Fenómenos de Transporte Ing.
Martín
Rivera
Toledo
Cinemática La cinemática es el estudio del movimiento de las partículas materiales sin importar las fuerzas que lo provocan. El movimiento es una serie de configuraciones de la partícula material, considerando que la configuración es el estado instantáneo de la partícula material
si se considera a
j (t = 0)
como las coordenadas iniciales de la partícula material y Xi como
coordenadas espaciales para la posición de la partícula en el tiempo t, entonces X = X ( como el medio es continuo
, t )
y
= ( X, t )
si j y Xi son funciones continuas se cumple que
X i j 0
det
Cualquier cambio en la partícula se puede seguir por su trayectoria , es decir,
dr
v v(r , t ) y
v (r , t )
dt
Tipos de movimientos a. Flujo estacionario
v
0
t
aceleración local
b. Flujos uniformes (homogéneos) La velocidad v debe tener igual magnitud y dirección en cualquier punto del campo de flujo, es
v decir,
r
0 o bien
v j xi
0 ij
c. Punto de estancamiento Se tiene que v = 0
Descripción del movimiento 1. Euler: Descripción espacial, las variables naturales son X = X (t ), por lo tanto v v( X , t) , se analiza el movimiento en un punto fijo (sistema de referencia fijo)
t
t
X
2. Lagrange: Utiliza las condiciones iniciales
v v(r 0 , t ) v( , t ) , en este caso el sistema de ejes se encuentra sobre la partícula material
asociada a la partícula material mostrará cambios a lo largo del tiempo
Para cualquier propiedad
(r vt, t t) , si esta misma propiedad se expresa a través de una y la posición ( r , t) expansión en serie de Taylor (r
vt, t t) (r , t)
t
t
vt T 2 o t
2
términos de orden superior
r
si se escribe la diferencia
(r
vt, t t )
lim
t
0
r
y se toma el límite cuando
t
(r vt, t t )
t
(r, t )
se
divide
t entre
T 2 o t 2 términos de orden superior y
t vt
(r , t )
0
t
v r
T 2 o t términos de orden superior
finalmente se obtiene
D Dt
v t
D
o bien
Dt
r
v
Derivada siguiendo el movimiento o derivada
t
material o derivada sustancial la cual está conformada por los términos de
- aceleración temporal
- aceleración convectiva
t v
LINEAS DE TRAYECTORIA Y LINEAS DE CORRIENTE Una línea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partículas que están sobre la curva en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma, como se indica en la figura 23(a). De aquí, las líneas de corriente indican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de ellas, en el instante dado. Un tubo de corriente o filamento de flujo es un tubo pequeño imaginario o conducto, cuya frontera está formada por líneas de corriente. Las líneas de corriente son fronteras en el mismo sentido que las paredes son fronteras de los conductos reales. Recíprocamente, las fronteras de un conducto real o de cualquier sólido inmerso en el fluido son líneas de corriente. Si las fronteras son paredes sólidas no hay componente normal de la velocidad en las mismas. En el movimiento permanente, las líneas de flujo se conservan fijas con respecto al sistema de referencia. Más aún, las líneas del flujo permanente coinciden con las trayectorias de las partículas móviles. En el movimiento variable o no permanente, una partícula del fluido no permanecerá, en general, sobre la misma línea de flujo; por lo tanto, las trayectorias de las partículas y las líneas de corriente no coinciden. El flujo uniforme variable es una excepción de esta regla. La figura 2-3(b) muestra una línea de corriente y la trayectoria de una partícula para un fluido no uniforme y variable. Se muestran los vectores velocidad de las partículas a, b y c, sobre la línea de corriente para el tiempo t1. para los tiempos t 2 y t3. se muestra la partícula a, ocupando sucesivas posiciones sobre su trayectoria, apartándose de la línea de corriente.
Ejemplo 1 Calcule las líneas de trayectoria para un fluido que presenta el campo de velocidades siguiente
v ay
ax
0 con a constante y la condición inicial t = 0 x x 0 , y y0 & z z 0
Evalúe su respuesta para los casos siguientes: a. a = 4, x0 = y0=z0=1 b. a=3t2-t x0 =1, y0=0.5 & z0=1
Solución : Como v i
dxi dt
entonces v x
De la ecuación (1) se tiene y
dx
(1),
dt 1 dx a dt
vy
dy
dt
(2)
&
vz
dz
dt
(3)
(4) que al sustituirse en la ecuación (2) se produce
d 1 dx ax la cual genera una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden dt a dt 2
d x dt 2
ax 0
cuyo polinomio característico es
x(t) C1 cos(at) C 2 sen( at ) obtiene y(t) c1
y
C1 sen(at) C 2 cos(at )
y
x 0 & C 2 y0 y la solución final es
x (t )
y0 cos(at ) x0 sen(at ) ,
y (t)
z z0
y0 sen(at) x0 cos(at)
&
m2
a 2 0 , por lo tanto la solución es
de al
aplicar
forma las
condiciones
equivalente iniciales
se se
tiene
% inicio del archivo stream.m % trazo de la respuseta de las lineas de corriente % para el sistema % v = [ay -ay 0] con t=0 x=x0, y=y0 & z=z0 % con el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias % dx/dt=ay, dy/dt=-ax, dz/dt=0 %-----------------------function stream %-----------------------clc; clear all; format compact; x0 = 1; y0 = 1; z0 = 1; t_int = linspace(0,2); var0 = [x0 y0 z0]; [t,var]=ode15s(@edovel,t_int,var0) x=var(:,1); y=var(:,2); z=var(:,3); figure(1), plot(t,var) xlabel('t [seg]'), ylabel('var') legend('x','y','z') figure(2), plot(x,y) xlabel('x'), ylabel('y')
% inicio de la funcion odevar %-------------------------------function dvardt = edovel(t,var) %-------------------------------x=var(1); y=var(2); z=var(3); a = 4; % a = 3*t^2-t; dxdt=a*y; dydt=-a*x; dzdt=0; dvardt = [dxdt dydt dzdt]'; % fin de la funcion odevar % % fin del archivo stream.m
