Teorema de Torricelli Un depósito cilíndrico, de sección S 1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S 2 mucho más pequeña que S 1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.
Suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S mayor S 1 es despreciable v1 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S menor S 2. Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S 1 y S 2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y es y1-y2=h. =h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe
Vaciado de un depósito En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S mayor S 1 es despreciable v1 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S menor S 2. Supondremos ahora, que v1 no es despreciable frente a v2. La ecuación de continuidad se escribe v1S 1=v2S 2 y la ecuación de Bernoulli
De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2
Si S 1>>S 2 obtenemos el resultado de Torricelli El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S 2v2, y en el tiempo dt será S 2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito -S 1dh= S 2v2dt Si la altura inicial del depósito en el instante t =0 es H . Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.
Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.
Si S 1>>S 2, se puede despreciar la unidad
Ejemplo.
Radio del depósito 10 cm, luego, S 1= (0.1)2 m2 Radio del orificio 0.8 cm, luego, S 2= (0.008)2 m2 Altura inicial 45 cm, H =0.45 m
Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t =47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S 1>>S 2, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t =47.35 s.
Actividades Se introduce:
el radio del depósito R1, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio depósito el radio del orificio R2 situado en el fondo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio del orificio
la altura inicial H de agua en el depósito, moviendo la flecha de color rojo con el puntero del ratón.
Se pulsa en el botón titulado Empieza El fluido comienza a salir por el orificio, a la vez que se representa gráficamente la altura de la columna de fluido en función del tiempo, en la parte derecha del applet.
El frasco de Mariotte De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido
A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depósito va disminuyendo. Si S es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un gasto constante podemos emplear el denominado frasco de Mariotte.
Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h0, que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo inferior B del tubo, la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio. La velocidad de salida del fluido no corresponderá a la altura h0 desde el orificio a la superficie libre de fluido en el frasco, sino a la altura h o distancia entre el extremo inferior B del tubo y el orificio.
Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté por encima del extremo inferior del tubo, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendrán constantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h0 es menor que h, la velocidad de salida v del fluido deja de ser constante
La velocidad de salida v puede modificarse subiendo o bajando el extremo inferior del tubo AB en el frasco.
