1.-Determine la posición, velocidad y aceleración en 2 seg, 5 seg. y 3 seg. del movimiento de un partícula está de…nido por las siguientes ecuaciones:. a)x=t4 –12t2 -40 b)x=t3 –9t2 -24t - 6 c)x=2t3 –8t2 +5t +15 a) x = t4
12t2 40 d(t4 12t2 40)
= 4t t2 6 v = dx dt = dt d 2 a = dv 6 = 12t2 24 dt = dt 4t t para t=2: x = 24 12 22 40 = 72 m 2 v=4 2 2 6 = 16 m/s 24 = 24 m/s2 a = 12 22 para t=3 x = 34 12 32 40 = 67 m v = 4 3 32 6 = 36 m/s a = 12 32 24 = 84 m/s2 para t=5 x = 54 12 52 40 = 285 m 2 v=4 5 5 6 = 380 m/s a = 12 52 24 = 276 m/s2 b) x = t3 9t2 24t 6 d 3 v = dx 9t2 24t 6 = 3t2 dt = dt t dv d 2 a = dt = dt 3t 18t 24 = 6t 18 para t=2 x = 23 9 22 24 (2) 6 = 82 m v = 3 22 18 (2) 24 = 48 m/s a = 6 (2) 18 = 6 m/s2 para t=3 x = 33 9 32 24 (3) 6 = 132 m 2 v=3 3 18 (3) 24 = 51 m/s a = 6 (3) 18 = 0 m/s2 para t=5 x = 53 9 52 24 (5) 6 = 226 m v = 3 52 18 (5) 24 = 39 m/s a = 6 (5) 18 = 12 m/s2 c) x = 2t3 8t2 + 5t + 15 d 3 8t2 + 5t + 15 = 6t2 v = dx dt = dt 2t dv d 2 a = dt = dt 6t 16t + 5 = 12t 16 para t=2
1
18t
24
16t + 5
x = 2 23 v = 6 22 a = 12 (2) para t=3 x = 2 33 v = 6 32 a = 12 (3) para t=5 x = 2 53 v = 6 52 a = 12 (5)
8 22 + 5 (2) + 15 = 9 m 16 (2) + 5 = 3 m/s 16 = 8 ,/s2 8 32 + 5 (3) + 15 = 12 m 16 (3) + 5 = 11 m/s 16 = 20 m/s2 8 52 + 5 (3) + 15 = 80 m 16 (5) + 5 = 75 m/s 16 = 44 m/s2
2. La posición de una partícula se mueve en línea recta esta de…nida por la relación x=t3 –6t2 -15t + 40 Determine: a)El tiempo para que v=0. b)La posición de la partícula en ese tiempo. c)La distancia recorrida en ese tiempo. d)La aceleración en ese tiempo. e)Distancia recorrida entre t=4 y t=6 seg. x = t3 6t2 15t + 40 d 3 6t2 15t + 40 = 3t2 12t 15 v = dx dt = dt t dv d 2 a = dt = dt 3t 12t 15 = 6t 12 a) 3t2 12t 15 = 0 f[t = 1:0] ; [t = 5:0]g puesto que no existen tiempos negativos tomamos t=5 s y v (5) = 0 b) sustituimos este tiempo en la ec de posicion: x = 53 6 52 15 (5) + 40 = 60 m c) posicion inicial para t=0 xi = 03 6 02 15 (0) + 40 = 40 m s = jxf xi j = j 60 40j = 100 m distancia recorrida 100 m d) a = 6 (5) 12 = 18 m/s2 e) para t=4 3 2 xi = (4) 6 (4) 15 (4) + 40 = 52 m 3 2 xf = (6) 6 (6) 15 (6) + 40 = 50 m s = xf xi = 50 ( 52) = 2 m 3. Usted va manejando un camaro y de repente frena cuando va a una velocidad de 85 km/hr, hasta 45 km/hr en una distancia de 105 m. Determine: a)Su aceleración suponiendo que es constante. b)El tiempo que transcurrió durante ese intervalo.
2
c)Si continua frenando con la misma aceleración, Cual sería el tiempo adicional que necesita para llevarlo a v=0. d)Que distancia adicional recorrió. a) 1000m 1h m vf = 45 km h 1km 3600s = 12:5 s km 1000m 1h m vi = 85 h 1km 3600s = 23: 611 s vf = vi + at 12:5 = 23:611 + at a = 12:5 t23:611 = 11:t111 x = x0 + vi t + 12 at2 11: 111 t2 105 = 23:611t + 12 t 105 = 18: 056t 105 = 5: 815 2 s t = 18:056 111 1: 910 7 m/s2 a = 11: 5:8152 = b) t = 5:8152 s c) 0 = 23:611 + ( 1:9107) t 23: 611 = 1: 910 7t t = 23:611 1:9107 = 12: 357 t = 12:357 5:8152 = 6: 541 8 s (tiempo adicional en frenar) d) 2 x = 23:611 (12:357) + 12 ( 1:9107) (12:357) = 145: 88 x = 145:88 105 = 40: 88 m (distancia adicional para frenar) 4. Una partícula se mueve a lo largo del eje x segun la ecuación (x=50t +10t2 ) m, Determine: a) Velocidad promedio durante los tres primeros seg. b) Velocidad instantánea de la partícula en t= 3 seg. c) La aceleración instantánea de la partícula en t=3 seg. d 2 v = dx = 20t + 50 dt = dt 50t + 10t dx d a = dt = dt (20t + 50) = 20 a) vf = 20 (3) + 50 = 110 m/s vi = 20 (0) + 50 = 50 m/s (v v ) vp = f 2 i = 1102 50 = 30 m/s b) v = 20 (3) + 50 = 110 m/s c) a = 20 (aceleracion constante) 5. Un avión jumbo necesita alcanzar una velocidad de 360 km/hr sobre la pista para despegar Suponiendo una aceleración constante y una pista de 1.8 km de longitud. Determine la aceleración requerida para despegar. v = 360 km/hr = 100 m/s para recorrer 1.8 km a 100m/s se requieren 18 seg.
3
Suponiendo que el avion parte del reposo: vi = 0; ti = 0 vf = 100; tf = 18 0 50 2 a = vt = 100 18 0 = 9 = 5: 555 6 m/s 6.1.Un tren parte desde el reposo se mueve con aceleración constante en un momento dado esta viajando a 33 m/s, y 160 m mas adelante lo estaba haciendo a 54 m/s. Determine: a)La aceleración. b)El tiempo para recorrer los 160 m. c)El tiempo para alcanzar los 33 m/s. d)La distancia recorrida para alcanzar los 33 m/s. vf = vi + at v v a = f t i = 54 t 33 = 21 t x = vi t + 12 at2 2 160 = (54) t + 12 21 t t 129 160 = 2 t 2 t = 160 129 = 2: 480 6 s 21 a = 2:4806 = 8: 465 7 m/s2 b) t = 2:4806 s c) 33 = 0 + 8:4657t 33 t = 8:4657 = 3: 898 1 s d) 2 x = 12 8:4657 (3:8981) = 64: 319 m 6. Un cable soporta a un elevador desocupado de una construcción, se rompe cuando el elevador esta en reposo en la parte mas alta de un edi…cio de 120 m de altura. Determine: a)La velocidad a la que golpea el elevador. b)El tiempo que transcurre. c)La velocidad en el punto intermedio de su caída. d)El tiempo que tardo en pasar por el punto intermedio. a = 9:81 m/s2 v = v0 + a (t) x = x0 + vt + 12 at2 x0 = 0 xf = 120 v = 0 + 9:81 (t) = 9: 81t; sustituyendo en la ec de posicion 9:81t + 12 (9:81) t2 120 = 0, f[t = 4: 046 3] ; [t = 6: 046 3]g t = 4:0463 s a) v = 0 + 9:81 (4:0463) = 39: 694 m/s b) t = 4:0463 s c)Calculando el tiempo para la posicion x=60 (punto medio)
4
9:81t + 12 (9:81) t2 60 = 0, f[t = 4: 637 6] ; [t = 2: 637 6]g, t = 2:6376 s v = 0 + 9:81 (2:6376) = 25: 875 m/s d) t = 2:6376 s 7. Un alumno se encuentra en la azote del edi…cio A9, de 43 m del suelo desea jugar una broma a su profesor de física, dejando caer una huevo en su cabeza. Si el profesor mide 1.8 m de altura, y camina a 1 .2 m/s constante, determine la posición del profesor cuando suelte el huevo? El huevo debe caer: (43 1:8)m= 41: 2m para recorrer esta distancia tardara: x = x0 + vt + 12 at2 v = v0 + at; v0 = 0 x = 41:2 x0 = 0 1 2 41:2 = 0, f[t = 4: 065 9] ; [t = 2: 065 9]g 2 (9:81) t + 9:81t t = 2:0659 s Debe soltar el proyectil 2.0659 seg antes de que el profesor este debajo de el. Calculando su posicion x = x0 + vt x = 0 + 1:2 (2:0659) = 2: 479 1 m Cuando el profesor este a aprox 2.5 m debe soltar el proyectil. 8. Un alumno de 1.83 m de altura, avienta una bala de 16 lb, verticalmente hacia arriba con una a= 45 m/s2 constante, desde el reposo a lo largo de 64 cm, soltándola 2.2 m sobre el suelo. Despreciando la resistencia del aire determinar: a)La velocidad cuando el alumno suelta la bala. b)La altura máxima de la bala. c)El tiempo que tiene para quitarse antes de que la bala regrese a su cabeza a)Por ahora solo consideramos la velocidad que transmitio a la bala, es decir solo el movimiento de lanzarla. a = 45 m/s2 v = v0 + at; v0 = 0 x = x0 + vt + 12 at2 1 2 0:64 = 0, [t = 0:168 65] 2 (45) t + (0) t v = 0:168 65 (45) = 7: 589 3 m/s b) a = 9:81 m/s2 v = v0 + at 9:81t + 7: 589 3 = 0, f[t = 0:773 63]g x = x0 + vt + 12 at2 2 x = 2:2 + 4:3818 (0:773 63) + 12 ( 9:81) (0:773 63) = 2: 654 2 m (con respecto al suelo) c)para que caiga sobre su cabeza debe recorrer: 2: 654 2 1:83 = 0:824 2 m en caida libre
5
a = 9:81 m/s2 v = at x = x0 + vt + 12 at2 1 2 2 0:824 2 = 0, [t = 0:236 67] 2 (9:81) t + 9:81t t = 0:773 63 + 0:236 67 = 1: 010 3 Tiene 1: 010 3 seg para quitarse a partir del momento en que suelta la bala. 9. Un malabarista actúa en un circo cuyo techo esta a 3 m arriba del nivel de las manos. Lanza una pelota hacia arriba de modo que casi roza el techo. Determine: a)La velocidad inicial de la pelota. b)El tiempo que tarda en llegar al techo. En el instante en que la primera pelota esta en el techo, lanza una segunda pelota hacia arriba con una velocidad 2/3 la velocidad inicial de la primera, determine: c) El tiempo en el que se cruzan las dos pelotas en el aire. d) A que altura ocurre esto.
1:
a) La aceleracion de la gravedad debio frenar esta vel. inicial en 3m v = v0 + at x = xo + vo t + 12 at2 a = 9:81 m/s2 x=3m v=0 0 = v0 + ( 9:81) t; v0 = 9:81t sust en la ec de posicion: 3 = 0 + (9:81t) t + 12 ( 9:81) t2 = 4: 905t2 4:905t2 = 3 t = 0:782 06 s usando t para encontrar V0 : 0 = v0 + ( 9:81) (0:782 06) v0 = 7: 672 m/s b) t = 0:78206 seg c) v0 = 23 (7:672) = 5: 114 7 m/s para que se cruzen necesitan estar en la misma posicion: xp1 = x0 + v0 t + 12 at; considerando desde que comineza a descender la pelota x0 = 3 m; v0 = 0 m/s; a = 9:81 m/s2 sustituyendo: xp1 = 3 4: 905t2 para la pelota 2 xp2 = x0 + v0 t + 12 at x0 = 0 m; v0 = 5:1147 m/s ; a = 9:81 m/s2 xp2 = 5:1174t 4:905t2 xp1 = xp2 6
4:905t2 = 5:1174t 4:905t2 5:1174t + 3 = 0 t = 0:586 24 s d) sustituyendo t en ambas ecs de posicion: 2 xp1 = 3 4:905 (0:58624) = 1: 314 3 m 2 xp2 = 5:1174 (0:58624) 4:905 (0:58624) = 1: 314 3 m tomando como referencia las manos del malabarista. 10. La grá…ca v-t para una partícula que se mueve a través de un campo eléctrico de una placa a otra, tiene la forma mostrada en la …g, donde t´=0.2 seg, y vmax = 10 m/s. Trace las grá…cas s-t y a-t para la partícula. Cuando t=t´/2 la partícula esta en s=0.5 m. 3
De…niendo el movimineto por intervalos de 0<=t <= 0:1 ecuacion punto pendiente: 10 (v 0) = 00 0:1 (t 0) v = 100t;0<=t <= 0:1 10 0 (v 0) = 0:1 0:2) = 20:0 100:0t 0:2 (t v = 100t + 20 Para 0:1 <= t <= 0:2 10 0 (v 0) = 0:1 0:2) 0:2 (t v = 100t + 20 asi la gra…ca de la funcion queda de…nida por las ecuaciones: 100t;0<=t <= 0:1 v= 100t + 20; 0:1 <= t <= 0:2 Integrando respecto a t encontramos la funcion que de…ne la posicion, hallando la constante de integracion por medio del dato s(0:1) = 0:5 50t2 ; 0 <= t <= 0:1 x= 50t2 + 20t 1; 0:1 <= t <= 0: 7
Derivano la velocidad encontramos la ecuacion que de…ne aceleracion: 100; 0 <= t <= 0:1 a= 100; 0:1 <= t <= 0:2 Gra…cas: A) de posicion
s
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
t
B) de aceleracion
a
100
50
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
t
-50
-100
11. Un avión aterriza sobre la pista, viajando originalmente a 110 ft/s, cuando s=O m. Si está sometido a las desaceleraciones mostradas en la gra…ca a-t , determine el tiempo t´ necesario para detenerlo. Construya la grá…ca v-t y s-t. Resolviendo por intervalos: 8
0<=t<5 vo = 110 ft/s a=0 vf = 110 ft/s Ecs para este intervalo v = 110 s = 110 t = 110t 5<=t<15 v0 = 110 ft/s a = 3 ft/s2 t = 10 s vf = 110 + ( 3) 10 = 80 ft/s Ecs para este intervalo v = 110 3 t = 110 3 (t 5) = 125 3t 2 2 s = 550 + 110 t + 23 ( t) = 550 + 110 (t 5) 1:5 (t 5) = 1: 2 5t + 125:0t 37: 5 15<=t<20 vi = 80 ft/s a = 8 ft/s2 t=5s vf = 80 + ( 8) 5 = 40 ft/s Ecs para este intervalo v = 80 + ( 8) t = 80 8 (t 15) = 200 8t 2 s = 1500 + 80 t + 28 t2 = 1500 + 80 (t 15) 4 (t 15) = 80t 2 4 (t 15) + 300 = 4t2 + 200t 600 0 20<=t<=t vi = 40 ft/s a = 3 ft/s2 vf = 0 0 = 40 + ( 3) t t = 40 3 = 13: 333 0 t = 33:3333 s. Ecs para este intervalo v = 40 + ( 3) t = 40 3 (t 20) = 100 3t 2 s = 1800 + 40 t + 23 t2 = 1800 + 40 (t 20) 1:5 (t 20) = 1: 5t2 + 100:0t + 400:0 Gra…cas: Velocidad: Posicion:
9
12. La grá…ca v-t, para el movimiento de un automóvil que parte del reposo y viaja en una camino recto, se muestra en la …g, trace la grá…ca s-t y v-t, determine: a) la rapidez promedio el intervalo de tiempo de 30 seg. b) La distancia recorrida en el intervalo de tiempo de 30 seg Ecs para la posicion: 3 s = 0:4 3 t ; 0 <= t <= 10 para 10
vp2 = 60 2 40 = 10 m/s = 15 m/s vp = 20+10 2 b) Distancia recorrida: 3 s1 = 0:4 3 (10) = 133: 33 m 2 s2 = 12 (30) + 30 (30) 650 3 = 1133: 3 m st = 1133:33 + 133:33 = 1266: 7 m
s 1200 1000 800 600 400 200 0 0
10
20
30
t
13. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 800 ft/s a un blanco localizado a 2000 ft por arriba del cañón y a una distancia horizontal de 12000 ft. Despreciando la resistencia del aire, determine el valor del ángulo de disparo. v0 = 800 ft/s x = 1200 ft 11
y = 2000 ft La vel en y viene determinada por y = 800sen donde es el angulo buscado. Para el analizis de el movimineto en y y0 = 0 ft yf = 2000 ft v0 = 800sen ft/s a = 9:81 ft/s2 La ecuacion de posicion para y es: yf = y0 + v0 t + at2 2000 = 0 + 800 sin t 9:81t2 1 Tiene 2 incognitas 9:81t + 693:879t 2000 = 0 La segunda ecuacion para resolver esta es la del desplazamiento en x x0 = 0 ft xf = 12000 ft v0 = 800 cos ft/s a=0 xf = x0 + v0 t 12000 = 0 + 800 cos t t=3.011 despejando para t : 3 1200 t = 800 cos = 2 cos sustituyendo en la ec 1 2 3 3 9:81 2 cos 2000 = 800 sin 2 cos 2000 = 800 32 tan 9:81 49 sec2 = 1200 tan 22:073 sec2 2 2 Usando la identidad: sec = 1 + tan para dejar todo en terminos de la tangente: 2000 = 1200 tan 22:073 1 + tan2 0 = 22: 073 tan2 + 1200 tan 2022:073 Resolviendo por formula general: p tan =
12002 4( 22:073)( 2022:073) 2( 22:073) 1200+ 12002 4( 22:073)( 2022:073) 2( 22:073)
1200
p
tan 1 = = 1: 740 8 1 = tan (1:7408) = 60:125 Angulo medido con respecto a la horizontal(eje x) 14. En un tubo de rayos catódicos se proyecta un haz de electrones horizontales a una velocidad de 9.6x108 cm/s, a una región entre un par de placas horizontales de 2.3 cm de longitud. Un campo eléctrico entre las placas causa una aceleración constante de los electrones hacia abajo con magnitud de 9.4x1016 cm/s2 Determine: a)El tiempo requerido para que los electrones pasen a través de las placas. b)El desplazamiento vertical del haz de electrones al pasar por las placas. c)Las componentes de la velocidad cuando emerge de las placas. a) La velocidad de los electrones es completamente horizontal
12
ax = 0 vx = 9:6 106 m/s x0 = 0 m xf = 0:023 m xf = x0 + v0 t + ax t2 0:023 = 0 + 9:6 106 t t = 2:396 s b) calculamos la ecuacion de posicion para y con el tiempo obtenido en el inciso a) y0 = 0 vy = 0 ay = 9:4 1014 m/s2 t = 2:396 s 2 yf = 0 + 0 (2:396) 9:4 1014 (2:396) = 5: 396 4 1015 Desplazamiento hacia abajo: 5: 396 4 1015 m c) La componente de la velocidad en x es constante. Calculamos para y vy = 9:4 1014 (2:396) = 2: 252 2 1015 v=q 9:6 106 i 2: 252 2 1015 j 2
2
v = (9:6 106 ) + ( 2: 252 2 1015 ) v = 2: 252 2 1015 (magnitud total del vector velocidad) 15. Usted arroja una pelota a una velocidad de25.3 m/s y un ángulo de 420 arriba de la horizontal directo hacia una pared que se encuentra a 21.8 m del punto de salida de la pelota. Determine: a)El tiempo que estuvo la pelota en el aire antes de golpear la pared. b)Las componentes de la velocidad cuando golpea la pared. c)Ha pasado el punto mas elevado de su trayectoria cuando la golpea? a) Obtengo el tiempo analizando el movimiento en x xf = 21:8 m a=0 vx = 25:3 cos (42) = 18:8 m/s xf = v0 t 21:8 = 18:8t t = 1:16 s b) La componente de la velocidad en x es constante. Calculamos para y con el tiempo encontrado en el inciso a v0 = 25:3 sin 42 = 16:929 m/s vf = v0 + at vf = 16:929 9:81 (1:16) = 5: 549 4 v = 18:8i q + 5:5494j 2
2
jvj = (18:8) + (5:5494) = 19: 602 c) Si la componente de velocidad en y fuera negativa entonces ya habria pasado du punto maximo de elevacion. 13
16. La velocidad de una partícula esta dada por v= (16t2 i + 4t3 j + (5t+2)k)m/s, donde t esta en segundos. Si la partícula esta en el origen cuando t=0 , determine: a)La magnitud de su aceleración cuando t= 2 segundos b)Las coordenadas de posición x, y, z en ese instante. a) Analizamos el moviminento por sus componentes (x0 ; y0 ; z0 ) = (0; 0; 0) para x vx = 16t2 d = dt 16t2 = 32t ax = dv R dt Rt t 3 x = 0 vdt = 0 16t2 dt = 16 3 t 2 ax = 32 2 = 64 m/s para y vy = 4t3 d = dt 4t3 = 12t2 ay = dv R dt Rt 3 t y = 0 vdt = 0 4t dt = t4 2 ay = 12 (2) = 48 m/s2 para z vz = 5t + 2 d = dt (5t + 2) = 5 m/s2 az = dv R dt Rt 2 t z = 0 vdt = 0 (5t + 2) dt = 5t2 + 2t La aceleracion en t = 2 la de…ne el vector: 2 a = (64i p + 48j + 5k) m/s a = 642 + 482 + 52 = 80: 156 m/s2 b) 3 16 128 3 x = 16 3 t = 3 (2) = 3 = 42: 667 4 4 y = t = 2 = 16 2 z = 25 t2 + 2t = 52 (2) + 2 (2) = 14 Posicion en t = 2 (42:667i + 16j + 14k)
14
