CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
103
3.1 INTRODUCCIÓN
E
l hombre, desde el inicio de su aparición y durante su evolución, ha visto siempre con curiosidad el movimiento de objetos y todos los fenómenos involucrados con estos sucesos. De modo que en su afán de explicar los fenómenos naturales, ha desarrollado un conjunto de teorías y leyes, que pasando por el talento de Galileo y el genio de Newton, hoy se conoce como la "mecánica clásica" o "mecánica Newtoniana". Entonces la mecánica estudia el movimiento mo vimiento de los objetos y las causas que lo originan. originan. La cinemática, que es una parte de la mecánica, estudia el movimiento de los objetos sin tomar en cuenta las causas que lo originan. Para describir tal movimiento, la cinemática hace uso de ecuaciones que relacionen las variables de movimiento, éstas son: desplazamiento (x), velocidad (v), aceleración (a) y tiempo (t). Albert Einstein, alrededor de 1905, modifica sustancialmente los conceptos de la mecánica a través de su "teoría de la relatividad", de manera que en la actualidad se habla de una mecánica relativista, donde la mecánica clásica sólo es un caso particular. Es así que la mecánica relativista se ocupa en forma general de objetos moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, en tanto que la mecánica clásica estudia el movimiento de objetos a velocidades mucho menores.
3.2 3.2 EL MOVIMIENTO MOV IMIENTO UN UN CONCEPTO CON CEPTO RELATIVO El primer paso para el estudio del movimiento, es elegir un sistema de referencia respecto al cual el observador describe la posición y movimiento de un objeto. Este sistema de referencia es arbitrario y se elige de manera que el estudio estudio del mo vimiento resulte lo más senc illo posible. Por ejemplo, si una soleada mañana de septiembre Ud. sale a dar un paseo en su "convertible guindo metálico"; entonces, para estudiar su movimiento, algunos de los posibles sistemas de referencia son: (figura 3.1). a) Una casa a la orilla de la carretera b) Un avión av ión en m ovimi ovi mien ento to d) El centro del sol
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CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
Figura 3.1 Respecto a la casa, sistema de referencia (a), tanto Ud. como el automóvil se alejan con una velocidad v. Para el observador a bordo de un avión que vuela con velocidad v', sistema de referencia (b), el autom óvil se acerca con la suma de velocidades velocidade s del automóvil autom óvil y del avión, es decir, v + v'. v'. Finalmente, respecto a un sistema de referencia centrado en el sol, Ud., el automóvil e inclusive la tierra, tierra, tienen tienen un movimiento circular uniforme. uniforme. Este ejemplo permite apreciar claramente que el movimiento es un concepto relativo, ya que depende del sistema de referencia elegido. Sin embargo, es importante aclarar que cualquier ley física es independiente del sistema de referencia elegido. Ahora bien, un sistema de referencia puede estar en reposo, en movimiento con velocidad constante, o en movimiento acelerado, en cualquiera de los dos primeros casos se dice que el sistema de referencia es inercial, en el último caso, el sistema de referencia es no inercial, por ejemplo, un cuerpo en caída libre es un sistema de referencia no inercial. Para la mayoría de los casos, la Tierra es un adecuado sistema de referencia inercial; sin embargo, sabemos todos que la tierra tiene un movimiento combinado de rotación y traslación con respecto al Sol. Este nuestro sol, juntamente con sus nueve planetas, tiene también un movimiento de revolución respecto del centro de la Galaxia, que a su vez se traslada hacia otras galaxias, y finalmente, éstas se mueven alejándose entre si conformando el gran movimiento de expansión del Universo. Universo. Podem os concluir entonces, que no existe un sistema sistema de referencia ab solutamente inercial.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.3 3.3 POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y TRAYECTORIA Una vez elegido el sistema de referencia y establecido el origen en ese sistema, puede identificarse claramente el lugar donde se encuentra el objeto en estudio, esto se efectúa mediante un vector r llamado llamado vector de posición , que nos indica la distancia y la dirección a la que se encuentra el objeto con respecto al origen del sistema de referencia elegido, como muestra la figura 3.2.
F ig u r a 3. 2
En realidad, hay dos maneras de señalar la posición de un objeto en cualquier sistema de referencia: Primero, mostrando el vector de posición r, segundo, especificando las coordenadas del punto donde se encuentra el objeto, por ejemplo, en la figura 3.2, las coordenadas del punto P0 son so n (x0 ( x0 , y0 , z0 ). Cuando el móvil en estudio, se traslada de un lugar a otro, digamos del punto (1) al (2), el vector posición inicial, denotado por r0 , cambia a r f (vector posición final), como se muestra en la figura 3.3. De la construcción vectorial de la figura 3.3 obtenemos: r0 + d = rf Entonces: d = A r = r f - r0 La diferencia diferenci a vectorial A r = r r - r 0 , que es el cambio neto de posición del objeto al trasladarse del punto (1) al (2) se conoce como el vector desplazamiento d.
(3.1)
La variación o cambio cambio de cualquier magnitud magn itud física, vector posici posición ón por p or ejemp ejemplo, lo, se simboliza con la letra griega A (delta), así A r significa el cambio del vector posición.
La forma característica en que un móvil se traslada de un punto a otro, segmento curvilíneo en la figura 3.3, se conoce como la trayectoria, y la longitud de ésta, es el espacio recorrido por el móvil. Nótese que De manera semejan semejante, te, A t significa cambio del el desplazamiento no necesariamente tiempo desde un valor inicial t, hasta otro final coincide con la trayectoria, ya que esta t¿ entonces: A t = t? —t , . última realmente puede ser de una forma caprichosa. La figura 3.4 muestra algunas de las trayectorias más comunes.
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CAPÍTULOS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
T rr—
4 ^
Trayectoria rectilínea
^
Trayectoria circular
\ Trayectoria parabólica
\
v
_ _
Trayectoria curvilínea
Figu Fi gu ra 3.4
Solamente cuando la trayectoria es rectilínea, rectilínea, el desplazamiento y la trayectoria coinciden.
3.4 VELOCIDAD Es la rapidez con que un objeto cambia su posición al transcurrir el tiempo. Ahora bien, al ir cambiando de posición, el objeto puede tener una combinación de movimientos de traslación, vibración, y rotación (figura 3.5). En vista de que esta combinación de movimientos dificulta demasiado la descripción de la posición de un objeto, resulta conveniente considerar que éste solamente tiene movimiento de traslación. Por este motivo, en este capítulo estudiaremos solamente el m ovimiento de traslación, los movimientos vibratorios y rotacionales se discutirán en otros capítulos.
v .3
0 = 0 — *• O O Traslación
o io
C fp t0 1 1
((0=0)) Vibración
Rotación
Combinado : Traslación Rotación y Vibración
Fig F ig u ra 3.5 3. 5
Para simplificar más el problema, es conveniente considerar que la masa del objeto está concentrada en un sólo punto, propiamente en su centro geométrico, esto significa que el objeto es un punto material sin tamaño. Un objeto de estas características se llama pa p a rtíc rt ícuu la y solamente puede tener movimiento de traslación. En realidad, en nuestra vida diaria no existe ningún objeto que no tenga dimensiones; sin embargo, casi todos los objetos pueden considerarse como p artículas respecto respecto de algún sistema de referencia adecuado; po r ejemplo, el convertible del anterior acápite, puede tomarse como partícula cuando el sistema de referencia es la casa a la orilla del camino, aun más, la tierra, incluido el automóvil y la casa, se comporta como partícula respecto a un sistema de referencia centrado en el sol.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTIL ÍNEO Y PARABÓLICO
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En resumen, un cuerpo puede considerarse como partícula cuando sus dimensiones son muy pequ pe queñ eñas as comp co mpar arad adoo con las del sistem sis temaa de refer ref eren encia cia elegido. eleg ido.
3.4.1 V E L O C I D A D M E D I A ( v ) La velocidad media de una partícula es el cociente del cambio neto de posición entre el tiempo total transcurrido durante ese cambio. Para encontrar una ecuación de la velocidad media consideremos el movimiento de una partícula a lo ’argo de una trayectoria cualquiera como el de la figura 3.6. En el instante ti la p o s ic ió n de la partícula queda determinado por el vector de posición r, . y mom entos más tarde, r 2 es el que fija su su posición para ei instante t2 t2. El cambio neto de posición es A r = r 2 —r¡ y el tiempo total total transcurrido transcurrido durante este este cambio de posición es At = t 2 —t —t j . Entonces la velocidad media se escribe: escribe: _
A r _ r 2 -- r, r, At
(3.2)
t 2 - 1j
Es importante notar que la velocidad media no informa con detalle de cómo fue el movimiento entre los puntos (1) y (2), ya que este movimiento bien pudo ser con velocidad constante o variado y la trayectoria ser recta o curvilínea. •
Unidades de v En el S.I. tenernos: ~Arl _ ' d ' J “1 At_ Ls . _A tJ _ At_
[v]=
Como otras otras unidades de V podemos mencionar: km/h km /h ; cm/s ; pie /s ; milla/h ; plg/min plg/mi n ; nudos ; etc..
EJEMPLO 3.1 Cuando se dice que un automóvil viaja de la ciudad de La Paz a Oruro con una velocidad de 86 km/h, se está haciendo referencia a su velocidad media, ya que los 86 km/h es el resultado de dividir la distancia total recorrida (245 Km) entre el tiempo total empleado en este recorrido, digamos 2,85 h. De ninguna manera quiere decir que el automóvil ha viajado a esa velocidad durante todo el trayecto, seguramente ha debido detenerse en algún control de tránsito (velocidad cero), y luego acelerar para continuar su viaje. De este modo, la velocidad media de 86 km/h solamente es una velocidad nominal que señala que si el automóvil estuviera viajando todo el tiempo a 86 km/h, en un tiempo de 2,85 h podría recorrer una distancia de 245 km.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.4.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA ( v ) La velo ve locid cid ad insta in stantá ntá nea ne a es la velo ve loci cida da d que qu e p o se e una un a p ar tíc u la en cada ca da p u n to y en cada ca da instante de su trayectoria. Esta velocidad puede calcularse a partir de la velocidad media por un proceso de límites, para ello, consideremos el movimiento de una partícula a lo largo de la trayectoria de la figura 3.7. Los puntos P y Q, mediante los vectores de posición i*i y r2 , señalan la posición de la partícula para los tiempos t, y t2respectivamente. Tomando en cuenta estos dos puntos, la velocidad media es: es:
At
12
t,
Esta velocidad media, difiere bastante de la velocidad instantánea de la partícula en el punt pu ntoo P. Para tener mayor exactitud, elijamos un punto pu nto más má s cerca ce rca no a P, digam dig amos os Q', en estas circunstancias el desplazamiento neto es A r '= r 2 '- r , y el tiempo tiempo trans ranscu curr rrid idoo At* = t2 t 2 *—t ], luego lueg o la veloc ve locida idadd media med ia para pa ra los punto pu nto s P y Q' es:
A t’
t2' -
t.
Con seguridad, la velocidad media v ' se acerca más al valor de la velocidad velocidad instantánea v en el punto P. Podemos elegir todavía un punto Q" que esté mucho más cerca a P, entonces el desplazamiento neto es es A r" y el tiempo transcurrido transcurrido A t", t" , y la velocidad media resulta: resulta: =
Ar^ =
r2" - rt
At"
t 2" - t ,
Esta velocidad media, v", difiere muy poco de la velocidad instantánea v en el punto P. De este modo, a medida med ida que el el punto Q se aproxim a más a P, la la velocidad veloc idad media med ia v se acerca también cada vez más a la velocidad instantánea v. En el límite, cuando el tiempo transcurrido tiende a cero, lo que se sim boliza po r At —» 0 , la velocida d media se constituy c onstituy e en la velocidad instantánea en el punto P para el instante t,. Esto en términos matemáticos se expresa como:
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
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Usando la notación de cálculo diferencial, el valor límite al que tiende el cociente A r/A t cuando At tiende a cero, se escribe como como dr/d t y se lee lee derivada de r respecto a t.t. Entonces la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto del tiempo, y está dada po r la ecuac ec uación: ión: T . A r dr v = L im — = — At—»o A t dt
(3.4)
En todo este proceso, hay dos aspectos que debe observarse con toda claridad: primero, a med ida que el el desplazamiento A r se hace cada vez más pequeño, el tiempo tiempo transcu rrido A t también se hace pequeño, de modo que el cociente A r/A t no necesariam ente es una cantidad muy pequeña, mas bien tiende a un valor definido, que es justamente la velocidad instantánea; segundo, a medida que el tiempo transcurrido disminuye, la dirección de Ar tiende a una recta tangente a la trayectoria en el punto P, de tal modo mo do que qu e en el límite, límite , cu ando an do At —» 0 , la dirección de la velocidad es siempre tangente a la trayectoria en dicho punto. Las unidades de la velocidad instantánea son las mismas que de la velocidad media, ya que ambas velocidades representan el cambio de posición respecto del tiempo, la única diferencia es que la velocidad media tiene que ver un cambio de tiempo, en consecuencia de posición, grande, mientras que la velocidad instantánea está relacionada con un cambio de tiempo y po sició sic iónn m uy pequ pe queñ eños. os. En los diferentes problemas de física, cuando se menciona un dato de velocidad, debe entenderse como la velocidad instantánea, a menos que se diga lo contrario. A propósito, si Ud. mira el velocímetro de su automóvil, está leyendo la velocidad instantánea.
3.4.3 VELOCIDAD PROMEDIO Es la media aritmética de un conjunto de velocidades diferentes, se calcula con la ecuación: n
v p
V 1+ v 2 +
+ v n
.......
n
i=l
n
(3.5)
PROBLEM A 3.1 3.1 La historia del movimiento de un vehículo es como sigue: inicia su movimiento en el punto A, viaja de A a B con una velocidad constante de 25 km/h, de B a C su velocidad es de 40 km/h, el tramo C a D lo recorre con una velocidad velocid ad de 35 km/h, mientras que el tramo D a E lo cubre con una velocidad de 20 km/h, frena súbitamente y queda detenido en el punto E (figura 3.8). a) ¿Cuál es su velocidad media de todo el trayecto?, b) ¿Cuál es su velocidad promedio?, c) ¿Qué puede decir de su velocidad instantánea?. SOLUCIÓN a) De acuerdo con la ecuación 3.2 la velocidad media es:
A
U Figura 3.8
110
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
_ Ar v At
r-y - r,
t 2 - 1,
Como las posiciones inicial inicial y final coinciden (el automóvil automóvil retom a a su punto de partida), el desplazam iento neto es cero, es decir Ar = r2 - r 5 = 0, entonces: v = — —— = 0 *2
t l
La velocidad media puede ser cero aun cuando el vehículo requiere de una o varias velocidades para completar la trayectoria. b) La velocidad prom edio de este automóvil es: (25 + 40 + 35 + 20 ) km / h km v „ = -------------------------------------------------------------= ---= 3 0 -----
c) Puesto que en cada tramo las velocidades permanecen constantes, puede tomarse a éstas como las velocidades instantáneas, en otras palabras, este vehículo posee cuatro velocidades instantáneas diferentes. diferentes.
3.5 LA VELOCIDAD VELOC IDAD UN VECTOR VECTO R Tanto la velocidad media como la instantánea, se definen como el cociente entre un vector (vector desplazamiento Ar ) y un escalar, el tiempo t, es decir: - Ar v = — At d r v=— dt En consecuencia, la velocidad también es un vector, cuya dirección y sentido son las mismas que la del vecto r desplazamiento. Si la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea (figura 3.9), el vector velocidad pose po seee una un a sola sol a comp co mp onen on ente, te, la cual cua l se encu en cuen entra tra sobre sob re el eje dond do ndee ocur oc urre re el movi mo vim m iento ie nto,, entonces: Eje x: v = v x i v = vx i Eje y:
v = v y j
---------------X
Eje Eje z: v = v zk
Figu Fi gu ra 3.9 3. 9
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
111
Si la partícula se mueve en un plano, digamos x-y x -y , entonces el vector velocidad posee dos componen tes, como se muestra en la figura 3.10. 3.10. y
v
a
Cuyo m ódulo y dirección son:
F ig u r a 3 .1 0
x
0 = arctan — V vJ
z
Finalmente, si el movimiento es en tres dimensiones (figura 3.11), el vector velocidad se expresa como:
V = V x + V y + Vz V = v xl + Vyj Vyj + VzZ VzZ y
Con módulo: x
Figu Fi gu ra 3.11 3.1 1
y dirección dada por los cosenos directores (vea el capítulo 2, vectores). VELOCIDAD VELO CIDAD Y RAPIDCZ
■
La velocidad es un vector, en consecuencia, posee módulo dirección y sentido. Por su carácter vectorial, la velocidad pude ser positiva o negativa.
■
La rapidez es un escalar, es el módulo mód ulo del vector vecto r velocidad. Po r ser módulo, la rapidez es intrínsecamente positiva. positiva.
3.6 MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3.6.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO UNIFORM UNIFORME E El movimiento más simple que podemos encontrar en la naturaleza, es un movimiento en línea recta y con velocidad constante. Un móvil tiene movimiento uniforme cuando su velocidad per p er m a n ec e cons co nsta tant ntee al trans tra nscu curri rrirr el tiempo, tiem po, esto significa que en intervalos de tiempos iguales recorre distancias también iguales; por ejemplo, si aquel "convertible guindo metálico" se mueve con una velocidad velocidad constante de de 5 m/s, significa significa que en 1 segundo su posición cambiará cam biará 5 metros, en 2s 2s avanzará lOm, lOm, 15m en 3s 3s y así sucesivam ente.
112
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
3.6.1. 3.6.1.11 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO UNIFORME Consideremos un vehículo moviéndose con velocidad constante sobre el eje x. En el instante inicial t| el móvil se se encuentra a una distancia distancia del origen O y su vector posición es rj . Para un posterio p osterio r instante t2 , su distancia al origen es x2 y su vector posición r 2, como se m uestra en la figura 3.12.
Fig ura ur a 3.1 2
Si la velocidad del móvil permanece constante, entonces, las velocidades instantánea y media son iguales: Ar
r2 - r.
At
t2-t.
Don de el módulo de r 2 es x2 , y el de rj , Xi , luego: luego: Xo -
X,
t, - t,
(3.6)
Si la posic po sición ión y el tiempo inicia i niciales les se eligen iguales ig uales a cero, esto e sto es: X| = 0 , ti = 0 , entonc en tonc es x2 y t2 toma n valores genéricos gené ricos x y t , luego la ecuación (3.6) se escribe en la forma: V=
(3.7)
Despejando x ' X =
vi
(3.8)
Ecuación que permite calcular el espacio recorrido x por un móvil que se mueve con una velocidad constante v durante un tiempo t.t. 3.6.1.2 3.6.1.2 GRAFICOS DEL MOV IMIENTO UNIFORME La utilidad de un gráfico es que en él podemos observar de una sola mirada toda la historia del movim iento de una m ovilidad, ovilidad, de hecho, un gráfico es más elocuente que mil palabras.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
*
113
Desplazam iento contra tiempo (x vs. t)
Para construir esta gráfica, consideremos que el "convertible guindo metálico" moviéndose en una trayectoria rectilínea. Los desplazamientos x, medidos para diferentes tiempos se presentan en la tabla 3.1. Tabia 3.1 Desplazamiento (m)
tiempo (s) 0 2 4 6 8 10 12
0 10 20 30 40 50 60
La gráfica desplazamiento - tiempo se obtiene graficando punto tras punto los valores de la tabla 3.1, como muestra la figura 3.13(a).
(a)
(b)
Figura 3.13
Siendo ía gráfica x vs. t una recta, la figura 3.13(a) señala que ei desplazamiento es directamente proporcional al tiempo; mientras que de la figura 3.13(7?) deducimos que la pend pe ndien iente te de esta recta re cta es cons co nstan tante te y es justa jus tam m ente en te igual a ia veloc vel ocida idadd v, ya que: anü = pe nd ien ie n te = t anü
----
-
v
At
Entonces, en forma gráfica, el valor de la velocidad se obtiene calculando la pendiente de la gráfica x vs. vs. t ; por ejemplo, tomando tomando tres pares pares de puntos puntos cualesquiera: v, =
(lO-O)m m ------- r— - 5 — (2-0)s s
_ ( 4 0 - 1 0 ) m V2~ (8-2 )s
m s
114
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
Vi =
( 6 0 - 2 0 ) m _ 5 rn (l2-4)s s
De estos resultados podemos concluir, que la velocidad del automóvil es 5 m/s y es constante. •
Velocidad contra contra tiempo ( v vs. vs. t )
Los valores de velocidades calculados anteriormente, 5 m/s, muestran claramente que no importa cuanto tiempo transcurra, la velocidad se mantiene siempre en el mismo valor. Entonces la gráfica v vs. t es una recta horizontal horizontal como m uestra la figura 3.14(a).
v = cte
v = cte
A = x
to
t
(b)
(«) Figu Fi gu ra 3.1 4
Por otra parte la figura 3.14(¿>) permite ver que el área bajo la curva v vs. t, representa el desplazamiento del automóvil entre los tiempos tj y t2 , ya que: que: A r e a rect rectán ángu guio io = ba b a s e x altura = ( t2 - t, ) v
Igualando esta exp resión con el desplazamiento despejado de la ecuac ión (3.6) x 2 - Xi Xi = ( t2 - t, ) v Tenemos: Area Area = v ( t2 - ti ) = x2 - xj = x = desp despllazami azamien ento to
(3. (3.9)
En resumen, en términos gráficos el cálculo del espacio recorrido por un móvil se traduce en un cálculo del área bajo la gráfica velocidad - tiempo. PROBLEMA 3.2 Un camión, moviéndose con movimiento uniforme y rectilíneo, recorre 12 km en 15 minutos, a) ¿Cuál la velocidad de este camión?, Expresar el resultado en km/h y en m/s, b) ¿Qué distancia adicional habrá recorrido en los próximos 20 minutos?. SOLUCION Datos Dato s x = 12 Km t = 15 min
Incó In cógn gnita itass a) v = ? b) t = ?
a) De acuerdo a la ecuación (3.7), la velocidad está dada por: V =
x t
I
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO MOVIMIEN TO RECTIL ÍNEO Y PARABÓLICO
115 115
Reemplazando datos y realizando las conversiones adecuadas, obtenemos: 12km 60m in km v = --------- x ----------= 48 — 15min lh h 12 km lOOOm lOOOm lm in 10 » m v = --------- x ---------- x -------- = 13,3 — 15min lkm 60 s s b) Con Co n la ecua e cuación ción (3.8): .n km or. or. . lh ,,, x = vt vt = 4 8 -----x20 m inx ----------=16 ----------=16 km h
60min
N O A B U S E D E LA CALCULADORA
A la hora de efectuar operaciones aritméticas tales como: divi dir dos números
a/b, obtener raices
b /
Va
, eleva r
a poten cias
a
h
,etc. ,etc.,,
inexcusablemente acudimos a la calculadora, sobre todo si el resultado de operar esos números no es un entero. Por ejemplo, si a = 9 y b = 7, Ud. podría escribir: i) a/b = 9/7 = 1,3 ii) a/b = 9/7 = 1,29 1,29 iii) a/b = 9/7 = 1,285714286 1,28571 4286
....
Anotar un resultado con tantos decimales como proporcione la calculadora (caso iii)) no es sinónimo de un buen trabajo, por el contrario, muestra una deficiencia del manejo de redondeo. En la mayoría de los problemas de física basta considerar dos decimales, sin embargo, para mayor información sobre redondeo y manejo de cifras significativas, significa tivas, el lector puede consultar consulta r el texto "Medidas y Errores" de los mismos mismo s autores.
PROBLEMA 3.3 3.3 Un "Volkswagen" moviéndose a 60 km/h, pasa por una gasolinera ubicada a 120 km antes de un puente. Media hora más tarde, por la misma gasolinera pasa un "mercedes" moviéndose a 80 km/h. ¿Cúal de los automóviles llegará primero al puente?. . SOLUCIÓN El tiempo empleado por el volskwagen en llegar al puente es: ►
x 120km , t = _ = ____ ______ __ = 2,Oh
116
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTIL ÍNEO Y PARABÓLICO
El tiempo del merce des es: x 120 km ... t = — = ----------------== 1,5 h v 80^1 h El mercedes demora 0,5 h para llegar a la gasolinera y emplea 1,5 h de la gasolinera al puen pu ente; te; enton en tonce cess el tiem tie m po total tota l que qu e emple em pleaa es: t = ( 0, 5+ 1,5) L = 2,0 h Por lo tanto, los dos vehículos llegan al puente al mismo tiempo. PROBLEMA 3.4 Dos movilidades A y B están viajando en el mismo sentido er una trayectoria rectilínea con velocidades constantes de 60 y 40 km/h respectivamente. Para determinado tiempo (to = 0) la mov ilidad B se encuentra 500 m delante de A. C alcúlese el tiempo de encuentro. SOLUCIÓN
h--------------------------H* ------------------------------------ ^ d = 500 m xB Figura 3.15
Por movimiento uniforme, las distancias recorridas por las movilidades en el tiempo t, pued pu edee calc ca lcula ularse rse m edian ed iante te la ecua ec uació ciónn (3.8), (3.8 ), entonce ento nces: s: xA = vAt vAt xB = vBt vBt Del esquema del problema problema pode mos plantear una tercera ecuación: xA = d + xB xB Reem plazando las dos ecuaciones anteriores en esta última última vAt = d + vBt Despejando t
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
117
Reemplazando datos: 0,5 km t = ------------------ = 0,0 25 h = 1,5 1,5 min (60-40)^ Entonces, al cabo de t = 1,5 min la movilidad A encuentra a B. PROBLEMA 3.5 3.5 En una trayectoria rectilínea, dos movilidades A y B están viajando en sentidos contrarios con velocidades constantes de 35 y 25 m/s respectivamente. Para un determinado tiempo (to = 0) la separación entre ambas es de 600 m, ¿Calcúlese el tiempo de encuentro?. SOLUCIÓN X a
X d
H------------------ --------------* ----------------------5 -5---------------H V A
^
V B
d = 600 m Las distancias recorridas p or las movilidades en el tiempo t son: XA
“
VA t
= vBt Del esquema del problema: xA + xB = d Reemplazando las dos primeras ecuaciones en esta última vAt + vBt = d Despejando t t=-
d
V A + V B
Reemplazando datos: t _ — 600 600m m—
= 1Qs
(35 + 25 )— s Entonces, Ento nces, al cabo de t = 10 s las movilidades A y B se se encue ntran lado a lado.
118
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
PROBLEMA 3.6 Dos vehículos parten del punto P con velocidades constantes de 15 y 20 pies/s respectivamente. Simultáneamente del punto Q parte un tercer' vehículo con una velocidad constante de 30 pies/s hacia el punto P. Si la distancia entre P y Q es de 1800 pies , ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el tercer vehículo se encuentre en medio de los otros dos?. SOLUCIÓN
*2 d = 1800 pies Figu Fi gu ra 3.16 3.1 6
Los espacios recorridos por cada uno de los vehículos son: son: = v, t x2 = v21
( 1)
X3 = V3 t
(3) (3)
X|
(2 )
Además, como se observa en la figura 3.16 x _= X 2 - * l
x2 - x ! = 2 x x3 = d - (xi (xi + x)
(4) (4) (5) (5)
Reem plazando (4) en (5)
Ordenando: x, + x-
Multiplicando ambos miembros por 2 2 x3 = 2 d - (x t + x2) x2) Reem plazando (1), (2) y (3) en esta última ecuación 2 v3 t = 2 d - (v! t + v2 1)
CAPÍTULOS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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Ordenando (2 v 3
+ V] + v2) v2) t = 2d
Despejando t y reemplazando datos: 2d 2x1800 pies pies t = -------- — -------- = -------------------- --------------= 37,9s 2v3 + v i + v 2
( 2 x 3 0 + 15 + 2 0 ) p ie i e s /s /s
3.6.2 MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO Cuando observamos la caída de un objeto desde una cierta altura y a partir del reposo, notamos que para un tiempo cero, su velocidad es también cero, pero esta velocidad se incrementa conforme el objeto se acerca al suelo. Este movimiento es variado porque la velocidad cambia con el tiempo. Movimiento variado es también el que ocurre cuando un vehículo moviéndose en una avenida debe detenerse al llegar frente a un semáforo, el conductor aplica los frenos y el vehículo que inicialmente poseía una cierta velocidad, al cabo de un corto tiempo se detiene. De este modo, el movimiento de una partícula es variado cuando su velocidad cambia al transcurrir el tiempo, d ecimos entonces que la partícula posee aceleración.
3.7 ACELERACIÓN Es E s la rapi ra pide dezz con c on que qu e una p ar tíc ul a cam bia su vel ocid oc idad ad al tra nscu ns curr rrir ir el tiem po. po . Este cambio puede pu ede ser positi pos itivo vo o negativ neg ativ o; en el prime pri merr caso, la velo cida d aum enta ent a y el movim mo vim ien to se llama acelerado, mientras que en el segundo, la velocidad disminuye y el movimiento es desacelerado o decelerado.
3.7.1 ACELERACIÓN MEDIA ( a) Es E s el cocie co cie nte nt e entre en tre el cam bio net o de veloc ve loc idad id ad y el tiem po tra nscur ns cur rid o du rant ra nte e ese es e camb ca mb io de velocidades. Para encontrar la ecuación de la aceleración media consideremos la figura 3.17.
-------- I(t.) '(<>)
(h)
(a)
\
(b) Figura 3.17
La figura 3.1 l(a) muestra que en el tiempo ti , el móvil está a una distancia x, a partir del origen O y posee una velocidad v, , para el tiempo t2 , su posición es x2 y su velocidad v2 Entonces, el cambio neto de velocidad , como se observa en la figura 3.17(b), es Av = v 2 ~ v i y el tiempo transcurrido At = t 2 - 1 1 . Luego la aceleración m edia es:
120
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
Av _ v 2 - Vj At
(3-10)
to -t ,
Cuyas unidades en el S.I. son: m
[a] =
"Av"
s s
_ At _
m
Ls2J
Otras unidades de aceleración: km/h2 , cm/s2, pie/s2 pie/s2 , plg/min2 , etc. etc... La aceleración mide el cambio de velocidad (aumento o disminución) en la unidad de tiempo, po r ejem ej em plo , cuan cu ando do un autom au tom óvil óv il inici ini ciaa su m ovim ov imie iento nto con co n una un a acel ac eler erac ació iónn de 2 m /s2 , significa que cada segundo su velocidad aumenta en 2 m/s, es decir: _ Av _ 2 m / s At s De manera que transcurrido 1 segundo, la velocidad del del vehículo será de de 2 m/s, transcurridos 2 segundos su velocidad será 4 m/s, así sucesivamente. Del mismo modo que la velocidad media, la aceleración media no informa de cómo fué el cambio de velocidades entre los los tiempos tiempos ti y t2 , ese cambio bien pudo ser uniformem ente creciente o variar de una manera caprichosa. Surge entonces la necesidad de especificar el valor de la aceleración en cada punto de la trayectoria, esto es, la aceleración instantánea.
3.7.2 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA (a) Es la aceleración que posee una partícula en un punto y en un instante determinado. Esta aceleración, de manera parecida a la velocidad instantánea, se obtiene a partir de la aceleración media por un proceso de límites. Entonces, la aceleración instantánea es el límite al que tiende la aceleración media cuando el tiempo transcurrido tiende a cero, matemáticamente se expresa del siguiente modo:
a =
_ . Lim a = _
A t—>0 t—>0
T . Av Lim— A t—>0 t—>0 At
dv = — dt
( 3 .1 1 )
Donde la expresión dv/dt se lee derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Puesto que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo (sección 3.4.2), la aceleración se expresa como la segunda derivada de la posición respecto del tiempo. d í dx ^ _ d 2 x dt v dt J dt 2
CAPÍTULO 3: M OVIMIENT O RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
121
3.8 3.8 LA ACELERACIÓN UN VECTOR La aceleración resulta resulta del cociente de un vector (velocidad v) entre un esca lar (tiempo t). _ A v a = — At
y
En consecuencia, la aceleración es también un vector. Su módulo módulo se calcul calculaa media mediant ntee a = A v /A t, y su su dirección y sentido coinciden con la dirección y sentido sentido del cam bio de velocidad A v , como se observa en la figura 3.18. 3.18.
— Fig F igu u ra 3.1 8
Si el movimiento es en una dimensión (figura 3.19), el vector aceleración tiene una sola componente, la misma que está sobre el eje del movimiento, es decir: Eje x:
a = a xi
Eje Eje y:
a = a yj
Eje Eje z:
a = a zk
a = axi Fig F igu u ra 3.19 3. 19
Para un movimiento en dos dimensiones (figura 3.20), las componentes de a son: son: y i
a = a x +a y a = a x¡ + a y j Cuyo módulo es: I 2~~
a “ A/ a x
a y
2 Figura Fig ura 3.20 3.2 0
Si el mov imiento se efectúa en el espacio, figura 3.21, la aceleración a se expresa como: a = ax+ ay+ az a =
a x i + a yj + a zk
Con módulo: módulo: I
2
2
a —y a x + a y + a z
2
122
APÍTU AP ÍTULO LO 3: MOVIM MO VIMIEN IENTO TO R ECTIL EC TIL ÍNE O Y PARAB ÓLIC O
3.9 3.9 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (m.u.v. (m.u.v.)) Al igual que la velocidad, la aceleración puede permanecer constante durante todo el trayecto, en cuyo caso el movimiento se llama uniformemente variado o acelerado, o cambiar de forma aleatoria, teniéndose en este caso un movimiento con aceleración variable. Para diferenciar un movimiento uniformemente acelerado de otro con aceleración variable, analicemos el siguiente ejemplo. El conductor de un camión de alto tonelaje, a 200 m de un semáforo, aplica los frenos y observa que la velocidad de su vehículo va disminuyendo gradualmente hasta cero, los valores registrados por su velocímetro se presentan en la tabla 3.2. Al mismo tiempo, el conductor de un automóvil, a 200 m del mismo semáforo, aplica los frenos en forma intermitente y las lecturas de velocidad para su vehículo se muestran también en la tabla 3.2. Tabla 3.2 T ie m p o (s ) 0 2 4 6 8 10
V e lo c id a d d e l camión (km/h) 40 32 24 16 8 0
Velocidad del automóvil (km/h) 40 30 27 27 18 0
Los valores de la tabla 3.2, permiten ver que la velocidad del camión se reduce uniformemente cada dos segundos, por ejemplo en los los primeros dos segundos, de 40 km/h km /h se reduc e a 32 32 km/h, es decir, hay una reducción de 8 km/h. Entre dos y cuatro segundos, el camión reduce su velocidad de 32 km/h a 24 km/h, y el cambio de velocidad es también de 8 km/h. Este movimiento con cambio uniforme de velocidad se conoce como movimiento uniformemente variado. Por el contrario, la reducción de velocidad del automóvil no es uniforme, entre cero y dos segundos, la velocidad cambia de 40 km/h a 30 km/h, existiendo una reducción de 10 km/h, entre dos y cuatro segundos, se cambia de 30 km/h a 27 km/h, y la reducción es sólo de 3 km/h; incluso puede apreciarse que entre cuatro y seis segundos la velocidad permanece constante. Un movimiento de estas características (cambio no uniforme de velocidad) se llama movim iento con aceleración variabl variable. e. Las figuras 3.22(a) > 3.22 (b), muestran las gráficas de v vs. t para ambos vehículos. Nótese que para el movimiento uniformemente variado la gráfica es una recta cuya pendiente es just ju stam am en te la acel ac eler erac ació iónn const co nstan ante te de este es te vehíc ve hículo ulo..
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
123
V
40 30
20 10
0 0 (a)
3.9.1
Fig F igur ur a 3.2 2
ECUACIONES DEL ACELERADO
MOVIMIENTO
2
4
6
8
10 t
(b)
UNIFORMEMENTE
VARIADO
O
Al inicio de este capítulo mencionamos que la cinemática busca ecuaciones que relacionen las variables de movimiento: desplazamiento x, velocidad v, aceleración a, tiempo t. En este acápite desarrollaremos tales ecuaciones. •
Ecua ción ( v , a , t )
Cuando una partícula se mueve con aceleración constante, como ocurre en el m.u.a., la aceleración in stantánea es igual a la aceleración media, entonces:
a=a=
V 0 -
V,
to - t ,
(3.12)
Si elegimos el tiempo inicial t| igual a cero (en algún instante iniciamos el cronómetro desde cero), entonces el tiempo final t2 denotamos solamente por t. Por su parte, la velocidad inicial es vj = v0 , y la velocidad fmal v2 = vf. vf. Con estas consideraciones, la ecuación (3.12) toma la forma: a = v f ~ vc t- 0 Ordenando: (3.13) Ecuación que permite calcular la velocidad final que alcanza un móvil al cabo de un tiempo t, moviéndose con una aceleración constante a. Es importante notar que aún cuando el tiempo inicial tj sea igual a cero, la velocidad inicial v0 no necesariamente es cero. Si v0 es cero, el automóvil parte del reposo; en cambio, si v0 es distinto de cero, significa que el automóvil ya estaba en movimiento antes de empezar a cronometrar el tiempo.
124 •
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
Ecuación ( x , v , t )
En la sección de gráficos del movimiento uniforme se mostró que el área bajo la gráfica velocidad - tiempo, es igual al espacio recorrido por el móvil (figura 3.14(b) y ecuación 3.9). De. igual manera, para el m.u.a. el espacio recorrido se calcula como el área bajo la gráfica velocidad - tiempo, gráfica que en este caso y, de acuerdo a la ecuación (3.13), es una recta ascendente como muestra la figura 3.23. En dicha figura, se observa que el área total bajo la gráfica velocidad - tiempo , es igual a la suma de las áreas del rectángulo (A| ) y del triángulo (A2 ), entonces:
v
A = A) + A2
Geomé tricamente estas áreas son: son: A, = t v 0 = v 0 t
A 2 = | t ( Vf —V0 ) = j ( v f - V 0 ) t Luego A = V0 V0 t + y (Vf - V0) t Ordenando A = y (v 0 + v f ) t
Como: Area Ar ea = espa es pacio cio reco re corrid rrid o —x
Tenemos:
Ecuación que calcula el espacio recorrido por el móvil en un tiempo t, moviéndose con movimiento uniformemente acelerado. Las ecuaciones (3.13) y (3.14) son suficientes para el estudio del movimiento uniformemente acelerado, esto significa que cualquier problema de cinemática puede resolverse con estas ecuaciones. C ualquier otra ecuación, se obtiene obtiene por una combinac ión adecuada de éstas. éstas. A continuación, a partir de las ecuaciones (3.13) y (3.14) obtendremos algunas relaciones útiles. v f = v () + a t
(3.13)
x = Í( vo +vf )t
(3.14)
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
•
125
Ecuación ( x , v , a )
De la ecuación (3.13) despejando t t=
vf -v 0
en (3.14) vf-v0 x = y ( v f + v o) l
Ordenando X=
v t - V f v 0 + V 0 v f - v 0 ‘
2a
2 ax ax = v f - v Finalmente: gá v 0 + 2 ax
(3.15)
Ecuación útil cuando el tiempo no es un dato conocido o no se requiere su cálculo. •
Ecuación ( x , Yo, a , t )
Reemplazando (3.13) en (3.14) x = í t v o + ( v o +at)]t
Ordenando x = y ( 2 v 0 + at) at) t Finalmente J t v 0t + | a t ? •
( 3. 16)
Ecuación: Ecuación: (x (x , Vf, a , t)
De la ecuación (3.35) despejando v0 v 0 ~ v f —at Reemplazando en (3.13) x = i [ v f + ( v f _ a t )] Ordenando 1
2
(3.17)
CAPÍTULOS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
126
El resumen de estas ecuaciones se presenta en la tabla 3.3. Tabla 3.3 Ecuaciones del movim iento uniformem ente variado VARIABLES CONSIDERADAS v0 , vf , a , t
E C U A C IÓ N
> ■
I > o I * -
N°
3.13
" + e s
X
, Vo , Vf , t
x=
± (v 0 + V f ) t
3.14
X
, v0,
v f 2 = v 02 + 2 a x
3.15
X
> o
x = v 0 t + y - at 2
3.16
V f ,
a
x , V f , a , t
x =
v ft - y at2
3.17
3.9.2 GRAFICAS DEL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO •
Aceleración - tiempo ( a vs. t )
Que la aceleración sea constante, como ocurre en el m.u.v., significa que dicha aceleración se mantendrá en el mismo valor no importa cuanto tiempo transcuna, entonces su gráfica será una recta horizontal, como muestra la figura 3.24.
a = cte
F ig u ra 3. 2 4
•
vs. t ) Velocidad - tiempo ( v vs
V A
A consecuencia de esta aceleración constante, la velocidad v, de acuerdo a la ecuación (3.13), debe aumentar uniformemente a medida que pase el tiempo. Esto quiere decir que su gráfica será una recta ascendente (figura 3.25) cuya pendiente es just ju stam am ente en te la acel ac elera eraci ción ón const co nstan ante, te, a. Av a pen pendient ientee = tan U = — = a At
F ig u r a 3 .2 5
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
127
Desplazamiento - tiempo ( x vs. t ) Si la velocidad del móvil va aumentando al transcurrir el tiempo, con mayor razón debe aumentar el desplazamiento. La ecuación 3.16, que es de segundo grado, señala que la gráfica del desplazamiento en función al tiempo debe ser una pará pa rábo bola la cuya cu ya pend pe ndie iente nte en cada ca da punt pu ntoo defin de finee la velocidad instantánea en ese punto (figura 3.26), de esta manera: Para el punto P: pe nd ien ie n te = tanG =
Ax ----
At
= v
Para el punto Q: pen p en d ien ie n te = tan0 ' =
Ax A t'
La velocidad instantánea v' del punto Q, es mayor a la velocidad instantánea v del punto P. PROBLEMA 3.7 Un trineo parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s Calcular: a) La a) La velocidad que alcanza al cabo de 5 s b) La b) La distancia que recorre al cabo de 5 s c) El c) El tiempo para el cual su velocidad alcance los 40 m/s. SOLUCIÓN Da tos: tos : a = 2 m/s2 v0 = 0 a) t = 5 s b) t = 5 s c) vf = 40 m/s
Incó In cógn gnita itas: s:
vf = 7 x =.? t= ?
a) En este inciso, inciso, se conocen: a , v0 y t , se desea desea calcular vf , entonces la ecuación (3.13) es la adecuada. v f = Va Va +. a t Reemplazando datos: v f = 0 + 2 — 5 s = 10 10 — í \
O
C
1 A
b) Se conocen: conocen : a , v0 y t , debe calcularse la distancia distanc ia x, luego la la ecuac ión (3.16) resulta útil.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIEN TO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
128
X = V0t V0t + y a t 2 Sustituyendo valores: x = 0 (5 s) + | 2 - ^ (5 s)2 =25 m s
c) Son conocidos a , v0 y vf , ya que se desea calcular el el tiempo tiempo t, la ecuac ión (3.13) es la la elegida. v f = v0 + a t Despejando t t = v f ~ v” a Finalmente: 40 — - 0 t = ----~ m
------
= 20s
PROBLEMA 3.8 3.8 Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 45 km/h en 8 segundos, a continuación viaja a esta velocidad durante un cierto tiempo; finalmente se aplican los frenos y el automóvil se detiene en 30 s adicionales. Si el espacio total recorrido es de 800 m, ¿Cuál es el tiempo total empleado?. SOLUCIÓN La figura 3.27 muestra un esquema del problema.
d = 800 m Figu Fi gu ra 3.27 3. 27
El tiempo total es la suma de los tiempos de cada tramo, es decir:
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENT O RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
129
Observe que ti y Í 3 son datos conocidos, mientras que Í 2 no se conoce, pero puede calcularse del tramo B - C usando la ecuación (3.8) para movimiento uniforme. x 2 = v Bt 2
------
>
t 2=
----
(2) (2)
VB
El espacio recorrido en este tramo puede calcularse a partir de la suma de los espacios recorridos en cada tramo, así ------- >•
x i + x 2 + x 3 = d
X2 = d - X ] - X 3
(3)
X! calculam calcu lamos os plante ando la ecuación (3.16) par a el tramo tram o A - B. x i = vo t + y M i 2 Com o v0 = 0 (el autom óvil parte del reposo). x i = 2"a , t ,2
(4)
Finalmente, la aceleración ai se determina planteando la ecuación (3.13) para el mismo tramo (A - B). vf = v0 + a,t1 De nuevo v0 = 0 , luego: Vf =a,tj
Despejando ai vf al =~ „ , Donde Donde::
. _ km 1000 1000 m 1h ,. , m v f = v R =45 x ---------- x --------- = i 2,5 — h 1km 3600 s s ----
Reem plazando datos en la la ecuación (5) 12,5 — s , , m ai — 7 ~ s" Sustituyendo este valor en la ecua<
(5)
CAPÍTULO 3: MOVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
130
x3 , de mane ra análoga a Xj Xj , se se calcula planteando las ecuaciones (3.1 6) y (3.13) para el tramo C - D x 3 = ^ 3
+ y a 3t 3 t 32 32
( 6)
v f = v 0 + a 3t 3
(7)
En la ecuación (7 ),), vf = 0 , ya que el automóvil se detiene. Despejand o a3 vo a 3 = ------U
, do n d e:
^ Km m v 0 = v c = 4 5 ------ = 12,5— h s
Entonces: 12,5 — s .= = _-0,4 0 4 4 — a 3 = ---------— ---------— -0, 30 s----------- s 2
El signo negativo señala que el movimiento es desacelerado. Ree mplaz ando el valor de de a3 a3 en la la ecuac ión (6) =12,5— (30 s) + -í-0,4-^-J (30 s)2 = 195,0 m x 3 =12,5— s 2 v s '
Sustituyendo los valores de xi xi y x3 en la ecuación (3) x 2 = (800 - 51,2 51,2 - 195,0 195,0)) m = 553,8 m
Llevando este resultado a la la ecuación (2) t2 =
553,8 m -----
-
-----
= 44,3 s
12,5— s Finalmente, en la ecuación (1) t T = (8 + 44,3 44,3 + 30) s = 82 ,3 s Que es el tiempo total empleado por el automóvil en recorrer los 800 m.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
131 131
PROBLEMA 3.9 En un instante determinado (t0 = 0), dos camiones de alto tonelaje A y B se mueven en la misma dirección y sentido con velocidades de 12 pies/s y 5 pies/s respectivamente, y aceleraciones aceleraciones de 1 pie/s2 y 2 pies/s2 respectivament respectivamente. e. Si en en ese ese instante instante el camión B se se encuentra 20 pies por delante de A, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que ambos camiones se encuentren lado a lado?, ¿A qué distancia del punto inicial de A ocurre el encuentro?. SOLUCIÓN d
Figu Fi gura ra 3.28 3.2 8
Datos Da tos::
= 12 pies/s 5 pies/s v 0 b =
vo a
; ;
aA = 1 pie/s2 aB = 2 pies/s2
La distancia que recorre el camión A hasta llegar al punto de encuentro es:
En el mismo tiempo, B recorre una distancia de: 2
(2)
La figura 3.28 nos permite plantear la ecuación que relaciona estas distancias: (3)
xA=xB+d
Luego, reemp lazando (1) y (2) en (3)
Ordenando ) t 2 + ( v o b - v 0 A ) t
+
t2 + 2 ( v ob - V q a ) 1 + ( a B - a A ) t2
d = 0
2d = 0
132
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
Como los datos están en un mismo sistema de unidades (sistema inglés), podemos reemplazarlos prescindiendo de sus unidades, entonces: ( 2 - l ) t 2 + 2 ( 5 - 1 2) 2) t + 2( 2 ( 2 0) 0) = 0 t 2 - 14t + 40 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos:
t= ti = 4 s ; t2 = 10 s
En vista de que ambas soluciones son positivas, debemos concluir que existen dos puntos de encuentro: el primero cuando A encuentra a B y lo rebasa. El segundo cuando B, debido a su mayor aceleración, aumenta más rápidamente su velocidad y encuentra a A. 1er 1er pun to de en cuentro
De acuerdo a la ecuación (1)
De la ecuación (3) X B
+
d
=
v 0 Bt + |
a B t2
+
d
+ 20 pies pie s = 56 pies pie s 2? 2?" Pu nto nt o de encu en cu en tro
En la ecuación (1) x A = 1 2 ^ ( l 0 s ) + l ( l ^ ) ( l 0 s ) 2 = 170 pies
En la ecuación (3)
= 170 pies
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
133
PROBLEMA 3.10 3.10 La figura 3.29 muestra la historia del movimiento de un automóvil mediante su gráfica desplazamiento vs. tiempo. A partir de ella, bosquejar las gráficas: vs. tiempo a) Acelera ción vs. b ) Veloc idad vs. tiempo. SOLUCIÓN Gráfica : a vs. t a) Gráfica:
Tramo 0 a ti : La gráfica gráf ica x vs. vs. t es es una parábola creciente, lo cual señala que el automóvil se mueve con un movimiento uniformemente acelerado. Entonces la aceleración es constante y la gráfica a vs. t para este tramo debe ser una recta horizontal con valor ai , como muestra la figura 3.30. Tramo tj a t2 : La recta de pendiente constante de la gráfica x vs. t permite afirmar que el movim iento en este tramo tramo es uniforme, entonces, la aceleración es cero. posició n no cambia Tramo Tra mo t2 a t3 : La posición en este intervalo, esto es señal de que el automóvil se detuvo, en consecuencia, su aceleración tam bién es cero. info rma que el el Tramo t3 a t4 : La parábola invertida (decrecien te) para este tramo informa automóvil regresa al punto de partida con un movimiento uniformemente acelerado, pero, como el automóvil invirtió el sentido de su movimiento, la aceleración es negativa, y su gráfica es una recta horizontal horizontal con valor a2 . b) Gráfica : v vs. t Tramo 0 a t) : La aceleración constante ai logra que la velocidad aumente desde cero hasta una velocidad v, , y su gráfica es una recta creciente de pendiente constante, como se observa en la figura 3.31. Tramo tt a t2 : El movimiento movimiento es es uniforme, entonces, la velocidad es constante y su gráfica es un recta horizontal paralelo al eje del tiempo.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
134
Tramo t2 a t3 t3 : El automóvil está detenido, esto significa que su velocidad es cero y su gráfica es una recta horizontal que coincide con el eje del tiempo. Tramo t3 a t4 : El automóvil emprende el regreso con aceleración constante a2 , y su velocidad crece desde cero hasta un valor v2cuyo sentido es contrario al de V) , entonces la gráfica v vs. t para este tramo es una recta de pendiente negativa. PROBLEMA 3.11 El 31 de agosto de 1987, el canadiense Ben Jhonson estableció un récord mundial de 9,82s en la carrera de los lOOm planos. Suponiendo que Jhonson aceleró uniformemente hasta alcanzar una velocidad velocid ad de 11,7 11,7 m/s la cual mantuvo con stante hasta llegar a la meta. Calcular: a) El a) El tiempo necesario para alcanzar los 11,7 m/s b) La b) La aceleración que imprimió Jhonson c) La distancia recorrida mientras existió aceleración. SOLUCIÓN
(m.u.a.)
(m.u.)
,----------- _ /S ------------------- lr ----------------------------- _/S ------------------ /s-----------------------,
v0 = 0
A
vB= vB= 11,7 m/s m/s
x,
B
x2
----------------------d = 100 m
C
----------------------- ►
Figura 3.32
Una técnica para resolver ejercicios, es plantear tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan, por ejemplo, para este ejercicio podemos plantear las siguientes ecuaciones: Tramo A - B
X1 = v oti + y a t¡ 2
(espac (espacio io recorr recorrido ido))
vR = Vq + at]
(velocidad final del tramo)
Como, Como , v0 = 0 , las anteriores ecuacio nes se transforma transfo rmann en: x i = T a t }2
(1)
= a 11
(2) (2)
VB Tramo B - C
x 2 = v Bt 2
(3)
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
135
Tramo A - C
x i + x2 = d
(4) (4)
t j + t 2 —t-y
(5) (5)
Contem os el número núme ro de incógnitas: x¡ , X2 , tj , t 2 y a. Puesto que la distancia ( d ) y el tiempo tiempo total ( tT tT ) son conocidos, tenem os un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Entonces el problema físico está resuelto, lo que resta es matemáticas. Para resolver el sistema de ecuaciones, puede emplearse el método que se crea más conveniente. En este caso elegiremos el método de sustitución. sustitución. Reem plazando (1) y (3) en (4) (6 )
y a t j 2 + v Bt 2 = d
De la ecuación (2)
a=
Vo
(7) (7)
----t,
Reemplazando (7) en (6)
2 V t j )
Ordenando v Btj + 2 v Bt 2 = 2d
( 8)
De la ecuación ecuac ión (5) t2
- tT - t
Esta última en (8) v
b
11 + 2
v
b
( tT - t ,
) = 2d
Despejando tj 2 v Bt T - 2 d
Reemplazando datos:
t
2 x1 x 1 1, 1, 7 — x 9 , 8 2 s - 2 x l 0 0 m s
= 2,55 s
s Que es el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de 11,7 m/s.
136
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
La aceleración que imprimió Jhonson Jhonson calculamos con la ecuación (7) (7)
Finalmente, de acuerdo a la ecuación aceleración es: es:
(1),
la distancia recorrida mientras existió existió
x,1 = — 2 x 4,6 —2 x v(2,55 s )¡ 2 =15m PROBLEMA 3.12 3.12 Una movilidad de trasporte público A está detenido esperando que aborde el último pasajero, cuando esto ocurre acelera acelera a razón de 6 pies/s2 durante 10 s, s, a partir del del cual viaja con velocidad constante. En el instante que la movilidad A inicia su movimiento, una segunda movilidad B que viajaba en el mismo sentido con velocidad constante de 55 pies/s, lo rebasa. Calcúlese, el tiempo y la distancia a la cual la movilidad A alcanza a B. SOLUCIÓN VB
9fojÜi m.u.a. x ADel esquema: X B = X A, + X A
Para el camión : movimiento uniforme
x B —v Bt T Para el automóvil :
Movimiento acelerado (primer tramo) 2
Movimiento uniforme (segundo tramo)
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
137
Donde la velocidad vAes la velocidad final alcanzada por el automóvil en el primer tramo v aA ~= at i Además, la suma de los tiempos ti (primer tramo) y t2 (segundo tramo) se constituye en el tiempo total tT: t, + t 2 = t T Reemplazando las últimas cinco ecuaciones en la primera: v
b
(ti
+ t 2 ) = { a t i 2 + ( a t i ) *2
Despejando t2 V Bt l - | a tf
to2 = ----------- ------a t,t, - v , Sustituyendo valores: valores: 55 — x l 0 s - ^ x 6 — ( 1 0 s) s) 2 s 2 s2 t 2 = --------------------------------------------------- --------------= 50s , m ... . . _ p ies 6 — x l O s - 5 5 -----s2 s Luego, el tiempo total es: -
t T = t, + t 2 = 10 s + 50s = 60s Finalmente la distancia de encuentro es: x b
pies pie s = v Bt T = 5 5 ------x ------x 60 s = 3300 pies s
3.10 3.10 CAIDA U B R E Todos los cuerpos que se encuentran sobre la tierra, están sujetos a la atracción que nuestro plane pla neta ta ejerce. Ent onces, once s, si soltamo solt amoss un objeto obj eto a cierta cier ta altura altu ra del suelo , inm ediatam edi atam ente ent e caerá hacia el piso, este hecho se debe justamente a las fuerzas de atracción entre la tierra y dicho objeto. Observaremos también, que a medida que el objeto se acerca al suelo, su velocidad va en aumento; esto quiere decir que el movimiento de los cuerpos debido a la atracción terrestre, es un movimiento variado. Si bien no intentaremos de explicar en detalle el origen y la acción de las fuerzas gravitacionales, por cuanto no corresponden a este capítulo, trataremos de explicar que la aceleración que los cuerpos adquieren al estar sujetos a las fuerzas gravitatorias está en relación con la ley de gravitación universal de Newton, que resumidamente señala: La fuerza F con que se atraen dos cuerpos de masas m t y m2 , separados una distancia r (figura 3.33), está dado por la ecuación:
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
138
„ G m,m9 —2 - F = ------i —2 r2
(3.18)
Donde, G, es la constante de atracción universal de Newton.
Para el caso de un cuerpo de masa m situado en la superficie de la tierra, ni] es la masa de la tierra MT , y m2 es la masa m; la distancia r que los separa, es el radio de la tierra R. Entonces, la ecuación (3.18) toma la forma: _
m
G Mt
F = ------- j —
(3.19)
R2
dond donde: e:
G = 6, 67 3 x l0-1 l0-11 N m 2 / k g 2 Mt
=5,98x1024 kg
R = 6 , 3 7 8 x l 0 6 m (en la línea nea del del ecua ecuado dor) r) Además, si consideramos que la fuerza gravitatoria F, comunica al cuerpo de masa m una aceleración a dada por la ecuación: F = ma , podemos escribir: _
G Mt
F = ma = -
m
R2
De aquí, la aceleración a resulta g m t
R2 Esta aceleración, que es debida a la atracción terrestre, se denomina aceleración gravitacional y se simboliza mediante la letra "g" , es decir: GMt
g = ----- T1-
(3-20)
R2
Reemplazando valores de G, MT y R 2 6,673 x 1 o "11 "11
5,98 x 1024kg
kg (ó,378 x 106m)
-9,81m
CAPÍTULOS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
139
Como se observa en la ecuación (3.20), la aceleración de la gravedad solamente depende de la masa de la tierra y de la distancia del objeto al centro de la tierra. Entonces, cualquier cuerpo en caída, posee un movimiento uniformemente acelerado, cuya aceleración es "g". Ahora bien, como la tierra no es una esfera perfecta, es de esperar que el valor de "g" varíe con la latitud, esto se muestra en la tabla 3.4.
Tabla 3.4 Valores de "g" a diferentes latitudes a nivel del mar Latitud
g m/s2
Latitud
g m/s2
0°
9,780
Oo w o
9,811
10° 10°
9, 7 8 2
60°
9,819
o o t °
9,786
l O o >
9,826
30°
9,793
O o O o
9,831
- O o ' t
9,802
C OO N
9,832
De acuerdo acue rdo a la ecuación (3.20), "g" varía también con la la altura; altura; y como esta relación es inversamente proporcional, sucede que a mayor altura, el valor de "g" disminuye, como muestra la tabla 3.5.
Tabla 3.5 Valores de "g" a diferentes alturas a la latitud de 45° Altitud m
g m/s2
Altitud m
g m/s2
0
9, 8 0 6
16 000
9,757
1000
9,803
32 000
9,71
4 000
9 ,79 4
100 000
9,60
8 000
9,782
500 000
8,53
La ecuación (3.20) muestra también que la aceleración con que cae un objeto es independiente de su masa, entonces, todos los objetos en cercanías de la superficie de la tierra, deberían caer con la misma aceleración; por ejemplo, una hoja de papel y una esfera de acero, que se sueltan a la misma altura, deberían llegar al suelo en el mismo tiempo, sin embargo, esto no r^nrre en la realidad.
140
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RE CTILÍNEO Y PARABÓLICO
Para explicar este fenómeno debemos considerar la presencia del aire. Tomando en cuenta solamente los com ponentes m ayoritarios, el aire aire es una me zcla de oxígeno ( 0 2) y nitrógeno (N2) gaseosos, y como cualquier sustancia que posee masa, el aire también ofrece una cierta resistencia al movimiento de los cuerpos. Esta resistencia depende fundamentalmente de los siguientes aspectos: • Relación Rela ción de masa ma sass, si la masa del cuerpo en caída es muy grande comparado con la del aire, la resistencia que ofrece el aire es despreciable. •
Velocidad , todos hemos sentido que el aire nos golpea con mayor fuerza mientras corremos con mayor velocidad en él, entonces, para velocidades elevadas, la resistencia del aire ya no es despreciable.
• Area Ar ea expues exp uesta, ta, cuanto mayor sea el área expuesta del cuerpo en movimiento, como es el caso de la hoja de papel, mayor es la resistencia d el aire.
ilLL l stencia no despreciable
Resistencia despreciable
stencia stencia no despreciable
Resistencia despreciable
¡ikálii
tencia no despreciable
Resistencia despreciable
De acuerdo con estas premisas, pero sobre todo la mayor superficie expuesta de la hoja, la resistencia del aire sobre el papel es mayor, en consecuencia, la hoja de papel llegará al suelo después de la esfera metálica. Si no existiera esta masa de aire, ni algún otro gas, es decir en el vacío, ambos objetos caerían con la misma aceleración "g" y, como es lógico suponer, llegarían al suelo al mismo tiempo. A este movimiento en el vacío (ausencia de todo tipo de gas) se conoce como caída libre. libre. En lo que sigue del texto, supondremos despreciable la resistencia del aire, entendiendo que las velocidades de los cuerpos en caída no son exageradamente elevadas ni sus masas son extremadamente pequeñas; pequeñas; además, además, usaremos usaremos el valor de g = 9,8 m/s2 m/s2 ó g = 32 pies/s2 con suficiente exactitud. GAULGO GALILCI
Antes de Galilco se creía que los objetos más pesados debería caer con mayor rapidez. Por ejemplo, una esfera de acero tres veces más pesado que un bloque de madera debería caer tres veces más rápido. Para demostrar lo contrario, cuenta la historia que Galileo se subió a la torre de la iglesia de su pueblo y desde allí dejó caer dos cuerpos de masas distintas, los cuales llegaron al suelo al mismo tiempo ante la incrédula mirada del público.
A = Cuerpo de madera B = Cuerpo de acero
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
141
3.10.1 3.10.1 ECUACIONES ECUACIONE S DEL MOVIMIEN MOV IMIENTO TO EN CAIDA LIBRE LIBR E Las ecuaciones que describen el movimiento de caída libre, son las mismas que se dedujeron pa ra el m ovim ov imie ient ntoo rect re ctilí ilíne neoo unifo un ifo rm em ente en te acel ac eler erad ado, o, en ellas el las,, es sufi su fici cien ente te cam ca m biar bi ar la aceleración "a" por " g " considerando sin embargo que tanto las velocidades como la acelerac ión son vectores y el sentido de éstos debe señalarse med iante los signos "+" y de acuerdo a la conveniencia de su empleo. Por ejemplo, las ecuaciones de caída libre para los siguientes casos pueden ser:
Mov imiento nto hacia haci a arriba i) Movimie y VA
I -
vf = v0 -gt
(3.21)
Vf2 = v02 -2gy
(3.22)
y - v 0t - | g t :
(3.23)
Mo vimient entoo hacia h acia abajo ii) Movimi v f = v0 +gt
a = +g
Vf2 = v 02 +2 gy y = V nt+ jgt 2
(3.24) (3.25) (3.26)
PROBLEMA 3.13 Desde la ventana de su domicilio, Ud. lanza verticalmente hacia arriba una moneda con una velocidad de 20 m/s. Se desea conocer: a) La p osición y velocidad de la moneda al cabo de 3 s. s. b) El tiempo para el cual la moneda se encuentra a 10 m por encima del punto de lanzamiento.
SOLUCION La trayectoria de la moneda se muestra en la figura 3.34 a) La posición de la la moneda para t = 3s lo calculamos mediante la ecuación (3.23)
oc
(+)
y = v 0t - - j g t 2
Donde; Vq =20 m/s, y t = 3s. 3s. Entonces: = 20 20— x 3 s - ^ x 9 , 8 — x ( 3s ) : s s2 = 15,9 m
V(-)
142
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
La velocidad que tiene el objeto al cabo de los 3 s, puede calcularse planteando la ecuación (3 .23) en el tramo A-C. Vf = v 0 - g t v f = 20
m _ 0m * A.m 9 ,8 ,8 — x 3 s = -9 -9 , 4 — s s2 s
-----
El signo negativo indica que el movimiento de la moneda es hacia abajo, luego la moneda en dicho tiempo y lugar va de bajada. b) El cálcu cá lculo lo del tiem tie m po para pa ra el cual cua l la m oned on edaa se encu en cuen entra tra a 10 m po r encim en cim a de la ventana, lo realizamos planteando la ecuación (3.23) en el tramo A-P (figura 3.35). y = v 0t 0t - } g t 2
Dond Do nde; e; y = 10 m , y v0 = 20 m/s . Or
v p yt J v
g t 2 - 2 v 0t + 2 y = 0 Reemplazando valores numéricos:
Q t
’v
y = lOm v
v o na
■
y =1 =1 0 m
9,8t2 -4 0 t +20 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado ti = 0,58 s t2 = 3,50 s
Figura Fig ura 3.35
Como las dos raíces son positivas, concluimos que hay dos tiempos para los cuales la moneda se encuentra a 10 m de altura. En el tiempo ti la moneda va de subida (punto P), mientras que en el tiempo t2ya va de bajada (punto Q). Q).
PROBLEMA 3.14 Para un cuerpo que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0. v0. a) Demostrar que el tiempo empleado en alcanzar su máxima altura es igual al tiempo que emplea en retomar desde ese punto hasta el punto de lanzamiento. b) D em ostra os trarr que qu e la velo ve locid cidad ad con co n que reto re tom m a al punto pu nto de lanza lan zami mien ento to es igual igu al a la veloc ve locida idadd inicial con que fue lanzado.
SOLUCIÓN a) Planteem os la ecuación (3.21) para el tramo tramo A-B (figura 3.36). 3.36). Vf = v 0 - gt
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILINE O Y PARABÓLICO
143
En esta ecuación, vf , es la velocidad en el punto punto B, y como el cuerpo alcanza su máxima altura en ese punto, esta velocidad es cero, es decir: vf = vB= 0. Además, t = ts es el tiempo empleado em pleado en e n alcanzar alcanz ar la altura máxim a, yma ymax. Con estas c onsiderac onsid eraciones, iones, la anterior ecuación tom a la forma:
B
0= v 0 - g ts Despejando v0 (i) (i )
v 0 = g t s
Para este mismo tramo podemos también plantear la ecuación (3.63) 'o
-2gy
Yma Ym a Vr
A
.')C Fig F igur ura a 3.36 3.3 6
Donde: vf = vB = 0 y la altura altura máxima má xima alcanzada alcan zada es y = yma ymax : entonces enton ces esta ecua ción se escribe:
0= v 0 - 2g y, Despe De spejan jando do yin yinax
2g
(2 )
Sustituyendo (1) en (2) g t'
(3)
Para el tramo de bajada B-C, aplicando la ecuación (3.24)
vc = vB +g tb
(4)
Aqui, Aqu i, vB= 0, y t = tb es el el tiempo de bajada; entonce s despejando despeja ndo tb (5)
t u =
vc , se calcula planteando la ecuación (3.25) para este mismo tramo
vc2 =
i
v b2+2gyr
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
144
De nuevo vB= 0 , y despejando despejando vc v c = % /2 Íw r
( 6)
(6) en (5)
Í2y,
(7) (7)
Finalmente, reemplazando (3) en (7) 2
tb ~
f
gts
2 \
g v. 2 y
Simplificando:
Es decir:
t< 'SUBIDA “= t, 1BAJAD 1BAJADA A
b) Tom ando las ecuaciones (4) y (1) con vB=0 VC = g tb v0 = gts Igualando estas ecuaciones y considerando ts = tb , se obtiene:
v c = v^
PROBLEMA 3.15 Desde el techo de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba un pequeño florero con una velocidad inicia) de 12 m/s, si el florero llega al suelo al cabo de 4,22 s, se desea calcular: a) La máxima altura alcanzada b) El tiempo empleado en alcanzar esa altura c) La velocidad del florero en el nivel del techo en su viaje de retomo d) La altura del edificio e) La velocidad con que llega al suelo
SOLUCIÓN a) La máxima altura que alcanza el florero se da en el tramo A-B, movimiento de subida en la figura 3.37 y lo calcularemos empleando la ecuación (3.22). v f2 = v02 -2 g y
145
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
En esta ecuación, vf-, es la velocidad en el punto B, y como el objeto alcanza su máxima altura en ese punto, vf = vB = 0. Adem ás, la máxima máx ima altura alcanzada alcanza da es y = y max. Entonces la anterior ecuación toma la forma: B
0 = v 0 -2gy, Desp De speja ejand ndoo yma ymax
j
max
Vr
yr y r
t
A (+)
2g
yT
Reemp lazando datos: datos:
12
H m
2 9,8
V(-)
i
m
= 7,3m
ÍÜÜ1
i
Vr
Fig F ig ur a 3 .3 7
El tiempo empleado en alcanzar esta altura lo denominaremos ts , y para su cálculo plan pl antea team m os la ecua ec uació ciónn (3.21) (3. 21) en el mism mi smoo tramo tra mo A-B b )
v f = v 0 “ gts gts De nuevo vf = 0 . Despejando Despejan do el tiempo de subida y reemplazando reempla zando valores: 12S
= 1,22 s
9,8 — „2 S
c) Es razonable pensar que la velocidad del florero al'pasar el nivel del techo en su viaje de retomo (punto C), sea de igual módulo pero de sentido contrario a la velocidad de ascenso en ese mismo nivel (punto A). Para corroborarlo, planteemos la ecuación (3.25) en el tramo B-C.
vc2 =
vr2
+2gymax
La velocidad inicial para este tramo, vB, es igual a la velocidad final para el anterior tramo, entonces, vB= 0. Con esto, la velocidad en el punto C resulta: vc = V2sy™* vo
Pero:
Ymax = ~ T ~
2g
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
146 146 Entonces:
(
v,. =
2g l
2
A
v 0
m = v 0 = 12—
(hacia (hacia abajo) abajo)
2g J
d) Para calcular la altura H del edificio, aprovechemos la construcción geométrica del prob pr oblem lem a, de ello: H = Y t ~ Y max
Donde, yT , es es la altura del punto B respecto de D, para calcular esta altura, escribamos la ecuación (3.26) en el tramo B-D. YT = v 0 l h + T g t b ' Con Vq = = vB = 0 Yt
=igtb2
El tiempo de bajada, tb , está relacionado con el tiempo de subida, ts , y el tiempo total, tT , mediante la ecuación: ecuación: te + tu — tx
De aquí t b = t T —t s = (4,22 - 1,22) 1,22) s = 3s Reemplazando este valor en la ecuación de y T y T = j x 9,8 -^-(3 s)z = 44 ,lm Finalmente, la altura del edificio es: H = 44,lm - 7,3m 7,3m - 36,8m 36,8m e) Para el cálculo de la velocidad con que el florero llega al suelo (punto D), al igual que en la mayoría de los problemas de física, existen varias alternativas: (3.25) en el el tramo tramo B-D. Primera Alternativa. Planteando la ecuación (3.25) = v B“ +2 gy T Con Con vB = 0 =
= J 2 x 9 , 8 - ^ x 4 4 ,l , l m = 2 9 ,4 ,4
CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
147
Segu nda alternat alternativa. iva. Planteando la ecuación (3.25) en el tramo C-D. V D2 D2 = VC2 + 2 § H En esta ecuación, H, es la distancia entre los puntos C y D, es decir es la altura del edificio calculada en el inciso d), entonces: VD = V v C2 + 2 § H
vD =
f 12— 1 |v
S )
+ 2 x 9 , 8 ^ - x 3 6 .7 . 7 m = 2 9 ,4 ,4 — s
S
Tercera alternativa, Planteando la ecuación (3.24) en el tramo B-D. VD = v B + g t b Con Vr = 0 , y tb = 3s
v D = 9 ,8 , 8 - ^ (3 ( 3 s) s) = 2 9 , 4 S s Cuarta alternativa, Planteando la ecuación (3.21) para todo el trayecto A-D V D = VA -g tT
El signo negativo de la gravedad se debe a que el objeto inicia su movimiento hacia arriba. Ademá Ade más, s, vA= v0 = 12 m/s , y tT = 4,22 s. Con estos valores , vDresulta:
v D = 12— - 9,8— 9,8— (4,2 (4,222 s) = -2 9 ,4— s s s El signo negativo de vDseñala que esta velocidad es hacia abajo. PROBLEMA 3.16 Un globo aerostático está ascendiendo con una velocidad constante de 40 pies/s. En el instante que se encuentra a una altura de 260 pies respecto del suelo, se deja caer un paquete, calcular: a ) La altura máxima que alcanza el paquete con respecto al suelo. b) El tiem tie m po que el paqu pa quet etee perm pe rm anec an ecee en el aire. SOLUCIÓN Una vez que el paquete ha sido liberado del globo aerostático, el paquete no cae inmediatamente hacia abajo, ya que abandona el globo con una velocidad inicial igual a la velocidad del globo, y por esta velocidad el paquete ascenderá algunos metros más. Entonces, su trayectoria será como muestra la figura (3.38).
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
148
a) La altura máxima que sube el paquete en el tramo A-B, se calcula mediante la ecuación.
v f = v,
-2gy
Puesto Pues to que el paquete alcanza alcanz a su máxima máxim a altura en el punto B: y = y max , y Vf = Vg = 0. Entonces, la anterior ecuación se expresa: 0
-2gy,
Despe De spe jando jan do ymax
j
max
~
2g
Reemplazando datos:
40
pies pi es
2x32
pies
25pies
Finalmente, la altura máxima respecto del suelo es: H = h + yma ymax = ( 260 + 25 ) pies pie s = 285 pies b) D enom en om inare ina rem m os, os , tT , al tiemp tie mpoo que el paqu pa quet etee perm pe rm anec an ecee en el aire. aire . Tom To m ando an do el punt pu ntoo A como el origen de coordenada s x - y la ecuación (3.23) entre los puntos A y C resulta:
—h —ht =Nv o *t T - - 1g t. T2 Note No te que qu e en esta est a ecua ec uació ciónn y = - h porq po rque ue el punto pu nto C se encu en cuen entra tra 260p 26 0pie iess po r deba de bajo jo de A. Ordenando: 2 " g ti —
—h
Reemplazando datos en el sistema inglés 16tT2 16tT2 -4 0 tT -26 0= 0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado: t-n = 5,47s t i 2 = ■2,97s Puesto que el tiempo tiemp o negativo no tiene sentido físico, el resultado es tT= 5,47 s.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
149
PROBLEMA 3.17 Desde el puente de las Américas, cuya altura aproximada es H = 85 m, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra, si ésta llega al suelo al cabo de 6 segundos. Calcular. a) La ve locidad inicial con la que fue lanzada la piedra. b) La velo ve locid cidad ad con co n que llega lleg a al suelo. sue lo. SOLU CIÓN (i) li f' f ' ~ ' \ i i
Si en la figura 3.39 llamamos, ts , al tiempo de subid a (tramo A-B ), y tb , al tiempo de bajada (tramo (tram o B-C), el tiempo total, tT = 6 s, se expresa del siguiente modo: ts + tb = tT
vo i
(1) (1 )
ts , se calcula del tramo A-B con la ecuación: Vf = V0
Yr
H
- g ts
w H Z w fu
Yt
Com o vf = vB = 0, t$ resulta: te = v o g
( 2)
Figura 3.39
Por su lado, lado, tb , se calcula calcula del tramo tramo B-C mediante la ecuación:
y-r = V b + { g t b 2
Para este tramo: v0 = vb = 0. Entonces, tb resulta:
tu = Pero: Pe ro:
' 2 y-
(3)
yT = H + yma yma;
(4)
Donde, Dond e, y max , es la máxima altura que alcan za la piedra, y puede calcularse calc ularse del tram o A-B del siguiente modo v f2 = v o2 - 2g yma ymax Aquí: Aquí: vf = vB= 0, despejando despejando y ^ : 2
V0 2g
( 5)
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
150
Reem Re emplaza plazando ndo (4) y (5) en (3), tb resulta:
tu = Ordenando
2gH + v 02 l 2g J g
2gH + v 02
\¡2 \¡2gH + v 02
g2
g
i
(6)
Sustituyendo, (2) y (6) en (1), obtenemos: V 2 g H + v 02
+
= L
Despejando v0 Vn =
gtT ~2H
(7)
2 tT
Reemplazando datos: 9 , 8 — ( 6 s )2 )2 - 2 x 8 5 m S2
o m
v o = ----------------------— -— -------------- = 15,2 — 2x6s s
b) La velocidad vc , con que la piedra llega al suelo, puede ser calculada del tramo B-C, plant pla ntea eand ndoo la ecuac ec uación: ión:
vC = vB+ gtb gtb Con vB = 0, y tb dado dad o por la la ecuac ión (6), v c resulta:
vc =g
i 2gH + v.
Reemplazando valores numéricos:
2gH 2gH + v (
CAPÍTULO 3: M OVIMIENT O.RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
151 151
SOLUCIÓN (ii) a) La velocidad inicial, v0, se calcula planteando la ecuación (3.23) para toda la trayectoria, es decir el tramo A-C (la figura 3.40).
v0 n A
y = v 0t 0t - - g t
zr tí
En esta ecuación, t = tT, tT , y y = -H porque el punto punto C está a una distancia H por debajo del origen de coordenadas fijo en el un punto A. Con estos arreglos, la ecuación anterior se expresa:
H Z
tí tí
■H
Cu
- H - v 0t 0t T - y g t T
Figura 3.40 Despejando v0 gtT2 -2H Vn = ------------------------------0 2tT Que es idéntica a la ecuación (3.90), luego: luego: v 0 =15,2 —
b) De la misma manera, la velocidad de la piedra en el punto C puede calcularse plan pl ante tean ando do la ecua ec uació ciónn (3.21) (3. 21) para pa ra todo tod o el tramo tra mo A-C.
vr = v
i
gt-
Reemplazando valores: m m m v c = 15 1 5 , 2 — - 9 , — x os = - 4 3 , 6 — El signo negativo señala que la piedra va de bajada.
PROBLEMA 3.18 Del 70° piso de un rascacielos se deja caer una piedra con velocidad inicial cero, un segundo más tarde, del 80° piso del mismo rascacielos, se lanza hacia abajo una segunda piedra con una veloc idad de d e 20 m/s. Si la altura de cada piso es de 3,5 m. Calcular: a) El tiempo que transcurre desde que se lanzó la segunda piedra para que éste alcance a la prime pri mera. ra. b) La altura sobre el nivel del suelo a la que ocurre el encuentro.
SOLUCIÓN La figura 3.41 muestra el esquema del problema.
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
152
Llamaremos piedra A a la piedra del 70° piso, y piedra B a la del 80° piso, entonces sus alturas iniciales son: Altura del 80° 80° piso: piso: H B = 80x3,5m 80x3,5m = 280m Altura del 70° 70° piso: piso: HA = 70x3,5m 70x3,5m = 245m Dife Difere renc nciia de alt alturas: AH = H B - H A = 35m 35m a) Cálculo del tiempo de encuentro: Con V0A = 0 , la altura que cae la piedra pied ra A es: es: Ya
=
2
{ g U
(0
La altura que cae la piedra B es: Y B = V 0B^ B
"2
13 13
(2)
Los tiempos tiempos tA y tB no son son iguales iguales.. Como la pied pi edra ra B se lanza lan za un segun seg undo do mas ma s tard ta rdee que A, los tiempos tAy tB están relacionadas mediante la ecuación: I \ \
tA= tB+ 10
(3)
Donde: to = 1 s, es la diferencia de tiempos.
Figura 3.41
Ahora bien, para que la piedra B alcance a la A, la altura recorrida por B, yB, debe ser igual a la recorrid a por A, yA, yA, más la diferen cia de alturas, A H , esto es: yB=yA+AHÍ
(4)
Reemplazando las ecuaciones (1), (2) y (3) en (4) V OB O B t B +i + i gÍ gÍ B
1 = ^ g ( t B + t o) + A H
Despejando tB i g t 02 02 + A H
=
-----------------
v oB oB - g t 0
Reemplazando datos:
2
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
153
Por lo tanto, las piedras se encuen tran luego de 3,9 ls de habe r sido lanzado lanzad o la piedra B. También podemos decir, de acuerdo a la ecuación (3) que el encuentro ocurre luego de 4,9ls de haberse soltado la piedra A. b) b ) Cálculo de la altura de encuentro:
Como las las piedras se encuentran a la misma altura respecto respecto del suelo, bastará calcular la altura de una de ellas, digamos de A. Para ello, calcularemos la altura que cae esta piedra hasta el punto de encuentro. Ya
= { g t A2 A2
Con tA = tB+ to to = 3,91s + ls = 4,91s y A = — x 9 ,8 ^ - x(4,91 s)2 = 118m 2 s Luego la altura respecto del suelo es: h = H a - yA = 245m 245m -118m -118m = 127m 127m PROBLEMA 3.19 Una manzana que cae en caída libre, recorre 224 pies en el último segundo de su movimiento. Sabiendo Sabien do que la manzana manz ana partió del reposo, determ inar la altura total total de caída, y el tiempo que le tomó llegar al suelo. SOLUCIÓN Si logramos calcular la velocidad en el punto B (figura 3.42), que es la velocidad inicial del tramo B-C, habremos resuelto el problema, ya que esta velocidad se constituye en la velocidad final para el tramo A-B, y con esta velocidad es posible calcular la altura y el tiempo del tramo A-B, que sumado a la altura y al tiempo del tramo B-C son las soluciones del problema. Planteando la ecuación (3.26) en el tramo B-C tenemos: h = v Bt + j g t 2 B
Cont=ls, h = 224 pies; vBresulta:
t = ls
h — 224 pies
h —y —y g t'
Figura 3.42
H
154
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
Reem plazando valores: valores: , pies pie s , 224 p i e s - - x 3 2 x( ls) 2 c2 pies pie s v B = ----------------------- ---------------= 208ls s -----
-----
-
Ahora, planteando la ecuación (3.25) en el tramo A-B, v b2 =
vo2 + 2 gy
Aquí, v0 = 0, ya que el cuerpo parte del reposo. Despejando la altura y, y reemplazando valores: v 2
(2 0 8 ^ )2 y = —— = -------- — = 676pies 676p ies 28 2 x 3 2 ^
s
El tiempo empleado en cubrir el tramo A-B, lo calculamos mediante la ecuación (3.24). VB = v o + g t ! Con v0 = 0, t| resulta:
t, = ^
g
2 0 8 ^ = ------ r^— = 6,5s
7?pies s2
Finalmente, la altura y el tiempo totales, son: H = y + h = ( 676 + 224 ) pies = 900 pies tj = t] + t = ( 6,5 6,5 +1 ) s = 7,5 s PROBLEMA 3.20 Ud. y un amigo suyo deciden apostar sobre cuál es la profundidad de un precipicio, como su amigo es un experto alpinista, wincha en mano - sin perder tiempo alguno- inicia el descenso; en cambio, Ud. que es un experto en física, sobre todo en cinemática, realiza el siguiente experimento. Desde el borde del precipicio deja caer una piedra, y mediante un cronómetro, detecta que el sonido de la piedra al chocar contra el fondo del precipicio se escucha 5,5 s después de soltar la piedra. Además Ud. sabe que la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
155
SOLUCIÓN Mientras su amigo penosamente va ganando algunos metros (figura 3.43), Ud. cómodamente razona de la siguiente manera: Claramente el problema está dividido en dos partes, la caída de la piedra hasta el fondo del prec pr ecip ipici icioo y el v iaje iaj e del sonido son ido desde des de el fondo fon do hasta ha sta el borde bo rde del precip pre cipici icio. o. Entonces, Enton ces, el tiempo tiemp o total, tT = 5,5 s, está distribuido entre el tiempo de la piedr a, tp , y el tiempo del sonido, ts , mediante la ecuación: tp + ts = tT
(1 )
La piedra cae en caída libre, luego la ecuación para el cálculo de tp es:
Reemplazando (2) y (3) en (1)
Figura 3.43
Donde: Don de: g = 9,8 m/s2 m/s 2 , v s = 330 m/s y tT = 5,5 s Resolviendo la ecuación (3.99) para h, obtenemos que la profundidad del precipicio es: h = 128 m Ciento veintiocho m etros!!!, mejor será recomendar a su amigo que aprenda física. física.
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
156 PROBLEMA 3.21
Se dispara un cohete verticalmente verticalmente con una aceleración constante de 8,6 m/s2 , y se mueve con esta aceleración dura nte 1 minuto. Si en ese instante se agota su combustible. comb ustible. Calcular: a) La máxima altura alcanzada. alcanzada. b) El tiempo transcurrido desde su lanzamiento hasta su regreso a tierra. SOLUCIÓN La figura figura 3.44 es una representación gráfica del problema. problema. a) La altura máxima alcanzada, H, tiene dos componentes; la altura h[ que sube el cohete 2)] y la altura h2 que es la altura que se logra mientras existe combustible (nivel 1 al 2)] después de agotarse el combustible (nivel 2 al 3), esto es: H - h, + h2 h| se calcula mediante la ecuación:
nivel 3
h i = v 0t i + y a t , 2 Con: v0 = 0 , t| = 1 min = 60 s, y a = 8,6 m/s2 h , = 1 x 8 , 6 — x ( 6 0 s ) 2 = 15 48 0m s Para h2 , es necesario calcular previamente la velocidad v2 del cohete cohete en el el nivel nivel 2, esta esta velocidad se logra debido a la aceleración a = 8,6 m/s2 , y es: V2 = V0 +
at,
H
nivel 2
A a —8,6 m/s2 nivei 1 JS L
De nuevo v0 = 0, entonces:
Figura 3.44
v 2 = 8 , 6 — x 6 0 s = 51 6 — s2 s Con esta velocidad, h2se calcula mediante la ecuación: Vf
2
= v 0
2
-
2gh2
Aquí v0 = v2= v2 = 516 m/s y vf : : 0 ya que en el nivel 3 se alcanza la máxima altura. Despejando h2 h 2 = ——
2c
CAPÍTULOS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
157
Sustituyendo valores: valores: ( 5 16 16 — ) 2 h 2 = -------- 5----- = 13584m 2 x9 x9 , 8 — s2 Finalmente la altura total, de acuerdo a la ecuación de H, es: H = ( 15480 + 13584 ) m = 29064 m b) El tiem tie m po desd de sdee el lanza lan zam m iento ien to hasta has ta el reto re tom m o a tier t ierra ra,, tam ta m bién bi én está est á cons co nstit titui uido do po r dos tiempos; el tiempo desde el nivel 1 al nivel nivel 2, ts ts = 60s 60s y el tiempo de retom o, tR , que es el el necesario para que el cohete desde el nivel 2, luego de subir y descender, logra nuevamente el nivel 1, así:
tT = ts + tR Para el cálculo de tR, empleamos la ecuación: u 1 2 ~ h | = v 2t 2 t R “ “ gt R Ordenando: 1 2 - g t R ~ v 21R —h, = 0 Aquí: h, = 15480 m , v2 = 516 m/s y g = 9,8 m/s2. m/s2. Con estos valores, valores , la ante rior ecuación ecuació n resulta: 4 , 9 t R 2 - 5 1 6 t R - 1 5 48 48 0 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática se obtiene: tRI = 129,7 s Ír 2 = -24,4 s El tiempo neg ativo no tiene sentido físico, físico, entonces el tiempo tiempo pa ra este tramo es: es: tR= 129,7 s Finalmente, el tiempo total es:
tT = ts + tR = 60 s+12 s+ 12 9,7 s = 189,7 189,7ss = 3,16 3,16 min
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
158 PROB LEMA 6.22 .22
De un puente cuya altura es de 100 m se suelta una piedra A, transcurridos 2 segundos, del suelo se lanza verticalmente hacia arriba otra piedra B con velocidad inicial de 40 m/s. Calcúlese: a) El tiempo de encuentro, b) La altura de encuentro, SOLUCION VOA VOA= 0
a) Del esquema Ya + Y b
( 1)
=H
Por caída libre libre Y
a
( 2)
= 2 ‘g t A
(3)
Yr = V0Bt V0Bt B
La piedra B se lanza 2 s más tarde que A, entonces el tiempo que emplea A en llegar al punto pu nto de encu en cuen entro tro debe deb e ser m ayor ay or al de B en to = 2s *a = * b + *0
(4 )
Reemplaza ndo (2), (3) y (4) en la ecuación (1) + v 0 Bt Bt
b
—
b
= H
Ordenando, despejando tBy reemplazando datos:
tn =
H-igtí gto + v 0 B
m 100m - \ x 9,8 — (2 s) s) = 1,35 s 9 , 8 ( 2 s) + 4 0 — s2 s
b) La altura altu ra de encu en cuen entro tro,, respe res pecto cto del suelo, suel o, se calcu ca lcula la con co n la ecua ec uació ciónn (3) y B = 4 0 — ( l,l, 3 5 s) s ) - 1 x 9 , 8 - ^ ( 1 , 35 3 5 s) s) 2 = 4 5 , l m Para piedra A El tiempo que emplea la piedra A en llegar al punto de encuentro, de acuerdo con la ecuación (4), es: t ^ = ( t B + t 0 ) = (1, (1,335 + 2)s = 3,35 3,35 s
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
159
En este tiempo la altura que desciende la piedra A es: yA
= - x 9 . 8 - ^ ( 3 , 3 5 s ) 2 =5 =5 5 m 2 s
Entonces su altura respecto del suelo resulta: h A = H - y A = (1 (100 - 55)m 55)m = 45 45 m PROBLEMA 6.23 De la azotea de un edificio, cuya altura es de 200 pies, se dispara hacia arriba una piedra A con una velocidad inicial de 128 pies/s. Transcurridos 4 segundos, del suelo se lanza verticalmente hacia arriba otra piedra B con velocidad inicial de 96 pies/s. Calcúlese: a) El tiempo de encuentro, b) La altura de encuentro. SOLUCIÓN El cálculo de la altura máxima alcanzada por la pie dra dr a B nos no s infor inf orm m a dónd dó ndee ocurr oc urree el encu en cuen entro tro v
- '"O'Mi '"O'Mi
(2)B
zg
Puesto que
( 9 6 pies/ s)2 —= 144 r pies pie s , 2 -, • 2 x T32 pi es /s
y maX( < H , concluimos conclu imos que el
encuentro ocurre por debajo del punto de lanzamiento de la piedra A. Las alturas que recorren las piedras hasta llegar al punto pu nto de encu en cuen entro tro son: Y
a
= " h A =
v
0AL
( 1) ( 2)
Note N ote que en el punto pu nto de encu en cuen entro tro,, la piedr pie draa A se encu en cuen entra tra por deba de bajo jo de su punt pu ntoo de lanzamiento, de ahí el signo negativo en -•hA Con t 0 = 4 s la relación de tiempos es: es: t A = tfi + t() t()
(3)
Del esquema (4)
160
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
Reemplazando (1), (2) y (3) en la ecuación (4) ~ V 0At A
+ V 0Bt B - T g t B
— V 0 A ( t B + ^ o ) + 2’ g ( * B + t 0 )
= H
+ VgetB —
B = H
Ordenando y despejando tB t
_ H + VQAt 0 ~ J gtp V 0B 0B “ V 0 A + 8 ^
Reemplazando datos:
t
2 0 0 p ie s + 1 2 8 ^ ( 4 s ) - } x 3 2 ^ ( 4 s ) 2 = ______ _________ ______ ______ ___ ! ______ _________ ______ ______ ___ § ______ ________ __ - 4 7 5 s
9 6 P Í5 Í - , 2 8 ^ + 3 2 ^ ( 4 8 ) s
s
s
b) La altur alt uraa de encu en cuen entro tro,, respe re spect ctoo del suelo, sue lo, se calc ca lcula ula con co n la ecua ec uació ciónn (2) y B = 9 6 ^ ( 4 , 7 5 s ) ~ j x 3 2 ^ ( 4 , 75 7 5 s )2 = 9 5 p ie s s s El tiempo que emplea la piedra B en llegar a su altura máxima es: v ob (96pies/s)2 te = ------ = --------------- — = 3 s " g 32p ies / s
Comparando este tiempo con el empleado por B en llegar al punto de encuentro (4,75 s), concluimos que en ese punto, la piedra B está en su trayecto de bajada. Para piedra piedra A La ecuación (3) calcula el tiempo que emplea la piedra A en llegar al punto de encuentro t A = (t B + t0) = (4, (4,75 75 + 4)s = 8,75s 8,75s En ese tiempo la altura que desciende esta piedra es:
Ya =v„AtA - f g t { = 1 2 8 ^ ( 8 , 7 5 s ) - i x 3 2 ^ ( 8 , 7 5 s ) 2 = - 1 0 5 p i e s s
2
Cálculo que nos permite corroborar la ecuación (4) h A + h B = (105 (105 + 95) pies pies = 200 pies
s
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
161 161
3.11 .11 MO VIMIENTO VIM IENTO EN EL PLANO PLANO Hasta aquí hemos estudiado el movimiento horizontal, eje x, y el movimiento vertical, eje y, po r sepa se para rado do.. En esta es ta secc se cció iónn estud es tudia iare rem m os el m ovim ov imien iento to en el plano pla no x-y, x-y , que qu e es un movimiento combinado de los ejes "x" y "y"; en otras palabras, estudiaremos el movimiento en dos dimensiones.
3.11.1 3.11.1 DESPLAZAMIENTO, DESPLAZA MIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓ ACELE RACIÓN N Para el caso del del movimiento en dos dimensiones; cada una de estas variables se expresa del siguiente modo:
• Desplazamiento La figura 3.45 muestra el movimiento de una pa rtícu rtí cula la desde de sde el orige or igenn de coor co orde dena nada dass hasta ha sta un punto pu nto P a lo largo lar go de una un a traye tra yecto ctoria ria curvilí cur vilínea nea.. Entonces el vector desplazamiento r, se expresa:
r - rxi + ryj
(3.2 (3.277)
Cuyo módulo se calcula por Pitágoras
-r x2 + r y2 r = - r-rx2 y su dirección por trigonometría ir
0 = arctan •
\
Vrx;
Velocidad
En el acápite 3.4.2 se ha mostrado que la dirección del vector velocidad v, es tangente a la trayectoria de la partícula, la figura 3.46 muestra este hecho para el punto P. En función de sus componentes, el vector velocidad v se expresa como:
v = vxí + vyj
(3.28)
Cuyo módulo es: 2
,
2
vy
y su dirección:
0 = arctan
/y
y
A
vvxy
y
162
CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
Evidentem Evide ntem ente, el ángulo 0 que forma el vecto r velocidad con el eje x es distinto del que forma el vector desplazamiento. Aceleración El vector aceleración se dibuja apuntando hacia el centro de la trayectoria curvilínea (figura 3.47). Como en el punto P la trayectoria se abrd hacia bajo, baj o, el vect ve ctor or a apun ap unta ta haci ha ciaa abajo, aba jo, m ientra ien trass que qu e en otro punto Q, donde la trayectoria se abre hacia arriba, a apuntará hacia arriba. De igual manera que r y v, el vector aceleración a se escribe: a = a xi + a j
(3.29)
Con módulo
a = ,/ a x2 + a 2 y dirección
0 - arctan arc tan t i
U x )
3.11.2
PRINCIPIO COMPUESTO
DE
INDEPENDENCIA
DEL
MOVIMIENTO
Cuando una partícula se mueve en el plano x-y, su posición en cualquier instante está definido por po r sus coor co orde dena nada dass recta re ctang ngula ulare ress x, y, es decir, dec ir, r = x i + y j . Del De l m ism o m odo, od o, las componentes rectangulares de la velocidad v y la aceleración a de la partícula son: v = v x i + v yJ
a = a xi + a yj El principio de independencia fue enunciado por Galileo y establece que si una partícula posee movimiento compuesto (movimiento en el plano x-y), la partícula se moverá en cada eje independientemente de cómo lo haga en el otro. Dicho de otro modo, el movimiento de la partíc par tícula ula pued pu edee estud est udia iarse rse en forma for ma sepa se para rada da en cada ca da eje. Para comprender este concepto, analicemos el siguiente ejemplo. Un avión de reconocimiento que vuela horizon h orizontalme talme nte con velocidad ve locidad constante, c onstante, vAv vAv , deja caer un paq uete en e n cierto instante. La aceleració n, a. del paquete es: es: a = a xi + a yj . donde ax = 0 y ay = g .
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
163 163
Esto significa que el movimiento del paquete sobre el eje x corresponde al movimiento uniforme y rectilíneo (v = cte.), y sobre el eje y, el movimiento es uniformemente acelerado (caída libre). Para un observador en tierra, el paquete no describe una trayectoria rectilínea, ya que debido a la velocidad horizontal que adquiere a momento de abandonar el avión, y a la velocidad creciente en el eje vertical, el paquete describe una trayectoria parabólica, como muestra la figura 3.48. En el eje y, el paquete se mueve en caída libre, entonces la altura descendida es: Y = { g t'2
yaque:
v 0y =0
Mientras en el eje x, lo hace con movimiento uniforme, y la distancia recorrida es: x = v 0t
donde donde::
v 0 = v av
3.11.3 3.11.3 ECUACIONES ECUACIONE S DEL MOVIMIE MOV IMIENTO NTO EN EL PLANO PLANO El movimiento más simple en el plano, es aquel con aceleración constante. Entonces, Entonc es, toma ndo en cuenta el principio de independencia y las ecuaciones deducidas para el movimiento uniformemente acelerado, las ecuaciones para el movimiento en dos dimensiones se presentan en la tabla 3.6. Tabla 3.6 Ecuaciones para el movimiento en el plano x-y Ejex
N°
Vx = V0x V0x + M
3.30
2 ^ v x - v 0x + 2 a x x
X I
o
— h | » X X + K
>
I I > > + > > »
2
3.31 y
3.32
N°
Eje y
=
y = vv
v
3.33
> >
2 ,0 0y +2ayy
+
2V
3.34
3.35 2
164
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
Las ecuaciones escalares de la tabla 3.6 pueden también expresarse en forma vectorial, para ello, ello, sustituyamos por ejemplo las ecuaciones (3.30) y (3.33) en la ecuación (3.28). v = ( v 0x + M )
í
+ ( v 0 x + V ) j
Ordenando v = ( v 0xi + v 0yj) + (a xi + a yj)t En esta ecuación, los términos del primer paréntesis corresponden al vector velocidad inicial Vo = v 0xi + v 0vj , en tanto que los del segundo p aréntesis corresponden al ve ctor aceleración a = a xi + a yj (ver ecuación ecuación 3.29). 3.29). De este este modo, las las dos dos ecuaciones escalares, escalares, (3.30) y (3.33), pueden escribirse como una sola ecuación vectorial. v = v 0 + at De igual manera, sustituyendo las ecuaciones (3.32) y (3.35) en (3.27), obtenemos la siguiente ecuación vectorial. r = (V (V0xt + í a x t 2 ) Í + (V (V 0yt + Í a yt 2 ) j = ( V 0x ' + V 0 y j ) t +
j ( a xi + a , j ) t2
= v 0 t + \ a t 2
3 .1 .1 1. 1. 4 M O V I M I E N T O P A R A B Ó L I C O El movimiento parabólico, que es un caso particular del movimiento en el plano, comprende situaciones tales como: disparo de una bala por un cañón, movimiento de un cohete luego de agotarse su combustible, lanzamiento de una pelota en un juego de fútbol o voleibol, chorros de agua lanzados por mangueras, etc. La pelota, una vez que ha abandonado la mano del lanzador, o la bala, luego de abandonar la boca del cañón, se mueve por la velocidad inicial prop pr oporc orcion ionad adaa y la acción acc ión de la fuerza fue rza gravita gra vitatoria toria.. Si consideramos despreciable la resistencia del aire, en el eje horizontal el proyectil se moverá con movimiento uniforme, esto es, ax = 0, mientras que en el eje vertical, lo hará con movimiento uniformemente acelerado, donde la aceleración constante es la gravedad "g". Ahora bien, respecto de un sistema de coordenadas elegido en el punto donde el proyectil es disparado (boca del cañón), y con el eje "y" positivo hacia arriba, la aceleración de la gravedad es negativa cuando el proyectil se mueve hacia arriba y positiva cuando lo hace hacia abajo, es deci decir, r, a y = ± g . En definitiva, el movimiento parabólico es una combinación de movimiento horizontal con velocidad co nstante y movimiento vertical con aceleración constante.
CAPÍTULO 3: M OVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
165 165
De acuerdo a lo expuesto, las ecuaciones para el movimiento parabólico se presentan en la tabla 3.7. Tabla 3.7 Ecuaciones del movimiento parabólico E JE
ECUACIÓN
Ejex
X = v 0x* 0x* Vy = V0y V0y + g t
Eje y
Vy2 = v 0y2 0y2 ± 2 g y y = v 0y 0y t ± { g t 2
N° \ i:•:' : 3.36 3.37 3.38 3.39
Para comprender este movimiento, consideremos un proyectil disparado por un cañón con una velocid ad v0 y formando forma ndo un ángulo 9 0 con el eje eje x, como se muestra en la figura 3.49. Ya que la velocidad inicial v0 es un vector, se descompone en velocidad inicial sobre el eje y, VQy, y velocidad veloc idad inicial en el eje x, v 0x , (figura 3.49). En el eje y, debido a la la comp onen te v 0y , el proy pr oyect ectilil gana ga na altura; altu ra; sin emba em bargo rgo,, com o este ascens asc ensoo es contra con tra la grav gr aved edad ad,, la com co m pone po nent ntee de la velocidad en "y" disminuye hasta hacerse cero en su punto de máxima altura; a continuación, el proyectil desciende con una velocidad cada vez creciente. En resumen, el movimiento para pa rabó bólic licoo en el eje y. es idénti idé ntico co al m ovim ov imien iento to de caída caí da libre.
y
166
CAPÍTULO 3: M OVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
En el eje x, el proyectil gana distancia debido debido a la velocidad v 0x, y como la resistencia del aire es despreciable, esta velocidad perma nece constante en cualquier posición del objeto. En este tipo de problemas, a menudo se pide el cálculo de la altura máxima alcanzada, el tiempo de vuelo, el alcance horizontal máxim o, la velocidad velocida d y ángulo en cualq uier instante, etc. A continuación, mostraremos el cálculo de cada una de ellas. •
Altura máxima (ym!ÍX)
Es la máxima distancia que alcanza el proyectil en el eje y. Esta altura se calcula planteando la ecuación (3.38) entre el origen de coordenadas y el punto de máxima altura, esto es: v y2 =
v 0 y 2 - 2 g y m a«
Ya que vr = 0 en el punto de máxima altura, esta ecuación se escribe:
0 = v Oy
2gy,
De donde:
'Oy ~ v0 ’ Oy
2g Pero Per o v0v, de la figura figu ra 3.50 Ov
Figura 3.50
v0 seni
Finalmente, ree mplazando esta esta ec uación en la anterior: anterior: (3.40)
•
Tiem po de vuelo (tv) (tv)
El tiempo tiempo de vuelo tv , que en algunas algunas ocasiones se denomina tiempo total tj , es aquel tiempo tiempo que demora el proyectil desde su lanzamiento hasta su retomo al mismo nivel, es decir, hasta lograr el alcance horizontal máximo xmax. Entonces: tv = tT = t s + tb En esta ecuación, ts , es el tiempo que emplea el proyectil en subir desde el origen de coordenadas hasta el punto de máximo altura, y tb , es el tiempo de bajada. Dado que el proye pro yecti ctill sube sub e y desc de scien iende de la m áxim áx imaa altura, altu ra, estos est os tiem pos po s son iguales. igua les. ts = tb
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
167
Esta ecuación en la anterior
tv = 2ts 2ts ts se calcula planteando la ecuación (3.37) para el tramo de subida. subida. v y = v 0 y. - g t s Con v y = 0, ts resulta: .
_ v oy _ v 0 s e n 0 o
l e
—
—
Finalmen te, reemplazand o esta ecuación en la ecuación tv = 2t$ obtenemos:
2 v 0 sen 0 0
(3.41)
• Alcance Alca nce horizonta hori zontall máximo máxim o (xmax) Es la máxim a distancia que recurre recurre el proyectil en el el eje x, para su cálculo planteamo s la ecuac ión (3.36) en todo el trayecto. trayecto. x max — v 0 x t v
De la figura 3.50 v 0x = v o c o s0 o Sustituyendo
ta pcua ción y la ecuación general de tv en
. 2v0 sen0o Xmax = vocos0ol g
Ordenando:
v 0 2sen0 o cos0o Por trigonometría:
2sen0o
cos0q
= sen20o
(3.42)
168
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
Finalmente, reemplazando esta última en la ecuación (3.42)
(3.43)
El lector seguramente habrá notado que el alcance máximo, xmax, puede calcularse indistintamente ya sea con la ecuación (3.42) ó (3.43).
• Ecuación de la trayectoria Para un punto cualquiera de la trayectoria del proy pr oyec ectil til,, digam dig amos os P (figu (fi gura ra 3.51), 3.5 1), las coor co orde dena nada dass "x" y "y" se calculan calculan mediante las ecuaciones.
x = v0 cos90t y = vo sen0o sen0 ot- ^ -g t2 Despejando el tiempo de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene:
r
y - v0 sen0 o
COS0 Wv n0 COS0
v 0cos0 oy
Ordenando:
ys #( ten 0o ) x
2 v 02 eo s2 e 0 J
(3.44)
Com o 0 O, v0 y g son constantes, la ecuación (3.44) toma la forma: forma: y = ex - dx2 Que es la ecuación de una parábola, señalando así que el proyectil viaja siguiendo una trayectoria parabólica.
3.11. 3.11.55 LIMITACIONES DEL MO VIMIENTO DE PROYE CTILES •
La altura altura a la que se eleva el proyectil no debe ser demasiado elevada, caso contrario es necesario considerar la variación del valor de "g" con la altura (ver tabla 3.5).
•
La velocidad de de disparo del proyectil no debe ser demasiado alta, alta, caso contrario el el proyectil girará alrededor de la tierra en una trayectoria elíptica (figura 3.52(a)).
•
El alcance horizontal debe ser lo suficientemente corto como para no toma r en cuenta la curvatura de la tierra (figura 3.52(b)).
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
169
/
\
(b)
(a) Figu F igu ra 3.52 3.5 2
PROBLEMA 3.24 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de salida de 300 m/s y formando un ángulo 0 O = 60 ° con la horizontal horizontal (figura (figura 3.53 3.53). ). Se desea calcula calcular: r: a) La altura máxima, máx ima, yma ymax b) El tiempo tiempo de vuelo, tv c) El alcance alcance máximo, x ,^ d) La velocidad y el ángulo con que el el proyectil proyectil retoma a al mismo nivel sobre el piso. piso. e) El tiempo para par a el cual el proyectil proyec til se encuentra a 2 km de altura. SOLUCIÓN La figura 3.53 muestra el esquema del problema, a) Cá lculo lcu lo de y max Como tenemos los datos de v0 y 0 0 , (3.39).
Y ma
X
Reempla
y max
= 3443,9m
170
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
b) Cálculo de de tv Reemplazando datos en la ecuación (3.41) 2 v o sen se n 0 0 t v = ---------------------------= -=
2|:^3ob— 300— y|se n6 00 v
------------------------------------------------= ----= 53,0 2s
g
9,8 — s2
c) Cálculo de Xmax Sustituyendo valores numéricos en la ecuación (3.43)
™ 2 v o sen20o XmaX= — ----------- 1
f 300—1
=
sen(2x 60 ° ) l s i --- 7953,3m ----------- ---------------------- ---
8
9,8 — s2
d) El vector velocidad para cualquier punto de la trayectoria, en particular el punto C, está dado por: V = VXÍ VXÍ + V y j La componente de la velocidad en x es constante y está dado por la ecuación v x = v ox = v o eos 0 o = 300 300 — eo s60° = 150 — v y calculamos planteando la ecuación (3.38) en en el tramo B-C
v Y2 = v0v vV 0v22 + 2 gy, gy , Como v 0y = v B = 0 = V 2 8ym, x = J 2 x 9 , 8 ^ - x 3 4 4 3 , 9 m = 25 9,8 Luego, el módulo de la velocidad en el punto C es: = ^ v x2 + v y2 = V (150)2 +( 25 9, 8) 2 = 300 300 y el áng ulo de llegada resulta: 9, 8 m / s ^ 0 f 2 5 9, 9 = arctan v y = arctan --------------- = 6 0 150m/s , v vx y
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
171
Estos dos últimos valores muestran, como era de esperar, que el proyectil retoma a tierra con la misma velocidad y ángulo con la que fue lanzado.
e) En este caso, conocemos la altura a la que se encuentra el proyectil, H = 2000 m, su velocidad inicial inicial en el eje eje y, v 0y = v 0 s e n 0 o , y deseamos calcular el tiempo t; entonces pode po dem m os em plea pl earr la l a ecu e cuac ación ión (3.39). (3.3 9).
H = v0 sen90 t Resolviendo Resolviendo para t
g t2 - 2 v 0 se n0 o t +2H =0 Con: on: g =9 =9,8 ,8m/ m/s2 s2 ; v0 v 0 =3 =300 00m/s m/s ; 0 O =6 =60° 0° ; H = 2000 2000 m 9,8 9,8
t2- 519,6 519,6 t + 4000 = 0
Cuyas soluciones son: ti = 9,35 s X 43,67 s .2 Estas raíces positivas señalan que hay dos tiempos para las cuales el proyectil se encuentra a 2000 m de altura, en efecto, para t] = 9,35s el objeto objeto va de subida, y para Í2 = 43,67s va de baja ba jada da (figu (f igu ra 3.53). 3.53 ).
PROBLEMA 3.25 Una bala es disparado por un cañón con una velocidad inicial de: de: v 0 = 50 ,0 i + 86 ,6 j Calcular: a) El módulo de la velocidad inicial b) El ángu án gulo lo de dispar dis paroo c) La po sición y velocidad al cabo de 6 s d) El tiempo para el cual el proyectil cae con una velocidad de 75m/s.
SOLUCIÓN Pitágoras: a) Por Pitágoras: vn =
0 2 + 8 6 ,6 2 = 100 —
b) Po r trig t rigon onom om etría: etr ía: 0 o = a r cta n
= a r c ta n
( 8 6 , 6 m / s
= 30'
m s
172
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
c) Posición al cabo de: t = 6s m Eje x: x = v 0 t = 50 — x 6 s x s = 300 m E j e y : y = v oy t - y g t 2
= 8 6 , 8 — x 6 s - ^ x 9 , 8 — ( 5 s ) 2 = 3 43 4 3 ,2 ,2 m s 2 s2 Entonces el vector desplazamiento es: r = 3 0 0 , 0 i + 3 4 3 , 2 j [m ] Con módulo: r=
x /2 + y z2 == t J)[' .300,0 300,0 2 +3 42,2 2 = 4 5 5 ,8m
y dirección: a = a r c ta n
—arctan
( 3 4 3 , 2 m = 48,8' 300,Om
Velocidad al cabo de: de: t = 6s Eje Eje x:
v x = v 0 = 50,050,0-
E je je y :
v
= v 0 - g t = 86 8 6 ,6 ,6 — - 9 , 8 — x 6 s = 2 7, 7,8 —
Entonces el vector velocidad es: es: v = 5 0,0 i + 27,8 j
m s
Con módulo:
V = ^/ V x 2 + V y 2 = V
50T O2 + 2 7 ,8 2 = 57,2 —
y dirección: a = arctan
= arctan vvx y
,8 m / s ( 2 7 ,8
= 29,1
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
173
Pitágoras: d) Por Pitágoras:
Donde Don de vx v x = v 0x = 50 m/s, m /s, entonc en tonces es vy resulta: Vy = J v 2 - v x 2 = V752 - 5 0 2 =55,9 — Puesto que el proyectil va de bajada: bajada: “ Vy = V Qy - g t Entonces: V
+v
(86,6 + 55,9) — y y = -----------------------s = 14,5cs t = -------------g ^ om
PROBLEMA 3.26 Sobre una mesa de 1,5 m de alto, se encuentra un plano inclinado con 9 =30° respecto la horizontal. Un pequeño balón de goma abandona el plano inclinado con una velocidad de 2 m/s, considerando que durante el choque entre el balón y el piso no existe pérdida de energía alguna, se pide: (a) la altura máxima que alcanza el balón luego del primer rebote, (b) La distancia horizontal a la que impacta contra el piso por segunda vez.
SOLUCIÓN
a) El tiempo que emplea el balón en llegar al punto B se calcula mediante la ecuación h = v oyt + -ig t2
174
CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
De la figura figura 3.54(b 3.54(b): ): v 0y = v 0 se n 0 Sustituyendo en la anterior ecuación
h = (v osen0) sen0)tt + |g t 2 Resolviendo para t
gt2 +2v0 sen0 t - 2 h =0 Con: g =9 =9,8 ,8m/s m/s2; 2; v0 = 2 m /s ; 0= 30 °; h =l ,5 m 9,8t2 9,8t2 + 2t 2t - 3 = 0 Tomando solamente la la raíz positiva: positiva:
t = 0,46 s
Con este tiempo, y sabiendo que en el eje horizontal el movimiento es uniforme, x, se calcula con la ecuación: x i = v 0xt Pero de la figura 3.54 (b) se tiene: v 0x = v 0 COS0 COS0 Luego la anterior ecuación se expresa X| = v 0 COS0 t Reemplazando valores:
Figura Figu ra 3.55
x, = 2 - xeo s30 s30° x0,46s = 0,80 m
s
Para el cálculo de X2 , previamente calcularemos la velocidad velocidad v0 ' y el ángulo a 1con que la pelot pe lotaa sale del prim pr imer er rebote reb ote y enfre en frenta nta el tramo tra mo B-D B- D (ver (ve r figura fig ura 3.55). 3.5 5). Pues Pu esto to que qu e no se pierd pie rdee energ en erg ía duran du rante te el choqu cho que, e, el m ódulo ód ulo de la veloc ve locida idadd v0 ' desp de spué uéss del rebo re bote te y el ángulo a son iguales al módulo de la velocidad vf y al ángulo a antes del choque. La componente de la velocidad final en y para el punto A-B se calcula m ediante la expresión Vfv
= V 0y
+g t
= v 0 sen 0 + gt
= 2 — (sen30°) + 9,8 ^-x (0,4 6s ) = 5,51 — S
s
s
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
175
Por su parte, la componente de la velocidad en el eje x, que siempre es constante, está dado por: v f = v 0x = v 0 cos 0 = 2 — x eos 30° = 1,73 — x s s Entonces el módulo de la velocidad final vf en el punto B es: f = - J v f / + v f i 2 = V 1, 1 ,7 3 2 + 5 , 5 1 2 = 5, 78
m
Y el ángulo ángulo a es:
a = arcta arctann
= arctan
v vx
v
5,51m/s
= 72,57°
U,73m/s
Por lo expuesto, en módulo: Vo' = Vf = 5,78 m/s a ' = a = 72 72 , 5 7 ° Con estos valores y la ecuación (3.43), X2 resulta; 5,78 — | sen(2x72 ,57° ) x-, = 9 ,8
m
= 1,95 m
Finalmente, la distancia total es: X j = X] +
x2
xT = 0,80 m + 1,95 1,95 m = 2,75 m b ) La altura máxima alcanzada luego del primer rebote se calcula con la ecuación (3.40).
v0 sen a 2g 5,78
m
\2
sen272,57*
y max
2x9,8
m
= 1,55 m
Not N otee que esta est a altura alt ura es sup erior er ior al de la mesa, me sa, esto ocur oc urre re porq po rque ue el objet ob jetoo aban ab ando dona na el pla no inclin inc linad adoo con co n una un a veloc ve locida idadd inicial inic ial Vq = = 2 m/s.
176
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
PROBLEMA 3.27 La banda transportadora de la figura 3.56, está descargando descargando arena con un ángulo ángulo de 9 = 4 0° respecto la horizontal. Si se desea que la arena caiga en el recipiente C, ¿Cuál la velocidad v0 con que la arena debe abandonar la banda?.
SOLUCION Planteemos la ecuación de la trayectoria, ecuación (3.44), p ara toda la trayectoria, A-C.
Figura Fig ura 3.56
A
y =(tg0)x
V.2v02 eos2 QJ
Tomando el punto A como el origen del sistema de coordenadas (figura 3.57) y eligiendo el eje y positivo hacia arriba, tenemos:
y = -h x = d Con estas consideraciones, la ecuación de la trayectoria se escribe;
-h = tg9 d -
gd' 2 v 02 eo s2 9
Despejando Vq
Va =
eos9 y2(h + dtg 9) Figura Figu ra 3.57 3.5 7
Reemplazando datos:
8m v 0 = ----------- x cos40°
9,8
m
m
— ---------- 5---------- ~ T = 6 , 7 ^ -
2x^5m+ 8mtg40 j
s
CAPÍTULO 3: 3: MOV IMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
177
PROBLEMA 3.28 Un bombero desea sofocar el incendio que ocurre en la ventana de un edificio que está a 10 m de altura. Para ello, dispone de una manguera de 5 cm de diámetro capaz de lanzar un chorro de agua con una velocidad velo cidad v0 = 15 m/s. Si lo mas que puede a cercarse cerc arse el bombero bom bero es a 8m del edificio, ¿Cuál es el ángulo con que el chorro de agua debe abandonar la manguera?. La manguera está a lm del suelo. SOLUCIÓN La figura 3.58 muestra que el bombero tiene tiene dos posible posibless ángul ángulos, os, 9 , y 9 2 , pa ra cons co nseg eg uir ui r su objet ob jetivo ivo.. Con Co n 9 j el chorro de agua alcanza a la ventana en su trayecto de subida, mientras que con 9 2 , lo hace h ace en su trayecto traye cto de ba jada, jad a, es decir, dec ir, luego lue go de habe ha berr salvado el punto de máxima altura. Planteando la ecuación de la trayectoria entre los puntos (1) y (2), tenemos:
Figura 3.58 gx
y = tg9 x
2Vn2 eos2
De la figura: y = H - h = 9m x = d = 8m Entonces la ecuación de la trayectoria se expresa:
y = tg 9 d -
Con
1 - —
-----
eos2 9
gd'
2vn 2 eos 2
2
= sec 9 , la ecuación ecu ación (3.142) resulta:
gd y = t g 9 d - —— s e c 2 9 2v0
Por trigonometría trigonometría
sec2 se c2 9 = 1-+-+- t g 2 9
178
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
Reemplazando esta ecuación en la anterior: gd2
y = d t g e - - ^ - T ( i +t + t g 2 o) 2v0 Ordenando: r gd2 + A - ^ T t g 2 0 - d t g e + — r + y = o
2v0
V2v0
j
Reemplazando datos: datos:
l,4tg l,4tg22 0- 8tg 0+ 0+10, 10,4=0 4=0 Resolviendo la ecuación cuadrática
tgO, =3,71 tg 0 2 =2,0 Finalmente
0, = arctg(3,71)= 75° 0 2 = arctg(2,0)= arctg( 2,0)= 63° 63° PROBLEMA 3.29 Para un proyectil en movimiento parabólico, demuéstrese que: a) El alcance horizontal es máximo para un ángulo de 45°. b) Se logra el mismo alcance horizontal con un ángulo de disparo de (45° + 0 ) ó de (45° - 0 ).). 71 c) El alcance horizontal es el mismo si el disparo se realiza con un ángulo 0 ó con (— — 0) 0) . SOLUCIÓN a) En la ecuación del alcance máximo: Y
max ma x
—
v n2 sen20
------ ----------------------------
g
Es claro ver que el alcance será máximo si la función seno toma su máximo valor, el cual es igual a 1, entonces:
sen20 =1 De aquí
0 = yarcsen(l) yarcs en(l) = -^90 -^ 90 ° J = 45°
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
179
b) Plan Pl ante tean ando do la ecua ec uaci ción ón del alca al canc ncee m áxim áx imoo para pa ra ambo am boss ángu án gulo loss (fig (f igur uraa 3.59). 3.5 9).
v02 sen2(45° + 0)
y
v 02 sen2(45° - 0) ~max2
Not N otam am os que qu e x maXi será se rá igual igua l a x maX2 siempre y cuando sen2(45° 4- 0 ) sea igual a sen2(45° - 0 ), ento entonc nces es::
sen2(45° + 0) = sen2(45° - 0) sen(90° +20) = sen(90° -20) Desarrollando p or trigonometría
sen90° cos20 + sen20 cos90° cos90° = sen90° cos20 - sen20 cos90° cos90° Pero:
sen90° = 1 cos90° = 0
Reemplazando estos valores en la anterior ecuación
(l)cos20 + sen20( sen20(O) O) = (l)cos20 - sen20( sen20(O) O) Obtenemos:
cos20 = cos29 Lo cual demuestra la igualdad de los alcances (figura 3.59).
Ejemplo. Si 0 = 2 5 °, el proyectil tendrá el mismo alcance si se dispara con 45° + 0 =70° ó con 45° - 0 =20°'. c) De igual modo, tomando tomando la ecuación del alcance máximo para ambos ángulos 2
vn sen20 vn sen2-----0 ^max 2
180
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
Igualando y desarrollando las funciones seno
sen20 = se n 2 ^ - 0 = sen(7i -20) = sen n eos 0 - sen20 eos eos n Pero:
sen n = sen |l 80° j = 0 cos7u - cos|l co s|l80 80 °J = -1 Luego:
sen20 sen20 =(O)c =(O)cos os20 20 - sen 20(-l) 20 (-l) sen20 = sen20 Con lo que se demuestra la igualdad de los alcances (figura 3.60).
n Ejemplo. Se tendrá el mismo alcance si si el disparo se se realiza con 0 = — = 3 0 ° , o con 6
— - 0 = — - — = — = 6 0 ° 2 2 6 3 PROBLEMA 3.30 En la base de una colina, cuyo grado de inclinación respecto el horizontal es 0 1 =20°, un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 pies/s y formando un ángulo 0 2 = 30 ° respecto respecto la colina (vea la la figura 3.61). 3.61). Calcúlese el el alcance R del proyectil a lo largo de la colina.
Figura 3.61
SOLUCION (i) Aplica Ap licando ndo las ecuacion ecu aciones es de caída libre y movimie movi miento nto uniforme: unifor me: La figura 3.62 permite ver que el alcance R puede descomponerse en los ejes "x" y "y" del siguiente modo:
x = RcosO] y = R sen 0 }
(O ( 2)
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
181
Por otro lado, la altura "y" "y" a la que hace impacto el proyectil está dada por:
y = vo sen( 0, + 0 2)t -^ -g t2
(3) (3)
La distancia horizontal "x" recorrida en el tiempo t se calcula mediante:
x = v0 cos(9] + 02 ) t
(4) (4)
Ecuación (1) en (4) y despejar tiempo t
Reos© eos©,, = v0 c o s ^ + 0 2)t 2)t RcosO, v o cos( cos(0, 0, + 0 2)
X
(5) (5)
Sustituyendo (2) y (5) en (3)
C
Rsen0, = v0 sen(0j + 02)
Vq
R co s0 c o s { 0 , + 0 2)J
R co s O, 2 \ v o c os o s (0 (0 1 + 0 2) 2),
Ordenando y despejando R „
K =
2 v 02 c o s f e , + 0 2 ) - - - - - - - - - - - - - sen0-
g
( 6)
eos 0,
Reemplazando datos: datos: 400
pies pie s \ 2
eos(20o +30° )
R= „ P le s 220 ono 32------eos s2
sen 30° = 3640pies
SOLUCIÓN (ii) Aplica Apl icando ndo la ecuación ecuaci ón de la trayectoria, trayectoria, entre entr e los punt pu ntos os O y P (ve (ver fig ura ur a 3.63). 3.63). y = tg(0, + 02)x De nuevo:
x = Rcos0¡ y = R sen 0 ¡
gx‘
2v02 cos2(0j + 02)
(7)
182
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
Sustituyendo estas expresiones en ecuación (7)
Rsen9, = tg( 61 + 6 2)Rcos8| )Rcos8| -
fR 9‘ 2 v 0 eos (0j + 0 2j
Ordenando y despejando R
2 v 02 cosí© cosí©,, + 02) 02 ) R =—5 v— — sen02 g eos 0, Que es idéntico a la ecuación (6). Luego: R = 3640 pies
SOL UC IÓN (iii (iii)) Por rotación de ejes: Si elegimos un sistema de coord enadas x' - y ' , con el el eje x' x' paralelo al plano d e la colina, y y' perpendicular a dicho plano (ver figura 3.64), entonces es posible descomponer la gravedad "g" respecto de este nuevo sistema del siguiente modo
gy. = gcos0j gx, =gsen©!
'
y
A continuación, podemos rotar el sistema de coordenadas x’-y’, de tal modo que x’ coincida con el el eje horizo hor izonta ntall y, y1, con el eje vertical, vertica l, como se muestra en la figura 3.65. En el eje x’, reconocemos un movimiento uniformemente desacelerado con:
= gsen0, Mientras que en el eje y’, se tiene un movimiento parecido al de caída libre con:
a y. = g cos0 co s0 j
x
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
El alcance R, será entonces:
183
y'
X’
Figura 3,65 3,65 Para el cálculo del tiempo total, tT, que en realidad es el tiempo de vuelo, previamente calcularemos el tiempo de subida, ts, mediante la ecuación: V fy f y. = V 0 y ' - V s
Con: Vf = 0 ;
)
v 0y. = v 0 sen 0 2 ; a y. = g c o s 0 ,
Esta ecua ción resulta:
0= v0 sen 02 - gc os 0 jts Despejando ts te —
sen02 g COS0,
Luego tT - 2 ts -
2v0 sen02 g cos0,
(9) (9)
Sustituyendo (9) en (8)
R = v0 eos0'
----
2
gsen0,
2v0 sen02 1V g c os o s 0, 0, y
Realizando operaciones
R
2v02 g
sen92 COS0,
co s8 2
se n 2 0 : 2 v q 2 - c n 0 sen 1 eos2 eos 2 0, g
CAPÍTULO 3: M OVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
184
\ g
l^ cos G,
c'os2 G,
2v 2
senG2
— A A
Por trigonometría:
cos(0 cos(0,, + 0 2) = cos0, c os0 2 - sen0, s en 02 Entonces:
g
eos2 eo s2 0
Que es idéntico a la ecuación ecuac ión (3.6), luego: R = 3640 pies. pies. PROBLEMA 3.31 Sobre un puente de 100 m de altura, está instalado un cañón que dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de 30° con el horizonte. En el instante que el cañ ón dispara, dispar a, a 4 km del puente pue nte se acerca ace rca un tanque moviéndose con velocidad constante vq . Si el resultado es que el pro yecti ye ctill destr de struy uyee al tanqu tan que, e, calcú ca lcúles lesee la velocidad del tanque.
h = 1OOm
d = 4 km
SOLUCIÓN
El tiempo que el proyectil permanece en aire se calcula con la ecuación:
Donde: Don de: h = 100 m ; v0 = 200 m/s m /s ; 9 = 30° ; g = 9,8 m/s2 m /s2 . Reemplaz Ree mplazando ando valores y resolviendo para t, obtenemos: t = 21,4 s En ese tiempo la distancia horizontal que el proyectil recorre es: x p = ( v 0 eo s0 ) t = 200 200 — xe os 30° x 21,4s = 3706,6m s
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
En el mismo tiempo, la distancia que el tanque recorre es: Xq = d - X p = (4000 - 3706, 6) m = 293 ,4 m Entonces la velocidad del tanque es: es: v„ =
”^
21,4s
= 13,7 " s
PROBLEMA 3.32 Desde un avión que vuela horizontalmente con una velocidad constante de vA = 600 600 km/h y a una altura de H = 1500 m, se suelta una bomba para impactar a un tanque que se mueve con una velocidad vq = 70 km/h en la misma dirección y sentido (ver figura 3.66). ¿Qué ángulo 0 debe formar la visual del piloto con el el horizonte en el instante de soltar la bomb bo mba? a?..
Figura 3.66
SOLUCION El tiempo de caída de la bomba se calcula con la ecuación: H = |g t : De aquí 2x 1500m
t =.
=17,5s
9,8-
H
Como la bomba abandona el bombardero con la misma velocidad de éste, en el tiempo t = 17,5s, recorre una distancia horizontal, horizo ntal, x A, dado por la ecuación de movimiento uniforme (figura 3.67).
Figura 3.67
x A = v *t „ km
x A =600
I
lOO lOOOm
lh
_
_ , , _
x ---------- x --------- x 17,5 s = 2916,7m h ikm 3600s
----
185
186
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
Mientras tanto, el tanque avanza una distancia, xq , igual igual a: Xq = V
km lOOO lOOOm lh x =70— x x xl7,5 xl7,5ss = 340,3 m q h l Km 3600s A
H
Por geometría del problema: taño = —
d
Con: d = x A —x
= 2 5 7 6 ,4 m , el ángulo ángulo 0 result resulta: a:
f 1500m , = arctan ---------------------- = 30,2 \ á J v2576,4i
0 = arctan —
3.12 VELOCIDAD RELATIVA 3.12.1 3.12.1 VELOCIDAD VELOCID AD RELATIVA RELATIV A EN UNA UNA DIMENSIÓN Cuando se informa del movimiento de un automóvil, digamos con una velocidad constante de 60 km/h, normalmente esta velocidad está medida respecto de un sistema de referencia en reposo, tal como una casa a la orilla del camino o una movilidad en reposo. Sin embargo, el movimiento del automóvil que nos ocupa puede también medirse respecto de un sistema de referencia en movimiento tal como una movilidad que se acerca. Respecto de este último sistema de referencia, el automóvil en estudio se mueve con una velocidad distinta a los 60 km/h, pero, a unque esta velocidad es distinta, seguirá siendo constante. constante. PROBLEMA 3.33 La figura muestra las velocidades de cuatro movilidades A, B, C, D respecto de un sistema de refere ncia inercial X - y , vA= 0, vB= 60 km/h, vc = - 30 km/h, vD= 40 km/h. Calcular: a) Las velocidades de B y C respecto de A. b) Las La s v eloc el ocida idade dess de A y C respe re spe cto de B. c) Las velocidades de A y B respecto de C. d) La velocidad de B respecto de D. e) La velocidad de D respecto de B. SOLUCIÓN a) La velocidad del móvil B respecto de A, llamada también velocidad de B relativa a A, se calcula como u na diferencia de velocidades, así: v
b a
=
v b
- v = ( 6 0 - 0 ) k m / h = 60 k m / h a
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
187
De igual modo la velocidad de C respecto de A resulta: v ca
~ v c ~ v a = ( - 3 0 - 0 ) k m / h = - 3 0 k m/ m/ h
En ambos casos la información se da de la manera habitual; en el primero, B se aleja de A, en el segundo, la movilidad C se acerca hac ia A. b )
Velocidad de A respecto de B v ab
= va ~vb
= ( 0 - 6 0 ) k m / h = - 6 0 k m/ m/ h
Visto desde B, la movilidad A tiene una velocidad en el sentido negativo del eje x, es decir, una persona en B siente que la movilidad A se aleja hacia atrás con una rapidez de 60 km/h.
Velocidad de C respecto de B v cb
=v c ~ v b
= (-30 (- 30 - 6 0 ) km/ km/ h = - 90 km/h km/ h
Un pasajero en B observa que la movilidad C se acerca moviéndose en el sentido negativo del eje x con una rap idez de 90 km/h. c) Velocidad de A respecto de C v ac =
v a
~ v c = ( 0 - ( - 3 0 ) ) k m / h = 3 0 k m/ m/ h
Para una persona en C, la movilidad A se mueve en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 30 km/h
Velocidad de B respecto de C v b c =
v b
- v c = (6 0 - (-3 0 ) )km )km / h = 90 km / h
Un pasajero en C observa que la movilidad B se acerca moviéndose en el sentido posit po sitiv ivoo del eje x con una un a rapid ra pidez ez de 90 km/h. km/ h. d) Velocidad de B respecto de D v b d =
v b
- v d
= ( 6 0 - 4 0 ) k m / h = 2 0 k m /h /h
El conductor de la movilidad D observa que B se acerca moviéndose en el sentido posit po sitiv ivoo del eje x con una un a veloc ve locida idadd de 20 km/h. km /h. e) Velocidad de D respecto de B v db = v d - v b = ( 4 0 - 6 0 ) k m / h = - 2 0 k m/ m/ h Para el conductor de B, la movilidad D se acerca moviéndose en el sentido negativo del eje x con una rapidez de 20 km/h.
188
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
También se tiene movimiento relativo en una dimensión cuando Ud. está a bordo de un bote a remos a mitad de un río, cuyas aguas tienen una velocidad vr . Entonces Ud. puede remar a favor del río, y su movimiento será aguas abajo (figura 3.68), o remar contra el río, consiguientemente su movimiento será aguas arriba. Es evidente que de por medio hay tres velocidades claramente diferentes. Primero, la velocidad del río, vr, segundo, la velocidad del bote respecto al río, v^, y tercero, la velocidad del bote respecto del muelle, v. Así, un observador en tierra (muelle) verá alejarse al bote, cuando éste se mueva aguas abajo, con una velocidad resultante que es la suma de la velocidad del bote (Vb) (Vb) y la veloc ve locida idadd del río (v r), es decir: deci r: (3.45)
V = Vu + V,
corriente V = Vu - V,
V = v b+ v r
AGUAS ARRIBA
AGUAS ABAJO
MUELLE
Figura 3.68
Por el contrario, si el bote se mueve aguas arriba, su velocidad resultante será la diferencia de velocidades (figura 3.68). 3.68). v = vk -v ,
(3.46)
3.12 3.12.2 .2 VELOC IDAD RELATIVA EN DOS DOS DIMENSIONES Ahora, supongamos que el bote atraviesa el río de un extremo a otro, como se muestra en la figura 3.69. 3.69. El bote parte del punto A, moviéndose con una velocidad constante respecto del río, Vb . Si el río estuviera en reposo, es decir no existiera corriente, el bote sin duda llegaría al punto B; sin embargo, debido a la corriente corriente del río, río, vr , observamos observamos que el bote bo te arrib ar ribaa a la otra otr a orilla ori lla en el punto pu nto C. Entonces podemos afirmar, que el Figura 3.69 movimiento del bote es un movimiento compuesto, cuya velocidad respecto del muelle, v, resulta de la suma vectorial: V = V,
+V
Con m ódulo ódulo V = - i/i/ - vb vb
y dirección
+ v r
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
Otro ejemplo de velocidad relativa, es el movimiento de un avión con velocidad respecto del aire aire,, vA , que orienta orienta su su proa proa en una dirección, digamos norte, en una región donde el viento sopla hacia el este con una velocidad vv , como se aprecia en la figura 3.70. Entonces, la velocidad resultante del avión (velocidad del avión respecto a tierra) tendrá una dirección noreste dado por:
0 - arct ar ctan an
N
189
N
o
E
O *
Con módulo
s
Figura 3.70 PROBLEMA 3.34 En aguas tranquilas "Popeye el marino" puede remar un bote a una velocidad constante de 5km/h. Si desea cruzar un río de 2km de ancho cuyas aguas tiene una velocidad de 3km/h. Se desea calcular: calcular: a) La dirección que debe orientar el el bote bote para llegar a un punto situado directam ente opuesto a su punto de partida. b) El tiem tie m po que emple em pleaa en cruzar cru zarlo. lo. c) La dirección que debe orientar el bote si desea desea cruzar el río en el el meno r tiempo tiempo posible. ¿Cuál es ese tiempo?. d) Con la dirección calculada en el inciso inciso (c). ¿A qué distancia distancia del punto B arribará el bote?. SOLUCIÓN El modo más conveniente de enfrentar estos problemas con velocidad relativa, es mediante una construcción vectorial del problema. a) Si llamam llam amos, os, Vb Vb , a la velo cidad cida d del bote, vr a la velocidad del río y v R a la velocidad velocidad resultante, la figura 3.71 muestra que el bote debe orientar su proa formando un ángulo 0 con la línea que une los punto A-B. De este modo, la velocidad resultante, que debe ser perp pe rpen endi dicu cula larr al río, es la sum a vect ve ctor oria iall de la velocidad del bote mas la velocidad del río. río.
Cuyo módulo se calcula por Pitágoras
corriente
Figura 3.71
190
CAPÍTULO 3: MO VIMIENT O RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
R - v V K
-
V, V,
y su ángulo por trigonometría 9 = arctan
r ,,
= arctan
( 3km / h i ----------- =36,9 l 4k m / h
b) Resp Re spec ecto to al mu elle, ell e, el bote bo te se m ueve ue ve con co n la velo ve locid cidad ad resu re sulta ltant ntee v R , y com co m o esta est a velocidad es constante, el tiempo empleado en cruzar el río de anchura d = 2 km, se calcula mediante la ecuación de movimiento uniforme. d = v Rt De aquí d 2 km . t = ----- = -------- = 0,5h = 30min vR , km h c) Para Par a cruz ar el río en el menor me nor tiempo posible, debe aprovecharse en forma efectiva toda la velocidad del bote, bo te, es decir, dec ir, el bote bot e debe de be orien or ienta tarr su proa pr oa perp pe rpen endic dicul ular arm m ente en te al río, río , como com o muestra la figura 3.72. De nuevo, la velocidad del bote respecto tierra es la suma vectorial de la velocidad del bote y la del río. V R = Vb + V r
Con módulo km
+ v.
+ I 3t )
■
5 ,8
km
y ángulo a = arctan arctan
- arct arctan an
= 31,0°
V b El tiempo empleado en atravesar el río con psta nueva orientación, se calcula mediante la ecuación: e = v„ t
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
191
En esta ecuación, e, es la distancia desde el punto de inicio de movimiento (A) hasta el punto pu nto de arribo arr ibo (C). Del triáng triá ngulo ulo de distan dis tancia ciass de la figura figu ra 3.72, 3.7 2, e resulta: resu lta: e = --------
cosa
Sustituyendo esta ecuación en la anterior y despejando t t =
------
-----
-
= -----
vRcosa
2k m -------- = 0,4h = 24min
eos31,0° 5 8 — eos31 h
Por el principio de independencia, la responsable de que el bote cruce el río es solamente la velocidad del bote Vb , la velocidad del río no contribuye al movimiento en ese sentido. Entonces, el tiempo para cruzar el río puede también calcularse mediante la ecuación:
d = vb t Despejando t t = _d_ = 2km_ = Q4h = 24m .n Vb
g km h
Que es el tiempo mínimo para cruzar el río, compare este valor con el obtenido en ( a ) . d) La distancia, x, que el bote recorre aguas abajo, es debido solam ente a la velocidad velo cidad del río; entonces, con el tiempo ya calculado t = 0,4 h, esta distancia resulta: x = v rt = 3 ^ - x 0,4h 0,4h = l,2 l,2km km h Distancia que también puede calcularse por consideraciones geométricas de la figura 3.72. x ta n a = —
-»
n x = d tan a = 2 km x tan tan 31 = 1,2 km
PROBLEMA 3.35 Una lancha lanch a viajando río arriba dejó atrás una balsa en el el punto A, luego de recorr er una cierta distancia dio la vuelta y volvió a encontrar a la balsa 4 km mas abajo del punto A. Si el tiempo total del viaje fue de 60 minutos y considerando consideran do que el motor moto r de la lancha trabajó p or igual en todo el trayecto. Hallar: a) El tiempo que demoró la lancha desde que dio la vuelta hasta encontr ar a la balsa. b) La veloc ve locida idadd del río. SOLUCIÓN La figura 3.73 es una representación gráfica del problema, en élla, A es el punto de inicio del movimiento, movimien to, B es el punto donde la lancha da la vuelta, y C es el punto de encuentro. en cuentro.
192
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
a) Designe mos x AB 3 la distancia distancia que recorre la lancha aguas arriba, arriba, x Bc a la que recorre aguas abajo, y x Ac como la distancia que se deja arrastrar la la balsa por el río; río; entonc es de la construcción geométrica del problema. + X a r = X BC
'■AB
( 1)
x a b >Que es Ia distancia que recorre la lancha contra la corriente del río, se calcula con la ecuación: ■ AB = ( V L - V r ) 1 AB
(2)
©
© AC
En esta ecuación, vLes la velocidad de la lancha, v r es la veloc idad del río, y tAB tAB es el tiempo empleado en recorrer la distancia xAB.
' BC
Figura 3.73
Por su parte xBC, se recorre a favor de la corriente, luego: X BC ~ ( V L + Vr ^BC
(3 )
Aquí, Aqu í, tBc tBc es el tiem tiempo po em pleado en cubrir cub rir la distancia xBC xBC. Com o la balsa se d eja arra strar po p o r el río, río , su velo ve loci cida dadd es la del de l río, río , y cubre cu bre la distan dis tanci ciaa x Ac en un tiem tie m po t Ac que qu e es igual al tiempo total tT, entonces: X AC = V r t T
(4)
Eviden Ev identem temente, ente, el tiempo total, tota l, tT, tT, debe ser igual a la sum a de los tiempos tiem pos tA t AB y tBC tBC = ^AB + * BC
(5)
Reemplazando las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) en (1) ( V L - v r ) l AB + V r ( t AB A B + t B C) C ) = ( v L + V r ) t BC
Realizando operaciones operaciones ~ V r t A B + Vpt AB + ^ B C = V Lt BC + y rl BC
Simplificando V L t AB = V r t
O bien
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
193
Esto significa, aunque a primera vista no sea tan evidente, que la lancha demora el mismo tiempo en ir del punto A al B, que de B a C. Luego, de la ecuación (5): (5): t T = t AB + t BC = 2 t ñC _ , 60 m in ^ bc bc - 2 T ~ “ - 30min ¿ 2 b) Para Pa ra el cálcu cá lculo lo de la velo ve loci cida dadd del río, v r, em pleam pl eam os la e cuac cu ació iónn (4). x AC 4 km , km v = —^ ~ = ------------ = 4 ----tT lh h PROBLEMA 3.36 En un río, cuyas aguas tienen una velocidad de 8 pies/s, se mueve un velero con una velocidad de 12 pies/s respecto del río. (a) ¿Qué tiempo empleará el velero en recorrer 3200 pies río abajo y luego regresar a su punto de partida?; (b) ¿Cuál es el tiempo empleado, si mas bien el velero recorre, 3200 pies río arriba y retoma a su punto de partida?. SOLUCIÓN Ya que las velocidades del velero y la del río tienen la misma dirección (aunque pueden tener sentidos contrarios) trabajaremos solamente en base a sus módulos. a) Cuando el velero viaja río abajo abajo (trayecto A-B), su velocidad resultante respecto de la orilla, es igual a la suma de la velocidad del velero respecto del río más la velocidad del río (figura 3.74). 3.74). V R = VL + v ,
( 1)
corriente
( 2)
Sustituyendo (1) en (2) y despejando tAB. d V, + V,
I
3200pies = 160 s pies pi es
(1 2 +8)
Vo = V, - V.
A x
©
Entonces el tiempo empleado en recorrer la distancia de A a B se calculará mediante la ecuación de movimiento uniforme. d = v RtAB tAB
= v, + v_
d = 3200 pies
Figura 3.74
194
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
En el retorno, trayecto B-A, la velocidad resultante del velero es igual a la diferencia de velocidades; de este modo: vR = vL ~ vr
(3 )
y el tiempo empleado en este tramo se calcula de la ecuación d = v R ‘ BA
H)
(3) en (4) y despejan desp ejando do t BA t B A = ^ ^ = - ^ Ei 7 = B 0 0 s vL- v r (l 2 _ 8 )P ) P í5 í5 ! S Finalmente, el tiempo de todo el viaje es: t T = t AB + t BA = (l6 0 + 800)s = 960 s Es decir decir::
t T =1 6m in
b) En este est e caso, cas o, la lancha lan cha se muev mu evee prime pri mero ro río arriba arr iba,, traye tra yecto cto A-C, A- C, luego lue go su veloc ve locid idad ad resultante (vea la figura 3.74) es: V R = V L - Vr
De nuevo, el tiempo empleado se calcula de la ecuación: d - V r ^a c Despejando Desp ejando tAc tAc y reemplazando reemplaz ando en la anterior anterio r ecuación d
tyvr1 —
3200pies —------------ : —800 S pies (12- 8) ---
En el trayecto de retomo C-A, la velocidad resultante y el tiempo empleado em pleado son: V R = V L + Vr
d d 3200pies ,^ t CA = ----- -----------------= ---------- — = 160 s ^
vL +vr
(i 2 + 8)P> )P>es
Finalmente, el tiempo para todo el viaje, como era de esperar, es igual al calculado en el inciso (a).
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
195
PROBLEMA 3.37 Un aviador dirige la proa de su avión en dirección de La Paz a Cochabamba con una velocidad constante de 360 km/h y espera llegar a esa ciudad en 50 min; min; sin embargo, el aviad or no tomó en cuenta la dirección y velocidad del del viento, de modo que el avión avión arriba a 20 km a un costado de Cochabamba y 5 minutos antes. ¿Cuál la velocidad y dirección del viento?. SOLUCION
S =20 =20Km
K --------- 3H
La representación gráfica gráfica del del problema es como como muestra la figura 3.75. Empezaremos el problema, calculando la desviación que sufre el avión de su trayecto esperado. Esta desviación, que designaremos por el ángulo 0 , define también la dirección dirección de la velocidad del avión respecto a tierra, esto es, su velocidad resultante VR. VR. Del triángulo de distancias de la figura 3.75
arctan — Vd
( 1)
En esta ecuación S = 20 km, y d es la distancia de La Paz Paz a Cochabamb a. Ya que el a'áó n viaja con velocidad constante v A=360 km/h, d se calcula mediante la ecuación:
d = vAt Con t = 50 min d= 36 0^ ^-x 50m inx ——— = 300 km h 60 min Reemplazando este valor en la ecuación (1)
f 20 km ^ 0 = arctan = 3,81 A continuación, podemos calcular la velocidad del viento, Vv , aplicando la ley de los cosenos a la figura 3.76.
V,
V v 2 = V A 2 + V R 2 - 2 V A V R COS0
De aquí
Figura 3.76 VA 2 +V R2 -2vAvRcos0
( 2)
CAPÍTÜLO 3: MO VIMIENTO RECTIL ÍNEO Y PARABÓL ICO
196
En la ecuación <- > ,1a velocidad resultante, resultante, v R , se calcula calcula del del trayecto La Paz - Punto de llegada, mediante la ecuación del movimiento uniforme (figura 3.75).
e = v Rt'
(3)
La aplicación de Pitágoras a la figura 3.77, permite calcular "e", que es la distancia de La Paz al punto de llegada, llegada, asi: e 2 = d . 2+ ,s 2 Despejando e y reemplazando valores: valores: = V d 2 + S2 e = -\/ -\/(300 (300km)2 km)2 +( 20 km )2 = 300,7km 300,7km El enunciado del problema señala que el avión llega al punto P, 5 min antes de lo esperado, entonces el tiempo t’empleado en cubrir esta distancia es t' = (50 - 5)min = 45 min. Despejando vRde la ecuación (3) y reemplazando los valores de e y t'
t’
300 .7km ,, km — = 40 0 ,9 lh h 45min x 60min
Con v R= 400 km/h, la velocidad del viento dado por la ecuación ecua ción (2) resulta: v v = -yj(36 0)2 +( 40 0, 9 ) 2 -2 (3 6 0 )(4 00 ,9)c os 3,81 3,81 0 = 48, 48,11 — Por su parte, la dirección direcció n del del viento puede calcularse planteando plantea ndo la ley de los los cosenos en la la figura 3.76 3.76 para el el ángulo ángulo a . V R2 = v a 2 + V v 2 ~ 2 v A v v c o s a
Despejando a y reemplazando valores: valores:
í' a = arcco arccoss
2A 2 , 2 v A + v „ —v d 2v
= 146,3
a v v
Si la velocidad del viento medimos a partir de la línea de unión La Paz - Cochabamba, podem pod emos os decir de cir que el viento vien to sopla sopl a forma for mando ndo un ángulo áng ulo cp calcu ca lculad ladoo m edian ed iante te la relació rela ción: n:
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNE O Y PARABÓLICO
197
PROBLEMA 3.38 Una columna de soldados que se extiende 2 km se mueve por una carretera a una velocidad constante de 5 km/h. El comandante que se encuentra en la retaguardia envía un motociclista con un orden a la cabeza de la columna. Después de 10 minutos el motociclista regresa. Calcule la velocidad del motociclista considerando que él avanzó en ambas direcciones con la misma velocidad. SOLUCIÓN Notac No tación ión::
x = 2 km (colu (c olum m na de soldad sol dados) os) V| = 5km/h (velocidad (veloc idad de la columna colum na de soldados) v2 = ? (velocidad (veloc idad del motociclista) moto ciclista)
En el viaje de ida, el motociclista cubre los 2 km con la diferencia de velocidades x = ( v 2 ~ v i )*i )*i En el viaje de retomo, la misma distancia de 2 km se cubre con la suma de velocidades x = ( v 2 + v, ) t 2 La suma de los los tiempos t, y t2 constituye el tiempo total tT= lOmin para el viaje com pleto t, + t 2 = t T Despejando tt y t2 de las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la tercera: x V2 —V|
x V2 + V|
----------- + ------------ --
tT
Resolviendo para v2 obtenemos: v2 = 25 km/h. km/h.
*zy4/ites ?e dos 'ptobú.emas pzofiuestes tómase un buen descanso!í!
198
CA PÍTUL O 3: 3: MO VIMIENTO R ECT ILÍNEO Y PARA PARA BÓLICO
3.13 PROBLEMAS PROPUESTOS
♦ ♦ ♦
♦ ♦
Re presen te gráficame gráficame nte el problem a, po r muy simplifica simplificado do que sea sea esíe esíe esquema, le será de mucha utilidad. Realice un listado listado claro de datos e incógnitas. incógnitas. En lo posible, resuelva el ejercicio en términos algebraicos, sólo sólo al final reemplace los datos numéricos; esto le evitará perder unidades en el camino. T rab aje en un solo solo sistema sistema de unidades, si si los los datos están en distintos sistemas, realice las conversiones adecuadas. Luego Luego de ob ten er un resultad o num érico, deténgase a pe ns ar si si éste es coherente o no, por ejemplo, si su resultado señala que en 2 horas Ud. p u e d e d a r la v u e l ta a la ti e r r a c o n d u c ie n d o u n a u to m ó v il a u n a v e lo c id a d modesta de 60 60 km/h, seguramente h abrá cometido cometido algún algún e rro r.
3.1 3.1 a) ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero y sin embargo estar acelerando?. b) ¿Pue ¿P uede de un cuerp cu erpoo tene te nerr velo v elo cida ci dadd haci ha ciaa el N orte or te m ientra ien trass su acel ac eler erac ació iónn es hacia ha cia el Sur. c) ¿Cree Ud. posible que en cierto instante dos automóviles tengan la misma aceleración pero pe ro dist di stin intas tas veloc ve locid idad ades? es?.. d) ¿Cree Ud. posible que en cierto instante dos automóviles tengan la misma velocidad pero pe ro dist di stin intas tas aceler ace leraci acion ones es?. ?. Resp. Re sp. a) Si ; b) Si ; c) Si ; d) Si 3.2 El primer hombre que voló en un aeroplano a motor, Orville Wright, recorrió alrededo r de 47 m en 12 s. ¿Cuál fue su velocidad media expresada en km/h?, en pies/s?, en millas/h?. Resp. 14,1 14,1 km/h km/ h ; 12,8 pies/s pies /s ; 8,8 millas/h millas /h 3.3 Ud, sale de su domicilio y realiza el siguiente recorrido: 50 m hacia el este en 45 s, 80 m en dirección E 60° N con un tiempo de 2 minutos, se detiene en un puesto de periódicos por 2 minutos y medio, reinicia la marcha con 240 m hacia el Sur empleando para ello 3 minutos. Finalmen te, recorre 75 75 m con dirección E 30° 30° N durante 1 minuto y medio. a) ¿Cuánto es su espacio recorrido? b) ¿Cuá ¿C uánt ntoo es su desp de spla laza zami mien ento to neto? net o? c) ¿Cuál es su velocidad media? d) Si a continuación retoma a su domicilio, ¿cuál es su velocidad media para todo el viaje?.
Resp. a) 445 m ; b) 204,4 204, 4 m ; c) 0,35 m/s ; d) 0
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
199
3.4 Una moto de carrera corre por una pista cuya longitud total está dividida en 4 tramos de 5km cada uno. El primer tramo es recorrido con una velocidad media de 100 km/h, el segundo y tercero con 120 km/h, el cuarto con 150 km/h. (a) ¿Cuál es la velocidad media de la moto para todo el recorrido?, (b) ¿Cuál es la velocidad promedio?. Resp. Resp . a) 120 km/h km /h ; b) 122,5 km/h km /h
3.5 Un ciclista al viajar de una población a otra cubre una distancia de 15 km en un tiempo de 30 minutos, si en el viaje de retomo emplea 45 minutos, calcule la velocidad media: (a) Para el viaje de ida, (b) Para el viaje de retomo, (c) Para todo el viaje, (d) ¿Cuál es la velocidad promedio?. Resp. Re sp. a) 30 km/h km /h ; b) 20 km/h km /h ; c) c ) 0 ; d) 25 km/h
3.6 Un sofisticado programa de computación determinó que el 13 octubre de 1960 se produjo una explosión nuclear dando lugar al nacimiento de una nueva estrella, cuya distancia estimada a la tierra es de 2500 años luz. ¿Dentro de cuántos años (respecto de 1997) se podr po dráá ver ve r la luz de esa nuev nu evaa estrell estr ella?. a?. Resp. Alrededor de 2464 años
3.7 Suponga que Ud. está conduciendo su automóvil último modelo a una velocidad de 120 km/h, si por mirar por el espejo retrovisor ha separado la vista de la carretera por 2 segundos. ¿Cuánta distancia habrá recorrido en ese tiempo?. Resp. 66,7 m
3.8 Un tractor viajando con velocidad constante en una carretera rectilínea ha empleado 10 minutos en recorrer 5 km. a) ¿Cuál es la velocidad del tractor?, b) ¿Cuánto tiempo adicional requiere para cubrir los próximos 3 km?. Resp. Resp . a) 30 km/h km /h ; b) 6 min
3.9 La luz solar, viajando a 300 000 km/s, emplea alrededor de 8,3 min en llegar a la tierra, a) ¿Cuál es la distancia tierra tierra - sol?, b) ¿En qué tiempo tiempo llegará a la tierra tierra un rayo de luz de la galax ia Andróm Andr ómeda, eda, si su distancia se es tima en 2 x 10 22 m ?. ?. Resp. Res p. a) 1,49 1,4 9 x 10 8 km ; b) 2,11 x 10 6 años
3.10 En cierto instante to = 0, dos automóviles A y B pasa simultáneamente por el punto P con velocidades constantes de 45 y 60 km/h respectivamente. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para pa ra que qu e la sepa se para ració ciónn entre en tre ellos ell os sea de 2 km?. km? . Resp. 7,8 min
200 20 0
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
3.11 En una dramática persecución de sobrevivencia, los animales A y B están corriendo a sus máximas velocidades vAy vBrespectivamente, ver figura. En un instante to = 0, B está a una distancia distancia d por delante delante de A. A. Con vA > vB , obténgase el tiempo en que el felino alcanza a su presa.
3.12 Dos camiones A y B están viajando en el mismo sentido en una carretera rectilínea con velocidades constantes de 70 y 50 km/h respectivamente. Si para el instante to = 0, la movilidad B se encuentra 600 m por delante de A, C alcúlese el tiempo tiempo de encuentro. Resp. 1,8 min
5.13 En una trayectoria rectilínea, dos movilidades A y B están viajando en sentidos contrarios con velocidades constantes de 45 y 15 pies/s respectivamente. Para un determinado tiempo (to = 0) la separación entre ambas es de 1200 pies, ¿Calcúlese el tiempo de encuentro?. Resp. 20 s
3.14 Dos automóviles A y B están corriendo en una carretera horizontal con velocidades constantes de 60 y 45 km/h respectivamente. En un instante determinado (to =0), el automóvil B está 500 m por delante de A. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el automóvil A se coloque a 700 m por delante de B?. B?. Resp. 4,8 min
3.15 Dos camiones A y B viajan en el mismo sentido en una carretera recta con velocidades constantes de 50 y 30 pies/s respectivamente. En cierto instante to =0, la movilidad B está 1600 pies por delante de A. ¿Para qué tiempo la separación entre ellos será de 200 pies?. Resp. 70 s (A está detrás de B) ; 90 s (A está delante dela nte de B)
3.16 Dos movilidades A y B están viajando en sentidos contrarios en trayectorias rectilíneas con velocidades constantes de 30 y 10 m/s respectivamente. Si para el instante to = 0, la distancia entre las movilidades es de lkm. Calcúlese el tiempo para el cual la separación entre ellos será de 400 m. Resp. 15 s (cuando (cuand o se acercan); acercan ); 35 s (cuan do se alejan)
(3717 Dos estaciones A y B distan entre sí 100 km. De A sale un tren que habitualmente llega a B en 2 h; de B sale otro hacia A donde espera llega r en hora y media. a) ¿Cuánto tiempo después de haber parti pa rtido do sim ultán ul tánea eam m ente en te cada ca da uno de su estación se encuen tran lado a lado?. b ) ¿A qué distancia de la estación de A ocurre el cruce?.
Resp. a) 51,6 min ; b) 43 km
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
201
3.18 Los automóviles A y B están viajando en la misma dirección y sentido con velocidades constantes como se muestra en la figura. Calcule la distancia entre los automóviles lOs después del instante en que estuvieron separados 500m. Resp. 450m
3.19 Para determinar la velocidad de un delfín se hizo la siguiente experiencia: Se instaló una cámara de cine para pa ra fotog fo tog rafia ra fiarr a travé tra véss de una un a vent ve ntan anaa en un costado del tanque donde el delfín pasaba inmediatamente antes de saltar. Una serie de imágenes mostraba el hocico del delfín entrando por el lado izquierdo de la imagen; ocho imágenes mas adelante, su cola estaba aproximadamente en la misma posición. La cámara realizaba las fotografías a un ritmo de 24 imágenes por segundo. Se sabía que la longitud del delfín es de 1,9 m. ¿Cuál era la velocidad del cetáceo?. Resp. 5,7 m/s
3.20 Un tren de 200 m de longitud, viajando con velocidad constante de 60 km/h, emplea 36 s en atravesar completamente un puente. ¿Cuál es la longitud del puente?. Resp. 400 m
3.21 Mediante un radar se sigue el movimiento de un automóvil sobre una carretera recta. Si la velocidad del auto es de 100 km/h, y una longitud de 5 km en carretera equivale a 18 cm en la pantalla del radar, calcúlese la velocidad en mm/s del punto luminoso que representa al automóvil. Resp. 1mm/s
3.22 Un tren y una motocicleta viajan en el mismo sentido en vías paralelas de un trecho rectilíneo. Ambos tienen movimiento uniforme y la velocidad de la moto es el doble de la velocidad del tren. Despreciando las dimensiones de la motocicleta y sabiendo que el tren tiene una longitud de 120 m. Calcúlese el espacio que recorre la moto desde que alcanza al tren hasta que lo rebasa. rebasa. Resp. 240 m
3.23 Un camión, a partir del reposo, recorre 64 m en 8 s. (a) ¿Cuál es su velocidad al cabo de 15 s?, (b) ¿En qué tiempo habrá alcanzado una velocidad de 90 km/h?. Resp, Res p, 30 m/s ; 12,5 s
202
CA PÍTULO 3: MO VIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
pa rtirr del reposo rep oso,, un cabal ca ballo lo luego lue go de reco re corr rrer er 100 m alcanza alcanza una 3.24 A parti velocidad de 30 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración?, b)¿Qué distancia adicional recorre en los próximos 10 s?, c) ¿Cuál es el tiempo total transcurrido?. Resp. Resp . a) 4,5 m/s2 ; b) 525 m ; c) 16,7 s
3.25 En determinado instante t0 = 0, la velocidad de un motociclista es de 36 km/h. Si a partir de ese instante instante acelera a razón de 1,3 1,3 m/s2 , ¿Cuánto tiempo le le lleva lleva duplicar su velocidad?, ¿Cuánta distancia ha cubierto en ese tiempo?. Resp. 7,7 s ; 115 ,4m
3.26 Los mejores coches deportivos, a partir del reposo, pued pu eden en alca al canz nzar ar una un a veloc ve locida idadd de 100 km /h en aproximadamente 5 s. (a) ¿Cuál es la aceleración del automóvil?, (b) ¿Cuánto representa esta aceleración comparada con la aceleración de la gravedad terrestre?. terrestre?. Resp. Re sp. a) 5,6 m /s2 ; b) 0,6 g
3.27 Una nave espacial típica puede alcanzar una velocidad de 1200 km/h a los 25 s de su despegue, (a) ¿Cuál es la aceleración de esta nave?, (b) ¿Cuánto representa esta aceleración comparado con g?. Resp. a) 13,3 13,3 m /s2 ; b) 1,4 g
automóv il corre con una velocidad velocid ad Vo Vo , el el condu ctor aplica los 3.28 En el instante que un automóvil frenos comunicándole al móvil una desaceleración “a” , entonces el automóvil se detiene en una distancia X| . Si la velocidad del automóvil al momento de aplicarse los frenos fuera el doble de Vo , la distancia X2 a la que se detendrá el automóvil será el doble?, ¿el triple?, ¿la mitad?, ¿por qué?. Resp. Re sp. x2 = 4x! 4x!
3.29 En una carretera densamente nublada un camión viaja a 67 km/h, de pronto, a 30 m de distancia, el conductor divisa un árbol caído a lo ancho de toda la vía. Inmediatamente aplica los frenos comunicándole al camión una desaceleración máxima de 5,0 m/s2 (un frenado demasiado brusco causaría que los neumáticos patinen y el vehículo tardaría más en detenerse), a) ¿Se logrará evitar el choque?, b) ¿Qué desaceleración sería necesaria para par a evita ev itarr el choqu ch oque?. e?. Resp. b) No ; b) - 5,8 m/s2
3.30 Un camión está viajando en trayectoria rectilínea con 126 km/h de velocidad, Si el conductor desea detener el camión en exactamente 250 m. Calcúlese: a) Su desaceleración, b) El tiempo empleado en esta operación.
Resp. a) - 2,45 m/s2 ; b) 14,3 14,3 s
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
203
disminuye su velocidad velocidad 3.31 Un coche de carrera (fórmula - 1) disminuye desde 300 km/h hasta 100 km/h en 644 m. Si continua disminuyendo su velocidad a ese ritmo, a) ¿Cuánta distancia adicional recorre hasta detenerse?, b) Cuánto tiempo transcurre en todo el proceso?. proceso?. Resp. Resp . 80,4 m ; b) 17,4 s
3.32 Una partícula que ha iniciado su movimiento desde el reposo, está moviéndose en línea recta y aumenta su velocidad de 12 a 18 cm/s entre el 4t0 y 6t0 segundo de su movimiento, (a) ¿C uál es su velocid ad en el 10mo segundo segund o de su su movimien mo vimiento?, to?, (b) ¿Q ué distancia, medido desde el origen, habrá cubierto hasta entonces?. Resp. Resp . 30 cm/s ; 150 cm
3.33 En determinado instante to = 0, una partícula posee una velocidad de 8 m/s en la dirección negativa del eje x, si sobre ella se se aplica una aceleración de 2 m/s2 en la dirección positiva del eje x. (a) ¿Dentro de cuánto tiempo su velocidad será de 10 m/s en la dirección positi po sitiva va?, ?, (b) (b ) ¿Cuá ¿C uánta nta distan dis tancia cia habrá ha brá reco re corri rrido do hasta ha sta enton en tonce ces? s?,, (c) ¿Cuál ¿C uál es su desplazamiento neto?. neto?. Resp. Re sp. a) 9 s ; b) 41 m ; c) 9 m
3.34 Una partícula moviéndose con aceleración constante, emplea 3s en pasar por dos puntos de control A y B que distan entre sí 24 m. Sabiendo que el primer punto lo pasó con una velocidad de 5 m/s, ¿Cuál es su velocidad al pasar por el segundo punto?. Resp. Re sp. 11 m/s
3.35 Una partícula se mueve en la línea recta ABC con movimiento uniformemente acelerado. En el punto A su velocidad es de 2 pies/s, y en el punto B de 6 pies/s. Sabiendo que la distancia BC es el doble de la distancia AB, Calcúlese la velocidad en el punto C. Resp. Resp . 10 pies/s longitud parte del reposo co n una aceleració n de 2 m/s2 m/s 2 . A la orilla de 3.36 Un tren de 69 m de longitud la vía y a una distancia de 100 m de la cabeza del tren se encuentra un ferroviario en pleno ple no desca de scanso nso.. Calcú Ca lcúlen lense se las veloc ve locida idade dess de la cabeza cab eza y de la cola col a del tren tre n cuan cu ando do pasa pa sann frente fre nte al ferrov fer roviar iario, io, calcú ca lcúles lesee tam bién bié n el tiemp tie mpoo que tarda tar da el tren en pasa pa sarr por po r delante de él. Resp. 20 m/s ; 26 m/s ; 3 s 3.37 En cierto instante un cuerpo tiene una velocidad inicial de 20 pies/s y está sometido a una desaceleración de 4 pies/s2. (a) ¿Cuál es su posición al cabo de 5s?. (b) ¿Para qué tiempo está a 18 pies del punto de partida?, (c) Luego de cuánto tiempo vuelve a pasar por el punto pu nto de partid pa rtida? a?,, (d) (d ) ¿Cuán ¿C uándo do la par p artíc tícula ula está m om entán en tánea eam m ente en te en reposo rep oso?. ?. Resp. Re sp. a) 50 pies pie s ; b) t, = 1 s ; t2 = 9 s ; c) 10 s ; d) 5 s
3.38 Una partícula que se mueve con aceleración constante, pasa a través de dos intervalos consecutivos conse cutivos x¡ x¡ y x2 cada uno de 10 metros. C alcule la acelerac ión de la partícula, si el prim pr im er interva inte rvalo lo lo cubri cu brióó en 1 s, y el seg undo un do en 2 s. Resp. - 3,3 m /s2
204
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
3.39 Una motocicleta, cuya velocidad inicial no es necesariamente cero, viajando con movimiento uniformemente acelerado, en 3 s recorre 24 m, en 6 s, 66 m. ¿Qué distancia recorrerá en 9 s?. Resp. 126 m
3.40 Un peatón corre con su máxima velocidad posible a 6,0 m/s para abordar un autobús detenido ante un semáforo. C uando está a 25 metros del mismo, la luz cambia y el autobús acelera uniformemente a 1,0 m/s2. (a) ¿Alcanza el peatón al autobús?, (b) si no es así, determine la distancia a la que desiste el el peatón (máxim a aproxim ación al autobús). Resp. a) No ; b) a 7 metros metro s del autobús
3.41 Probando el rendimiento de un automóvil, se determinó que éste, partiendo del reposo, puede alcanzar una velocidad de 24 m/s en 5s; suponiendo que a continuación corre a esta velocidad los próx pr óxim imos os 15 s, para pa ra luego lue go dism dis m inu ir paula pa ulatin tinam amen ente te su velocidad hasta quedar en reposo en lOs adicionales. Calcúlese la distancia total recorrido por este automóvil. Resp. 540 m Un automóvil que ha sobrepasado el límite de velocidad permitida en una autopista, está corriendo con una velocidad constante de 120 120 km/h. Al pasar por un punto de control vial, vial, el policía se percata de la infracción e inicia su persecución al cabo de 5s. A partir del reposo, acelera su motocicleta motocicleta por un tiempo de 3Os 3Os, para luego continuar con la la velocidad lograda. Si el infractor es alcanzado luego de 5 minutos adicionales, (a) ¿Cuál fué la aceleración que imprimió el policía?, (b) ¿Qué velocidad llevaba al momento de alcanzar al automóvil?, (c) ¿Cuál la distancia total recorrida?. Resp. a) 1,18 m/s2 m/ s2 ; b) 127,4 km/h km /h ; c) 11,2 km
3.43 Un ciclista está probando su velocidad dando una vuelta al velódromo, los datos obtenidos son: Inicia su movimiento en el punto A y acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 18 m/s cubriendo una distancia d£ 54 m, corre a esta velocidad los próximos 106 106 m hasta terminar la recta del velódromo y a bordar la curva peraltada; al tomar esta curva disminuye su velocidad de 18 a 12 m/s en una distancia de 40 m. A continuación, acelera los siguientes 30 m hasta alcanzar nuevamen te su velocidad máxima que es de 18 m/s. Finalmente cubre los 130 130 m que le . separa de la meta m anteniendo constante la velocidad de 18 m/s. ¿Cuál es el tiempo total empleado p or el ciclista?.
Resp. 23,8s
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
205
3.44 En el instante to = 0, dos movilidades A y B, que inicialmente están separados 1000 pies, parte pa rtenn sim ultán ult ánea eam m ente en te uno un o hacia hac ia el otro con acele ac elerac racion iones es de 12 pies pi es/s /s22 y 8 pies pi es/s2 /s2 respectivamente. Calcúlese: a) El tiempo de encuentro, b) Las velocidades de ambas movilidades en el momento del encuentro. Resp. a) 10 s ; b) vA= 120 pies/s ; vB= vB = 80 pies/s pie s/s
3.45 Dos automóviles A y B están viajando en el mismo sentido en una carretera rectilínea. El prim pr imer eroo (A) con veloc vel ocida idadd const co nstan ante te de 20 m/s, y el segund seg undoo (B), (B) , para pa ra el tiem tie m po t0 = 0, pose po seee una un a veloc ve locida idadd de 10 m/s y una acele ac elerac rac ión de 2 m /s2. /s2. Si en t0 = 0 el autom au tom óvil óv il A está 400 m delante de B. Calcúlese el tiempo de encuentro. Resp. 25,6 s
3.46 Dos automóviles A y B están viajando en sentidos contrarios en una carretera rectilínea. El primero (A) con velocidad constante de 20 m/s, y el segundo (B), para el tiempo to = 0, posee po see una un a velo ve locid cidad ad de 10 m /s y una un a acele ac elerac ración ión de 2 m/s2 m/ s2.. Si en t0 = 0 la sepa se para raci ción ón de ambas movilidades es de 400 m. Calcúlese el tiempo de encuentro. Resp. 10 s 3.47 En determinado instante t0 = 0, dos movilidades A y B pasan por un punto de control con velocidades de vA = 50 km/h , v R = 60 km/h y aceleraciones de aA = 1,5 m/s2 , a B = 2,5 2,5 m/s2. ¿Dentro de cuánto tiempo la separación entre ellos será de 500 m?. Resp. 29 s
3.48 El camión A y el automóvil B se aproximan uno hacia el otro como muestra la figura, habiendo una distancia de 2km cuando t = 0. El camión está acelerando hacia la derecha derecha a razón razón de de aA= 0,2 0,2 m/s2 y en t = 0 su velocidad es vA = 15 m/s. m/s. El automóvil está acelerando hacia la izquierda a razón de aB = 0,5 0,5 m/s2 y en en t = 0 su velocidad es vB= 20 m/s. Calcule: a) El tiempo de encuentro, b) La posición xm sobre la autopista donde los vehículos se encuentran uno al otro. Resp. a) t = 40,6 s ; b) xm= 774m determinado instant instantee to = 0, Las movilida movilidades des-- A' y B pasan ^ t u n p u n tó le "co "cont ntro roll con 3.49 En determinado - ' velocidades de 10 y 20 m/s respectivamente, y aceleraciones de 3 y 2 m/s2 respectivamente. ¿ Dentro de cuánto tiempo la separación entre ellos será de 4£*rfí?. Resp. Resp . 8 s y 12 s cuando cuand o B está delante de A ; 24 s cuando A está delante de B
3.50 ¿Para el problema 3.49 calcúlese el tiempo para el cual la separación de B respecto de A sea máxima (B está delante de A), ¿cuánto es esa separación máxima?. Resp. Res p. 10 s ; 50 m
*3.51 ¿En qué tiempo las movilidades del problema 3.49 se encontrarán nuevamente lado a lado?.
Resp. 20 s
206
CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
3.52 El automóvil de policía P inicia su movimiento cuando un automóvil A lo pasa a una velocidad constante de 60 mph (ver figura). El automóvil de policía acelera a razón de 8 pies/s2 . Calcule Calcule la velocidad del automóvil P y la distancia que habrá recorrido hasta alcanzar al automóvil A. Resp. vp= 120 mi ll /h ; xP= 0,367 0,367 mili mili
A
Autopista
V
i
VA ------
K
-n -
É5
P# N
3.53 Dos estudiantes de físicg A y B deciden competir en una carrera de 100 m planos. El prim pr imero ero de ellos, ello s, que goza goz a de una salid sa lidaa espec esp ectac tacula ular, r, acele ac elera ra los prim pr imer eros os 16 m a razó ra zónn de 2,0 m/s2 , a partir de entonces entonces corre con la velocidad velocidad lograda hasta llegar a la meta. El segundo competidor, más conservador en su su salida, salida, acelera a razón de 1,6 1,6 m/s2 los prim pri m eros er os 26 m, a partir pa rtir de los cuale cu ales, s, se m ueve ue ve con veloc ve locida idadd cons co nstan tante te hasta ha sta llega lle garr a la meta. (a) ¿Cuál de ellos ganará la competencia?, (b) ¿Cuál la diferencia de los tiempos totales?. Resp. a) El estudiante estudia nte B ; b) A t = 0,7 s 3.54 Un automóvil y un camión viajan por una carretera rectilínea con iguales velocidades de 72 km/h, cuando el auto está a 5 m detrás del camión comienza a acelerar a razón de 2,5 m/s2 hasta colocarse 55 m delante del camión. Sabiendo que la máxima velocidad alcanzada por el automóvil fue de 90 km/h, determine el tiempo mínimo que demora la operación.; Resp. Re sp. 13 s 3.55 Un automóvil está detenido ante un semáforo esperando que cambie a luz verde, cuando esto ocurre, acelera a razón razón de 2,0 m/s2 . Transcurridos 5,0 s, un camión que viaja con velocidad constante de 75 km/h lo rebasa. El automóvil mantiene su aceleración hasta alcanzar una velocidad de 90 km/h, a partir de entonces, viaja a esa velocidad, (a) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que el semáforo cambió a luz verde hasta que el automóvil rebasa al camión?, (b) En ese instante, ¿Cuál es la distancia de las movilidades al semáforo?. Resp. a) 18,5 18,5 s ; b) 306,25 306, 25 m 3.56 Un automóvil está detenido ante un semáforo esperando que cambie a verde, cuando esto ocurre acelera acele ra a razón de 6 pies/s2 durante 10 s, a partir del cual cual viaja con veloc idad constante. En el instante que el automóvil inicia su movimiento, un camión que viajaba con velocidad constante en el mismo sentido, lo rebasa. Si el automóvil encuentra al camión al cabo de un minuto, calcúlese la velocidad del camión. Resp. 55 pies/s 3.57 En los juegos Olímpicos de Atenas 2004, el Norteamericano Gatlin ganó la medalla de oro en los 100 m planos con un tiempo de 9,85 s. Si Gatlin aceleró los primeros 15 m y mantuvo constante hasta llegar a la meta la velocidad lograda en esos 15 m. Calcule: a) La aceleración que imprimió Gatlin, b) La velocidad máxima alcanzada. Resp. a) 4,54 m/s2 ; b) 11,67 11,67 m/s
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.58 La historia del movimiento de un automóvil es como sigue: En un instante t0 inicia su movimiento desde el reposo y acelera con una aceleración a durante un tiempo ti hasta alcanzar una velocidad V|, a continuación viaja a esta velocidad durante un tiem po t 2 , se aplican los frenos y el automóvil se detiene en un tiempo t3. Con esta información bosq bo sque ueje je los gráfi gr áfico cos: s: a) A celer ce lerac ación ión - tiem tie m po, po , b) V eloc el ocida ida d - tiem tie m po, po , c) Desplazamiento - tiempo.
3.59 La historia del movimiento de un automóvil se muestra mediante su gráfica x vs. t. A partir de élla, bosqueje bosq ueje las gráficas: a) v vs. t. b) a vs. t.
3.60 La figura adjunta, muestra la historia del movimiento de un vehículo mediante su gráfica velocidad vs. tiempo. A partir de ella, bosqueje las gráficas: a) Desplazamiento - tiempo. b) A celer ce lerac ación ión - tiemp tie mpo. o.
3.61 La siguiente figura muestra las gráficas de
x (m)A
espacio - tiempo para dos partículas A y B. Calcule la velocidad de cada una de ellas para un tiempo t = 4 s. Resp. vA= 3,3 m/s ; v B= 0
3.62 En la figura adjunta, se muestra los gráficos de ciclistas C¡ y C2 . velocidad - tiempo para dos ciclistas Ambos inician sus movimientos desde el reposo y describen trayectorias rectilíneas con el mismo sentido. Con base en los datos de la figura, determine: a) La aceleración de cada cada ciclist ciclistaa b) El tiem tie m po para pa ra el cual tiene tie nenn la misma mis ma velocidad c) La distancia distancia de separación para el tiempo calculado en b). b).
Resp. Resp. a) a) a, = 0,4 m/s2 ; a2 = 0,48 m/s2 ; b) 6 s ; c) 1,2 1,2 m
208
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
3.63 La siguiente figura, muestra la gráfica velocidad - tiempo de un tren que viaja entre dos estaciones A y B. (a) Cuál es la distancia total recorrida por el tren?, (b) ¿Cuál es su velocidad media para todo el recorrido?, (c) Construya las gráficas x vs. t y a vs. t. Resp. Re sp. a) 500 m ; b) 17 m/s 3.64 La figura de al lado, muestra la gráfica velocidad-tiempo de cierto automóvil. a) ¿Cuál es el espacio total recorrido por po r el vehíc ve hículo ulo?. ?. b) ¿A qué distancia del punto de parti pa rtida da qued qu edaa el autom au tom óvil óv il finalm fin alm ente en te en reposo?. c) Calculando la aceleración y velocidad para cada tramo construya las gráfic as a vs.t y v vs. vs. t.
(S) (S)
Resp. a) 455m ; b) 305m 3.65 La figura adjunta, muestra la gráfica aceleración-tiempo de una partícula que inició su movimiento desde el reposo y se mueve en la dirección del eje x. A partir de dicha gráfica, bo sque sq ueje je las gráfica grá ficas: s: a) v vs. t b) x vs. t.
3.66 Con relación a la anterior pregunta, ¿Cuál es la velocidad final de la partícula?, ¿A qué distancia del del origen origen se se encuentra encuentra finalmente la la partícula?. . Resp. 32 m/s ; 520 m 3.67 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 . ¿Cuál es su aceleración en su punto de máxima altura?. Resp. a = g = 9,8 m/s2 3.68 Desde el techo de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba un objeto A con velocidad v0. En ese mismo instante se lanza hacia abajo un segundo objeto B con la misma velocidad v0. ¿Cuál de ellos llegará al suelo con mayor velocidad? ¿Por qué?. Resp. Los dos llegan con la misma velocidad 3.69 La máxima altura alcanzada por un cuerpo que se se lanza lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad vo, es H. Si la velocidad se aumenta al doble ¿Su máxima altura aumentará también al doble?, ¿Al triple?, ¿Por qué?. Resp. Se cuatruplica
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
209
3.70 Una piedra se suelta desde una altura H, entonces llega al suelo con una velocidad V, ¿Desde qué altura H' debe soltarse para que llegue al suelo con doble velocidad?. Resp. H' = 4H
3.71 Un turista que está tomando fotografías desde el puente de las Américas. por un pequeño descuido deja caer su máquina fotográfica; si la altura del puente se estima en 1Ó0 m, (a) ¿A qué distancia del suelo está la máquina al cabo de 4 s?, (b) ¿Para que tiempo su velocidad es de 37 37 m/s?, (c) ¿Cuánto tiempo tiempo perm anece en el aire?. aire?. Resp. Re sp. a) 21,6 m ; b) 3,8 s ; c) 4,5 s
3.72 Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que su velocidad se reduzca hasta 5 m/s?, (b) ¿A qué altura se encontrará en ese instante?, (c) ¿Cuál será el tiempo total que la piedra permanezca en el aire?, (d) ¿ Para qué tiempo la piedra se encuentra a 12 m de altura?. Resp. a) 1,53 s ; b) 19,13 m ; c) 4,08 s ; d) 0,73 s y 3,35 s
3.73 Desde la azotea de la Facultad de Ingeniería, cuya altura se estima en 30 m, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 25 m/s. Calcule: a) La máxima altura que alcanza la piedra respecto la azotea, b) El tiempo que permanece en el aire. Resp. a) 31,9 m ; b) 6,1 6,1 s
3.74 A partir del suelo, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra la cual retoma al punto de lanzamiento al cabo de 3 s, (a) ¿Con qué velocidad fue lanzada la piedra?, (b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?. Resp. a) 14,7 m/s ; b) ll,0m
3.75 Desde el último piso de un edificio en construcción, y a partir del reposo, se deja caer un ladrillo. ladrillo. Durante el prime r segundo segundo de su caída recorre una distancia distancia h| , mientras que en el siguiente segundo recorre una distancia adicional h2 . ¿Cuál cree Ud. que sea la relación de esas distancias distancias?: ?: a ) h2 = h, , b ) h 2= 2h, 2h, , c) h2 = Vi h| , d) h2 = 3h| Resp. d)
3.76 Una piedra que cae en caída libre, emplea 0,2 s en recorrer el alto de una ventana que mide 1,6 m. Calcule la altura respecto del borde superior de la ventana de la cual se soltó la piedra. Resp. 2,5 m
3.77 Una piedra se suelta desde un helicóptero en el instante que está a una altura de 1000 m respecto del suelo. Si la piedra demora 20 s en llegar al suelo, ¿puede Ud. concluir que en el instante de soltarse la piedra, el helicóptero subía?, ¿Descendía?, ¿Se mantenía a la misma altura?, ¿Faltan datos?. Resp. subía
3.78 Un grifo en mal estado está a 2,4 m del piso y deja escapar agua a razón de 4 gotas por segundo, ¿Cuál la altura de la segunda gota en el instante que la primera llega al piso?. Resp. 1,4 m
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CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
3.79 Ud. está observando a través de su ventana, cuya altura respecto al suelo es de 20 m. En cierto instante ve pasar una piedra hacia arriba, y luego de 5 segundos, lo ve pasar hacia abajo. Calcular: a) La velocidad inicial con la que fue lanzada, b) La altura máxima respecto del suelo que alcanzó la piedra, c) El tiempo total que la piedra permanece en el aire. Resp. a) 31,5 m/s ; b) 50,6 m ; c) 6,4 s 3.80 Un helicóptero que vuela horizontalmente deja caer 3 bombas a intervalos de 2s. calcule la distancia vertical entre la primera y la segunda, (a) En el instante que suelta la tercera, (b) Después que la primera ha descendido 500 m. Resp. Res p. a) 58,8 m ; b) 178,5 m 3.81 Un globo aerostático está ascendiendo con una velocidad constante de 20 m/s. En el instante que está a 200 m sobre el suelo, suelta una llave inglesa, transcurridos 1,5 s suelta una segunda llave, Calcúlese la distancia que separa ambas llaves: (a) En el instante que se suelta la segunda, (b) Al cabo de 5 s de soltarse la primera llave. Resp. a) 11,0 m ; b) 62,5 m 3.82 Un globo aerostático está descendiendo con una velocidad constante de 24 pies/s. En cierto instante deja caer un objeto; transcurridos 3s suelta un segundo objeto, (a) ¿Cuál es la distancia entre ellos al cabo de 5s de soltarse el primer objeto?, pies?. (b) ¿Para qué tiempo la separac ión entre ellos es de 792 pies?. Resp. a) 336 pies ; b) 9,75s luego de soltarse el prim er objeto 3.83 Uno de los edificios más altos de la ciudad de La Paz es el Hermes (Banco Central), cuya altura se estima en 65 m. Si de la azotea de dicho edificio se lanza hacia arriba una piedra que llega al suelo (base del edificio) al cabo de 7,7 s. Calcúlese la velocidad inicial con que se lanzó la piedra. Resp. 29,3 m/s 3.84 Desde el techo de un edificio, cuya altura es de 100 m, se suelta una piedra A. Transcurridos 1,5 s se lanza verticalmente hacia abajo una segunda piedra B, de tal modo que ambas llegan al suelo al mismo tiempo. ¿Cuál la velocidad de lanzamiento de la segunda piedra?. Resp. 18,4 m/s 3.85 Para poner en órbita a un satélite, es necesario emplear un cohete que acelera desde el reposo hasta alcanzar la velocidad orbital que es alrededor de 8 km/s. La aceleración típica de un cohete para estos fines es de 4g. a) ¿Cuánto tiempo es necesario para que el cohete alcance dicha velocidad? b) Si el satélite gira alrededor de la tierra a una altura de 30 km, ¿En qué tiempo dará una vuelta al planeta?. El radio medio de la tierra es 6370 km. Resp. a) 204,1 s; b) 83,8 min
CAPÍTULO CAPÍTULO 3: 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.86 Desde el techo de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra A con una velocidad inicial v0 , transcurridos 3 s se suelta otra piedra B. Si la primera piedra encuentra a la segunda al cabo de 8 segundos de soltarse la segunda, Calcúlese la velocidad v0 con que fue lanzada la piedra A. Resp. 25,4 m/s 3.87 Desde el techo de un rascacielos, y a partir del reposo, se sueltan dos esferas A y B separados un tiemp tiemp o de 2 segundos, (a) ¿Cuál es la distancia entre ellas al momento de soltarse la esfera B?, (b) Durante el resto de la caída, la separación calculada en (a), ¿permanecerá constante?, ¿disminuirá?, ¿irá en aumento?. Resp. Resp . a) 19,6 m ; b) irá irá en aum ento Desde el 60° piso del rascacielos del problema 3.87, se suelta una moneda de plata. Transcurridos 1,5 segundos, se lanza verticalmente hacia abajo una segunda moneda con una velocidad inicial de 56 pies/s. Si la altura de cada piso es de 10 pies, pie s, calcú ca lcúle lese se la altura alt ura respec res pecto to del suelo sue lo a la que qu e la segun seg unda da moneda alcanzará a la primera. Resp. 24 pies 3.89 Desde el 110° piso de un rascacielos, y a partir del reposo, se suelta una piedra A; transcurridos 3,0 s, y del 80° piso del mismo rascacielos, se lanza verticalmente hacia abajo una segunda piedra con una cierta velocidad inicial v() . Sabiendo que la altura de cada piso es de 3,2 3,2 m, calcúlese la velocidad Vo Vo con que debe ser lanz ado la segunda piedr pie draa para par a que alcan alc ance ce a la prime pri mera ra ju sto st o cuand cu andoo ésta haya hay a desc de scen endi dido do la m itad ita d de su altura inicial. Resp. 12,1 12,1 m/s 3.90 Del techo de un edificio de 100 m de altura, se suelta un objeto A. En ese mismo instante, del suelo se lanza verticalmente hacia arriba un segundo objeto B con una velocidad inicial de 35 m/s. ¿En qué tiempo y a que altura (respecto del suelo) ocurre el encuentro?. Resp. 2,86 s ; 60,02 60, 02 m 3.91 Del techo de un edificio de 100 m de altura, se suelta un objeto A. En ese mismo instante, del suelo se lanza verticalmente hacia arriba un segundo objeto B con una velocidad inicial de 25 m/s. Calcúlese: a) La altura (respecto del suelo) a la que ocurre el encuentro, b) Las La s veloc ve locid idad ades es de ambo am boss objeto ob jetoss en el instan ins tante te del encue enc uentr ntro. o. Resp. 21.6 m : vA= 39.2 m : v B= - 14,2 14,2 m/s 3.92 Desde lo alto de un puente, cuya altura se sabe es 250 pies, se deja caer un objeto A. En ese mismo instante, del suelo se lanza verticalmente hacia arriba un segundo objeto B con una velocidad inicial v0 . Calcúlese la velocidad v0 de modo que el encuentro ocurra cuando B se encuentre en su máxima altura. Resp. 89,4 pies/s 3.93 Del suelo, un cañón dispara un proyectil A verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s, Transcurridos 12 s, se dispara otro proyectil B también verticalmente con velocidad veloc idad v0B v0B. Calcúlese Calc úlese esta v0B v0B de modo que el encu entro ocurra oc urra cuando cu ando el proyectil A esté en su viaje de descenso y a la mitad de su altura máxima. Resp. 73,7 m/s
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CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
3.94 Separados un tiempo At, dos proyectiles A y B se disparan verticalmente hacia arriba con velocidades de 160 y 80 pies/s respectivamente. ¿Cuánto debe ser la separación de tiempo At para que los proyectiles lleguen de retomo al suelo al mismo tiempo?. Resp. At = 5 s
3.95 Desde el borde de un acantilado de gran altura, y a pa rtir rti r del repos re poso, o, Se suelt su eltaa una un a piedr pie draa A. Un segundo más tarde, se lanza verticalmente hacia abajo una segunda piedra B con una velocidad de 36 pies/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo las piedras se encontrarán lado a lado?. lado?. Resp. tB= 4 s ; tA= 5 s 3.96 Para las piedras del problema 3.95, ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la separación entre ellas sea de 4 pies?. Resp. 3 s (la piedra piedr a A está delante delan te de B) 5 s (la piedra B está delante de A) 3.97 Dos ventanas de un edificio están situadas en la misma vertical y separadas una distancia H. De la ventana de arriba se deja caer un cuerpo A, en ese mismo instante de la ventana de abajo se lanza verticalmente hacia arriba otro cuerpo B con una velocidad inicial v0. Demuestre que la velocidad v0 con que debe ser lanzado el cuerpo B para que se encuentre con el cuerpo Ajusto cuando B haya alcanzado su máxima altura está dada por: v 0 = ^gH
3.98 Dos proyectiles A y B se disparan simultáneamente hacia arriba con velocidades de 20 y 30 m/s en las posiciones que muestra la figura adjunta. Determine: a) El tiempo de encuentro, b) La altura, respecto del suelo, a la que se encontrarán lado a lado. Resp. Re sp. a) 6 s ; b) 3,6 m el proyectil B del problem a 3.98 se dispara 2,5 s más 3.99 Si el tarde que A. (a) Calcúlese el tiempo para el cual se encuentren a la misma altura respecto del suelo, (b) ¿cuál es esa altura?. Resp. a) tR= tR = 2,3 s ; tA= tA = 4,8 s ; b) 43,1 m
3.100 Si el proyectil A del problema 3.99 se dispara 3,0 s más tarde que B. ¿Cuál la velocidad con que debe dispararse el proyectil B para que ambos lleguen al suelo al mismo tiempo?. Resp. 44,6 m/s
3.101 Un ascensor de 3 m de alto está ascendiendo con una velocidad constante de 2 m/s. Si del techo del ascensor se suelta un perno, a) Calcúlese el tiempo que el perno permanece en el aire, b) ¿Cuánta distancia ha cubierto en ese tiempo?.
Resp. Resp . a) 0,47 s ; b) 2,06 m
CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO REC TILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.102 Un ascensor de 3 m de alto está descendiendo con una velocidad constante de 2 m/s. Si del techo del ascensor se suelta un perno, a) ¿En qué tiempo llega el perno a la base del ascensor?, b) ¿Qué distancia ha recorrido en ese tiempo?. Resp. 0,78 s ; b) b ) 4,56 m
3.103 La cabina de un ascensor, de 2,7m de altura, comienza a elevarse con una aceleración constante de 1,2 m/s2 . A los 2,0s después del inicio de la ascensión, del techo de la cabina se desprende un perno. Hallar: a) El tiempo de la caída libre del perno b) El despl de splaz azam amien iento to y el recorr rec orrido ido del perno pe rno durant dur antee la caída ca ída libre en un sistem sis temaa de referencia ligado a la fosa del ascensor. Resp. a) 0,7s ; b) 0,7m y 1,3m. 1,3m. respectivam respec tivamente ente
3.104 En cercanías de la luna, donde la gravedad es aproximadamente gL = 1,62 1,62 m/s2 m/s2 , un astronauta astronauta que que se se mantiene a la misma altura, lanza verticalmente hacia arriba un objeto con velocidad de 12 m/s, (a) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el objeto?, ¿Cuánto representa este valor comparado con la altura alcanzada en tierra ?, (b) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el objeto retome a sus manos?, ¿Cuánto representa este tiempo con el empleado en tierra?. Resp. a) 44,4 44, 4 m ; r| = 6 veces vec es ; b) 14,8 14,8 s ; q = 6 veces ve ces
3.105 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra a una altura h = 10 m. Determine el tiempo total de vuelo si se conoce que el camino total recorrido por la pelota fue 30 m?. Resp. 3,45 s
3.106 Cansado de la política, un ciudadano lanza verticalmente hacia arriba el portarretratos (incluido fotografía) de un jefe político, del cual no diremos su nombre, con una velocidad de 24,5 m/s. En ese preciso instante, el aludido jefe político reconoce su fotografía y, sin pensarlo dos veces, inicia una carrera (desde el reposo) con una aceleración de 1,2 m/'s2. Si el politico estaba a 20 m del punto de lanzamiento, a) ¿Logrará salvar su portarretratos?, b) ¿Qué aceleración requiere para atrapar su portarretratos? Resp. a) No ; b) 1,6 m/s2
3.107 Una partícula se mueve en el eje x de acuerdo a la siguiente ley: x = 3t2- 15t donde t se expresa en segundos y x en metros a) ¿Cuál es su posición al cabo de 3 y 6 segundos? b) ¿ Para Pa ra qué tiemp tie mpoo volve vol verá rá al punto pun to de part p artida ida?. ?. Resp. Re sp. a) -18 m ; 18 m ; b) b) 5 s 3.107 está dada por la relación v = 6t - 15 15 3.108 La velocidad de la partícula del ejercicio 3.107 donde t se mide en segundos y v en m/s a) ¿Cuál es su velocidad al cabo de 2 y 4 segundos? b) ¿Para ¿P ara que tiemp tie mpoo la part p artícu ícula la está est á m om entán en tánea eame mente nte en reposo rep oso?. ?. Resp. a) - 3 m/s ; 9 m/s ; b) 2,5 s
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CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
3.109 Las coordenadas de un punto que se mueve en el plano x-y, so son: x = (5 t
O
-t)i,
y = 2 t 3j donde "x" y "y" "y" se miden en pies pies y t en segundos. segundos. Calcúlese el módulo del vector posición para 3 segundos. Resp. R = 68,4 pies 3.110 La velocidad de un objeto que se mueve en un plano x-y x- y obedece a la siguiente ley: 2 v x = ( t + 3) i ; v y = 4 t j , v x y v y se se miden en plg/s plg/s y t en segundos. segundos. a) O bténgase el módulo de la velocidad para 5 segundos b) ¿Par ¿P araa qué qu é tiem tie m po el vecto ve ctorr v eloci elo cida dadd tiene tie ne una un a incli in clina nació ciónn de 45o?. 45o?. Resp. a) v = 118, 118,77 plg/s ; b) t = 3 s 3.111 A nivel del mar, donde g = 9,81 m/s2, una persona lanza una piedra y logra una distancia horizontal máxima de 40 m. De haber lanzado en la luna, donde g = 1,62 m/s2. ¿Cuál habría sido su alcance?. Resp. 242 m 3.112 Durante un vuelo de entrenamiento, se deja caer una bola de acero con el fin de hacer blanco en el círculo marcado en la figura. Si el avión del cual cae la bola está volando horizontalmente a 800m de altura y velocidad de 500 km/h. Calcular: a) La altura a la que se encuentra la bola
/ j
b) La veloc ve locida idadd en m ódulo ód ulo y direc dir ecció ciónn de
>
/Év
200 m sobre el nivel del suelo. d) El tiempo para el cual el módulo de la velocid vel ocid ad sea de 170 m/s. e) ¿A qué distancia horizontal del círculo debe estar el avión en el momento de soltarse la bola bol a para pa ra logra log rarr el blanco? blan co?.. Resp. a) h = 623,6 m sobre el suelo b) v = 150,8 m/s ; 0 = 2 2 ,9 ° bajo ba jo el horiz ho rizon onte te c) t = 11,07 11, 07 s ; d) t = 10,0 s ; e) x = 1775 m ----
3.113 Una pelotita de goma sale rodando por el borde de una mesa de l,2m de alto. Si llega al suelo a 90 cm de la mesa, (a) ¿Cuál su velocidad al abandonar la mesa?, (b) Si en el choque contra el piso no existe ninguna pérdida de energía hasta qué altura rebota la pelota?. Resp. Re sp. a) 1,8 1,8 m/s ; b) 1,2 m
CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
80cm
3.114 Una pequeña pelota de goma sale rodando por po r el bord bo rdee de una un a m esa con co n veloc vel ocida idadd horizontal de 2m/s. En su trayectoria, la pelo pe lota ta rebota reb ota de un tabler tab leroo que qu e está a 80 cm del borde de la la mesa. Asumien Asu mien do que en el el choque pelota - tablero no existe pérdida de energía alguna. Calcule la distancia horizontal respecto del tablero a la que la pelo pe lota ta choc ch ocaa contr co ntraa el piso. piso . Resp. 34 cm
$ 1 1 5 Un camión de tres metros de alto parte desde el reposo y acelera a razón de 0,5 m/s2 durante un minuto y medio. En la carrocería del camión viaja una persona, como se muestra en la figura. Si el camión se detiene súbitamente, ¿A qué distancia del camión caerá el descuidado pasajero?. Resp. 35 m
3.116 El artillero de un acorazado A anclado en mar abierto, divisa un barco enemigo B que avanza hacia el acorazado con una velocidad constante de 36km/h. Cuando el barco se encuentra a una distancia de 4,5 km, el cañón del acorazado dispara un proyectil con 160m/s de velocidad y una inclinación de 30°. Desafortunadamente el proyectil no alcanza al barco. ¿Cuánto tiempo debió esperar el acorazado para disparar y hacer blanco sobre el barco?. Resp. 3,5 min
3.117 Un proyectil es disparado con una velocidad de 30 m/s y un ángulo de 40° respecto al horizonte. En el instante que alcanza su altura máxima, encuentra un plano horizontal donde se mueve en toda su extensión, sin rozamiento, durante l,5s; al cabo de dicho tiempo inicia su movimiento de descenso conforme muestra la figura. Determ ínese el alcance horizontal D. Resp. 124,9 m
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y
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CAPÍTULO CAPÍTULO 3: MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO PARABÓLICO
3.118 Ermelinda la bruja, en una noche de luna, decide dar un paseo en escoba. Inicia su vuelo d esde el piso con una velocidad constante de 4 m/s y formando un ángulo de 50° con el horizonte. Por infortunio de Ermelinda, su escoba se descompone cuando ella se encuentra a 60 m sobre el suelo. Calcular: a) La distancia horizontal desde el punto de partida a la que cae Ermelinda. b) La altura alt ura máxim má xim a respe re specto cto del suelo sue lo que alcanz alc anzaa la bruja . c) El tiempo total que permanece en el aire. Resp. a) 60,2 m ; b) 60,5 m ; c) 23,4 s
3.119
Una objeto se dispara en movimiento parabólico con velocidad: v 0 = 43 ,3 i + 25 ,0 j[ m/ s] . Cal Calcúl cúlese: ese: a) El módulo de la velocidad inicial b) El ángu án gulo lo de dispar dis paroo c) La altura máxima alcanzada d) El tiempo que permanece en el aire e) El alcance horizontal máximo. Resp. a) 50 m/s ; b) 30 °; c) 31,9 m ; d) 5,1 s ; e) 220,8 220 ,8 m
3.120 La velocidad con que un objeto se dispara en movimiento parabólico es: v o = v ox* ox* + v oy j [ m// s]- Sabiendo que su m áxima altura a lcanzada es 245 m y su alcance horizontal máximo de 566 m. Calcular: a) El módulo de la velocidad inicial b) El ángu án gulo lo de disparo disp aro c) La velocidad al cabo de 10 s d) La posición al cabo de 10 s e) El tiempo para el cual esté ascendiendo con una velocidad de 50 m/s. Resp. Resp . a) 80 m/s ; b) 60°; 60 °; c) 49 m/s ; d) 203 m ; e) 4 s movim iento parabólico, parabó lico, se lanza .un objeto form ando un cierto 3.121 Desde el suelo y en movimiento ángulo con el horizonte. Cuando está a 15 m de altura, su velocidad es v = 8,6 i + 6,2 j donde v se expresa expre sa en m/s. a) ¿Cuál será la máxima altura respecto del suelo que alcanza el objeto?. b) ¿Cuál ¿C uál su alcan alc ance ce horizo hor izonta ntall desde de sde su lanza lan zam m iento ien to en tierr tie rraa hasta ha sta su reto re tom m o al mism mi smoo nivel? c) ¿En su retorno, con que velocidad y ángulo llega al nivel de lanzamiento. Resp. Res p. a) 17 m ; b) 32 m ; c) v = 20,1 m/s ; 0 = 64,7° * mangu era cuya boquilla está al nivel del del suelo lanza un chorro de agua forma ndo 3.122 Una manguera un ángulo de 60° con la horizontal. Si la velocidad del chorro a momento de abandonar la manguera es 12 m/s (a) ¿A que altura golpeará sobre una pared que se encuentra a 12 m de distancia?, (b) ¿Qué tiempo emplea en tal tal recorrido?. recorrido?. Resp. a) 1,2 m ; b) 2s
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.123 Un cazador de patos dispara su arma desde una altura de 1,5 ni cuando un pato pasa justo encima del cazador a una altura de 20 m respe cto del suelo. Si el pato vuela horizontal ho rizontal mente a una velocidad ve locidad constante de 5 m/s. Calcúlese la velocidad v0 del proyectil y el ángulo de disparo 0 de tal modo que el proyectil impacte al pato just ju stoo cuan cu ando do el proye pr oyecti ctill haya alca al canz nzad adoo su máxim má xim a altura. altu ra. Resp. 19,7 m/s ; 75,3" '0B '0B
3.124 Dos cuerpos A y B se lanzan con velocidades
'0A
horizontale horiz ontale s de v 0a = 5 m/s y v 0B = 3 m/s, como muestra la figura. ¿Cuál la distancia entre ellas cuando sus vectores velocidad sean perpendiculares?, ¿Cuál de los cuerpos llegará primero al piso?. piso?. Resp. 3,16 m ^ . 1 2 5 Para bombardear un fortín, fortín, un avión avión en en vuelo vuelo horizont horizontal al y a una altura de 2000 m, suelta una bomba cuando la distancia horizontal al fortín es de 4,0 km. Para impactar al mismo fortín, un segundo avión volando a la misma velocidad que el primero pero a menor altura, suelta la bomba a una distancia horizontal de 2,0 km. Despreciando la resistencia del aire, calcúlese la altura de vuelo del segundo avión. Resp. 500 m
3.126 Un avión de combate desciende en picada con 900 km/h y 30° bajo el horizonte, En el instante que está a 500 m de altura suelta una bomba que desea impacte a una fragata anclada en alta mar. ¿Cuál debe ser la distancia horizontal entre el avión y la fragata en el instante de soltarse la bomba?. Resp. 761 m \3^127 Un jugador de raqueta que se encuentra a 10 m del frontón, responde una pelota a 50 cm sobre y el suelo y formando un ángulo 0 con el horizonte. Si la pelota impacta contra el frontón al cabo de 0,6 s y a 5,5 m de altura sobre el piso, pis o, (a) (a ) ¿Qué ¿Q ué veloc ve locida idadd le impa im partió rtió el ju j u ga do r a la pelota?, pelota ?, (b) ¿C uál fue el ángulo 0 ?. Resp. a) 20,1 20,1 m/s ; b)3 4, l°
5,5 m
3.128 En la construcción de edificios es frecuente que un obrero situado en el suelo, arroje herramientas y materiales livianos a un segundo obrero situado en un nivel o piso superior en plena construcción. Si el segundo obrero atrapa al objeto al cabo de 2,0 s y cuando ya va en su trayectoria de bajada. Calcúlese la velocidad y ángulo con que fue lanzado el objeto. Resp Re sp 13,3 m/s ; 78,1° 78,1°
B H = 6,5 m
A /e
y//////////////////////////z
H— D = 5,5 5,5 m — ►)
1
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CAPÍTULO 3: M OVIM IENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
3.129 En una muestra de gran acrobacia, un motociclista se dispone a saltar sobre un cam ión de 10 m de largo y 3 m de alto, para pa ra ello, ello , emple em pleaa una ramp ra mpaa con co n inclinación inclinación a = 3 0 ° y calcula calcula que que debe debe lograr un alcance horizontal de 12m para lograr su cometido, como muestra la figura. Calcular: a) La velocidad mínima con que debe abandonar la rampa. b) La veloc ve locid idad ad y el ángu án gulo lo con la que llega lle gará rá al otro extrem ext rem o. Resp. a) v0 = 9,7 m/s ; b) v = 12,4 m/s ; 9 = —47 ,3° ,3 °
3.130 Un cañón y un blanco se encuentran a un mismo nivel y a 5,10km de distancia el uno del otro. En ausencia de la resistencia del aire, ¿al cabo de qué tiempo el proyectil dará en el bla nco, nc o, si su veloc ve locida idadd inicial inic ial es de 240 m/s?. m/s ?. Resp. Al cabo de 0,41 0,41 ó 0,71 0,71 min en depe nden cia del ángulo áng ulo inicial inicial
a —
3.131 Una pelota de tenis sale rodando del descanso-de una grada con velocidad horizontal de 8 pies/s. Si los pelda pe ldaño ñoss son exac ex actam tam ente en te de 9 pulg pu lgad adas as de alto y 10 pulg pu lgad adas as de ancho. anc ho. Calcu Ca lcular: lar: a) El número de escalón al que llega por primera vez la pelota. b) El tiem tie m po em pleado ple ado en llega lle garr a e'se esca e scalón lón..
i
I r o
Resp. a) Quinto escalón ; b) 0,48 s Sobre un puente de 100 m de altura, está instalado un cañón que dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de 30° con el horizonte. En el instante que el cañón dispara, a una distancia " d " del puen pu ente te se encu en cuen entra tra un tanq ta nque ue aleján ale jándo dose se con una velocidad de 90 km/h. Si el objetivo es que el proyectil impacte al tanque, calcúlese la distancia d. Resp. 3,17 km 140 m/s y ángulo 0 con el horizonte. 3.133 Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 140 V y
A una altura de 200 m la relación de velocidades es ----- = 2, Calcúlese el ángulo de V x
lanzamiento 0. Resp. 66,4°
CAPÍTULO 3: MOV IMIENTO RECT ILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.134 Un proyectil A se dispara con una velocidad de 60 m/s y ángulo 60° con el horizonte. Transcurrido cierto tiempo At, y a una distancia horizontal 270 m, se dispara verticalmente hacia arriba otro proyectil B con una velocidad de 45 m/s. a) ¿Cuánto debe ser la diferencia de tiempos At para que los proyectiles choquen?, b) ¿A que altura altu ra ocurr oc urree el encue enc uentr ntro? o?.. Resp. Re sp. a) 7 s ; b) 71 71 m n proyectil A se dispara con una velocidad 70 m/s y ángulo 60° con el horizonte. Transcurrido un tiempo At = 8 s, y a una distancia horizontal 400 m, se suelta una piedra desde una altura H. a) ¿Cuánto debe ser la altura H para que los proyectiles choquen?, b) ¿A que altura h ocurre el encuentro?. Resp. Re sp. a) 110 m ; b) b ) 53 m
3.136 Un proyectil A se dispara con una velocidad v0A y ángulo de 30° con el horizonte. Transcurrido un tiempo tiemp o At At = 5 s. s. y a cierta distancia horizo ntal, se suelta una piedra B desde una altura H = 60 m. Calcúlese la velocidad con que debe dispararse el proy pr oyec ectil til A de m anera ane ra que amba am bass llegue lleg uenn al suelo sue lo al mismo tiempo. Resp. 83,3 m/s
3.137 Un hombre con arco y flecha pretende hacer blanc bla ncoo en una m anza an zana na a 200 m delan de lante te de él; la manzana se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 30m/s. ¿Cuánto tiempo antes o después de lanzada la manzana y con qué dirección deberá ser disparada la flecha si se desea hacer blanco en la fruta cuando ésta alcance su máxima altura?. La flecha es disparada con 120 m/s de velocidad y a una altura de 2 m respecto del suelo. Resp. Existe dos ángulos ángulo s y dos tiempos: G, =1 6,35 6, 35 8° ; titi = 1,32 1,32 s después despu és 0 2 =86 ,028° ; Í2 = 21.00 s antes
V
N ^0,
O
2
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CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
3.138 En el clásico paceño (año 2001), un jugador del Bolívar manda un tiro libre con una velocidad inicial de 20 m/s y un ángulo de 25° con el horizonte. Dos jugadores esperan para par a cabe ca bece cear, ar, el ju ga do r del Bolív Bo lívar ar tiene tie ne una un a esta es tatu tura ra de 1*,60 ,60 m (Gatt (G attyy Ribe Ri beiro iro), ), el de The Strongest una estatura de 1,80 m (Oscar Sánchez). Ellos saben que al saltar verticalmente pueden alcanzar a la pelota a 2,50 m de altura. Si ambos reaccionan después de 0,86 s que parte la pelota del suelo y logran cabecear la pelota simultáneamente, ¿Con qué velocidades iniciales (verticales) partieron al saltar?. Resp. Jugad or Bolívar: 4,24 m/s ; Jugad or Strongest: 3,83 3,83 m/s 3.139 Se lanza un proyectil desde el punto A con una velocidad inicial v 0 = ai + b j . Se sabe que la eleva ele vació ció n h max es el doble do ble de la elevación de la planicie superior \ B medido con respecto a A. (a) Calcule la 2h = Ir T velocidad final del proyectil Vf justo antes del impacto en el punto B de la plan pl anic icie ie super su perior ior.. La acele ac ele ració rac iónn de la gravedad es g. (b) Suponga que el mismo proyectil es lanzado desde el punto B con una velocidad inicial igual a -Vf, calcule la velocidad final del proyectil vf' justo antes del impacto en la planicie inferior. ¿Es este punto pu nto de impa im pacto cto el punto pu nto A?. Resp. a) v f = ai — ^ b 2 - 2 g h j ; b) v f ' =
- a i - bj
si
3.140 En la preparación para los jueg ju eg os olím olí m pico pi coss de invier inv ierno, no, se pide pid e a un ingen ing enier ieroo que diseñe dis eñe una rampa para la competencia de salto de longitud lo suficientemente alta para que un competidor pueda alcanzar la velocidad apropiada v0 en el punto pu nto A, lo cual ocas oc asion ionar aráá un aterrizaje suave en el punto B (es decir, una trayectoria de vuelo 30 pies que sea tangente a la colina en el punto pu nto B). La pend pe ndie iente nte de la 100 pies colina en el punto B es de 45°. lo cual se muestra en la figura junto con la localización del punto B respecto al origen O. La rampa de salto esta diseñada para que el centro de masa del com petidor petid or abandone aband one la rampa en el punto A con una veloc idad v 0, a un ángulo áng ulo de 10° con respecto a la horizontal como se indica. Despreciando la resistencia del aire, calcule: (a) la velocidad v() requerida para que la trayectoria del vuelo sea tangente a la colina en el punto pu nto B, y (b) ( b) la altura alt ura h req r eque uerid ridaa al final de la ram pa para pa ra las cond co ndic icio ione ness de la p arte art e a). Resp.: a) v 0 = 53,1 53,1 pie p ie / s ; b) h = 11,1 11,1 pie s
CAPÍTULO 3: M OVIMIEN TO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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/3.14Í En una carrera de esquí sobre nieve, el competidor "salta en el punto O con una velocidad horizontal VoCalcule v0 si el competidor toca suelo a una distancia S = 15 0 p ie s . Desprecie Desprecie la resistencia resistencia del del air aire. e. Res Resp. v0 = 4 6 , 8 pie s/ s
3.142 De un cañón fueron disparados consecutivamente dos proyectiles con velocidades de v0 = 250 m/s, el primero a un ángulo 9, =60° hacia el horizonte, y el segundo, a un ángulo 0 2 = 4 5 ° (el azimut es el el mismo). Despreciando la resistencia del aire, aire, hallar el el intervalo de tiempo entre los disparos que asegura que los proyectiles choquen.
2 vo v o s en en ( 0 l - 0 2) g (cosG, + cos02)
Resp. Resp. At = — ----------------------- = 11 s -
3.143 Un proyectil es disparado hacia un blanc bla ncoo en el punto pu nto A con co n una veloc vel ocida idadd inicial Vo = 3000 pies/s. Calcule los dos ángulos de disparo ot] y a 2 con los cuales el proyectil dará en el blanco, calcule también los tiempos de vuelo requeridos en cada caso. Desprecie la resistencia del aire. Resp.
a.! = 89,9° ; tj = 2 17s 17s a 2 = 10, 10,2° 2° ; t2 = 0,384s
3.144 Del punto P de una colina, cuyo grado de inclina inclinación ción es a , se dispara dispara un proy pr oyec ectil til con co n una un a veloc ve locida idadd v 0 y formando un ángulo 9 respecto la colina, como se observa en la figura. Demuestre que el alcance R a lo largo de la colina está dado por:
R—
2v 02 sen0cos(0 - a ) g eos a
y
-
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CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
3.145 Para un proyectil disparado en movimiento parabólico: a) Calcule el ángulo de disparo de manera que la máxima altura alcanzada sea igual a su alcance horizontal, b) Demuestre que el alcance ho rizontal, x max , puede expresar e xpresarse se en función de la máxim má ximaa altura, y ^ * , mediante la relación: 4 y ma x j
tan0 Resp. a) 76°
3.146 La
figura adjunta muestra el movimiento de tres movilidades A, B, C respecto de un sistema de referencia inercial (en reposo) x —y . Sabiendo que la velocidad de C respecto de B es -100 km/h, y la velocidad de B respecto de A es 40 km/h. Calcular: a) La velocidad de C respecto de A b) La velocidad de B respecto de C c) La velocidad de A respecto de C.
v A= 0
Resp Resp.. a) vCA vCA = vc - v A = - 6 0 km /h b) c)
v b c v a c
“ vb _ v c = 100km/ 100 km/ h = v a
~ v c = 60 km / h
3.147 Un tren y una motocicleta están viajando con velocidades constantes como muestra la figura, (a) Cuando la motocicleta y el tren se mueven en sentidos contrarios la motocicleta cruza al tren de principio a fin en un tiempo de 3 s. (b) Cuando ambos se mueven en el mismo sentido, la motocicleta emplea 10 s en cruzar al tren. Si la velocidad de la motocicleta en ambos casos es de 78km/h, ¿Cuál es la velocidad del tren?, ¿Cuál su longitud?.
b) v7
Resp. a) 42 km/h ; b)100m
3.148 Una carreta se está moviendo en línea recta con velocidad constante de 120 pies/s. De la carreta en movimiento se dispara un proyectil de tal modo que retoma a la carreta cuando ésta ha recorrido 480 pies. Calcúlese la velocidad en módulo y dirección con la que fue disparado el proyectil, (a) respecto a tierra, (b) respecto a la carreta. Resp. (a) 136 pies/s pie s/s ; 28° 28° (b) 64 pies/s verticalm ente
3.149 Un tren viaja con movimiento rectilíneo uniforme. Al mismo tiempo, y en ausencia de viento, cae una lluvia con una velocidad de 15 m/s respecto a tierra. Un pasajero a bordo del tren ve caer las gotas de lluvia justo a lo largo de la diagonal de la ventana. Si las dimensiones de la ventana son: 80 cm por 60 cm de alto. ¿A qué velocidad está viajando el tren?. Resp. 72 km/h
CAPÍTULO 3: M OVIMIENT O RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.150 El motor de una lancha impulsa a ésta a una velocidad de 25 nud os respecto del río. A partir de la línea A, la lancha viaja aguas arriba hasta recorrer una cierta distancia en un río cuya corriente tiene una velocidad de 5 km/h, luego da la vuelta y retoma al punto de partida. partida. Si el tiempo empleado para toao el viaje viaje fué de 10 minutos y el motor mo tor de la la lancha trabajó por igual. igual. Calcular: arriba. a) El tiempo empleado en viajar aguas arriba. b) El tiemp tie mpoo emple em plead adoo en el retom re tom o. c) El espacio recorrido en todo el viaje. Resp. a) 5,54 min ; b) 4,46 min ; c) 4,12 millas naútic as corriente tiene una velocidad velocidad vr , (a) prob pr ob ar que el tiem tie m po total tot al emple em plead adoo 3.151 En un río cuya corriente por po r una un a lanch lan chaa en viajar via jar aguas agu as abajo aba jo y luego lueg o reto re tom m ar al punto pu nto de p artid ar tida. a. Está Es tá dado dad o por: tT =
2 dv,
Donde: d es la distancia recorrida hasta dar la vuelta y v L es la velocidad de la lancha respecto del río tanto en la ida como en la vuelta. b) ¿C ambi am biar aráá el result res ultad adoo si mas ma s bien bi en la lanch lan chaa inicia inic ia su viaje vi aje aguas agu as arrib ar rib a y luego lue go retom a al punto de partida?, ¿Por que?. Resp. b) No
3.152 En un río cuyas aguas se mueven con velocidad de 3 km/h hacia el Este, un bote inicia su movimiento en el punto A con velocidad de 5 km/h respecto del río y dirección E 60° N (vea la figura adjunta), (a) ¿Cuál es la velocidad y dirección del bote bo te para pa ra un obse ob serv rvad ador or en la orilla? oril la?,, (b) Si el ancho del río es de 200 m, ¿Cuánto tiempo requiere el bote para llegar a la otra orilla?, (c) ¿A qué distancia respecto de B arribará el bote?. Resp. a) 7,0 km/ h; E3 8, 2° N ; b) 2,77 min ; c) 254 m Re suelv a el ejercicio 3.152 conside rando que la velocidad velocida d del río es hacia el oeste. oeste. 3.153 Resuelv Resp. a) 4,4 km/h; O 83,4° N ; b) 2,77 min ; c) 23 m
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CAPÍTULO 3: MO VIMIENTO RECTILÍN EO Y PARABÓLICO
3.154 En aguas tranqu ilas un bote puede rem ar a 10 km/h. Al intentar cruzar un río de 400 m de ancho, orienta
. x = lOOm ■ --------- ----------------r®-------*—
su proa sobre la línea AB , sin embargo, debido a la corriente del río el bote arriba a 100 m aguas abajo del punto B, (a) ¿Cuál es la velocidad del río?, (b) ¿Cuánto tiempo emplea en cruzarlo?.
d = 400m
— —
Resp. a) 2,5 km/h km/ h ; b) 2,4 min
3.155 Un barco, cuyo motor trabaja a toda potencia, recorre 60 km en 2 horas cuando viaja a favor del río. En sentido contrario, recorre sólo 40 km en igual tiempo. Calcúlese: (a) La velocidad del río, (b) La velocidad del barco respecto a tierra en el trayecto de bajada, (c) La velocidad del barco respecto de las aguas del río en el trayecto de bajada. Resp. a) 5 km/h ;
b) 30km/h 30k m/h ;
c)25 km/h
3.156 En un río cuya corriente es de 6 km/h, está viajando aguas abajo, una lancha a motor con una velocidad de 20 nudos respecto de las aguas del río. Si el piloto pone el motor en reversa comunicándole a la lancha una aceleración de de 1,5 1,5 m/s2 respecto del río, ¿Dentro de de cuanto tiempo, para un observador en tierra, la lancha empezará a moverse aguas arriba?. Resp. 8 s
3.157 En una región de fuerte viento, un avión despega con una velocidad respecto al aire de 500 km/h y dirección O 50° 50° N. Debido a la corriente de aire, la velocid ad del avión respecto a tierra es de 450 km/h con dirección O 65° 65° N, (a) ¿Cuál la velocid ad del viento?, (b) ¿Cuál su dirección? Resp. a) 133,5 km/h km/ h ; b) E 10,7° N 3.158 El itinerario de un vuelo doméstico es cubrir la ruta La Paz - Santa Cruz ida y vuelta. La velocidad del avión respecto al aire es 360 km/h, y la distancia entre estas ciudades se estima en 900 km. a) ¿Cuánto tiempo empleará en todo el viaje en aire tranquilo?. b) ¿Cuánto ¿Cu ánto tiemp o es necesar io para todo tod o el viaje viaj e cuan do el viento vien to sopla sop la a 85 km/h km/ h en dirección de La Paz a Santa Cruz?. c) Si la velocidad del viento es perpendicular a la línea La Paz - Santa Cruz, ¿Cuánto tiempo se requiere para completar el viaje?, ¿En que dirección debe apuntar la proa del avión en este último caso?.
Resp. a) 5,0 h ; b) 5,29 h ; c) 5,15 h; 13,66° 13,66° respecto respec to la línea La Paz - Santa Cruz
CAPÍTULO 3: MOVIM IENTO RECTILÍNEO Y PARABÓLICO
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3.159 En aguas tranquilas, un velero puede remar a razón de 10 km/h. En un río cuyas aguas tienen una velocidad de 3 km/h de O a E, el velero inicia su travesía con dirección S 30° E.; de pron pr onto to el tiem tie m po se desco de scom m pone po ne y sopla sop la viento vie nto con veloc ve locida idadd 5 km/h en dirección E 20° N. (a) ¿Cuál es la velocidad y dirección del velero respecto la orilla?, (b) Si el río tiene un ancho de 600 m, ¿Cuánto tiempo demorará en cruzarlo?, (c) ¿A qué distancia aguas abajo arribará en la otra orilla?. Resp. Re sp. a) 14,5 km/h km /h ; S 61,3° E ; b) 5,2 m in ; c) 1,1 km
3.160 Un barco en el ecuador navega hacia el Este con una velocidad v0 = 30 km/h. Desde el Sudeste hacia el ecuador sopla un viento con una velocidad v = 15 km/h, formando un ángulo 0 = 6 0° con el el ecuador. ecuador. Encuentre la velocidad v1del viento respecto del barco y el ángulo CL entre el ecuador y la dirección del viento en el sistema de referencia ligado con el barco. Resp.
v' = -Jv02 +v2 +2v0v cos0 = 40 km /h ; a = 19°
3.161 Un bote navega a lo ancho de un río a una velocidad que es n = 2,0 veces mayor que la de la corriente de éste. ¿Que ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote, para que éste lo arrastre lo menos men os posible?.
Resp. 0 = arcsení-^+90° =120° 3.162 Desde una boya, que se encuentra en el medio de un ancho río, partieron los botes A y B. Estos se desplazaron en direcciones perpendiculares entre sí; el bote A, a lo largo del río, y el bote B, a lo ancho. Habiéndose alejado a una misma distancia de la boya, los botes emprendieron el regreso. Halle la relación entre el tiempo consumido por cada bote Ía/íb, si la velocidad de cada uno de ellos supera r\ — 1,2 veces a la del río. R es esp . — = r A = 1,8 ‘ b - /n 2 - i
3.163 En una región de fuerte viento, el piloto de una avioneta debe orientar su proa 18° al norte del este para lograr que su nave viaje al este. Si la velocidad de la avioneta respecto del aire es de 260 km/h y su velocidad respecto tierra es de 280 km/h. ¿Cuál es la velocidad del viento en m ódulo y dirección?. Resp. 86,8 km/h con 67,8° 67,8° al sur del este
3.164 Un avión vuela hacia un punto situado a 200 km hacia el este del punto de partida; el viento sopla del suroeste a 30 30 km/h. El piloto quiere llegar al cabo de 40 minutos. a) ¿Cuál debe ser la orientación? b) ¿Cuál debe ser la velocidad del avión respecto del aire?. Resp. a) E 4,35° S ; b) 279,6 27 9,6 km/h
