o movimento. Todas as partículas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias paralelas, ou seja, qualquer vector definido por dois quaisquer pontos do sólido desloca-se por equipolência. Se estas trajectórias forem linhas rectas, o movimento é dito de translação rectilínea; se as trajectórias forem linhas curvas, estaremos em presença de uma translação curvilínea (ver figura 3.1). A2

A2

B2

B2

A1 A1

B1

B1

Translação rectilínea

Translação curvilínea

Figura 3.1 – Translação rectilínea e translação curvilínea.

46

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Consideremos o sólido da figura 3.2 em movimento de translação relativamente ao referencial S0 representado. Podemos então escrever,

OB = OA + AB .

(3.1)

z0 B

A

O

y0

x0 Figura 3.2 – Sólido em translação.

Para calcular a velocidade vamos derivar a equação anterior •

•

OB s0

= OA

• s0

+ AB

(3.2) s0

•

é um vector nulo, uma vez que AB é um vector constante em

Mas, AB s0

módulo, direcção e sentido. Em módulo porque A e B são dois pontos de um corpo rígido e em direcção pela própria definição de translação. Logo temos,

vB = v A .

(3.3)

Por derivação da equação anterior temos

FEUP – DEMEGI

47


Mecânica II

aB = a A .

(3.4)

Pode-se então concluir que quando um corpo rígido translada todos os pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a mesma aceleração. No caso da translação curvilínea, a velocidade e a aceleração alteram-se quer em direcção, módulo e sentido. No caso da translação rectilínea, todas as partículas se deslocam em linhas rectas paralelas e as suas velocidades e acelerações mantêm a mesma direcção durante todo o movimento.

3.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Um sólido tem um movimento de rotação quando pelo menos dois dos seus pontos não têm velocidade durante todo o intervalo de tempo considerado. A recta definida por esses dois pontos é o eixo de rotação, que pode pertencer ao corpo ou não, e todos os seus pontos têm velocidade nula. Todos os pontos do sólido descrevem arcos de circunferência em planos perpendiculares a esse eixo e com centro nele.

z B vP P

ϕ r O

θ y

x

Figura 3.3 – Ponto genérico P de um sólido em rotação em torno de um eixo fixo.

48

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


3.3.1 VECTOR VELOCIDADE

Considere-se um sólido que roda em torno de um eixo fixo (eixo Oz da figura 3.3). Seja P um ponto do corpo e r o vector posição de P relativamente à origem do referencial. O ponto B representa a projecção de P sobre o eixo de rotação. O segmento BP faz um ângulo θ com plano xz. Este ângulo é conhecido como coordenada angular do corpo. Quando o corpo roda de um ângulo ∆θ , o comprimento ∆s do arco descrito por P é ∆s = BP ∆θ = r sen φ ∆ θ .

(3.5)

e, dividindo ambos os membros por ∆t obtemos no limite, quando ∆t tende para zero

vP =

ds = r θɺ senφ . dt

(3.6)

Podemos então concluir que o vector velocidade de P é um vector perpendicular ao plano que contém o eixo OZ e OP , e o seu módulo é dado pela equação (3.6). Estas mesmas conclusões e resultados podem ser obtidas recorrendo a cálculo vectorial. O vector velocidade angular do corpo ω está dirigido segundo o eixo de rotação e o seu sentido é obtido pela regra da mão direita. Podemos então dizer que

− r θɺ sen φ sen θ v P = ω x OP = 0 x r sen φ sen θ = r θɺ sen φ cos θ θɺ r cos φ 0 0

r sen φ cos θ

(3.7)

ou seja,

FEUP – DEMEGI

49


Mecânica II

v P = r 2 θɺ 2 sen 2 φ sen 2 θ + r 2 θɺ 2 sen 2 φ cos 2 θ = r θɺ sen φ

(3.8)

que é o mesmo resultado obtido na equação (3.6). Demonstra-se assim e equivalência dos dois métodos e a justificação do uso do cálculo vectorial em problemas mais complexos.


A obtenção da aceleração do ponto P também pode ser feita vectorialmente a partir da diferenciação da equação (3.7)

aP = =

(

d vP dt

d ω x OP dt

)

•

•

= ω x OP + ω x OP (3.9) = α x OP + ω x v P

(

)

= α x OP + ω x ω x OP .

Note-se que neste caso (movimento de rotação em torno de um eixo fixo), o vector aceleração angular do corpo α , é um vector dirigido segundo o eixo de rotação do corpo e de módulo igual à taxa de variação de ω com o tempo. A

(

)

aceleração de P é a soma de dois vectores. O primeiro vector α x OP é tangente à trajectória descrita por P e é conhecido como sendo a componente tangencial da aceleração. O segundo vector é igual ao produto vectorial de ω

(

)

por ω x OP que representa a velocidade P e que, como sabemos, é tangente à trajectória. Assim, o vector resultante do referido produto, aponta para o

50

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


centro de curvatura da trajectória (ponto B na figura 3.3) e é conhecido como componente normal de aceleração.

3.4 MOVIMENTO GERAL DE UM SÓLIDO Define-se movimento geral de um sólido como sendo um movimento que não seja de translação nem de rotação. No entanto, como facilmente se demonstra na figura 3.4, o movimento geral pode ser sempre considerado como a soma de uma translação com uma rotação. Assim, consideremos uma barra AB que se vai deslocar para uma posição A′B ′ . Neste seu deslocamento, podemos assumir que a barra translada entre a posição inicial e uma posição intermédia A′B ′′ para, finalmente adquirir a sua posição final através de uma rotação em torno de um eixo que contém A′ (ver figura 3.4 (a)). Do mesmo modo poderíamos também assumir que a barra transladava entre AB e A′′B ′ e que adquiria a sua posição final através de uma rotação em torno de B ′ (ver figura 3.4 (b)).

B

B ''

θ

B

B'

B' w θ

A

A'

A'

A

A''

w (a) – Translação + Rotação

(b) – Translação + Rotação

Figura 3.4 – Movimento geral de um sólido.

FEUP – DEMEGI

51


Mecânica II

3.4.1 VECTOR VELOCIDADE

Vejamos agora como se pode obter de uma forma expedita o vector velocidade num movimento geral. Observemos a figura 3.5 que representa um sólido em movimento relativamente a um referencial S0. A posição do ponto P do sólido fica definida pela equação vectorial.

z0 z

1

P y

1

O1 x1

O

y

0

x0

Figura 3.5 – Sólido em movimento relativamente a S0.

OP = OO 1 + O1P .

(3.10)

Para calcular a velocidade de P fazemos •

•

OP S0

= OO1

• S0

+ O1P

.

(3.11)

S0

Todavia, O1P é um vector constante no referencial S1 solidário do sólido, uma vez que são dois pontos do corpo considerado rígido. Podemos então escrever

52

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

3. Cinemática do Sólido •

•

O1P

S0

= O1P

S1

+ ω x O1P .

(3.12)

•

sendo que O1P

é nulo e ω representa a velocidade angular instantânea do S1

referencial S1 relativamente a S0. Rescrevendo a equação (3.11) temos

v P = v O1 + ω x O1P .

(3.13)

Esta equação, conhecida como primeira equação de Mozzi diz-nos que a velocidade de um ponto genérico P de um sólido em movimento se pode considerar como sendo a soma de dois vectores: •

um vector constante v O1 , que é a velocidade de um ponto O1 arbitrário tomado para pólo. Este vector num dado instante é o mesmo para todos os pontos de um sólido e pode ser considerado como a componente de translação;

•

a velocidade ω x O1P , que o ponto P teria se estivesse animado de um movimento de rotação de velocidade angular instantânea ω , em torno de O1 .

Como conclusão podemos afirmar que o regime cinemático de um sólido num dado instante fica determinado se conhecermos a velocidade de um dos seus pontos v O1 e o vector ω , ou seja, se conhecermos as coordenadas de um torsor de velocidades ( ω , v O1 ), sendo ω o vector principal e v O1 o vector momento. O vector principal do torsor ( ω ) é um invariante vectorial do sistema num dado instante, ou seja, é um vector livre e como tal não depende do ponto do sólido que esteja a ser considerado. Efectivamente, num dado momento, as velocidades de dois pontos P e Q do sólido podem ser dadas por:

FEUP – DEMEGI

53


Mecânica II

v P = v O1 + ω x O1P v Q = v O1 + ω x O1Q .

(3.14)

Subtraindo membro a membro temos v P = v Q + ω x QP .

(3.15)

Podemos também obter a velocidade de P directamente a partir de Q, admitindo que o vector velocidade angular em Q, ω ′ é diferente de ω . Temos então, v P = v Q + ω′ x QP .

(3.16)

Como o ponto P não pode ter duas velocidades distintas no mesmo instante, conclui-se imediatamente que ω = ω ′ . O vector momento do torsor ( v ) depende, obviamente, do ponto considerado. A relação entre a velocidade de dois pontos diferentes num mesmo instante é susceptível de ser obtida a partir da primeira equação de Mozzi. Pode-se assim afirmar que este torsor permite a obtenção do campo de velocidades contemporâneas.

3.4.1.1 Propriedade Projectiva

Uma importante propriedade do campo de velocidades, é o facto das projecções das velocidades de dois pontos quaisquer sobre a recta que os une ser constante. É conhecida como propriedade projectiva e demonstra-se de uma forma simples. Como num corpo rígido a distância entre dois pontos P e Q quaisquer é invariável temos,

(PQ ) = K 2

54

(3.17)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


sendo K uma constante. Em termos vectoriais pode-se escrever (3.17) como o produto interno de PQ por si próprio, ou seja,

PQ ⋅PQ = K

(3.18)

e, derivando em ordem ao tempo teremos

2 PQ ⋅ d

PQ =0 . dt

(3.19)

O vector PQ pode ser escrito como

PQ = OQ − OP

(3.20)

que, derivando em ordem ao tempo origina

d PQ = vQ − v P . dt

(3.21)

Retomando a equação (3.19) podemos escrever

(

)

PQ ⋅ v Q − v P = 0

(3.22)

PQ ⋅ v Q = PQ ⋅ v P

(3.23)

o que origina

que traduz o facto da projecção da velocidade de dois pontos quaisquer P e Q sobre a recta que os une ser constante. A figura 3.6 (sistema biela-manivela) elucida-nos como, através da propriedade projectiva, podemos obter

FEUP – DEMEGI

55


Mecânica II

graficamente, a velocidade do êmbolo (ponto B) a partir do conhecimento da velocidade de rotação da manivela ω . A velocidade do ponto A (articulação entre a manivela e a biela) é obtida através da relação

v A = ω x OA .

(3.24)

vA A

B

w O

vB Figura 3.6 – Exemplo de aplicação da propriedade projectiva.

A projecção de v A na direcção de AB será a mesma de v B no ponto B (articulação entre a biela e o êmbolo). Como conhecemos a direcção da velocidade do êmbolo (translação horizontal), obtemos v B uma vez que sabemos que é um vector horizontal cuja projecção na direcção AB é conhecida.


Para obtermos o vector aceleração do ponto P basta-nos derivar a primeira equação de Mozzi (equação (3.13)). Assim temos, •

aP = vP

• s0

= vO 1

• s0

+ω

• s0

x O1P + ω x O1P

(3.25) s0

e, com a ajuda da equação (3.12) obtemos

56

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


(

)

a P = a O1 + α x O1P + ω x ω x O1P .

(3.26)

que é conhecida como segunda equação de Mozzi e que nos diz que a aceleração de um ponto P é a soma de três componentes (ver figura 3.7):

•

a aceleração a O1 de um ponto O1 de referência, arbitrário, que é a mesma para todos os pontos do sólido no mesmo instante e que pode ser considerada como a componente de translação;

•

uma aceleração tangencial a t = α x O1P , que o ponto P teria se estivesse animado de um movimento de rotação em torno de O1 . Note-se que no movimento geral de um sólido o vector ω pode variar em grandeza e em direcção e que portanto α não tem necessariamente a direcção de

ω , como acontecia no movimento de rotação; •

(

)

uma aceleração normal a n = ω x ω x O1P , que o ponto P teria se estivesse animado de um movimento de rotação em torno de O1 .

z0

P

at aO1

an O1

O aO1

x0

y

0

Figura 3.7 – Vector aceleração num movimento mais geral de um sólido.

FEUP – DEMEGI

57


Mecânica II

Vejamos um exemplo de um mecanismo com este tipo de movimento na figura 3.8.

z0

z2

z1

z '1

P

β

2

OO1=e

θ

θ

y1

r

O1

1

β

O

x2 x1

Figura 3.8 – Movimento geral de um sólido (corpo 2).

O corpo 1 roda em torno do eixo vertical z0 com velocidade angular θɺ . Por sua vez, o corpo 2 roda relativamente ao corpo 1 em torno de um eixo x 2 com velocidade angular βɺ . Os dois eixos de rotação destes dois movimentos contêm os pontos O e O1 que se encontram separados por uma distância e. O facto destes eixos não se intersectarem implica a inexistência de pontos de velocidade nula do corpo 2 e do espaço a ele associado. Podemos então apresentar algumas características deste tipo de movimento:

•

o

invariante

escalar

do

torsor

do

campo

de

velocidades

contemporâneas, que se obtém através do produto interno do vector momento do torsor num ponto qualquer ( v O1 por exemplo) pelo vector

( )

principal ω 20 do torsor, é diferente de zero

− e θɺ − βɺ

Ι = v O1 ⋅ ω 20 = 0 ⋅ 0 = e βɺ θɺ ≠ 0 . 0 θɺ

58

(3.27)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

•


o eixo central que representa o lugar geométrico dos pontos onde o vector momento do torsor de velocidades é mínimo, é o suporte do vector ω 20 e designa-se por Eixo Instantâneo de Rotação (EIR), e costuma representar-se por T20. Neste caso a sua posição varia de instante para instante e diz-se que o movimento é tangente a um

movimento helicoidal. Voltaremos a este assunto mais à frente.

3.5 MOVIMENTOS PARTICULARES DOS SÓLIDOS 3.5.1 MOVIMENTO PLANO

O movimento plano é um caso particular do movimento mais geral de um sólido. Pode-se dizer que o movimento de um sólido é plano quando todos

os seus pontos descrevem trajectórias situadas em planos paralelos entre si. Torna-se assim suficiente estudar o movimento de qualquer das figuras descritas pela trajectória do sólido num plano qualquer paralelo ao plano de movimento.

y0

y1

vP

P vO

x1 w

1

O1

O

x0

Figura 3.9 – Movimento plano de um sólido.

FEUP – DEMEGI

59


Mecânica II

Consultando a figura 3.9 podemos calcular a velocidade de um ponto genérico

P do sólido recorrendo à primeira equação de Mozzi,

v P = v O1 + ω x O1P .

(3.28)

e constatar que as características intrínsecas a qualquer movimento plano são:

•

os vectores posição OO 1 e O1P e os vectores velocidade v O1 e v P estão todos no mesmo plano que é também o plano do movimento;

•

o vector velocidade angular ω é perpendicular ao plano do movimento e, portanto, perpendicular aos vectores posição e velocidade;

•

o invariante escalar do torsor de velocidades é nulo, uma vez que são vectores perpendiculares

Ι = vP ⋅ω = 0 .

(3.29)

Neste caso o valor da velocidade no eixo central é nulo;

•

a intersecção do eixo central (ou EIR) com o plano do movimento é o

Centro Instantâneo de Rotação (Ι ) , que representa o ponto solidário do plano que tem velocidade nula nesse instante v Ι = 0 .

3.5.1.1 Métodos para a obtenção do Centro Instantâneo de Rotação (CIR) Dada a importância que o centro instantâneo de rotação adquire na caracterização de um movimento plano vamos estudar desde já, dois métodos gráficos expeditos para a sua obtenção.

3.5.1.1.1 Método da perpendicularidade Se conhecermos, num dado instante, a velocidade de um ponto qualquer

P no movimento plano, podemos, através da primeira equação de Mozzi relacioná-la com a velocidade do CIR,

60

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


v P = v Ι + ω x ΙP

(3.30)

mas, pela própria definição v Ι = 0 e portanto

v P = ω x ΙP .

(3.31)

Pela regra do produto vectorial, e tendo em conta que ω é perpendicular ao plano do movimento, concluímos imediatamente que o vector ΙP será perpendicular a v P que se pressupôs conhecida. Caso conheçamos também a velocidade de um outro ponto Q que não seja colinear com P e Ι , podemos obter uma segunda perpendicular a v Q que também conterá o ponto Ι , bastando para tal escrever a equação (3.31) entre Q e Ι ,

v Q = ω x ΙQ .

(3.32)

A intersecção destas duas perpendiculares permite a fácil obtenção do CIR. Para exemplificar recordemos uma vez mais o sistema biela-manivela (ver figura 3.10). O CIR do corpo 1 é obviamente o ponto O. O êmbolo (corpo 3) tem um movimento de translação rectilíneo. Nestas circunstâncias assume-se que o respectivo CIR ( Ι 30 ) se encontra no infinito numa direcção perpendicular à da translação1. A regra da perpendicularidade aplica-se na perfeição à determinação de Ι 20 . De facto, o conhecimento da velocidade de dois pontos do corpo 2 ( v A e v B ) permite a obtenção de duas perpendiculares que se intersectam em Ι 20 . Note-se que ao contrário do que acontece a propósito do

Ι 10 que é fixo, Ι 20 muda de posição de instante para instante (voltaremos a este assunto mais à frente). Por outro lado, neste caso, nem era necessário conhecer as velocidades dos pontos A e B. Na realidade a análise do movimento do corpo 1 permite a obtenção da direcção de v A (perpendicular a 1

Matematicamente, uma linha recta corresponde a um arco de circunferência de raio infinito.

FEUP – DEMEGI

61


Mecânica II

OA ). A direcção de v B também é conhecida à partida, devido ao movimento de translação rectilínea a que o corpo 3 está submetido. Assim sendo, as perpendiculares a estas duas direcções determinam Ι 20 .

I 20

8

1

I30

vA 2

A

3

w vB

O I10

B

Figura 3.10 – Determinação dos CIR no sistema biela-manivela.

3.5.1.1.2 Método da proporcionalidade

Durante a apresentação do método anterior, foi referido que o ponto Q não poderia ser colinear com P e Ι . Se tal acontecer (ver figura 3.11) o conhecimento da velocidade nos dois pontos origina duas perpendiculares coincidentes, o que impossibilita a obtenção do respectivo CIR. Por outro lado, através da análise das equações (3.31) e (3.32), rapidamente concluímos que os módulos das velocidades de dois pontos são proporcionais às suas distâncias em relação a Ι . Assim, se dois pontos P e Q de velocidade conhecida estão alinhados com Ι , a determinação gráfica de Ι obtém-se por proporcionalidade.

vP vQ

I

Q

P

Figura 3.11 – Método da proporcionalidade na determinação do CIR.

62

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


3.5.2 MOVIMENTO POLAR

O movimento polar é o movimento de um sólido que mantém um único ponto permanentemente fixo no espaço de referência. Voltemos a analisar o mecanismo já estudado no capítulo 2 (ver figura 3.12). A rotação do disco (movimento do corpo 1 relativamente a S0) é feita em torno de um eixo (z0 ≡ z1) que contém o ponto O. Por sua vez, a rotação da barra (corpo 2) relativamente ao disco (corpo 1) faz-se em torno de um eixo (x1 ≡ x2) que também contém O. Logo, este ponto é um ponto fixo do espaço.

z0

z1 β

θ

P z 2

r

2 1

O

θ x0

β

x1 x 2

θ

y1 β

y0

y2

Figura 3.12 – Mecanismo com movimento polar.

Neste tipo de movimento, o invariante escalar é nulo. O eixo central (ou EIR), que contém o vector ω e, permanentemente, o ponto O, muda de direcção de instante para instante, o que obviamente também sucede ao vector

ω.

3.5.3 MOVIMENTO HELICOIDAL

O movimento helicoidal é um movimento em que todos os pontos do sólido descrevem hélices em torno de um eixo fixo (ver figura 3.13).

FEUP – DEMEGI

63


Mecânica II z z1

O1

y1

x1

O

θ

vP r y

x

Figura 3.13 – Movimento helicoidal de um sólido cujo ponto O1 pertence ao eixo central.

Existe um eixo fixo no espaço (EIR), e o sólido translada segundo a sua direcção e roda em torno dele, de tal modo que a rotação e a translação mantêm uma relação constante entre si. No movimento helicoidal existe proporcionalidade entre as duas componentes da velocidade, que se escreve

v P = r θɺ i θ + zɺO1 k

(3.33)

sendo que

•

r θɺ i θ corresponde à rotação em torno de z e é-lhe perpendicular

•

zɺO1 k corresponde à translação rectilínea segundo z e cujo módulo é proporcional ao módulo da componente de rotação, ou seja,

zɺO1 = h r θɺ

(3.34)

onde h representa o coeficiente de proporcionalidade.

64

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Neste movimento, o invariante escalar é diferente de zero, pois o vector ω tem a direcção do eixo z (eixo central). Como a velocidade também tem uma componente segundo z temos,

I = zɺO1 k ⋅ ω ≠ 0 .

(3.35)

A conclusão imediata é que o eixo central que, recorde-se, representa o lugar geométrico dos pontos onde o vector momento do torsor das velocidades é mínimo, não é neste caso, um eixo de velocidades nulas. Podemos então dizer que o EIR num movimento helicoidal é o lugar geométrico dos pontos onde a velocidade é mínima e não nula, e onde os dois vectores do torsor de velocidades têm a mesma direcção.

3.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO 3 Após uma abordagem inicial aos movimentos de translação e rotação, que foram estudados em termos de vector velocidade e vector aceleração, passou-se à análise do movimento mais geral de um sólido. Concluiu-se que este tipo de movimento, pode ser sempre considerado como a soma de uma translação com uma rotação e foram apresentadas as equações de Mozzi da velocidade e da aceleração. De seguida, foram estudados casos particulares de movimentos de sólidos, nomeadamente o movimento plano, o movimento polar e o movimento helicoidal. A caracterização destes movimentos foi feita

tendo por base a teoria dos torsores e as principais conclusões sintetizam-se em função do valor do invariante escalar. Assim temos:

I)

Invariante escalar nulo ( Ι =0)

Como o invariante escalar é o produto interno do vector velocidade pelo vector rotação, podemos ter diversas hipóteses:

FEUP – DEMEGI

65


•

Mecânica II

Ambos os vectores são nulos ( ω =0 ; v P =0). Este caso retrata obviamente a ausência de movimento.

•

Vector rotação nulo, mas vector velocidade diferente de zero ( ω =0 ; v P ≠0).

Aplicando a primeira equação de Mozzi entre dois pontos quaisquer temos

v P = v O1 + ω x O1P .

(3.36)

Uma vez que o vector rotação é nulo, temos que v P = v O1 quaisquer que sejam P e O1. Estamos então, em presença de um movimento de translação onde todos os pontos do sólido têm a mesma velocidade.

•

Vector rotação não nulo e vector velocidade nulo ( ω ≠0 ; v P =0) Neste caso duas situações podem ocorrer: - se ω é diferente de zero e tem direcção constante, e P é um ponto fixo e permanentemente sem velocidade, então ω pertence a um eixo de rotação que coincide com o eixo central e o sólido está animado de movimento de rotação. Todos os pontos não pertencentes ao eixo têm

velocidades perpendiculares a este, isto é v P é sempre perpendicular a

ω; - se P é o único ponto fixo do sólido, este está animado de movimento polar. O movimento em cada instante é como se fosse uma

rotação de vector ω , que passa sempre por P, mas que não mantém a direcção fixa no tempo.

66

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

•


Ambos os vectores do torsor são diferentes de zero mas, qualquer que seja o ponto considerado, são sempre perpendiculares entre si ( ω ≠0 ; v P ≠0 ; ω ⊥ v P ∀P).

Neste caso, todos os pontos do sólido descrevem trajectórias situadas em planos paralelos entre si, ou seja, o sólido está animado de movimento plano. O sólido roda em cada instante em torno do vector

ω , eixo central do torsor, que se mantém paralelo a si próprio, mas que pode mudar constantemente de posição.

Vale a pena referir que os movimentos descritos nos dois últimos pontos, caracterizados por ω ≠0, se costumam englobar numa única designação que é movimentos tangentes a uma rotação.

II)

•

Invariante escalar não nulo ( Ι ≠0)

O vector rotação e o vector velocidade são paralelos sobre o eixo central que é fixo ( ω // v O sendo O um ponto do eixo central). Se a direcção de ω é fixa e nos pontos do eixo central o sólido translada paralelamente a ω , estaremos em movimento helicoidal se existir uma relação linear entre v P e ω x OP .

•

O vector rotação e o vector velocidade são paralelos sobre o eixo central que muda de direcção de instante para instante ( ω // v O sendo O um ponto do eixo central). Se o eixo central não é fixo no espaço e o invariante escalar não é nulo, o sólido está animado de um movimento instantaneamente helicoidal, isto é tudo se passa como se o sólido tivesse um movimento helicoidal em torno do eixo central que muda de direcção a cada instante.

FEUP – DEMEGI

67


Mecânica II

3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Para os mecanismos representados nas figuras 2.12, 2.13 e 2.14 determine:

a) Os campos de velocidades de todos os corpos.

b) A velocidade do ponto P.

c) Os campos de acelerações de todos os corpos.

d) A aceleração do ponto P.

68

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Mecânica II

4. Teoria de Movimentos Relativos

CAPÍTULO 4 TEORIA DE MOVIMENTOS RELATIVOS 4.1 INTRODUÇÃO Sabemos que o movimento de um corpo em relação a um referencial se traduz pela alteração da sua posição relativa. Vimos também, que conhecer o movimento do sólido, é equivalente a conhecer, em cada instante, a posição do referencial que lhe está intrinsecamente associado. Até agora estudámos unicamente o movimento relativamente a referenciais que considerámos fixos. Neste capítulo vamos estudar o movimento relativamente a corpos (ou referenciais) que também se movimentam em relação a um terceiro referencial. Intuitivamente, sabemos que o movimento relativamente a um referencial S0 é diferente do movimento em relação a S1, isto é, são diferentes as trajectórias, as velocidades e as acelerações relativamente a cada um deles. Regressando ao exemplo dos passageiros do autocarro que se movimenta, facilmente entendemos que o movimento do passageiro (A) que se desloca no corredor do autocarro, relativamente ao passageiro (B) sentado no mesmo autocarro, é diferente do movimento em relação a um terceiro indivíduo (C) imóvel na paragem. Poderá até acontecer que, em translação, (A) se encontre imóvel

FEUP – DEMEGI

69


Mecânica II

relativamente a (C) se o movimento de (A) em relação a (B) tiver a mesma velocidade, mas sentido contrário ao movimento de (B) relativamente a (C). Na Teoria dos Movimentos Relativos (TMR) temos de considerar três referenciais (ver figura 4.1): •

S0 – Referencial de base – É considerado o referencial fixo;

•

S1 – Referencial móvel intermédio – Este referencial move-se relativamente ao anterior, mas não é solidário do movimento do sólido em análise;

•

S2 – Referencial móvel solidário do sólido – Move-se em relação aos outros dois já considerados e acompanha o movimento do sólido em análise.

z2

P

z0

B x2

O x0

y0

S2

z

y2

1

S0

y

1

A x1

S1

Figura 4.1 – Referenciais usados na TMR.

Podemos então definir três tipos de movimentos diferentes: •

Movimento Absoluto – É o movimento de S2 relativamente a S0;

•

Movimento Relativo – É o movimento de S2 relativamente a S1;

•

Movimento de Transporte – É o movimento do ponto de S1, que no instante considerado coincide com o ponto em análise de S2,

70

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Mecânica II


relativamente a S0. Pode-se também dizer, que este movimento traduz o efeito que o movimento do referencial S1 tem sobre o movimento final do ponto P.

Os movimentos absoluto e relativo são facilmente entendíveis à luz do exemplo do autocarro anteriormente referido. Assim, o movimento absoluto é o do passageiro (A) em relação a (C) e o movimento relativo o do passageiro (A) relativamente a (B). O movimento de transporte é o do ponto do autocarro coincidente com a posição do passageiro (A), no instante considerado, relativamente a (C). Vejamos um segundo exemplo que nos ajude a entender melhor o conceito do movimento de transporte (ver figura 4.2). Imaginemos um cursor que se move ao longo de uma guia circunferencial de raio R, com velocidade vc, e dois pontos P e Q que se deslocam relativamente ao cursor com velocidades vP e vQ supostas iguais. O movimento de transporte destes dois pontos é o dos pontos do cursor que, no instante considerado, coincidem com eles.

vP

vc P

r r

Q vQ

R

O Figura 4.2 – Movimento de transporte.

FEUP – DEMEGI

71


Mecânica II

Como é óbvio, neste caso o movimento de transporte de P é diferente do de Q, pois a distância OP = R + r é superior a OQ = R − r . Assim, embora as velocidades relativas sejam iguais, o movimento absoluto destes pontos será diferente devido à sua componente de transporte.

4.2 VELOCIDADES 4.2.1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para a obtenção do campo de velocidades absoluta, relativa e de transporte podemos, recorrendo à figura 4.1, começar por escrever a seguinte relação,

OP = OA + AP

(4.1)

sendo P um ponto genérico do espaço S2. Derivando temos, •

•

OP s0

•

= OA

s0

+ AP

(4.2) s0

ou seja, •

v P20 = v A10 + AP + ω10 x AP

(4.3)

v P20 = v P21 + ( v A10 + ω10 x AP )

(4.4)

S1

e, ainda

72

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Mecânica II


sendo que as parcelas entre parêntesis representam a velocidade absoluta de um ponto de S1 (designê-mo-lo por P1) coincidente com P no instante considerado. Podemos então escrever,

v P20 = vP21 + vP10

(4.5)

o que se traduz pelo facto da velocidade absoluta ser igual à soma da velocidade relativa a S1 com a de transporte de S1. Obviamente, que esta relação também se aplica aos vectores rotação, daí que possamos concluir que: “O campo de velocidades contemporâneas absolutas pode ser decomposto na soma de um campo de velocidades relativas a dado referencial, com um campo de velocidades de transporte, que acaba por ser um campo de velocidades absolutas deste último referencial”.

Podemos então escrever,

ω 20 = ω 21 + ω 10 (4.6) v P20 = v P21 + v P10 ∀P ∈ S 2

e, no caso geral teremos,

ω n 0 = ω n,n −1 + ... + ω10 (4.7) v Pn 0 = v Pn,n −1 + ... + v P10 ∀P ∈ S n

Vejamos o exemplo da figura 4.3. O cursor (corpo 2) translada ao longo da barra (corpo 1) com uma velocidade sɺ(t ) . Por sua vez a barra roda em torno do

FEUP – DEMEGI

73


Mecânica II

ponto O com velocidade angular θɺ(t ) . Vamos calcular o campo de velocidades absolutas do corpo 2 nos pontos A e B,

h B 2

l

1

A

θ

O

s(t)

Figura 4.3 – Mecanismo em movimento plano.

Ponto A

0 ω20 S1

v A20

= ω21

S1

S1

= v A21

+ ω10

S1

S1

+ v A10

=0 θɺ

(4.8)

(4.9) S1

sendo

sɺ v A21

S1

=0 0

(4.10)

e

v A10

74

S1

= v O10

S1

+ ω10

0 x OA = θɺ s . S1 S1 0

(4.11)

FEUP – DEMEGI

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Ponto B

O vector ω , sendo o vector principal do torsor das velocidades, é um invariante vectorial, logo é o mesmo em qualquer ponto do espaço. Quanto ao vector velocidade temos,

v B20

S1

= v B21

S1

+ v B10

.

(4.12)

S1

De imediato se conclui que v B21 = v A21 , pois o movimento do corpo 2 relativamente ao corpo 1 é uma translação, o que significa que todos os pontos neste movimento têm a mesma velocidade. Para a velocidade de transporte aplicamos a primeira equação de Mozzi, − θɺ l v B10

S1

= vO10

S1

+ ω10

x OB S1

S1

= θɺ (s + h ) . 0

(4.13)

Conclui-se de imediato que a velocidade de transporte é diferente para os pontos A e B. De facto, os pontos do espaço associado ao referencial S1 que coincidem com A e B no instante considerado têm vectores posição diferentes em relação ao ponto O, que é o CIR do movimento do corpo 1 em relação a S0. 4.2.2 DETERMINAÇÃO DOS CIR PELA PROPRIEDADE DO ALINHAMENTO

A TMR permite a definição de um método alternativo para a obtenção gráfica da posição de CIR em movimentos planos. A propriedade do alinhamento dos CIR de movimentos que se decompõem entre si é muito útil e facilmente demonstrável. Imaginemos três corpos i, j e k. Pela TMR podemos escrever

 i   i  j    =     . k   j k 

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(4.14)

75


Mecânica II

Suponhamos conhecidos os CIR dos movimentos ik e jk e tentemos determinar a posição do CIR ij que vamos designar por P. Numa primeira análise (ver figura 4.4 (a)) vamos admitir uma posição qualquer para P e calcular as velocidades dos movimentos ik e jk em P. Temos então que

v Pik = ω ik x I ik P

(4.15)

v Pjk = ω jk x I jk P.

As equações anteriores permitem a obtenção gráfica de dois vectores v Pik e v Pjk que têm direcções diferentes. A partir da equação (4.14) podemos escrever

vPik = v Pij + v Pjk

(4.16)

e, uma vez que P é o CIR ij, vPij = 0 , ou seja,

vPik = vPjk .

Direcção de vP ik

P

(4.17)

Direcção de vPjk Direcção comum de vP jk e vP ik

P

I jk

I ik

I jk

I ik

(a)

(b)

Figura 4.4 – Propriedade do alinhamento dos CIR de movimentos que decompõem entre si.

Imediatamente se conclui que, para que a equação (4.17) se verifique, é necessário que o ponto P pertença à recta que une I ik e I jk (ver figura 4.4 (b)).

76

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Podemos então dizer que os CIR de movimentos que se decompõem entre si estão sempre alinhados segundo a mesma recta.

Retomemos o sistema biela-manivela (ver figura 4.5) para ilustrar a aplicação desta propriedade. À partida identificamos logo alguns CIR, tais como:

•

I 10 ≡ O

•

I 21 ≡ A

•

I 32 ≡ B

•

I 30 no infinito e na perpendicular à translação do corpo 3.

Para a obtenção gráfica de I 20 podemos fazer as seguintes decomposições: 1º

 2   2   1   =     - daqui ficamos a saber que I 20 estará sobre a recta  0   1  0  que une os pontos O e A;

2º

 3   3   2   =     - daqui concluímos que I 20 estará sobre a recta  0  2  0 vertical que passa por B.

A intersecção das duas rectas permite a obtenção imediata da posição do I 20 .

I 20

1

A I 21

I30

8 2 3

O I10

w B I32

Figura 4.5 – Determinação de I 20 pela regra do alinhamento.

FEUP – DEMEGI

77


Mecânica II

4.3 ACELERAÇÕES Para a obtenção das acelerações pela TMR podemos partir da derivação da equação (4.5), •

•

v P20

= v P21

S0

•

S0

+ v P10

(4.18)

S0

sendo que •

v P20

S0

= a P20

(4.19)

e •

•

v P21

S0

= v P21

S1

+ ω10 x v P21

(4.20)

sendo •

v P21

S1

= aP21 .

(4.21)

•

Quanto a v P10

temos (ver equação (4.4)), S0

•

•

v P10

S0

= v A10

•

•

S0

+ ω 10 S x AP + ω10 x ( AP 0

S1

+ ω10 x AP ) (4.22)

ou •

v P10

78

S0

= a A10 + α10 x AP + ω10 x v P21 + ω10 x (ω10 x AP) . (4.23)

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Substituindo as equações (4.19) a (4.23) na equação (4.18) temos

aP20 = aP21 + a A10 + α10 x AP + ω10 x (ω10 x AP ) + 2 ω10 x v P21

(4.24)

e, finalmente,

aP20 = a P21 + a P10 + 2 ω10 x vP21

(4.25)

sendo que,

•

a P20 é a aceleração absoluta e representa a aceleração que o ponto P do referencial S2 tem relativamente a um observador solidário de S0;

•

a P21 é a aceleração relativa e representa a aceleração do ponto P do referencial S2 que um observador solidário de S1 consegue medir;

•

a P10 é a aceleração de transporte e representa a aceleração de um ponto P1 solidário de S1 que no instante considerado coincide com P;

•

2 ω10 x v P21 é a aceleração de Coriolis e representa o efeito que a mudança de direcção da velocidade relativa ( v P21 ) tem na aceleração absoluta.

Note-se que, se não fosse o termo respeitante à aceleração de Coriolis, poder-se-ia escrever uma relação semelhante a (4.5) para a aceleração. Contudo, é claro que tal relação estaria incorrecta e, por isso, devemos incluir o termo adicional de Coriolis. Como já foi dito, a mudança de direcção de velocidade relativa origina esta componente de Coriolis. Assim, se o movimento de transporte não for de translação e, portanto se caracterizar por ω ≠ 0 , a aceleração de Coriolis não será nula. O conceito da aceleração de Coriolis é extremamente útil, por exemplo no estudo do movimento de projécteis de longo alcance que são consideravelmente

FEUP – DEMEGI

79


Mecânica II

afectados pela rotação da Terra. No caso geral de movimentos mais complexos poderemos escrever

aPn 0 = a Pn,n−1 + ... + a P32 + a P21 + a P10 + 2 ωn −1,0 x vPn ,n−1 + ... + 2 ω10 x vP21 .

(4.26)

Note-se que, ao contrário do que acontece com os vectores rotação (ver as segundas equações (4.6) e (4.7)) os vectores aceleração angular não são decomponíveis entre si. Devem ser sempre obtidos por derivação dos respectivos vectores rotação.

4.4 PARALELISMO ENTRE A TMR E O TEOREMA DAS DERIVADAS RELATIVAS Vamos de seguida demonstrar que em alguns casos particulares, existe uma correspondência entre a TMR e o Teorema das Derivadas Relativas. O paralelismo ocorre quando um determinado vector OP tem a sua origem solidária do referencial móvel intermédio, relativamente ao qual se vai proceder à derivação. Caso o ponto O não satisfaça esta condição o paralelismo não existe. No exemplo da figura 2.12, o vector OP satisfaz as referidas condições e, como vimos, a derivada total de P é dada por duas componentes:

•

a derivada do vector em relação ao referencial móvel; vamos demonstrar que corresponde à velocidade relativa na TMR;

•

a velocidade que resulta do referencial móvel rodar em relação ao fixo e que é igual a ω x OP ; representa a velocidade de transporte na TMR como veremos.

Retomemos o exemplo da figura 2.12 para verificarmos estas relações. Assim, podemos calcular a velocidade do ponto P do corpo 2 fazendo:

80

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


v P20

S1

= v P21

S1

+ v P10

(4.27) S1

sendo

v P21

S1

= v O21

S1

+ ω 21

x OP S1

S1

= (4.28)

− βɺ 0 0 ɺ = 0 + 0 x r sen β = r β cos β 0 r cos β − r βɺ sen β

e

v P10

S1

= v O10

S1

+ ω 10

x OP S1

S1

= (4.29)

− r θɺ sen β 0 0 = 0 + 0 x r sen β = 0 . ɺ θ r cos β 0

Comparando estes resultados com a equação (2.106) obtemos as seguintes relações:

•

= v P21

OP s1

S1

S1

(4.30)

x OP

ω10 S1

S1

= v P10

. S1

Constata-se a existência de uma correspondência directa entre as duas teorias ao nível dos vectores velocidade. No que diz respeito aos vectores aceleração temos

FEUP – DEMEGI

81


aP20

S1

Mecânica II

= a P21

S1

+ aP10

S1

+ aPcor

(4.31) S1

sendo que,

a P21

S1

= a O21

S1

+ α 21

x OP S1

S1

+ ω 21

S1

x  ω 21 x OP  (4.32) S1 S1  

ou seja,

a P21

S1

0 ɺ ɺ = r β cos β − r βɺ 2 sen β − r βɺɺ sen β − r βɺ 2 cos β

(4.33)

e,

aP10

S1

= aO10

S1

+ α10

x OP S1

S1

+ ω10

S1

x  ω10 x OP  (4.34) S1 S1  

ou seja,

aP10

0 2 ɺ = − r θ sen β S1 0

(4.35)

e,

− 2 θɺ βɺ r cos β a Pcor

S1

= 2 ω10 x v P21 =

0

.

(4.36)

0

Na teoria da derivação de vectores tínhamos visto que (ver equação (2.113)),

82

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Mecânica II


• v P20

−θɺ βɺ r cos β = r βɺɺ cos β − r βɺ 2 sen β s1 S1 −r βɺɺ sen β − r βɺ 2 cos β

(4.37)

e que,

ω10 s1

x vP20

− θɺ βɺ r cos β = − θɺ 2 r sen β s1 0

(4.38)

donde imediatamente se conclui que • v P20

1 = aP21 + aPcor s1 2

1 ω10 x v P20 = aP10 + aPcor 2

(4.39)

(4.40)

o que evidencia que, ao contrário do que sucedia nos vectores velocidade, nos vectores aceleração não há uma correspondência directa termo a termo. Na realidade, a componente de Coriolis divide-se em partes iguais por cada uma das parcelas do Teorema das Derivadas Relativas.

4.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 4 Inicialmente, começámos por definir os três referenciais (base, móvel intermédio e móvel solidário com o sólido), que nos permitiram definir os três tipos de movimentos diferentes que surgem numa decomposição pela TMR: absoluto, relativo e de transporte. Em seguida, obtiveram-se os campos de velocidades e as relações entre eles. Ainda no âmbito das velocidades, fez-se uma referência à propriedade do alinhamento dos CIR de movimentos planos

FEUP – DEMEGI

83


Mecânica II

que se decompõem entre si. A apresentação das acelerações evidenciou um modo distinto na decomposição de movimentos devido ao aparecimento do termo de Coriolis. Finalmente, e para alguns casos particulares, mostrou-se a existência de um paralelismo entre a TMR e o Teorema das Derivadas Relativas para as velocidades, o que não se verificou para as acelerações.

4.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Para o mecanismo representado na figura 2.13 determine recorrendo à TMR:

a) A

velocidade

absoluta

do

ponto

P

fazendo

a

decomposição

absoluta

do

ponto

P

fazendo

a

decomposição

 2   2   1   =     ;  0   1  0 

b) A

aceleração

 2   2   1   =     ;  0   1  0 

2) Para o mecanismo representado na figura 2.14 determine recorrendo à TMR: 3 3 2 a) A velocidade absoluta do ponto P fazendo a decomposição   =     0 2 0  2   2   1 e   =     ;  0   1  0 

b) A

aceleração

absoluta

do

ponto

P

fazendo

a

decomposição

 3   3   2   2   2   1   =     e   =     ;  0   2   0   0   1  0 

84

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

5. Cinemática dos Sólidos em Contacto Permanente

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS EM CONTACTO PERMANENTE 5.1 INTRODUÇÃO Existem inúmeras aplicações práticas de mecanismos em que dois ou mais dos seus pontos se mantêm permanentemente em contacto segundo um ponto ou uma recta, admitindo nesse ponto ou ao longo dessa recta um plano tangente comum. Um caso típico, é o movimento de um automóvel, onde as rodas

contactam

permanentemente

com

o

piso.

Os

rolamentos,

as

engrenagens, as transmissões por atrito são exemplos típicos de mecanismos onde se encontram sólidos em contacto permanente.

5.2 IMPORTÂNCIA DO ROLAMENTO E ESCORREGAMENTO Na maioria das situações o escorregamento ou deslizamento entre sólidos é indesejável, uma vez que provoca aquecimento e desgaste prematuro das superfícies, limitando as capacidades de trabalho do mecanismo e reduzindo a vida útil dos corpos em contacto. A determinação da velocidade de escorregamento é importante pois o seu valor condiciona as pressões admissíveis pelos materiais que constituem os dois corpos. Quanto maiores

FEUP – DEMEGI

85


Mecânica II

forem as velocidades de escorregamento menores serão as pressões possíveis de transmitir entre os sólidos para se evitarem desgastes prematuros. O rolamento é essencial para diminuir o atrito e o desgaste entre os corpos que contactam com movimento entre si. A ausência de escorregamento só é possível se os sólidos contactarem apenas num ponto (contacto pontual) ou em vários pontos colineares (contacto linear). Todavia, o contacto puramente pontual ou linear entre dois corpos reais é uma idealização, uma vez que a própria deformabilidade dos sólidos induz um contacto de carácter superficial mais ou menos extenso em torno dos pontos de contacto.

5.3 SÓLIDOS EM CONTACTO PONTUAL 5.3.1 MOVIMENTO DE PERMUTAÇÃO

Consideremos dois sólidos S1 e S2 em movimento relativamente a um referencial S0 suposto fixo e em movimento entre si, de tal modo que em cada instante contactem num só ponto (ponto P na figura 5.1).

z0

S2 y0 O

π

C2

x0

P C1

S1

Figura 5.1 – Sólidos em contacto pontual. Trajectórias do ponto de contacto (C1 e C2) em cada um dos corpos. Suponhamos também que os dois sólidos admitem um plano tangente comum (π) no ponto P. Para uma melhor compreensão dos fenómenos envolvidos vamos, artificialmente, separar o ponto P em três pontos diferentes no contacto (P1, P2 e P3). Assim, na figura 5.2, em que os sólidos estão artificialmente separados, vemos que:

86

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

•


P1 e P2 são os pontos materiais dos corpos 1 e 2 que coincidem com o ponto de contacto;

•

P3 é o ponto geométrico do espaço que, em cada instante, coincide com o ponto de contacto; este ponto não pertence a nenhum dos dois corpos.

Em geral, o ponto de contacto entre os corpos 1 e 2 não permanece o mesmo em cada um deles. Vai sendo substituído, ou seja, vai permutando de instante para instante, pelo que quando observado a partir dos próprios sólidos parece mover-se, descrevendo uma determinada trajectória. Esta sucessiva alteração do ponto, que em cada um dos corpos é, em cada instante, ponto de contacto, origina três trajectórias (ver figura 5.2): •

a permutação do ponto de contacto no corpo 2, quando observada a partir do próprio corpo 2 origina a curva C2;

•

a permutação do ponto de contacto no corpo 1, quando observada a partir do próprio corpo 1 origina a curva C1;

•

a curva C0 é a trajectória de descrita pelo ponto geométrico P3 no espaço fixo S0.

C2 C0

P2 P3 P1

C1

Figura 5.2 – Identificação dos pontos materiais (P1 e P2) e geométrico de contacto (P3) sobre as trajectórias em cada um dos corpos.

Note-se que, assim como C0, também as curvas C1 e C2 se podem imaginar como sendo descritas pelo ponto P3 (ponto geométrico do espaço sempre

FEUP – DEMEGI

87


Mecânica II

coincidente com o ponto de contacto), relativamente a observadores solidários dos corpos 1 e 2 respectivamente.

5.3.2 VELOCIDADE DE ESCORREGAMENTO

Comecemos por calcular a velocidade do ponto geométrico P3 relativamente ao referencial fixo recorrendo à decomposição pela TMR por duas vias distintas:

 P3   P3   S1    =      S 0   S1   S 0 

(5.1)

 P3   P3   S 2    =      S0   S2   S0 

(5.2)

v P30 = v P31 + v P10

(5.3)

v P30 = v P32 + vP20

(5.4)

e

donde se conclui que

e

sendo que:

•

v P31 e v P32 representam as velocidades de P3 relativamente a S1 e a S2 respectivamente, são tangentes às trajectórias C1 e C2 e estão contidas no plano tangente comum;

88

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

•


v P10 e v P20 representam as velocidades dos pontos materiais P1 e P2 solidários de S1 e de S2 respectivamente, que coincidem com P3 no instante considerado.

Igualando as equações (5.3) e (5.4) obtemos,

v P20 − v P10 = v P31 − vP32 = v e21

(5.5)

sendo que v e21 é a velocidade de escorregamento que se pode definir como:

“A velocidade de escorregamento entre dois corpos em movimento com contacto pontual permanente entre si, é dada pela diferença das velocidades referidas a um mesmo referencial de observação (fixo ou móvel) dos pontos P2 e P1 solidários de um e de outro corpo que coincidem com o ponto de contacto no instante considerado.”

Como facilmente se constata da equação (5.5), v e12 é igual e de sinal contrário a v e21 . Da mesma equação se conclui que a velocidade de escorregamento pertence ao plano tangente comum (π) aos dois sólidos em contacto (ver figura 5.1), uma vez que é obtida pela diferença de dois vectores,

v P31 e v P32 , que pertencem a esse plano. Note-se que tal não implica que os vectores v P10 e v P20 também estejam contidos nesse plano; a diferença entre eles é que pertence ao plano π. 5.3.3 ESPECIFICIDADES DO TORSOR GERADOR DO MOVIMENTO RELATIVO 2/1 NO PONTO DE CONTACTO

O torsor gerador do movimento de S2 relativamente a S1 no ponto de contacto é dado por,

FEUP – DEMEGI

89


(

τ P21 ≡ ω 21 ; v P21

Mecânica II

)

(5.6)

P sendo que os vectores se podem obter a partir do conhecimento de τ P20 e τ10 ,

P τ P21 = τ P20 − τ10

(5.7)

ou seja,

ω 21 = ω 20 − ω10 (5.8) v P21 = v P20 − v P10

em que, como é obvio,

v P21

é a velocidade de escorregamento. A

representação esquemática dos vectores de τ P21 está feita na figura 5.3, sendo que ω 21 está projectado segundo o plano tangente (componente de rolamento ω t ) e segundo a normal a esse plano (componente de giração ω n ).

S2 ωn ω21 ωt

P

vP = ve 21 21

S1

Figura 5.3 – Representação esquemática do torsor τ P21 .

Num movimento relativo de dois corpos em contacto, poderão ocorrer os seguintes casos:

90

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


•

Escorregamento puro:

v e21 ≠ 0 ,

ωn = 0

e

ωt = 0

•

Rolamento puro:

v e21 = 0 ,

ωn = 0

e

ωt ≠ 0

•

Giração pura:

v e21 = 0 ,

ωn ≠ 0

e

ωt = 0

•

Rolamento + Giração:

v e21 = 0 ,

ωn ≠ 0

e

ωt ≠ 0

•

Escorregamento + Rolamento:

v e21 ≠ 0 ,

ωn = 0

e

ωt ≠ 0

•

Escorregamento + Giração:

v e21 ≠ 0 ,

ωn ≠ 0

e

ωt = 0

•

Escorregamento + Rolamento + Giração: v e21 ≠ 0 ,

ωn ≠ 0

e

ωt ≠ 0

Os casos mais importantes e aos quais vamos dar maior realce, relacionamse com o escorregamento e rolamento puros.

5.3.4 ESCORREGAMENTO PURO

Como se depreende da definição anterior, este caso traduz-se por ausência

completa

de

rotação

no

movimento

2/1.

Logo,

conclui-se

imediatamente que estamos em presença de um movimento de translação. É o caso do exemplo da figura 4.3 em que uma corrediça (corpo 2) escorrega sobre uma guia (corpo 1). Ambos têm, neste caso, a mesma rotação, pelo que o vector rotação do movimento relativo é nulo.

5.3.5 ROLAMENTO PURO – SÓLIDOS EM MOVIMENTO PLANO

Como vimos, esta situação traduz-se pela inexistência de velocidade de escorregamento e da componente normal do vector rotação. Só há unicamente rotação em torno do eixo contido no plano tangente comum aos dois corpos que contactam. A figura 5.4 mostra um exemplo típico deste tipo de movimento. Representa o movimento de um disco em contacto com uma superfície plana.

FEUP – DEMEGI

91


Mecânica II

O movimento plano equivalente, será o rolamento de uma circunferência sobre uma recta com a qual contacta sem escorregar.

2

P I21

1

Figura 5.4 – Exemplo de rolamento sem escorregamento.

Uma vez que se admite a inexistência de escorregamento, o ponto de contacto entre os dois corpos da figura 5.4 é um ponto de velocidade relativa nula; consequentemente esse ponto coincide com o CIR do movimento 2/1. Vamos, uma vez mais, considerar os corpos artificialmente separados (ver figura 5.5) e distinguir três pontos (P1, P2 e P3) que na realidade são coincidentes. O movimento de permutação do ponto de contacto gera, no corpo 2, uma linha que é a circunferência envolvente desse mesmo corpo. É a curva C2 que se designa por rolante, uma vez que S2 é considerado o sistema móvel no movimento 2/1. À trajectória descrita em S1 (neste caso, curva C1) designase por base, uma vez que S1 é o sistema considerado fixo no movimento 2/1. Note-se que, caso estivéssemos a estudar o movimento 1/2 a base seria a curva C2 e a rolante a C1. A trajectória de P3 relativamente a S0, denominada por C0, é, neste caso, também uma recta horizontal. Se admitirmos que o corpo 1 está fixo, C1 e C0 coincidirão, como se pode ver na figura 5.5. 2

C2 P2 C0 1

C1

P3 P1

Figura 5.5 – Trajectórias no movimento de permutação.

92

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


5.3.5.1 Definição matemática da base e da rolante

Como já vimos, a base é a trajectória que o ponto de contacto P3 descreve sobre o espaço considerado fixo (espaço S1 no movimento 2/1). Podemos assim defini-la como sendo o vector posição de P3 em relação a um ponto fixo de S1,

O1P3

x  =  1 . S1  y1

(5.9)

Vimos também que a rolante é a trajectória que o ponto de contacto P3 descreve sobre o espaço considerado móvel (espaço S2 no movimento 2/1). Podemos defini-la como sendo o vector posição de P3 em relação a um ponto fixo de S2,

O 2P3

S2

x  =  2.  y2 

(5.10)

Retomemos o exemplo anterior para obtenção das equações da base e da rolante (ver figura 5.6). O primeiro passo consiste na definição de dois referenciais solidários com cada um dos corpos (S1 e S2). A obtenção da base e da rolante torna-se imediata através da construção dos vectores posição do ponto de contacto em cada um dos sistemas,

 x = b + Rθ  Base  1   y1 = 0 

(5.11)

 x = R senθ  Rolante  2 . y 2 = − R cosθ 

(5.12)

e

FEUP – DEMEGI

93


Mecânica II

Observando as equações (5.11) e (5.12) concluímos que no primeiro caso se trata de uma recta horizontal (y1=0) e no segundo de uma circunferência pois, x 22 + y 22 = R 2

(5.13)

o que confirma as observações feitas a propósito da figura 5.4.

y1

y2

2

O2 θ

R

x2 O1

x1

b

1

b+Rθ

Figura 5.6 – Localização dos referenciais S1 e S2. 5.3.5.2 Generalização da análise a quaisquer movimentos planos

Consideremos dois corpos em movimento plano que não contactam entre si, como mostra a figura 5.7.

1

2 I21 y1

y2 x2

O1

x1

O2

Figura 5.7 – Corpos em movimento relativo plano.

Neste caso, o CIR I 21 é um ponto de velocidade relativa nula. Considerando associado a cada corpo um espaço rígido, podemos imaginar

94

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


que o espaço S2 e o espaço S1 contactam sem escorregar no CIR I 21 , já que aí a velocidade de escorregamento (velocidade relativa no movimento 2/1) é nula. Também neste caso podemos imaginar a existência de um ponto não pertencente a nenhum dos dois corpos mas coincidente com o CIR (o equivalente ao ponto P3 referido nos exemplos anteriores). Este ponto vai mudar de posição de instante para instante, descrevendo uma trajectória em S1 (base) e outra em S2 (rolante). Estas duas curvas pertencem respectivamente a S1 e S2 e contactam sem escorregar no ponto I 21 (ver figura 5.8). Podemos então concluir que qualquer movimento relativo entre dois corpos, quer contactem fisicamente ou não, pode ser estudado como um movimento de rolamento sem escorregamento da rolante sobre a base. Trata-se portanto, de uma generalização de um conceito desenvolvido para corpos em contacto, a qualquer movimento plano.

1

2

y1

I21

y2 x2

x1

O1

Base

O2

Rolante

Figura 5.8 – Movimento 2/1 equivalente ao rolamento sem escorregamento da rolante sobre a base.

Para a obtenção destas duas curvas (base e rolante) temos a necessidade de determinação prévia da posição do CIR do movimento relativo 2/1. Assim, partindo do princípio que conhecemos o torsor do movimento 2/1 no ponto O2 podemos fazer,

v I 21 = vO21 + ω 21 x O2I 21 = 0

(5.14)

o que nos permite obter O 2I 21 . Se exprimirmos este vector em coordenadas de S2 temos a rolante

FEUP – DEMEGI

95


O2I 21

S2

Mecânica II

x  =  2.  y2 

(5.15)

A base obtém-se através de um vector posição de I 21 com origem num ponto fixo de S1 e expresso em coordenadas de S1,

O1I 21

S1

= O1O2

S1

+ [T21 ]O2I 21

S2

x  =  1 .  y1 

(5.16)

5.3.5.3 Velocidade de permutação

Já vimos que, quando dois corpos rolam sem escorregar um sobre o outro, o ponto de contacto permuta de posição em cada um dos corpos. A velocidade com que esta permuta se realiza denomina-se velocidade de permutação. Consultando as figuras 5.5 e 5.6, podemos escrever,

v P31 = v P32 + v P21

(5.17)

sendo v P21 = 0 devido à ausência de escorregamento. Assim temos,

v P31 = v P32 = V P21

(5.18)

ou seja a velocidade de permutação do CIR 2/1 ( V P21 ) é dada pela velocidade com que o ponto genérico P3 se movimenta relativamente a qualquer um dos corpos em contacto. As velocidades relativas ao ponto P3 na equação anterior podem ser obtidas por derivação de vectores posição, •

v P31 = O1P3

96

(5.19) 1

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


e •

v P32 = O2P3 .

(5.20)

2

Observando as equações (5.9), (5.10), (5.19) e (5.20) constatamos que a velocidade de permutação se pode obter por derivação das equações da base e da rolante relativamente aos seus próprios referenciais. Todavia, nem sempre é necessário a obtenção prévia da base ou da rolante para o cálculo da velocidade de permutação. Com efeito, da equação (5.18) vemos que a velocidade de permutação se pode obter pelo cálculo, relativamente a S1 ou a S2 da velocidade de P3. Assim, se conseguirmos associar ao movimento de P3 um espaço rígido S3, para o qual seja eventualmente simples a caracterização do respectivo campo de velocidades, o cálculo da velocidade de permutação far-se-á recorrendo à primeira equação de Mozzi. Vejamos o exemplo da figura 5.9. Para além do disco que rola sem escorregar sobre o plano fixo, existe ainda uma barra de vidro transparente que está articulada ao disco no ponto C e se mantém permanentemente na vertical (movimento de translação). Pelo facto da barra 3 ser transparente, o ponto de contacto entre 2 e 1 (P) é sempre visível e é sempre acompanhado pelo corpo 3. Assim, podemos dizer que o movimento 3/1 é uma translação entre a barra e o plano, ou seja, a velocidade do centro do disco, ao qual a barra está articulada, relativamente ao plano, é a velocidade de permutação. O movimento 3/2 é uma rotação em torno do ponto C e a velocidade de permutação pode-se calcular como sendo a velocidade num movimento de rotação em torno do centro do disco. 2

C

1

3

P

Figura 5.9 – A consideração de um terceiro corpo que seja solidário de P3 é útil no cálculo da velocidade de permutação.

FEUP – DEMEGI

97


Mecânica II

Vemos assim que este corpo 3 ajuda ao cálculo da velocidade de permutação. No entanto, ele não tem necessariamente que existir. Assim, por vezes, com alguma perspicácia conseguimos imaginar um espaço S3 que, embora não existindo fisicamente, nos seja útil na obtenção da velocidade de permutação. Basta para tal, que seja simples a caracterização do seu campo de velocidades contemporâneas. Vejamos um segundo exemplo (ver figura 5.10). O disco 2 rola sem escorregar no interior do disco 1. O ponto de contacto P é acompanhado no seu movimento de permutação pelo movimento da barra 3 que transporta o disco 2. Então, a velocidade de permutação pode ser dada por

V P21 = v P31 = v P32

(5.21)

v P31 = ω31 x OP

(5.22)

v P32 = ω32 x AP .

(5.23)

sendo

e

Neste caso também seria simples a derivação de vectores posição •

v P31 = OP

(5.24) 1

e •

v P32 = AP .

(5.25)

2

98

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


Vemos assim uma vez mais, que o ponto de contacto, embora não pertencendo fisicamente ao corpo 3, está solidário do espaço S3 pois o ponto P está sempre sobre a recta que une O a A (dois pontos solidários do corpo 3).

1 3 O

ω 2

A P

Figura 5.10 – Mecanismo conhecido por trem epicicloidal.

5.3.5.4 Aceleração relativa do ponto de contacto (ou CIR)

O ponto do espaço S2 que, em cada instante, tem velocidade nula relativamente a S1 está, em geral, permanentemente a ser substituído por outro em cada um dos dois espaços (movimento de permutação). De facto, ele tem velocidade relativa nula apenas instantaneamente, o que significa que a sua aceleração relativa é diferente de zero. Para calcular esta aceleração comecemos por recordar a equação (5.18) da velocidade de permutação

V P21 = v P31 = v P32 .

(5.26)

Derivando (5.26) relativamente ao espaço S1 temos •

•

v P31

S1

= v P32

S1

(5.27)

ou seja, •

aP31 = v P32

FEUP – DEMEGI

S2

+ ω 21 x vP32

(5.28)

99


Mecânica II

e ainda

aP31 = a P32 + ω 21 x v P32 .

(5.29)

Recorrendo à teoria do movimento relativo também podemos escrever

aP31 = a P32 + a P21 + 2 ω21 x v P32 .

(5.30)

Igualando (5.29) a (5.30) temos

aP21 = vP32 x ω 21

(5.31)

aP21 = V P21 x ω21 .

(5.32)

ou

Constata-se assim que o ponto de contacto num movimento de rolamento sem escorregamento tem velocidade relativa nula, mas a aceleração relativa é diferente de zero e calculável através da velocidade de permutação e do vector rotação do próprio movimento relativo. Este processo de cálculo é útil sempre que a velocidade de permutação seja facilmente calculável. Caso contrário, esta aceleração pode e deve ser calculada a partir das coordenadas vectoriais num outro ponto do campo de acelerações contemporâneas desse movimento relativo. Retomemos o exemplo do disco que se desloca sobre um plano. A trajectória do ponto P2 que, no instante considerado é ponto de contacto, é visível na figura 5.11. Verifica-se que P2 tem uma trajectória de aproximação e após o contacto uma trajectória de afastamento.

100

FEUP – DEMEGI

Mecânica II

5. Cinemática dos Sólidos em Contacto Permanente 2

a

P 21

1

P I21

Figura 5.11 – Aceleração relativa do ponto de contacto.

5.4 SÓLIDOS EM CONTACTO LINEAR Um contacto diz-se linear quando ele se dá segundo uma linha, que designaremos por T. Se há ausência de escorregamento em todos os pontos dessa linha, ela tem de reduzir-se necessariamente a uma recta que é o suporte do vector velocidade angular instantânea do movimento 2/1. Sejam então T1, T2,..., Ti,..., Tn os pontos dessa linha de contacto. Para que não haja escorregamento em T1, as velocidades dos pontos de S1 e S2 (T11 e T21 ) que coincidem com T1, relativamente ao mesmo referencial S0 terão de ser iguais,

vT11 = vT21 ⇒ vT121 = 0 .

(5.33)

A velocidade relativa entre dois pontos quaisquer, por exemplo T1i e T2i , seria dada por,

vT1i − vT2i = vT12i = ω12 x T 1 T i .

(5.34)

Para que haja rolamento sem escorregamento

vT12i = ω12 x T 1 T i = 0 .

(5.35)

o que implica que T 1 T i seja paralelo a ω12 pois ω12 ≠ 0 . Vemos assim, que qualquer ponto i da linha de contacto é um ponto do suporte do vector rotação

FEUP – DEMEGI

101


Mecânica II

ω12 . Depreende-se imediatamente desta demonstração, que se o contacto ocorre em vários pontos não colineares, é impossível que em todos eles não haja deslizamento. Mesmo quando o contacto é linear o escorregamento poderá ocorrer se o invariante escalar do torsor τ 21 não for nulo (como é o caso de um movimento tangente a um movimento helicoidal) ou, no caso de o ser, se os pontos de contacto entre os dois sólidos não pertencerem ao eixo T21. 5.4.1 Superfícies axoides

As superfícies axoides são as superfícies geradas pelo EIR do movimento relativo i/j, no seu movimento de permutação relativamente a cada um dos dois espaços i e j, desse movimento relativo. A superfície gerada no espaço considerado fixo (j) é conhecida como Superfície Axoide Fixa (SAF); a superfície gerada no espaço considerado móvel (i) é conhecida como Superfície Axoide Móvel (SAM).

2

T31 3

C

O

D A B

T23

T21

1

1 2 O 3

Figura 5.12 – Tronco de cone com movimento de rolamento sem escorregamento sobre uma superfície horizontal.

Para melhor compreender a obtenção das superfícies axoides, comecemos por considerar o exemplo da figura 5.12 em que um tronco de

102

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


cone (corpo 2) contacta sem escorregar ao longo de uma geratriz, com uma superfície horizontal de um outro sólido (corpo 1). O movimento de entrada é uma rotação relativamente ao corpo 1 ( ω 31 ) do corpo 3 (que transporta o corpo 2) em torno de um eixo vertical que passa por O. Devido à inexistência de escorregamento entre os corpos 2 e 1, necessariamente que vai ser nula a velocidade relativa em A e B; consequentemente, passará por esses dois pontos o respectivo EIR 2/1 (T21). Uma vez que o corpo 2 é transportado pelo corpo 3 que lhe serve de eixo suporte, o movimento 2/3 é uma rotação em torno de CD e, consequentemente, T23 contém estes dois pontos. Já vimos anteriormente que os EIR (T31, T21 e T23), correspondem ao lugar geométrico dos pontos com velocidade mínima (neste caso velocidade nula), no respectivo movimento relativo e contêm o vector rotação. Assim, se decompusermos o movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1, podemos escrever

ω 21 = ω 23 + ω 31

(5.36)

cuja representação gráfica se esquematiza na figura 5.13.

ω 21 ω 31

ω23

Figura 5.13 – Representação gráfica dos vectores rotação.

Note-se que, qualquer que seja a posição relativa dos três corpos, T21 está sempre no plano ABCD, ou seja move-se solidário com o corpo 3. Logo, o movimento de permutação do EIR 2/1 é o movimento (relativo ao corpo 1 ou ao corpo 2) de um eixo contido no espaço solidário do corpo 3 e que passa pelos pontos de contacto. Este eixo, solidário de S3, gera duas superfícies no seu movimento relativamente aos dois corpos em contacto (1 e 2):

FEUP – DEMEGI

103


•

Mecânica II

a superfície axoide fixa (SAF) que é a superfície gerada pelo EIR 2/1 no espaço considerado fixo (espaço S1 no movimento 2/1);

•

a superfície axoide móvel (SAM) que é a superfície gerada pelo EIR 2/1 no espaço considerado móvel (espaço S2 no movimento 2/1).

O movimento 3/2 é uma rotação em torno do eixo CD (T23≡T32). Assim, a SAF será uma superfície cónica gerada pela recta AB (T21), quando esta roda em torno de CD (ver figura 5.14). O movimento 3/1 é uma rotação em torno do eixo vertical que passa por O. Então a SAF é a superfície gerada por T21 quando este roda em torno desse eixo (ver figura 5.14). Podemos então dizer que estudar o movimento relativo do corpo 2, tronco de cone, sobre o corpo 1, superfície horizontal, é equivalente a estudar o rolamento sem escorregamento da SAM 2/1 sobre a SAF 2/1 que contactam segundo uma geratriz que é, em cada instante, a posição do EIR 2/1.

SAF 2/1 SAM 2/1 O

C A

D B

T21

Figura 5.14 – Superfícies axoides no movimento 2/1.

Identificado o movimento de permutação, a determinação da velocidade de permutação de um ponto qualquer do EIR 2/1 é imediata. Assim, se escolhermos o ponto A podemos escrever

V A21 = v A31 = v A32

(5.37)

ou

104

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


V A21 = ω31 x OA = ω32 x CA .

(5.38)

Vejamos um segundo exemplo de um mecanismo semelhante ao anterior, mas onde existe agora um movimento de rolamento com giração e escorregamento (ver figura 5.15). O corpo 2 (cilindro) está em movimento provocado pela rotação do seu eixo de simetria material em torno de uma direcção vertical. Admitamos por hipótese, que o corpo 2 rola sem escorregar relativamente ao corpo 1 (plano horizontal) no ponto B, que pertence à linha de contacto entre os dois corpos. Decompondo o movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1, facilmente concluímos que, nesse movimento 2/1, o ponto O tem velocidade nula. De facto, O é um ponto de velocidade simultaneamente nula nos movimentos relativo 2/3 e de transporte 3/1, uma vez que pertence simultaneamente a T23 e a T31 (ver figura 5.15). Assim, e como por hipótese o ponto B também é um ponto de velocidade nula nesse movimento, a recta OB é o suporte do eixo T21.

2

T31 3 C

O

D

A B

T23 T21

1 1 2 O 3

Figura 5.15 – Movimento tridimensional com rolamento, giração e escorregamento.

FEUP – DEMEGI

105


Mecânica II

Saliente-se a existência de escorregamento entre os corpos 2 e 1 para todos os pontos de contacto à excepção de B. De facto, só os pontos colocados sobre T21 são pontos de rolamento sem escorregamento. Também neste exemplo, o movimento de permutação do EIR 2/1 é identificável com o movimento (relativo a S1 ou a S2) de uma recta solidária de S3 coincidente com o referido EIR. Mais uma vez, o EIR 2/1 vai descrever duas superfícies (ver figura 5.16): •

a SAF em S1 constituída por uma superfície cónica com geratriz OB e eixo vertical, uma vez que o movimento 3/1 é uma rotação em torno desse eixo;

•

a SAM em S2, também constituída por uma superfície cónica de geratriz

OB mas de eixo OC , uma vez que o movimento 3/2 é uma rotação em torno desse eixo.

T31

SAF 2/1

O

SAM 2/1

C

D

T23

T21 A

B

Figura 5.16 – Superfícies axoides do mecanismo da figura 5.15.

Pode-se então concluir que o movimento 2/1, que apresenta escorregamento para todos os pontos de contacto real excepto B, é equivalente ao rolamento sem escorregamento da SAM 2/1 sobre a SAF 2/1. Daqui se compreende a importância deste tipo de análise prévia no projecto de mecanismos. De facto, o redesenhar deste mecanismo, no sentido de aproximar o mais possível a linha de contacto real da direcção OB , permite minimizar o desgaste e usufruir de uma série de óbvias consequências benéficas: menores vibrações, menor

106

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


aquecimento, maior duração, etc. A solução óptima seria a do mecanismo da figura 5.12.

5.4.2 Superfícies axoides nos movimentos planos

Como já vimos, os movimentos planos caracterizam-se pelo facto dos EIR serem paralelos entre si e perpendiculares ao plano do movimento. A intersecção dos EIR com o plano do movimento permite a definição dos CIR. Pelo facto dos EIR terem todos a mesma direcção as superfícies axoides geradas nos movimentos de permutação são cilíndricas. A intersecção destas superfícies com o plano do movimento, dá origem às curvas já anteriormente definidas como base e rolante. Assim, como se pode ver na figura 5.17, a rolante e a base são, respectivamente, a intersecção da SAM e da SAF com o plano do movimento.

SAF SAM

Base

Rolante

Figura 5.17 – Correspondência entre as superfícies axoides (SAF e SAM) e a base e a rolante, respectivamente.

5.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 5 Numa breve introdução começou-se por realçar a importância do rolamento e escorregamento no projecto de mecanismos. No capítulo 5.2

fez-se a abordagem do movimento de sólidos em contacto pontual. Foi introduzido o conceito de movimento de permutação e velocidade de escorregamento. Após uma caracterização do torsor do movimento relativo

FEUP – DEMEGI

107


Mecânica II

nas diversas situações possíveis, deu-se especial ênfase ao rolamento puro em movimento plano. Os conceitos de base e rolante permitiram a extensão

da teoria do movimento de sólidos em contacto permanente a qualquer movimento com existência ou não de contacto. A importância da velocidade de permutação foi evidenciada no cálculo da aceleração relativa do CIR. No

capítulo 5.3 estudou-se o movimento tridimensional de sólidos em contacto linear, tendo sido dada especial atenção à obtenção das superfícies axoides, bem como à sua importância na concepção de mecanismos.

5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) O disco (corpo 1) roda excentricamente em torno do ponto O com velocidade angular θɺ conhecida e contacta permanentemente em P com o impulsor (corpo 2), que translada verticalmente (ver figura 5.18). Determine:

y

OC=e 2 P

1

O

x C

θ

θ Figura 5.18 – Disco e impulsor.

a) A velocidade de escorregamento no ponto P e a velocidade do impulsor;

108

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


− θɺ (R − e cos θ ) Solução:

v P12 =

0

v P20

0 ɺ = e θ sen θ

0

0

b) A posição do CIR I 21 gráfica e analiticamente.

e sen θ Solução:

I 21 ≡

0 0

2) O corpo 1 (cunha) move-se com uma velocidade v0 conhecida. Admitindo que o corpo 2 (disco) rola sem escorregar sobre o corpo 1, calcule:

y

2 1

C

v0

B A

h

θ x

Figura 5.19 – Cunha em translação.

a) A velocidade absoluta do ponto P do corpo 2;

0 Solução:

v B20 = v 0 tg θ 0

b) A velocidade de escorregamento em C;

FEUP – DEMEGI

109


Mecânica II

0 v e20 = v 0 tg θ +

Solução:

v0 cos θ

0

c) A posição do CIR I 20 gráfica e analiticamente.

r + r sen θ I 20 ≡

Solução:

h 0

3) A barra (corpo 1) move-se de modo a que os pontos A e B transladem sobre os eixos coordenados. O ponto B move-se com velocidade sɺ conhecida.

y B s

1 A

O

x

Figura 5.20 - Barra com extremidades em translação.

a) Determine a base e a rolante do movimento da barra relativamente ao referencial S0;

L2 − s 2 Solução:

Base ≡

s 0

L2 − s 2 L Rolante ≡ s L2 − s 2 L 0

b) Recorrendo às equações cartesianas, esboce as respectivas curvas.

110

FEUP – DEMEGI

Mecânica II


4) No mecanismo representado na figura 5.21, o corpo 1 roda com velocidade angular constante θɺ e o corpo 2 rola sem escorregar relativamente ao corpo fixo. Determine: y C 2

0 B

1

θ

A

x

Figura 5.21 – Trem epicicloidal.

a) O vector rotação ω 20 ;

0 Solução:

ω 20 = 0 − l θɺ r

b) As equações cartesianas da base e da rolante no movimento 2/0; Solução:

Rolante → x 22 + y 22 = r 2 Base → x 02 + y 02 = (l + r )

2

c) A velocidade de permutação no movimento 2/0;

Solução:

VC20

− (l + r ) θɺ sen θ = (l + r ) θɺ cos θ 0

d) A aceleração absoluta do ponto B utilizando a segunda equação de

Mozzi e o ponto C;

Solução:

a B20

− θɺ 2 l cos θ = − θɺ 2 l sen θ 0

FEUP – DEMEGI

111


Mecânica II

corpo 1 roda com velocidade angular θɺ constante em torno do eixo z, e movimenta a esfera (corpo 2) através de um contacto de rolamento sem escorregamento no ponto A . A esfera rola sem escorregar nos pontos P e Q relativamente à caixa (corpo 0), que se mantém fixa. O corpo 2 transmite movimento em B com rolamento sem escorregamento ao corpo 3, que roda em torno do eixo z. Determine:

z OA=r1 x

B

O

A 2

45º

P

C

3

θ

r2

1 0

Q Figura 5.22 – Redutor de fricção.

a) A velocidade angular do corpo 3, ω 30 ;

Solução:

ω30 =

0 0 r θɺ 1

(1+ 2 )( r + r 2 ) 1

2

b) A velocidade de permutação no movimento 2/1; 0 Solução:

 − r1 θɺ  2r2 V A21 = + 2   1 + 2  2r1 + 2r2  0

c) As superfícies axoides nos movimentos 2/1 e 3/2. Identifique os respectivos movimentos de permutação.

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6. Anexo – Problemas de Exame

ANEXO – PROBLEMAS DE EXAME 1) Cinemática - Movimento 2D

EH = e

O mecanismo de elevação representado é constituído por: - um cilindro hidráulico, (Cilindro exterior - Corpo 1 e Êmbolo - Corpo 2), articulado ao exterior em C. O comprimento CD é dado pelo parâmetro conhecido s(t) . A velocidade relativa entre o êmbolo e o cilindro exterior é constante, (sɺ = const .) ; - uma barra, Corpo 3, articulada ao êmbolo do cilindro hidráulico no ponto D, obrigada a rodar em torno de um ponto fixo E; - uma barra, Corpo 4, que está articulada ao Corpo 3 no ponto F e ao Corpo 5 em H; - uma plataforma, Corpo 5, com movimento de translação na direcção vertical.

a) Determine a velocidade absoluta da plataforma, Corpo 5. b) Determine a aceleração do ponto F do Corpo 4 para um observador solidário do movimento do corpo 1. c) Defina graficamente a posição do eixo instantâneo de rotação do movimento relativo 4/1. d) Determine a base e a rolante no movimento 5/3.

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2) Cinemática - Movimento 2D

AB ⊥ BC

O mecanismo representado na figura permite bascular a pá (corpo 2) de uma escavadora. A barra de accionamento (corpo 1) é obrigada a deslocar-se na horizontal através do guiamento existente no corpo 4 (lei s(t) conhecida). As ligações B e C são articulações planas, enquanto A e D são ligações do tipo pino/rasgo. Considerando o corpo 4 imóvel, determine:

114

a)

A velocidade absoluta do ponto D.

b)

A aceleração do ponto A do corpo 1 relativamente à pá.

c)

Graficamente a posição de I31.

d)

A velocidade de permutação do ponto I31.

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3) Cinemática – Movimento 2D 4

3 F Y

b E

1

D

2

R

C e

θ

A

X

B a

O mecanismo plano representado é constituído por: - um excêntrico (corpo 1) que roda em torno do ponto fixo B com velocidade angular constante; ω 10 = θɺ = const. - uma barra (corpo 2) obrigada a rodar em torno de um ponto fixo A - um disco (corpo 3) que roda relativamente ao corpo 4; ligação de rotação em F - um impulsor (corpo 4) guiado na direcção BF Em D (ponto de contacto entre os corpos 1 e 2) existe rolamento com escorregamento. Sabendo que os corpos 2 e 3 rolam sem escorregar entre si (ponto de contacto E), determine:

a) Os campos de velocidades contemporâneas dos movimentos absolutos de todos os corpos. b) A aceleração do ponto F do corpo 4 para um observador solidário do movimento do corpo 1. c) A base e a rolante no movimento 2/1. d) A aceleração do ponto de contacto da base com a rolante no movimento relativo 2/1.

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x 2

3 4

D

s(t)

B

1

5 γ(t E )

y

β(t C )

θ(t )

A

CB = CD = R CB⊥CD DE = L AC = b

A figura representa um mecanismo constituído por cinco corpos. O cilindro 1 roda em torno do ponto fixo A e o êmbolo 2 translada em relação ao corpo 1, sendo o parâmetro s(t) conhecido. O corpo 3 roda em torno do ponto C, que é um ponto fixo, transmitindo movimento à barra 4 através da articulação em D. O corpo 5 sofre uma translação horizontal.

Determine:

a) O campo de velocidades contemporâneas dos movimentos 2/0 e 4/0. b) A aceleração do ponto D do corpo 4 relativamente ao corpo 1 recorrendo à teoria do movimento relativo e fazendo intervir o corpo 2. c) Graficamente, a posição do centro instantâneo de rotação no movimento 5/2. d) A base e a rolante no movimento 3/5.

116

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O mecanismo representado na figura é constituído por três corpos: • corpo 1: um disco que roda em torno do eixo z com velocidade

angular θɺ , conhecida. • corpo 2: uma manga que roda juntamente com o corpo 1, mas que

pode transladar relativamente a este na direcção z (s(t) conhecido). • corpo 3: um braço de comprimento l, articulado ao corpo 2 em A e

ligado ao corpo 1 pelo contacto esfera/rasgo em B. Determine: a) Os vectores velocidade e aceleração angulares absolutos do corpo 3. b) A velocidade de escorregamento no ponto B. c) A aceleração do ponto B relativamente a um referencial fixo recorrendo à Teoria dos Movimentos Relativos e fazendo a decomposição

 3   3  2    =    .  0   2  0       d) Diga, justificando convenientemente a resposta, se o movimento 3/0 é tangente a uma rotação ou a um movimento helicoidal. Esboce o perfil de velocidades desse movimento.

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6) Cinemática - Movimento 3D F y

3 5

2

B

C E

G

A D

1

O x

4

A figura representa esquematicamente um mecanismo de engrenagens cilíndricas constituído por cinco corpos. O corpo 1 roda em torno do eixo x (w10 conhecido e negativo) e transmite movimento à roda 2 (rolamento puro) que está solidária da roda 3. A roda 5, que está solidária da caixa exterior, roda em torno de x (w50 conhecido e positivo) e contacta com rolamento puro com a roda 3. Determine:

a) A velocidade angular do veio de saída (corpo 4). b) A velocidade do ponto C do corpo 4 relativamente ao corpo 5. c) A aceleração absoluta do ponto A do corpo 2 recorrendo à teoria do movimento relativo e fazendo a decomposição do movimento

 2   2  1    =     0   1  0  d) Como classificaria a generalidade dos movimentos do mecanismo?

5

Esboce as superfícies axoides fixa e móvel no movimento   . 2

 

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7) Cinemática - Movimento 3D W3

(4)

(2) (3)

D

r

C B

α

(1) γ R

W1

No mecanismo da figura o movimento entra pelo corpo (3) (velocidade angular conhecida mas não constante) e sai pelo corpo (1). Não há escorregamento nos pontos B e D. O corpo (4) está fixo. Conhecendo o ângulo α que a direcção do eixo do corpo 2 faz com a horizontal determine:

a) A velocidade angular do veio de saída (corpo 1). b) A aceleração absoluta do ponto C do corpo 2 recorrendo, num dos passos da resolução, à teoria do movimento relativo e fazendo a

 2   2  1 

decomposição do movimento   =    . 0 1 0

      2

c) Caracterize, justificando, o movimento   . Identifique analiticamente 0

 

a posição do respectivo eixo instantâneo de rotação determinando o ângulo que este faz com a horizontal. d) Justifique detalhadamente a seguinte afirmação:

“O movimento relativo mais geral entre dois corpos pode ser estudado como o movimento de dois sólidos em contacto permanente”.

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z

zR

2

C

2

B 1 ω10

y

R1 3 4

A figura representa um mecanismo de engrenagens de uma hélice de avião. O corpo 1 roda em torno do eixo y (ω10 conhecido) e transmite movimento à roda 2 (sem escorregamento no ponto B). A roda 2 rola em relação ao corpo 3, sem escorregamento em C e o conjunto translada ao longo do eixo y com velocidade - sɺ . Determine: a) A velocidade angular da hélice (corpo 4). b) A aceleração angular do corpo 2. c) A aceleração absoluta do ponto C do corpo 2 recorrendo à teoria do movimento relativo e fazendo a decomposição do movimento

 2   2  1    =    .  0   1  0   2 d) Esboce as superfícies axoides fixa e móvel no movimento   . 1 Identifique os movimentos que dão origem à geração dessas superfícies.

120

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SOLUÇÕES

1)

a) v H 50

0 (b + c ) sɺ (senθ − cos θ tgθ ) , sendo e + d senφ = (b + c ) senθ = b sen(θ + β ) 0

a − cos θ )) b+c a 2 2 aF41 = (b + c ) (ωɺ 30 senθ + ω30 cos θ + ωɺ10 senθ + ω10 ( − cos θ )) + b+c 0 2 (b + c ) (ωɺ 30 cos θ − ω30 senθ − ωɺ10 (

b)

2 2 ( − ω10 senθ − 2 ω10 ω30 senθ − 2 ω10 senθ ) (b + c ) a 2 ( + (2 ω10 ω30 cos θ − 2 ω10 − cos θ ) (b + c ) b+c 0

 x = (b + c ) (senθ − cos θ tgφ ) - e Rolante  5  y 5 = − [d cos φ − (b + c ) cos θ ] d)

 x = (b + c ) (sen2θ − cos θ senθ tgφ ) Base  3 2 y 3 = (b + c ) (senθ cos θ − cos θ tgφ )

R senϕ (ϕɺ - αɺ ) 2)

a)

b)

v D30 =

a A12

0 0

s   tgϕ = sendo  R L senα = R senϕ

− sɺɺ + Rϕɺɺ + sϕɺ 2 = 2 sɺ ϕɺ + s ϕɺɺ − R ϕɺ 2 0

d)

yɺ sen α + y αɺ cos α V I 31 = yɺ cos α − y αɺ sen α 0

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sendo

y = R senϕ (

ϕɺ - 1) αɺ

121


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0 3)

a)

0

ω10 = 0 ; vB10 = 0 θɺ 0

0

0

ω 20 = 0 ; v A 20 = 0 βɺ 0

ω 30

− AE βɺ sen β 0 = ; v E 30 = AE βɺ cos β 0 AE βɺ sen β 0 − b cos β

ω 40

0 0 AE βɺ = 0 ; v F 40 = cos 2 β − sen 2 β cos β 0 0

(

)

AD cos β = a + e cos θ − R sen β AD sen β = e sen θ + R cos β (R + b ) sen β − e cos θ DE = cos β AE = AD + DE

b) AE βɺ θɺ cos2 β − sen2 β − θɺ2 (e cosθ − (R + b ) senβ + DE cosβ ) cos β aF41 = vɺF40 − θɺ2 (e senθ + (R + b ) cosβ + DE senβ ) 0

(

Base − BI 21 S c)

)

1

cosθ  a θɺ  =  ɺ ɺ − a  − senθ  β −θ  0

Rolante − AI 21 S

122

2

cosβ a θɺ = ɺ ɺ senβ β −θ 0

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d)

a I 21

βɺ (cos2 β − sen2 β ) βɺɺ = a θɺ ɺ ɺ + 2 βɺ cosβ senβ β −θ 0

0 4)

a)

ω 20 =

0 sɺ (s 2 − b 2 + R 2 ) 2 b s 2 senθ 0

ω 40 =

0 − R βɺ senβ L cosγ

sɺ senθ ; v A 20 = sɺ cosθ 0

− R βɺ senβ ; v A 20 = R βɺ cosβ 0

s cosθ + R cosβ = b s senθ − R senβ = 0 l senγ = R cosβ

sendo

− R (senβ + cosβ )

− R (senβ − cosβ )

senθ

b) aD41 = ( βɺɺ + θɺɺ) R (senβ − cosβ ) − (θɺ 2 + βɺ 2 ) R (senβ + cosβ ) + sɺɺ cosθ

0

0

0

d)

l senγ + R senβ tgγ Base − EI 35 S = − l cosγ − R senβ 5 0

Rolante − CI 35 S

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3

(l senγ + R senβ tgγ ) cosβ = − (l senγ + R senβ tgγ ) senβ 0

123


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− βɺ 5)

a)

b)

− βɺɺ ; α30 = − βɺ θɺ sendo β =arcsen (s/l) θɺɺ

ω30 = 0 θɺ

0 v B31 = − l βɺ sen β 0

c)

aB30

− l θɺɺ cos β + 2 l θɺ βɺ sen β = − βɺɺ l sen β − βɺ 2 l cos β − θɺ 2 l cos β − βɺɺ l cos β + βɺ 2 l sen β + sɺɺ

6)

a)

 ω R R + ω10 R1 R2   1   − ω10 R1 + 50 5 2  x   R2 + R3    R1 + R2  ω 40 = 0 0

0 b)

vC 45 =

0 − R3 ω35

0 c)

7)

124

a)

2 R1 + ω21 ω41 R1 a A20 = − ω10 − ωɺ10 R1

0  R2 sen α   ω10 = 2 ω30 1+ R1   0

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b)

(ω

y 20

(

)(

x y − ω10 ω20 R2 cos α − (ω20 − ω10 ) R2 sen α + ω31 R1

)

)

x aC 20 = ω R2 − ω cos α − (ω − ω10 ) sen α + ω30 sen α − ω31 R1 ω20 + x x x ωɺ 20 R2 cos α − ω20 − ω10 ω20 R2 sen α − ωɺ10 R1 x 20

x 20

y 20

(

)

x 2 ω30 ω20 R2 cos α − ω10 R1

+

0 0

c)

8)

a)

 R1 sen α + R2 (sen2 α − cos2 α )   + R cos α R sen 2 α 1 2  

α = arctg 

0 − ω10 ω 40 = 2 0

b)

− ω10 2 R1 4R2 − ωɺ10 α20 = 2 ωɺ10 R1 2R2

z − ωɺ10 R1 − α 20 2 R2

c)

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aC20 =

2 − sɺɺ − ω24 (ω40 − ω10 ) R1 − ω24 2 R2 2 2 x (ω40 − ω10 ) R1 − ω10 R1 + α 20 2 R2 + ω24 ω40 2 R2

125

Cinematic A

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