SEJARAH DAN PERKEMBANGAN TEORI HIMPUNAN
I.
PENDAHULUAN
Ilmu matematika sudah ada sejak zaman kuno sebelum masehi dan terus berkembang hingga sekarang. Perkembangan sejarah matematika dibagi dalam beberapa periode waktu: 1. 2. 3. 4. 5.
Early Beginnings (Sebelum abad ke-6 Sebelum Masehi) Classical Period (Abad ke-6 Sebelum Masehi sampai abad ke-5) Medieval and Renaissance Periods (Abad ke-6 sampai abad ke-16) Early Modern Period (Abad ke-17 sampai abad ke-18) Modern Period (Abad ke-19 sampai abad ke-20)
Untuk dapat lebih memahami perkembangan ilmu matematika, maka sangatlah penting mempelajari sejarahnya. Salah satu sejarah matematika yang menarik untuk diketahui adalah sejarah teori himpunan. Teori himpunan merupakan salah satu ilmu matematika dalam bidang analisis yang muncul pada periode modern. Meskipun demikian, teori himpunan kini juga digunakan dalam bidang matematika yang muncul terlebih dahulu seperti sepert i bidang aljabar dan geometri. Hal ini menunjukkan bahwa banyak matematika kuno atau tradisional yang mengalami revolusi menjadi matematika modern karena pengaruh teori himpunan. Makalah ini akan membahas sejarah dan perkembangan teori himpunan mulai dari latar belakang penemuan, perkembangan teori himpunan, hingga kemunculan paradoks teori tersebut. Tujuan penyusunan makalah ini yaitu agar pembaca dapat mengetahui sejarah matematika khususnya mengenai sejarah dan perkembangan teori himpunan. Pembaca atau matematikawan yang membaca makalah ini diharapkan nantinya dapat termotivasi untuk lebih mengembangkan teori himpunan atau bahkan menemukan ilmu matematika yang baru.
1
II. PEMBAHASAN 1. LATAR BELAKANG
Pemikiran tentang himpunan sebenarnya sudah ada jauh sebelum periode modern. Sebagai contoh, ahli Yunani yang mendefinisikan lingkaran sebagai himpunan titiktitik yang berjarak sama dari suatu titik tetap. Konsep himpunan tak hingga dan berhingga lah yang sulit dipecahkan oleh para ilmuwan dan matematikawan selama berabad-abad. Aristoteles (384-322 SM) mengatakan bahwa tak terbatas ialah tidak sempurna, belum selesai dan karena itu tak terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung. Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus (121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yang tak dapat diduga di mana segala sesuatu lenyap. Filusuf Inggris Thomas Hobbes (1588-1679) berkata, "Ketika kita mengatakan sesuatu adalah tak terbatas, kami hanya menandakan bahwa kita tidak bisa hamil berakhir dan batas batas hal yang bernama". Pada abad ke-17, Galileo mencoba untuk memikirkan tentang himpunan tak terhingga (infinite), namun terdapat ketidakcocokan dari hasil analisisnya yang kemudian dikenal dengan Galileo Paradox. George Cantor yang kurang puas dengan gagasan Galileo akhirnya berusaha menemukan konsep himpunan tak terhingga, hingga pada akhirnya menjadi penemu teori himpunan di sekitar tahun 1870.
2. PERKEMBANGAN TEORI HIMPUNAN
Pada tahun 1870, Georg Cantor berhasil membuktikan kesetaraan dua himpunan tak terhingga. Cantor juga berhasil menemukan konsep himpunan terhitung dan tak terhitung. Antara tahun 1874 dan 1884, Cantor menetapkan teori dasar notasi himpunan. Selama tahun 1880-an dan 1890-an teori himpunannya disempurnakan kembali dengan memperkenalkan himpunan yang terdefinisi dengan baik, himpunan kuasa, serta kardinalitas himpunan. Selama tahun 1880-an, teori himpunan Cantor banyak mendapatkan perlawanan dari beberapa matematikawan, salah satunya adalah mantan dosennya, Kronecker. Beberapa
teori
Cantor
sulit
diterima
oleh
beberapa
matematikawan
yang
menimbulkan paradoks dari teori himpunan. Yang paling terkenal dari kalangan ini adalah Bertrand Russell pada tahun 1918, yang sekarang dikenal dengan paradoks Russell.
Dalam
upaya
untuk
menyelesaikan
paradoks
ini,
reaksi
pertama
matematikawan adalah aksiomatis teori himpunan intuitif Cantor. Aksiomatisasi berarti suatu himpunan pernyataan jelas disebut
aksioma, kebenaran yang
diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (18612
1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam Principia. Sebuah teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logis sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). Hal ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan. Meskipun mendapat banyak perlawanan, namun sampai kini teori himpunan Cantor tetap digunakan, bahkan digunakan sebagai dasar untuk memelajari matematika modern. Aturan himpunan yang di perkenalkan Georg Cantor antara lain sebagai berikut : 1. Himpunan A dan B dikatakan sama jika elemen dari himpunan A dan B tersebut sama. 2. Himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, jika elemen himpunan A merupakan elemen himpunan B. 3. Jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka himpunan A subset himpunan B. 4. Jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, dan ada sedikitnya satu elemen B yang bukan merupakan elemen himpunan A maka A adalah proper subset B. 5. Himpunan tediri dari satu elemen maupun tidak mempunyai elemen. 6. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong. Selain itu Georg Cantor juga menyatakan teorema : „For any set M there exist sets larger than A , in particular the set of all subsets of A is larger than A„
Biografi Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor (1845-1918) dikenal sebagai penemu teori himpunan. Cantor lahir di St. Petersburg , Rusia pada 3 Maret 1845 sebagai anak pertama dari pasangan Georg Woldermar Cantor dan Maria Bohm. Cantor mengenyam pendidikan dasarnya di rumah melalui guru privat. Di usia 11 tahun, ia bersama keluarganya pindah ke Jerman dan Cantor melanjutkan pendidikannya di Gymnasium lalu pindah ke Frankfrut dan Darmstadt. Di tahun 1860, Cantor lulus dari Realschule di Darmstadt dengan hasil yang luar biasa dan menunjukkan bahwa ia memiliki bakat yang hebat dalam bidang matematika, khususnya trigonometri. Keinginan Cantor untuk mempelajari matematika di universitas mendapat hambatan dari ayahnya yang menginginkan ia menjadi seorang insinyur. Karena keteguhannya, di tahun 1862 Cantor berhasil mendapat restu ayahnya untuk mempelajari matematika setelah sebelumnya ia belajar teknik di Horere Gewerbeschule dan Polytechnic of 3
Zurich. Cantor mempelajari matematika di Zurich. Akan tetapi, karena kematian ayahnya pada Juni 1863, ia pindah ke University of Berlin. Di tahun 1867, ia berhasil mempertahankan disertasinyamengenai teori bilangan “De Aequationibus Secundi Gradus Indeterminatis”. Sampai akhir abad ke-19, ada beberapa referensi mengenai himpunan dalam literaturliteratur matematika. Karya George Cantor yang paling berpengaruh pada masa itu yang diterbitkan oleh Crelle’s Jornal pada tahun 1874. Dia mengenalkan konsep himpunan tak berhingga yang lengkap, sebuah inovasi yang membuat dia diakui sebagai penemu teori himpunan. Georg Cantor meninggal pada tanggal 6 Januari 1918 di Halle.
3. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/ himpunan/ grup) benda/ objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik dibidang logika, probabilitas, statistik, linguistik, dan ilmu komputer. Biografi John Venn
John Venn lahir pada 4 Agustus 1834 di Kingston Upon Hull, Yorkshire dari pasangan Martha Sykes dan Pdt Henry Venn, yang merupakan rektor paroki Drypool. Ibunya meninggal saat ia berusia tiga tahun. Ia dididik oleh guru privat sampai tahun 1853 di Gonville dan Caius College, Cambridge. Pada tahun 1857, ia mendapat gelar dalam matematika dan menjadi seorang fellow. Pada tahun 1862, ia kembali ke Universitas Cambridge sebagai dosen dalam ilmu moral, belajar dan mengajar logika dan teori probabilitas. Pada tahun 1868, ia menikah dengan Susanna Carnegie Edmonstone, dari pernikahannya tersebut ia memiliki seorang putra, John Archibald Venn. Pada tahun 1883, ia dipilih sebagai mahasiswa Fellow dari Royal Society dan pada tahun yang sama dianugerahi Sc.D. oleh Cambridge. John Venn meninggal pada tanggal 4 April 1923 (umur 88) di Cambridge, Inggris. 4. HUKUM DE MORGAN
Hukum ini menyatakan bahwa operator NOT diterapkan dari dua variabel AND atau sama dengan diterapkan pada masing-masing dari dua variabel NOT dengan OR diantaranya.
4
Untuk membuktikan Persamaan (1-1) perlu di perhatikan, bahwa jika semua masukan 1, masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 0. Di pihak lain, kalau satu (atau lebih dari satu) masukan sama dengan 0, maka masingmasing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 1. Sehingga, untuk semua kemungkinan masukan dari ruas sebelah kanan persamaan sama dengan ruas sebelah kiri. Persamaan (1-2) dibuktikan dengan cara yang sama. Hukum De Morgan memperlengkap daftar identitas Boole dasar. Untuk masing-masing acuan selanjutnya, semua hubungan-hubungan tersebut di ringkas dalam tabel.
Biografi Augustus De Morgan
Augustus De Morgan (1806-1871) dilahirkan di India. Ayahnya seorang kolonel di ketentaraan India. Keluarga De Morgan pindah ke Inggris ketika ia berusia 7 tahun. Ia masuk sekolah pribadi dan sjak kecil sangat berminat di bidang matematika. De morgan belajar di Trinity Coolege, Bambrige, lulus tahun 1827. Ia mendapat pekerjaan di University College, London tahun 1828, tetap sempat berhenti dan kembali tahun 1836 dan terus di sana sampai tahun 1866. De Morgan merupakan guru yang lebih menekankan prinsip dari pada teknik. Di antara muridnya adalah Augusta Ada, Contess of Lovelace, yang membantu Charles Babbage mewujudkan mesin komputasi, awal mesin komputer. De Mogran sudah mengenal kemampuan Augusta Ada di bidang matematika sejak dini. De Morgan juga penulis yang produktif. Ia menulsi lebih dari 1000 artikel selama 15 periode. De Morgan membuat berbagai buku teks di berbagai bidang, misalnya logika, probabilitas, kalkulus dan aljabar. Tahun 1838, ia menjelaskan pembuktian yang penting yang disebut mathematical induction, suatu pengertian yang sangat ia kuasai. Tahun 1842, De Mogran juga menyumbang pengembnagan logika simbolik. Ia menemukan berbagai notas yang membantunya membuktikan ekuivalensi proposional, seperti hukum yang disebut sesuai namanya. De Morgan mungkin juga
5
orang yang pertama kali mendefinisikan pengertian limit dan mengembangkan test tentang konvergensi dari infinite series. Pada tahun 1837 De Morgan menikah dengan Sophia Freud, yang menulis biografi De Morgan tahun 1882. tugas riset, mengajar dan menulis menyebabkanya hanya menyisakan sedikit waktu bagi keluarganya dan kehidupan sosialnya. Walaupuan begitu, ia banyak dikenal karena berbagai ilmu yang dikembangkannya, sifat humorisnya dan keramahtamahannya.
5. Aljabar Boolean
Konsep dasar Aljabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematikawan Inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang teknik. Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan meyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boole memegang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga bidang lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori himpunan dan lain-lain. Teori ini juga dipakai dalam merangcang komputer elektronik dengan menerjemahkan ke dalam rangkaian saklar ( switching circuits ) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak. Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean. Pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer. Terdapat tiga alat bantu dalam memecahkan masalah logika: simbol gerbang, tabel kebenaran dan eksperesi Boolean. Untuk merancang suatu rangkaian dengan system digital yang besar, perlu dipahami terlebih dahulu Aljabar Boolean. Aljabar Boolean dinamai juga Aljabar Sakelar karena penerapannya terutama pada rangkaian yang menerapkan sakelar ( dalam hal ini dipakai gerbang-gerbang). Biografi George Boole
George Boole yang lahir 2 November 1815 dan meninggal 8 Desember 1864 adalah seorang ahli matematika kelahiran Inggris dan ahli logika. Orang tua Boole adalah Mary Ann Joyce dan John Boole. Sang ayah adalah pembuat sepatu, tetapi tertarik pada matematika. Mereka menikah pada 14 September 1806. George adalah anak pertama dari 3 bersaudara. Pada 11 September 1855 Boole menikah dengan Mary Everest, yang 17 tahun lebih muda.
6
Setelah dua tahun George bersekolah di sekolah swasta, Ayahnya segera mengajarinya matematika. Pada usia tujuh tahun George memasuki sekolah dasar dan belajar bahasa Latin dan Yunani. Pada tahun 1828, Boole pergi ke apa yang disebut Commercial Academy di Lincoln dan belajar sendiri Perancis dan Jerman. Setelah 16 tahun, Boole menjadi asisten guru. Boole memimpin dua sekolah dan menerbitkan buku matematika pertamanya Transactions of the Royal Society. Dia berhubungan dengan Augustus De Morgan (1806-1871). Pada tahun 1849, Boole menjadi profesor di Queens College Cork (Irlandia), di mana ia mengajar sampai kematiannya. Dia meninggal karena pneumonia.
7
III. PENUTUP 1. Kesimpulan
Dari paparan atau penjelasan di atas, maka penyusun dapat menyimpulkan bahwa sesuai dengan makalah “Sejarah dan Perkembangan Teori ” penyusun menyimpulkan bahwa masa lalu tidak harus dilupakan. Melainkan dapat diambil hikmah dan ilmunya yang dapat dimanfaatkan untuk kemajuan. 2.
Saran
Menyadari bahwa penyusun masih jauh dari kata sempurna, tentunya banyak kekurangan dan kelemahan kerena terbatasnya pengetahuan kurangnya rujukan atau referensi yang kami peroleh hubungannya dengan makalah ini penyusun banyak berharap kepada para pembaca memberikan kritik saran yang membangun kepada kami demi sempurnanya makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis para pembaca khusus pada penulis. Aamiin.
8
